牛吃草ppt课件
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牛吃草问题ppt
[自主训练] 牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长， 这片牧场上的草可供9头牛吃20天，可供15头牛吃10天， 如果要供18头牛吃，可吃几天？
解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份
9×20=180份……原草量+20天的生长量
15×10=150份……原草量+10天的生长量
草每天的生长量： （180-150）÷（20-10）=3份
假设每分钟每个检票口进的人数为1份
4×30= 原有等待的人数+30分钟新增的人数 5×20= 原有等待的人数+20分钟新增的人数
每分钟新增的人数= （4×30-5×20）÷（30-20） = 2（份）
原有等待的人数= 4×30-30×2=60（份） 专门安排2个检票口检新增加的人
60÷（7-2）=12（分钟）
草每天的减少量： （240-225）÷（9-8）=15份
原草量： 240+8×15=360份 或220+9×15=360份
400份 - 15份
15头牛在吃 360份草可供21头牛吃几天？
360÷（21+15）=10天
例3 一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发 现漏洞时已经进入了一些水，如果用12人舀水，3小时舀 完，如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完，现在想在 6小时舀完，需要多少人？
[自主训练] 有一口水井，持续不断地涌出水，而且每分 钟涌出的水量相等。如果用3台抽水机抽水36分钟可以抽 完，如果用5台抽水机抽水，20分钟可以抽完，现在用8 台抽水机抽完水，需要几分钟？
解：假设1台抽水机1小时抽1份水
3×36=108份……原水量+36分钟进水量
5×20=100份……原水量+20分钟的进水 每分量钟的进水量：
牛吃草问题课件
拉格朗日的解法：微积分
总结词
微积分、抽象思维、数学基础
详细描述
拉格朗日将牛吃草问题与微积分联系起来，通过抽象思维和扎实的数学基础，将 问题上升到了更为抽象和高级的层面。
05
应用与扩展
牛吃草问题的应用场景
草坪维护
牛吃草是草坪维护的一个重要 问题。在城市公园、学校操场 、高尔夫球场等公共场所，牛 可能会进入草坪并造成损害。
如何合理规划草坪或农田
为了减少牛吃草对草坪或农作物的影响，需要合理规划草坪或农田。例如，在草坪上设置障碍物或种植牛不喜欢吃的植物 ，在农田周围设置围栏等。
如何与其他农业动物搭配
为了减少牛吃草对草坪或农作物的影响，需要合理搭配其他农业动物。例如，在草原上放牧其他动物，让它们在草地上分 散开来，避免过度放牧。
04
高斯与拉格朗日的解法
高斯的解法：线性方程组
总结词
数学天才、线性方程组、简单易懂
详细描述高斯通过将牛吃草问源自抽象为线性方程组，利用数学天才的思维，用简洁易懂的 方法解决了问题。
拉格朗日的解法：差分方程
总结词
数学巨匠、差分方程、历史背景
详细描述
拉格朗日从历史背景出发，将牛吃草问题转化为差分方程，用数学巨匠的思 维，将问题变得更为具体和形象。
02
经典牛吃草问题
问题的数学描述
数学模型：牛在n天 内吃完m公顷草
变量关系：草场每 天生长的草量不变 ，牛每天吃草量不 变
基本公式：y=m/n
问题的基本解法
第一种解法
根据已知条件代入公式求解
第二种解法
根据问题特点，运用等差数列求和公式求解
问题的扩展与变形
草场面积增加
考虑草场面积增加，需要增加 牛的数量
趣味数学牛吃草问题(经典课件)
趣味数学牛吃草问题(经典 课件)
目录
• 牛吃草问题简介 • 牛吃草问题的基本类型 • 牛吃草问题的解题方法 • 牛吃草问题的实际应用 • 牛吃草问题的扩展思考 • 牛吃草问题的趣味挑战
01 牛吃草问题简介
牛吃草问题的起源
牛吃草问题起源于古代数学问题 ，最早记录在《张丘建算经》中
。
它最初是为了解决放牧牛群与草 场资源之间的矛盾而提出的。
在牛吃草问题中，微积分法可以用来分析草的生长速度和牛的吃草速度之间的关系，以及随着时间的变化，草的剩余量会如 何变化。通过微积分的方法，可以更精确地描述问题的动态变化过程，从而找到解决问题的最佳方案。这种方法需要较高的 数学水平，但可以解决较为复杂和精确的问题。
04 牛吃草问题的实 际应用
生态平衡问题
最短时间吃完草场问题
总结词
求牛吃完整个草场所需的最短时间
详细描述
在牛吃草的过程中，草场上的草会不 断生长。我们需要计算在草场上的草 被吃完所需的最短时间。这需要考虑 牛每天吃的草的量和草场每天生长的 草的量。
最少草料吃完草场问题
总结词
求用最少的草料让牛吃完整个草场
详细描述
在牛吃草的过程中，我们希望用最少的草料让牛吃完整个草场。这需要考虑每天牛吃的 草的量和草场每天生长的草的量，以及牛的消化能力。
05 牛吃草问题的扩 展思考
多种动物共享草场问题
多种动物共享草场问题是在牛吃草问 题的基础上进行扩展，考虑多个动物 同时吃草的情况。
解决此类问题需要考虑不同动物吃草 的速度和数量，以及草场上的总草量 。
假设草场上的草量一定，多个动物同 时吃草会导致草场上的草量迅速减少 。
草场边界移动问题
草场边界移动问题是指草场的边界在不断变化的情况。 当草场边界移动时，草场上的草量也会随之变化。
目录
• 牛吃草问题简介 • 牛吃草问题的基本类型 • 牛吃草问题的解题方法 • 牛吃草问题的实际应用 • 牛吃草问题的扩展思考 • 牛吃草问题的趣味挑战
01 牛吃草问题简介
牛吃草问题的起源
牛吃草问题起源于古代数学问题 ，最早记录在《张丘建算经》中
。
它最初是为了解决放牧牛群与草 场资源之间的矛盾而提出的。
在牛吃草问题中，微积分法可以用来分析草的生长速度和牛的吃草速度之间的关系，以及随着时间的变化，草的剩余量会如 何变化。通过微积分的方法，可以更精确地描述问题的动态变化过程，从而找到解决问题的最佳方案。这种方法需要较高的 数学水平，但可以解决较为复杂和精确的问题。
04 牛吃草问题的实 际应用
生态平衡问题
最短时间吃完草场问题
总结词
求牛吃完整个草场所需的最短时间
详细描述
在牛吃草的过程中，草场上的草会不 断生长。我们需要计算在草场上的草 被吃完所需的最短时间。这需要考虑 牛每天吃的草的量和草场每天生长的 草的量。
最少草料吃完草场问题
总结词
求用最少的草料让牛吃完整个草场
详细描述
在牛吃草的过程中，我们希望用最少的草料让牛吃完整个草场。这需要考虑每天牛吃的 草的量和草场每天生长的草的量，以及牛的消化能力。
05 牛吃草问题的扩 展思考
多种动物共享草场问题
多种动物共享草场问题是在牛吃草问 题的基础上进行扩展，考虑多个动物 同时吃草的情况。
解决此类问题需要考虑不同动物吃草 的速度和数量，以及草场上的总草量 。
假设草场上的草量一定，多个动物同 时吃草会导致草场上的草量迅速减少 。
草场边界移动问题
草场边界移动问题是指草场的边界在不断变化的情况。 当草场边界移动时，草场上的草量也会随之变化。
牛吃草问题课件
01
牛吃草问题的扩展与挑战
多物种模型
多种草本植物
在牛吃草的问题中，草本植物的种类和数量 是影响牛食量的重要因素。不同种类的草本 植物具有不同的营养成分和消化率，牛在选 择时需考虑这些因素。
多种家畜
除了牛之外，还有其他家畜如羊、猪等，它 们与牛竞争食物，从而影响牛的食量和生长
。
不确定性因素
要点一
问题的历史与发展
历史
牛吃草问题最早可以追溯到古希腊数学家欧几里得的时代， 在其《几何原本》中就有涉及草块问题的论述。而到了近代 ，牛顿在其《自然哲学的数学原理》中也对这类问题进行了 深入的研究。
发展
随着数学和计算机科学的发展，牛吃草问题的解法也不断得 到改进和完善，同时其应用领域也越来越广泛，如生态学、 农业、经济学等。
案例二：城市绿化与牛吃草问题的应用
总结词
城市绿化是牛吃草问题在城市规划中的一个重要应用 。通过合理规划城市绿化，可以改善城市环境、提高 居民生活质量并促进城市可持续发展。
详细描述
在城市规划中，绿化带和公园是重要的城市基础设施 ，可以为居民提供休闲、娱乐和亲近自然的空间。同 时，绿化带还可以净化空气、降低噪音和改善城市微 气候。在城市绿化规划中，需要考虑不同植物的生长 特性和生态位，通过合理搭配实现绿地的稳定和多样 性。此外，还需要根据城市的气候、土壤和居民需求 等因素来选择合适的植物种类和配置方式。
01
牛吃草问题的应用场景
资源管理
资源分配
牛吃草问题可以应用于资源管理 领域，例如在有限资源的情况下 ，如何合理分配资源以确保多个
项目或部门的需求得到满足。
资源优化
通过牛吃草问题，可以研究如何 优化资源利用，提高资源产出效
六年级第15讲牛吃草问题课件
列方程
根据图表分析，列出表示 草量减少速度与牛的数量 和吃草速度之间关系的方 程。
方程法解题步骤
设定变量
设定表示牛的数量、吃草 速度及草量的变量。
建立方程
根据题目描述，建立关于 这些变量的方程，通常包 括草的总量、每头牛每天 吃的草量等。
解方程
通过代数方法解方程，找 出牛的数量或吃草速度等 未知量。
相关数学知识点回顾
线性方程
牛吃草问题中涉及的数学知识点包括线性方程的建立和求解。通过 设定变量和建立方程，可以计算出牛吃草的速度和草场恢复的速度 。
代数运算
在解决牛吃草问题的过程中，需要进行代数运算，如加法、减法、 乘法和除法等。这些运算有助于简化问题和求解方程。
逻辑推理
除了数学计算外，解决牛吃草问题还需要进行逻辑推理。通过分析问 题的条件和限制因素，可以推导出合理的解决方案。
特殊情况处理技巧
考虑草的生长速度
利用单位换算简化问题
如果题目中提到草会生长，需要在方 程中加入表示草生长速度的项。
如果题目中的单位不统一，可以通过 单位换算将它们统一，从而简化问题 。
考虑不同种类的牛
如果题目中有不同种类的牛，它们吃 草的速度可能不同，需要分别设定变 量并建立方程。
04
典型例题解析
能够运用所学知识解决实际生 活中的相关问题
培养分析问题、解决问题的能 力以及数学思维的严谨性
02
牛吃草问题数学模型
假设与定义
假设草地上草的总量为C，每头牛每天吃草的数量为G，草地上牛的数量为N，经 过时间T后，剩余的草量为R。
定义每天草地上草的净增长量为D（可能为负数，表示草在减少），则D = (C R) / T。
复杂牛吃草问题举例
牛吃草问题PPT课件
01
C(t) = C + g * t
牛吃草的速度与数量和时间的关系
02
v*n*t
牛吃草后草场剩余的草量
03
C(t) - v * n * t
模型解析与求解方法
如果v * n > g，即牛吃草的速度 大于草的生长速度，那么草场将 无法满足牛的吃草需求，草场的 草量将逐渐减少。
如果v * n < g，即牛吃草的速度 小于草的生长速度，那么草场将 能够满足牛的吃草需求，并且剩 余的草量将逐渐增加。
05
拓展延伸与实际应用
牛吃草问题在其他领域的拓展
经济学领域
类似于“牛吃草”的资源分配问题，在经济学中经常涉及到如何合理分配有限资源的问题 。通过引入经济学中的供需关系、边际分析等概念，可以帮助学生理解资源分配的原理和 方法。
生态学领域
在生态系统中，资源的有限性和生物之间的竞争关系与“牛吃草”问题相似。通过引入生 态学中的竞争排斥原理、生态平衡等概念，可以引导学生思考如何在生态系统中实现资源 的可持续利用。
案例三：多牛多草场的复杂情况分析
要点一
4. 根据三片草地的总面积和总生 长量，求出总的原有草量
(3+2+1)-(24+30+48)b。
要点二
5. 根据总的原有草量和每天每头 牛的吃草量，求出需要的…
(3+2+1)-(24+30+48)b/a。
04
解题思路与技巧总结
解题思路梳理
理解问题背景
首先，需要明确问题的背景，即牛吃 草的场景，以及草的生长速度、牛吃 草的速度等关键信息。
案例一：基础牛吃草问题
问题描述
一片均匀生长的草地，可以供10头牛吃20天，或者供15头牛吃10天。问：如果 这片草地可以供25头牛吃，那么可以吃多少天？
牛吃草问题(课堂PPT)
解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份
20×5=100份……原草量-5天的减少量
15×6=90份……原草量-6天的减少量
草每天的减少量： （100-90）÷（6-5）=10份
原草量： 100+5×10=150份 或90+6×10=150份
9
150份 - 10份
剩下150-100=50份
10天减少 10×10=100份
假设每头牛每天的吃草量是1份 20×50=10公亩原有草量+10公亩50天新增量 20×50÷10=100 =1公亩原有草量+1公亩50天新增量 40×30=15公亩原有草量+15公亩30天新增量
40×30÷15=80 =1公亩原有草量+1公亩30天新增量
1公亩每天生长量= （100-80）÷（50-30）=1（份）
解：假设1只羊1天吃1份草
草每天的生长量为：
（5×30-7×20）÷（30-20）=1份 原有的草量为：
5×30-30×1=120份 或7×20-20×1=120份
26
10天后所剩草量： 120+10×1-8×10=50份 10天还有6只羊可吃几天？ 50÷（6-1）=10天
27
4
72份 + 15份
剩下21-15=6头
15头
6头牛吃72份草能吃几周？
72÷（21-15）=12 周
吃
5
同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为： • ⑴设定1头牛1天吃草量为“1”； • ⑵草的生长速度=(对应牛的头数×对应较多天数-相应牛的头数×对应吃
÷ 的少的天数) （吃的较多的天数-吃的较少的天数）；
6
[自主训练] 牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长， 这片牧场上的草可供9头牛吃20天，可供15头牛吃10天， 如果要供18头牛吃，可吃几天？
20×5=100份……原草量-5天的减少量
15×6=90份……原草量-6天的减少量
草每天的减少量： （100-90）÷（6-5）=10份
原草量： 100+5×10=150份 或90+6×10=150份
9
150份 - 10份
剩下150-100=50份
10天减少 10×10=100份
假设每头牛每天的吃草量是1份 20×50=10公亩原有草量+10公亩50天新增量 20×50÷10=100 =1公亩原有草量+1公亩50天新增量 40×30=15公亩原有草量+15公亩30天新增量
40×30÷15=80 =1公亩原有草量+1公亩30天新增量
1公亩每天生长量= （100-80）÷（50-30）=1（份）
解：假设1只羊1天吃1份草
草每天的生长量为：
（5×30-7×20）÷（30-20）=1份 原有的草量为：
5×30-30×1=120份 或7×20-20×1=120份
26
10天后所剩草量： 120+10×1-8×10=50份 10天还有6只羊可吃几天？ 50÷（6-1）=10天
27
4
72份 + 15份
剩下21-15=6头
15头
6头牛吃72份草能吃几周？
72÷（21-15）=12 周
吃
5
同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为： • ⑴设定1头牛1天吃草量为“1”； • ⑵草的生长速度=(对应牛的头数×对应较多天数-相应牛的头数×对应吃
÷ 的少的天数) （吃的较多的天数-吃的较少的天数）；
6
[自主训练] 牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长， 这片牧场上的草可供9头牛吃20天，可供15头牛吃10天， 如果要供18头牛吃，可吃几天？
牛吃草问题公开课ppt课件
草地上的草分布不均匀，不同区域的草量不同，需要考虑牛在不同 区域的吃草效率。
多块草地上的牛吃草问题
多块草地上的草量和分布各不相同，需要合理安排牛群在不同草地 上的吃草顺序和时间。
考虑天气因素的牛吃草问题
1 2
晴天和雨天对草地生长的影响 晴天草地生长快，雨天草地生长慢，需要考虑不 同天气条件下草地的生长速度。
学习方法建议
深入理解基本概念和原理
建议学生反复阅读教材和相关资料，加深对牛吃草问题基 本概念和原理的理解，为后续学习打下坚实基础。
多做练习题，提高解题能力 鼓励学生多做各种类型的牛吃草问题练习题，通过不断练 习，熟练掌握解题技巧和方法，提高解题速度和准确性。
善于总结和归纳 建议学生在学习过程中及时总结和归纳所学知识点和解题 方法，形成自己的知识体系和解题思路，以便更好地应对 考试和实际问题。
介绍了牛吃草问题的定义、特点以及解决该问题的基本思路和方法。
02
不同类型的牛吃草问题及其解法
详细讲解了匀速吃草、变速吃草、多块草地等多种类型的牛吃草问题，
以及相应的解题技巧和策略。
03
方程法在牛吃草问题中的应用
通过实例演示了如何运用方程法解决复杂的牛吃草问题，包括如何设立
未知数、建立方程、求解方程等步骤。
该问题被抽象为数学模型，成为数 学领域中的经典问题，用于探讨资 源消耗与再生的关系。
现实意义与应用场景
01
02
03
牧场管理
在畜牧业中，牛吃草问题 直接关系到牧场的经济效 益和可持续发展。
资源分配
问题涉及到资源的合理分 配和利用，对于环境保护 和可持续发展具有重要意 义。
生态系统建模
牛吃草问题可以作为生态 系统建模的基础，用于研 究生态系统的稳定性和可 持续性。
多块草地上的牛吃草问题
多块草地上的草量和分布各不相同，需要合理安排牛群在不同草地 上的吃草顺序和时间。
考虑天气因素的牛吃草问题
1 2
晴天和雨天对草地生长的影响 晴天草地生长快，雨天草地生长慢，需要考虑不 同天气条件下草地的生长速度。
学习方法建议
深入理解基本概念和原理
建议学生反复阅读教材和相关资料，加深对牛吃草问题基 本概念和原理的理解，为后续学习打下坚实基础。
多做练习题，提高解题能力 鼓励学生多做各种类型的牛吃草问题练习题，通过不断练 习，熟练掌握解题技巧和方法，提高解题速度和准确性。
善于总结和归纳 建议学生在学习过程中及时总结和归纳所学知识点和解题 方法，形成自己的知识体系和解题思路，以便更好地应对 考试和实际问题。
介绍了牛吃草问题的定义、特点以及解决该问题的基本思路和方法。
02
不同类型的牛吃草问题及其解法
详细讲解了匀速吃草、变速吃草、多块草地等多种类型的牛吃草问题，
以及相应的解题技巧和策略。
03
方程法在牛吃草问题中的应用
通过实例演示了如何运用方程法解决复杂的牛吃草问题，包括如何设立
未知数、建立方程、求解方程等步骤。
该问题被抽象为数学模型，成为数 学领域中的经典问题，用于探讨资 源消耗与再生的关系。
现实意义与应用场景
01
02
03
牧场管理
在畜牧业中，牛吃草问题 直接关系到牧场的经济效 益和可持续发展。
资源分配
问题涉及到资源的合理分 配和利用，对于环境保护 和可持续发展具有重要意 义。
生态系统建模
牛吃草问题可以作为生态 系统建模的基础，用于研 究生态系统的稳定性和可 持续性。
人教版六年级数学上册牛吃草问题课件(共23张PPT)
解：设1头牛1天吃的草为1份。牧场每天新长 草（17×30－19×24）÷（30-24）=9（份）
草地原有草（17－9）×30=240（份）
这群牛8天应吃掉草
240＋9×8＋4×2＝320（份）
所以这群牛有320÷8=40（头）
答：这群牛本来有40头.
3.经测算，地球上的资源可供100亿人生活100 年，或可供80亿人生活300年。假设地球新生成 的资源增长速度是一定的，为使人类有不断发 展的潜力，地球最多能养活多少亿人？
例1 牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天， 或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？
设1头牛一天吃的草为1份。那么，10头牛20天吃200份，草被吃完；15头牛 10天吃150份，草也被吃完。前者的总草量是200份，后者的总草量是150
份，前者是原有的草加 20天新长出的草，后者是原有的草加10天新长出的 草。
【分析】：与例3比较，“总的草量”变成了“扶梯的梯级总数”，“草” 变成了“梯级”，“牛”变成了“速度”，也可以看成牛吃草问题。
上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部
分是自动扶梯的速度。男孩5分钟走了20×5＝ 100（级），女孩6分钟走了
15×6＝90（级），女孩比男孩少走了100－90＝10（级），多用了6－5＝1
例2 一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。 先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开出 水管。如果同时打开2个出水管，那么8分钟后水 池空；如果同时打开3个出水管，那么5分钟后水 池空。那么出水管比进水管晚开多少分钟？
出水管所排出的水可以分为两部分：一部分是出 水管打开之前原有的水量，另一部分是开始排水 至排空这段时间内进水管放进的水。因为原有的 水量是不变的，所以可以从比较两次排水所用的 时间及排水量入手解决问题。
草地原有草（17－9）×30=240（份）
这群牛8天应吃掉草
240＋9×8＋4×2＝320（份）
所以这群牛有320÷8=40（头）
答：这群牛本来有40头.
3.经测算，地球上的资源可供100亿人生活100 年，或可供80亿人生活300年。假设地球新生成 的资源增长速度是一定的，为使人类有不断发 展的潜力，地球最多能养活多少亿人？
例1 牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天， 或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？
设1头牛一天吃的草为1份。那么，10头牛20天吃200份，草被吃完；15头牛 10天吃150份，草也被吃完。前者的总草量是200份，后者的总草量是150
份，前者是原有的草加 20天新长出的草，后者是原有的草加10天新长出的 草。
【分析】：与例3比较，“总的草量”变成了“扶梯的梯级总数”，“草” 变成了“梯级”，“牛”变成了“速度”，也可以看成牛吃草问题。
上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部
分是自动扶梯的速度。男孩5分钟走了20×5＝ 100（级），女孩6分钟走了
15×6＝90（级），女孩比男孩少走了100－90＝10（级），多用了6－5＝1
例2 一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。 先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开出 水管。如果同时打开2个出水管，那么8分钟后水 池空；如果同时打开3个出水管，那么5分钟后水 池空。那么出水管比进水管晚开多少分钟？
出水管所排出的水可以分为两部分：一部分是出 水管打开之前原有的水量，另一部分是开始排水 至排空这段时间内进水管放进的水。因为原有的 水量是不变的，所以可以从比较两次排水所用的 时间及排水量入手解决问题。
《牛吃草问题》课件图文
精确计时和测量，减小误差。
数据收集与处理
数据处理
通过对收集到的数据进行分析和处理，可以得出以下结论
牛吃草的速度与时间的关系
通过比较不同时间段的草量减少情况，可以观察到牛吃草速度的变化 。
牛吃草总量与时间的关系
通过累计不同时间段的草量减少量，可以得到牛在一定时间内总共吃 了多少草。
通过实验数据验证相关数学模型的正确性
实验原理
牛吃草问题是一个经典的数学问题，涉及到速度、时间和数量的关系。通过实验 ，可以直观地展示这些关系，帮助学生更好地理解和应用相关知识。
实验步骤及操作要点
实验步骤
1. 准备实验材料：一定数量的草、计时器、测量工具（如天平、尺子） 等。
2. 将草均匀铺设在实验场地上，并记录初始草量。
实验步骤及操作要点
相关研究概述
草地生态学
畜牧业经济学
研究草地的结构、功能、动态和调控机制 ，为牛吃草问题提供生态学基础。
研究畜牧业生产、经营、管理和市场等方 面的经济问题，为牛吃草问题提供经济学 分析框架。
草地管理学
数学建模与优化
研究草地的规划、设计、建设和管理等方 面的理论和实践，为牛吃草问题提供管理 策略和技术支持。
THANKS
感谢观看
位草量）。
建立数学模型
根据假设，我们可以建立以下数学模型
Ct = C0 + g * t - v * t
其中，Ct表示经过时间t后草场的草量，C0表示初始时刻草场的草量，g表示草的生长速度 ，v表示牛吃草的速度，t表示时间。
模型求解与分析
当Ct = 0时，表示草被吃光， 此时可以求出牛吃光整个草场 所需的时间t。
其他领域应用前景展望
生态环境保护
《牛吃草问题》ppt课件
数学模型的建立
假设与定义
设牛每天吃掉的草量为x，草地原有的草量为y，草地每天增 长的草量为z。
方程的解
通过解这个方程，我们可以得到牛吃完这片草地所需的时间t 。
变量与参数的解释
变量
在这个问题中，变量包括牛每天 吃掉的草量x、草地原有的草量y 、草地每天增长的草量z以及时
间t。
参数
参数是问题中给定的常数或已知 量，如牛每天吃掉的草量和草地
维护农业生态系统的稳定性和可持续性具有重要意义。
生态领域的应用
物种多样性保护
通过研究牛吃草问题，可以了解不同物种之间的竞争和共生关系， 为保护物种多样性提供科学依据。
生态系统恢复
在生态系统受到破坏的情况下，通过调整牛吃草的方式和强度，可 以促进生态系统的恢复和重建。
生物入侵防控
某些外来植物可能会通过竞争或化感作用抑制本地植物的生长，通过 研究牛吃草问题，可以探索生物入侵的防控策略。
经济学领域
在经济学中，牛吃草问题涉及到边 际效益和边际成本的概念，对于理 解市场供需关系和资源配置有重要 意义。
问题研究的意义和价值
01
02
03
数学建模能力
通过研究和解决牛吃草问 题，可以提高学生的数学 建模能力和解决问题的能 力。
跨学科应用
牛吃草问题不仅局限于数 学领域，还可以应用于物 理、化学、生物等多个学 科领域。
经济领域的应用
畜牧业经济
牛吃草问题直接关系到畜牧业的经济效益和可持续发展，通过优化放牧管理和饲料配方，可以提高畜牧业的生产效率 和经济效益。
草业经济
草业作为一个新兴产业，其发展与牛吃草问题密切相关。通过研究牛吃草问题，可以推动草业的技术创新和管理升级 ，提高草业的经济效益和生态效益。
趣味数学牛吃草问题(经典课件)(2024)
2024/1/28
假设草地每天生长的 草量也是固定的，设 为y单位。
8
数学模型构建
01
02
03
04
根据假设条件，可以构建如下 数学模型
每天草地的总草量是原有的草 量加上每天生长的草量，即z
+ y。
牛群每天吃的总草量是牛的数 量乘以每头牛每天吃的草量，
即n * x。
当牛群吃的总草量等于草地的 总草量时，即n * x = z + y，
牧场管理实践
牛吃草问题也源于牧场管理的实 践，涉及到如何合理安排牛的饲 料和放牧时间，以优化牧场资源 的利用。
4
问题描述与现实意义
问题描述
假设有一片草地，每天草都在匀速生长。这片草地可供一定数量的牛吃多少天 ，或者多少头牛可以吃多少天。
现实意义
牛吃草问题实际上是一个资源分配与消耗的问题，可以应用于许多领域，如经 济学、生态学、农业等。通过解决这类问题，我们可以更好地理解资源的可持 续利用和生态平衡的重要性。
12
Байду номын сангаас
动态演示过程
演示牛吃草的过程中，草量的实 时变化，以及不同时间段内草量
的增减情况。
通过动态演示，展示牛吃草的速 度与草量减少速度之间的关系，
帮助学生理解这一抽象概念。
在动态演示中，可以加入声音、 色彩等多媒体元素，增加学生的
感官体验，提高学习兴趣。
2024/1/28
13
直观感受数学之美
通过图形化表示和动态演示， 让学生直观感受到数学中抽象 概念的具体表现，领略数学之 美。
解释和分析。
20
学生自我评价报告
01
02
03
知识掌握情况
牛吃草问题ppt
第一块草量为：
每公顷草每天的生长量为：
（51-36）÷（84-54）=0.5份
每公亩的草量：
第三块牧场可供：
36-54×0.5=9份 或51-84×0.5=9份
（40×9+40×0.5×24）÷24=35（头）
[自主训练] 有3个牧场长满草，第一牧场10公亩，可供 20头牛吃50天，第二牧场15公亩，可供40头牛吃30天， 第三牧场40公亩，可供多少头牛吃24天？（每块地每公 亩的草量相同而且都是匀速生长）
例6 有3个牧场长满草，第一牧场33公亩，可供 22头牛吃54天，第二牧场28公亩，可供17头牛吃 84天，第三牧场40公亩，可供多少头牛吃24天？
解：假设1头牛1天吃1份草
22×54=1188份 平均每公顷有草量： 1188÷33=36份 第二块草量为： 17×84=1428份
平均每公顷有草量： 1428÷28=51份
50份草可供多少头牛吃10天？
（150-10×10）÷10=5头
[自主训练] 由于天气逐渐寒冷，牧场上的牧草每天以均 匀的速度减少，经测算，牧场上的草可供30头牛吃8天， 可供25头牛吃9天，那么可供21头牛吃几天？
解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份
30×8=240份……原草量-8天的减少量
25×9=225份……原草量-9天的减少量
草每天的生长量： （180-150）÷（20-10）=3份 原草量： 180-20×3=120份 或150-10×3=120份
120份
+
3份
剩下18-3=15头
3头
吃
15头牛吃120份草能吃几天？
120÷（18-3）=8天
例2 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反 而以固定速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛 吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛 吃10天？
趣味数学牛吃草问题经典PPT幻灯片.ppt
3
3、牛吃草问题三部曲
（1）先算新生草量 （2）再算原有草量 （3）最后计算问题
4
有一片牧场，已知有 27头牛，6天把草吃尽； 23头牛，9天把草吃尽。 如果有牛21头，几天能把草吃尽？
牧但草 原总来量草不坪知上道有，的 它草随的着数时量间是的永增远长不而变增的长
5
有一片牧场，已知有27头牛，6 天把草吃尽；23头牛，9天把草 吃尽。如果有牛21头，几天能把 草吃尽？
假设每分钟每个检票口进的人数为1份
4×30= 原有等待的人数+30分钟新增的人数 5×20= 原有等待的人数+20分钟新增的人数
每分钟新增的人数= （4×30-5×20）÷（30-20） = 2（份）
原有等待的人数= 4×30-30×2=60（份） 专门安排2个检票口检新增加的人
60÷（7-2）=12（分钟）
15头牛——20天 33头牛——12天 8头牛+64只羊——几天？
64只羊=16头牛，相当于求24 头牛吃几天的问题
28
例6 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反 而以固定速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛 吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛
吃10天？解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 20×5=100份……原草量-5天的减少量 15×6=90份……原草量-6天的减少量
50 ÷ 5 = 10 天
39
40
每分钟的进水量： （100-90）÷（20-15）=2
原水量： 100-20×2=60 或90-15×2=60
24
60份 + 2份
2台 60份水需要几台抽水机6天抽完？
60÷6=10（台） 共需要10+2=12（台）
3、牛吃草问题三部曲
（1）先算新生草量 （2）再算原有草量 （3）最后计算问题
4
有一片牧场，已知有 27头牛，6天把草吃尽； 23头牛，9天把草吃尽。 如果有牛21头，几天能把草吃尽？
牧但草 原总来量草不坪知上道有，的 它草随的着数时量间是的永增远长不而变增的长
5
有一片牧场，已知有27头牛，6 天把草吃尽；23头牛，9天把草 吃尽。如果有牛21头，几天能把 草吃尽？
假设每分钟每个检票口进的人数为1份
4×30= 原有等待的人数+30分钟新增的人数 5×20= 原有等待的人数+20分钟新增的人数
每分钟新增的人数= （4×30-5×20）÷（30-20） = 2（份）
原有等待的人数= 4×30-30×2=60（份） 专门安排2个检票口检新增加的人
60÷（7-2）=12（分钟）
15头牛——20天 33头牛——12天 8头牛+64只羊——几天？
64只羊=16头牛，相当于求24 头牛吃几天的问题
28
例6 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反 而以固定速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛 吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛
吃10天？解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 20×5=100份……原草量-5天的减少量 15×6=90份……原草量-6天的减少量
50 ÷ 5 = 10 天
39
40
每分钟的进水量： （100-90）÷（20-15）=2
原水量： 100-20×2=60 或90-15×2=60
24
60份 + 2份
2台 60份水需要几台抽水机6天抽完？
60÷6=10（台） 共需要10+2=12（台）
牛吃草完整ppt课件
原有草
20×5+10×5=150
10天可供养牛的头数
（150-10×10）÷10=5
答：可供5头牛吃. 10天
14
例5 有一牧场，可供21头牛吃20天，25头牛吃15
天，现有若干头牛，吃了6天后卖了4头，余下 的牛再吃2天将草吃完，问原有牛多少头？
解：设1头牛1天的吃草量为单位1，
每天长草
（21×20-25×15）÷ （20-15）=9
（28×3-12×5）÷（5-3）=12
总工作量
（12+12）×5=120
则丙库2小时搬空需要工人数
120 ÷2-12×2=36
答：还需要36名. 工人
18
例9 快，中，慢三辆车，同时从同一地点出发，沿
同一线路追赶前面的骑车人，这三辆车分别用6 小时，10小时，12小时追上骑车人，现知道快 车速度是每小时24千米，中车速度是每小时20
120 ÷（25×2-10）=3
答：检票开始后 3 分钟就没有人排队
.
13
例4 由于天气渐渐变冷，牧场上的草不但不增多，
反以固定的速度减少，已知某块草地上的草供20 头牛吃5天，可供15头牛吃6天，照这样计算可供
多少头牛吃10天？
解：设1头牛1天的吃草量为单位1，
每天减少草
（20×5-15×6）÷ （6-5）=10
解：设1头牛1天的吃草量为单位1， 1公亩每天长草
（17×84 ÷ 28-22×54 ÷ 33） ÷ （84-54） =0.5
1公亩原有草 22×54 ÷ 33-0.5×54=9 40公亩的草24天吃完，可供养牛的头数 （9×40+0.5×24×40） ÷ 24=35（头） 答： 40公亩的草可供35头牛吃24天。
5牛吃草问题ppt课件
通过建立数学模型，可以将现实问题转化为数学问题，从而利用数学 方法对其进行求解。
利用数学的概念、方法和理论
数学模型可以充分利用数学的概念、方法和理论，对实际问题进行深 入分析和研究，得出科学、准确的结论。
揭示事物的内在联系和规律
数学模型可以揭示事物的内在联系和规律，帮助人们更好地理解和把 握事物的本质和特征。
草地面积增加
在一段时间内，草地面积 可能会增加，表示草地正 在恢复。
牛吃草速度随时间变化图
初始吃草速度
01
显示问题中给定的牛初始吃草速度。
吃草速度变化
02
随着时间的推移，牛的吃草速度可能会发生变化，可能加快或
减慢。
不同牛的吃草速度比较
03
可以比较不同牛在同一时间点的吃草速度。
草地恢复速度随时间变化图
5牛吃草问题ppt课件
目录
• 问题引入 • 数学模型建立 • 图形化展示 • 数值计算与模拟 • 结果分析与讨论 • 总结与展望
01
问题引入
草地状况与牛的数量
草地面积和草的质量
不同面积和质量的草地可以养活不同 数量的牛。
草地的载畜量
一定的草地面积所能承载的牛的最大 数量。
牛的数量
牛的数量越多，每天消耗的草量也越 多。
有限差分法
将连续的时间和空间离散化，通过差分方程近似求解。
有限元法
将求解域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内选择合适的节点作为求解函数的插 值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的 线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
蒙特卡洛模拟
通过随机数（或更常见的伪随机数）来解决各种计算问题。
利用数学的概念、方法和理论
数学模型可以充分利用数学的概念、方法和理论，对实际问题进行深 入分析和研究，得出科学、准确的结论。
揭示事物的内在联系和规律
数学模型可以揭示事物的内在联系和规律，帮助人们更好地理解和把 握事物的本质和特征。
草地面积增加
在一段时间内，草地面积 可能会增加，表示草地正 在恢复。
牛吃草速度随时间变化图
初始吃草速度
01
显示问题中给定的牛初始吃草速度。
吃草速度变化
02
随着时间的推移，牛的吃草速度可能会发生变化，可能加快或
减慢。
不同牛的吃草速度比较
03
可以比较不同牛在同一时间点的吃草速度。
草地恢复速度随时间变化图
5牛吃草问题ppt课件
目录
• 问题引入 • 数学模型建立 • 图形化展示 • 数值计算与模拟 • 结果分析与讨论 • 总结与展望
01
问题引入
草地状况与牛的数量
草地面积和草的质量
不同面积和质量的草地可以养活不同 数量的牛。
草地的载畜量
一定的草地面积所能承载的牛的最大 数量。
牛的数量
牛的数量越多，每天消耗的草量也越 多。
有限差分法
将连续的时间和空间离散化，通过差分方程近似求解。
有限元法
将求解域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内选择合适的节点作为求解函数的插 值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的 线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
蒙特卡洛模拟
通过随机数（或更常见的伪随机数）来解决各种计算问题。
牛吃草问题课件
农业可持续发展规划
总结词
牛吃草问题可以为农业可持续发展规划 提供有益的启示。
VS
详细描述
通过研究牛吃草问题，我们可以了解植物 生长和动物消耗之间的平衡关系，为农业 可持续发展规划提供有益的参考，促进农 业的可持续发展。
05
牛吃草问题的挑战与展望
复杂环境下的牛吃草问题研究
总结词：深入研究 总结词：拓展研究领域
时间与空间模型
时间因素
考虑时间对草地生长和牛消耗的影响 。例如，随着时间的推移，草地上的 草量会发生变化。
空间因素
考虑不同草地之间的差异。例如，不 同的草地可能有不同的生长速度和牛 的消耗量。
问题的数学模型
建立数学模型可以帮助我们更 好地理解和解决牛吃草问题。
常用的数学模型包括线性方程 、二次方程和微分方程等。
农业生态系统是一个复杂的系统，涉及到土壤、气候、作 物等多个因素。通过牛吃草问题的思路，可以类比农业生 态系统中各个因素的相互关系和平衡。例如，在农田管理 中，合理安排种植制度、施肥时间和量可以促进作物的生 长和产量的提高，同时避免土壤退化和环境污染。
THANKS
感谢观看
微积分法
01
02
03
定义变量
设草地的草量为A，每天 草的减少量为B，牛的数 量为C。
建立微分方程
根据题目条件，可以建立 以下微分方程：dA/dt = -B × C，其中t为时间。
解微分方程
通过解微分方程可以得到 草量随时间的变化情况。
计算机模拟法
设计模拟程序
根据题目条件，设计一个 模拟程序来模拟牛吃草的 过程。
02
牛吃草问题的基本概念
草地生长模型
草地生长是一个连续 的过程，每天都有新 的草长出来。
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1公亩每天长草 （17×84 ÷ 28-22×54 ÷ 33） ÷ （84-54）=0.5
1公亩原有草 22×54 ÷ 33-0.5×54=9 40公亩的草24天吃完，可供养牛的头数 （9×40+0.5×24×40） ÷ 24=35（头） 答： 40公亩的草可供35头牛吃24天。
16
例7 自动扶梯以相同的速度往上行使,两位性急的孩
21×20-9×20=240 假设没有卖牛吃了 6+2=8 天， 则草地上的草应该增加 4×2=8（份）
原有牛数 （240+2×4+9×8） ÷8=40（头） 答：原有40头牛
15
例6 22头牛吃33公亩牧场的草，54天吃完；17头牛
吃同牧场28公亩的草，84天吃完。几头牛吃同牧场 40公亩的草，24天可吃完？ 解：设1头牛1天的吃草量为单位1，
则丙库2小时搬空需要工人数
120 ÷2-12×2=36
答：还需要36名工人
18
例9 快，中，慢三辆车，同时从同一地点出发，沿
同一线路追赶前面的骑车人，这三辆车分别用6 小时，10小时，12小时追上骑车人，现知道快 车速度是每小时24千米，中车速度是每小时20
千米，问慢车速度是多少？
解：
骑车人每小时速度
9
例题解析
10
例1 牧场上长满草，每天匀速生长，这片牧场可供4
头牛吃15天，或供8头牛吃7天。可供多少头牛
吃5天？
解：设1头牛1天的吃草量为单位1， 每天长草
（4×15-8×7）÷（15-7）=0.5 原有草
4×15-0.5×15=52.5 5天可供养牛的头数
（52.5+0.5×5）÷5=11 答：可供11头牛吃5天 11
子要从扶梯上走上去。已知男孩每分钟走20个 梯级,女孩每分钟走15个梯级,结果男孩用了5分 钟到达梯顶,女孩用了6分钟到达梯顶,问扶梯共
有多少级?
解：
扶梯每分钟上行
（20×5 -15×6）÷（6-5 ）=10（级）
所以总共有
20×5+10×5=150（级）
答：扶梯共有150级。
17
例8 甲、乙、丙三个仓库，各存放同样数量的大
原有草
20×5+10×5=150
10天可供养牛的头数
（150-10×10）÷10=5
答：可供5头牛吃10天
14
例5 有一牧场，可供21头牛吃20天，25头牛吃15
天，现有若干头牛，吃了6天后卖了4头，余下 的牛再吃2天将草吃完，问原有牛多少头？
解：设1头牛1天的吃草量为单位1， 每天长草
（21×20-25×15）÷ （20-15）=9 原有草
米，甲库用皮带输送机一台和12个工人5小时把 库房搬空，乙库用皮带输送机一台和28个工人3 小时把库房搬空，丙库用皮带输送机2台，如果
要2小时把库房搬空，同时还需要多少名工人？
解：设一个工人1小时的工作量为1，
则一台皮带输送机1小时的工作量为
（28×3-12×5）÷（5-3）=12
总工作量
（12+12）×5=120
120 ÷（25×2-10）=3 答：检票开始后 3 分钟就没有人排队
13
例4 由于天气渐渐变冷，牧场上的草不但不增多，
反以固定的速度减少，已知某块草地上的草供20 头牛吃5天，可供15头牛吃6天，照这样计算可供
多少头牛吃10天？
解：设1头牛1天的吃草量为单位1，
每天减少草
（20×5-15×6）÷ （6-5）=10
6
• 这类问题的基本数量关系是： • 1.(牛的头数×吃草较多的天数-牛头
数×吃较少的天数)÷（吃的较多的天数吃的较草少的天数)=草地每天新长草的 量。 • 2.牛的头数×吃草天数-每天新长量 ×吃草天数=草地原有的草量。
8
• 解多块草地的方法 • 多块草地的“牛吃草”问题，一般
情况下找多块草地的最小公倍数，这样 可以减少运算难度，但如果数据较大时， 我们一般把面积统一为“1”相对简单些。
（20× 10- 24 ×6 ）÷（10-6）=14（千米）
则车辆初始点距骑车人的距离
（24-14）×6=60（千米）
• 4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长 速度。 这四个公式是解决消长问题的基础。
5
• 由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的， 所以解决消长问题的重点是要想办法从变 化中找到不变量。牧场上原有的草是不变 的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速 生长，所以每天新长出的草量应该是不变 的。正是由于这个不变量，才能够导出上 面的四个基本公式。
12
例3 某火车站检票口,在检票开始前已有一些人排
队，检票开始后每分钟有10人前来排队检票， 一个检票口每分钟能让25人检票进站,如果只有 一个检票口，检票开始8分钟后就没有人排队; 如果有两个检票口，那么检票开始后多少分钟
就没有人排队?
解：
检票开始前原有人
25×8-10×8=120
则检票开始后没有人排队分钟数
例2 牧场上长满草，每天匀速生长，这片牧场可供
10头牛吃20天，或供15头牛吃10天。可供25头
牛吃几天？
解：设1头牛1天的吃草量为单位1， 每天长草
（10×20-15×10）÷（20-10）=5 原有草
10×20-5×20=100 5天可供养牛的头数 100÷（25-5）=5 答：可供25头牛吃5天
讲课人：朱群英
1
牛吃草问题又称为消长
问题或牛顿牧场 。
2
牛吃草问题的 历史起源
• 英国数学家牛顿(1642—1727)说过：“在学习科 学的时候，题目比规则还有用些”因此在他的著作 中，每当阐述理论时，总是把许多实例放在一起
• 在牛顿的《普遍的算术》一书中，有一个关于求牛 和头数的题目，人们称之为牛顿的牛吃草问题。， 是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛 吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不 同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同， 求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天 数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛 吃的天数不断地变化。
3
牛吃草问题的公式
• 解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰
•
假设定一头牛一天吃草量为“1”
•
1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多
天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较 多天数－吃的较少天数）；
4
• 2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长 速度×吃的天数；`
• 3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生 长速度）；
1公亩原有草 22×54 ÷ 33-0.5×54=9 40公亩的草24天吃完，可供养牛的头数 （9×40+0.5×24×40） ÷ 24=35（头） 答： 40公亩的草可供35头牛吃24天。
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例7 自动扶梯以相同的速度往上行使,两位性急的孩
21×20-9×20=240 假设没有卖牛吃了 6+2=8 天， 则草地上的草应该增加 4×2=8（份）
原有牛数 （240+2×4+9×8） ÷8=40（头） 答：原有40头牛
15
例6 22头牛吃33公亩牧场的草，54天吃完；17头牛
吃同牧场28公亩的草，84天吃完。几头牛吃同牧场 40公亩的草，24天可吃完？ 解：设1头牛1天的吃草量为单位1，
则丙库2小时搬空需要工人数
120 ÷2-12×2=36
答：还需要36名工人
18
例9 快，中，慢三辆车，同时从同一地点出发，沿
同一线路追赶前面的骑车人，这三辆车分别用6 小时，10小时，12小时追上骑车人，现知道快 车速度是每小时24千米，中车速度是每小时20
千米，问慢车速度是多少？
解：
骑车人每小时速度
9
例题解析
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例1 牧场上长满草，每天匀速生长，这片牧场可供4
头牛吃15天，或供8头牛吃7天。可供多少头牛
吃5天？
解：设1头牛1天的吃草量为单位1， 每天长草
（4×15-8×7）÷（15-7）=0.5 原有草
4×15-0.5×15=52.5 5天可供养牛的头数
（52.5+0.5×5）÷5=11 答：可供11头牛吃5天 11
子要从扶梯上走上去。已知男孩每分钟走20个 梯级,女孩每分钟走15个梯级,结果男孩用了5分 钟到达梯顶,女孩用了6分钟到达梯顶,问扶梯共
有多少级?
解：
扶梯每分钟上行
（20×5 -15×6）÷（6-5 ）=10（级）
所以总共有
20×5+10×5=150（级）
答：扶梯共有150级。
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例8 甲、乙、丙三个仓库，各存放同样数量的大
原有草
20×5+10×5=150
10天可供养牛的头数
（150-10×10）÷10=5
答：可供5头牛吃10天
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例5 有一牧场，可供21头牛吃20天，25头牛吃15
天，现有若干头牛，吃了6天后卖了4头，余下 的牛再吃2天将草吃完，问原有牛多少头？
解：设1头牛1天的吃草量为单位1， 每天长草
（21×20-25×15）÷ （20-15）=9 原有草
米，甲库用皮带输送机一台和12个工人5小时把 库房搬空，乙库用皮带输送机一台和28个工人3 小时把库房搬空，丙库用皮带输送机2台，如果
要2小时把库房搬空，同时还需要多少名工人？
解：设一个工人1小时的工作量为1，
则一台皮带输送机1小时的工作量为
（28×3-12×5）÷（5-3）=12
总工作量
（12+12）×5=120
120 ÷（25×2-10）=3 答：检票开始后 3 分钟就没有人排队
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例4 由于天气渐渐变冷，牧场上的草不但不增多，
反以固定的速度减少，已知某块草地上的草供20 头牛吃5天，可供15头牛吃6天，照这样计算可供
多少头牛吃10天？
解：设1头牛1天的吃草量为单位1，
每天减少草
（20×5-15×6）÷ （6-5）=10
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• 这类问题的基本数量关系是： • 1.(牛的头数×吃草较多的天数-牛头
数×吃较少的天数)÷（吃的较多的天数吃的较草少的天数)=草地每天新长草的 量。 • 2.牛的头数×吃草天数-每天新长量 ×吃草天数=草地原有的草量。
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• 解多块草地的方法 • 多块草地的“牛吃草”问题，一般
情况下找多块草地的最小公倍数，这样 可以减少运算难度，但如果数据较大时， 我们一般把面积统一为“1”相对简单些。
（20× 10- 24 ×6 ）÷（10-6）=14（千米）
则车辆初始点距骑车人的距离
（24-14）×6=60（千米）
• 4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长 速度。 这四个公式是解决消长问题的基础。
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• 由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的， 所以解决消长问题的重点是要想办法从变 化中找到不变量。牧场上原有的草是不变 的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速 生长，所以每天新长出的草量应该是不变 的。正是由于这个不变量，才能够导出上 面的四个基本公式。
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例3 某火车站检票口,在检票开始前已有一些人排
队，检票开始后每分钟有10人前来排队检票， 一个检票口每分钟能让25人检票进站,如果只有 一个检票口，检票开始8分钟后就没有人排队; 如果有两个检票口，那么检票开始后多少分钟
就没有人排队?
解：
检票开始前原有人
25×8-10×8=120
则检票开始后没有人排队分钟数
例2 牧场上长满草，每天匀速生长，这片牧场可供
10头牛吃20天，或供15头牛吃10天。可供25头
牛吃几天？
解：设1头牛1天的吃草量为单位1， 每天长草
（10×20-15×10）÷（20-10）=5 原有草
10×20-5×20=100 5天可供养牛的头数 100÷（25-5）=5 答：可供25头牛吃5天
讲课人：朱群英
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牛吃草问题又称为消长
问题或牛顿牧场 。
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牛吃草问题的 历史起源
• 英国数学家牛顿(1642—1727)说过：“在学习科 学的时候，题目比规则还有用些”因此在他的著作 中，每当阐述理论时，总是把许多实例放在一起
• 在牛顿的《普遍的算术》一书中，有一个关于求牛 和头数的题目，人们称之为牛顿的牛吃草问题。， 是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛 吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不 同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同， 求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天 数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛 吃的天数不断地变化。
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牛吃草问题的公式
• 解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰
•
假设定一头牛一天吃草量为“1”
•
1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多
天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较 多天数－吃的较少天数）；
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• 2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长 速度×吃的天数；`
• 3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生 长速度）；