_对事件的独立性概念的再认识

二、多个事件的相互独立问题
注意这两者的区别。
教材中没有定义多个事件间的独立性，但我们在解题过程中， 例题：一个袋中装有 10 个球，其中 3 个黑球，7 个白球，每次
经常会遇到多个事件的相互独立问题. 三个事件的相互独立是这 从中随意取出一球，取后放回。
样定义的：
（1）如果共取 10 次，求 10 次中恰好在某 3 次取到黑球（在其
有影响，必须进行定量的计算。这也说明了事件独立性的两种定义
一、什么是两个事件之间的相互独立
虽然等价，却是各执一端、互为补充的.事件之间是否独立，在实际
事件的独立性是事件之间的一种相互关系. 人教版高中数学 应用中，常根据问题的实际意义去判断，但有时候也需要通过计算
教材选修 2-3（2009 年 4 月第 3 版）对“两个事件相互独立”是这样 来判断。
2011 年 6 月 28 日
百花园地
对事件的独立性概念的再认识
文/周永刚
“事件的独立性”是《概率论》中一个十分重要的概念.正确把 之间具有怎样的关系呢？
握“事件的独立性”概念，是正确计算概率的前提.但高中教材中有
在这个问题中，我们无法从定性上看出这几个事件之间有没
点语焉不详，本文力图对这个概念进行比较深入的阐述。
（1）若 n 个事件 A1，A2，…，An 相互独立，则这 n 个事件两两独
立，得不出 A 与 C 独立；
立（反之不然）；
（3）不可能事件（覫）、必然事件（Ω）与任何事件都相互独立；
（2）若 n 个事件 A1，A2，…，An 相互独立，则其中的任意 k 个事
（4）两个互斥的随机事件不可能相互独立，反之亦然；
由该定义可以得出，P（A｜B）=P（A），P（B｜A）=P（B）,
件之间均相互独立,则称 A1，A2，…，An 两两独立。
∴P（AB）=P（A）P（B｜A）=P（A）P（B）。
设 A1，A2，…，An 是 n（n≥2）个事件,若其中任意 k（2≤k≤n）个
可见，这两个定义是等价的。
事件 A1，A2，…，An 之间均相互独立,即有 P（A1，A2，…，An）=P（A1）P
则称事件 A、B、C 相互独立。
好要取 3 次黑球的概率。
前面我们看到了，事件的独立性是不能传递的，但现在我们关
答Байду номын сангаас
案
：（1）P
=0.33
×0.7；（2）P
=C
3 10
×0.33
×0.77；（3）P
=0.72
×0.3
=
心的问题是，由多个事件之间的两两独立，能得出这些事件相互独 0.147。
立吗？且看下例：
件相互独立；
（5）概率乘法公式 P（AB）=P（A）P（B｜A）是恒成立的，而 P（AB） （3）若 n 个事件 A1，A2，…，An 相互独立，则将其中的任意 k 个
=P（A）P（B）则当且仅当事件 A 与 B 相互独立时才成立。
事件换成它们的对立事件，所得到的 n 个事件仍相互独立。
对于（2），我们可以从下例中获得体会：
关于两个事件的相互独立，要注意以下几点：
（A2）…P（An），则称 A1，A2，…，An 相互独立。
（1）事件 A 与 B 相互独立，则A 与 B，A 与B ，A 与B 也相互 “相互独立”是比“两两独立”更强的性质，多个事件的相互独
独立；
立有以下性质：
（2）事件的独立性不具有传递性，即由 A 与 B 独立，B 与 C 独
与否的影响，反过来也是这样。因此，在《概率论》中对“事件的独立
可见，事件 A、B、C 之间两两独立，但不相互独立。
性”是这样定性描述的：
因此，对于多个事件的情形，我们要能够区分“两两独立”和
如果事件 A 发生与否对事件 B 的概率没有影响，反之亦然，“相互独立”。
则称事件 A 与 B 相互独立。
设 A1，A2，…，An 是 n（n≥2，n∈N*）个事件,若其中任意两个事
“取到是 3 的倍数”，C 表示“取到是 5 的倍数”。试问：事件 A、B、C （作者单位 浙江省东阳市横店高级中学）
新课程学习 125
上例中的（2）、（3）涉及到了二项分布与几何分布。伯努利试
设有四张外型一样的卡片,上分别写有数字 2，3，5，30，今从中 验、二项分布和几何分布等都是建立在事件的独立性基础之上的，
任取一张观察其上数字。设事件 A 表示“取到是 2 的倍数”，B 表示 因此“，事件的独立性”概念必须深刻理解和切实把握。
定义的：
从样本点的角度看，
设 A、B 为两个事件，若 P（AB）=P（A）P（B），则称事件 A 与 B
A={2，30}，B={3，30}，C={5，30}，AB=AC=BC=ABC={30}，
相互独立。
∴P（A）=P（B）=P（C）=0.5，P（AB）=P（BC）=P（AC）=P（ABC）=0.25。
值得指出的是，在 n 次独立试验中所产生的 n 个事件 A1，A2，
甲袋中有 3 个红球和 2 个黑球，乙袋中有 2 个红球和 3 个黑 …，An 是相互独立的，因为此时其中任意一个事件发生的概率都
球。事件 A 表示“从甲袋中任取一球结果是红球”，事件 B 表示“从 不受其他事件是否发生的影响.如果在一次试验中,事件 A 发生的
设 A、B、C 为三个事件，若同时满足等式：
他 7 次取到白球）的概率；
P（AB）=P（A）P（B），P（BC）=P（B）P（C），P（AC）=P（A）P（C），
（2）如果共取 10 次，求 10 次中恰好取到 3 次黑球的概率；
P（ABC）=P（A）P（B）P（C）。
（3）如果未取到黑球就一直去下去，直到取到黑球为止，求恰
乙袋中任取一球结果是红球”，事件 C 表示“从甲袋中任取一球结 概率为 p，那么在 n 重伯努利试验中,事件 A 恰好发生在某 k 次的
果是黑球”。显然 A 与 B、B 与 C 都相互独立，但 A 与 C 不独立。
概率为
p（k 1-p）n-k，事件
A
恰好发生
k
次的概率为
Ck n
p（k 1-p）n-k.要
这是对事件独立性概念的定量描述“. 独立”体现在哪里呢？从
故有 P（ABC）=P（A）P（B），P（BC）=P（B）P（C），P（AC）=P（A）P
上述定义上很难看出来.独立，就是不依赖，事件 A 与 B 相互独立，（C）。
就是事件 A 的发生与否不依赖于事件 B，或者说不受事件 B 发生
但 P（ABC）≠P（A）P（B）P（C）。