杨世铭-陶文铨传热学B第3章

2016/4/19 21
§3.3 典型一维物体非稳态导热的分析解
1、三种几何形状物体的温度场分析解
（1）平板
λ =const
2016/4/19
a=const
h=const
22
此半块平板的数学描写：
t t t t c x x y y z z
n
Bi
, n 1,2, 的根
25
（2）圆柱 无量纲温度的分析解为
( , ) 2 Cn exp( n FO ) J 0 ( n ) 0 n 1
其中，
a r FO 2 , R R
J1 ( n ) Cn n J 02 ( n ) J12 ( n ) 2
简化后可得
dt d c
V Ah(t t )
dt cV hA(t t ) d
13


边界上的换热量全部来自物体本身 导热微分方程
2016/4/19
引入过余温度
令 t t
d cV hA d
hA 求通解 ln c cV

导热微分方程 初始条件
2 t t a 2 (0 x , 0) x t ( x,0) t0 (0 x , 0)

边界条件
2016/4/19
t ( x, ) 0 x
x0
对称性
t h( t t ) x
x
23
2016/4/19
采用分离变量法可得分析解:
( , ) 2 Cn exp( n FO ) cos( n ) 0 n 1
其中，
FO
a

2
,
x

2 sin n Cn n cos n sin n
n 为方程
2016/4/19
tan n
锅中取出一鸡肉丝，用口吹了一会，待其降至65℃时再放入口中。
鸡肉丝的 810kg / m 3、 c 3.35kJ /( kg K )、 1.1W /( m K ) 。
2016/4/19
20
3 100 2 10 /4 解：∵ Biv 0.045 0.05 1.1
hl
可以使用集中参数法
h 100 0.0737 ∵ 3 3 cl 810 3.35 10 2 10 / 4
hA 65 30 t t exp 0.5 0 t0 t cV 100 30
0.0737 ln 0.5 ln 0.5 / 0.0737 9.4s
W 2 m 2 w 1 m K 方程中指数的量纲： hA Vc J s kg Jkg 3 3 K [m ] m
物体中的温度 呈指数分布
Biv Fov
2016/4/19
t t exp( Biv Fov ) 0 t0 t
因此，这样的无量纲数又被称为特征数，或者准则数，
比如，毕渥数又称毕渥准则。以后会陆续遇到许多类似
的准则数。特征数涉及到的几何尺度称为特征长度，一 般用符号 lc 表示。 对于一个特征数，应该掌握其定义式＋物理意义， 以及定义式中各个参数的意义。
2016/4/19 12
§3.2 零维问题的分析法—集中参数法
t t0
t 第三类边界条件 ht w t f n w 若某函数 t ( x, y, z , )满足上述方程及初始、边界条 件，此函数为唯一解。
2016/4/19 9
3、第三类边界条件下Bi数对平板中温度分布的影响 条件一：物体内部温度分布均匀
引入变量－－过余温度
令
以上几式化为：
( x , ) t( x , ) t
2 a 2 x ( 0 x , 0) ( 0 x , 0) x0 x
24
( x,0) 0
( x, ) 0 x
( x, ) h ( , ) x
sin( n ) n cos( n ) Cn 2 n sin( n ) cos( n )
n 为方程
2016/4/19
1 n cos( n ) Bi , n 1,2, 的根
27
2、非稳态导热正规状况阶段分析解的简化
（1）非稳态导热正规阶段的物理概念与数学含义 三种几何形状分析解均有 当 Bi 一定，n↑,
2016/4/19 2
5.圆筒壁导热（单层和多层）
2l (t1 t 2 ) t1 t 2 ln r r 2 1 R R ln r2 r1 2l
2l (t1 t4 ) ln d 2 d1 / 1 ln d 3 d 2 / 2 ln d 4 d 3 / 3
非稳态项
热力学能增量
2016/4/19
扩散项
通过界面的导热的能量增量
内热源项
源项
1
3.边界条件 第一类边界条件：给定壁面温度 t w 第二类边界条件：给定壁面热流密度 qw 第三类边界条件：对流换热条件 h 4.无内热源平壁导热（单层和多层）
tf
t w1 t w( n 1) (t1 t 2 ) （多层） q （单层） q n i i 1 i
17
（3）毕渥数与傅立叶数的物理意义
lc 固体内部单位面积导热热阻 Bi 固体表面单位面积对流换热热阻 1h hlc
无量纲 热阻
换热时间 Fo 2 lc a 边界热扰动扩散到lc2 面积上所需要的时间

无量纲 时间
V lc A
特征 长度
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部， 因而，物体各点温度就越接近周围介质的温度。
（lumped parameter method) 特点：
1 h
物体内部热阻可忽略， 温度与空间坐标无关
1、集中参数法温度场的分析解
t t t t c x x y y z z
↑n 迅速，
n f ( Bi )
2
则分析解中时间影响部分 exp( n Fo) 随Fo增加而迅速衰减。
Fo>0.2，只保留第1项与完整级数误差小于1% 相当于Cn=0（n≥2） 则三个分析解无穷级数的第1项即为正规状况阶段温度场的解。
t ( , ) t f ( Fo, Bi , ) 0 t0 t




Bi 0
0 Bi
Biv 准则数对无限大平壁温度分布的影响
2016/4/19 11
4、 无量纲数的简要介绍
基本思想：当所研究的问题非常复杂，涉及到的参 数很多，为了减少问题所涉及的参数，于是人们将 这样一些参数组合起来，使之能表征一类物理现象， 或物理过程的主要特征，并且没有量纲。
第二章主要复习内容
1.导热基本定律（傅立叶定律）
t t A n 或 q n n n

2.直角坐标系导热微分方程
t t t t c x x y y z z
dt hA hA hA cV cV (t0 t )( ) exp( ) hA 0 exp( ) d cV cV cV
※0~ 时间内传给流体的总热量：
Q d
0

hA 0 hA 0 exp( )d cV

hA 0 cV 1 exp 2016/4/19 cV
初始条件 : 0，t t0， 0 t0 t
零维非稳态导热 温度场分析解
2016/4/19
t t hA exp 0 t0 t cV
14
2、导热量计算式、时间常数与傅立叶数 （1）导热量计算式
※瞬间换热量：
2016/4/19
4
第三章 非稳态热传导
2016/4/19
5
主要内容：
非稳态导热过程中温度场的变化规律及换热量的分 析求解方法。包括： 1. 零维非稳态导热的集中参数分析法； 2. 一维非稳态导热的分析解法； 3. 半无限大物体的非稳态导热。
2016/4/19
6
§3.1 非稳态导热的基本概念
1、非稳态导热过程的类型及特点 类型：
15
（2） 时间常数 cV 令 c hA
e 0
0 0

c
与几何参数、物理性 质、换热条件有关
※当 时
即t t
※当 c 时
exp( 1) 0.368 0
2016/4/19
16
hA hV A2 hV A a ※ 2 cV A cV V A2

非正规状况阶段（起始阶段） 正规状况阶段 新的稳态
8
2、导热微分方程解的唯一性定律
t t t t c x x y y z z
初始条件
通常
t ( x, y, z,0) f ( x, y, z )
6.等截面直肋稳态导热
chm( x H ) 0 ch( mH )
2016/4/19
x 0
hP 0 th( mH ) Ac 0 mth( mH ) m
3
实际散热量 7. f 假设整个肋表面处于肋基温度下的散热量
8. 肋面总效率
0
Ar f A f Ar A f
特性长度
物体内部导热热阻：
1 表面对流换热热阻： h
特征数 （准则数）
h 毕渥数： Biv 1
2016/4/19
h
10
0
3
2
1
t t0 0
t t0 0
1 0
t t0
1 0
2 1 2 1
2
t


Bi
（1）瞬态非稳态导热
（2）周期性非稳态导热 （1）非正规状况阶段
温度分布主要受初始温度分布控制
特点：
（2）正规状况阶段
2016/4/19
物体内初始温度分布消失，温度分布主要取决于边 界条件及物性，各点的温度变化具有一定的规律 7
温度分布

t
1
4 3
2
1
t
0
0
※导热过程的阶段
2016/4/19
2016/4/19
J1 ( n ) n 为方程 n J ( ) Bi , n 1,2, 的根 0 n
26
（3）球
无量纲温度的分析解为
( , ) 1 2 Cn ewenku.baidu.comp( n FO ) sin( n ) 0 n n 1
其中，
a r FO 2 , R R
2016/4/19 18
3、集中参数法的适用范围及应用举例
厚 2 的平板 lc
V 由 lc 可知 A
Bi 0.1 Bi 0.05 Bi 0.033
圆柱 球
R lc 2 R lc 3
最大最小过余温 度之差小于5%
2016/4/19
19
生活例题：
厨师吹肉丝
一厨师在炒鸡肉丝时要品尝一下咸淡，于是他从100℃的热炒 试估算厨师需要吹多长时间？出锅时鸡肉丝可视为平均直径为 2mm的圆条，厨师口中吹出的气流温度为30℃，其与鸡肉丝之间 的表面传热系数为100W/(m2· K)。