常微分方程简明教程-王玉文等编-习题解答-(1)
常微分方程简明教程

线性微分方程:系统阐述线性微分方程的理论和解法,包括常系数线性方程和 变系数线性方程等。
定性分析:介绍常微分方程的定性分析方法,如相图、稳定性理论等。
应用:通过一些实际问题,展示常微分方程在各个领域中的应用,如物理、工 程、生物等。
习题:提供大量的习题供读者练习,以巩固所学知识。
本书的内容安排既全面又深入,既注重理论又强调应用。通过从基础知识到高 阶方程、从线性到非线性的逐步深入,使读者能够逐步掌握常微分方程的核心 内容和解题方法。同时,本书还注重理论与实践相结合,通过丰富的应用案例, 让读者更好地理解常微分方程在实际问题中的应用。
本书的目录结构清晰明了,主要分为以下几个部分: 引言:简要介绍常微分方程的研究对象、背景和意义,激发读者的学习兴趣。
基础知识:回顾微积分和线性代数等必要的预备知识,为后续的学习打下坚实 的基础。
一阶微分方程:详细介绍一阶微分方程的各种解法,如分离变量法、常数变易 法、积分因子法等。
高阶微分方程:探讨高阶微分方程的解法,包括消元法、降阶法等,并介绍一 些特殊类型的高阶方程。
常微分方程简明教程
读书笔记
01 思维导图
03 精彩摘录 05 目录分析
目录
02 内容摘要 04 阅读感受 06 作者简介
思维导图
本书关键字分析思维导图
介绍
理论
教程
解法
知识
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高阶
简明
常微分方 程
求解
方程
实际应用
常微分方 程
线性方程
包括
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基本
方法
技能
内容摘要
内容摘要
《常微分方程简明教程》是一本关于常微分方程理论的入门教材,它旨在为学生提供清晰、简洁、 易于理解的理论知识,并引导学生掌握求解常微分方程的基本技能。本书内容涵盖了常微分方程 的基本概念、一阶方程、高阶方程、线性方程、非线性方程以及数值解法等多个方面。 本书介绍了常微分方程的基本概念,包括微分方程的定义、阶数、解的概念等。在此基础上,进 一步介绍了一阶方程的求解方法,包括分离变量法、变量代换法、积分因子法等。同时,还详细 讲解了高阶方程的求解方法,如幂级数解法、常数变易法等。 接着,本书重点介绍了线性方程的求解方法,包括一阶线性方程、高阶线性方程以及线性方程组 等。在这一部分,详细介绍了线性方程的性质、通解与特解的概念、线性方程组的解法等。本书 还介绍了非线性方程的求解方法,包括一些常用的近似解法,如泰勒级数解法、摄动法等。
《常微分方程》东师大第二版习题答案

dy y y = 2( ) − ( ) 2 dx x x y du 令 u = ,有 u + x = 2u − u 2 x dx
积分,得 ln
整理为 (
1 1 dx − )du = u u −1 x
(u ≠ 0,1)
u = ln c1 x u −1
即u =
c1 x c1 x − 1
代回变量,得通解 x( y − x) = cy, (4) xy ′ − y = x tan
6
积分,得
1+ ω = cξ 4 (1 − ω ) 5
2 2 5 2 2
代回原变量,得原方程的通解为 ( x − y − 1) = c( x + y − 3)
4 1.4 习 题 1.
1 解下列方程. (1)
dy + 2 xy = 4 x dx
2 dy ̃ = Ce − x . + 2 xy = 0 的通解为 y dx
−2
− x = −e − 2 e x y 为所求的解。 y
4.求解方程 x 1 − y dx + y 1 − x dy = 0 解: x = ±1 ( −1 ≤ y ≤ 1), y = ±1 ( −1 ≤ x ≤ 1) 为特解, 当 x ≠ ±1, y ≠ ±1 时,
2
2
x
1− x
2
dx +
y
1− y2
ln sin y cos x = c1 ,
积分,得 ln sin y = − ln cos x + c1 , 即 sin y cos x = ± e
c1
= c, c ≠ 0
2.求下列方程满足给定初值条件的解: (1)
dy = y ( y − 1), y (0) = 1 dx y = 1 为特解,当 y ≠ 0, y −1 = x + c1 , y y ≠ 1 时, (
常微分方程第三版习题答案

常微分方程第三版习题答案常微分方程是数学中的一个重要分支,它研究的是描述自然界中变化规律的方程。
在学习常微分方程的过程中,习题是非常重要的一部分,通过解习题可以加深对理论知识的理解和应用能力的培养。
本文将为大家提供《常微分方程第三版》习题的部分答案,希望能对大家的学习有所帮助。
1. 习题一1.1 解:首先,我们根据题意列出方程:$\frac{dy}{dt} = 2y + t^2$这是一个一阶线性常微分方程,我们可以使用常数变易法来求解。
令$y = u(t)e^{2t}$,则$\frac{dy}{dt} = \frac{du}{dt}e^{2t} + 2ue^{2t}$将上述结果代入原方程,得到:$\frac{du}{dt}e^{2t} + 2ue^{2t} = 2(u(t)e^{2t}) + t^2$化简得到:$\frac{du}{dt}e^{2t} = t^2$两边同时除以$e^{2t}$,得到:$\frac{du}{dt} = t^2e^{-2t}$对上式两边同时积分,得到:$u = -\frac{1}{4}t^2e^{-2t} + C$将$u$代入$y = u(t)e^{2t}$,得到最终的解:$y = (-\frac{1}{4}t^2e^{-2t} + C)e^{2t}$1.2 解:首先,我们根据题意列出方程:$\frac{dy}{dt} = \frac{t}{y}$这是一个一阶可分离变量的常微分方程,我们可以通过分离变量来求解。
将方程变形,得到:$ydy = tdt$对上式两边同时积分,得到:$\frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{2}t^2 + C$解得:$y^2 = t^2 + C$由于题目中给出了初始条件$y(0) = 1$,将初始条件代入上式,得到:$1 = 0 + C$解得:$C = 1$将$C$代入$y^2 = t^2 + C$,得到最终的解:$y^2 = t^2 + 1$2. 习题二2.1 解:首先,我们根据题意列出方程:$\frac{dy}{dt} = 2ty + t^2$这是一个一阶线性常微分方程,我们可以使用常数变易法来求解。
常微分方程课后习题答案

1 dy y
2xdx, 两边同时积分得:ln y
x2 c,即y
e c x2 把x
0, y
1代入得
e c 1,故它的特解为y
x
2
。
y 2. 2 dx (x 1)dy 0, 并求满足初始条件:x=0,y=1 的特解.
解:对原式进行变量分离得:
1 dx 1 dy,当y 0时,两边同时积分得;ln x 1 1 c,即y 1
解: dy ( y3 )2 2x2 dy3 3[(y3 )2 2x2 ],,令y3 u,则原方程化为
dx y 2 (2xy3 x2 dx
解: 原方程为:(x-2y+1)dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0
dxy-d(y 2 -y)-dx 2 +x=c
xy-y 2 +y-x 2 -x=c
14: dy = x y 5 dx x y 2
解:原方程为:(x-y-2)dy=(x-y+5)dx
1 du - 1 =u 2 +3 4 dx 4 du =4 u 2 +13 dx u= 3 tg(6x+c)-1
2 tg(6x+c)= 2 (x+4y+1).
3
16:证明方程 x dy =f(xy),经变换 xy=u 可化为变量分离方程,并由此求下列方程: y dx
1) y(1+x 2 y 2 )dx=xdy
1 u2
x
arcsin y =sgnx ln|x|+c x
7. tgydx-ctgxdy=0
最新常微分方程(第三版)答案

常微分方程(第三版)答案常微分方程习题答案2.11.«Skip Record If...»,并求满足初始条件:x=0,y=1的特解.解:对原式进行变量分离得«Skip Record If...»«Skip Record If...»并求满足初始条件:x=0,y=1的特解. 解:对原式进行变量分离得:«Skip Record If...»3 «Skip Record If...»解:原式可化为:«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»12.«Skip Record If...»解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»15.«Skip Record If...»«Skip Record If...»16.«Skip Record If...»解:«Skip Record If...»«Skip Record If...»,这是齐次方程,令«Skip Record If...»17. «Skip Record If...»解:原方程化为«Skip Record If...»令«Skip Record If...»方程组«Skip Record If...»«Skip Record If...»则有«Skip Record If...»令«Skip Record If...»当«Skip Record If...»当«Skip Record If...»另外«Skip Record If...»«Skip Record If...»19. 已知f(x)«Skip Record If...».解:设f(x)=y, 则原方程化为«Skip Record If...»两边求导得«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»20.求具有性质 x(t+s)=«Skip Record If...»的函数x(t),已知x’(0)存在。
一阶常微分方程习题(一)word精品文档5页

一阶常微分方程习题(一)1.dxdy =2xy,并满足初始条件:x=0,y=1的特解。
解:ydy =2xdx 两边积分有:ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解,c=0时,y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1特解为y= e2x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件:x=0,y=1的特解。
解:y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e特解:y=|)1(|ln 1+x c 3.dx dy =yx xy y 321++ 解:原方程为:dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31xx +dx 两边积分:x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解:原方程为: y y -1dy=-xx 1+dx 两边积分:ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5.(y+x )dy+(x-y)dx=0解:原方程为:dx dy =-yx y x +- 令xy =u 则dx dy =u+x dx du 代入有: -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg2x y . 6. x dxdy -y+22y x -=0 解:原方程为:dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令xy =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x 1dx arcsin xy =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为:tgy dy =ctgx dx 两边积分:ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xc cos 另外y=0也是原方程的解,而c=0时,y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +ye xy 32+=0 解:原方程为:dx dy =ye y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0解:原方程为:dx dy =x y ln xy 令xy =u ,则dx dy =u+ x dx duu+ x dxdu =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnx y =cy. 10. dxdy =e y x - 解:原方程为:dx dy =e x e y - e y =ce x 11 dxdy =(x+y)2 解:令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dxdu -1=u 2 211u+du=dx arctgu=x+carctg(x+y)=x+c 12. dx dy =2)(1y x + 解:令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dx du -1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13. dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为:(x-2y+1)dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c 14: dx dy =25--+-y x y x 解:原方程为:(x-y-2)dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c.15:dxdy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解:原方程为:dxdy =(x+4y )2+3 令x+4y=u 则dx dy =41dx du -41 41dx du -41=u 2+3 dxdu =4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1). 16:证明方程y x dxdy =f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程,并由此求下列方程: 1) y(1+x 2y 2)dx=xdy2) y x dx dy =2222x -2 y x 2y + 证明: 令xy=u,则xdx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2xu ,有: u x dx du =f(u)+1 )1)((1+u f u du=x1dx 所以原方程可化为变量分离方程。
常微分方程第三版课后习题答案(1)

即
是满足方程(2 . 3 )
所以,命题成立 。 (2 ) 由题意得: (3 ) (4 ) 1 )先证 于是 是(2 . 2 8 )的一个解 。 得
故
是(2 . 2 8 )的一个解 。 的形式
2 )现证方程(4 )的任一解都可写成 设 是( 2 . 2 8 ) 的一个解
1 5
则 于是 (4 ’ )(4 )得
. 其中 . 于是方程可化为
即方程为一阶线性方程. 2 0 . 设函数 f ( u ) ,g ( u ) 连续、可微且 f ( u )g ( u ) , \ ,试证方程 y f ( x y ) d x + x g ( x y ) d y = 0 有积分因子 u = ( x y [ f ( x y ) g ( x y ) ] ) 证:在方程 y f ( x y ) d x + x g ( x y ) d y = 0两边同乘以 u得: u y f ( x y ) d x + u x g ( x y ) d y = 0 则 = u f + u y + y f = + y f
=
1 8
= =
习题 2 . 3 1 、验证下列方程是恰当方程,并求出方程的解 。 1 . 解: 则 所以此方程是恰当方程 。 凑微分, 得 : 2 . 解: 则 . , . , = 1.
所以此方程为恰当方程 。 凑微分, 得 3 . 解:
1 9
则
.
因此此方程是恰当方程 。 (1 ) (2 ) 对(1 )做 的积分,则 = 对(3 )做 的积分,则 = = 则 (3 )
解:原方程可化为:
是原方程的解.
5 .
+
= = ( )
解:原方程可化为:
常微分方程习题及答案.

常微分方程习题及答案.第十二章 常微分方程(A)一、是非题1.任意微分方程都有通解。
( )2.微分方程的通解中包含了它所有的解。
( )3.函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。
( )4.函数x e x y ⋅=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。
( )5.微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y +=2ln 21 (C 为任意常数)。
( ) 6.y y sin ='是一阶线性微分方程。
( )7.xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。
( )8.052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。
( )9.221xy y x dxdy +++=是可分离变量的微分方程。
( ) 二、填空题1.在横线上填上方程的名称①()0ln 3=-⋅-xdy xdx y 是 。
②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。
③xy y dx dy x ln ⋅=是 。
④x x y y x sin 2+='是 。
⑤02=-'+''y y y 是 。
2.x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。
3.x e y 2-=''的通解是 。
4.x x y cos 2sin -=''的通解是 。
5.124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。
6.微分方程()06='-''⋅y y y 是 阶微分方程。
7.xy 1=所满足的微分方程是 。
8.x y y 2='的通解为 。
9.0=+xdy y dx 的通解为 。
10.()25112+=+-x x y dx dy ,其对应的齐次方程的通解为 。
第七章常微分方程练习题(含答案)

第7章 常微分方程一、单项选择题1.微分方程3245(''')3('')(')0y y y x -++=阶数是( b )A.4阶 B .3阶 C .2阶 D .1阶2.微分方程222y x dxdy x +=是( b ) A.一阶可分离变量方程 B.一阶齐次方程 C.一阶非齐次线性方程 D.一阶齐次线性方程3.下列方程中,是一阶线性微分方程的是( c )A.0'2)'(2=+-x yy y xB.0'2=-+x yy xyC.0'2=+y x xyD.0)()67(=++-dy y x dx y x4.方程x y xy =-'满足初始条件11==x y 的特解是( a )A.x x x y +=lnB.Cx x x y +=lnC.x x x y +=ln 2D.Cx x x y +=ln 25.微分方程y y x 2='的通解为( c )A .2x y =B . c x y +=2C . 2cx y =D .0=y6.微分方程y y x ='满足1)1(=y 的特解为 ( a )A.x y =B. c x y +=C.cx y =D.0=y8.微分方程05))(sin(2''=+-+x y y xy y 是( a )A 一阶微分方程B 二阶微分方程C 可分离变量的微分方程D 一阶线性微分方程9.微分方程2y xy '=的通解为( c )A .2x y e C =+B . x y Ce =C . 2x y Ce =D .22x y Ce =二、填空题1.微分方程34()"30y y y y '++=的阶数为__2____;2.微分方程0=+y dxdy 的通解是x y ce -=; 3.微分方程02=+'xy y 的通解是2x y ce -=;4.微分方程x y y e +'=的通解是()10,0x ye C e C ++=<; 5. 一阶线性微分方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()()P x dx P x dx P x dx y Ce e Q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰; 6. n 阶微分方程的通解含有__n __个独立的任意常数。
国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务1和任务2试题及答案

国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务1和任务2试题及答案国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务1和任务2试题及答案形考任务1题目1本课程的教学内容共有五章,其中第三章的名称是().选择一项:A.一阶线性微分方程组B.定性和稳定性理论简介C.初等积分法D.基本定理题目2本课程安排了6次形成性考核任务,第2次形成性考核作业的名称是().选择一项:A.第一章至第四章的单项选择题B.第二章基本定理的形成性考核书面作业C.初等积分法中的方程可积类型的判断D.第一章初等积分法的形成性考核书面作业题目3网络课程主页的左侧第3个栏目名称是:().选择一项:A.课程公告B.自主学习C.课程信息D.系统学习题目4网络课程的“系统学习”栏目中第一章初等积分法的第4个知识点的名称是().选择一项:A.一阶隐式微分方程B.分离变量法C.全微分方程与积分因子D.常数变易法题目5网络课程的“视频课堂”栏目中老师讲课的电视课共有()讲.选择一项:A.18B.20C.19D.17题目6网络课程主页的左侧“考试复习”版块中第二个栏目名称是:().选择一项:A.考核说明B.复习指导C.模拟测试D.各章练习汇总题目7请您按照课程的学习目标、学习要求和学习方法设计自己的学习计划,并在下列文本框中提交,字数要求在100—1000字.答:常微分方程是研究自然现象,物理工程和工程技术的强有力工具,熟练掌握常微分方程的一些基本解法是学习常微分方程的主要任务,凡包含自变量,未知函数和未知函数的导数的方程叫做微分方程。
满足微分方程的函数叫做微分方程的解,含有独立的任意常数的解称为微分方程的通解。
确定通解中任意常数后所得的解称为该方程的特解。
一阶微分方程的初等解法中把微分方程的求解问题化为了积分问题,这类初等解法是,与我们生活中的实际问题密切相关的值得我们好好探讨。
在高阶微分方程中我们学习的线性微分方程,作为研究线性微分方程的基础,它在物理力学和工程技术,自然科学中时存在广泛运用的,对于一般的线性微分方程,我们又学习了常系数线性微分变量的方程,其中涉及到复值与复值函数问题,相对来说是比较复杂难懂的。
常微分方程自学练习题22页word

常微分方程自学习题及答案一 填空题:1 一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线.2 二阶线性齐次微分方程的两个解 y 1(x);y 2(x)为方程的基本解组充分必要条件是________.3 方程0'2''=+-y y y 的基本解组是_________.4 一个不可延展解的存在区间一定是___________区间.5 方程21y dxdy-=的常数解是________. 6 方程0')('')(==+-x q x t p x t 一个非零解为 x 1(t) ,经过变换_______7 若4(t)是线性方程组X t A X )('=的基解矩阵, 则此方程组的任一解4(t)=___________. 8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍,则此曲线方程为________. 9 满足_____________条件的解,称为微分方程的特解.10 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_________. 11 一阶线性方程)()('x q y x p y =+有积分因子(=μ ). 12 求解方程y x dxdy/-=的解是( ). 13已知(0)()3222=+++dy x y x dx y x axy 为恰当方程,则a =____________.14 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0(22y y x dx dy ,1:≤x R ,1≤y 由存在唯一性定理其解的存在区间是( ).15方程0652=+-⎪⎭⎫⎝⎛y dx dy dx dy 的通解是( ).16方程534y x y dx dy =++⎪⎭⎫⎝⎛的阶数为_______________.17若向量函数)()();();(321x x x x n Y Y Y Y Λ在区间D 上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式w (x)=____________.18若P(X)是方程组Y =)(x A dxdy的基本解方阵则该方程组的通解可表示为_________. 19、一般而言,弦振动方程有三类边界条件,分别为:第一类边界条件u(0,t)=g 1(t), ;第二类边界条件)(),0(t u t xu =∂∂, ;第三类边界条件F )(),0(),0(0t u t u t x u k =-∂∂,T )(),(),(1t v t L u t L xuk =-∂∂,其中k 0,k 1,T 都是大于零的常数,u(t),v(t)为给定的函数。
常微分方程----第一章-绪论

2 )如果微分方程中未知数依赖于两个或更多的自 变量,称为偏微分方程。例如:
v v v, t s
2u 2u 2u 0
x2 y2 z2
注:我们不特别声明,就称常微分方程为微分方程或方程。
方程的阶数:一个微分方程中,未知函数最高阶导 数的阶数,称为方程的阶数。
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例3 R-L-C电路问题。 如图所示,R-L-C电路是由电阻R、电感 L、电容C和电源E串联组成的电路。其中, R、L、C常数,电源电动势是时间t的已知 函数:E=e(t)。试建立当开关K合上后电流 I(t)应满足的微分方程。
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例4 单摆运动问题 单摆是一根长为l的线段的上端固定而
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三、微分方程的研究方法
研究微分方程的一般五种方法
1、利用初等函数或初等函数的积分形式来导出微分方程的通解, 常微分方程的解包括通解和特解。能用初等积分求通解的是非常少
的,因此,人们转而研究特解的存在性问题。
2、利用数学分析或非线性分析理论来研究微分方程解的存在性、
延展性、解对初值的连续性和可微性问题。
x ky 0,
x x2 sin t,
v v v, t s
2u 2u 2u x2 y2 z2 0
1 )如果微分方程中未知数只依赖于一个自变量,
称为常微分方程。例如:
x ky 0,
x x2 sin t,
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例:y ekx 是 y ky 0 在 (,) 上的解。
y tan( x) 是
x' 1 x2
在 ( , ) 上的解。
精品课件-常微分方程(王素云)-第2章

分曲线的分布情况.下面图 2.1 中所画的是当 c y y1 和 y1 y d 就
有 g( y) 0 ,而积分
y1 d 当 c y0 g()
y0
y1 和 y1 y0
d 时都发散的情
形.图 2.2 所画的是当 c y y1 和 y1 y d 就有 g( y) 0 ,而积分
其中,α、β是待定常数,代入方程(2.20),得
d f ( a b a b c )
d
a1 b1 a1 b1 c1 (2.21)
第2章 初等积分法 为使方程(2.21)是齐次的,自然应选α、β使
a b c 0
a1 b1 c1 0
因为Δ≠0,所以这样的α、β可以找到.于是方程(2.21)变成
d f ( a b )
d
a1 b1
这便是一个齐次方程.
第2章 初等积分法
第二种情况:Δ=0,亦即
a1 b1
ab
这时方程(2.20)的形式变为
作未知函数的变换
d y f ( ax by c )
d x (ax by) c1
z ax by
R : a x b, c y d
内的任意一点.为了求方程(2.1)所满足的初值条件y(x0)=y0的 解,可按
y0 G 1 (H (x0 ) C)
以确定常数C,即
C G( y0 ) H (x0 )
代入式(2.5)便得
y G 1 (H (x) G( y0 ) H (x0 ))
(2.6)
g(u) u
x
( y)
x Ce x
(2.15)
若 g(u) u 0 ,即 f (x, y) y ,则方程(2.13)的形状为 d y y ,这已
x
常微分方程简明教程王玉文等编习题解答(1)

1.4习题答案1. (1) 12150, (2)2.52.2(1) , (2) , (3) .0,200P P = =0200P <<200P >3.(1) , (2) , (3) .0,50,200P P P = = =50200P <<050,200P P << >4.解: 因为当时, 将保持不变; 当时, 将增加; 当时, 0dy dt =()y t 0dy dt >()y t 0dy dt <()y t 将减少. 由知, 3220dyy y y dt=--(1) 当, 即时, 将保持不变.32200y y y --=0,4,5y y y = =-=()y t (2) 当, 即 或 时, 将增加.32200y y y -->40y -<<5y >()y t (3) 当, 即 或 时, 将减少.32200y y y --<4y <-05y <<()y t 5. 7071.6.解: (1) 设 为在时刻的放射性同位素质量. 则模型为, 为比例系()N t t dNkN dt=-0k >数, 方程的解为 , 由 时, , 得,于是()ktN t ce-=0t =(0)50N =(0)50N c ==, 又因为 时, , 得 ,()50kt N t e -=2t =(2)50(110%)45N =⨯-=24550k e -=, 因此 .110ln 0.05329k =≈0.053()50t N t e -=(2) 当 时, 4t =0.0534(4)5040.5N e-⨯==(3) 质量减半时 , 得, .()25N t =10.053ln 2t -=13t ≈7. (1), (2) , (3) 一样.ln 20.000125730≈ln 20.866438≈8.(1) 1065, (2) 17669, (3) 32600, (4) 1689. 解: (1).(1)10dS Sk S dt N =-- (2) .1(13dS S k S S dt N =--(3) , 其中 是捕获量与总量平方根的比例系数.(1dS Sk S dt N=--l 10.(1) 趋向于2000, (2) 鱼的数量递减趋于0.11..2()23y t t =+12..()ln ,0g t t t t =- >13.(1) 为任意常数.22,t y ce c = (2) 为任意常数.21,2ty ce c =-(3) 为任意常数.ln(),y t c c =+ (4) 为任意常数.22arctan ,y t c c = + (5) 为任意常数, 此外也是解.,1ttce y c ce = -1y =-(6) 为任意常数.31231,t t y cec -=- (7) 为任意常数, 此外也是解.2ln ||,2t y y e c c +=+ 0y =(8) 为任意常数.2221,1ct y c t =- +(9) 为任意常数, 此外也是解.sin(ln ),y t t c c =-+ 22y t =(10) 为任意常数.ln 1,ycy c t+= 14.(1) .21(111)2t y e =-(2) .0y =(3) .2216ln |1|y t =--(4) .2tan()24t y π=+15.解: 设, 则可导且, 这样有, 0()()tF t f s ds =⎰()F t ()()F t f t '=1,dFFFdF dt dt= =得 , 又, 得. 从而 2()2,()F t t c F t =+ =(0)0F =0c =()F t =进而 ()()f t F t '==16.解: 首先令 , 由已知可得 ,0s =()(0)()1()(0)y t y y t y t y +=- 化简有, 知 . 由函数的导数定义2(0)(1())0y y t +=(0)0y =00202002()()()lim()()()1()()lim()(1())lim(1()())()1()lim lim1()()(0)(1())s s s s s y t s y t y t sy t y s y t y t y s sy s y t s y t y s y s y t s y t y s y y t →→→→→+-'=+-- =+ =-+ = -' = + 变形为, 积分得 , 由, 知2(0)1()dyy dt y t '=+arctan ()(0)y t y t c ' = +(0)0y = , 所以满足条件的函数为 0c =()tan (0))y t y t '= (17..(0)y ty e'=18.(1) 为任意常数.21,3tty ce ec -=- (2) 为任意常数.23,tt y cee c --=+ (3) 为任意常数.21(cos 2sin 2),4ty ce t t c =-+ (4) .2612cos 2sin 2555t y e t t =-+(5) .31523cos 2sin 2131313t y e t t -=-+(6) .2235t ty e te =+(7) .(1)ty t e =+19.(1) 为任意常数.sin sin 1,tx cet c -=+- (2) 为任意常数.122,xy cx e x c =+ (3) 为任意常数.241(1)(1),2y c t t c =+++ (4) 为任意常数.3,4c t x c t =+ 20.直接代入方程验证即可.21..3,1,1a b c = = =22.(1) 为任意常数.2421111,6224tt x cee t t c -=++++ (2) 为任意常数.432133341sin cos ,416321281717ty ce t t t t t c -=+-+-+- (3) 为任意常数.334132cos 2sin 2,61313tt t y ce e e t t c --=+-++ (4) 为任意常数.cos 2sin 2,t ty ce te t t c --=+-+ 23.(1) 为任意常数.361,3y ct t c =+ (2) 为任意常数.2(4),t y c t ec -=+ (3) 为任意常数.22(1),ty ct t t e c =+- (4) 为任意常数.cos cos cos 4,tt t y cee e dt c --=+ ⎰(5) 为任意常数, 此外也是解.11(4cos ),tty c e t dt e c -=+ ⎰1y =(6) 为任意常数.()y c teec -=+ ⎰注: 上面的不定积分在这里代表某一个原函数.24.在附近的所有解是递减的, 对的解, 当不可能趋于.3y =(0)3y <t →+∞+∞25.(1) 取,如图1-22: (2) 取, 如图1-23.()(2)(2)f t t t t =-+()(2)(3)(2)f y y y y =--+图1-22图1-2327., 在的直线上, 斜率场的斜率标记为水平的; 我们并不能得到关于初始(,1)0f t =1y =条件的特解的有用信息.(0)0y ≠28.(1) 设 t 时刻湖中盐酸含量为千克, 则可释得Q 60,4000(0)0,dQQ dt Q ⎧=- ⎪⎨⎪=⎩.4000()240000(1)t Q t e-=-(2) 213139.(3) 最终趋向于240000千克.29.(1) 可解得100060,400000020(0)0,dQQ dt t Q ⎧=-⎪+⎨⎪=⎩.5150140000001()(400000020)17(400000020)17Q t t t =-+++(2) 218010.30.设C 处电压为, 则有, 因此 .()v t ,(0)dv vv E dt RC=- =()tRC v t Ee -=31.(1) .12345,8,12.5,19.25y y y y = = = =(2) ,123450.39,0.1004,0.3776,0.9891, 1.5934y y y y y = = =- =-=-.6789102.0456, 2.3287, 2.5241, 2.6899, 2.8428y y y y y = =- =- =-=-(3) .123454,1y y y y y = = ===-(4) , 123451.5, 3.375, 2.5547, 3.3462, 2.5939y y y y y = = = ==6789103.3236, 2.6240, 3.3017, 2.6528, 3.2869y y y y y = = = ==32.(1) , (2) , (3) , (4) .()2y t <1()3y t <<2()4t y t y -<<+22()y t t -<<33. 解: 由方程的右端项为 仅为 的函数在全平面上连续可微,()(2)(5)f y y y y =--y 从而由存在唯一性定理, 给定初始条件的解是存在并且是唯一的. 首先由知方程有三个平衡解.()(2)(5)f y y y y =--()0,()2,()5y t y t y t = = =(1) 初始条件为 , 初值位于的上方, 由唯一性, 满足这个初始(0)6y =()5y t =条件的解一定大于 , 且 , 知这个解递增, 并1()y t 51111(2)(5)0dy y y y dt=-->且随着的递增,也递增并且越来越大, 知在增加时, 在有限时间1()y t 1dy dtt 1()y t 内爆破,趋向于 . 当 减少时, 递减, 并且随着的递减趋于,+∞t 1()y t 1()y t 51dy dt也递减趋向于0, 递减越来越来越缓慢, 知 , .t →-∞1()5y t →(2) 初始条件为 , 而平衡解满足这一初始条件, 由唯一性, 满(0)5y =()5y t =足这个初始条件的解就是平衡解.()5y t =(3) 初始条件为 , 初值位于这两个平衡解的中间, 由(0)1y =()0,()2y t y t = =唯一性, 满足这个初始条件的解一定满足 , 且 由3()y t 30()2y t <<, 知这个解递增, 并且随着的递增, 也递增3333(2)(5)0dy y y y dt=-->3()y t 3dy dt 但随着趋向于, 趋向于0, 增长越来越缓慢, 知, . 同3y 21dy dtt →+∞3()2y t →样, , .t →-∞3()0y t →(4) 初始条件为 , 初值位于的下方, 由唯一性, 满足这个初始(0)1y =-()0y t =条件的解一定小于, 且, 与前面类似讨论4()y t 04444(2)(5)0dy y y y dt=--<知, 在增加时, 在有限时间内爆破, 趋向于. 当时,t 4()y t -∞t →-∞.4()0y t →34. 证明: 由于连续可微, 知方程满足存在唯一性定理的条件. 因为()f y ()dyf y dt=是方程的一个解, 必可微, 又因为在 处取得极值, 则由极值的必要条1()y t 1()y t 0t t =件知, 从而 , 知是方程的一个平10()0y t '=01010()(())|0t t dy f y f y t dt ====20()y t y =衡解, 并且这个解满足初始条件, 而这个解满足同样的初始条件, 由200()y t y =1()y t 解的唯一性, 知 .120()()y t y t y ≡=35., 其中为任意常数, 这些解的定义区间为.2(),0,t c t cy t c ⎧-≥=⎨<⎩0c ≥(,)-∞ +∞36解: 由 , 知它在全平面内连续, 又由于, 在除去23(,)3f t y y =13(,)2f t y y y-∂=∂0y =的区域内连续, 从而在除去的有界闭区域内有界, 进而满足利普希茨条件, 知方0y =程满足初始条件的解在充分小的邻域内存在并且唯一.00()0y t y =≠当 时, 函数是方程过 (0,0) 的解.0y =0y =当时, 方程可变形为 , 积分得 , 为任意常数.当0y ≠2313y dy dt - =3()y t c =+c 时,得特解 是过 (0,0) 的另一个解, 其实, 除零解外, 过(0,0)的所有解可0c =3y t =以表示为,, , 其中3111(),0,t c t c y t c ⎧- <=⎨ ≥⎩3222(),0,t c t c y t c ⎧- >=⎨ ≤⎩31132212(),(),0,t c t c y t c t c c t c ⎧- <⎪=- >⎨⎪≤≤⎩是满足,的任意常数, 这些解的定义区间为, 但本质上在12,c c 10c ≤20c ≥(,)-∞ +∞充分小的邻域 内方程所确定的过(0,0)的解只有四个,(,)εε-即 函数, 及.30,y y t = =3,00,t t y t εε⎧ -<<=⎨ 0≤<⎩30,0,t y t t εε -<<⎧=⎨ 0≤<⎩37. 解: (1) 由得平衡点为 和 . 因为,()3(1)0f y y y =-=0y =1y =(0)30f '=-<所以是汇; 而, 所以是源.0y =(0)30f '=>1y =(2) 由得平衡点为 和 . 当时,()cos 0f v v v ==0v =2,2v k k ππ=±∈Z 1k ≥, 知为汇; 而(2(2022f k k ππππ'+=-+<22v k ππ=+, 知为源. 相反, 当时, (2)(2022f k k ππππ'-=->22v k ππ=-0k <, 知为源; 而(2(2022f k k ππππ'+=-+>22v k ππ=+, 知为汇. 同样和(2)2022f k k ππππ'-=-<22v k ππ=-2v π=都为汇.2v π=-(3) 总是大于0, 知方程无平衡点.2()25f w w w =++(4) 由 得平衡点, 且当()1sin f v v =-+2,2v k k ππ=+∈Z 时, , 知, 都为结点.2,2v k k ππ≠+∈Z ()0f v <2,2v k k ππ=+∈Z 38.(1) 图1-24, (2) 图1-25, (3) 图1-26, (4) 图1-27.图1-24 图1-25图1-26 图1-2739.(1) 减少时, 在有限时间内趋于.lim()2ty t→+∞=t-∞(2) .lim()2lim()2t ty t y t→+∞→-∞==+(3) 同(1).(4) 增加时, 在有限时间内趋于.lim()2ty t→-∞=t+∞40.图1-11解: (a) 对应于(7), (b)对应于(2), (c) 对应于(6), (d) 对应于(3).例21.41.如图1-28图1-2842(1) 利用连续函数的介值性定理可证.(2) 利用教材中定理1.7和连续函数的介值性定理.43.(1)汇, (2) 源, (3) 结点.44. 解: (1) 当 时, 方程有一个平衡点, 当 时, 方程没有平衡点, 当0μ=0y =0μ>时, 方程有两个平衡点和, 知是方程的分歧值, 这是鞍0μ<y =y =0μ=结点分歧, 相线如图1-12.(2) 由分歧的必要条件,若为分歧值则满足, 得 或μ21020y y y μμ⎧++=⎨ +=⎩21y μ=-⎧⎨=⎩. 当或时, 方程有一个平衡点, 当 或 时, 21y μ=⎧⎨=-⎩2μ=-2μ=2y μ=-2μ<-2μ>方程有两个平衡点和, 当 时,方程没有y=y =22μ-<<平衡点, 知和是方程的分歧值, 在每个分歧值处均为鞍结点分歧. 相线如图2μ=-2μ=1-13.(3) 当 时, 方程有一个平衡点, 当 时, 方程有两个平衡点和0μ=0y =0μ≠0y =, 知是方程的分歧值, 这是跨越式分歧, 相线如图1-14.y μ=0μ= (4) 由分歧的必要条件,若为分歧值则满足, 得 μ33030y y y μ2⎧--=⎨ 3-=⎩21y μ=-⎧⎨=⎩ 或. 当, 方程有两个平衡点, 当时,方程也有两个21y μ=⎧⎨=-⎩2μ=-2,1y y =- =2μ=平衡点.或 时, 方程有一个平衡点, 当 时, 方1,2y y =- =2μ<-2μ>22μ-<<程有三个平衡点, 知和是方程的分歧值. 这是复合式分歧. 设, 方程2μ=-2μ=2μ>的实根为; 时, 方程的实根为; 330y y μ--=12y >2μ<-330y y μ--=22y <-时, 方程的实根为, 且22μ-<<330y y μ--=345,,y y y , 相线如图1-15.345212y y y -<<-<<1< <图1-12图1-13图1-14 图1-1545.(1)是分歧值, 当或时方程无平衡点, 当时, 方程1,1μμ= =-1μ>1μ<-11μ-≤≤有无穷多个平衡点.(2)是分歧值, 当或时方程无平衡点, 当时,10,2μμ= =-0μ≥12μ<-102μ-<<方程有两个平衡点; 当时, 方程有一个平衡点. 12μ=-。
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1.4习题答案1. (1) 12150, (2)2.52.2(1) 0,200P P = =, (2) 0200P <<, (3) 200P >.3.(1) 0,50,200P P P = = =, (2) 50200P <<, (3) 050,200P P << >.4.解: 因为当0dy dt =时, ()y t 将保持不变; 当0dy dt >时, ()y t 将增加; 当0dy dt <时, ()y t 将减少. 由3220dyy y y dt=--知,(1) 当32200y y y --=, 即0,4,5y y y = =-=时, ()y t 将保持不变. (2) 当32200y y y -->, 即40y -<< 或5y > 时, ()y t 将增加. (3) 当32200y y y --<, 即4y <- 或05y << 时, ()y t 将减少. 5. 7071.6.解: (1) 设 ()N t 为在时刻t 的放射性同位素质量. 则模型为dNkN dt=-, 0k >为比例系数, 方程的解为 ()ktN t ce-=, 由0t = 时, (0)50N =, 得(0)50N c ==,于是()50kt N t e -=, 又因为 2t = 时, (2)50(110%)45N =⨯-=, 得 24550k e -=,110ln 0.05329k =≈, 因此 0.053()50t N t e -=.(2) 当 4t = 时, 0.0534(4)5040.5N e-⨯==(3) 质量减半时 ()25N t =, 得10.053ln 2t -=, 13t ≈. 7. (1)ln 20.000125730≈, (2) ln 20.866438≈, (3) 一样. 8.(1) 1065, (2) 17669, (3) 32600, (4) 1689. 解: (1)(1)10dS Sk S dt N =--. (2) 1(1)3dS S k S S dt N =--.(3) (1)dS Sk S dt N=--其中 l 是捕获量与总量平方根的比例系数. 10.(1) 趋向于2000, (2) 鱼的数量递减趋于0. 11.2()23y t t =+. 12.()ln ,0g t t t t =- >.13.(1) 22,t y ce c = 为任意常数.(2) 21,2ty ce c =-为任意常数. (3) ln(),y t c c =+ 为任意常数. (4) 22arctan ,y t c c = + 为任意常数.(5) ,1ttce y c ce =-为任意常数, 此外1y =-也是解. (6) 31231,t t y cec -=- 为任意常数.(7) 2ln ||,2t y y e c c +=+ 为任意常数, 此外0y =也是解. (8) 2221,1ct y c t =- +为任意常数. (9) sin(ln ),y t t c c =-+ 为任意常数, 此外22y t =也是解. (10) ln 1,ycy c t+= 为任意常数. 14.(1) 21(111)2t y e =-. (2) 0y =.(3) 2216ln |1|y t =--.(4) 2tan()24t y π=+.15.解: 设0()()tF t f s ds =⎰, 则()F t 可导且()()F t f t '=, 这样有1,dFFFdF dt dt= =,得 2()2,()F t t c F t =+ =, 又(0)0F =, 得0c =. 从而 ()F t =,进而 ()()f t F t '==. 16.解: 首先令 0s =, 由已知可得 ()(0)()1()(0)y t y y t y t y +=-,化简有 2(0)(1())0y y t +=, 知 (0)0y =. 由函数的导数定义00202002()()()lim()()()1()()lim()(1())lim(1()())()1()lim lim1()()(0)(1())s s s s s y t s y t y t sy t y s y t y t y s sy s y t s y t y s y s y t s y t y s y y t →→→→→+-'=+-- =+ =-+ = -' = +变形为2(0)1()dyy dt y t '=+, 积分得 arctan ()(0)y t y t c ' = +, 由(0)0y =, 知 0c =, 所以满足条件的函数为 ()tan (0))y t y t '= ( 17.(0)y ty e'=.18.(1) 21,3tty ce ec -=- 为任意常数.(2) 23,tt y cee c --=+ 为任意常数.(3) 21(cos 2sin 2),4ty ce t t c =-+ 为任意常数. (4) 2612cos 2sin 2555t y e t t =-+.(5) 31523cos 2sin 2131313t y e t t -=-+.(6) 2235t ty e te =+. (7) (1)ty t e =+. 19.(1) sin sin 1,tx cet c -=+- 为任意常数.(2) 122,xy cx e x c =+ 为任意常数. (3) 241(1)(1),2y c t t c =+++ 为任意常数. (4) 3,4c t x c t =+ 为任意常数.20.直接代入方程验证即可. 21.3,1,1a b c = = =.22.(1) 2421111,6224tt x cee t t c -=++++ 为任意常数. (2) 432133341sin cos ,416321281717ty ce t t t t t c -=+-+-+- 为任意常数.(3) 334132cos 2sin 2,61313tt t y ce e e t t c --=+-++ 为任意常数.(4) cos 2sin 2,t ty ce te t t c --=+-+ 为任意常数. 23.(1) 361,3y ct t c =+ 为任意常数.(2) 2(4),t y c t e c -=+ 为任意常数. (3) 22(1),ty ct t t e c =+- 为任意常数. (4) cos cos cos 4,t t t y ce e e dt c --=+ ⎰为任意常数.(5) 11(4cos ),tty c e t dt e c -=+ ⎰为任意常数, 此外1y =也是解.(6) ()y c teec -=+ ⎰为任意常数.注: 上面的不定积分在这里代表某一个原函数.24.在3y =附近的所有解是递减的, 对(0)3y <的解, 当t →+∞不可能趋于+∞. 25.(1) 取()(2)(2)f t t t t =-+,如图1-22: (2) 取()(2)(3)(2)f y y y y =--+, 如图1-23.图1-22 图1-2327.(,1)0f t =, 在1y =的直线上, 斜率场的斜率标记为水平的; 我们并不能得到关于初始条件(0)0y ≠的特解的有用信息.28.(1) 设 t 时刻湖中盐酸含量Q 为千克, 则60,4000(0)0,dQQ dt Q ⎧=- ⎪⎨⎪=⎩可释得4000()240000(1)t Q t e-=-.(2) 213139.(3) 最终趋向于240000千克.29.(1) 100060,400000020(0)0,dQQ dt t Q ⎧=-⎪+⎨⎪=⎩可解得5150140000001()(400000020)17(400000020)17Q t t t =-+++. (2) 218010.30.设C 处电压为()v t , 则有,(0)dv vv E dt RC=- =, 因此 ()tRC v t Ee -=.31.(1) 12345,8,12.5,19.25y y y y = = = =.(2) 123450.39,0.1004,0.3776,0.9891, 1.5934y y y y y = = =- =-=-, 6789102.0456, 2.3287, 2.5241, 2.6899, 2.8428y y y y y = =- =- =-=-.(3) 123454,1y y y y y = = ===-.(4) 123451.5, 3.375, 2.5547, 3.3462, 2.5939y y y y y = = = ==, 6789103.3236, 2.6240, 3.3017, 2.6528, 3.2869y y y y y = = = == 32.(1) ()2y t <, (2) 1()3y t <<, (3) 2()4t y t y -<<+, (4) 22()y t t -<<.33. 解: 由方程的右端项为 ()(2)(5)f y y y y =--仅为 y 的函数在全平面上连续可微,从而由存在唯一性定理, 给定初始条件的解是存在并且是唯一的. 首先由()(2)(5)f y y y y =--知方程有()0,()2,()5y t y t y t = = =三个平衡解.(1) 初始条件为 (0)6y =, 初值位于()5y t =的上方, 由唯一性, 满足这个初始条件的解1()y t 一定大于 5, 且 1111(2)(5)0dy y y y dt=-->, 知这个解递增, 并且随着1()y t 的递增,1dy dt也递增并且越来越大, 知在t 增加时, 1()y t 在有限时间内爆破,趋向于 +∞. 当 t 减少时, 1()y t 递减, 并且随着1()y t 的递减趋于5,1dy dt也递减趋向于0, 递减越来越来越缓慢, 知 t →-∞, 1()5y t →.(2) 初始条件为 (0)5y =, 而平衡解()5y t =满足这一初始条件, 由唯一性, 满足这个初始条件的解就是平衡解()5y t =.(3) 初始条件为 (0)1y =, 初值位于()0,()2y t y t = =这两个平衡解的中间, 由唯一性, 满足这个初始条件的解3()y t 一定满足 30()2y t <<, 且 由3333(2)(5)0dy y y y dt =-->, 知这个解递增, 并且随着3()y t 的递增, 3dydt也递增但随着3y 趋向于2, 1dy dt趋向于0, 增长越来越缓慢, 知t →+∞, 3()2y t →. 同样, t →-∞, 3()0y t →.(4) 初始条件为 (0)1y =-, 初值位于()0y t =的下方, 由唯一性, 满足这个初始条件的解4()y t 一定小于0, 且4444(2)(5)0dy y y y dt=--<, 与前面类似讨论知, 在t 增加时, 4()y t 在有限时间内爆破, 趋向于-∞. 当t →-∞时,4()0y t →.34. 证明: 由于()f y 连续可微, 知方程()dyf y dt=满足存在唯一性定理的条件. 因为1()y t 是方程的一个解, 1()y t 必可微, 又因为在0t t = 处取得极值, 则由极值的必要条件知10()0y t '=, 从而 01010()(())|0t t dy f y f y t dt ====, 知20()y t y =是方程的一个平衡解, 并且这个解满足初始条件200()y t y =, 而1()y t 这个解满足同样的初始条件, 由解的唯一性, 知 120()()y t y t y ≡=.35.2(),0,t c t cy t c ⎧-≥=⎨<⎩, 其中0c ≥为任意常数, 这些解的定义区间为(,)-∞ +∞.36解: 由 23(,)3f t y y =, 知它在全平面内连续, 又由于13(,)2f t y y y-∂=∂, 在除去0y =的区域内连续, 从而在除去0y =的有界闭区域内有界, 进而满足利普希茨条件,知方程满足初始条件00()0y t y =≠的解在充分小的邻域内存在并且唯一. 当 0y =时, 函数0y =是方程过 (0,0) 的解.当0y ≠时, 方程可变形为 2313y dy dt - =, 积分得 3()y t c =+, c 为任意常数.当0c =时, 得特解 3y t = 是过 (0,0) 的另一个解, 其实, 除零解外, 过(0,0)的所有解可以表示为3111(),0,t c t c y t c ⎧- <=⎨ ≥⎩,3222(),0,t c t c y t c ⎧- >=⎨ ≤⎩, 31132212(),(),0,t c t c y t c t c c t c ⎧- <⎪=- >⎨⎪≤≤⎩,其中12,c c 是满足10c ≤,20c ≥的任意常数, 这些解的定义区间为(,)-∞ +∞, 但本质上在充分小的邻域 (,)εε-内方程所确定的过(0,0)的解只有四个,即 函数30,y y t = =, 3,00,t t y t εε⎧ -<<=⎨ 0≤<⎩及30,0,t y t t εε -<<⎧=⎨ 0≤<⎩.37. 解: (1) 由()3(1)0f y y y =-=得平衡点为 0y = 和 1y =. 因为(0)30f '=-<,所以0y =是汇; 而(0)30f '=>, 所以1y =是源.(2) 由()cos 0f v v v ==得平衡点为 0v =和 2,2v k k ππ=±∈Z . 当1k ≥时,(2)(2)022f k k ππππ'+=-+<, 知22v k ππ=+为汇; 而(2)(2)022f k k ππππ'-=->, 知22v k ππ=-为源. 相反, 当0k <时, (2)(2)022f k k ππππ'+=-+>, 知22v k ππ=+为源; 而(2)2022f k k ππππ'-=-<, 知22v k ππ=-为汇. 同样2v π=和2v π=-都为汇.(3) 2()25f w w w =++总是大于0, 知方程无平衡点. (4) 由()1sin f v v =-+ 得平衡点2,2v k k ππ=+∈Z , 且当2,2v k k ππ≠+∈Z 时, ()0f v <, 知2,2v k k ππ=+∈Z , 都为结点.38.(1) 图1-24, (2) 图1-25, (3) 图1-26, (4) 图1-27.图1-24 图1-25图1-26 图1-2739.(1) lim()2ty t→+∞=-t减少时, 在有限时间内趋于-∞.(2) lim()2lim()2t ty t y t→+∞→-∞==(3) 同(1).(4) lim()2ty t→-∞=+t增加时, 在有限时间内趋于+∞.40.图1-11解: (a) 对应于(7), (b)对应于(2), (c) 对应于(6), (d) 对应于(3). 例21.41.如图1-28图1-28 42(1) 利用连续函数的介值性定理可证.(2) 利用教材中定理1.7和连续函数的介值性定理. 43.(1)汇, (2) 源, (3) 结点.44. 解: (1) 当 0μ=时, 方程有一个平衡点0y =, 当 0μ>时, 方程没有平衡点, 当0μ<时, 方程有两个平衡点y =和y =知0μ=是方程的分歧值, 这是鞍结点分歧, 相线如图1-12.(2) 由分歧的必要条件,若μ为分歧值则满足21020y y y μμ⎧++=⎨ +=⎩, 得21y μ=-⎧⎨=⎩ 或 21y μ=⎧⎨=-⎩. 当2μ=-或2μ=时, 方程有一个平衡点2y μ=-, 当2μ<- 或 2μ>时,方程有两个平衡点y =和y =, 当 22μ-<<时, 方程没有平衡点, 知2μ=-和2μ=是方程的分歧值, 在每个分歧值处均为鞍结点分歧. 相线如图1-13.(3) 当 0μ=时, 方程有一个平衡点0y =, 当 0μ≠时, 方程有两个平衡点0y =和y μ=, 知0μ=是方程的分歧值, 这是跨越式分歧, 相线如图1-14.(4) 由分歧的必要条件,若μ为分歧值则满足33030y y y μ2⎧--=⎨ 3-=⎩, 得 21y μ=-⎧⎨=⎩ 或21y μ=⎧⎨=-⎩. 当2μ=-, 方程有两个平衡点2,1y y =- =, 当2μ=时,方程也有两个平衡点1,2y y =- =. 2μ<- 或 2μ>时, 方程有一个平衡点, 当 22μ-<<时, 方程有三个平衡点, 知2μ=-和2μ=是方程的分歧值. 这是复合式分歧. 设2μ>, 方程330y y μ--=的实根为12y >; 2μ<-时, 方程330y y μ--=的实根为22y <-;22μ-<<时, 方程330y y μ--=的实根为345,,y y y , 且345212y y y -<<-<<1< <, 相线如图1-15.图1-12 图1-13图1-14 图1-1545.(1) 1,1μμ= =-是分歧值, 当1μ>或1μ<-时方程无平衡点, 当11μ-≤≤时, 方程有无穷多个平衡点.(2)10,2μμ= =-是分歧值, 当0μ≥或12μ<-时方程无平衡点, 当102μ-<<时,方程有两个平衡点; 当12μ=-时, 方程有一个平衡点.。