常微分方程简明教程-王玉文等编-习题解答-(1)
常微分方程简明教程
线性微分方程：系统阐述线性微分方程的理论和解法，包括常系数线性方程和 变系数线性方程等。
定性分析：介绍常微分方程的定性分析方法，如相图、稳定性理论等。
应用：通过一些实际问题，展示常微分方程在各个领域中的应用，如物理、工 程、生物等。
习题：提供大量的习题供读者练习，以巩固所学知识。
本书的内容安排既全面又深入，既注重理论又强调应用。通过从基础知识到高 阶方程、从线性到非线性的逐步深入，使读者能够逐步掌握常微分方程的核心 内容和解题方法。同时，本书还注重理论与实践相结合，通过丰富的应用案例， 让读者更好地理解常微分方程在实际问题中的应用。
本书的目录结构清晰明了，主要分为以下几个部分： 引言：简要介绍常微分方程的研究对象、背景和意义，激发读者的学习兴趣。
基础知识：回顾微积分和线性代数等必要的预备知识，为后续的学习打下坚实 的基础。
一阶微分方程：详细介绍一阶微分方程的各种解法，如分离变量法、常数变易 法、积分因子法等。
高阶微分方程：探讨高阶微分方程的解法，包括消元法、降阶法等，并介绍一 些特殊类型的高阶方程。
常微分方程简明教程
读书笔记
01 思维导图
03 精彩摘录 05 目录分析
目录
02 内容摘要 04 阅读感受 06 作者简介
思维导图
本书关键字分析思维导图
介绍
理论
教程
解法
知识
学生
高阶
简明
常微分方 程
求解
方程
实际应用
常微分方 程
线性方程
包括
提供
基本
方法
技能
内容摘要
内容摘要
《常微分方程简明教程》是一本关于常微分方程理论的入门教材，它旨在为学生提供清晰、简洁、 易于理解的理论知识，并引导学生掌握求解常微分方程的基本技能。本书内容涵盖了常微分方程 的基本概念、一阶方程、高阶方程、线性方程、非线性方程以及数值解法等多个方面。 本书介绍了常微分方程的基本概念，包括微分方程的定义、阶数、解的概念等。在此基础上，进 一步介绍了一阶方程的求解方法，包括分离变量法、变量代换法、积分因子法等。同时，还详细 讲解了高阶方程的求解方法，如幂级数解法、常数变易法等。 接着，本书重点介绍了线性方程的求解方法，包括一阶线性方程、高阶线性方程以及线性方程组 等。在这一部分，详细介绍了线性方程的性质、通解与特解的概念、线性方程组的解法等。本书 还介绍了非线性方程的求解方法，包括一些常用的近似解法，如泰勒级数解法、摄动法等。
《常微分方程》东师大第二版习题答案
dy y y = 2( ) − ( ) 2 dx x x y du 令 u = ，有 u + x = 2u − u 2 x dx
积分，得 ln
整理为 (
1 1 dx − )du = u u −1 x
(u ≠ 0,1)
u = ln c1 x u −1
即u =
c1 x c1 x − 1
代回变量，得通解 x( y − x) = cy, (4) xy ′ − y = x tan
6
积分，得
1+ ω = cξ 4 (1 − ω ) 5
2 2 5 2 2
代回原变量，得原方程的通解为 ( x − y − 1) = c( x + y − 3)
4 1.4 习 题 1.
1 解下列方程. (1)
dy + 2 xy = 4 x dx
2 dy ̃ = Ce − x . + 2 xy = 0 的通解为 y dx
−2
− x = −e − 2 e x y 为所求的解。 y
4．求解方程 x 1 − y dx + y 1 − x dy = 0 解： x = ±1 ( −1 ≤ y ≤ 1), y = ±1 ( −1 ≤ x ≤ 1) 为特解， 当 x ≠ ±1, y ≠ ±1 时，
2
2
x
1− x
2
dx +
y
1− y2
ln sin y cos x = c1 ,
积分，得 ln sin y = − ln cos x + c1 , 即 sin y cos x = ± e
c1
= c, c ≠ 0
2．求下列方程满足给定初值条件的解： (1)
dy = y ( y − 1), y (0) = 1 dx y = 1 为特解，当 y ≠ 0, y −1 = x + c1 , y y ≠ 1 时， (
常微分方程第三版习题答案
常微分方程第三版习题答案常微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是描述自然界中变化规律的方程。
在学习常微分方程的过程中，习题是非常重要的一部分，通过解习题可以加深对理论知识的理解和应用能力的培养。
本文将为大家提供《常微分方程第三版》习题的部分答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 习题一1.1 解：首先，我们根据题意列出方程：$\frac{dy}{dt} = 2y + t^2$这是一个一阶线性常微分方程，我们可以使用常数变易法来求解。
令$y = u(t)e^{2t}$，则$\frac{dy}{dt} = \frac{du}{dt}e^{2t} + 2ue^{2t}$将上述结果代入原方程，得到：$\frac{du}{dt}e^{2t} + 2ue^{2t} = 2(u(t)e^{2t}) + t^2$化简得到：$\frac{du}{dt}e^{2t} = t^2$两边同时除以$e^{2t}$，得到：$\frac{du}{dt} = t^2e^{-2t}$对上式两边同时积分，得到：$u = -\frac{1}{4}t^2e^{-2t} + C$将$u$代入$y = u(t)e^{2t}$，得到最终的解：$y = (-\frac{1}{4}t^2e^{-2t} + C)e^{2t}$1.2 解：首先，我们根据题意列出方程：$\frac{dy}{dt} = \frac{t}{y}$这是一个一阶可分离变量的常微分方程，我们可以通过分离变量来求解。
将方程变形，得到：$ydy = tdt$对上式两边同时积分，得到：$\frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{2}t^2 + C$解得：$y^2 = t^2 + C$由于题目中给出了初始条件$y(0) = 1$，将初始条件代入上式，得到：$1 = 0 + C$解得：$C = 1$将$C$代入$y^2 = t^2 + C$，得到最终的解：$y^2 = t^2 + 1$2. 习题二2.1 解：首先，我们根据题意列出方程：$\frac{dy}{dt} = 2ty + t^2$这是一个一阶线性常微分方程，我们可以使用常数变易法来求解。
常微分方程课后习题答案
1 dy y
2xdx, 两边同时积分得：ln y
x2 c,即y
e c x2 把x
0, y
1代入得
e c 1,故它的特解为y
x
2
。
y 2. 2 dx (x 1)dy 0, 并求满足初始条件：x=0,y=1 的特解.
解：对原式进行变量分离得：
1 dx 1 dy,当y 0时，两边同时积分得；ln x 1 1 c,即y 1
解： dy ( y3 )2 2x2 dy3 3[(y3 )2 2x2 ]，，令y3 u，则原方程化为
dx y 2 (2xy3 x2 dx
解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0
dxy-d(y 2 -y)-dx 2 +x=c
xy-y 2 +y-x 2 -x=c
14: dy = x y 5 dx x y 2
解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx
1 du - 1 =u 2 +3 4 dx 4 du =4 u 2 +13 dx u= 3 tg(6x+c)-1
2 tg(6x+c)= 2 (x+4y+1).
3
16:证明方程 x dy =f(xy),经变换 xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： y dx
1） y(1+x 2 y 2 )dx=xdy
1 u2
x
arcsin y =sgnx ln|x|+c x
7. tgydx-ctgxdy=0
最新常微分方程(第三版)答案
常微分方程(第三版)答案常微分方程习题答案2.11.«Skip Record If...»,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得«Skip Record If...»«Skip Record If...»并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得：«Skip Record If...»3 «Skip Record If...»解：原式可化为：«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»12．«Skip Record If...»解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»15．«Skip Record If...»«Skip Record If...»16．«Skip Record If...»解：«Skip Record If...»«Skip Record If...»，这是齐次方程，令«Skip Record If...»17. «Skip Record If...»解：原方程化为«Skip Record If...»令«Skip Record If...»方程组«Skip Record If...»«Skip Record If...»则有«Skip Record If...»令«Skip Record If...»当«Skip Record If...»当«Skip Record If...»另外«Skip Record If...»«Skip Record If...»19. 已知f(x)«Skip Record If...».解：设f(x)=y, 则原方程化为«Skip Record If...»两边求导得«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»20.求具有性质 x(t+s)=«Skip Record If...»的函数x(t),已知x’(0)存在。
一阶常微分方程习题(一)word精品文档5页
一阶常微分方程习题（一）1．dxdy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：ydy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1特解为y= e2x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e特解：y=|)1(|ln 1+x c 3．dx dy =yx xy y 321++ 解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31xx +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为： y y -1dy=-xx 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +- 令xy =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg2x y . 6. x dxdy -y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令xy =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x 1dx arcsin xy =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xc cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +ye xy 32+=0 解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：dx dy =x y ln xy 令xy =u ,则dx dy =u+ x dx duu+ x dxdu =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnx y =cy. 10. dxdy =e y x - 解：原方程为：dx dy =e x e y - e y =ce x 11 dxdy =(x+y)2 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dxdu -1=u 2 211u+du=dx arctgu=x+carctg(x+y)=x+c 12. dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dx du -1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13. dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c 14: dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c.15:dxdy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy =（x+4y ）2+3 令x+4y=u 则dx dy =41dx du -41 41dx du -41=u 2+3 dxdu =4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1). 16:证明方程y x dxdy =f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dx dy =2222x -2 y x 2y + 证明： 令xy=u,则xdx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2xu ，有： u x dx du =f(u)+1 )1)((1+u f u du=x1dx 所以原方程可化为变量分离方程。
常微分方程第三版课后习题答案(1)
即
是满足方程（2 . 3 ）
所以，命题成立 。 （2 ） 由题意得： （3 ） （4 ） 1 ）先证 于是 是（2 . 2 8 ）的一个解 。 得
故
是（2 . 2 8 ）的一个解 。 的形式
2 ）现证方程（4 ）的任一解都可写成 设 是( 2 . 2 8 ) 的一个解
1 5
则 于是 （4 ’ ）（4 ）得
. 其中 . 于是方程可化为
即方程为一阶线性方程. 2 0 . 设函数 f ( u ) ，g ( u ) 连续、可微且 f ( u )g ( u ) , \ ，试证方程 y f ( x y ) d x + x g ( x y ) d y = 0 有积分因子 u = ( x y [ f ( x y ) g ( x y ) ] ) 证：在方程 y f ( x y ) d x + x g ( x y ) d y = 0两边同乘以 u得： u y f ( x y ) d x + u x g ( x y ) d y = 0 则 = u f + u y + y f = + y f
=
1 8
= =
习题 2 . 3 1 、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解 。 1 . 解： 则 所以此方程是恰当方程 。 凑微分， 得 ： 2 ． 解： 则 . ， . ， = 1.
所以此方程为恰当方程 。 凑微分， 得 3 ． 解：
1 9
则
.
因此此方程是恰当方程 。 （1 ） （2 ） 对（1 ）做 的积分，则 = 对（3 ）做 的积分，则 = = 则 （3 ）
解：原方程可化为：
是原方程的解.
5 ．
+
= = ( )
解：原方程可化为：
常微分方程习题及答案.
常微分方程习题及答案.第十二章 常微分方程(A)一、是非题1．任意微分方程都有通解。
( )2．微分方程的通解中包含了它所有的解。
( )3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。
( )4．函数x e x y ⋅=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。
( )5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y +=2ln 21 (C 为任意常数)。
( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。
( )7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。
( )8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。
( )9．221xy y x dxdy +++=是可分离变量的微分方程。
( ) 二、填空题1．在横线上填上方程的名称①()0ln 3=-⋅-xdy xdx y 是 。
②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。
③xy y dx dy x ln ⋅=是 。
④x x y y x sin 2+='是 。
⑤02=-'+''y y y 是 。
2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。
3．x e y 2-=''的通解是 。
4．x x y cos 2sin -=''的通解是 。
5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。
6．微分方程()06='-''⋅y y y 是 阶微分方程。
7．xy 1=所满足的微分方程是 。
8．x y y 2='的通解为 。
9．0=+xdy y dx 的通解为 。
10．()25112+=+-x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为 。
第七章常微分方程练习题(含答案)
第7章 常微分方程一、单项选择题1．微分方程3245(''')3('')(')0y y y x -++=阶数是（ b ）A.4阶 B ．3阶 C ．2阶 D ．1阶2．微分方程222y x dxdy x +=是（ b ） A.一阶可分离变量方程 B.一阶齐次方程 C.一阶非齐次线性方程 D.一阶齐次线性方程3．下列方程中，是一阶线性微分方程的是（ c ）A.0'2)'(2=+-x yy y xB.0'2=-+x yy xyC.0'2=+y x xyD.0)()67(=++-dy y x dx y x4．方程x y xy =-'满足初始条件11==x y 的特解是（ a ）A.x x x y +=lnB.Cx x x y +=lnC.x x x y +=ln 2D.Cx x x y +=ln 25．微分方程y y x 2='的通解为（ c ）A ．2x y =B ． c x y +=2C ． 2cx y =D ．0=y6．微分方程y y x ='满足1)1(=y 的特解为 （ a ）A.x y =B. c x y +=C.cx y =D.0=y8．微分方程05))(sin(2''=+-+x y y xy y 是（ a ）A 一阶微分方程B 二阶微分方程C 可分离变量的微分方程D 一阶线性微分方程9．微分方程2y xy '=的通解为（ c ）A ．2x y e C =+B ． x y Ce =C ． 2x y Ce =D ．22x y Ce =二、填空题1．微分方程34()"30y y y y '++=的阶数为__2____；2．微分方程0=+y dxdy 的通解是x y ce -=； 3．微分方程02=+'xy y 的通解是2x y ce -=；4．微分方程x y y e +'=的通解是()10,0x ye C e C ++=<； 5. 一阶线性微分方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()()P x dx P x dx P x dx y Ce e Q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰； 6. n 阶微分方程的通解含有__n __个独立的任意常数。
国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务1和任务2试题及答案
国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务1和任务2试题及答案国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务1和任务2试题及答案形考任务1题目1本课程的教学内容共有五章，其中第三章的名称是（）．选择一项：A.一阶线性微分方程组B.定性和稳定性理论简介C.初等积分法D.基本定理题目2本课程安排了6次形成性考核任务，第2次形成性考核作业的名称是（）．选择一项：A.第一章至第四章的单项选择题B.第二章基本定理的形成性考核书面作业C.初等积分法中的方程可积类型的判断D.第一章初等积分法的形成性考核书面作业题目3网络课程主页的左侧第3个栏目名称是：（）．选择一项：A.课程公告B.自主学习C.课程信息D.系统学习题目4网络课程的“系统学习”栏目中第一章初等积分法的第4个知识点的名称是（）．选择一项：A.一阶隐式微分方程B.分离变量法C.全微分方程与积分因子D.常数变易法题目5网络课程的“视频课堂”栏目中老师讲课的电视课共有（）讲．选择一项：A.18B.20C.19D.17题目6网络课程主页的左侧“考试复习”版块中第二个栏目名称是：（）．选择一项：A.考核说明B.复习指导C.模拟测试D.各章练习汇总题目7请您按照课程的学习目标、学习要求和学习方法设计自己的学习计划，并在下列文本框中提交，字数要求在100—1000字．答：常微分方程是研究自然现象，物理工程和工程技术的强有力工具，熟练掌握常微分方程的一些基本解法是学习常微分方程的主要任务，凡包含自变量，未知函数和未知函数的导数的方程叫做微分方程。
满足微分方程的函数叫做微分方程的解，含有独立的任意常数的解称为微分方程的通解。
确定通解中任意常数后所得的解称为该方程的特解。
一阶微分方程的初等解法中把微分方程的求解问题化为了积分问题，这类初等解法是，与我们生活中的实际问题密切相关的值得我们好好探讨。
在高阶微分方程中我们学习的线性微分方程，作为研究线性微分方程的基础，它在物理力学和工程技术，自然科学中时存在广泛运用的，对于一般的线性微分方程，我们又学习了常系数线性微分变量的方程，其中涉及到复值与复值函数问题，相对来说是比较复杂难懂的。
常微分方程自学练习题22页word
常微分方程自学习题及答案一 填空题:1 一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线.2 二阶线性齐次微分方程的两个解 y 1(x);y 2(x)为方程的基本解组充分必要条件是________.3 方程0'2''=+-y y y 的基本解组是_________.4 一个不可延展解的存在区间一定是___________区间.5 方程21y dxdy-=的常数解是________. 6 方程0')('')(==+-x q x t p x t 一个非零解为 x 1(t) ,经过变换_______7 若4(t)是线性方程组X t A X )('=的基解矩阵, 则此方程组的任一解4(t)=___________. 8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍,则此曲线方程为________. 9 满足_____________条件的解,称为微分方程的特解.10 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_________. 11 一阶线性方程)()('x q y x p y =+有积分因子(=μ ). 12 求解方程y x dxdy/-=的解是( ). 13已知(0)()3222=+++dy x y x dx y x axy 为恰当方程,则a =____________.14 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0(22y y x dx dy ,1:≤x R ,1≤y 由存在唯一性定理其解的存在区间是( ).15方程0652=+-⎪⎭⎫⎝⎛y dx dy dx dy 的通解是( ).16方程534y x y dx dy =++⎪⎭⎫⎝⎛的阶数为_______________.17若向量函数)()();();(321x x x x n Y Y Y Y Λ在区间D 上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式w (x)=____________.18若P(X)是方程组Y =)(x A dxdy的基本解方阵则该方程组的通解可表示为_________. 19、一般而言，弦振动方程有三类边界条件，分别为：第一类边界条件u(0,t)=g 1(t), ；第二类边界条件)(),0(t u t xu =∂∂， ；第三类边界条件F )(),0(),0(0t u t u t x u k =-∂∂，T )(),(),(1t v t L u t L xuk =-∂∂，其中k 0,k 1,T 都是大于零的常数，u(t),v(t)为给定的函数。
常微分方程----第一章-绪论
2 ）如果微分方程中未知数依赖于两个或更多的自 变量，称为偏微分方程。例如：
v v v, t s
2u 2u 2u 0
x2 y2 z2
注：我们不特别声明，就称常微分方程为微分方程或方程。
方程的阶数：一个微分方程中，未知函数最高阶导 数的阶数，称为方程的阶数。
目录 上页 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束
例3 R－L－C电路问题。 如图所示，R－L－C电路是由电阻R、电感 L、电容C和电源E串联组成的电路。其中， R、L、C常数，电源电动势是时间t的已知 函数：E=e(t)。试建立当开关K合上后电流 I(t)应满足的微分方程。
目录 上页 下页 返回 结束
例4 单摆运动问题 单摆是一根长为l的线段的上端固定而
目录 上页 下页 返回 结束
三、微分方程的研究方法
研究微分方程的一般五种方法
1、利用初等函数或初等函数的积分形式来导出微分方程的通解， 常微分方程的解包括通解和特解。能用初等积分求通解的是非常少
的，因此，人们转而研究特解的存在性问题。
2、利用数学分析或非线性分析理论来研究微分方程解的存在性、
延展性、解对初值的连续性和可微性问题。
x ky 0,
x x2 sin t,
v v v, t s
2u 2u 2u x2 y2 z2 0
1 ）如果微分方程中未知数只依赖于一个自变量，
称为常微分方程。例如：
x ky 0,
x x2 sin t,
目录 上页 下页 返回 结束
例：y ekx 是 y ky 0 在 (,) 上的解。
y tan( x) 是
x' 1 x2
在 ( , ) 上的解。
精品课件-常微分方程(王素云)-第2章
分曲线的分布情况.下面图 2.1 中所画的是当 c y y1 和 y1 y d 就
有 g( y) 0 ，而积分
y1 d 当 c y0 g()
y0
y1 和 y1 y0
d 时都发散的情
形.图 2.2 所画的是当 c y y1 和 y1 y d 就有 g( y) 0 ，而积分
其中，α、β是待定常数，代入方程(2.20)，得
d f ( a b a b c )
d
a1 b1 a1 b1 c1 (2.21)
第2章 初等积分法 为使方程(2.21)是齐次的，自然应选α、β使
a b c 0
a1 b1 c1 0
因为Δ≠0，所以这样的α、β可以找到.于是方程(2.21)变成
d f ( a b )
d
a1 b1
这便是一个齐次方程.
第2章 初等积分法
第二种情况:Δ=0,亦即
a1 b1
ab
这时方程(2.20)的形式变为
作未知函数的变换
d y f ( ax by c )
d x (ax by) c1
z ax by
R : a x b, c y d
内的任意一点.为了求方程(2.1)所满足的初值条件y(x0)=y0的 解，可按
y0 G 1 (H (x0 ) C)
以确定常数C，即
C G( y0 ) H (x0 )
代入式(2.5)便得
y G 1 (H (x) G( y0 ) H (x0 ))
(2.6)
g(u) u
x
( y)
x Ce x
(2.15)
若 g(u) u 0 ，即 f (x, y) y ，则方程(2.13)的形状为 d y y ，这已
x
常微分方程简明教程王玉文等编习题解答（1）
1.4习题答案1. (1) 12150, (2)2.52.2(1) , (2) , (3) .0,200P P = =0200P <<200P >3.(1) , (2) , (3) .0,50,200P P P = = =50200P <<050,200P P << >4.解: 因为当时, 将保持不变; 当时, 将增加; 当时, 0dy dt =()y t 0dy dt >()y t 0dy dt <()y t 将减少. 由知, 3220dyy y y dt=--(1) 当, 即时, 将保持不变.32200y y y --=0,4,5y y y = =-=()y t (2) 当, 即 或 时, 将增加.32200y y y -->40y -<<5y >()y t (3) 当, 即 或 时, 将减少.32200y y y --<4y <-05y <<()y t 5. 7071.6.解: (1) 设 为在时刻的放射性同位素质量. 则模型为, 为比例系()N t t dNkN dt=-0k >数, 方程的解为 , 由 时, , 得,于是()ktN t ce-=0t =(0)50N =(0)50N c ==, 又因为 时, , 得 ,()50kt N t e -=2t =(2)50(110%)45N =⨯-=24550k e -=, 因此 .110ln 0.05329k =≈0.053()50t N t e -=(2) 当 时, 4t =0.0534(4)5040.5N e-⨯==(3) 质量减半时 , 得, .()25N t =10.053ln 2t -=13t ≈7. (1), (2) , (3) 一样.ln 20.000125730≈ln 20.866438≈8.(1) 1065, (2) 17669, (3) 32600, (4) 1689. 解: (1).(1)10dS Sk S dt N =-- (2) .1(13dS S k S S dt N =--(3) , 其中 是捕获量与总量平方根的比例系数.(1dS Sk S dt N=--l 10.(1) 趋向于2000, (2) 鱼的数量递减趋于0.11..2()23y t t =+12..()ln ,0g t t t t =- >13.(1) 为任意常数.22,t y ce c = (2) 为任意常数.21,2ty ce c =-(3) 为任意常数.ln(),y t c c =+ (4) 为任意常数.22arctan ,y t c c = + (5) 为任意常数, 此外也是解.,1ttce y c ce = -1y =-(6) 为任意常数.31231,t t y cec -=- (7) 为任意常数, 此外也是解.2ln ||,2t y y e c c +=+ 0y =(8) 为任意常数.2221,1ct y c t =- +(9) 为任意常数, 此外也是解.sin(ln ),y t t c c =-+ 22y t =(10) 为任意常数.ln 1,ycy c t+= 14.(1) .21(111)2t y e =-(2) .0y =(3) .2216ln |1|y t =--(4) .2tan()24t y π=+15.解: 设, 则可导且, 这样有, 0()()tF t f s ds =⎰()F t ()()F t f t '=1,dFFFdF dt dt= =得 , 又, 得. 从而 2()2,()F t t c F t =+ =(0)0F =0c =()F t =进而 ()()f t F t '==16.解: 首先令 , 由已知可得 ,0s =()(0)()1()(0)y t y y t y t y +=- 化简有, 知 . 由函数的导数定义2(0)(1())0y y t +=(0)0y =00202002()()()lim()()()1()()lim()(1())lim(1()())()1()lim lim1()()(0)(1())s s s s s y t s y t y t sy t y s y t y t y s sy s y t s y t y s y s y t s y t y s y y t →→→→→+-'=+-- =+ =-+ = -' = + 变形为, 积分得 , 由, 知2(0)1()dyy dt y t '=+arctan ()(0)y t y t c ' = +(0)0y = , 所以满足条件的函数为 0c =()tan (0))y t y t '= (17..(0)y ty e'=18.(1) 为任意常数.21,3tty ce ec -=- (2) 为任意常数.23,tt y cee c --=+ (3) 为任意常数.21(cos 2sin 2),4ty ce t t c =-+ (4) .2612cos 2sin 2555t y e t t =-+(5) .31523cos 2sin 2131313t y e t t -=-+(6) .2235t ty e te =+(7) .(1)ty t e =+19.(1) 为任意常数.sin sin 1,tx cet c -=+- (2) 为任意常数.122,xy cx e x c =+ (3) 为任意常数.241(1)(1),2y c t t c =+++ (4) 为任意常数.3,4c t x c t =+ 20.直接代入方程验证即可.21..3,1,1a b c = = =22.(1) 为任意常数.2421111,6224tt x cee t t c -=++++ (2) 为任意常数.432133341sin cos ,416321281717ty ce t t t t t c -=+-+-+- (3) 为任意常数.334132cos 2sin 2,61313tt t y ce e e t t c --=+-++ (4) 为任意常数.cos 2sin 2,t ty ce te t t c --=+-+ 23.(1) 为任意常数.361,3y ct t c =+ (2) 为任意常数.2(4),t y c t ec -=+ (3) 为任意常数.22(1),ty ct t t e c =+- (4) 为任意常数.cos cos cos 4,tt t y cee e dt c --=+ ⎰(5) 为任意常数, 此外也是解.11(4cos ),tty c e t dt e c -=+ ⎰1y =(6) 为任意常数.()y c teec -=+ ⎰注: 上面的不定积分在这里代表某一个原函数.24.在附近的所有解是递减的, 对的解, 当不可能趋于.3y =(0)3y <t →+∞+∞25.(1) 取,如图1-22: (2) 取, 如图1-23.()(2)(2)f t t t t =-+()(2)(3)(2)f y y y y =--+图1-22图1-2327., 在的直线上, 斜率场的斜率标记为水平的; 我们并不能得到关于初始(,1)0f t =1y =条件的特解的有用信息.(0)0y ≠28.(1) 设 t 时刻湖中盐酸含量为千克, 则可释得Q 60,4000(0)0,dQQ dt Q ⎧=- ⎪⎨⎪=⎩.4000()240000(1)t Q t e-=-(2) 213139.(3) 最终趋向于240000千克.29.(1) 可解得100060,400000020(0)0,dQQ dt t Q ⎧=-⎪+⎨⎪=⎩.5150140000001()(400000020)17(400000020)17Q t t t =-+++(2) 218010.30.设C 处电压为, 则有, 因此 .()v t ,(0)dv vv E dt RC=- =()tRC v t Ee -=31.(1) .12345,8,12.5,19.25y y y y = = = =(2) ,123450.39,0.1004,0.3776,0.9891, 1.5934y y y y y = = =- =-=-.6789102.0456, 2.3287, 2.5241, 2.6899, 2.8428y y y y y = =- =- =-=-(3) .123454,1y y y y y = = ===-(4) , 123451.5, 3.375, 2.5547, 3.3462, 2.5939y y y y y = = = ==6789103.3236, 2.6240, 3.3017, 2.6528, 3.2869y y y y y = = = ==32.(1) , (2) , (3) , (4) .()2y t <1()3y t <<2()4t y t y -<<+22()y t t -<<33. 解: 由方程的右端项为 仅为 的函数在全平面上连续可微,()(2)(5)f y y y y =--y 从而由存在唯一性定理, 给定初始条件的解是存在并且是唯一的. 首先由知方程有三个平衡解.()(2)(5)f y y y y =--()0,()2,()5y t y t y t = = =(1) 初始条件为 , 初值位于的上方, 由唯一性, 满足这个初始(0)6y =()5y t =条件的解一定大于 , 且 , 知这个解递增, 并1()y t 51111(2)(5)0dy y y y dt=-->且随着的递增,也递增并且越来越大, 知在增加时, 在有限时间1()y t 1dy dtt 1()y t 内爆破,趋向于 . 当 减少时, 递减, 并且随着的递减趋于,+∞t 1()y t 1()y t 51dy dt也递减趋向于0, 递减越来越来越缓慢, 知 , .t →-∞1()5y t →(2) 初始条件为 , 而平衡解满足这一初始条件, 由唯一性, 满(0)5y =()5y t =足这个初始条件的解就是平衡解.()5y t =(3) 初始条件为 , 初值位于这两个平衡解的中间, 由(0)1y =()0,()2y t y t = =唯一性, 满足这个初始条件的解一定满足 , 且 由3()y t 30()2y t <<, 知这个解递增, 并且随着的递增, 也递增3333(2)(5)0dy y y y dt=-->3()y t 3dy dt 但随着趋向于, 趋向于0, 增长越来越缓慢, 知, . 同3y 21dy dtt →+∞3()2y t →样, , .t →-∞3()0y t →(4) 初始条件为 , 初值位于的下方, 由唯一性, 满足这个初始(0)1y =-()0y t =条件的解一定小于, 且, 与前面类似讨论4()y t 04444(2)(5)0dy y y y dt=--<知, 在增加时, 在有限时间内爆破, 趋向于. 当时,t 4()y t -∞t →-∞.4()0y t →34. 证明: 由于连续可微, 知方程满足存在唯一性定理的条件. 因为()f y ()dyf y dt=是方程的一个解, 必可微, 又因为在 处取得极值, 则由极值的必要条1()y t 1()y t 0t t =件知, 从而 , 知是方程的一个平10()0y t '=01010()(())|0t t dy f y f y t dt ====20()y t y =衡解, 并且这个解满足初始条件, 而这个解满足同样的初始条件, 由200()y t y =1()y t 解的唯一性, 知 .120()()y t y t y ≡=35., 其中为任意常数, 这些解的定义区间为.2(),0,t c t cy t c ⎧-≥=⎨<⎩0c ≥(,)-∞ +∞36解: 由 , 知它在全平面内连续, 又由于, 在除去23(,)3f t y y =13(,)2f t y y y-∂=∂0y =的区域内连续, 从而在除去的有界闭区域内有界, 进而满足利普希茨条件, 知方0y =程满足初始条件的解在充分小的邻域内存在并且唯一.00()0y t y =≠当 时, 函数是方程过 (0,0) 的解.0y =0y =当时, 方程可变形为 , 积分得 , 为任意常数.当0y ≠2313y dy dt - =3()y t c =+c 时,得特解 是过 (0,0) 的另一个解, 其实, 除零解外, 过(0,0)的所有解可0c =3y t =以表示为,, , 其中3111(),0,t c t c y t c ⎧- <=⎨ ≥⎩3222(),0,t c t c y t c ⎧- >=⎨ ≤⎩31132212(),(),0,t c t c y t c t c c t c ⎧- <⎪=- >⎨⎪≤≤⎩是满足,的任意常数, 这些解的定义区间为, 但本质上在12,c c 10c ≤20c ≥(,)-∞ +∞充分小的邻域 内方程所确定的过(0,0)的解只有四个,(,)εε-即 函数, 及.30,y y t = =3,00,t t y t εε⎧ -<<=⎨ 0≤<⎩30,0,t y t t εε -<<⎧=⎨ 0≤<⎩37. 解: (1) 由得平衡点为 和 . 因为,()3(1)0f y y y =-=0y =1y =(0)30f '=-<所以是汇; 而, 所以是源.0y =(0)30f '=>1y =(2) 由得平衡点为 和 . 当时,()cos 0f v v v ==0v =2,2v k k ππ=±∈Z 1k ≥, 知为汇; 而(2(2022f k k ππππ'+=-+<22v k ππ=+, 知为源. 相反, 当时, (2)(2022f k k ππππ'-=->22v k ππ=-0k <, 知为源; 而(2(2022f k k ππππ'+=-+>22v k ππ=+, 知为汇. 同样和(2)2022f k k ππππ'-=-<22v k ππ=-2v π=都为汇.2v π=-(3) 总是大于0, 知方程无平衡点.2()25f w w w =++(4) 由 得平衡点, 且当()1sin f v v =-+2,2v k k ππ=+∈Z 时, , 知, 都为结点.2,2v k k ππ≠+∈Z ()0f v <2,2v k k ππ=+∈Z 38.(1) 图1-24, (2) 图1-25, (3) 图1-26, (4) 图1-27.图1-24 图1-25图1-26 图1-2739.(1) 减少时, 在有限时间内趋于.lim()2ty t→+∞=t-∞(2) .lim()2lim()2t ty t y t→+∞→-∞==+(3) 同(1).(4) 增加时, 在有限时间内趋于.lim()2ty t→-∞=t+∞40.图1-11解: (a) 对应于(7), (b)对应于(2), (c) 对应于(6), (d) 对应于(3).例21.41.如图1-28图1-2842(1) 利用连续函数的介值性定理可证.(2) 利用教材中定理1.7和连续函数的介值性定理.43.(1)汇, (2) 源, (3) 结点.44. 解: (1) 当 时, 方程有一个平衡点, 当 时, 方程没有平衡点, 当0μ=0y =0μ>时, 方程有两个平衡点和, 知是方程的分歧值, 这是鞍0μ<y =y =0μ=结点分歧, 相线如图1-12.(2) 由分歧的必要条件,若为分歧值则满足, 得 或μ21020y y y μμ⎧++=⎨ +=⎩21y μ=-⎧⎨=⎩. 当或时, 方程有一个平衡点, 当 或 时, 21y μ=⎧⎨=-⎩2μ=-2μ=2y μ=-2μ<-2μ>方程有两个平衡点和, 当 时,方程没有y=y =22μ-<<平衡点, 知和是方程的分歧值, 在每个分歧值处均为鞍结点分歧. 相线如图2μ=-2μ=1-13.(3) 当 时, 方程有一个平衡点, 当 时, 方程有两个平衡点和0μ=0y =0μ≠0y =, 知是方程的分歧值, 这是跨越式分歧, 相线如图1-14.y μ=0μ= (4) 由分歧的必要条件,若为分歧值则满足, 得 μ33030y y y μ2⎧--=⎨ 3-=⎩21y μ=-⎧⎨=⎩ 或. 当, 方程有两个平衡点, 当时,方程也有两个21y μ=⎧⎨=-⎩2μ=-2,1y y =- =2μ=平衡点.或 时, 方程有一个平衡点, 当 时, 方1,2y y =- =2μ<-2μ>22μ-<<程有三个平衡点, 知和是方程的分歧值. 这是复合式分歧. 设, 方程2μ=-2μ=2μ>的实根为; 时, 方程的实根为; 330y y μ--=12y >2μ<-330y y μ--=22y <-时, 方程的实根为, 且22μ-<<330y y μ--=345,,y y y , 相线如图1-15.345212y y y -<<-<<1< <图1-12图1-13图1-14 图1-1545.(1)是分歧值, 当或时方程无平衡点, 当时, 方程1,1μμ= =-1μ>1μ<-11μ-≤≤有无穷多个平衡点.(2)是分歧值, 当或时方程无平衡点, 当时,10,2μμ= =-0μ≥12μ<-102μ-<<方程有两个平衡点; 当时, 方程有一个平衡点. 12μ=-。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.4习题答案1. (1) 12150, (2)2.52.2(1) 0,200P P = =, (2) 0200P <<, (3) 200P >.3.(1) 0,50,200P P P = = =, (2) 50200P <<, (3) 050,200P P << >.4.解: 因为当0dy dt =时, ()y t 将保持不变; 当0dy dt >时, ()y t 将增加; 当0dy dt <时, ()y t 将减少. 由3220dyy y y dt=--知,(1) 当32200y y y --=, 即0,4,5y y y = =-=时, ()y t 将保持不变. (2) 当32200y y y -->, 即40y -<< 或5y > 时, ()y t 将增加. (3) 当32200y y y --<, 即4y <- 或05y << 时, ()y t 将减少. 5. 7071.6.解: (1) 设 ()N t 为在时刻t 的放射性同位素质量. 则模型为dNkN dt=-, 0k >为比例系数, 方程的解为 ()ktN t ce-=, 由0t = 时, (0)50N =, 得(0)50N c ==,于是()50kt N t e -=, 又因为 2t = 时, (2)50(110%)45N =⨯-=, 得 24550k e -=,110ln 0.05329k =≈, 因此 0.053()50t N t e -=.(2) 当 4t = 时, 0.0534(4)5040.5N e-⨯==(3) 质量减半时 ()25N t =, 得10.053ln 2t -=, 13t ≈. 7. (1)ln 20.000125730≈, (2) ln 20.866438≈, (3) 一样. 8.(1) 1065, (2) 17669, (3) 32600, (4) 1689. 解: (1)(1)10dS Sk S dt N =--. (2) 1(1)3dS S k S S dt N =--.(3) (1)dS Sk S dt N=--其中 l 是捕获量与总量平方根的比例系数. 10.(1) 趋向于2000, (2) 鱼的数量递减趋于0. 11.2()23y t t =+. 12.()ln ,0g t t t t =- >.13.(1) 22,t y ce c = 为任意常数.(2) 21,2ty ce c =-为任意常数. (3) ln(),y t c c =+ 为任意常数. (4) 22arctan ,y t c c = + 为任意常数.(5) ,1ttce y c ce =-为任意常数, 此外1y =-也是解. (6) 31231,t t y cec -=- 为任意常数.(7) 2ln ||,2t y y e c c +=+ 为任意常数, 此外0y =也是解. (8) 2221,1ct y c t =- +为任意常数. (9) sin(ln ),y t t c c =-+ 为任意常数, 此外22y t =也是解. (10) ln 1,ycy c t+= 为任意常数. 14.(1) 21(111)2t y e =-. (2) 0y =.(3) 2216ln |1|y t =--.(4) 2tan()24t y π=+.15.解: 设0()()tF t f s ds =⎰, 则()F t 可导且()()F t f t '=, 这样有1,dFFFdF dt dt= =,得 2()2,()F t t c F t =+ =, 又(0)0F =, 得0c =. 从而 ()F t =,进而 ()()f t F t '==. 16.解: 首先令 0s =, 由已知可得 ()(0)()1()(0)y t y y t y t y +=-,化简有 2(0)(1())0y y t +=, 知 (0)0y =. 由函数的导数定义00202002()()()lim()()()1()()lim()(1())lim(1()())()1()lim lim1()()(0)(1())s s s s s y t s y t y t sy t y s y t y t y s sy s y t s y t y s y s y t s y t y s y y t →→→→→+-'=+-- =+ =-+ = -' = +变形为2(0)1()dyy dt y t '=+, 积分得 arctan ()(0)y t y t c ' = +, 由(0)0y =, 知 0c =, 所以满足条件的函数为 ()tan (0))y t y t '= ( 17.(0)y ty e'=.18.(1) 21,3tty ce ec -=- 为任意常数.(2) 23,tt y cee c --=+ 为任意常数.(3) 21(cos 2sin 2),4ty ce t t c =-+ 为任意常数. (4) 2612cos 2sin 2555t y e t t =-+.(5) 31523cos 2sin 2131313t y e t t -=-+.(6) 2235t ty e te =+. (7) (1)ty t e =+. 19.(1) sin sin 1,tx cet c -=+- 为任意常数.(2) 122,xy cx e x c =+ 为任意常数. (3) 241(1)(1),2y c t t c =+++ 为任意常数. (4) 3,4c t x c t =+ 为任意常数.20.直接代入方程验证即可. 21.3,1,1a b c = = =.22.(1) 2421111,6224tt x cee t t c -=++++ 为任意常数. (2) 432133341sin cos ,416321281717ty ce t t t t t c -=+-+-+- 为任意常数.(3) 334132cos 2sin 2,61313tt t y ce e e t t c --=+-++ 为任意常数.(4) cos 2sin 2,t ty ce te t t c --=+-+ 为任意常数. 23.(1) 361,3y ct t c =+ 为任意常数.(2) 2(4),t y c t e c -=+ 为任意常数. (3) 22(1),ty ct t t e c =+- 为任意常数. (4) cos cos cos 4,t t t y ce e e dt c --=+ ⎰为任意常数.(5) 11(4cos ),tty c e t dt e c -=+ ⎰为任意常数, 此外1y =也是解.(6) ()y c teec -=+ ⎰为任意常数.注: 上面的不定积分在这里代表某一个原函数.24.在3y =附近的所有解是递减的, 对(0)3y <的解, 当t →+∞不可能趋于+∞. 25.(1) 取()(2)(2)f t t t t =-+,如图1-22: (2) 取()(2)(3)(2)f y y y y =--+, 如图1-23.图1-22 图1-2327.(,1)0f t =, 在1y =的直线上, 斜率场的斜率标记为水平的; 我们并不能得到关于初始条件(0)0y ≠的特解的有用信息.28.(1) 设 t 时刻湖中盐酸含量Q 为千克, 则60,4000(0)0,dQQ dt Q ⎧=- ⎪⎨⎪=⎩可释得4000()240000(1)t Q t e-=-.(2) 213139.(3) 最终趋向于240000千克.29.(1) 100060,400000020(0)0,dQQ dt t Q ⎧=-⎪+⎨⎪=⎩可解得5150140000001()(400000020)17(400000020)17Q t t t =-+++. (2) 218010.30.设C 处电压为()v t , 则有,(0)dv vv E dt RC=- =, 因此 ()tRC v t Ee -=.31.(1) 12345,8,12.5,19.25y y y y = = = =.(2) 123450.39,0.1004,0.3776,0.9891, 1.5934y y y y y = = =- =-=-, 6789102.0456, 2.3287, 2.5241, 2.6899, 2.8428y y y y y = =- =- =-=-.(3) 123454,1y y y y y = = ===-.(4) 123451.5, 3.375, 2.5547, 3.3462, 2.5939y y y y y = = = ==, 6789103.3236, 2.6240, 3.3017, 2.6528, 3.2869y y y y y = = = == 32.(1) ()2y t <, (2) 1()3y t <<, (3) 2()4t y t y -<<+, (4) 22()y t t -<<.33. 解: 由方程的右端项为 ()(2)(5)f y y y y =--仅为 y 的函数在全平面上连续可微,从而由存在唯一性定理, 给定初始条件的解是存在并且是唯一的. 首先由()(2)(5)f y y y y =--知方程有()0,()2,()5y t y t y t = = =三个平衡解.(1) 初始条件为 (0)6y =, 初值位于()5y t =的上方, 由唯一性, 满足这个初始条件的解1()y t 一定大于 5, 且 1111(2)(5)0dy y y y dt=-->, 知这个解递增, 并且随着1()y t 的递增,1dy dt也递增并且越来越大, 知在t 增加时, 1()y t 在有限时间内爆破,趋向于 +∞. 当 t 减少时, 1()y t 递减, 并且随着1()y t 的递减趋于5,1dy dt也递减趋向于0, 递减越来越来越缓慢, 知 t →-∞, 1()5y t →.(2) 初始条件为 (0)5y =, 而平衡解()5y t =满足这一初始条件, 由唯一性, 满足这个初始条件的解就是平衡解()5y t =.(3) 初始条件为 (0)1y =, 初值位于()0,()2y t y t = =这两个平衡解的中间, 由唯一性, 满足这个初始条件的解3()y t 一定满足 30()2y t <<, 且 由3333(2)(5)0dy y y y dt =-->, 知这个解递增, 并且随着3()y t 的递增, 3dydt也递增但随着3y 趋向于2, 1dy dt趋向于0, 增长越来越缓慢, 知t →+∞, 3()2y t →. 同样, t →-∞, 3()0y t →.(4) 初始条件为 (0)1y =-, 初值位于()0y t =的下方, 由唯一性, 满足这个初始条件的解4()y t 一定小于0, 且4444(2)(5)0dy y y y dt=--<, 与前面类似讨论知, 在t 增加时, 4()y t 在有限时间内爆破, 趋向于-∞. 当t →-∞时,4()0y t →.34. 证明: 由于()f y 连续可微, 知方程()dyf y dt=满足存在唯一性定理的条件. 因为1()y t 是方程的一个解, 1()y t 必可微, 又因为在0t t = 处取得极值, 则由极值的必要条件知10()0y t '=, 从而 01010()(())|0t t dy f y f y t dt ====, 知20()y t y =是方程的一个平衡解, 并且这个解满足初始条件200()y t y =, 而1()y t 这个解满足同样的初始条件, 由解的唯一性, 知 120()()y t y t y ≡=.35.2(),0,t c t cy t c ⎧-≥=⎨<⎩, 其中0c ≥为任意常数, 这些解的定义区间为(,)-∞ +∞.36解: 由 23(,)3f t y y =, 知它在全平面内连续, 又由于13(,)2f t y y y-∂=∂, 在除去0y =的区域内连续, 从而在除去0y =的有界闭区域内有界, 进而满足利普希茨条件,知方程满足初始条件00()0y t y =≠的解在充分小的邻域内存在并且唯一. 当 0y =时, 函数0y =是方程过 (0,0) 的解.当0y ≠时, 方程可变形为 2313y dy dt - =, 积分得 3()y t c =+, c 为任意常数.当0c =时, 得特解 3y t = 是过 (0,0) 的另一个解, 其实, 除零解外, 过(0,0)的所有解可以表示为3111(),0,t c t c y t c ⎧- <=⎨ ≥⎩,3222(),0,t c t c y t c ⎧- >=⎨ ≤⎩, 31132212(),(),0,t c t c y t c t c c t c ⎧- <⎪=- >⎨⎪≤≤⎩,其中12,c c 是满足10c ≤,20c ≥的任意常数, 这些解的定义区间为(,)-∞ +∞, 但本质上在充分小的邻域 (,)εε-内方程所确定的过(0,0)的解只有四个,即 函数30,y y t = =, 3,00,t t y t εε⎧ -<<=⎨ 0≤<⎩及30,0,t y t t εε -<<⎧=⎨ 0≤<⎩.37. 解: (1) 由()3(1)0f y y y =-=得平衡点为 0y = 和 1y =. 因为(0)30f '=-<,所以0y =是汇; 而(0)30f '=>, 所以1y =是源.(2) 由()cos 0f v v v ==得平衡点为 0v =和 2,2v k k ππ=±∈Z . 当1k ≥时,(2)(2)022f k k ππππ'+=-+<, 知22v k ππ=+为汇; 而(2)(2)022f k k ππππ'-=->, 知22v k ππ=-为源. 相反, 当0k <时, (2)(2)022f k k ππππ'+=-+>, 知22v k ππ=+为源; 而(2)2022f k k ππππ'-=-<, 知22v k ππ=-为汇. 同样2v π=和2v π=-都为汇.(3) 2()25f w w w =++总是大于0, 知方程无平衡点. (4) 由()1sin f v v =-+ 得平衡点2,2v k k ππ=+∈Z , 且当2,2v k k ππ≠+∈Z 时, ()0f v <, 知2,2v k k ππ=+∈Z , 都为结点.38.(1) 图1-24, (2) 图1-25, (3) 图1-26, (4) 图1-27.图1-24 图1-25图1-26 图1-2739.(1) lim()2ty t→+∞=-t减少时, 在有限时间内趋于-∞.(2) lim()2lim()2t ty t y t→+∞→-∞==(3) 同(1).(4) lim()2ty t→-∞=+t增加时, 在有限时间内趋于+∞.40.图1-11解: (a) 对应于(7), (b)对应于(2), (c) 对应于(6), (d) 对应于(3). 例21.41.如图1-28图1-28 42(1) 利用连续函数的介值性定理可证.(2) 利用教材中定理1.7和连续函数的介值性定理. 43.(1)汇, (2) 源, (3) 结点.44. 解: (1) 当 0μ=时, 方程有一个平衡点0y =, 当 0μ>时, 方程没有平衡点, 当0μ<时, 方程有两个平衡点y =和y =知0μ=是方程的分歧值, 这是鞍结点分歧, 相线如图1-12.(2) 由分歧的必要条件,若μ为分歧值则满足21020y y y μμ⎧++=⎨ +=⎩, 得21y μ=-⎧⎨=⎩ 或 21y μ=⎧⎨=-⎩. 当2μ=-或2μ=时, 方程有一个平衡点2y μ=-, 当2μ<- 或 2μ>时,方程有两个平衡点y =和y =, 当 22μ-<<时, 方程没有平衡点, 知2μ=-和2μ=是方程的分歧值, 在每个分歧值处均为鞍结点分歧. 相线如图1-13.(3) 当 0μ=时, 方程有一个平衡点0y =, 当 0μ≠时, 方程有两个平衡点0y =和y μ=, 知0μ=是方程的分歧值, 这是跨越式分歧, 相线如图1-14.(4) 由分歧的必要条件,若μ为分歧值则满足33030y y y μ2⎧--=⎨ 3-=⎩, 得 21y μ=-⎧⎨=⎩ 或21y μ=⎧⎨=-⎩. 当2μ=-, 方程有两个平衡点2,1y y =- =, 当2μ=时,方程也有两个平衡点1,2y y =- =. 2μ<- 或 2μ>时, 方程有一个平衡点, 当 22μ-<<时, 方程有三个平衡点, 知2μ=-和2μ=是方程的分歧值. 这是复合式分歧. 设2μ>, 方程330y y μ--=的实根为12y >; 2μ<-时, 方程330y y μ--=的实根为22y <-;22μ-<<时, 方程330y y μ--=的实根为345,,y y y , 且345212y y y -<<-<<1< <, 相线如图1-15.图1-12 图1-13图1-14 图1-1545.(1) 1,1μμ= =-是分歧值, 当1μ>或1μ<-时方程无平衡点, 当11μ-≤≤时, 方程有无穷多个平衡点.(2)10,2μμ= =-是分歧值, 当0μ≥或12μ<-时方程无平衡点, 当102μ-<<时,方程有两个平衡点; 当12μ=-时, 方程有一个平衡点.。