应变梯度理论在岩土力学中的进展述评

果和微观解释 (局部化宽度与内部长度参数的关系) 。赵吉东的博士论文[15 ]认为岩石 、混凝土类材料中
存在大量的内部微结构如微裂纹 、微孔洞等缺陷 ,材料内部长度参数的大小就与这些微结构有关 ,是材
料的固有性质 。该文作者取的是各种岩石类材料的平均骨料颗粒直径 ( l = 0. 2 mm) ,显然 ,人们在对公
偶应力与曲率的关系为 :
ki = m i/ (4 Gl2)
(7)
其中 l 为材料内部长度参数 。
在此基础上 ,推导出变形协调方程 :
ε11 ,2 - ε21 ,1 + k1 = 0 , ε22 ,1 - ε12 ,2 - k2 = 0
(8)
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(10) (11)
这样 ,就不必引入 Cosserat 剪切模量 Gc 。Mindlin 在此基础上给出了无限大中心圆孔平板受远场均匀
应力作用时的解析解 ,成功地解释了此时经典弹性理论孔边应力集中系数为 K = 3 , 而试验值明显偏小
( K < 3)源自文库的现象 。
国内外岩土界不少学者认识到偶应力理论的独特性 。陈胜宏等人研究了偶应力理论在节理岩体的
2 研究现状述评
2. 1 弹性偶应力理论
弹性偶应力理论是最简单的考虑应变梯度效应的
模型 ,是由 Cosserat 兄弟在 1909 年提出来 ,因此也称
为 Cosserat 理论[7 ] 。Cosserat 兄弟研究了如图 1 所示
的有一定尺度的微元体 (这里仅以平面应变问题为例
说明) ,引入偶应力 m i 和相应的变形分量曲率 ki ,分 别建立了形变方程 、平衡方程和本构方程 。
体是否进入塑性[12 ] 。
然而 ,正如 Cosserat 介质模型中所描述的 ,材料内部长度参数 l 是反映应变梯度影响的关键参数 。
但多数文献未对 l 给出明确的物理意义 ,Muhlhaus H B 和 Vardoulakis I 认为材料内部长度参数 l 为粒
状材料的平均直径 ,这也仅仅是一种假设 。文献对 l 的取值也是假定一个参数大小 。这个问题在以后
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果表明应变梯度的发展可分为 3 个阶段 :第一阶段为应变梯度恒定阶段 ,由于岩石试件存在着局部的材 料不均匀 ,使得试件在加载的初始阶段就产生应变梯度 ,并保持不变 ;当加载超过某一临界载荷时 ,试件 就会进入应变梯度稳定发展的第二阶段 ,在此阶段 ,试件内部局部化程度增强 ;当应变梯度发展到某一 临界梯度 ,进入快速增长阶段 ,此时应变梯度的发展迅速而不稳定 ,为试件内部软化发展的阶段 , 试件 破坏沿弱化区域发展 ,很快形成宏观破裂[6 ] 。
摘 要 : 应变梯度的研究近年来在理论和实验上都取得了长足的发展 。综述应变梯度理论 在岩土力学中应用的研究现状 ,系统说明各种考虑应变梯度的模型的理论来源和及其相互联 系 ,并对各种模型作了简要述评 ,就应变梯度理论在岩土力学中的发展趋势提出初步看法 。 关键词 : 岩土力学 ; 应变梯度 ; 偶应力 ; 趋势 中图分类号 : TU4 ; TB12 文献标识码 : A
收稿日期 :2004 - 03 - 02 基金项目 :湖南省自然科学基金资助项目 (04JJ 40032) ;湖南省教育厅资助科研项目 (04C119) 作者简介 :赵 冰 (1972 —) ,男 ,西安理工大学在职博士生 ,长沙理工大学讲师.
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σji , j + γi = 0
(2)
m j , j + eijτk kl = 0
(3)
其中 γi 为容重 。
由 (3) 式可知 ,一般情况下 τxy ≠τyx 。
图 1 Cosserat 微元
本构方程由三部分组成 ,正应力为虎克定律 :
εi
=
E-
(1 - ν2)σi (1 - ν)νσj/
E
(4)
(12)
其中假设应变能密度 W 是应变张量第一 、第二不变量εv 、εe 及曲率张量第二不变量 ke 的函数 ,即
W = W (εe ,εv , lke)
(13)
式中 ,由于量纲的需要 ,引入了材料内部长度参数 l 。Fleck 和 Hutchinson 应用这种理论成功地预测了
细铜丝扭转 、薄梁弯曲和颗粒增强基复合材料的尺寸效应 。然而 , Fleck 和 Hutchinson 等人的工作仅针
1 应变梯度理论在岩土介质中的研究概述
岩土力学作为固体力学的一个重要分支 ,应变梯度的影响显然也是我们所应当关注的 。由于岩土 介质的非连续性 、非均匀性 ,使得我们所关心的不是岩土介质是否存在着应变梯度效应 ,而关心的是岩 土介质中应变梯度效应有多大 ,在哪些情况下起作用等等问题 。
徐松林在等围压三轴压缩过程 (压剪) 中研究了宏观局部破坏面应变梯度的形成和发展的过程 。结
经典的连续介质理论认为 ,材料一点应力仅仅是该点的应变以及该点的变形历史的函数 ,而与该点 周围点的应变无关 。事实上 ,由于连续性假设不能严格满足 ,因此将连续介质力学应用于岩土介质时 , 应力和应变等分量代表的只是相当小而非无穷小体积上的统计平均值 ,在应变梯度不大的情况下 ,用统 计平均值替代连续介质力学的理论解可以较为恰当地描述介质的力学反应 。但材料出现高的应变梯度 时 ,在相当小体积上其应力和应变呈现高次非线性变化 ,经典理论所代表的统计平均值就不能如实地反 映出材料在相当小体积上的强度和变形行为 。另外 ,由于经典力学理论中没有提供材料的内部长度参 数 ,因而无法预测材料的尺寸依赖性 ,也无法预测材料在软化计算时出现的网格依赖性 。因而有学者在 本构关系中加入应变梯度项考虑周围点对材料强度和变形的影响 。已有文献证明了这可以避免软化计 算时出现的网格依赖性 。
第 1 期 赵 冰等 : 应变梯度理论在岩土力学中的进展述评 49
k1 ,2 = k2 ,1
(9)
由 (8) 式发现 ,曲率是应变梯度的线性组合 ,因而该模型可以考虑应变梯度效应的影响 。
1963 年 ,Mindlin 将形变方程简化为[7 ] :
εii = ui , i , εij = εji = ( ui , j + uj , i) / 2 ki = ωc, i , ωi = ( uj , k - uk , j) / 2
对于金属材料 。
赵吉东 、周维垣等基于 Fleck 和 Hutchinson 的理论 ,在损伤力学的框架中建立了一个应变梯度损伤
模型[14 ] ,使用变分原理的弱形式推导出了该模型需要满足的运动方程 、平衡方程以及边界方程 ,并对岩
石 、混凝土类材料试验中的尺寸效应现象进行数值分析 ,得到了与材料内部长度参数因子相关的分析结
应变梯度理论是指在本构关系中考虑应变梯度项以考虑其对材料变形和强度影响的各类模型的总 称 。近年来 ,应变梯度理论在理论和实验中都取得了长足的发展 ,业已成为固体力学的一个重要的前沿 课题 。由于该理论的引入 ,人们较为成功地解释了金属的尺寸在μm 量级上时 ,材料所呈现的强烈的尺 寸效应[4 ,5 ] 。
应变梯度理论在岩土力学中的进展述评
赵 冰1 ,2 , 李 宁1 ,3 , 盛国刚2 , 王桂尧2
(1. 西安理工大学 岩土所 , 陕西 西安 710048 ; 2. 长沙理工大学 , 湖南 长沙 410076 ; 3. 中国科学院 寒区与旱区环境与工程研究所 , 甘肃 兰州 730000)
发展起来的应变梯度塑性理论中也同样存在 。另外 ,弯曲效应 、岩层剪切错动和弯曲变形在传统的有限
元模拟中也同样能够实现 ,利用偶应力理论进行模拟的必要性似乎值得商榷 。在岩土的剪切带的启动
和演化 、剪切带倾角和厚度的分析和模拟中 ,由于经典力学理论中没有提供材料内部长度参数 ,考虑应
变梯度的必要性似乎更令人关注 。
论解决上述问题是有效的[10 ] 。Muhlhaus H B 和 Vardoulakis I(1985 年) 提出平面变形体条件下粒状材
料的 Cosserat 介质理论 ,并预估了土的剪切带倾角和厚度的演化[11 ] 。Cerrolaza 在 Cosserat 理论的启发
下 ,建立了岩块的六点受力模型 ,单元通过这些点传递力和弯矩 ,在此基础上建立了倾覆准则以判断岩
应变梯度理论在岩土介质中的研究集中在以下问题上 : 1) 岩土介质微缺陷 (微裂隙 、微孔洞) 产生应力集中时 ,应变梯度效应所起到的作用 ; 2) 由于材料的不均匀产生的初始应变梯度对材料力学性质影响的大小 ; 3) 应变梯度在应变局部化的产生和发展中起到的作用 。 国内外不少学者关注到了岩土介质中的应变梯度效应 。本文回顾岩土力学中各种考虑应变梯度效 应的模型及其相互联系 ,并提出的一些看法 。
将剪应力 τxy和τyx分解为对称部分τS 和反对称部分τA :
τS = (τxy + τyx ) / 2 = G (εxy + εyx )
(5)
τA = (τxy - τyx ) / 2 = Gc (εxy - εyx )
(6)
其中 G 为剪切模量 ; Gc 为 Cosserat 剪切模量 。
第 21 卷 第 1 期 2005 年 3 月
长 沙 交 通 学 院 学 报 J OU RNAL OF CHAN GSHA COMMUN ICA TIONS UN IV ERSIT Y
文章编号 :1000 - 9779 (2005) 01 - 0047 - 06
Vol. 21 No. 1 Mar. 2005
2. 2 应变梯度塑性理论
1993 年 ,Fleck 和 Hutchinson 发展了一种基于弹性偶应力理论的应变梯度塑性理论 ( CS 理论) [13 ] 。
他们保持弹性偶应力理论的形变方程和平衡方程不变而将本构方程通过应变能密度函数 W 表示为如
下形式 :
σij = 5 W / 5εij , m ij = 5 W / 5χij
应用 ,并认为在节理岩体的力学分析中 ,偶应力理论将比一般的等效连续介质更接近实际[8 ] 。佘成学
等人利用 Cosserat 介质理论研究了具有弯曲效应的层状岩体变形问题 ,认为 Cosserat 介质更能模拟岩
层剪切错动和弯曲变形[9 ] 。刘俊 、陈胜宏将弹性偶应力理论应用于空间层状节理岩体 ,并认为用该理
应变梯度理论的产生和发展得益于人们对金属材料的研究 。人们在一系列著名的实验中观察到了 材料的尺寸效应 :1994 年 ,Fleck 做细铜丝的微扭转试验时发现 ,当细铜丝直径从 170 μm 降至 12 μm 时 ,细铜丝的无量纲剪切强度升高 3 倍[1 ] ;1993 年 ,Stelmashenko 和 Walls 等在微压痕和纤压痕试验中 发现 ,当压痕深度从 10μm 减小到 1 μm 时 ,所测得的单晶铜的压痕硬度增加 1 倍[2 ] ; 1998 年 , Stolken 和 Evans 在薄镍板的弯曲试验中观察到 ,当板厚从 50μm 降为 12. 5μm 时 ,板的弯曲强度明显增大[3 ] 。
认存在的材料内部长度参数的取值仍然没有脱离开假设 ,材料内部长度参数与微结构的相关性缺乏进
一步的理论和实验的说明和验证 。
De Borst 和 Muhlaus H B 认为在模拟固体应变软化时 ,应变梯度项的影响将变得十分重要 ,因此他
形变方程 :
εi = ui , i , ki = ωc, i , εij = uj , i - eijkωc
(1)
其中 : ui 为位移 ;ωc 为微元体中心点发生的转角 ; kij
为偶应力 m i 引起的微元体曲率 ;“,”表示对坐标的微
分 , (·) , i = 5 (·) / 5 x i 。
平衡方程 :