等差数列的基本性质

等差数列

一、等差数列的定义以及证明方法：

1、定义：若数列{a n }中，对于任意两项a n ，a n -1均有：a n -a n -1=d （d 为常数），则数列{a n }为等差数列.

注意一些等差数列的变形形式，如：

111n n d a a +-=（d 为常数，此时，数列{1

n

a }为等差数列）

d =(d

为常数，此时，数列⎧⎫为等差数列) ……

2、证明方法：

（1）定义法：若数列{a n }中，对于任意两项a n ，a n -1均有：a n -a n -1=d （d 为常数），则数列{a n }为等差数列.

（2）等差中项法：2a n+1=a n +a n+2

（3）通项公式法：若数列{a n }的通项公式为a n =pn+q 的一次函数，则数列{a n }为等差数列. （4）若数列{a n }的前n 项和为S n =An 2+Bn ，则数列{a n }为等差数列.

【例题1】【2013年，北京高考（文）】给定数列a 1，a 2，a 3，……，a n ，……，对i =1，2，……，n-1，该数列的前i 项的最大值记为A i ，后n –i 项a i+1，a i +2，……，a n 的最小值记为B i ，d i =A i –B i .

(I)设数列{a n }为3，4，7，1，求d 1，d 2，d 3的值.

(II)设d 1，d 2，……，d n -1是公差大于0的等差数列，且d 1>0，证明：a 1，a 2，a 3，……，a n -1是等差数列.

3、等差数列的通项公式：

（1）等差数列的通项公式：a n =a 1+(n-1)d 累加法和逐项法：对于形如1

n

n

a a f n 的形式，我们一般情况下，可以考虑使用逐项

法或者累加法，从而达到求a n 的目的.

变形形式： a n =a m +(n-m )d

由以上公式可以得到：n m

a a d n m

-=

-

（2）等差数列通项公式的一些性质：

①若实数m,n,p,q 满足：m+n=p+q ，则：n m p q a a a a +=+；特别的，若m+n=2p ，则：

2n m p a a a +=；

②若数列{a n }为等差数列，则下标成等差数列的新数列仍然成等差数列；

③若数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等差数列，则数列{pa n +qb n }还是等差数列； ④当d >0时，{a n }为递增数列；当d =0时，数列{a n }为常数列；当d <0时，数列{a n }为递减数列；

【例题1】【2015届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期末考试，3】在等差数列{}n a 中,首项

01=a ,公差,0≠d 若7321a a a a a k ++++= ,则k =（ ）

A . 22

B . 23

C . 24 D. 25

【变式训练】【2015届吉林省东北师大附中高三上学期第三次摸底考试，3】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若151,15a S ==，则6a 等于 （ ） A .8 B .7 C .6 D .5 4、等差数列的求和问题：——方法：倒序相加

()()()111111222

n n n n n n

S a a a a n d na d -=

+=++-=+⎡⎤⎣⎦ （1）在等差数列{a n }中，k S ，2k k S S -，32k k S S -成等差数列；或者：()233k k k S S S -=； （2）奇偶项问题：

在等差数列中，若项数为偶数项，即：当n=2m （n,m ∈N*）时，有：S 偶-S 奇=md ，

1

=

m

m S a S a +奇偶；

如果项数为奇数，即当n=2m+1时，此时，()()121121

212

m m m S a a m a +++=

+=+⋅； 1

=

S m S m +奇偶，项数n=+-S S S S 奇偶奇偶

. （3）若两个数列{a n }和{b n }均为等差数列，其前n 项和和前m 项和分别为S n 和T m ，则有：

21212121n n m m a S m b n T ---=⋅-，当m=n 时，则：2121

n n n n a S b T --= （4）等差数列前n 项和的最值问题： 由()2111222n n n d d S na d n a n -⎛

⎫=+

=+- ⎪⎝

⎭以及二次函数的知识可知，当d >0时，抛物线的开口向上，此时有最小值；当d <0时，抛物线的开口向下，此时函数有最大值。要注意的是不管是求最大值还是最小值，都不能忽视一个隐含条件，即：n ∈N*. （5）求绝对值和的两种情况：

情形一、奇偶项交替出现，绝对值数列为等差数列，此时，我们只要把负号去掉，直接按等差数列求和即可；

情形二、数列共n 项，前m (m

（6）前n 项和与a n 的关系：11,1

,2n n

n a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩

【例题2】【2015届黑龙江省哈六中高三上学期期末考试，7】已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若5418a a -=，则8S =（ )

.A 18 .B 36 .C 54 .D 72

【变式训练】【2015届安徽省江南十校高三期末大联考】4．设{}n a 是首项为1

2

-

,公差为d (d ≠0)的等差数列，n S 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则d =

A .-1

B .12-

C.18

D.12

【例题3】【2015届河北省邯郸市高三1月质检，17】等差数列{}n a 中，11-=a ，公差0≠d 且632,,a a a 成等比数列，前n 项的和为n S . （1） 求n a 及n S ；