《柱体锥体台体的表面积与体积》教学设计
柱体、锥体、台体的表面积与体积 优秀教案
1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积【课题】：§1.3.1柱体、锥体、台体的表面积 B【设计与执教者】：广东仲元中学，陈毅敏，qqkissmm-101@【教学时间】：07.11【学情分析】：（适用于平行班）教学对象是高一的学生，学生在初中对柱体、锥体、台体的表面积与体积已有感性的认识，本节课将巩固和提高有关柱体、锥体、台体的表面积与体积学习和理解，再举例分析其基本运用．本课拟从实物入手激发学生学习兴趣；在上述基础上，规范柱体、锥体、台体的表面积与体积的运算公式；最后突破本节难点“台体体积公式的推导”．【教学目标】：1、知识与技能（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。
（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
（3）培养学生空间想象能力和思维能力。
2、过程与方法（1）让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状。
（2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系。
3、情感与价值通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的求解过程，对自己空间思维能力影响。
从而增强学习的积极性。
【教学重点】：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算【教学难点】：台体体积公式的推导【教学突破点】：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算的教学，主要应当通过学生自己的亲身实践，动手操作来完成．教学时，教师要充分利用“思考”“探究”栏目中提出的问题，让学生在动手实践的过程中学直观的得出柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式，更进一步体验公式的实际作用．【教法、学法设计】：1．教法：通过对空间模型或运用计算机软件所呈现的空间几何体的开展过程的观察，帮助学生认识其结构特征，运用这些特征描述出柱体、锥体、台体的表面积和体积的组成部分，进一步掌握计算柱体、锥体、台体的表面积和体积的方法和技能．教学以激发学生学习兴趣为主，可以多展示一些具有典型几何特征的实物模型．2．学法：学生通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，通过剖析实物几何体感受几何体的特征，从而更好地完成本节课的教学目标。
柱体、锥体、台体的表面积与体积 优秀教案
因此，四面体S－ABC的表面积为：
S＝4× ＝
3．圆柱和圆锥的表面积
柱体、锥体、台体的表面积与体积
圆柱的侧面展开图是一个矩形，设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则圆柱的表面积为：
S＝2πr2＋2πrl＝2πr（r＋l）
圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则圆锥的表面积为：
S＝πr2＋πrl＝πr（r＋l）
4．圆台的表面积
圆台的侧面展开图是一个扇环，它的表面积为：S＝πr2＋πr2＋πr（R＋l）－πrR
＝πr2＋πr2＋πrl＋πR（r－r’）
又 ，即 ，
，所以，有
S＝πr2＋πr2＋πrl＋πR× ＝π（r2＋r2＋rl＋rl）
例2．一个圆台形花盆盆口直径为20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1．5cm，盆壁长15cm，那么花盆的表面积约是多少平方厘米（π取3．14，结果精确到1cm²）？
教学目标:
使学生掌握长方体圆柱、圆台、圆锥的表面展开图，通过展开图求这些几何体的表面积，简单的三棱锥的表面积求法，掌握数学的转化思想。
教学重点:圆柱、圆台、圆锥、棱锥的表面积的求法。
教学难点：圆台表面公式的推导。
教学过程:
一、复习提问
1．正方体和长方体的表面积怎么算？体积呢？圆柱、圆锥的侧面展开图分别是什么？
分析：花盆的表面积等于花盆的侧面面积加上底面面积，再减去底面圆孔的面积。
练习：
作业：
2．扇形的面积公式是什么？（S＝ ）
二、新课
1．正方体的展开图中有六个相同的正方形，表面积为六个相同正方形面积之和。
2．长方体的展开图有六个长方形，表面积为这六个长方形的面积之和，相对两个面的面积是一样的。
柱体、锥体、台体的表面积与体积 教学设计
教学目标
知识与技能目标：通过对柱、锥、台、球体的研究，掌握柱、锥、台、球的表面积和体积的求法；能运用公式求解，柱体、锥体和台体的全面积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系；培养学生空间想象能力和思维能力；
过程与方法目标：让学生经历几何全的侧面展一过程，感知几何体的形状；让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系；
活动10【活动】四、思考探究——提升认识
设计意图：提出问题，思考探究，让学生在思考，讨论中去探究发现柱体、椎体、台体之间的联系，让学生体验知识间的统一性。
问题（1）：圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系
问题（2）：圆台的表面积公式与圆柱及圆锥体积公式之间的变化关系
活动11【讲授】五、课堂小结
（1）祖暅ห้องสมุดไป่ตู้理
“幂势既同，则积不容异。”
设计意图：动态举例展示祖暅原理，即高度相等时，面积相等，故而他们的体积相等，为下面利用初中所学的正方体、长方体体积公式推导柱体体积公式做铺垫。
(2)柱体体积公式推导
动态展示：
分析：上图为底面积都等于S，高都等于h的任意一个棱柱、一个圆柱、一个长方体，由祖暅原理易知，它们的体积相同，且都等于Sh.
练习1：【教材P27 1、2；教材P28 1、2、3】
练习2：
已知圆锥的表面积为a㎡，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为；
2、棱台的两个底面面积分别是245c㎡和80ｃ㎡，截得这个棱台的棱锥的高为35cm，求这个棱台的体积；
3.正方形的内切球和外接球的体积的比为，表面积比为；
4.在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积.
《柱体、锥体、台体的表面积和体积》的教学设计
《柱体、锥体、台体的外表积与体积》第一课时教学设计省温江舒叶梅一、教学目标1 .知道求多面体外表积的一般方法，会求旋转体的外表积；把握柱、锥、台体的外表积的内在关系；2.借助于已有的数学知识及数学经验，探索柱、锥、台体的体积公式，体会从“平面〞到“空间〞转化的数学思想方法，培养学生类比和合情推理的意识和习惯，渗透对数学抽象、直观想象等数学素养的培养；3.引导学生发现柱体、锥体和台体的外表积与体积之间的内在联系，完善学生认知结构，培养学生用联系与运动的观点看问题的意识；4.知道祖暅原理，渗透数学文化，发挥数学教学的育人功能。
二、教学重难点教学重点：体会化归与转化、类比等数学思想方法，探索柱、锥、台体的外表积、体积的计算公式；教学难点：柱、锥、台体积公式的由来，尤其是柱体体积公式的由来。
三、学情背景与教学方法1．本课所教学学生为云南农业大学附属高一的学生，通过了解该的学生数学素养、自学能力、动手能力、合作与交流能力还不错。
班级分了几个学习小组，分小组合作探讨以及对其他小组成果进行评价。
2.课本上是直接给出柱体、锥体和台体的体积公式的，但那样做不符合高中课程之宗旨——数学思维的熏陶及数学素养的提升，丧失了数学教学应有的价值追求。
基于“用教材来教〞的意识，以及本课有些内容学生是熟悉的之特点，如正文体、长方体的外表积和体积公式，圆柱、圆锥的体积公式，这是本课可充分利用的资源。
本课的策略是：根据已有的知识经验获得一般性的结论，既注重直观感知与合情推理，又要不失时机地说理和推理，使学生在获得直观想象，素养熏陶的同时，也能得到理性认识的熏陶。
3. 本节课以问题为导引，以多媒体演示为载体，以引导学生在思考中发现为目标，通过环环相扣的问题，调动学生积极参与，促进学生深度学习。
要注意设计与生成的有机结合，相应予以点拨。
四、教学流程〔一〕创设情景，引入课题为了美化花盆，需要给花盆涂油漆上色，首先需要计算的是什么呢？进一步，要在花盆中摘种鲜花，需要在花盆中装土，这又是涉及计算什么的问题呢？设计意图：数学就在身边，通过花盆上色和装土问题，自然引入其外表积和体积的计算，引入课题，说明学了数学很有用，只要你有一双善于发现的眼睛，就能抓住数学的精髓。
柱体、锥体、台体的表面积与体积教案
柱体、锥体、台体的表面积与体积教学目标：1、知识与技能：（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。
（2）了解柱、锥、台的表面积和体积计算公式；能运用柱锥台的表面积体积公式和体积进行计算和解决有关实际问题2、过程与方法：通过观察几何体并探求计算公式，培养观察能力及空间想象能力。
3、情感、态度与价值观：用数学的眼光去捕捉现实世界三维的美教学重点：柱、锥、台体的表面积和体积计算.教学难点：熟练利用柱、锥、台体的表面积和体积公式解题教学过程：一、自主学习二、知识探究知识探究一、柱体、锥体、台体的表面积1.多面体的表面积（1）创设情境：问题1：在初中已经学过了正方体和长方体的表面积。
你知道正方体和长方体的展开图有什么关系吗？用几何画板展示长方体展开的过程，观察展开图，可以得出几何体的表面积等于它的展开图的面积（2)探究新知问题2：棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的多面体,它们的展开图是什么?如何计算它们的表面积?学生活动：独立思考，分组讨论，推举代表解决问题，学生评价补充总结：棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积即各个面的面积和(3)典例分析分析：由于四面体S-ABC 的四个面是全等的等边三角形,所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍。
解：先求△SBC 的面积,过点S 作SD ⊥BC,交BC 于点D.因为BC=a,SD=22223.22a SB BD a a -=+= 所以 21133.2224SBC S BC SD a a a ∆=⋅=⨯= 因此,四面体的表面积22343.4S a a =⨯= SB CAD 例1：已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S-ABC ，求它的表面积.(教材P 24页例1) 2.圆柱、圆锥、圆台的表面积（1） 探究新知问题3：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）a.圆柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线），讨论总结公式设圆柱的底面半径为r,母线长为l ,则有：S 圆柱侧=2rl π，S 圆柱表=2()r r l π+，其中为r圆柱底面半径，l 为母线长。
《柱体、锥体、台体的表面积与体积》教学设计-优秀教案
生学习活动，通过学生的行为表现判断学习目标的达成度）通过提问，讨论，问题的解决，目标的达成，合理评价学习活动。
6.学习活动设计教师活动学生活动环节一：（根据课堂教与学的程序安排）教师活动1（教学环节中呈现的学习情境、提出驱动性问题、学习任务类型；对应学生活动，示范指导学科思想方法，关注课堂生成，纠正思维错漏，恰当运用评价方式与评价工具持续评价促进学习。
下同）1.知识探究（一）柱体，锥体和台体的表面积提出问题：在初中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？正方体及其展开图长方体及其展开图学生活动1（学生在真实问题情境中开展学习活动；围绕完成学习任务开展系列活动与教的环节对应，学生分析任务-设计方案-解决问题-分享交流中学习并有实际收获。
下同）学生观察得到结论活动意图说明：（简要说明教学环节、学习情境、学习活动等的组织与实施意图，预设学生可能出现的障碍，说明环节或活动对目标达成的意义和学生发展的意义。
说出教与学活动的关联，如何在活动中达成目标，关注课堂互动的层次与深度）环节二：教师活动2问题1：棱柱，棱锥，棱台也是由多个平面图形围成的多面体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？学生活动2学生通过类比，开始知识迁移活动意图说明环节三：教的活动3问题2：如何根据圆柱，圆锥的几何特征，求它们的表面积？问题3：联系圆柱和圆锥的展开图，你能想象圆台展开图的形状，并画出它吗？如果圆台的上下底面半径分别为r1，r2，母线长为l，你能计算出它的表面积吗？问题4：圆柱，圆锥，圆台三者的表面积公式之间有什么关系？学生的活动3学生根据侧面展开图的特点，推导表面积公式，并进行总结，类比。
柱体、锥体、台体的表面积与体积 精品课教案
柱体、锥体、台体的表面积与体积5．圆（棱）台的体积
教学目标:使学生掌握柱体、锥体、台体的体积公式，用CAI 课件演示三棱锥的体积的求法，得出锥体的体积，通过对比掌握柱锥台体体积公式之间的联系与区别。
教学重难点:
柱体、锥体、台体的体积公式及其应用和锥体体积公式的推导。
教学过程:
一、复习提问
住体、锥体、台体的表面积怎么计算？圆台的计算公式是什么？
二、新课
1．特殊棱柱的体积
正方体、长方体、圆柱的体积：
V ＝Sh （S 为底面面积，h 为高）
2．一般棱柱的体积
V ＝Sh （S 为底面面积，h 为棱柱的高）
3．圆锥的体积
V ＝Sh （S 为底面面积，h 为高）
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它是同底等高的圆柱体积的三分之一。
4．探究棱锥的体积
探究：用几何画板制作CAI 课件，辅助教学，将一个棱柱三等分，证明每一份的棱锥的高与底面都相等，从而，棱锥的体积是棱柱体积的三分之一。
即棱锥的体积为：V ＝Sh （S 为底面面积，h 为高）。
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练习：作业：。
高中数学-柱体、锥体、台体的表面积与体积教案
1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积教案一、教学目标1.知识与技能（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。
（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台体的全积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系。
（3）培养学生空间想象能力和思维能力。
2.过程与方法（1）让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状。
（2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系。
3.情感与价值通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的求解过程，对自己空间思维能力影响。
从而增强学习的积极性。
二、教学重点、难点重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算。
难点：台体体积公式的推导。
三、教学过程1.创设情境，引出课题（1）教师提出问题：在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？引导学生回忆，互相交流，教师归类。
（2）教师设疑：几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么，柱体，锥体，台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？引入本节内容。
2.自主学习，合作探究（1）利用多媒体设备向学生投放正棱柱、正三棱锥和正三棱台的侧面展开图。
（2）组织学生分组讨论：这三个图形的表面由哪些平面图形构成？表面积如何求？（3）教师对学生讨论归纳的结果进行点评。
3.质疑答辩、排难解惑、发展思维（1）教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构，并归纳出其表面积的计算公式:rl r S ππ222+=圆柱表面积（r 为底面半径 ， l 为母线长）rl r S ππ+=2圆锥表面积（r 为底面半径 ， l 为母线长）)''22rl l r r r S +++=（圆台表面积π（r 1为上底半径 ，r 为下底半径，l 为母线长） （2）组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系。
（3）教师引导学生探究：如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥？由此加深学生对等底、等高的锥体与柱体体积之间的关系的了解。
柱体、锥体、台体的表面积与体积 优秀教案
柱体、锥体、台体的表面积
【教学目标】
1．知识与技能
（1）了解柱体、锥体与台体的表面积（不要求记忆公式）。
（2）能运用公式求解柱体、锥体和台体的全面积。
（3）培养学生空间想象能力和思维能力。
2．过程与方法
让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状，培养转化化归能力。
3．情感、态度与价值观
通过学习，使学生感受到几面体表面积的求解过程，激发学生探索创新的意识，增强学习的积极性。
【教学重难点】
重点：柱体、锥体、台体的表面积公式的推导与计算。
难点：展开图与空间几何体的转化。
【教学方法】
学导式：学生分析交流与教师引导、讲授相结合。
，各面均为等边三角形S –，求它的表面积。
，底部渗水圆孔直径为15cm。
为了美化花。
柱体、锥体、台体的表面积和体积教学设计
范例：以新课标教材人民教育出版社A版(2004年)必修2《1．3．1 柱体、锥体、台体的表面积与体积》一、教学目标1．知识与技能(1)通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。
(2)能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系。
(3)培养学生空间想象能力和思维能力。
2．过程与方法(1)让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状。
(2)让学生通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体三者间的面积和体积的关系。
(3)在解决问题的过程中渗透化归的数学思想，培养学生通过化归解决问题的能力和意识，体验合情推理的方法和作用。
(在解决后面的问题时能主动用化归思想。
) 3．情感、态度与价值观(1)通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的求解过程对自己空间思维能力的影响，从而增强学习的积极性。
(2)培养学生质疑的意识，以促进学生思维严谨性的形成。
(学生并不习惯于质疑，可以通过教师的质疑逐步引导，培养理性的精神。
)二、学情分析学生已具备一些直观的对简单几何体的认识，理性思维还不很成熟，所以在实际教学时，要使学生对已有知识经验的认识上升到新的高度，从而激发学生进一步学习的欲望。
三、教材分析1．本节的作用和地位本节内容是高中的一个重要内容，它能使学生的认识在理性方面有所提高，通过本节内容的学习可使学生掌握一种重要的数学思想方法——化归，因此本节内容十分重要。
2．本节主要内容该部分内容中有一些是学生熟悉的，比如正方体、长方体、圆柱、圆锥的表面积和体积。
其他空间几何体——一般棱柱、棱锥、棱台和圆台的表面积、体积问题是本课时要解决的。
在解决这些问题的过程中，首先要对学生已有的知识进行再认识，提炼出解决问题的一般思想——化归的思想，总结出一般的求解方法，在此基础上通过类比获得解决新问题的思路，通过化归解决问题，深化对化归、类比等思想方法的应用，这也是学习下一章内容时要用的基本方法。
柱体、锥体、台体的表面积与体积 精品课教案
柱体、锥体、台体的体积【教学目标】1．知识与技能（1）了解几何体体积的含义，以及柱体、锥体与台体的体积公式。
（不要求记忆公式）（2）熟悉台体与柱体和锥体之间体积的转换关系。
（3）培养学生空间想象能力和思维能力。
2．过程与方法（1）让学生通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体之间的体积关系。
（2）通过相关几何体的联系，寻找已知条件的相互转化，解决一些特殊几何体体积的计算。
3．情感、态度与价值观通过柱体、锥体、台体体积公式之间的关系培养学生探索意识。
【教学重难点】重点：柱体、锥体、台体的体积计算。
难点：简单组合体的体积计算。
【教学方法】讲练结合教学环节教学内容师生互动设计意图新课导入1．复习柱体、锥体、台体表面积求法及相互关系。
教师设问，学生回忆师：今天我们共同学习柱体、锥体、台体的另一个重要的量：体积。
复习巩固点出主题探索新知柱体、锥体、台体的体积1．柱体、锥体、台体的体积公式：V柱体= Sh (S是底面积，h为柱体高)师：我们已经学习了正方体，长方体以及圆柱的体积公式，它们的体积公式是什么？生：V = Sh (S为底面柱体、锥体、台体的体积公式只要求了解，故其中S′、S分别为上、下底面面积，Q为台体的高(即两底面之间的距离)师：现在大家计论思考一下台体体积公式与柱体、锥体的体积公式有什么关系？生：令S′=0，得到锥体体积公式。
令S′=S，得到柱体体积公式。
培养探索意识，加深对空间几何体的了解和掌握。
典例分析例1 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7．8g/cm³)六角螺帽(如图)共重5．8kg，已知底面是正六边形，边长为12cm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个(π取3．14，可用计算器)？解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即2．956(cm³)所以螺帽的个数为5．8×1000÷(7．8×2．956)≈ 252(个)答：这堆螺帽大约有252个。
柱体、锥体、台体的表面积与体积教学设计
《柱体、锥体、台体的表面积与体积》教学设计(总7页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-《柱体、锥体、台体的表面积》教学设计一、教材的理解与处理空间几何体的表面积问题是生产、生活中的实际问题，研究这类问题有助于培养学生的数学应用意识；立体几何中的核心思想“立体问题平面化”的思想在本节也得到体现，把空间几何体展开成平面图形。
棱柱、棱锥可以看成棱台的两种特殊情况，我们还可以体会圆柱、圆锥、圆台与棱柱、棱锥、棱台侧面积公式之间的一致性，体现了数学的统一美。
二、教学目标确定说明学生在初中虽然已经接触过平面几何体的概念，但学生尚缺乏空间想象能力，还缺乏知识的迁移与类比能力，这些都需要教师在课堂教学过程中有意识地、创造性地培养学生逐步形成.数学教学的重要目标之一是提高学生的数学思维能力，通过不同形式的探究活动，让学生亲身经历知识的发生和发展过程，从中领悟解决问题的思想方法，不断提高分析和解决问题的能力，使数学学习变成一种愉快的探究活动，从中体验成功的喜悦，不断增强探究知识的欲望和热情，养成一种良好的思维品质和习惯。
根据本节课的教学内容和我所教学生的实际，本节课的教学目标确定为以下三个方面：1.知识与技能：使学生通过柱体、锥体、台体的表面积的探索，学会将空间问题转化为平面问题进行解决的数学思想方法.2.过程与方法：使学生在表面积公式的推导过程中充分感受数学的转化思想、类比思想，提高学生分析问题与解决问题的能力.3.情感态度与价值观：通过和谐对称规范的图形，给予学生以数学美的享受；同时发展学生求知、求实、勇于探索的情感与态度.三、教学重点、难点确定说明本节课如果只把几组公式告诉学生，并让他们进行一些训练就能达到要求。
这样做就失去渗透相关重要数学思想的机会，就失去让学生体会数学美的机会。
数学教学中应强调对基本概念和基本思想方法的理解和掌握，并能灵活应用所学知识解决实际问题，根据本节课的教学内容和学生认知结构特征，重点确定为：理解和掌握柱体、锥体、台体的表面积的构成形式，以便从度量的角度认识空间几何体.难点为：用联系、类比、运动变化的思想推导柱体、锥体、台体的表面积四、教学策略的选择说明丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法是数学教学追求的。
高中数学必修二柱体、锥体、台体的表面积与体积公开课教案课件教案课件
柱体、锥体、台体的表面积与体积一、教学目标1、知识与技能（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。
（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
（3）培养学生空间想象能力和思维能力。
2、过程与方法（1）让学生经历几何全的侧面展一过程，感知几何体的形状。
（2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系。
3、情感与价值通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的求解过程，对自己空间思维能力影响。
从而增强学习的积极性。
二、教学重点、难点重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算难点：台体体积公式的推导三、学法与教学用具1、学法：学生通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，通过剖析实物几何体感受几何体的特征，从而更好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：实物几何体，投影仪四、教学设想1、创设情境（1）教师提出问题：在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？引导学生回忆，互相交流，教师归类。
（2）教师设疑：几何体的表面积等于它的展开圈的面积，那么，柱体，锥体，台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？引入本节内容。
2、探究新知（1）利用多媒体设备向学生投放正棱柱、正三棱锥和正三棱台的侧面展开图（2）组织学生分组讨论：这三个图形的表面由哪些平面图形构成？表面积如何求？（3）教师对学生讨论归纳的结果进行点评。
3、质疑答辩、排难解惑、发展思维（1）教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构，并归纳出其表面积的计算公式:)''22rl l r r r S +++=（圆台表面积πr 1为上底半径 r 为下底半径 l 为母线长（2）组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系。
（3）教师引导学生探究：如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥？由此加深学生对等底、等高的锥体与柱体体积之间的关系的了解。
柱、锥、台的表面积与体积教案
第一章空间立体几何初步1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1柱、锥、台的表面积与体积一、学习目标1．知识与技能(1)理解正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积及表面积的定义．(2)了解圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积的计算公式．能够运用柱、锥、台的表面积与体积公式求简单几何体的表面积与体积．(重点)(3)了解球的表面积与体积公式.(4)会解决球的组合体及三视图中球的有关问题．(难点)2．过程与方法(1)让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状．(2)让学生通过对照比较，发现柱体、锥体、台体三者间体积的关系．(3)通过作轴截面，寻找旋转体类组合体中量与量之间的关系．3．情感、态度与价值观使学生通过表面积与体积公式的探究过程，体会数学的转化和类比的思想，从而增强学习的积极性．二、重点、难点重点：棱柱、棱锥、棱台和球的表面积计算．难点：棱台的表面积公式的推导．重难点突破：先从学生熟悉的正方体和长方体的展开图为切入点，分析几何体的展开图与其表面积的关系，然后通过“探究”和“思考”引导学生归纳棱柱、棱锥和棱台的表面积公式，并让学生熟悉并掌握球的表面积公式．三、教学方法类比、练习、自学四、专家建议通过对柱、锥、台的表面积与体积的学习探究，明确柱体、锥体、台体三者间体积的关系，明确表面积与体积公式的探究过程，体会数学的转化和类比的思想。
五、教学过程●新知探究知识点1 棱柱、棱锥、棱台的表面积【问题导思】1．正方体与长方体的展开图如下图(1)(2)所示，则相应几何体的表面积与其展开图的面积有何关系？【提示】相等．2．棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积是否也都相等？【提示】是．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积．知识点2 圆柱、圆锥、圆台的表面积【问题导思】圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别如图中(1)、(2)、(3)所示．1．上述几何体侧面展开图的面积与该几何体的表面积相等吗？【提示】不相等．2．如何计算上述几何体的表面积？【提示】几何体的表面积等于侧面积与底面积之和．圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱(底面半径为r，母线长为l) 圆锥(底面半径为r，母线长为l)圆台(上、下底面半径为r′，r，母线长为l)底面积S底＝πr2S底＝πr2S底＝π(r′2＋r2) 侧面积S侧＝2πrl S侧＝πrl S侧＝π(r′l＋rl)表面积S表＝2πr(r＋l) S表＝πr(r＋l)S表＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)【问题导思】1．正方体、长方体、圆柱的体积公式如何表示？【提示】V＝Sh，其中S为底面面积，h为高．2．上述体积公式对所有柱体都适用吗？【提示】都适用．1．祖暅原理(1)“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．(2)作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等.(3)说明：祖暅原理充分体现了空间与平面问题的相互转化思想，是推导柱、锥、台体积公式的理论依据．2．柱、锥、台、球的体积其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面圆的半径，R表示球的半径．名称体积(V)柱体棱柱Sh圆柱πr2h锥体棱锥13Sh圆锥13πr2h台体棱台13h(S＋SS′＋S′)圆台13πh(r 2＋rr′＋r′2)●典例分析类型1 求棱柱、棱锥、棱台的表面积例1.已知正四棱锥底面边长为4，高与斜高夹角为30°.求它的侧面积和表面积．【分析】根据多面体的侧面积公式，可以先求出相应多面体的底面边长和各侧面的斜高，进而由公式求解．【解析】 如图所示，设正四棱锥的高为PO ，斜高为PE ，底面边心距为OE ，它们组成一个直角三角形POE.∵OE ＝42＝2，∠OPE ＝30°，∴PE ＝OE sin 30°＝212＝4.∴S 正四棱锥侧＝12ch ′＝12×(4×4)×4＝32，S 表面积＝42＋32＝48.即该正四棱锥的侧面积是32，表面积是48.方法总结：1．要求锥体的侧面积及表面积，要利用已知条件寻求公式中所需的条件，一般用锥体的高、斜高、底面边心距等量组成的直角三角形求解相应的量．2．空间几何体的表面积运算，一般是转化为平面几何图形的运算，往往通过解三角形来完成． 变式训练：(2013·XX 高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A ．180B ．200C ．220D ．240【解析】 由三视图知识知该几何体是底面为等腰梯形的直四棱柱．等腰梯形的上底长为2，下底长为8，高为4，腰长为5，直四棱柱的高为10，所以S 底＝12×(8＋2)×4×2＝40，S 侧＝10×8＋10×2＋2×10×5＝200，S 表＝40＋200＝240，故选D.【答案】 D类型2 求圆柱、圆锥、圆台的表面积图1－1－64例2．如图1－1－64所示，已知直角梯形ABCD ，BC ∥AD ，∠ABC ＝90°，AB ＝5 cm ，BC ＝16 cm ，AD ＝4 cm.求以AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积．【分析】分析几何体的形状――→选择表面积公式求表面积【解析】以AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4 cm ，下底半径是16 cm ，母线DC ＝52＋（16－4）2＝13 (cm)．∴该几何体的表面积为π(4＋16)×13＋π×42＋π×162＝532π(cm 2)．方法总结：1．圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键．2．棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解．变式训练：在题设条件不变的情况下，求以BC 所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积．【解】 以BC 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体，如图所示： 其中圆锥的高为16－4＝12(cm)，圆柱的母线长为AD ＝4 cm ，故该几何体的表面积为： 2π×5×4＋π×52＋π×5×13＝130π(cm 2)．类型三求柱体的体积例3．(2014·XX 高考)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A ．72 cm 3B ．90 cm 3C ．108 cm 3D ．138 cm 3【分析】三视图――→还原几何体――→是否分割计算体积 【解析】该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示．V ＝V 三棱柱＋V 长方体＝12×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90(cm 3)．【答案】 B方法总结：1．解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据．2．若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成，求几何体的体积时，依据需要先将几何体分割分别求解，最后求和．变式训练：一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是()A ．16＋42B ．12＋4 2C ．8D ．4【解析】 由三视图可知，该几何体是一个平放的直三棱柱，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以该几何体的体积为12×2×2×2＝4，选D.【答案】 D类型4 求锥体的体积例4.如图三棱台ABC －A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，求三棱锥A 1－ABC ，三棱锥B －A 1B 1C ，三棱锥C －A 1B 1C 1的体积之比．【分析】AB ∶A 1B 1＝1∶2―→S △ABC ∶S △A 1B 1C 1―→计算VA 1－ABC ―→计算VC －A 1B 1C 1―→计算VB －A 1B 1C【解析】 设棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，则S △A 1B 1C 1＝4S.∴VA 1－ABC ＝13S △ABC ·h ＝13Sh ，VC －A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ＝43Sh.又V 台＝13h(S ＋4S ＋2S)＝73Sh ，∴VB －A 1B 1C ＝V 台－VA 1－ABC －VC －A 1B 1C 1 ＝73Sh －Sh 3－4Sh 3＝23Sh ， ∴体积比为1∶2∶4.方法总结：三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系，割补法在立体几何中是一种重要的方法．变式训练：在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是()A.23B.76C.45D.56【解析】 如图，去掉的一个棱锥的体积是13×⎝⎛⎭⎫12×12×12×12＝148，剩余几何体的体积是1－8×148＝56.【答案】 D类型5 求台体的体积例5.已知正四棱台两底面边长分别为20 cm 和10 cm ，侧面积是780 cm 2.求正四棱台的体积． 【分析】可以尝试借助四棱台内的直角梯形．求出棱台底面积和高，从而求出体积． 【解析】如图所示，正四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1＝10 cm ，AB ＝20 cm.取A 1B 1的中点E 1，AB 的中点E ，则E 1E 是侧面ABB 1A 1的高．设O 1、O 分别是上、下底面的中心，则四边形EOO 1E 1是直角梯形．由S 侧＝4×12(10＋20)·E 1E ＝780，得EE 1＝13，在直角梯形EOO 1E 1中，O 1E 1＝12A 1B 1＝5，OE ＝12AB ＝10，∴O 1O ＝E 1E 2－（OE －O 1E 1）2＝12， V 正四棱台＝13×12×(102＋202＋10×20) ＝2 800 (cm 3)．故正四棱台的体积为2 800 cm 3.方法总结：求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高．要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系．变式训练：本例若改为“正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2 cm和4 cm，侧棱长为2 cm，求该棱台的体积．”【解】如图，正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，上、下底面边长分别为2 cm和4 cm，则O1B1＝ 2 cm，OB＝2 2 cm，过点B1作B1M⊥OB于点M，那么B1M为正四棱台的高，在Rt△BMB1中，BB1＝2 cm，MB＝(22－2)＝ 2 (cm)．根据勾股定理MB1＝BB21－MB2＝22－（2）2＝2(cm)．S上＝22＝4 (cm2)，S下＝42＝16(cm2)，∴V正四棱台＝13×2×(4＋4×16＋16)＝13×2×28＝283 2 (cm3)．六、课堂总结一、柱、锥、台的表面积1．如果长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么它的表面积S表＝2(ab＋bc＋ac)；如果正方体的棱长为a，那么它的表面积为S表＝6a2.2．求棱锥的表面积，可以先求侧面积，再求底面积．求侧面积，要清楚各侧面三角形的形状，并找出求其面积的条件．求底面积，要清楚底面多边形的形状及求其面积的条件．3．求棱台的侧面积时要注意利用公式及正棱台中的直角梯形，它是架起求侧面积关系式中的未知量与满足题目条件中几何图形元素间关系的桥梁．二、柱、锥、台的体积1．计算柱体、锥体和台体的体积时，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．旋转体的轴截面是用过旋转轴的平面去截旋转体而得到的截面．例如，圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是三角形，圆台的轴截面是梯形．2．在求不规则的几何体的体积时，可利用分割几何体或补全几何体的方法转化为柱、锥、台的体积计算问题．七、板书设计柱、锥、台的表面积与体积学习目标(1)理解正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积及表面积的定义．(2)了解圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积的计算公式．能够运用柱、锥、台的表面积与体积公式求简单几何体的表面积与体积．(重点)(3)了解球的表面积与体积公式.知识点解析1.棱柱、棱锥、棱台的表面积2.圆柱、圆锥、圆台的表面积3. 柱体、锥体、台体的体积注意事项：1．典例分析例1例2例3例4学生练习小结：作业当堂检测反馈八、当堂检测1．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为2，体对角线长为6，则这个棱柱的侧面积是() A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【解析】 由已知得底面边长为1，侧棱长为6－2＝2.∴S 侧＝1×2×4＝8. 【答案】 D2．长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则长方体的体积与表面积分别为() A ．6，22B ．3，22C ．6，11D ．3，11【解析】 V ＝1×2×3＝6，S ＝2(1×2)＋2(1×3)＋2(2×3)＝22. 【答案】 A3．圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，则其表面积等于() A ．72 B ．42π C ．67π D ．72π【解析】 S 圆台表＝S 圆台侧＋S 上底＋S 下底＝π(3＋4)·6＋π·32＋π·42＝67π. 【答案】 C4．侧面是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a ，该三棱锥的表面积为() A.3＋34a 2 B.34a 2C.3＋32a 2D.6＋34a 2【解析】 底面边长为a ，则斜高为a2，故S 侧＝3×12a ×12a ＝34a 2.而S 底＝34a 2，故S 表＝3＋34a 2.【答案】 A5．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥D 1－ACD 的体积是()A.16B.13C.12D ．1 【解析】 三棱锥D 1－ADC 的体积V ＝13S △ADC ×D 1D ＝13×12×AD ×DC ×D 1D ＝13×12＝16. 【答案】 A6．根据图中标出的尺寸，求各几何体的体积．【解】 (1)该几何体是圆锥，高h ＝10，底面半径r ＝3，所以底面积S ＝πr 2＝9π，则V ＝13Sh ＝13×9π×10＝30π.(2)该几何体是正四棱台，两底面中心连线就是高h ＝6，上底面面积S 上＝64，下底面面积S 下＝144，则V ＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)h ＝13×(64＋144＋64×144)×6＝608. 九、课后延伸1.如图所示，已知等腰梯形ABCD 的上底AD ＝2 cm ，下底BC ＝10 cm ，底角∠ABC ＝60°，现绕腰AB 旋转一周，求所得的旋转体的体积．【分析】分析旋转体的特征→分割→对每部分几何体求体积→求组合体的体积【解析】过D 作DE ⊥AB 于E ，过C 作CF ⊥AB 于F ，Rt △BCF 绕AB 旋转一周形成以CF 为底面半径，BC 为母线长的圆锥；直角梯形CFED 绕AB 旋转一周形成圆台；直角三角形ADE 绕AB 旋转一周形成圆锥，那么梯形ABCD 绕AB 旋转一周所得的几何体是以CF 为底面半径的圆锥和圆台，挖去以A 为顶点、以DE 为底面半径的圆锥的组合体．∵AD ＝2，BC ＝10，∠ABC ＝60°， ∴在Rt △BCF 中，BF ＝5，FC ＝5 3. ∵AD ∥BC ，∴∠DAE ＝∠ABC ＝60°， ∴在Rt △ADE 中，DE ＝3，AE ＝1. 又在等腰梯形ABCD 中可求AB ＝8， ∴AF ＝AB －BF ＝8－5＝3，EF ＝AE ＋AF ＝4，∴旋转后所得几何体的体积为V ＝13π·BF ·FC 2＋13π·EF ·(DE 2＋FC 2＋DE·FC)－13π·AE ·DE 2 ＝13π·5·(53)2＋13π·4·[(3)2＋(53)2＋3·53]－13π·1·(3)2＝248π(cm 3) 故所得的旋转体的体积为248π cm 3.方法总结：求组合体的体积时，常根据相应情况把它分解成柱、锥、台体等后分别求体积，然后求代数和． 变式训练：y ＝|x|和y ＝3围成的封闭平面图形绕y 轴旋转一周所得到的旋转体的体积与绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的体积之比是()A ．4∶1B ．1∶4C ．(1＋2)∶(4＋22)D ．以上都不对【解析】 如图．封闭平面图形为△AOB ，绕y 轴旋转一周所得几何体的体积V 1＝13π×32×3＝9π，△AOB 绕x 轴旋转一周所得几何体的体积为V 2＝π×32×6－2×13π×32×3＝36π，∴V 1∶V 2＝9π∶36π＝1∶4.【答案】 B2.如果一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则此几何体的表面积是()A ．(80＋162)cm 2B ．96 cm 2C ．(96＋162)cm 2D ．112 cm 2【分析】通过三视图的知识及几何体表面积公式求解．【解析】 由题意知该几何体是一个正方体与一个正四棱锥的组合体．正方体五个面的面积和为80 cm 2；正四棱锥的侧面积为16 2 cm 2.【答案】 A方法总结：解决与三视图有关的几何体的问题，首先要想象或画出直观图，然后再去求解． 变式训练：某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是()A ．32B ．16＋16 2人教A 版数学教案必修2 第一章1.3 第一课时 第11页共11页C ．48D ．16＋32 2 【解析】 由三视图还原几何体的直观图如图所示．S 表＝⎝⎛⎭⎫12×4×22×4＋4×4＝16＋16 2. 【答案】 B。
柱体、锥体、台体的表面积与体积 说课稿 教案 教学设计
柱体、锥体、台体的表面积与体积●三维目标1．知识与技能(1)通过对柱、锥、台体的研究，了解柱、锥、台的表面积和体积的求法．(2)能运用公式求解柱体、锥体和台体的表面积和体积，熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系．(3)培养学生空间想象能力和思维能力．2．过程与方法(1)让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状．(2)让学生通过对照比较，发现柱体、锥体、台体三者间体积的关系．3．情感、态度与价值观使学生通过表面积和体积公式的探究过程，体会数学的转化和类比的思想，从而增强学习的积极性．●重点难点重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算．难点：台体的表面积和体积公式的推导．重难点突破：先从学生熟悉的正方体和长方体的展开图为切入点，分析几何体的展开图与其表面积的关系，然后通过“探究”和“思考”引导学生归纳圆柱、圆锥和圆台的表面积公式；紧接着类比初中学过的正方体、长方体及圆柱的体积公式，得出一般柱体的体积公式；对于三棱柱和三棱锥的关系，教师可展示一些由一个棱柱切开成3个棱锥的模具，让学生通过观察，感知柱、锥体间的关系，进而得到一般锥体的体积公式，难点得以化解；最后由台体的概念得出台体的体积公式，为更好的突出教学的重点，可通过典例训练提高学生的应用能力．●教学建议本节内容是在学生已从结构特征和视图两个方面感性认识空间几何体的基础上，进一步从度量的角度来认识空间几何体，目的在于使学生了解空间几何体的表面积和体积的计算方法．教学时，教师可采用问题引导教学法，借助多媒体和实物展示，一步步地引导学生认识几何体的结构特征和展开图，让学生在探究知识的形成过程中，体会空间问题平面化的思想；关于体积的教学，可引导学生通过类比的方法给予突破，不必在公式推导过程上花费太多的时间．●教学流程课标解读1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积与体积的求法．(重点)2．会求组合体的表面积与体积．(难点、易错点)棱柱、棱锥、棱台的表面积【问题导思】1．正方体与长方体的展开图如下图(1)(2)所示，则相应几何体的表面积与其展开图的面积有何关系？【提示】相等．2．棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积是否也都相等？【提示】是．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积．圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别如图中(1)、(2)、(3)所示．1．上述几何体侧面展开图的面积与该几何体的表面积相等吗？【提示】不相等．2．如何计算上述几何体的表面积？【提示】几何体的表面积等于侧面积与底面积之和．圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱(底面半径为r，母线圆锥(底面半径为r，母线圆台(上、下底面半径为长为l )长为l ) r ′，r ，母线长为l ) 底面积 S 底＝πr 2 S 底＝πr 2 S 底＝π(r ′2＋r 2) 侧面积 S 侧＝2πrl S 侧＝πrl S 侧＝π(r ′l ＋rl )表面积S 表＝2πr (r ＋l )S 表＝πr (r ＋l )S 表＝π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl )柱体、锥体与台体的体积【问题导思】1．正方体、长方体、圆柱的体积公式如何表示？ 【提示】 V ＝Sh ，其中S 为底面面积，h 为高． 2．上述体积公式对所有柱体都适用吗？ 【提示】 都适用．1．柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh . 2．锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝13Sh .3．台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h .空间几何体的表面积如图1－3－1所示，已知直角梯形ABCD ，BC ∥AD ，∠ABC ＝90°，AB＝5 cm ，BC ＝16 cm ，AD ＝4 cm.求以AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积．图1－3－1【思路探究】 分析几何体的形状――――――→选择表面积公式求表面积【自主解答】 以AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4 cm ，下底半径是16 cm ，母线DC ＝52＋(16－4)2＝13 (cm)．∴该几何体的表面积为π(4＋16)×13＋π×42＋π×162＝532π(cm2)．1．圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键．2．棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解．在题设条件不变的情况下，求以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积．【解】以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体，如图所示：其中圆锥的高为16－4＝12(cm)，圆柱的母线长为AD＝4 cm，故该几何体的表面积为：2π×5×4＋π×52＋π×5×13＝130π(cm2)．空间几何体的体积三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1－ABC，三棱锥B－A1B1C，三棱锥C－A1B1C1的体积之比．图1－3－2【思路探究】AB ∶A 1B 1＝1∶2―→S △ABC ∶S △A 1B 1C 1―→计算VA 1－ABC ―→计算VC －A 1B 1C 1―→计算VB －A 1B 1C【自主解答】 设棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，则S △A 1B 1C 1＝4S . ∴VA 1－ABC ＝13S △ABC ·h ＝13Sh ，VC －A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ＝43Sh .又V 台＝13h (S ＋4S ＋2S )＝73Sh ，∴VB －A 1B 1C ＝V 台－VA 1－ABC －VC －A 1B 1C 1 ＝73Sh －Sh 3－4Sh 3＝23Sh ， ∴体积比为1∶2∶4.求几何体体积的常用方法(2012·山东高考)如图1－3－3，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为________．图1－3－3【解析】 利用三棱锥的体积公式直接求解．·AB ＝13×12×1×1×1＝16.【答案】 16与三视图有关的几何体的表面积、体积问题(2012·安徽高考)某几何体的三视图如图1－3－4所示，则该几何体的体积等于________．图1－3－4【思路探究】 三视图――→还原几何体―――→是否分割计算体积【自主解答】 由几何体的三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱(如图所示)．在四边形ABCD 中，作DE ⊥AB ，垂足为E ，则DE ＝4，AE ＝3. ∴其体积为12×(2＋5)×4×4＝56.【答案】 561．解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据．2．若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成，求几何体的体积时，依据需要先将几何体分割分别求解，最后求和．在题设条件不变的情况下，求该几何体的表面积． 【解】 依题意得，该几何体的表面积S ＝2×12×(2＋5)×4＋2×4＋4×5＋4×5＋4×4＝92.对几何体的表面积理解不全面致误如图1－3－5所示，从底面半径为2a ，高为3a 的圆柱中，挖去一个底面半径为a 且与圆柱等高的圆锥，求圆柱的表面积S 1与挖去圆锥后的几何体的表面积S 2之比．图1－3－5【错解】由题意，知S1＝2π·2a·3a＋2π(2a)2＝(43＋8)πa2，S2＝S1－πa2＝(43＋7)πa2.∴S1∶S2＝(43＋8)∶(43＋7)．【错因分析】挖去圆锥的几何体的表面积去掉了一个半径为a的圆的面积，但同时增加了一个圆锥的侧面的面积，而上面的解法未考虑到增加的部分．【防范措施】几何体的表面积是各个面的面积之和，因此求组合体的表面积时切忌直接套用柱、锥、台的表面积公式，而应先分析该几何体由几部分组成，几何体各个面间有无重叠，再结合相应几何体选择公式求解．【正解】由题意，知S1＝2π·2a·3a＋2π·(2a)2＝(43＋8)πa2，S2＝S1＋πa·(2a)－πa2＝(43＋9)πa2.∴S1∶S2＝(43＋8)∶(43＋9)．小结1．圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键．2．计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．3．在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”、“补体思想”及“等价转化思想”．。
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《柱体、锥体、台体的表面积》教学设计
一、教材的理解与处理
空间几何体的表面积问题是生产、生活中的实际问题，研究这类问题有助于培养学生的数学应用意识；立体几何中的核心思想“立体问题
平面化”的思想在本节也得到体现，把空间几何体展开成平面图形。
棱
柱、棱锥可以看成棱台的两种特殊情况，我们还可以体会圆柱、圆锥、
圆台与棱柱、棱锥、棱台侧面积公式之间的一致性，体现了数学的统一
美。
二、教学目标确定说明
学生在初中虽然已经接触过平面几何体的概念，但学生尚缺乏空间想象能力，还缺乏知识的迁移与类比能力，这些都需要教师在课堂教学
过程中有意识地、创造性地培养学生逐步形成.
数学教学的重要目标之一是提高学生的数学思维能力，通过不同形式的探究活动，让学生亲身经历知识的发生和发展过程，从中领悟解决
问题的思想方法，不断提高分析和解决问题的能力，使数学学习变成一
种愉快的探究活动，从中体验成功的喜悦，不断增强探究知识的欲望和
热情，养成一种良好的思维品质和习惯。
根据本节课的教学内容和我所
教学生的实际，本节课的教学目标确定为以下三个方面：
1.知识与技能：使学生通过柱体、锥体、台体的表面积的探索，学会将空间问
题转化为平面问题进行解决的数学思想方法.
2.过程与方法：使学生在表面积公式的推导过程中充分感受数学的转化思想、类比
思想，提高学生分析问题与解决问题的能力.
3.情感态度与价值观：通过和谐对称规范的图形，给予学生以数学美的享受；同时发展学生求知、求实、勇于探索的情感与态度.
三、教学重点、难点确定说明
本节课如果只把几组公式告诉学生，并让他们进行一些训练就能达到要求。
这样做就失去渗透相关重要数学思想的机会，就失去让学生体会数学美的机会。
数学教学中应强调对基本概念和基本思想方法的理解和掌握，并能灵活应用所学知识解决实际问题，根据本节课的教学内容和学生认知结构特征，重点确定为：理解和掌握柱体、锥体、台体的表面积的构成形式，以便从度量的角度认识空间几何体.难点为：用联系、类比、运动变化的思想推导柱体、锥体、台体的表面积
四、教学策略的选择说明
丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法是数学教学追求的。
学生的数学学习不应只限于概念，结论和方法的记忆，模仿和接受。
本节课主要是多面体和旋转体的表面积，学习过程中，要使学生理解知识点，并会灵活应用，要鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与，既要有教师的讲授和指导，也要有学生的自主探究与合作交流。
因此，本设计主要采用的教学方法是引导发现法，结合本课的教学内容与学生实际，整体思路是：创设情境→自主探究→合作交流→得出结论→理解应用→提高能力。
在教具使用上做到以下三点：
1、学生课前自己制作几何体模型，激发学生思维的兴趣。
2、运用ppt制作课件，做到图文并茂。
3、运用几何画板制作课件，创设探求空间，展现思维过程。
六、教学环节设计说明
（一）．创设情境，引入新课
[问题]：在初中，我们就学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图，你知道它们的展开图与其表面积的关系吗
设计意图：1、复习表面积的概念；2、介绍利用平面展开图求面积的方法，求立体图形的表面积。
（二）．探究棱柱、棱锥、棱台的表面积的求法
[提出问题]：棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么如何计算它们的表面积
[分析处理]：1、以五棱柱，四棱锥，三棱台的模型，同学们分组合作，把模型展开，它们的展开图，表面积如何
2、当学生得出结论后，教师反问：对于其他的棱柱、棱锥、棱台，结论又会如何我们能否找到他们的共性
3、让学生自主探索,讨论交流，并阐述自己的想法，最后总结出：
S棱柱的表面积=S侧+2S底，S棱锥的表面积=S侧+S底，S棱台的表面积=S侧+S上底+S下底
[概括总结]：让学生明确棱柱的侧面展开图是若干个平行四边形，棱锥的侧面展开图是若干个三角形，棱台的侧面展开图是若干个梯形，这样就可以把空间几何体的表面积问题转化为平面图形的面积问题。
设计意图：这样设计教学程序，能使学生在探究过程中产生认知冲突，激发他们探究新知的欲望和必要性，通过解决特殊问题，让学生经历知识和方法产生和发现过程，进而得出解决同类问题的一般方法，符合学生的认知结构特征，同时也给学生渗透了探究问题的基本思路——由特殊到一般。
通
过学生对以上问题的解答，真正把学生学习数学的过程转变为学生对数学知识的“再创造”过程，体验数学发现和创造的历程，为学生形成积极探究的学习方式，创造有利条件，发展了学生的创新意识。
三、探究圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
[问题1]：圆柱、圆锥、圆台是如何形成的它们的展开图如何
[问题2]：若知道了圆柱、圆锥的底面圆半径r ，母线长l ，圆台的上、下底面半径分别是r '，r ，母线长为l ，你能计算出它们的表面积吗
[问题3]：圆柱、圆锥、圆台的表面积之间有什么关系
[分析处理]1、通过几何画板演示旋转体的形成过程，大家猜想一下他们的侧面展开图如何
2、圆柱、圆锥、圆台的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长有什么关系
3、如何圆台的侧面展开图“扇环”的面积
[概括总结]：1、充分认识圆
锥、圆柱、圆台的侧面展开
图为矩形、扇环。
2、推到出公式：圆柱的表面积)(2222l r r rl r S +=+=πππ，圆锥的表面积
)(2l r r rl r S +=+=πππ，圆台的表面积)(22l r rl r r S '++'+=π。
3、圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体.圆柱可
以看作是上下底面全等的圆台，圆锥可看作是上底面退
化成一点的圆台，观察他们的侧面积，不难发现：
设计意图：首先经过几何画板演示旋转体的形成过程，学生会非常直观的得到圆锥圆柱圆台的侧面展开图，把复杂的空间曲面问题转化为了平图形面积问题；其次在推导圆锥圆柱圆台的表面积公式中，我主要抓住了相关数量间的关系即：圆柱、圆锥、圆台的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长的关系！引导学生从度量的角度认识空间几何体，顺利推导圆柱、圆锥、圆台的表面积，从而突破本节的难点；最后在得到相关表面积公式后用运动、变化的观点看待三者之间的关系，更加方便于学生对空间几何体的了解和掌握，灵活运用公式解决问题。
[问题4]：回顾长方体，正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗
四、公式应用：
1、已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S -ABC ，求它的表面积．
2、如图，一个圆台形花盆盆口直径20cm,盆底直径为15cm ，底部渗水圆孔直径为,盆壁长15cm.那么花盆的表面积约是多少平方厘米（ 取,结果精确到12cm ）
设计意图：的能力。
五、
五、尝试小结：
（1）棱柱、棱锥、棱台表面积的计算方法。
将空间图形问题转化为平面图形问题，利用平面图形求面积的方法求立体图形的表面积。
（2）圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积的计算方法（公式不要求记忆），及其联系。
（2）柱、锥、台的表面积与体积的计算方法的应用。
设计意图：通过小结使学生理清本节知识的脉络和使用方法，对所学知识技能和思想方法有一个全面系统的认识，培养了学生概括总结所学知识的能力。
六、课后作业：
1.正方体的侧面展开图有多少种
2.右图所示的平面展开图是什么样子的
七、教学反思
我在课堂上较好地体现了教师主导与学生主体作用的统一。
在教学上采用了“引导--放手--引导”的方法，通过教师的“导”，鼓励学生积极、主动地探究新知，获得了成功。
这节课的重点是使学生掌握柱体、锥体、台体的表面积公式及应用。
在教学中，遵循教学的发展规律和学生的认识规律，紧紧抓住几何体的结构特征，通过适当的问题情景，从学生熟悉的正方体、长方体的侧面展开图入手探究展开图和表面积的关系，引出要学习的内容，然后通过“思考”、“探究”等活动，通过让学生看图、画图、分析这一亲自实践过程去体会、感受，逐步引导学生体会其中的由“特殊到一般”认识规律和“创造条件促成事物的转化”思想的应用，突破难点。
并采用观察、类比、归纳等合情推理，鼓励学生多向思维，勇于探索。
以多媒体演示为载体，以“引导思考”为核心，设计课件展示，并引导学生沿着积极的思维方向，通过讲练结合，及时了解学生掌握情况，达到教学目的。
学生的难点是不能建立较强的立体实物图。
在教学设计中，注重学生的已有知识经验的作用，并力求通过本课时的教学使得学生认识再上一个层次；注重设计与生成的有机结合。
在教学实践中，注重学生的参与，并且是思维层面的参与，并通过环环相扣的问题串实现。
把问题交给学生，真正发现问题，利用生成教学，培养了学生独立性和分析问题的能力。