高中数学倾斜角和斜率学案新人教A版必修2

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高中数学 3.1.1倾斜角与斜率精品教案新人教A版必修2

（一）教学目标1．知识与技能（1）正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.（2）理解直线倾斜角的唯一性.（3）理解直线斜率的存在性.（4）斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.2．过程与方法引导帮助学生将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题（代数问题）进行解决，使学生不断体会“数形结合”的思想方法.3．情感、态度与价值观（1）通过直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力.（2）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.（二）教学重点与难点直线的倾斜角、斜率的概念和公式.（三）教学方法教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题引入我们知道，经过两点有且只有（确定）一条直线，那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图，过一点P可作无数多条直线a，b，c，…易见，答案是否定的，这些直线有什么联系呢？直线的倾斜角的概念.学生回答（不能确定）（1）它们都经过点P.（2）它们的倾斜程度不同.接着教师提出：怎样描述这种倾斜程度的不同？由此引入课题.设疑激趣导入课题概念形成1．直线倾斜角的概念当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定0α=.教师提问：倾斜角α的取值范围是什么？0180α≤<当直线l与x轴重合时90α=（由学生结合图形回答）概念深化因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度，引入直线的倾斜角之后，我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.教师提问：如左图，直线a∥b∥c，那么它们的倾斜角α相等吗？学生回答后作出结论.一个倾斜角α不能确定一条直线，进而得出. 确定一条直线位置的几何要素.通过这种师生互动引导学生明确确定一条直线位置的两个几何要素确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角α.概念形成2．直线的斜率一条直线的倾斜角α（α≠90°）的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即tankα=.由此可知，一条直线l的倾斜角α一定存在，但是斜率k不一定存在. 例如α= 45°时k = tan45°= 1α= 135°时k = tan135°=–1教师提问：（由学生讨论后回答）（1）当直线l与x轴平行或重合时，k为多少？k = tan0°= 0（2）当直线l与x轴垂直时，k还存在吗？α= 90°，k不存在设疑激发学生思考得出结论概念形成3．直线的斜率公式2121y ykx x-=-对于上面的斜率公式要注意下面四点：（1）当x1= x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°，直线与x轴垂直；（2）k与P1、P2的顺序无关，即y1、y2和x1、x2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；（3）斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；（4）当y1 = y2时，斜率k= 0，直线的倾斜角α= 0°，直线与x轴平行或重合.（5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到.教师提出问题：给定两点P1 (x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，如何用两点的坐标来表示直线P1、P2的斜率？可用计算机作动画演示：直线P1P2的四种情况，并引导学生如何作辅助线，共同完成斜率公式的推导.借助多媒体演示让学生亲自体会斜率公式的推导过程.yabcxO备选例题例1 求下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角. （1）(1，1)，(2，4)；（2）(–3，5)，(0，2)；（3）(2，3)，(2，5)；（4）(3，–2)，(6，–2)【解析】（1）413021k-==>-，所以倾斜角是锐角；（2）25100(3)k-==-<--，所以倾斜角是钝角；（3）由x1 = x2 = 2得：k不存在，倾斜角是90°（4）2(2)63k---==-，所以倾斜角为0°例2 已知点P(点Q在y轴上，直线PQ的倾斜角为120°，则Q点的坐标为.【解析】因为点Q在y轴上，则可设其坐标为(0，6)直线PQ的斜率k = tan120°=∴k=∴b = –2，即Q点坐标为(0,。

高中数学人教A版必修2第三章3.1.1《直线的倾斜角和斜率》教案

课题 2.1.1倾斜角与斜率授课年级高二课型新授课授课时间主备人授课教师教学目标1.初步了解解析几何的产生及其意义，初步认识坐标法思想2.掌握直线的倾斜角与斜率的概念3.掌握过两点的直线的斜率公式教学重难点重点：直线的倾斜角与斜率的概念，过两点的直线斜率公式难点：用直线的倾斜角和斜率刻画直线的几何特征教学方法自主探究、合作交流教学过程环节设计学生活动引导语：十六、十七世纪，为了描述现实世界中的运动变化现象，如行星的运动、平面抛体的运动等，需要对它们的运动轨迹进行精确的代数刻画，运动变化进入了数学，变量观念成为数学中的重要理念。

在众多数学家工作的基础上，法国数学家笛卡尔、费马集其大成，创立了坐标系，用坐标刻画运动变化。

这是解析几何的创始。

新课导入：我们知道，点是构成直线的基本元素，在平面直角坐标系中，可以用坐标表示点，本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素。

引入课题学生阅读材料了解解析几何的创始问题1过一点能确定一条直线吗？这些直线有何不同？新课讲解：一、倾斜角1. 直线的倾斜角当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角练习：下列四图中，表示直线的倾斜角的是( )2. 直线倾斜角的范围当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度，因此，直线的倾斜角的取值范围为：学生动手画直线学生口答定义并找出其中的关键词学生口答巩固倾斜角的概念学生自助探究y x olαay xoAyxoaBayxoC yx aoD按倾斜角去分类，直线可分几类？问题2请在平面直角坐标系中，作出倾斜角为 45度的直线，并对比你与其他同学所作的图像，你发现了什么？若增加条件过点(0,0),你能作多少条直线？3.确定平面直角坐标系中一条直线的几何要素：直线上的一个定点直线的倾斜角问：日常生活中有没有表示倾斜程度的量？坡度（比）二、直线的斜率直线倾斜角的正切值，常用小写字母k 表示，即： αtan =k注意：倾斜角为90度的直线的斜率不存在．探究：借助几何画板，分析直线的倾斜角与斜率的关系。

高中数学人教A版必修2导学案：3.1.1直线的倾斜角和斜率(学生版)

章节
3.1.1 课题直线的倾斜角与斜率教
学目标1、在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；
2、理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程；
3、掌握过两点的直线的斜率计算公式。

教学重点理解直线的倾斜角与斜率的概念。

教学难点过两点的直线的斜率公式推导【复习回顾】
1．锐角三角函数的定义：如图所示，正弦（sin）等于对边比斜边，sinA=a/c；
余弦（cos）等于邻边比斜边，cosA=b/c；正切（t a n）等于对边比邻边，t a nA=a/b。

2．特殊角的正切值
α0o30o45o60o90o120o135o150o tanα
通过上述表格，你能得出互余的两个角、互补的两个角的正切有怎样的关系？
（1），（2）。

课前预习案
【新知探究】
探究一、确定直线的几何要素
问题1：给出一点P，可以作无数条直线，这些直线组成“直线束”，这些直线的共同点是什么，不同点是什么？由此你能总结出确定直线的几何要素吗？
共同点: ，不同点: 。

确定直线的几何要素：。

探究二、直线的倾斜角与斜率
问题2：平面直角坐标系中，直线l与x轴有几种位置关系？在刻画直线的倾斜程度时，我们取x 轴作为基准线，引入倾斜角的概念，它的定义是什么，取值范围如何？
直线l与x轴的位置关系：。

定义包括两个方面：（1）当直线l与x轴相交时，。

（2）当直线l与x轴平行或重合时，。

取值范围：。

高中数学人教A版必修2导学案：3.1.1直线的倾斜角和斜率（学生版）。

高中数学 3.1.2《直线的倾斜角与斜率》习题课导学案新人教A版必修2

【学习目标】知识与技能：理解直线的倾斜角和斜率的概念．理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，能用直线的倾斜角与斜率的关系来判定两条直线平行与垂直。

过程与方法：通过两条直线的位置去研究它们的倾斜角与斜率的关系，实现用代数方法解决几何问题情感态度与价值观：(1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．(2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．【重点难点】学习重点：两条直线平行和垂直的判定，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．学习难点：直线的倾斜角、斜率的对应关系，求直线的倾斜角和斜率的范围【学法指导】1、认真研读教材82---85页，认真思考、独立规范作答，认真完成每一个问题，每一道习题，不会的先绕过，做好记号.2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆.（尤其是正切的三角函数值，斜率的计算公式必须牢记）3、A ：自主学习；B ：合作探究；C ：能力提升4、小班、重点班完成全部，平行班至少完成A.B 类题.平行班的A 级学生完成80％以上B 完成70％～80％C 力争完成60％以上.【知识链接】：1.直线的倾斜角的范围：2. 直线的斜率：3. 过P （1x ，1y ）和Q （2x ，2y ）的直线的斜率公式：当1x =2x 时，直线斜率4.k=0时，直线 x 轴或与x 轴；k>0时，直线的倾斜角为，k 增大，直线的倾斜角也；k<0时，直线的倾斜角为，k 值增大，直线的倾斜角也。

5. l 1∥l 2⇔ ,;l 1⊥l 2⇔【学习过程】题型一：已知两点坐标求直线斜率经过下列两点直线的斜率是否存在，若存在，求其斜率（1） (1,1)，(-1,-2) （2） (1,-1)，(-2,4) （3） (-2,-3)，(-2,3)题型二：求直线的倾斜角设直线L 过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将L 绕坐标远点按逆时针方向旋转︒45，得到直线L 1那么L 1的倾斜角为 ( )A.︒+45αB.︒-135αC.α-︒135D.[︒-⎢⎣⎡∈︒+∈1354345430αππααπα，为），；当）时，为，当变式：已知直线L 1的倾斜角为α，则L 1关于x 轴对称的直线L 1的倾斜角β= 题型三：斜率与倾斜角关系当斜率k 的范围如下时，求倾斜角α的变化范围： 1)1(-≥k 1)2(≤k 33)3(≤<-k题型四：利用斜率判定三点共线已知三点A （a,2），B （5,1），C （-4,2a ）在同一条直线上，求a 的值。

高中数学第三章直线的倾斜角与斜率复习导学案新人教版必修2

必修2 第三章§3-1 直线的倾斜角与斜率【课前预习】阅读教材P 82-86完成下面填空1．直线的倾斜角：①定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准, 叫做直线l 的倾斜角．．．.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. ②范围：倾斜角α的取值范围是特别：当时，称直线l 与x 轴垂直2．直线的斜率：一条直线的倾斜角α(α≠90°)的叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,即k = .①当直线l 与x 轴平行或重合时, α= , k = ;②当直线l 与x 轴垂直时,α= , k .3. 直线的斜率公式:①已知直线的倾斜角α,则k=②经过两个定点 P 1(x 1,y 1) , P 2(x 2,y 2) 的直线：若x 1≠x 2，则直线P 1P 2 的斜率存在，k=若x 1＝x 2，则直线P 1P 2的斜率③已知直线方程，将方程化成斜截式y=kx+b ，则x 项的系数就是斜率k,也可能无斜率.4. 两条直线平行与垂直的判定①两条直线都有斜率．．．而．且不重合．．．．，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 ;②两条直线都有斜率．．．．．．．．，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即 .【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题1.已知直线斜率的绝对值等于1,则直线的倾斜角是 .2．过点M (–2, a ), N (a , 4)的直线的斜率为–21，则a 等于( ) A .–8 B .10 C .2 D .43．直线6x =的斜率是，倾斜角是 .4．试求m 的值,使过点()(),1,1,A m B m -的直线与过点()()1,2,5,0P Q -的直线(1)平行(2)垂直强调（笔记）：【课中35分钟】边听边练边落实5．已知直线1l 过点A （2，-1）和B （3，2），直线2l 的倾斜角是直线1l 倾斜角的2倍，求直线2l 的斜率.6．已知三点A(a ，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a 的值7．已知ABC ∆的顶点(2,1),(6,3)B C -，其垂心为(3,2)H -，求顶点A 的坐标．8．已知四边形ABCD 的顶点为()(),,6,1,A m n B()()3,3,2,5C D ,求mn 的值,使四边形ABCD 为直角梯形.9．已知M(1, –2), N(2,1)，直线l 过点P(0, -1)，且与线段MN 相交,求直线l 的斜率k 的取值范围.强调（笔记）：【课末5分钟】知识整理、理解记忆要点 1.2.3.4.【课后15分钟】自主落实，未懂则问1.在下列叙述中：①一条直线的倾斜角为θ，则它的斜率k= tan θ；②若直线的斜率k=-1，则它倾斜角为135°；③经过A （-1，0），B （-1，3）两点的直线的倾斜角为90°；④直线y=1的倾斜角为45°。

人教A版高中数学必修二直线的倾斜角与斜率教案新(1)

直线的倾斜角和斜率一、教学目标(一)知识教学点知道一次函数的图象是直线，了解直线方程的概念，掌握直线的倾斜角和斜率的概念以及直线的斜率公式．(二)能力训练点通过对研究直线方程的必要性的分析，培养学生分析、提出问题的能力；通过建立直线上的点与直线的方程的解的一一对应关系、方程和直线的对应关系，培养学生的知识转化、迁移能力．(三)学科渗透点分析问题、提出问题的思维品质，事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物主义思想．二、教材分析1．重点：通过对一次函数的研究，学生对直线的方程已有所了解，要对进一步研究直线方程的内容进行介绍，以激发学生学习这一部分知识的兴趣；直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，是研究两条直线位置关系的重要依据，要正确理解概念；斜率公式要在熟练运用上多下功夫．2．难点：一次函数与其图象的对应关系、直线方程与直线的对应关系是难点．由于以后还要专门研究曲线与方程，对这一点只需一般介绍就可以了．3．疑点：是否有继续研究直线方程的必要？三、活动设计启发、思考、问答、讨论、练习．四、教学过程(一)复习一次函数及其图象已知一次函数y=2x+1，试判断点A(1，2)和点B(2，1)是否在函数图象上．初中我们是这样解答的：∵A(1，2)的坐标满足函数式，∴点A在函数图象上．∵B(2，1)的坐标不满足函数式，∴点B不在函数图象上．现在我们问：这样解答的理论依据是什么？(这个问题是本课的难点，要给足够的时间让学生思考、体会．)讨论作答：判断点A在函数图象上的理论依据是：满足函数关系式的点都在函数的图象上；判断点B不在函数图象上的理论依据是：函数图象上的点的坐标应满足函数关系式．简言之，就是函数图象上的点与满足函数式的有序数对具有一一对应关系．(二)直线的方程引导学生思考：直角坐标平面内，一次函数的图象都是直线吗？直线都是一次函数的图象吗？一次函数的图象是直线，直线不一定是一次函数的图象，如直线x=a连函数都不是．一次函数y=kx+b，x=a都可以看作二元一次方程，这个方程的解和它所表示的直线上的点一一对应．以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解．这时，这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线就叫做这个方程的直线．上面的定义可简言之：(方程)有一个解(直线上)就有一个点；(直线上)有一个点(方程)就有一个解，即方程的解与直线上的点是一一对应的．显然，直线的方程是比一次函数包含对象更广泛的一个概念．(三)进一步研究直线方程的必要性通过研究一次函数，我们对直线的方程已有了一些了解，但有些问题还没有完全解决，如y=kx+b中k的几何含意、已知直线上一点和直线的方向怎样求直线的方程、怎样通过直线的方程来研究两条直线的位置关系等都有待于我们继续研究．(四)直线的倾斜角一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角，如图1-21中的α．特别地，当直线l和x轴平行时，我们规定它的倾斜角为0°，因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°．直线倾斜角角的定义有下面三个要点：(1)以x轴正向作为参考方向(始边)；(2)直线向上的方向作为终边；(3)最小正角．按照这个定义不难看出：直线与倾角是多对一的映射关系．(五)直线的斜率倾斜角不是90°的直线．它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．直线的斜率常用k表示，即直线与斜率之间的对应不是映射，因为垂直于x轴的直线没有斜率．(六)过两点的直线的斜率公式在坐标平面上，已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，由于两点可以确定一条直线，直线P1P2就是确定的．当x1≠x2时，直线的倾角不等于90°时，这条直线的斜率也是确定的．怎样用P2和P1的坐标来表示这条直线的斜率？P2分别向x轴作垂线P1M1、P2M2，再作P1Q⊥P2M，垂足分别是M1、M2、Q．那么：α=∠QP1P2(图1-22甲)或α=π-∠P2P1Q(图1-22乙)综上所述，我们得到经过点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)两点的直线的斜率公式：对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1)当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到．(七)例题例1 如图1-23，直线l1的倾斜角α1=30°，直线l2⊥l1，求l1、l2的斜率．∵l2的倾斜角α2=90°+30°=120°，本例题是用来复习巩固直线的倾斜角和斜率以及它们之间的关系的，可由学生课堂练习，学生演板．例2 求经过A(-2，0)、B(-5，3)两点的直线的斜率和倾斜角．∴tgα=-1．∵0°≤α＜180°，∴α=135°．因此，这条直线的斜率是-1，倾斜角是135°．讲此例题时，要进一步强调k与P1P2的顺序无关，直线的斜率和倾斜角可通过直线上的两点的坐标求得．(八)课后小结(1)直线的方程的倾斜角的概念．(2)直线的倾斜角和斜率的概念．(3)直线的斜率公式．五、布置作业1．(1.3练习第1题)在坐标平面上，画出下列方程的直线：(1)y=x(2)2x+3y=6(3)2x+3y+6=0(4)2x-3y+6=0作图要点：利用两点确定一条直线，找出方程的两个特解，以这两个特解为坐标描点连线即可．2．(1.4练习第2题)求经过下列每两个点的直线的斜率和倾斜角：(1)C(10，8)，D(4，-4)；解：(1)k=2 α=arctg2．(3)k=1，α=45°．3．(1.4练习第3题)已知：a、b、c是两两不相等的实数，求经过下列每两个点的直线的倾斜角：(1)A(a，c)，(b，c)；(2)C(a，b)，D(a，c)；(3)P(b，b+c)，Q(a，c+a)．解：(1)α=0°；(2)α=90°；(3)α=45°．4．已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值．∵A、B、C三点在一条直线上，∴k AB=k AC．六、板书设计。

高中数学人教A版必修2教案-直线的倾斜角和斜率

第7章直线和圆的方程§7.1 直线的倾斜角和斜率教学目标：1.了解平面解析几何学的基本思想和方法；2.了解直线的方程和方程的直线概念，理解直线的倾斜角和斜率概念；3.学会用联系的观点看问题，认识“数”与“形”的联系与相互转化。

教学重点：直线的倾斜角和斜率概念教学难点：斜率的概念教学过程:一、解析几何学介绍：（1）解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科；（2）研究解析几何的方法—坐标法；（3）平面解析几何研究的基本问题①根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；②通过方程，研究平面曲线（包括直线）的性质。

（4）学习平面解析几何基础知识的重要性和必要性。

见课本P33二、新授：1.直线的方程和方程的直线导入：在初中我们已经学习过一次函数及其图象，提问①什么是一次函数？其图象有何特点？②作出y=2x+1的图象，并判断点A（1,3）和B（3,1）是否在图象上。

（由此分析讨论满足y=2x+1每一对（x,y）与其图象——直线上的点的坐标的一一对应关系）指出：一般地，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，它是以满足y=kx+b的每一对x、y的值为坐标的点构成的，由于函数式y=kx+b也可以看作二元一次方程，所以我们也可以说，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系。

定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。

评注：在平面直角坐标系中研究直线时，就是利用直线与方程的这种关系，建立直线的方程，并通过方程来研究直线的有关问题，这时直线和方程可以“混为一谈”，例如方程y=3x+5所表示的直线，可称为“直线y=3x+5”。

2.直线的倾斜角和斜率为了建立平面直角坐标系中直线方程，通过方程研究直线的位置关系，首先要用一个数（或数量）来刻画直线的方向，这个数量就是直线的倾斜角。

定义1：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕者交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角，当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°。

高中数学 3.1.1直线的倾斜角与斜率教学设计新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学教案

直线的倾斜角和斜率教学设计一、教学目标：1、知识目标：理解倾斜角、斜率的概念。

了解斜率公式的推导过程。

2、能力目标：通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，引导学生观察，类比，探索发现，帮助学生进一步理解特殊到一般的思想，数形结合的思想，渗透辩证唯物主义的思想，初步感受几何问题代数化的解析几何研究思想。

3、德育目标：通过数形结合的思想，让学生感受和体会数学的魅力，培养学生的数学意识和科学精神。

通过学生之间师生之间的交流合作，实现共同探究的目标，学生进一步体会合作精神。

【目标分析】在学习倾斜角，斜率，斜率公式的同时，让学生体会到知识产生和发现的方法，感受其中体现的数学思想，在这个过程中培养学生的数学思维，和同学老师的合作探究的行为方式。

二、教学重点：用代数方法刻画直线斜率的过程，过两点的直线斜率的计算公式。

教学难点：直线的斜率与它的倾斜角的关系。

【重难点突破的方法】通过对坡度概念的理解，引入了斜率。

在直线的斜率公式的推导中，借助于坡度的计算方法的理解，很自然就解决了这个问题。

斜率和倾斜角的关系，借助于直角组体会倾斜角变化引起的斜率的变化。

三、教学方法：在多媒体的课件的支持下，让学生在教师引导下，积极探索，体会概念的发现和形成过程，体验解析几何的研究方法。

四、教学过程1、介绍解析几何的背景。

解析几何的思想：借助于坐标系，用代数的方法研究几何问题。

【设计意图】给出三篇阅读材料，让学生对解析几何的思想有个初步的了解。

2、坐标系中的直线的倾斜角。

问题1：平面内确定直线的条件是什么？用一个点呢？答：两点问题2：已知一个点如何确定直线？【设计意图】由两点到一点确定直线，引出倾斜角。

（出示幻灯片）（总结：确定直线有两种方式：两点或者直线上一点和直线的方向）同学们讨论几种答案后，最终确定用直线与x 轴正方向所形成的角来确定直线的位置。

定义：倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上的方向之间所形成的角α叫直线l 的倾斜角。

人教A版高中数学必修二 3-1-1 倾斜角与斜率教案精品

必修二第三章 3.1.1 倾斜角与斜率教学目标1.知识与技能：（1）通过实例，了解倾斜角与斜率的几何意义；（2）理解倾斜角与斜率的联系；（3）会用倾斜角与斜率的联系解决实际问题.2.过程与方法：通过实例初步了解概念，通过探究深入理解概念的实质，关键是要培养学生分析问题、解决问题和转化问题的能力.3.情感态度价值观：（1）倾斜角与斜率的核心问题是让学生学会转化思想，灵活应用所学知识，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些现象；（2）用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。

培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想重点难点1.教学重点：理解倾斜角与斜率的联系2.教学难点：利用倾斜角与斜率的联系解决实际问题.教学策略与方法1.教学方法：启发讲授式与问题探究式．教学过程：（一）创设情境，揭示课题问题1、（用几何画板）给出的两点,P Q相同吗？如何区分这两个点？从形的角度看，它们有位置之分，但无大小与形状之分。

从数的角度看，如何区分两个点？（用坐标区分）问题2、过这两点可作什么图形？唯一吗？只经过其中一点（如点P）可作多少条直线？若只想定出其中的一条直线，除了再用一点外，还有其他方法吗？可以增加一个什么样的几何量？（估计不少学生能意识到需要有一个角）由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式（1）已知直线上两点（2）已知直线上一点和直线的倾斜程度问题3、角的形成还需一条线，也就是说要有刻画倾斜程度的角，就必须还有一条形成角的参照的直线。

在平面直角坐标系下，以哪条轴线为基准形成刻画倾斜程度的角？（学生可能回答x 轴或y 轴）以x 轴或y 轴为基准都可以，习惯上我们用x 轴。

问题4、过点P 与x 轴形成045角的直线有几条？（学生可能答一条或两条，几何画板显示结果）如何区分清楚这两条直线呢？估计学生能想到还需要确定方向。

选择哪个角来描述直线的倾斜程度，就能保证坐标系下的任何一条直线都有唯一的角与它对应呢？（教师引导学生选取不同的方向来描述角，并区分1l 与2l ）。

人教A版高中数学必修二倾斜角与斜率教学案新人教A

3.1.1 直线的倾斜角与斜率【学习目标】1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率； 2．掌握过两点的直线斜率的计算公式； 3．能用公式和概念解决问题.【教学重难点】重点：倾斜角与斜率的概念难点：直线的斜率与倾斜角的关系【教学过程】一、课前准备（预习教材 82P ~ 86P ，找出疑惑之处）复习 1：在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢?复习 2：在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭, 有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢?二、新课导学探究点一：①倾斜角的概念当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准， x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α 叫做直线l 的倾斜角（angle of inclination ）.发现：①直线向上方向；②x 轴的正方向；③小于平角的正角.注意:当直线与轴x 平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度..思考：在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度” ，则坡度的公式是怎样的？②斜率与倾斜角的关系一条直线的倾斜角α( ) 的正切值叫做这条直线的斜率(slope).记为k= tan .试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为（1）α=0°时，则k （2）0°<α< 90°,则k （3）α= 90°，,则k（4）90 °<α< 180°，则k③ 已知直线上两点1p (),11y x ,),(222y x p (21x x ≠)的直线的斜率公式：1212x x y y k --=.探究任务二：1.已知直线上两点 ),(),,(2211b a B b a A 运用上述公式计算直线的斜率时，与 A B 两点坐标的顺序有关吗？2．当直线平行于 y 轴时，或与轴y 重合时，上述公式还需要适用吗？为什么？三、典型例题分析例1 已知直线的倾斜角，求直线的斜率： ⑴ 。

高中数学人教A版必修2数学必修二3.1.1《倾斜角与斜率》教案

优质资料---欢迎下载直线的倾斜角与斜率教案一、课题直线的倾斜角与斜率一、教学目标正确理解直线的倾斜角和斜率的概念，了解斜率公式的推导过程掌握过两点的直线的斜率公式；通过直线倾斜角的引入以及倾斜角和斜率关系的揭示，培养观察能力，数学语言的表达能力，数学交流能力和评价能力；通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，进一步理解数形结合的思想和辩证统一的观点。

二、重点难点本节重点是直线的倾斜角，斜率概念和计算公式；难点是直线倾斜角和斜率的关系。

三、教学方法讲授法四、教具三角板、幻灯片五、教学过程1.引入新课（出示幻灯片）我们小时候都一定玩过滑滑梯，会有这样的感受，当滑道和地面的夹角很大的时候，我们下滑得快一些，而当滑道和地面的夹角很小的时候滑得慢一些。

那时，我们说夹角大的更陡一些。

现在，我们已经学习过了直线，同时也学会了一种刻画平面上点的位置的工具——平面直角坐标系。

那么，如果我们把滑道所在的直线看做平面中的直线，把地平面所在直线看做x轴，则我们该如何用数学语言来刻画这个“陡”呢？2.探索新知问题1对于平面直角坐标系内的一条直线它的位置由哪些条件可以确定呢？一个点可以确定一条直线的位置吗?分析:对,两点可以确定一条直线,过一个点可以画出无数条直线,这些直线都与轴正向成一定的角度,我们把直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角,于是可以这样确定一条直线,过个定点,确定一个倾斜角便可以确定一条直线;这种方法与两点确定一条直线的方法是一致的.先固定个点,再确定另外一点相当于确定这条直线的方向,确定了方向也就等同于确定了该直线的倾斜角.注:平行于 x 轴或于x 轴重合的直线的倾斜角为0°问题2直线倾斜角的范围是多少?这样在平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角 ,倾斜角刻画了直线倾斜的程度,且倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等, 倾斜程度不相同的直线,其倾斜角也不相等. 问题3(斜率的概念)日常生活中我们可以用一个比值表示倾斜程度的量:例如:坡度(比)= 升高量/前进量能否用一个比值刻画斜率呢？如果α 是一条直线的倾斜角,我们把倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率(slop)记作:tan k问题4(1)是不是所有的直线都有倾斜角?是（2）是不是直线都有斜率?倾斜角为90°时没有斜率, 因为90°的正切不存在.( 是锐角时为正,倾斜角是钝角时为负)反映了直线向右或向左倾斜的程度,特别是倾斜角是锐角时,斜率的值越大倾斜角也越大,倾斜角是钝角时也同样.探究：由两点确定的直线的斜率经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2（x 2，y 2）的直线的斜率公式：k ＝1212x x y y --（x 1≠x 2） (给出幻灯片）推导：设直线P 1P 2的倾斜角是α，斜率是k ，向量21P P 的方向是向上的(如上图所示).向量21P P 的坐标是(x 2－x 1，y 2－y 1).过原点作向量21P P OP =，则点P 的坐标是(x 2－x 1，y 2－y 1)，而且直线OP 的倾斜角也是α，根据正切函数的定义，tan α＝1212x x y y --（x 1≠x 2）即k ＝1212x x y y --（x 1≠x 2）同样，当向量12P P 的方向向上时也有同样的结论.3.例题和练习［例1］如图，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1⊥l 2，求l 1、l 2的斜率.分析：对于直线l 1的斜率，可通过计算tan30°直接获得，而直线l 2的斜率则需要先求出倾斜角α2，而根据平面几何知识，α2＝α1＋90°，然后再求tan α2即可.解：l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan30°＝33，∵l 2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，∴l 2的斜率k 2＝tan120°＝tan （1８0°－60°）＝－tan60°＝－3.评述：此题要求学生掌握已知直线的倾斜角求斜率，其中涉及到三角函数的诱导公式及特殊角正切值的确定.［例2］直线经过点A (sin70°，cos70°)，B （cos ４0°，sin ４0°），则直线l 的倾斜角为( )A.20°B.４0°C.50°或70°D.120° 参考公式：sin α－sin β＝2cos 2βα+sin 2βα-， cos α－cos β＝－2sin 2βα+ｓi ｎ2βα-. 分析：若想求出l 的倾斜角，则应先由斜率公式求出l 的斜率.思路较为明确，但关键在于运用斜率公式后三角函数的变形.考虑到这一点，题目给出两个参考公式，但仍对学生解题的灵活性有一定要求，其中，若想利用参考公式，需要对分子、分母进行函数名的统一、希望给予学生一定的启示.解：设l 的倾斜角为α，则tan α＝︒-︒︒-︒40cos 70sin 40sin 70cos 3)10sin(30sin 2)10sin(30cos 240cos 20cos 40sin 20sin -=︒-︒-︒-︒=︒-︒︒-︒=又 α∈［0，π］ ∴α＝120°故选D.接下来，我们通过练习来熟悉已知直线的倾斜角求斜率，并明确倾斜角变化时，斜率的变化情况.课堂练习1.已知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1)α＝0°；（2）α＝60°(3)α＝90°；（４）α＝43π 分析：通过此题训练，意在使学生熟悉特殊角的斜率. 解：(1)∵tan0°＝0∴倾斜角为0°的直线斜率为0；(2)∵tan60°＝3∴倾斜角为60°的直线斜率为3；(3)∵tan90°不存在∴倾斜角为90°的直线斜率不存在；(4)∵tan 43π＝tan （π－4π）＝－tan 4π＝－1，∴倾斜角为43π的直线斜率为－1. 2.已知直线的倾斜角的取值范围，利用正切函数的性质，讨论直线斜率及其绝对值的变化情况：(1)0°＜α＜90°解：作出y ＝tan α在(0°，90°）区间内的函数图象；由图象观察可知：当α∈（0°，90°），y ＝tan α＞0，并且随着α的增大，y 不断增大，｜y ｜也不断增大.所以，当α∈（0°，90°）时，随着倾斜角α的不断增大，直线斜率不断增大，直线斜率的绝对值也不断增大.(2)90°＜α＜1８0°解：作出y ＝tan α在(90°，1８0°）区间内的函数图象，由图象观察可知：当α∈(90°，180°），y ＝tan α＜0，并且随着α的增大，y＝tan α不断增大，｜y ｜不断减小.所以当α∈（90°，1８0°)时，随着倾斜角α的不断增大，直线的斜率不断增大，但直线斜率的绝对值不断减小.［师］针对此题结论，虽然有当α∈（0°，90°），随着α增大直线斜率不断增大；当α∈（90°，1８0°），随着α增大直线斜率不断增大，但是当α∈（0°，90°）∪（90°，1８0°）时，随着α的增大直线斜率不断增大却是一错误结论.原因在于正切函数y ＝tan α在区间(0，90°）内为单调增函数，在区间(90°，1８0°）内也是单调增函数，但在(0°，90°）∪（90°，1８0°)区间内，却不具有单调性.六、课时小结通过本节学习，要求大家掌握已知直线的倾斜角求斜率，理解斜率公式的推导，为下一节斜率公式的应用打好基础.七、课后作业八、教学反思。

高中数学直线的倾斜角和斜率教案(2)新课标人教版必修2(A)

直线的倾斜角和斜率(2)一、教学目标(一)知识教学点复习直线的倾斜角和斜率的概念以及直线的斜率公式．(二)能力训练点通过对知识点的应用（例题1、例题2及课堂练习），巩固学生所学的知识，培养学生分析、解决问题的能力；．(三)学科渗透点分析问题、提出问题的思维品质，事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物主义思想．二、教材分析1．重点：通过上一节课的学习，学生对直线的倾斜角和斜率的求法已有所了解，直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，是研究两条直线位置关系的重要依据，要正确理解概。

．2．难点：斜率公式的熟练运用三、活动设计三、活动设计启发、思考、问答、讨论、练习．四、教学过程（一）复习直线倾斜角的定义及斜率的定义，复习求一条直线的斜率的两种不同方法―――定义法和两点坐标法。

（提问，学生口述，教师补充）。

（二）例题探讨例1 如图，已知A(3, 2)，B(-4, 1)，C(0, -1)，求直线AB,BC,CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。

解：直线AB的斜率kAB =3421---=71;直线BC 的斜率k BC =)4(011----=42-=-21; 直线CA 的斜率k CA =3021---=1 由k AB ＞0及k CA ＞0知，直线AB 与CA 的倾斜角均为锐角；由k BC ＜0 知直线BC 的倾斜角为钝角。

例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，－1，2及－3的直线l 1, l 2, l 3,及l 4分析：要画出过原点的直线l 1，只须再找出位于l 1上方的某一点A 1来， A 1 的坐标可以由O A 1 的斜率确定。

解：取l 1上某一点为A 1的坐标是（x 1, y 1）,根据斜率公式有 1=0011--x y , 即x 1=y 1设x 1=1, 则y 1=1 ，于是 A 1的坐标是(1, 1)。

过原点及 A 1(1, 1)的直线即为 l 1，同理，由-1=0012--x y , 得y 2=-x 2 设x 2=1,则y 2=-1。

人教新课标版数学高一A版必修2导学案倾斜角与斜率

3．1.1 倾斜角与斜率1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握它们之间的关系．2．掌握过两点的直线的斜率计算公式，并会简单的应用．1．倾斜角0°≤α<180°用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的______，二者缺一不可理解倾斜角的概念时，要注意三个条件：①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．【做一做1】如图所示，直线l的倾斜角为()A．45°B．135°C．0°D．不存在范围 ____公式经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝________ 作用用实数反映了平面直角坐标系内的直线的________①当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，并不是直线不存在，此时，直线垂直于x 轴； ②所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率；③直线的斜率也反映直线相对于x 轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α<90°时，斜率越大，直线的倾斜程度就越大；当90°<α<180°时，斜率越大，倾斜程度也越大；④k >00°<α<90°；k ＝0α＝0°；k <090°<α<180°；k 不存在α＝90°.【做一做2－1】已知直线l 的倾斜角α＝30°，则其斜率k 的值为( ) A ．0B.33C ．1D. 3【做一做2－2】已知P 1(3,5)，P 2(－1，－3)，则直线P 1P 2的斜率k 等于( )A ．2B ．1 C.12 D ．不存在答案：1．x 上 0° 倾斜程度倾斜角【做一做1】 B2．正切值 tan α R y 2－y 1x 2－x 1 倾斜程度【做一做2－1】 B 【做一做2－2】 A1．倾斜角剖析：(1)理解倾斜角的概念，需注意以下三个方面：①角的顶点是直线与x 轴的交点；②角的一条边的方向是指向x 轴的正方向；③角的另一边的方向是由顶点指向直线向上的方向．(2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x 轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．(3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x 轴正方向的倾斜程度． (4)平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．2．斜率公式剖析：(1)直线的斜率公式表明直线相对于x 轴正向的倾斜程度，可以通过直线上任意两点的坐标表示，这比使用几何的方法先求倾斜角，再求斜率的方法简便．(2)直线的斜率与直线上两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，这就是说，如果分子是y 2－y 1，分母必须是x 2－x 1；反过来，如果分子是y 1－y 2，分母必须是x 1－x 2，即k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 2－y 1x 2－x 1.(3)当x 1＝x 2时，斜率不存在．(4)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．3.已知直线的斜率求直线的倾斜角剖析：本节中仅要求求特殊的倾斜角，因此突破方法是掌握特殊的斜率对应的倾斜角即可，其对应情况如下表所示．由上表可见，当直线的斜率k ＝0，±33，±1，±3或斜率k 不存在时，其倾斜角均是特殊角．题型一：已知两点坐标求倾斜角和斜率【例1】求经过下列两点的直线的斜率，并根据斜率指出其倾斜角． (1)(－3,0)，(－2，3)； (2)(1，－2)，(5，－2)； (3)(3,4)，(－2,9)； (4)(3,0)，(3，3)．反思：已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，求倾斜角和斜率的步骤：(1)当x 1＝x 2时，倾斜角α＝90°，斜率不存在；(2)当x 1≠x 2时，先求斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 2－y 1x 2－x 1，再根据k 的值确定倾斜角α的大小．题型二：三点共线问题【例2】若三点A(2，－3)、B(4,3)、C(5，k )在同一条直线上，则实数k ＝__________. 反思：用斜率解决三点共线问题的依据是：A ，B ，C 三点共线k AB ＝k AC (k AB ＝k BC )．题型三：已知一个点和斜率画直线【例3】在平面直角坐标系中，画出经过点P(2,1)且斜率分别为0,1的直线l 1，l 2. 反思：已知过点P(m ，n)且斜率为k 的直线l ，在平面直角坐标系中画l 的步骤：(1)设Q(x 0，y 0)是l 上的一点；(2)利用斜率公式得k ＝y 0－nx 0－m ；(3)整理得y 0＝k (x 0－m)＋n ，取x 0＝0(或y 0＝0)解得y 0(或x 0)的值，得点Q 的坐标(0，y 0)[或(x 0,0)]；(4)在平面直角坐标系中，描出点P 和Q ，过点P ，Q 的直线就是所要画的直线l .题型四：易错辨析易错点错记斜率公式【例4】过点P 1(3，－1)和P 2(4,2)的直线的斜率k ＝__________. 错解：k ＝2－(－1)3－4＝－3.错因分析：错解中，错把斜率公式记为k ＝y 2－y 1x 1－x 2.反思：斜率公式k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 2－y 1x 2－x 1，其特点是：①分子是纵坐标的差；②分母是横坐标的差；③两个差的“顺序”相同．答案：【例1】解：(1)直线的斜率k ＝3－0－2＋3＝3＝tan 60°，此直线的斜率为3，倾斜角为60°.(2)直线的斜率k ＝－2＋25－1＝0，此直线的斜率为0，倾斜角为0°.(3)直线的斜率k ＝9－4－2－3＝－1＝tan 135°，此直线的斜率为－1，倾斜角为135°.(4)因为两点横坐标都为3，故直线斜率不存在，倾斜角为90°. 【例2】 6【例3】解：设Q 1(x 1，y 1)是直线l 1上的一点，则有y 1－1x 1－2＝0，即y 1＝1，于是Q 1(x 1,1)．令x 1＝0，则Q 1(0,1)．过点P 及(0,1)的直线即为l 1，如图所示．同理，由1＝y 2－1x 2－2，得y 2＝x 2－1，令y 2＝0，则x 2＝1，于是得直线l 2上的一点Q 2的坐标(1,0)过点P 及Q 2(1,0)的直线即为l 2，如图所示．【例4】 31．过点(－3,0)和点(－4，3)的直线的倾斜角是( ) A ．30° B ．150° C ．60° D ．120° 2．若三点A(1,2)，B(3，－2)，C(0，m)共线，则实数m ＝__________. 3．已知两点P(m,2)，Q(1＋m,2m －1)所在直线的倾斜角为45°，则m 的值等于__________．4．已知三点A(1,3)，B(5,11)，C(－3，－5)，求证：这三点在同一条直线上． 5．在平面直角坐标系中，画出经过点P(－1,3)且斜率分别为－1,2的直线l 1，l 2.答案：1．D 2.4 3.2 4．证明：由斜率公式，得k AB ＝11351--＝2，k AC ＝5331----＝2， ∴k AB ＝k AC ，且AB 与AC 都过点A ， ∴直线AB ，AC 斜率相同，且过同一点A ， ∴A ，B ，C 这三点在同一条直线上．5. 解：设Q 1(x 1，y 1)是直线l 1上的一个点，则有1131y x -+＝－1，即y 1＝－x 1＋2令y 1＝0，有x 1＝2，则Q 1的坐标为(2,0)，过点P 及Q 1(2,0)的直线即为直线l 1，如图所示．同理，设Q 2(x 2，y 2)是直线l 2上的一个点，由2231y x -+＝2，得y 2＝2x 2＋5，令x 2＝0，得y 2＝5，则Q 2的坐标为(0,5)过点P 及Q 2(0,5)的直线即为直线l 2，如图所示．。

人教A版高中数学必修二直线的倾斜角与斜率教案(4)

直线的倾斜角和斜率知识和技能目标：（1）了解直线方程的概念，正确理解直线倾斜角和斜率概念，（2）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．过程和方法目标：通过启发引导、讨论等方法，理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握由直线上两点的坐标求直线的倾斜角和斜率的方法。

掌握直线的点斜式方程，会实现直线方程的各种形式之间的互化。

情感价值观目标：（1）培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力。

（2）帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．教学重点、难点：直线斜率的概念和公式教学过程：（一）直线方程的概念一般地，满足函数式的每一对,的值，都是直线上的点的坐标（，）；反之，直线上每一点的坐标（，）都满足函数式，因此，一次函数的图象是一条直线，它是以满足的每一对x，y的值为坐标的点构成的．从方程的角度看，函数也可以看作是二元一次方程，这样满足一次函数的每一对,的值“变成了”二元一次方程的解，使方程和直线建立了联系．定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的所有点坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线．问：你能用充要条件叙述吗？答：一条直线是一个方程的直线，或者说这个方程是这条直线的方程的充要条件是……．（二）直线的倾斜角【问题1】请画出以下三个方程所表示的直线，并观察它们的异同．；；过定点，方向不同．如何确定一条直线？两点确定一条直线．还有其他方法吗？或者说如果只给出一点，要确定这条直线还应增加什么条件？学生：思考、回忆、回答：这条直线的方向，或者说倾斜程度．【导入】今天我们就共同来研究如何刻画直线的方向．【问题2】在坐标系中的一条直线，我们用怎样的角来刻画直线的方向呢？讨论之前我们可以设想这个角应该是怎样的呢？它不仅能解决我们的问题，同时还应该是简单的、自然的．学生：展开讨论．通过讨论认为：应选择α角来刻画直线的方向．根据三角函数的知识，表明一个方向可以有无穷多个角，这里只需一个角即可（开始时可能有学生认为有四个角或两个角），当然用最小的正角．从而得到直线倾斜角的概念．【板书】定义：一条直线l向上的方向与轴的正方向所成的最小正角叫做直线的倾斜角．（教师强调三点：（1）直线向上的方向，（2）轴的正方向，（3）最小正角．）特别地，当与轴平行或重合时，规定倾斜角为0°．由此定义，角的范围如何？0°≤α＜180°或0≤α＜π如图3至此问题2已经解决了，回顾一下是怎么解决的．（三）直线的斜率【问题3】下面我们在同一坐标系中画出过原点倾斜角分别是30°、45°、135°的直线，并试着写出它们的直线方程．然后观察思考：直线的倾斜角在直线方程中是如何体现的？学生：在练习本上画出直线，写出方程．30°ß--à＝45°ß--à＝135°ß--à＝（注：学生对于写出倾斜角是45°、135°的直线方程不会困难，但对于倾斜角是30°可能有困难，此时可启发学生借用三角函数中的30°角终边与单位圆的交点坐标来解决．）观察直线变化，倾斜角变化，直线方程中系数变化的关系(1) 直线变化→α变化→中的系数变化（同时注意α的变化）．(2) 中的x系数k变化→直线变化→α变化（同时注意α的变化）．教师引导学生观察，归纳，猜想出倾斜角与的系数的关系：倾斜角不同，方程中的系数不同，而且这个系数正是倾斜角的正切！【板书】定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．记作，即．这样我们定义了一个从“形”的方面刻画直线相对于轴（正方向）倾斜程度的量——倾斜角，现在我们又定义一个从“数”的方面刻画直线相对于轴（正方向）倾斜程度的量——斜率．指出下列直线的倾斜角和斜率：(1) ＝-(2) ＝tg60°(3) ＝tg(-30°)学生思考后回答，师生一起订正：（1）120°；（2）60°；(3)150°(为什么不是-30°呢？) 画图，指出倾斜角和斜率．结合图3，观察倾斜角变化时，斜率的变化情况．注意：当倾斜角为90°时，斜率不存在．α＝0°ß—à＝00°＜α＜90°ß—à＞0α＝90°ß--à不存在90°＜α＜180°ß--à＜0（四）直线过两点斜率公式的推导【问题4】如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率的定义＝tgα求出直线的斜率；如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜角也是确定的，斜率就是确定的，那么又怎么求出直线的斜率呢？即已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)（其中x1≠x2），求直线P1P2的斜率．思路分析：（首先由学生提出思路，教师启发、引导）运用正切定义，解决问题．(1)正切函数定义是什么？（终边上任一点的纵坐标比横坐标．）(2)角α是“标准位置”吗？（不是．）(3)如何把角α放在“标准位置”？（平移向量，使P1与原点重合，得到新向量．）(4)P的坐标是多少？（x2-x1，y2-y1）(5)直线的斜率是多少？＝tgα=（x1≠x2）(6)如果P1 和P2的顺序不同，结果还一样吗？（一样）．评价：注意公式中x1≠x2，即直线P1 P2不垂直x轴．因此当直线P1P2不垂直x轴时，由已知直线上任意两点的坐标可以求得斜率，而不需要求出倾斜角．【练习】(1)直线的倾斜角为α，则直线的斜率为α？(2)任意直线有倾斜角，则任意直线都有斜率？(3)直线(-330°)的倾斜角和斜率分别是多少？(4)求经过两点(0，0)、(-1，)直线的倾斜角和斜率．(5)课本第37页练习第2、4题．教师巡视，观察学生情况，个别辅导，订正答案（答案略）．【总结】教师引导：首先回顾前边提出的问题是否都已解决．再看下边的问题：(1)直线倾斜角的概念要注意什么？(2)直线的倾斜角与斜率是一一对应吗？(3)已知两点坐标，如何求直线的斜率？斜率公式中脚标1和2有顺序吗？学生边讨论边总结：(1)向上的方向，正方向，最小，正角．(2)不是，当α=90°时，α不存在．(3) ＝（），没有．【作业】1.书上（略）2．思考题（1）方程是单位圆的方程吗？（2）你能说出过原点，倾斜角是45°的直线方程吗？（3）你能说出过原点，斜率是2的直线方程吗？（4）你能说出过（1，1）点，斜率是2的直线方程吗？3. 直线的倾斜角和斜率搜集整理.zgzx_chenrongping。

高中数学 倾斜角和斜率学案 新人教A版必修2

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高中数学人教A版 必修2第三章3.1.1《直线的倾斜角和斜率》教案