2020年中考数学复习——探究性几何问题 练习题

探究性几何问题

1．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，点M，Q分别是边AB，BC 上的动点（点M不与A，B重合），且MQ⊥BC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x．

（1）试说明不论x为何值时，总有△QBM∽△ABC；

（2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；

（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值．

2．如图，等边△ABC中，AB=6，点D在BC上，BD=4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE．

（1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB；

（2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S=S1-S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）当B，F，E三点共线时．求AE的长．

3．如图1和2，Y ABCD中，AB=3，BC=15，tan∠DAB

4

3

．点P为AB延

长线上一点，过点A作⊙O切CP于点P，设BP=x．

（1）如图1，x为何值时，圆心O落在AP上？若此时⊙O交AD于点E，直接指出PE与BC的位置关系；

（2）当x=4时，如图2，⊙O与AC交于点Q，求∠CAP的度数，并通过计算比较弦AP与劣弧»PQ长度的大小；

（3）当⊙O与线段AD只有一个公共点时，直接写出x的取值范围．

4．如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD 上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．

（1）求证：△PDE≌△QCE；

（2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB=PQ时，

①求证：四边形AFEP是平行四边形；

②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．

5．如图，在矩形ABCD中，AB=6 cm，AD=8 cm，连接BD，将△ABD绕B 点作顺时针方向旋转得到△A′B′D′（B′与B重合），且点D′刚好落在BC 的延长上，A′D′与CD相交于点E．

（1）求矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分（如图1中阴影部分A′B′CE）的面积；

（2）将△A′B′D′以每秒2 cm的速度沿直线BC向右平移，如图2，当B′移动到C点时停止移动．设矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分的面积为y，移动的时间为x，请你直接写出y关于x的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围；

（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x，使得△AA′B′成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x的值，若不存在，请你说明理由．

6．在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果»DE上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称»DE为△ABC的中内弧．例如，图1中»DE 是△ABC的一条中内弧．

（1）如图2，在Rt△ABC中，AB=AC D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧»DE，并直接写出此时»DE的长；

（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t>0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．

①若t

1

2

，求△ABC的中内弧»DE所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；

②若在△ABC中存在一条中内弧»DE，使得»DE所在圆的圆心P在△ABC

的内部或边上，直接写出t的取值范围．

7．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°．

（1）求证：△PAB∽△PBC；

（2）求证：PA=2PC；

（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3．

答案

1．（1）∵MQ⊥BC，

∴∠MQB=90°，

∴∠MQB=∠CAB，又∠QBM=∠ABC，

∴△QBM∽△ABC．

（2）当BQ=MN时，四边形BMNQ为平行四边形，∵MN∥BQ，BQ=MN，

∴四边形BMNQ为平行四边形．

（3）∵∠A=90°，AB=3，AC=4，

∴

BC==5，∵△QBM∽△ABC，

∴QB QM BM

AB AC BC

==，即

345

x QM BM

==，

解得，QM

4

3

=x，BM

5

3

=x，

∵MN∥BC，

∴MN AM

BC AB

=，即

5

3

3

53

x

MN-

=，

解得，MN=5

25

9

-x，

则四边形BMNQ的面积

1

2

=⨯（5

25

9

-x+x）

4

3

⨯x

32

27

=-（x

45

32

-）2

75

32

+，

∴当x

45

32

=时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为

75

32

．

2．（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，

由折叠可知：DF=DC，且点F在AC上，∴∠DFC=∠C=60°，

∴∠DFC=∠A，