第三章_泛函分析优化模型

把泛函的极值问题称为变分问题．
注明：E-L方程是泛函取极值的必要条件，而不是充分条件．
如果讨论充分条件，则要计算二阶变分，并考虑其正、负值,但对
于实际问题中，当泛函具有明确的物理涵义，极值的存在性往往
间接地在问题的提法中就可以肯定，所以极值的存在性是不成问 题的，只要解出E-L方程，就可以得到泛函的极值．
研究泛函极值问题的方法可以归为两类：一类叫直接法， 即直接分析所提出的问题；另一类叫间接法，即把问题
转化为求解微分方程．为讨论间接方法，先介绍变分和泛
函的变分．
变分
定义4： 变分
如果我们将泛函取极值时的函数（或函数曲线）定义为 并定义与函数曲线 曲线）作为比较曲线，记为 邻近的曲线（或略为变形的
其中
后积分得到
x x(t ) ，即得到一个参数解.
2 泛函的核
泛函通常以积分形式出现，比如上面描述的最速降线
落径问题的表达式．更为一般而又典型的泛函定义为
其中
F ( x, y( x), y( x))
称为泛函的核
3 求泛函极值方法――变分法
对于不同的自变量函数
，与此相应的泛函 ，使泛函
也有不同的数值．找出一个确定的自变量函数
约翰.伯努利（Johann Bernoulli 1667-1748）， 雅可布的弟弟，原来也错选了职业，他起先学医，并在 1694年获得巴塞尔大学博士学位，论文是关于肌肉收缩问
题的。但他也爱上了微积分，很快就掌握了它，并用它来解决几何学、
微分方程和力学上的许多问题。1695年他任荷兰戈罗宁根大学数学物 理教授，而在他的哥哥雅可布死后继任巴塞尔大学教授。1696年约翰
即有
（3.1.10）
1. 泛函表示为一个自变量，一个函数及其一阶导数
的积分形式
泛函表示为一个自变量，一个函数及其一阶导数的积分形式， 即（1）
若考虑两端固定边界的泛函问题：积分是在区域内通过两点
的任意曲线进行的，其中
泛函中
为 ，即
由于两端固定，所以要求
．由(17.1.8)，有
（3.1.11）
式(3.1.11)的积分号下既有 应用分部积分法可使积分号下出现
设 为 的二元函数，则
与此泛函极值问题相应的E-L方程为
（3.1.21）
例17.2.1 试求解最速降线落径问题，即变分问题
【解】目前，我们只能用间接方法来求解，由于
不显含
，故其E-L方程为（3.1.15）
令
，故有
令
，分离变量得到
再令
，代入上式得到
即得到
此即为摆线的参数方程，积分常数可由初始位置 （图17.1的A,B两点）决定．
泛函的极值的必要条件――欧拉－拉格朗日方程
设 的极值问题有解 （3.1.9）
现在推导这个解所满足的常微分方程，这是用间接法
研究泛函极值问题的重要一环．设想这个解有变分 则 可视为参数 而当 的函数
时，
对应于式(17.2.1),即为 取极值．于是原来的泛函极值 的极值问题．由函数
问题，就化为一个求普通函数 取极值的必要条件，有
2
(3-1-2) ．
显然(3-1-2)式还要满足初始条件 y(0) 0
只要解出(3-1-2)式，并代入初始条件就知道了最 速降线究竟是什么样的曲线.
无法直接用DSolve解出 y[1
y' 2 ] c ，用换元法令
1 c 2 ，再由 可解出 y c (1 cos 2t ) yx ' 1 y[1 y' ] c y 2 dx dx dy dy (另一个解舍去，为什么？)， 所以 / y x ' ，然 dt dy dt dt
，又有
，对第二项
(3.1.12)
根据（3.1.10）,所以 （3.1.12）故有
,再根据
（3.1.13）
因为
并且
是任意的，所以
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(3.1.14) 上式(3.1.14)称为欧拉（Euler）－拉格朗日（Lagrange）
方程，简称为E-L方程．
此即泛函取极值的必要条件．即泛函 必须是满足泛函的变分 的函数类 的极值函数 ．因此，
对于含有一个自变量，多个变量函数，以及有较高阶变量 函数导数的泛函，类似上面的推导可得如下结论：
2. 泛函表示为多个函数的积分形式
则与此泛函极值问题相应的E-L方程为
（3.1.19）
3. 泛函的积分形式中含有高阶导数
与此泛函极值问题相应的E-L方程为
（3.1.20）
4.泛函的积分形式中含有多元函数
运筹与优化模型
第三章 泛函分析优化模型
2013年4月
第三章 泛函分析优化模型
• • • • 第1节 第2节 第3节 第4节 泛函的极值问题（变分法） 最优价格模型 生产计划模型 设备检查模型
第1节：泛函的极值问题（变分法）
1、泛函的基本概念 2、变分的基本概念 3、欧拉方程
泛函的极值问题（变分法）
是一个小参数；
是一个具有二阶导数的任意
选定函数，规定 它在一个小范围内变化，这限制主要保证泛 函在极值处连续．在研究泛函极值时，通常将 固定，
而令
变化，这样规定的好处在于：建立了由参数
到泛函 就成为了参数 普通函数对 的变分定义为
值之间的对应关系，因此泛函 的普通函数．原来泛函的极值问题就成为 的求极值的问题．同时，函数曲线
(3.1.3)
因此可得
(3.1.4)
这里
代表对
求一阶导数．
所以
(3.1.5)
即变分和微分可以交换次序．
泛函的变分
定义 4 泛函的变分 泛函的增量 变分问题
泛函的变分定义为
(3.1.6)
在极值曲线
附近，泛函
的增量，定义为
(3.1.7)
依照上述约定，当
时，泛函增量
的线性
主要部分定义为泛函的变分，记为
泛函与变分
• 函数是变量与变量之间的关系，泛函是变量 与函数之间的关系，因此，泛函可以理解为 “函数的函数”。 • 自变量x(t)在定义区间连续可微，或者是连 续分段可微函数。 容许函数类。 • 在经典控制中往往要求自变量是连续可微的。
dt J[x(t)] F[t, x(t), x(t)]
具有极值（极小或极大），这种泛函的极小值与极大
值统称为泛函的极值．
引入泛函的概念后，对于上述的最速降线落径问题变
为泛函
的极小值问题．物理学中常见的有光学
中的费马(Fermat)原理，分析力学中的哈密顿
(Hamiton)原理等，都是泛函的极值问题．
定义3 变分法 所谓的变分法就是求泛函极值的方法．
t0
tf
例1
最速降线问题
如图， 一初始速度为
零的质点，仅受到重力
的作用，沿光滑固定的 曲线由定点A滑行到定 点B(B低于A，但不在同 一铅直线上)．为使滑
行的时间最短，问该曲
线应为什么形状？
通常人们会认为最速降线应该是连接A和B的直线段． 牛顿曾经作过这个实验：在铅直平面内，取同样的两球， 其中一个沿着圆弧从A滑到B，另一个沿直线从A滑到B，结果 发现沿圆弧的球先到达B点．
(3.1.8)
在求一元或多元函数的极值时，微分起了很大的作用； 同样在研究泛函极值问题时，变分起着类似微分的作用．因 此，通常称泛函极值问题为变分问题；称求泛函极值的
方法为变分法．
例 3 计算泛函的变分
【解】
注意：最后一步利用了一般在边界上函数变分为零的事实，即
二、 泛函的极值
泛函的极值问题，一般来说是比较复杂的．因为它 与泛函包含的自变量个数，未知函数的个数以及函数导 数的阶数等相关．另外，在求泛函极值时，有的还要加 约束条件，且约束条件的类型也有不同，等等．下面我 们首先讨论泛函的极值的必要条件．
（2）、若
x(t) et ，则
2 e J (e 2t e t ) dt 1 0 2 1
（3）、若 x(t) t ，则
2
13 J (t 2t ) dt 0 15
1 4 2
泛函与变分
• 很显然，J的取值依赖于所指定的函数。与 函数不同的是，自变量不再是一个数，而 是一个函数。因而，这样的函数关系称为 泛函。 • 定义：如果对于某一类函数集合{x(t)}中的 每一个函数x(t)，均有一个确定的数J与之对 应，则称J为依赖于函数x(t)的的泛函，记作 J=J[x(t)]
伯努利家族
尼古拉•伯努利 雅格布Ⅰ 尼古拉Ⅰ 尼古拉Ⅱ 尼古拉Ⅲ 约翰Ⅰ 丹尼尔 约翰Ⅱ 约翰Ⅲ
丹尼尔Ⅱ
雅格布Ⅱ
2017/5/17
宁德师范高等专科学校
11
贝努利（Jacob Bernoulli 1654-1705），著名数学家。
他自学了牛顿和莱布尼茨的微积分，并从1687年开始 到他去世为止任瑞士巴塞尔大学数学教授。他发表了 无穷级数的论文、研究过许多种特殊曲线、发明了极坐标、引入了在 tan(x)函数的幂级数展开式中伯努利数。 雅可布在《学艺》上发表了一系列重要的论文，微分方程中的 “伯努利方程”就是雅可布提出的。1694年他首先给出直角坐标和极 坐标的曲率半径公式。这也是系统地使用极坐标的开始。1690年他提 出悬链线问题，后来雅可布又改变了问题的条件，解决复杂的悬链问 题，1694年的论文讨论了双纽线的性质。“伯努利双纽线”由此得名。 雅可布对于对数螺线有很深入的研究，他发现经过各种变换之后，结 果还是对数螺线。
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最速降线问题
• 据能量守恒原理，一质点在一高度处的速 度(初始速度为零)，完全由其到达该高度 处所损失的势能确定，而与所经过的路线 无关．设质点质量为m，重力加速度为g， 质点从下滑到点时的速度为v，则
1 2 mv mgy 2
即
v 2gy
ds v dt
以s表示曲线从点A算起到p(x,y)的弧长，有
由弧微分 ds 1 ( y ' ) 2 dx 可得
ds dt v ds 2 gy 1 ( y ' ) 2 dx 2 gy
从而整个下降时间t就是 dt ds 的积分，即确定函数y(x) v 使
t t[ y ( x)]

x1
1 ( y' )2 2 gy
0
dx
(3-1-1)
E-L方程除了上面给出的形式(3.1.14)之外， 另外还有四种特殊情况：
(1) 因为
不显含
且
若
E-L方程等价于
（3.1.15）
(2)
不依赖于
且
则E-L方程化为
（3.1.16）
(3)
不依赖于
且
则E-L方程化为
（3.1.17）
由此可见 (4)
仅为
的函数．
关于
是线性的：
则E-L方程化为
（3.1.18）
取极小值．这是泛函中的极值问题．令
F ( y, y ' ) 1 ( y' ) 2 2 gy
由变分法理论知(3-1-1)式满足下面的方程：
F y ' F c1 y '
1
y'
2
即
2 gy 1 ( y' )
y '
1 ( y' ) 2 2 gy
c1
将上式化简得
y[1 y' ] c
4 泛函的条件极值问题
在许多泛函的极值问题中，变量函数还受到一些附加条件
的限制，其中最常见和重要的一种是以积分形式表示的限制
条件
（3.1.22）
即所谓的等周问题：
(3.1.23)
（注：这种问题之所以称为等周问题，是因为在历史上起源 于求一条通过两点，长度固定为l的曲线 取极大值） 使面积
莱布尼茨和牛顿都得到了解答。
丹尼尔.伯努利（Daniel Bernoulli 1700-1782），
起初也像他父亲弟约翰.伯努利一样学医，写了一篇关于 肺的作用的论文获得医学学位，并且也像他父亲一样马 上放弃了医学而改攻他天生的专长。他在概率论、偏微分方程、物理 和流体动力学上都有贡献。而最重要的功绩是在流体动力学上，其中 的“伯努利定理”就是他的贡献。他曾经荣获法国科学院奖金１０次 之多，其中就包括那项惹他父亲恼怒的奖。 ２５岁的丹尼尔在彼得堡解决了黎卡提方程的解。并发表了一系 列的科学论著。１７３３年回到巴塞尔，先后担任巴塞尔大学的植物 学、解剖学与物理学教授。以８２岁高龄离开人世，许多人认为他是 第一位真正的数学物理学家。
向全欧洲数学家挑战，提出一个很艰难的问题：“设在垂直平面内有
任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不 计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”
这就是著名的“最速降线”问题。它的难处在于和普通的极大极
小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条 件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔、伯努利兄弟、
• • • • 变分问题： 变分法： 变分法研究的对象： 泛函： 求泛函极值的问题 求泛函极值的方法 泛函 函数概念的推广
一、泛函与变分
1、什么是泛函？
dx(t) J (x t ) dt 0 dt
1 2
（1）、若x(t)=t,则
J (t 2 t) dt
0 1
5 6
泛函与变分