(六西格玛管理)数理统计_方差与标准差

（六西格玛管理）数理统计_方差与标准差

心理和教育方面的实验或调查所得到的数据，大均具有随机变量的性质。而对这些随机变量的描述，仅有前壹章所讲集中趋势的度量是不够的。集中量数只描述数据的集中趋势和典型情况，它仍不能说明壹组数据的全貌。数据除典型情况之外，仍有变异性的特点。对于数据变异性即离中趋势进行度量的壹组统计量，称作差异量数，这些差异量数有标准差或方差，全距，平均差，四分差及各种百分差等等。

第壹节方差和标准差

方差(Variance)也称变异数、均方。作为统计量，常用符号S2表示，作为总体参数，常用符号σ2表示。它是每个数据和该组数据平均数之差乘方后的均值，即离均差平方后的平均数。方差，于数理统计中又常称之为二阶中心矩或二级动差。它是度量数据分散程度的壹个很重要的统计特征数。标准差(Standarddeviation)即方差的平方根，常用S或SD表示。若用σ表示，则是指总体的标准差，本章只讨论对壹组数据的描述，尚未涉及总体问题，故本章方差的符号用S2，标准差的符号用S。符号不同，其含义不完全壹样，这壹点望读者能够给予充分的注意。

壹、方差和标准差的计算

(壹)未分组的数据求方差和标准差

基本公式是：

（3—la）

（3—1b）

表3—1说明公式3—1a和3—1b的计算步骤

表3—1未分组的数据求方差和标准差

应用3—1公式的具体步骤：①先求平均数X＝36/6＝6；②计算X i-X；③求(Xi-X)2即离均差x2；④将各离均差的平方求和(∑x2)；⑤代入公式

3—1a和3—1b求方差和标准差。具体结果如下：

S2=10/6=1.67

(二)已分组的数据求标准差和方差

数据分组后，便以次数分布表的形式出现，这时原始数据不见了，若计算方差和标准差可用下式：

(3—3a)

(3—3b)

式中d＝(Xc-AM)/i，AM为估计平均数

Xc为各分组区间的组中值

f为各组区间的次数

N=Σf为总次数或各组次数和

i为组距。

下面以表1—8数据为例，说明分组数据求方差和标准差的步骤: 表3—2次数分布表求方差和标准差

具体步骤：

①设估计平均数AM，任选壹区间的Xc充任；

②求d

⑧用f乘d，且计算Σfd；

④用d和fd相乘得fd2，且求Σfd2；

⑤代入公式计算。

二、方差和标准差的意义

方差和标准差是表示壹组数据离散程度的最好的指标。其值越大，说明离散程度大，其值小说明数据比较集中，它是统计描述和统计分析中最常应用的差异量数。它基本具备壹个良好的差异量数应具备的条件：①反应灵敏，每个数据取值的变化，方差或标准差均随之变化；②有壹定的计算公式严密确定；③容易计算；④适合代数运算；⑤受抽样变动的影响小，即不同样本的标准差或方差比较稳定；⑥简单明了，这壹点和其他差异

量数比较稍有不足，但其意义仍是较明白的。

除上述之外，方差仍具有可加性特点，它是对壹组数据中造成各种变异的总和的测量，能利用其可加性分解且确定出属于不同来源的变异性(如组间、组内等)且可进壹步说明每种变异对总结果的影响，是以后统计推论部分常用的统计特征数。于描述统计部分，只需要标准差就足以表明壹组数据的离中趋势了。标准差比其他各种差异量数具有数学上的优越性，特别是当已知壹组数据的平均数和标准差后，便可知占壹定百分比的数据落于平均数上下各俩个标准差，或三个标准差之内。对于任何壹个数据集合，至少有1壹1/h2的数据落于平均数的h(大于1的实数)个标准差之内。(切比雪夫定理)。例如某组数据的平均数为50，标准差是5，则至少有75％(1壹1/22)的数据落于50-2*5至50+2*5即40至60之间，至少有88．9％(1壹1/32)的数据落于50-3*5至50+3*5＝35—65之间(h=2，1-1/h2=1-1/22=3/4=75%，h=3,-1/h2=1-1/32=8/9=88.9%)。

如果数据是呈正态分布，则数据将以更大的百分数落于平均数上下俩个标准差之内(95％)或三个标准差之内(99.％)。

三、由各小组的标准差求总标准差

由于方差具有可加性特点，于已知几个小组的方差或标准差的情况下，能够计算出几个小组联合于壹起的总的方差或标准差。这种计算常于科研协作中应用，例如先了解各班学生情况，再了解全年级情况；或先了解各年级情况，再了解全校总的情况。但这种方差或标准差的合成，只有于应用同壹种观测手段，测量的是同壹个特质，只是样本不同时，才能应用。

计算总方差或总标准差的公式如下；

(3—4a)

(3—4b)

式中为总方差

为总标准差

N1…N n为各小组数据个数

为总平均数为各小组的平均数

四、标准差的应用

(壹)差异系数(Coefficientofvariation)

当所观测的样本水平比较接近，而且是对同壹个特质使用同壹种测量工具进行测量时，要比较不同样本之间离散程度的大小，壹般可直接比较标准差或方差的大小-标准差的值大说明该组数据较分散，若标准差小，则说明该组数据较集中。标准差的单位和原数据的单位相同，因而有时称它为绝对差异量。于对不同样本的观测结果的离散程度进行比较时，常会遇到下述情况：①俩个或多个样本所测的特质不同，即所使用的观测工具不同，如何比较其离散程度?②即使使用的是同+种观测工具，但样本的水平相差较大时，如何比较它们的离散程度?于第壹种情况下，标准差的单位不同，显然不能直接比较标准差的大小。第二种情况虽然标准差的单位相同，但俩样本的水平不同，这可从平均数的大小明显不同确定。通常情况下，平均数的值较大，其标准差的值壹般也较大，平均数的值较小，其标准差的值也较小。这种情况下，若直接比较标准差取值的大小，借以比较不同样本的分散情况是无意义的。可见，上述俩种情况下，若用绝对差异量进行直接比较以确定其分散程度的大小是不行的，这时可用相对差异量进行比较。最常用的相对差异量就是差异系数。差异系数，．又称变异系数、相对标准差等，通常用符号CV表示，其计算如下，

CV=S/M*100％(3—5)

式中S为某样本的标准差

M为该样本的平均数。

差异系数于心理和教育研究中常用于：①同壹团体不同观测值离散程度的比较，②对于水平相差较大，但进行的是同壹种观测的各种团体，进

行观测值离散程度的比较。

例2已知某小学壹年级学生的平均体重为25公斤，体重的标准差是3.7公斤，平均身高110厘米，标准差为6.2厘米，问体重和身高的离散程

度哪个大?