恒成立能成立问题总结详细
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恒成立问题的类型和能成立问题及方法处理
函数与不等式的恒成立、能成立、恰成立问题是高中数学中的一个重点、难点问题。这类问题在各类考试以及高考中都屡见不鲜。感觉题型变化无常，没有一个固定的思想方法去处理，一直困扰着学生，感到不知如何下手。在此为了更好的准确地把握快速解决这类问题，本文通过举例说明这类问题的一些常规处理。
一、函数法
（一）构造一次函数 利用一次函数的图象或单调性来解决 对于一次函数],[),0()(n m x k b kx x f ∈≠+=有：
⎩⎨
⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔⎩⎨⎧><⎩⎨⎧>>⇔>0
)(0
)(0)(;
)(0
)(0)(00)(00)(n f m f x f n f m f n f k m f k x f 恒成立或恒成立
例1 若不等式m mx x ->-2
12对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范 围。 解析：将不等式化为：0)12()1(2
<---x x m ，
构造一次型函数：)12()1()(2---=x m x m g
原命题等价于对满足22≤≤-m 的m ，使0)( 由函数图象是一条线段，知应⎪⎩⎪⎨⎧<---<----⇔⎩⎨⎧<<-0 )12()1(20)12()1(20)2(0)2(22 x x x x g g 解得 231271+<<+-x ，所以x 的范围是)2 3 1,271(++-∈x 。 小结：解题的关键是将看来是解关于x 的不等式问题转化为以m 为变量，x 为参数 的一次函数恒成立问题，再利用一次函数的图象或单调性解题。 练习:(1)若不等式01<-ax 对[]2,1∈x 恒成立，求实数a 的取值范围。 （2）对于40≤≤p 的一切实数，不等式342 -+>+p x px x 恒成立，求x 的取值范围。（答案： 或 ） （二）构造二次函数 利用二次函数的图像与性质及二次方程根的分布来解决。 对于二次函数)0(0)(2 ≠>++=a c bx ax x f 有： （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a （3）当0>a 时，若],[0)(βα在>x f 上恒成立⇔ ⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或 若],[0)(βα在 ⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f （4）当0x f 上恒成立⎩⎨ ⎧>>⇔0 )(0 )(βαf f 若],[0)(βα在 a b f a b 或或 例2若关于x 的二次不等式：01)1(2 <-+-+a x a ax 的解集为R ，求a 的取值范围. 解：由题意知，要使原不等式的解集为R ，即对一切实数x 原不等式都成立。 只须⇔⎩⎨ ⎧<∆<00 a ⎩⎨⎧<---<0 )1(4)1(0 2 a a a a ⇔⎩⎨⎧>--<012302a a a ⇔⎪⎩ ⎪⎨⎧-<><3110