递推最小二乘辨识-

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遗忘因子递推最小二乘法辨识rc电路

遗忘因子递推最小二乘法辨识rc电路遗忘因子递推最小二乘法（Recursive Least Squares，简称RLS）是一种用于参数辨识的方法，主要针对线性时变系统的辨识问题。

在本文中，我们将探讨如何使用RLS方法辨识RC电路。

首先，我们需要了解什么是RC电路。

RC电路由一个电阻和一个电容组成，其工作原理是通过电阻阻碍电流的流动，而电容则储存电荷。

RC电路可以用于滤波器、积分器等应用中。

在辨识RC电路时，我们可以将其视为一个一阶系统，其传递函数可以表示为：H(s) = 1 / (RCs + 1)其中，s是频率，RC是电阻和电容的乘积。

我们的目标是辨识出RC的值。

接下来，我们将介绍如何使用RLS方法辨识RC电路的参数。

首先，我们需要采集一些输入-输出数据对。

我们可以通过施加不同的输入信号，并记录输出信号来获取这些数据对。

这些输入信号可以是脉冲信号、阶跃信号或正弦信号等。

设输入信号为u(t)，输出信号为y(t)，则我们可以得到如下的离散模型：y(k) = wT(k) · x(k)其中，y(k)是第k个采样点的输出，w(k)是待辨识的参数向量，x(k)是输入-输出数据对构成的特征向量。

在训练过程中，我们需要定义一个递归的更新规则来更新参数向量w(k)。

这里，我们引入遗忘因子λ，用于控制历史数据对参数的影响程度。

遗忘因子的取值范围为0到1之间，较大的值表示较快的遗忘，较小的值表示较慢的遗忘。

参数向量的更新公式如下：w(k) = w(k-1) + P(k-1) · x(k) · e(k)其中，P(k-1)是协方差矩阵，它与遗忘因子有关，可以通过递推方式得到：P(k) = 1/λ · (P(k-1) - P(k-1) · x(k) · x(k)T · P(k-1) / (λ + x(k)T · P(k-1) · x(k)))e(k)是输出误差，可以通过以下方式计算：e(k) = y(k) - wT(k-1) · x(k)以上就是使用遗忘因子递推最小二乘法辨识RC电路的基本原理和公式。

递推阻尼最小二乘法辨识算法公式的详细推导与说明

控制理论与控制工程学位课程《系统辨识》考试报告递推阻尼最小二乘法公式详细推导专业：控制理论与控制工程班级：2011双控（研）学生姓名：江南学号：20110201016任课教师：蔡启仲老师2012年06月29 日摘要在参数辨识中，递推最小二乘法是用得最多的一种算法。

但是，最小二乘法存在一些缺点，如随着协方差矩阵的减小，易产生参数爆发现象；参数向量和协方差矩阵的处置选择不当会使得辨识过程在参数收敛之前结束；在存在随机噪声的情况下，参数易产生漂移，出现不稳定等。

为了防止参数爆发现象，Levenberg 提出在参数优化算法中增加一个阻尼项，以增加算法的稳定性。

本文在一般的最小二乘法中增加了阻尼因子，构成了阻尼最小二乘法。

又根据实时控制的要求，详细推到了递推阻尼最小二乘公式，实现在线辨识。

关键字：系统辨识，最小二乘法，递推算法正文1.题目的基本要求已知单入单出系统的差分方程以及噪声，在应用最小二乘法进行辨识的时候，在性能指标中加入阻尼因子，详细推导阻尼最小二乘法的递推公式。

2.输入辨识信号和系统噪声的产生方法和理论依据 2.1系统辩识信号输入选择准则（1）输入信号的功率或副度不宜过大，以免使系统工作在非线性区，但也不应过小，以致信噪比太小，直接影响辩识精度；（2）输入信号对系统的“净扰动”要小，即应使正负向扰动机会几乎均等；（3）工程上要便于实现，成本低。

2.2白噪声及其产生方法（1）白噪声过程（2）白噪声是一种均值为0、谱密度为非0常数的平稳随机过程。

（3）白噪声过程定义：如果随机过程()t ω的均值为0，自相关函数为()()2R t t ωσδ= （2.2.1）式中()t δ 为狄拉克（Dirac) 分布函数，即(){(),00,01t t t dt δδ∞∞=≠∞==⎰-且t （2.2.2）则称该随机过程为白燥声过程。

2.3白噪声序列 (1) 定义如果随机序列{()}w t 均值为0，并且是两两不相关的，对应的自相关函数为()2,0,1,2w l R l l σδ==±± 式中{1,00,0l l l δ=≠=则称这种随机序列{()}w t 为白噪声序列。

递推最小二乘估计及模型阶次辨识

实验二递推最小二乘估计(RLS)及模型阶次辨识(F-Test ）1 实验方案设计1.1 生成输入数据和噪声用M 序列作为辨识的输入信号，噪声采用标准正态分布的白噪声。

生成白噪声时，首先利用乘同余法生成U[0,1]均匀分布的随机数，再利用U[0,1]均匀分布的随机数生成标准正态分布的白噪声。

1.2 过程仿真辨识模型的形式取)()()()()(11k e k u z B k z z A +=--，为方便起见，取n n n b a == 即nn n n zb a b z b z B z a a a z a z A ------++++=++++=...1)(...1)(22112211用M 序列作为辨识的输入信号。

1.3 递推遗忘因子法数据长度L 取534，初值⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==1000010000100001)0(001.0)0(P θ 1.4 计算损失函数、噪声标准差损失函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---+-=μθμττ)()1()()]1(ˆ)()([)1()(2k h k P k h k k h k z k J k J噪声标准差θλdim )(ˆ-=L L J1.6 F-Test 定阶法计算模型阶次统计量t)22,2(~222)1()1()()1,(----++-=+n L F n L n J n J n J n n t其中，)(∙J 为相应阶次下的损失函数值，L 为所用的数据长度，n 为模型的估计阶次。

若a t n n t >+)1,(，拒绝00:n n H >，若a t n n t <+)1,(，接受00:n n H >，其中αt 为风险水平α下的阀值。

这时模型的阶次估计值可取1+n 。

1.6 计算噪信比和性能指标噪信比22ye σση= 参数估计平方相对偏差i i i ni i i θθθθθδˆ~,~1221-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑= 参数估计平方根偏差ii i n i ini iθθθθθδˆ~,)()~(2122122-==∑∑== 2 编程说明M 序列中，M 序列循环周期取15124=-=p N ，时钟节拍t ∆=1Sec ，幅度1=a ，特征多项式为1)(56⊕⊕=s s s F 。

应用最小二乘一次完成法和递推最小二乘法算法地系统辨识

1最小二乘法的理论基础1.1最小二乘法设单输入单输出线性定长系统的差分方程表示为：其中δ(k)为服从N(0,1)的随机噪声,现分别测出n+N 个输出输入值y(1),y(2),…,y(n+N),u(1),u(2),…,u(n+N),则可写出N 个方程，写成向量－矩阵形式()()()()()()()()1201121n n y k a y k a y k a y k n b u k b u k b u k n k ξ=-------++-++-+L L ()()()()()()()()()()()()()()()()()()10111121222112n n y n y n y u n u y n y n y u n u y n N y n N y N u n N u N a n a n b n N b ξξξ+--+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+-+-+⎢⎥⎢⎥=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦LLL L M M MMLL M M M(4.1.1)则式(1.1.1)可写为（4.1.2）式中：y 为N 维输出向量；ξ为N 为维噪声向量；θ为（2n+1）维参数向量；Φ为N ×（2n+1）测量矩阵。

因此，式（4.1.1）是一个含有（2n+1）个未知参数，由N 个方程组成的联立方程组。

11y θφφξ--=-在给定输出向量y 和测量矩阵Φ的条件下求参数θ的估计，这就是系统辨识问题。

设表示 θ 的估计值，ŷ表示y 的最优估计，则有（4.1.3）式中：()()()10ˆˆ1ˆˆ2ˆˆ,ˆˆˆn n ay n a y n y b y n N b θ⎡⎤⎢⎥+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦M M M ()()()()()()()()()()()()()()()()()()101122,,11112221n n a y n n y n a n y b y n N n N b y n y u n u y n y u n u y n N y N u n N u N ξξθξξφ⎡⎤⎢⎥++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦--+⎡⎤⎢⎥-+-+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-+--+⎢⎥⎣⎦M M M M L LL L M MMLL y φθξ=+ˆθˆˆyθ=Φ设e(k)=y(k)- ŷ(k), e(k)称为残差，则有e=y- ŷ=y-Φθ 最小二乘估计要求残差的平方和最小，即按照指数函数（4.1.4）求Ｊ对的偏导数并令其等于0可得：（4.1.5）由式（4.1.5）可得的 θ 最小二乘估计：（4.1.6）J 为极小值的充分条件是：即矩阵ΦT Φ为正定矩阵，或者说是非奇异的。

应用最小二乘一次完成法和递推最小二乘法算法的系统辨识

目录1引言 (2)1.1概述 (2)1.2辨识的基本步骤 (2)2系统辨识输入信号的产生方法和理论依据 (3)2.1白噪声序列 (3)2.1.1白噪声序列的产生方法 (3)2.2 M序列的产生 (4)2.2..1 伪随机噪声 (4)2.2.2 M序列的产生方法 (4)3应用经典辨识方法的辨识方案。

(6)3.1经典辨识方法概述 (6)3.2经典辨识方法的实现 (6)4最小二乘法的理论基础 (7)4.1最小二乘法 (7)4.1.1最小二乘法估计中的输入信号 (9)4.1.2最小二乘估计的概率性质 (9)4.2递推最小二乘法 (10)5两种算法的实现方案 (11)5.1最小二乘法一次完成算法实现 (11)5.1.1最小二乘一次完成算法程序框图 (11)5.1.2一次完成法程序 (11)5.1.3一次完成算法程序运行结果 (11)5.1.4辨识数据比较 (12)5.1.5程序运行曲线 (12)5.2递推最小二乘法的实现 (12)5.2.1递推算法实现步骤 (12)5.2.2程序编制思路： (13)5.2.3递推最小二乘法程序框图 (14)5.2.4程序运行曲线 (15)5.2.5测试结果 (16)5.2.6递推数据表 (16)6结论 (16)7参考文献 (17)8附录 (17)应用最小二乘一次完成法和递推最小二乘法算法的系统辨识摘要：本题针对一个单输入单输出系统的便是问题，辨识的输入信号采用的是伪随机二位式序列（M序列），系统噪声为独立同分布高斯随机向量序列（白噪声），辨识的算法是递推最小二乘法和广义最小二乘法，本文简单描述应用经典辨识方法的辨识方案，详细描述了输入信号、噪声的产生方法及matlab程序，阐述了用两种不同算法的辨识原理并对它们的推导过程及辨识程序编制思路做了详细的描述。

最后结合真值与估计值对不同辨识算法的优劣进行了比较。

关键词：系统辨识M序列最小二乘法1引言1.1概述系统辨识是现代控制理论中的一个分支，它是根据系统的输入输出时间函数来确定描述系统行为的数学模型。

递归最小二乘法辨识参数

递归最小二乘法辨识参数递归最小二乘法（Recursive Least Squares, RLS）是一种参数辨识方法，它使用递归算法来求解最小二乘法中的参数。

在许多领域中，例如系统辨识、自适应控制、信号处理等，递归最小二乘法都是一个广泛使用的方法。

递归最小二乘法的基本思想是：通过递归迭代来更新参数估计值，使其逼近最优解。

在递归过程中，每一次迭代时，都会通过当前的测量值来更新参数的估计值，同时保留历史测量值的影响，从而获得更精确的估计值。

具体地说，在递归过程中，首先需要定义一个初始参数向量，然后通过观测数据序列来递归更新参数向量。

假设有一个如下所示的线性关系：y(k) = Φ(k) * θ + v(k)其中，y(k)是被观测到的输出值，Φ(k)是与该输出值相关的输入向量，θ是待辨识的参数向量，v(k)是误差项。

递归最小二乘法的目标就是通过观测数据来估计θ的值。

在递归最小二乘法中，首先需要定义一个初始的参数向量θ0，然后通过数据序列递归地更新θ的值。

每一次迭代时，都会用最新的观测数据来更新参数向量，使得估计值更接近真实值。

具体来说，每次观测到新的数据之后，都会根据当前参数估计值和新的观测值来计算估计误差，并更新参数向量。

具体的迭代步骤如下：1.从数据序列中读取观测值y(k)和输入向量Φ(k)；2.计算估计值y(k)hat和估计误差e(k)：y(k)hat = Φ(k) * θ(k-1)e(k) = y(k) - y(k)hat3.计算卡尔曼增益K(k)和参数估计值θ(k)：K(k) = P(k-1) * Φ(k) / (λ + Φ(k)' * P(k-1) * Φ(k))θ(k) = θ(k-1) + K(k) * e(k)其中，P(k-1)是先前迭代步骤中的误差协方差矩阵，λ是一个小的正数，用于确保逆矩阵的存在性。

需要注意的是，递归最小二乘法的计算量相对较大，因此通常需要对算法进行优化，以提高计算效率和精度。

广义递推最小二乘辨识

广义递推最小二乘辨识一、实验目的1 通过实验掌握广义最小二乘辨识算法；2 运用MATLAB编程，掌握算法实现方法。

二、实验原理广义最小二乘法的基本思想是基于对数据先进行一次滤波预处理，然后利用普通最小二乘法对滤波后的数据进行辨识。

如果滤波模型选择得合适，对数据进行了较好的白色化处理，那么直接利用普通最小二乘法就能获得无偏一致估计。

广义最小二乘法所用的滤波模型实际上就是一种动态模型，在整个迭代过程中不断靠偏差信息来调整这个滤波模型，使它逐渐逼近于一个较好的滤波模型，以便对数据进行较好的白色化处理，使模型参数估计称为无偏一致估计。

理论上说，广义最小二乘法所用的动态模型经过几次迭代调整后，便可对数据进行较好的白化处理，但是，当过程的输出噪信比比较大或模型参数比较多时，这种数据白色化处理的可靠性就会下降。

此时，准则函数可能出现多个局部收敛点，因而辨识结果可能使准则函数收敛于局部极小点上而不是全局极小点上。

这样，最终的辨识结果往往也会是有偏的。

其收敛速度比较慢，需要经过多次迭代计算，才能得到较准确的参数估计值。

一般情况下，经过多次迭代后，估计值便会收敛到稳态值。

但在某些情况下（如噪声比较低时）存在局部极小值，估计值不一定收敛到准则函数的全局极小值上。

为了防止参数估计值收敛到局部极小值，最好选定初值接近最优解，一般可以用最小二乘法的批处理估计值作为初值。

如果系统是时变的，或为了克服数据饱和现象，可以在两次RLS算法中分别引进遗忘因子。

三、实验内容<1> 数据获取：实验数据按照表9-1，为二阶线性离散系统的输入输出数据<2> 数据处理：为了提高辨识精度，实验者必须对原始数据进行剔除坏数据、零均值化、工频滤波等处理。

实验进行了白化滤波处理。

<3> 辨识算法：利用处理过的数据（取适当的数据长度），选择某种辨识方法（如RLS递推最小二乘法、RELS、RIV或RML等参数估计算法及F-检验或AIC定阶法），估计出模型参数和阶次，同时分析辨识结果。

基于数据滤波的极大似然递推最小二乘辨识

（１４）
（１５
ｄ＝，， … ，丁ｅＲ，ｑ＝［矿，ｄ］ｔ建一，砚（ｆ）＝［（ｆ），（ｆ】丁ｒｔＲ
％（ｆ）＝ｈ（ｆ — ｌ（ｆ一２），，ｕｄｔ一ＥＲ、
（１）
咖（ｔ）＋
¨
计算：ｖ（ｒ）关于和在点鼋（１）的偏导数得到：
＝－－Ｚ－ｄ ∞ 一
其中ｙ（ｆ）是系统输出，ｕ（Ｏ是系统输入，ｖ（是零均值方差为高斯分布的白噪声。（２），）和Ｄ是移位算子ｚ－）＝ — Ｄ］的多项式。
丑（２）＝ｚ一＋ｚ一＋ … ＋ｂ￣ｚ－ ’
ｃ０）＝ｌ＋ｃｔｚ一毛＋一＋ｃｚ。Ｄ（＝ｌ＋ｄ＝ｚ－￣＋ｚ卜＋２ ‘
其中滤波值ｕ（ｆ）和ｖ，ｏ）定义为：
将式（１３）代入式（１１）得到，（ｆ）的估计值为：
，）一矗（ｔ）一（ｒ一１）Ｊｏ —１）一ｒ —ｊ一Ｉ）ｏ，）
定义
访∞和ｌ磊ｏ）为：
— ２ｘＯ一对 ∈ Ｒ
蟊（ｆ）：随ｐ — ｌ
反ｒ）＝［（｝（。， … ，（１ｅ Ⅱ
雄）＝［口（ … ．ｐ）］ｅＲ
０ ∞ ；（晓＜－（ｆ）『ｅＲ
ｏ）；［ ∞ ，（叮ｅＲ
用参数向量估计值（ｆ）和（ｆ）构造ｃ（ｚ）和Ｄ（２）在埘刻的估计值，得到：

使用最小二乘法法进行系统辨识的两种方法

递推最小二乘法辨识与仿真现在有如下的辨识仿真对象：图中， )(k v 是服从N )1,0(分布的不相关随机噪声。

且)(1-zG )()(11--=z A z B ，)(1-z N )()(11--=zC zD ，（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==+-=--------1)(5.00.1)()(7.05.11)(121112111z D z zz B z C z z a z A选择上图所示的辨识模型。

仿真对象选择如下的模型结构：)()2()1()2()1()(2121k w k u b k u b k y a k y a k y +-+-=-+-+可得系统模型为：)()2(5.0)1()2(7.0)1(5.1)(k w k u k u k y k y k y +-+-=-+-- 递推最小二乘法的推导公式如下：)]1(ˆ)()()[()1(ˆ)(ˆ--+-=k k k z k k k θh K θθτ )1()]()([)]()()1([)(11--=+-=--k k k k k k k τP h K I h h PP τ1]1)()1()()[()1()(-+--=k k k k k k h P h h P K τ相关程序如下：% exp053 %%递推最小二乘法程序%clear%清理工作间变量L=55;% M序列的周期y1=1;y2=1;y3=1;y4=0;%四个移位寄存器的输出初始值for i=1:L;%开始循环，长度为Lx1=xor(y3,y4);%第一个移位积存器的输入是第3个与第4个移位积存器的输出的“或”x2=y1;%第二个移位积存器的输入是第3个移位积存器的输出x3=y2;%第三个移位积存器的输入是第2个移位积存器的输出x4=y3;%第四个移位积存器的输入是第3个移位积存器的输出y(i)=y4;%取出第四个移位积存器幅值为"0"和"1"的输出信号，if y(i)>0.5,u(i)=-0.03;%如果M序列的值为"1"时,辨识的输入信号取“-0.03”else u(i)=0.03;%当M序列的值为"0"时,辨识的输入信号取“0.03”end%小循环结束y1=x1;y2=x2;y3=x3;y4=x4;%为下一次的输入信号做准备end%大循环结束，产生输入信号uw=normrnd(0, sqrt(0.1), 1, 55);%加入白噪声figure(1);%第1个图形，伪随机序列stem(u),grid on%以径的形式显示出输入信号并给图形加上网格z(2)=0;z(1)=0;%取z的前两个初始值为零for k=3:55;%循环变量从3到55z(k)=1.5*z(k-1)-0.7*z(k-2)+u(k-1)+0.5*u(k-2)+w(k);%给出理想的辨识输出采样信号endc0=[0.001 0.001 0.001 0.001,0.001]';%直接给出被辨识参数的初始值,即一个充分小的实向量p0=10^6*eye(5,5);%直接给出初始状态P0，即一个充分大的实数单位矩阵E=0.000000005;%相对误差E=0.000000005c=[c0,zeros(5,54)];%被辨识参数矩阵的初始值及大小e=zeros(5,55);%相对误差的初始值及大小for k=3:55; %开始求Kh1=[-z(k-1),-z(k-2),u(k-1),u(k-2),w(k)]'; x=h1'*p0*h1+1; x1=inv(x); %开始求K(k)k1=p0*h1*x1;%求出K的值d1=z(k)-h1'*c0; c1=c0+k1*d1;%求被辨识参数ce1=c1-c0;%求参数当前值与上一次的值的差值e2=e1./c0;%求参数的相对变化e(:,k)=e2; %把当前相对变化的列向量加入误差矩阵的最后一列c0=c1;%新获得的参数作为下一次递推的旧参数c(:,k)=c1;%把辨识参数c 列向量加入辨识参数矩阵的最后一列p1=p0-k1*k1'*[h1'*p0*h1+1];%求出 p(k)的值p0=p1;%给下次用if e2<=E break;%若参数收敛满足要求，终止计算end%小循环结束end%大循环结束c;%显示被辨识参数e;%显示辨识结果的收敛情况%分离参数a1=c(1,:); a2=c(2,:); b1=c(3,:); b2=c(4,:);d1=c(5,:);ea1=e(1,:); ea2=e(2,:); eb1=e(3,:); eb2=e(4,:);figure(2);%第2个图形i=1:55;%横坐标从1到55plot(i,a1,'r',i,a2,':',i,b1,'g',i,b2,':',i,b1,'k') %画出a1，a2，b1，b2的各次辨识结果title('系统辨识结果')%图形标题如果系统中的参数为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+==+-=----------211211121112.01)(5.00.1)()(7.05.11)(z z z D z zz B z C z z a z A 那么系统模型机构为：)2(2.0)1()()2(5.0)1()2(7.0)1(5.1)(-+--+-+-=-+--k w k w k w k u k u k y k y k y 相关程序如下： % exp054.m % %递推最小二乘法编程%clear%清理工作间变量 L=55;% M 序列的周期y1=1;y2=1;y3=1;y4=0;%四个移位寄存器的输出初始值 for i=1:L;%开始循环，长度为Lx1=xor(y3,y4);%第一个移位积存器的输入是第3个与第4个移位积存器的输出的“或” x2=y1;%第二个移位积存器的输入是第3个移位积存器的输出 x3=y2;%第三个移位积存器的输入是第2个移位积存器的输出 x4=y3;%第四个移位积存器的输入是第3个移位积存器的输出 y(i)=y4;%取出第四个移位积存器幅值为"0"和"1"的输出信号，if y(i)>0.5,u(i)=-0.03;%如果M序列的值为"1"时,辨识的输入信号取“-0.03”else u(i)=0.03;%当M序列的值为"0"时,辨识的输入信号取“0.03”end%小循环结束y1=x1;y2=x2;y3=x3;y4=x4;%为下一次的输入信号做准备end%大循环结束，产生输入信号uw=normrnd(0, sqrt(0.1), 1, 55);figure(1);%第1个图形，伪随机序列stem(u),grid on%以径的形式显示出输入信号并给图形加上网格z(2)=0;z(1)=0;%取z的前两个初始值为零for k=3:55;%循环变量从3到55z(k)=1.5*z(k-1)-0.7*z(k-2)+u(k-1)+0.5*u(k-2)+w(k)-w(k-1)+0.2*w(k-2);%给出理想的辨识输出采样信号endc0=[0.001 0.001 0.001 0.001,0.001]';%直接给出被辨识参数的初始值,即一个充分小的实向量p0=10^6*eye(5,5);%直接给出初始状态P0，即一个充分大的实数单位矩阵E=0.000000005;%相对误差E=0.000000005c=[c0,zeros(5,54)];%被辨识参数矩阵的初始值及大小e=zeros(5,55);%相对误差的初始值及大小for k=3:55; %开始求Kh1=[-z(k-1),-z(k-2),u(k-1),u(k-2),w(k),w(k-1),w(k-2)]';x=h1'*p0*h1+1; x1=inv(x); %开始求K(k)k1=p0*h1*x1;%求出K的值d1=z(k)-h1'*c0; c1=c0+k1*d1;%求被辨识参数ce1=c1-c0;%求参数当前值与上一次的值的差值e2=e1./c0;%求参数的相对变化e(:,k)=e2; %把当前相对变化的列向量加入误差矩阵的最后一列c0=c1;%新获得的参数作为下一次递推的旧参数c(:,k)=c1;%把辨识参数c 列向量加入辨识参数矩阵的最后一列p1=p0-k1*k1'*[h1'*p0*h1+1];%求出 p(k)的值p0=p1;%给下次用if e2<=E break;%若参数收敛满足要求，终止计算end%小循环结束end%大循环结束c;%显示被辨识参数e;%显示辨识结果的收敛情况%分离参数a1=c(1,:); a2=c(2,:); b1=c(3,:); b2=c(4,:);d1=c(5,:);d2=c(6,:);d3=c(7,:); figure(2);%第2个图形i=1:55;%横坐标从1到55plot(i,a1,'r',i,a2,':',i,b1,'g',i,b2,':',i,d1,'k',i,d2,':',i,d3,'*') %画出a1，a2，b1，b2的各次辨识结果title('系统辨识结果')%图形标题。

递推最小二乘辨识-

• 对于所有学习系统与自适应系统,信号充分丰富(系统充分激励)是非常重要的.
– 若系统没有充分激励,则学习系统与自适应系统就不能一致收敛.
• 不一致收敛则意味着所建模型存在未建模动态或模型误差较大,这对模型的应用带来巨大隐患.
• 如对自适应控制,未建模动态可能导致系统崩溃.
– 为保证学习系统与自适应系统一致收敛,则所产生的系统的学习样本数据(系统输入输出信号) 应具有尽可能多的模态,其频带要足够宽,而且其信号强度不能以指数律衰减.
(A+BCD)[A-1-A-1B(C-1+DA-1B)-1DA-1]
=I-B(C-1+DA-1B)-1DA-1+BCDA-1 -BCDA-1B(C-1+DA-1B)-1DA-1
=I-B[I-C(C-1+DA-1B)+CDA-1B](C-1+DA-1B)-1DA-1 =I 因此,矩阵反演公式(4)成立.
P ( k ) [ P - 1 ( k - 1 ) ( k - 1 ) ( k - 1 ) - 1 ]
( 3 )
• 由式(3)和矩阵反演公式(4),可得P(k)的如下递推计算式
P (k ) P (k-1-P )(k-1(k )-1 )1 [ (k-1 )P (k-1(k )-1 ) 1 ]
θ ˆ(k ) (Φ k Φ k)-1 Φ k Y k P (k )Φ k Y k
有
P-1(k)θ ˆ(k)Φ kY(k)
(A+BCD)-1=A-1-A-1B(C-1+DA-1B)-1DA-1
–即
利用公式 P-1(k)θ ˆ(k)Φ kY(k)
θ ˆ ( k ) P ( k )Φ k [ 1( k - 1 )Y ] ( k [ - 1 )y ( k ) ]

递推最小二乘辨识

实验4 递推最小二乘法的实现实验报告哈尔滨工业大学航天学院控制科学与工程系专业：自动化班级：1040101姓名：日期：2013 年10 月23 日1．实验题目：递推最小二乘法的实现 2．实验目的：(n a y k -()(n b u k n ξ+-+,,n a ，0,n b b 为待辨识的未知参数，(k ξ为系统的输出，为系统的输入。

分别测出n N +个输出、(3),(),(1),(2),()y y n N u u u n N ++，则可写出矩阵形式，有0()(1)(1)(1)((1)(2)(2)(2)((1)()()()(n n y n y u n u n a y n y u n u n b y n N y N u n N u N n b ξξξ⎢⎥--+⎤⎡⎤⎡⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥-+-+⎢⎥⎢+⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥-+--+⎣⎦⎣⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2）101)(1),,()()n n a n a b y n N n N b ξξθξξ⎡⎤⎢⎥++⎤⎡⎤⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()(1)(1)(1)(1)(2)(2)(2)1)()()()y n y u n u n y u n u N y N u n N u N -+⎤⎥+-+⎥⎥⎥+--+⎦y θξ=Φ+ （维输出向量；ξ为N 维噪声向量；θ为21n +维参数向量；Φ测量矩阵。

为了尽量减小噪声ξ对θ估值的影响，应取2N n >+()T θ=ΦΦ为了实现实时控制，必须采用递推算法，这种辨识方法主要用于在线辨设已获得的观测数据长度为N ，将式N N Y θ=ΦN θ表示θ的最小二乘估计，则(TN Nθ=ΦΦ(T N N P =ΦΦT N N N P θ=Φ如果再获得一组新的观测值(u n N +11TN ψθ++=+(1),n N ++](1)(1)(1)y N u n N u N -++++）合并，并写成分块矩阵形式，可得T 111N N N N N Y y ξθξψ+++⎡⎤Φ⎡⎤⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（9）于是，类似地可得到新的参数估值1T T1T T T 1111N NN N N N N N N Y y θψψψ-+++++⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤ΦΦΦ⎡⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎢⎥=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭ )T1T 1111N N N N N T N N N N Y P y Y y ψψ+++++⎡⎤Φ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Φ+)T T 111T 11N NN N N N N ψψψψ++-++⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎬⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎭+ )1T 11N N ψ-++ 与P 的递推关系式出发，导，最终可求得递推最小二乘法辨识公式：()T1111N N N N N N K y θθψθ++++=+- ()1T 11111N N N N N N K P P ψψψ-++++=+ ()1T T 11111N N N N N N N N P P P P ψψψψ-++++=-+ 为了进行递推计算，需要给出N P 和N θ的初值0P 和0θ。

广义递推最小二乘辨识

广义递推最小二乘辨识一、实验目的1 通过实验掌握广义最小二乘辨识算法；2 运用MATLAB编程，掌握算法实现方法。

二、实验原理广义最小二乘法的基本思想是基于对数据先进行一次滤波预处理，然后利用普通最小二乘法对滤波后的数据进行辨识。

如果滤波模型选择得合适，对数据进行了较好的白色化处理，那么直接利用普通最小二乘法就能获得无偏一致估计。

此时，准则函数可能出现多个局部收敛点，因而辨识结果可能使准则函数收敛于局部极小点上而不是全局极小点上。

这样，最终的辨识结果往往也会是有偏的。

其收敛速度比较慢，需要经过多次迭代计算，才能得到较准确的参数估计值。

一般情况下，经过多次迭代后，估计值便会收敛到稳态值。

但在某些情况下（如噪声比较低时）存在局部极小值，估计值不一定收敛到准则函数的全局极小值上。

为了防止参数估计值收敛到局部极小值，最好选定初值接近最优解，一般可以用最小二乘法的批处理估计值作为初值。

如果系统是时变的，或为了克服数据饱和现象，可以在两次RLS算法中分别引进遗忘因子。

实验进行了白化滤波处理。

递推最小二乘参数辨识与仿真实例

递推最小二乘参数辨识与仿真实例关晓慧;吕跃刚【期刊名称】《微型机与应用》【年(卷),期】2011(030)020【摘要】This paper described the basic principles that how to conduct system identification using recursive least square method. Combined with the given actual input and output data,the M program language in MATLAB was used to design the algorithm of RLS. Finally, the simulation result and analysis were given,and the model was validated.%介绍了基于递推最小二乘法进行系统辨识的基本原理，对给定的实际输入输出数据运用MATLAB的M语言编写递推最小二乘算法，最后给出相应的仿真结果和分析，并对得到的模型进行验证。

【总页数】3页(P91-92,95)【作者】关晓慧;吕跃刚【作者单位】华北电力大学控制与计算机工程学院,北京102206;华北电力大学控制与计算机工程学院,北京102206【正文语种】中文【中图分类】TP391.9【相关文献】1.基于递推最小二乘法的多端口外网静态等值参数辨识方法 [J], 谢仕炜;胡志坚;吴方劼;宁月2.基于递推最小二乘法的转向系统参数辨识 [J], 李伟; 王洪民; 唐峥3.基于动态遗忘因子递推最小二乘法的永磁同步电机参数辨识算法 [J], 方桂花;王鹤川;高旭4.带可变遗忘因子递推最小二乘法的超级电容模组等效模型参数辨识方法 [J], 谢文超;赵延明;方紫微;刘树立5.基于递推最小二乘法的SCARA机器人动力学参数辨识研究 [J], 李家铮;张禹;赵文川;王富民因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

递推最小二乘估计及模型阶次辨识

《糸统辨枳基础》第19讲要点卖验二盪推最小二乘估计(RLS)及模型阶次辨枳(F・Test)、卖验目的①通过卖验，•拿握透推最小二乘参数辨识方法②通过卖验，•拿握F・Test模型阶次辨识方冻、卖验内彖1、仿真模型卖验所用的仿真模型如下：框图表示z(k) 1.5z(k 1) 0.7z(k 2) u(k 1) 0.5u(k) v(k)其中u(k)和z(k)分别为模型的输入和输出变量；v(k)为零均值、方差为1、服从正态分布的自噪步；为噪＞的标准差(卖验肘，可取0.0、0.1 . 0.5、1.0)；输入变量u( k)采用M序列，其特征多项式取F(s) s4 s 1,幅度取1.0o2、辨识模型辨识模型的形式取A(z 1)z(k) B(z 1)u(k) e(k)为方便起见，取n a nbn ,即A(z) 1 aiz 1 a2z 2a n zB(z) biz 1 b2z 2b n Z n根据仿真模型生成的数据u(k),k 1, ,L和z(k),k 1, ,L ,辨帜模型的参＜ai,a2, ,a n和bi,b2, , bn ；并确定模型阶次n,同肘估计出模型誤案e(k)的方差(应近似等于模型噪＞v(k)的方差，即为2)和模型的静态增益Ko3、辨识算法①采用适推遗忘因子冻：(k) (k1)K(k) z(k) h (k) (k1)K(k) P(k1)h(k)h(k)P(k1)h(k)|i1P(k)dK(k)h (k) P(k1)p其中，遗忘因子0 1 (具体值根据情况自己确定)；数据长度L可取100、300、500；初始(0) P(0) a2 I②赖夾函数的透推计算：J(k)|iJ(k1)z(k)h(k) (k1)2h (k) P(k1)h(k) |44、 F-Test 走阶法统计量tJ(n 1)2t(n,n J J(n)J(n"L2n2~F(2,L2n 2)其中，J （）为相应阶次下的赖夾函数值，L 为所用的数据长度，n 为模型的估计阶次。

递推最小二乘辨识讲解

也很大。
（2）每增加一次观测量，都必须重新计算φ，（）T -1。
（3）如果出现φ列相关，既不满秩的情况， T 为病态矩阵，则不能得到最小二乘估计值。 *递推最小二乘参数辨识，就是当被辨识的系统在运行时，每取得一次新的观
测数据后，就在前一次估计结果的基础上，利用新引入的观测数据对前次估计的结果，根据递推算法进行修正，从而递推地得出新的参数估计值。这样，随着新的观测数据的逐次引入，一次接一次的进行参数计算，直到参数估计值达到满意的精确程度为止。
P(k -1)(k -1) (k -1)
P
(k
)
I
-
1
(k
- 1) P
(k
-1)
(k
-1)
P
(k
-1)
其中的计算顺序为先计算P(k),然后再计算 θˆ(k) .
(7) (8)
有时,为计算方便并便于理解,上述RLS估计算法又可表示为
常规最小二乘辨识的递推算法
主要内容
1.思想及原理 2.实例与MATLAB仿真 3.应用
1.递推最小二乘法的思想及原理
1.1递推最小二乘法的引入 *最小二乘法的缺陷（1）数据量越多，系统参数估计的精度就越高，为了获得满意的辨识结果，
矩阵的阶数 T 常常取得相当大。这样矩阵求逆的计算量很大，存储量
1.2递推算法的思想 * 递推辨识算法的思想可以概括成
新的参数估计值=旧的参数估计值+修正项即新的递推参数估计值是在旧的递推估计值的基础上而成，
这就是递推的概念. 递推算法不仅可减少计算量和存储量,而且能实现在线
实时辨识. * 递推算法是依时间顺序,每获得一次新的观测数据就修
正一次参数估计值,随着时间的推移,便能获得满意的辨识结果. RLS法即为成批型LS算法的递推化，即将成批型LS算法

基于MATLAB的递推最小二乘法辨识与仿真

基于ＭＡＴＬＡＢ的递推最小二乘法辨识与仿真强明辉　，张京娥（兰州理工大学电气工程与信息工程学院甘肃兰州，７３００５０）摘　要：　通过对最小二乘算法的分析，推导出了递推最小二乘法的运算公式，提出了基于ＭＡＴＬＡＢ　／Ｓｉｍｕｌｉｎｋ的使用递推最小二乘法进行参数辨识的设计与仿真方法。

并采用Ｓｉｍｕｌｉｎｋ建立系统的仿真对象模型和运用ＭＡＴＬＡＢ的Ｓ－函数编写最小二乘递推算法，结合实例给出相应的仿真结果和分析。

仿真结果表明，该仿真方法克服了传统编程语言仿真时繁杂、难度高、周期长的缺点，是一种简单、有效的最小二乘法的编程仿真方法。

关键词：　Ｍａｔｌａｂ；Ｓｉｍｕｌｉｎｋ；参数辨识；递推最小二乘法；仿真Abstract: This paper based on the analysis of least-squares algorithm derived a RLS of calculation formula and proposed based on MATLAB/Simulink the use of RLS to identify the parameters of design and simulation methods. Adopt the simulation model with MATLAB /Simulink and the method using S-function in MATLAB to design the algorithm of RLS. According to an given example, the simulation and results are analyzed. The simulation results show that the method can overcome such disadvan-tages as properties of complexity, diffculty and lengthiness in the traditionalmethod of using program language. By using this method, the dynamic system simulation becomes easy, visual and quick. So it is a simple and effective method of least squares programming Simulation.Key words: Matlab; Simulink; Parameter identification; RLS; Simulation中图分类号：ＴＰ２７１＋．７文献标识码：Ａ文章编号：１００１－９２２７（２００８）０６－０００４－０３０引　言最小二乘法首先是由Ｇａｕｓｓ为进行行星轨道预测的研究而提出的，现在最小二乘法已经成为用于系统参数估计的主要方法之一。

递推最小二乘辨识

ˆ (1) 选取 (0)各元素为零或较小的参数,P(0)=I,其中为充分大的实数（105～1010）;
(2) 先将大于所需辨识的参数个数的L组数据,利用成批型的LS法求取参数估计值LS和协方差阵P(L),并将这些量作为递推估计的初值.
y N 1 原有信息 ˆ
N
N 1
ˆ (k ) (ΦΦ )1 ΦY θ k k k k
Yk=[y(1), y(2), ..., y(k)]T=[Yk y(k)]T 1
仔细考察上述LS法,可以知道,该算法进行递推化的关键是算法中的矩阵求逆的递推计算问题. 因此,下面先讨论该逆矩阵的递推计算.
P(k ) (ΦΦk )-1 k
首先,假定在第k-1次递推中,我们已计算好参数估计值在第k次递推时,我们已获得新的观测数据向量(k-1)和 y(k),则记 Φ k-1=[(0), (1), ..., (k-2)]T Φ k=[(0), (1), ..., (k-1)]T=[φ (k-1)T φ (k-1)]T Yk-1=[y(1), y(2), ..., y(k-1)]T
1.2递推算法的思想 * 递推辨识算法的思想可以概括成新的参数估计值=旧的参数估计值+修正项即新的递推参数估计值是在旧的递推估计值的基础上而成，这就是递推的概念. 递推算法不仅可减少计算量和存储量,而且能实现在线实时辨识. * 递推算法是依时间顺序,每获得一次新的观测数据就修正一次参数估计值,随着时间的推移,便能获得满意的辨识结果. RLS法即为成批型LS算法的递推化，即将成批型LS算法化成依时间顺序递推计算即可。该工作是1950年由Plackett完成的。
将Φ k展开,故有
(2)
P (k ) ([Φ-1 (k -1)][Φ-1 (k -1)] )-1 k k

递推最小二乘法相关辨识方法

z ( k ) + a1 z ( k − 1) + LL + ana z ( k − na ) = b1u ( k − 1) + LL +bnb u ( k − nb ) + e ( k )
l 则系统可表示为
A ( z −1 ) z ( k ) = B ( z −1 ) u ( k ) + A ( z −1 )
l 为了减少计算量，减少数据在计算机中占用的内存，并实时辨识出系统动态特性，我们常利用最小二乘法的递推形式。其基本思想可以概括成 ) ) 新的估计值θ ( k ) =旧的估计值θ ( k − 1) +修正项下面我们来推导递推最小二乘算法的原理。首先，将最小二乘一次完成算法写为
) −1 T T T θ LS = ( H L H L ) H L zL = P ( L ) H L zL
l 把P(k)写成
利用矩阵反演公式可得
P (k ) = P
T −1
−1
( k − 1) + h ( k ) h ( k )
T
−1 T −1 −1
−1
( A + CC )
= A − A C ( I + C A C ) C T A −1
−1
−1
T P ( k ) = P ( k − 1) − P ( k − 1) h ( k ) hT ( k ) P ( k − 1) h ( k ) P ( k − 1) h ( k ) + 1
l 设一个时不变SISO线性离散动态系统的数学模型为 A ( z −1 ) z ( k ) = B ( z −1 ) u ( k ) + e ( k ) 假设模型的阶次已经设定，且一般有na ≥ nb 。将模型写成最小二乘形式