直线的方向向量(空间)测试题

直线的方向向量（空间）测试题

1. 已知直线l 的一个方向向量m ⃗⃗⃗ =(2,−1,3)，且直线l 过A(0,y ，

3)和B(−1,2，z)两点，则y −z =( )

A. 0

B. 1

C. 3

2

D. 3

2. 设A(2,2，3)，B(4,0，1)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( )

A. (1,2，5)

B. (3,−2,−2)

C. (1,−1,−1)

D. (−1,1，−1)

3. 设l 1的方向向量为a ⃗ =(1,2，−2)，l 2的方向向量为b ⃗ =(−2,3，m)，若l 1⊥l 2，则m

等于( )

A. 1

B. 2

C. 1

2

D. 3

4. 若点A (−1

2,0,1

2)，B (1

2,2,7

2)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( )

A. (13,2

3,1)

B. (13,1,2

3)

C. (23,1

3,1)

D. (1,23,1

3)

5. 若两条不重合直线l 1和l 2的方向向量分别为ν1⃗⃗⃗ =(1,0,−1)，

ν2⃗⃗⃗ =(−2,0,2)，则l 1和l 2的位置关系是( )

A. 平行

B. 相交

C. 垂直

D. 不确定

6. 已知向量a ⃗ =(2,4，5)，b ⃗ =(3,x ，y)，分别是直线l 1、l 2 的方向向量，若l 1//l 2，

则( )

A. x =6，y =15

B. x =3，y =15

C. x =83，y =10

3

D. x =6，y =15

2

7. 直线2x −3y +1=0的一个方向向量是( )

A. (2,−3)

B. (2,3)

C. (−3,2)

D. (3,2)

8. 已知空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(−1,3,1)，则不正确的有( )

A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 是共线向量

B. AB

⃗⃗⃗⃗⃗ 的单位向量是(1,1,0) C. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC

⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的余弦值是√5511 D. 直线AC 的一个方向向量是(2,−4,−2) 9. 已知直线l 的一个方向向量为u →

=(−

√36,1

2

)，且l 经过点(1,−2)，则下列结论中正

确的是( )

A. l 的倾斜角等于150°

B. l 在x 轴上的截距等于2√33

C. l 与直线√3x −3y +2=0垂直

D. l 与直线√3x +y +2=0平行

10. 已知向量A (−1,0，1)，B (1,2，0)，请写出直线AB 的一个单位方向向量________．

答案和解析

1. 解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2−y,z −3)．∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =k m ⃗⃗⃗ ．∴−1=2k ，2−y =−k ，z −3=3k ． 解得k =−1

2，y =3

2=z ．∴y −z =0．故选：A ．

2.解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,0,1)−(2,2,3)=(2,−2,−2)，因为(2,−2,−2)=2(1,−1,−1) 故选C ．

3.B

4.解：因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2，3)，而(13,2

3,1)=1

3(1,2，3)=1

3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以(13,2

3,1)是直线l 的一个方向向量．故选A ．

5.解：∵两条不重合直线l 1和l 2的方向向量分别为ν1⃗⃗⃗ =(1,0,−1)，ν2⃗⃗⃗ =(−2,0,2)， ∴v 2⃗⃗⃗⃗ =−2v 1⃗⃗⃗⃗ ，即ν2⃗⃗⃗ 与v 1⃗⃗⃗⃗ 共线，∴l 1和l 2的位置关系是直线l 1//l 2，故选：A ．

6.解：∵l 1//l 2，∴存在实数k 使得b ⃗ =k a

⃗ ,∴{3=2k

x =4k y =5k

，解得x =6，y =15

2．故选D ． 7.解：由题意可得：直线2x −3y +1=0的斜率为k =2

3，

所以直线2x −3y +1=0的一个方向向量d ⃗ =(1,23

)，或(3,2)故选D ． 8.解：A.根据题意两个向量的坐标表示，可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1，0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,1)， 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC

⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线，所以A 错误； B .结合题意可得：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的单位向量为：(2√55

,√5

5

,0)，所以B 错误；

C .AB

⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1，0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,1,1)， 所以cos =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗

|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−√55

11

，所以C 错误; D .因为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,1)，故直线AC 的一个方向向量是，所以D 正确．

故选ABC ．

9.解：∵直线l 的一个方向向量为u ⃗ =

(−√36,1

2)，∴直线

l 的斜率为k =

12−√36

=−√3，故倾

斜角为120°，故A 错误；

又过点(1,−2)，故直线l 的方程为y +2=−√3(x −1)，即√3x +y +2−√3=0， 令y =0，解得x =1−

2√3

3

，故l 在x 轴上截距为1−2√33

，故B 错误；

∵直线√3x −3y +2=0的斜率为k 1=√3

3，∴k ·k 1=−√3×√3

3=−1，∴l 与直线√3x −

3y +2=0垂直，故C 正确；

∵直线√3x +y +2=0的斜率为k 2=−√3，与直线l 的斜率相等，但纵截距不等，∴l 与直线√3x +y +2=0平行，故D 正确．故选CD ．