河南专升本高数 第三章练习题

第三章 中值定理与导数的运用

§3.1 微分中值定理 1、证明: 2

22arctan arctan 1x

x x

π-=- , 在 1x <<+∞ 成立. 证明：令()2

22arc arc ,1x

f x tgx t

g x =--1x <<+∞，

因()()()

()

22

2

2

2221222

112111x x x f x x x x x ---'=-

⋅

+⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭

()()()()222222222212122

011141x x x x x x x ++=-=-=++-++ 所以()f x C =，又因

为

2arc arc ,13

f

tg

π==-所以C π=，得证！

2、证明不等式: arc arc tga tgb a b -≤-. 证明：（1）当a b =时，不等式显然成立。

（2）当a b <时，令()[]arctan ,,,f x x x a b =∈则

()[],f x a b 在上连续,在(),a b 可导,由拉格朗日中值定理知,存在

()()()()(,),,a b f b f a f b a ξξ'∈-=-使即

()2

1

arctan arctan ,(,),1b a b a a b ξξ-=

-∈+ 故2

1

arc arc 1tga tgb b a a b ξ

-=

-≤-+，(,)a b ξ∈ （3）当a b >时，令()[]arctan ,,,f x x x b a =∈ 以下证法同（2）.

3、设()f x 在( , +)-∞∞满足()()f x f x '=()()f x f x '=,且

(0)1f =,

证明: ()x f x e =.

证明：令()(),( , +),x x e f x x ϕ-=∈-∞∞

()()()()()0,,x x x x e f x e f x x e f x C ϕϕ---''=-+≡=≡因为所以 即()()()(),01,1,x f x Cf x f C f x e ====又因所以从而

4、设()f x 在[],a b 连续,在(),a b 二阶可导, 连接点(,())A a f a 和

(,())B b f b 的直线AB 与曲线()y f x =相交于点(,())C c f c , 证

明: 在(),a b 内存在一点ξ,使()0f ξ=".

证明：因为直线AB 与曲线()y f x =相交于点(,())C c f c ,所以

()()()()

f b f c f c f a b c c a

--=--

由拉格朗日中值定理知：存在()1,,a c ξ∈使

()()()1f c f a f c a ξ-'=-，存在()2,,c b ξ∈使()()

()2f b f c f b c

ξ-'=-，从

而()1f ξ'=()2f ξ'

由罗尔定理知，存在()()12,,,a b ξξξ∈⊂使()0f ξ''=

§3.2 洛必达法则

1、求下列极限

(1). 10

lim x

x e

x

+

-→ ; 解：1t x

=令，则1

0lim x x e x +-→=1lim lim lim 0t

t t t t t t te e e -→∞→∞→∞===

(2). 01cos lim

sin x x

x x

→-;

解：01cos lim sin x x x x →-=220112lim 2x x

x →= (3). 1

ln(1)

lim x e x x -+

→;

解：令()

1ln(1)

1

,ln ln ln 1x e x y x

y x e -==

-则

0lim ln x y +→=()

001

1lim ln lim

1ln 11x x x x x x x e e e ++→→==-- 所以1

ln(1)

lim x e x x -+

→=0

lim x y +

→=e (4). 2201

1lim sin x x x →⎛⎫- ⎪⎝

⎭;

解：原式2243000sin 2sin 24sin 21

lim lim lim 4243

x x x x x x x x x x x →→→--==== (5). ()2

lim sec tan x x x π

→

-;

解：()2

lim sec tan x x x π

→

-2

2

1sin cos lim

lim 0cos sin x x x x

x x ππ→→

--===-

(6).0111lim sin tan x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭.解：原式2

2001cos 12lim lim sin 2x x x x x x x →→-=== 2. 求解下列各题

(1).11lim 1ln x x x x →⎛⎫- ⎪-⎝

⎭； 解：11lim 1ln x x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭(

)1111ln lim 1lim 11ln 1ln x x x x x x x x →→⎛⎫-⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 111lim 111ln x x x x →⎛⎫- ⎪=+ ⎪ ⎪+-⎝⎭212

11lim 1112x x x x →⎛

⎫- ⎪+

= ⎪ ⎪+⎝⎭ (2).设()f x ''存在且连续，求()()()

2

2lim

h f x h f x h f x h →++--；

解：

()()()()()2002lim lim 2h h f x h f x h f x f x h f x h h h

→→''++--+--= =()()

lim

02

h f x h f x h →''''++-=

(3).求,a b 的值，使函数()()2

ln ,1,

,

1,a x x f x x b x ⎧+>⎪=⎨+≤⎪⎩在1x =可导.

解：由题意知()()()211lim lim ln ln 11x x f x a x a b →+

→+

=+=+=+

又若()f x 在1x =可导，则满足

()()11lim 1x f x f x →+--()

211ln 11

lim lim 111x x a x b x b b x x →+→-+--+--===--得 ()2

2

112ln 1lim lim 111x x x

a x

b a x x →+→++--+==-，得1,ln 21a b ==-.

§3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性

1、求532()4155159f x x x x x =-++-的单调区间.