2.1不等式的基本性质
不等式的基本性质ppt课件
（2）能正确应用性质对不等式进行变形；
注意事项
当不等式两边都乘以（或除以）同 一个数 时，一定要看清是正数还是负数；对于未给定 范围的字母，应分情况讨论.
P9：习题2.1 第1、2、3题
1、比较a与a+2的大小；
2、比较2与2+a的大小。
1、解： ∵ 0＜ 2， ∴ a ＜ a+2 2、解：若a ＜0，则 2+a ＜2； 若a ＞ 0，则 2+a ＞ 2； 若a = 0，则 2+a = 2；
§2.1 不等式的基本性质
读书改变命运 ！刻苦成就事 业 ！！态度决定一切！！！
由a+5=b+5, 能得到a=b？
由a-5=b-5, 能得到a=b？ 由5a=5b, 能得到a=b？
由–8a=–8b, 能得的基本性质吗？
等式的性质1：等式的两边都加上（或减去） 同一个整式，等式仍然成立. 等式的性质2：等式的两边都乘以（或除以） 同一个不为0的数，等式仍然成立.
试比较5a与3a 的大小。 解：∵ 5 ＞ 3 ∴ 5a 3a 想想:这种解法对吗？如果正确，说 出它根据的是不等式的哪一条基本性 质；如果不正确，请说明理由。 答：这种解法不正确，因为字母 a的取值范 围我们并不知道。如果 a 0，那么 5a 3a ； 如果 a 0 ，那么 3a 5a 。
（1）掌握不等式的三条性质，尤其是性质3; （2）能正确应用性质对不等式进行变形；
本节重点
（1）掌握不等式的三条性质，尤其是性质3； 不等式的三条性质是： ① 、不等式的两边都加上（或减去）同一 个 数或同一个整式，不等号的方向不变； ② 、不等式的两边都乘以（或除以）同一 个 正数，不等号的方向不变； ③ 、*不等式的两边都乘以（或除以）同 一个负数，不等号的方向要改变 ；
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练习 比较两数(a2 +1)2与 a4+a2+1的值的大小。
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例题讲解
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6.不能把质朴、理性的爱国主义视为 民粹主 义、狭 隘民族 主义， 同时应 防止各 种形式 的民粹 主义和 极端民 族主义 行为。
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7. 众多短视频平台成为人们的消遣神 器，但 如果缺 乏内容 创新和 内涵续 航，短 视频的 发展将 不容乐 观。
•
8. 在这个浅表性阅读时代，越是具有 艺术美 感、内 容穿透 力和人 文内涵 的走心 作品越 能获得 观众的 认可。
性质5：如果a>b>0,c>d>0，那么ac>bd.不等式的叠乘性质
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谢谢
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1.中美贸易摩擦已升级为舆论战，坚 持正确 舆论导 向、弘 扬爱国 主义精 神尤为 重要。
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2.爱国主义精神具有深厚的历史性， 极强的 传承力 、感染 力，以 及坚韧 性，顽 强性和 理性。
•
3.爱国主义精神，是在中国共产党近 百年之 奋斗史 中不断 形成， 积聚与 升华而 成的。
•
4.面对史上规模最大的贸易战，中国 政府和 人民最 重要的 是“集中 力量做 好自己 的事”
不等式的基本性质
＝－5＜0
∴（2x－5）（x＋1）＜2x2－3x
亲爱的同学们，下节课见！
第二章 不等式
2.1 不等式的基本性质
1.作差比较法：比较两个实数的大小，可以通过考察它们的差来实现.
对于两个任意的实数a和b，有：a－b＞0⇔a＞b；
a－b＝0⇔a＝b；
a－b＜0⇔a＜b.
2.不等式的性质.
（1）性质1（加法法则）：如果a＞b，那么a＋c＞b＋c.
（2）性质2（乘法法则）：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；
（
√ ）
2.如果a＞b，且c＞d，那么a＋c＞b＋d.
（
√ ）
3.如果a＞b，且c＞d，那么ac＞bd.
（
× ）
三、选择题
1.已知a＞b，且ac＞bc，那么（
A. c＞0
B. c＝0
A ）.
C. c＜0
2.若m＞3，则下列不等式中必定成立的是（
A. m＞0
B. m－3＜0
3.如果a＞b，那么（
A. ac＜bc
（4）设a＞b，则－2a＜ －2b，
（5）设x＜y，则1－2x＞1－2y，
1 1
（6）设x＞y＞0，则 ＜ .
2.根据条件，写出x的取值范围：
（1）x＋4＞7， x＞3
（2）2x－1＜3，x＜2
（3）3－2x＞5， x＜－1
（4）2－x＜x－4， x＞3
二、判断题
1.如果a＜b，且b＜c，那么a＜c.
（
三、解答题
比较大小.
1.x2＋1与（x＋1）2，其中x＞0.
解：∵（x2＋1）－（x＋1）2
＝x2＋1－（x2＋2x＋1）
2.1 不等式的基本性质课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第二章不等式
A．x2＞y2
B．ax＞ay
C．x＋5＞y＋5
D．x＋2y＞3y
【解析】 B选项中，当a＝0时，ax＝ay，故选项B不成立．
2．a、b、c 为实数，且 c≠0，下列命题中正确的是( D ) A．a＞b⇒ac＞bc B．ac＜bc⇒a＜b C．a＞b⇒1a＜1b D．a＞b⇒ca2＞cb2 【解析】 利用不等式的性质或举反例进行判断，取 a＝2、b＝－1、c＝－1 来检验，对 A 有ac＜bc，故 A 错；对 B 有 a＞b，故 B 错；对 C 有a1＞1b，故 C 错；对 D，∵ c≠0，∴ c12＞0，由不等式的性质知，选项 D 正确．
【融会贯通】 比较大小． (1)( 2＋ 3)2 与 4＋2 6； (2)2x2＋5x＋6 与(x＋3)(x＋2)，x∈R. 解：(1)∵( 2＋ 3)2－(4＋2 6)＝(5＋2 6)－(4＋2 6)＝1＞0，∴( 2＋ 3)2 ＞(4＋2 6)． (2)∵(2x2＋5x＋6)－(x＋3)(x＋2)＝(2x2＋5x＋6)－(x2＋5x＋6)＝x2≥0， ∴(2x2＋5x＋6)≥(x＋3)(x＋2)．
2.1 不等式的基本性质
知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5
1．不等式的概念 用不等号“≠、＞、＜、≥、≤”表示不等关系的式子叫做不等 式．如：f(x)＞g(x)，f(x)≤g(x)，等等．
知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5
2．几个恒不等式 任意实数的平方不小于0，即a2≥0. 任意实数的绝对值不小于0，即|a|≥0.
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
【解析】 根据不等式的性质可知，a＞3 且 b＞3⇒a＋b＞6 成立，a＞3 且 b
中职数学2.1不等式的基本性质课件
例3
情境导入 探索新知
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
用符号“ ”或“ ”填空，并说明利用了不等式的哪（几）条
基本性质．
（2）如果 > ，那么 + 4
+ 2；
（2）根据不等式性质1，不等式 > 两边同时加上4，不等号
方向不变，即 + 4 > + 4，
又因为 + 4 > + 2，所以根据不等式性质3，可以得到
当>0时，点和点同时向右平移个单
位，即可到达点′和点′的位置；
当<0时，点和点同时向左平移
个单位，即可到达点′和点′的位置．
显然，两种情况中，点′点′的左右位置与点和点的情况相同．
2.1不等式的性质 —不等式的性质
性质3
情境导入 探索新知
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
2.1不等式的性质 —实数的大小
情境导入 探索新知
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
5
2
例1 比较 7 与 3 的大小．
解 因为 5 2 15 14 15 14 1 0
7
3
21
5 2
所以
．
7 3
21
21
21
,
2.1不等式的性质 —实数的大小
情境导入 探索新知
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
大于b（或b小于a）．
2.1不等式的性质 —实数的大小
情境导入 探索新知
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
因为实数与数轴上的点是一一对应的，对于任意实数，都可以
在数轴上找到对应的点和，如图所示．
不等式的基本性质
a>b>0，c>d>0 如果a>b，c>d,那么ac>bd是否成立？ 如果a>b>0，那么1/a<1/b是否一定成立？ 如果a<b<0，那么1/a>1/b是否一定成立？ 同号倒数改向性 例：若a、bR，请写出不等式a>b和1/a>1/b同时成立的 充要条件。
正数同向相乘法性
例 求证：如果a>b>0，那么a2>b2。 如果a>b>0，那么an>bn。(nN*)
7、已知三个不等式：（1）ab>0；（2）－c/a<－d/b；
（3）bc>ad，以其中两个作为条件，余下一个作为结论， 则可以组成多少个真命题？ 8、已知命题甲：a>b，命题乙：1/a<1/b， 命题丙：c/a2>c/b2。 （1）若甲是乙的必要非充分条件，求a、b应满足的条件； （2）若a<0，b<0，判断丙是甲的什么条件，并加以证明。 9、（1）设2<a5,3b<10，求a+b、a-b及a/b的取值范围； （2）若二次函数f(x)的图像过原点，且1f(-2) 2, 3f(3)
2、如果a>b，那么a+c>b+c。
3、如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc。 4、如果a>b，c>d,那么a＋c>b＋d。 5、如果a>b>0，c>d>0,那么ac>bd。 6、如果a、b同号，那么1/a<1/b。
7、如果a>b>0，那么an>bn (nN*) 。
4、解关于x的不等式：（1）ax+4<2x+a2，其中a>2 （2）m(x+2)>x+m。
2.1不等式的基本性质(习题)
+≥−
移项,得
− ≥ − −
合并同类项,得
−≥ −
系数化为1,得
≤
∴ 不等式的解集为{| ≤ }
（）−< ( − ).
解：去括号,得
−< −
移项,得
−−< − −
合并同类项,得
− < −
系数化为1,得
≥
∴ 不等式的解集为{| ≥ }
பைடு நூலகம்
4.若代数式 − 与代数式5 −之和不大于2,求的取值范围.
解：由题意得
（ − ） − (−) ≤
∴ − − + ≤
∴ − − ≤
∴ − ≤
∴≥−
∴ 的取值范围为{| ≥ −}
B能力提升
1.设, 是两个不相等的实数,比较 − 与的大小.
正确
(4)若 > 且 < ,那么−> −;
正确
2.用符号“>”或“<”填空.
<
(1)
,
>
(2)如果 > ,那么, −
+ >
>−, +
+ , − +
+>,
<− +.
3.解下列不等式.
+
（）
≥ − ;
解：去分母,得
第二章 不等式
2 . 1 不 等 式 的 基 本 性 质 （ 习 题 ）
A知识巩固
习题2.1
1.判断下列结论是否正确,并说明理由.
(1)如果 > , c>0
不等式的基本性质
第二章 不等式2.1 不等式的基本性质一、教学目的：首先让学生掌握不等式的一个等价关系，了解并会证明不等式的基本性质1、2、3。
二、教学重点：比较实数的大小、不等式的基本性质。
三、教学难点：会比较两个实数的大小。
四、教学过程：2课时一、引入新课1．世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。
2．过去我们已经接触过许多不等式 从而提出课题二、几个与不等式有关的名称 （例略）1．“同向不等式与异向不等式”2．“绝对不等式与矛盾不等式”三、不等式的一个等价关系（充要条件）1．从实数与数轴上的点一一对应谈起0>-⇔>b a b a 0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a2．应用：例一 比较)5)(3(-+a a 与)4)(2(-+a a 的大小解：（取差）)5)(3(-+a a - )4)(2(-+a a07)82()152(22<-=-----=a a a a∴)5)(3(-+a a <)4)(2(-+a a例二 已知x ≠0, 比较22)1(+x 与124++x x 的大小解：（取差）22)1(+x -)1(24++x x22424112x x x x x =---++=∵0≠x ∴02>x 从而22)1(+x >124++x x小结：步骤：作差—变形—判断—结论例三 比较大小1．231-和10 解：∵23231+=- ∵02524562)10()23(22<-=-=-+ ∴231-<102．a b 和ma mb ++ ),,(+∈R m b a 解：（取差）a b -m a m b ++)()(m a a a b m +-= ∵),,(+∈R m b a ∴当a b >时a b >m a m b ++；当a b =时a b =m a m b ++；当a b <时a b <ma mb ++ 3．设0>a 且1≠a ，0>t 比较t a log 21与21log +t a 的大小解：02)1(212≥-=-+t t t ∴t t ≥+21 当1>a 时t a log 21≤21log +t a ；当10<<a 时t a log 21≥21log +t a 课堂练习：P33页练习2．1.2、不等式的基本性质1．性质1（传递性）：如果b a >，c b > 那么c a >证：∵b a >，c b > ∴0>-b a ，0>-c b∵两个正数的和仍是正数 ∴+-)(b a 0)(>-c b0>-c a ∴c a >2．性质2（加法法则）：如果b a >，.c b c a +>+证明3. 性质3（乘法法则）：如果b a >，bc c c >>a 0，则；如果b a >，bc c c ∠∠a 0，则；文字归纳不等式性质:(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.例1 利用不等式的性质，填”>”,“<”(1)若a>b,则2a+1 2b+1;(2)若-1.25y<10,则y -8;(3)若a<b,且c>0,则ac+c bc+c;(4)若a>0,b<0,c<0,则(a-b)c 0.变式训练 ：用“＞”或“＜”在横线上填空，并在题后括号内填写理由.(1) 3a 3b;（ ） (2) a －8 b －8; （ ） (3) －2a －2b;（ ） (4) 2a －5 2b －5;（ ） (5) －3.5a －1 －3.5b －1. （ ）课堂练习：P36页练习 P37页的习题五、归纳小结：1.本节重点(1)掌握不等式的三条基本性质，尤其是性质3；(2)能正确应用性质对不等式进行变形；2.注意事项（1）要反复对比不等式性质与等式性质的异同点；（2）当不等式两边都乘以（或除以）同一个数时，一定要看清是正数还是负数；对于未给定范围的字母，应分情况讨论.。
中职数学(基础模块)2.1不等式的基本性质
不等式的基本性质定义
不等式的基本性质分类
练习题
汇报人：
性质3：不等式的同乘性
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以上是关于“性质3：不等式的同乘性”的介绍内容，希望对您有所帮助。
性质：当两个不等式相乘时，如果两个不等式都是正数或都是负数，则它们的乘积仍然是正数或负数。
定义：不等式的同乘性是指当两个不等式相乘时，如果两个不等式都是正数或都是负数，则它们的乘积仍然是正数或负数。
利用不等式性质比较大小
定义：不等式是数学中比较两个数大小关系的数学符号。
性质：不等式的性质有对称性、传递性、可加性和同向不等式的可乘性。
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应用：不等式的同乘性在解决不等式问题时非常有用，可以用来化简不等式或比较大小。 以上是关于“性质3：不等式的同乘性”的介绍内容，希望对您有所帮助。
证明：设a>b>0，c>d>0，则ac>bc>0，bc>bc+d>0，ac>bc+d>0，因此ac>bc+d>0，即不等式的同乘性成立。
不等式的基本性质：对于任意两个实数a和b，如果a>b且c>d，则a+c>b+d
不等式的基本性质：对于任意两个正实数a和b，如果a>b，则ac>bc
《数学 基础模块》上册 2.1.1不等式的基本性质(作差比较法)
教学目标
知识目标：
理解作差比较实数大小的方法.
能力目标：
能够应用作差法判断任意两个实数的大小.
情感目标：
主动参与学习，感受数学在生活中的应用，提升数学思维能力与计算技能.
教学重点
作差比较法．
教学难点
作差比较法．
教学备品
教学课件．
课时安排
1课时．
教学过程
教学过程
教学意图
情境引入
巩固知识，提升知识的应用能力.
2006年7月12日，在国际田联超级大奖赛洛桑站男子110米栏比赛中，我国百米跨栏运动员刘翔以12秒88的成绩夺冠，并打破了尘封13年的世界记录12秒91，为我国争得了荣誉．
如何体现两个记录的差距？
知识探究
通常利用观察两个数的差的符号，来比较它们的大小．因为12.88−12.91=−0.03＜0，所以得到结论：刘翔的成绩比世界记录快了0.03秒．
ห้องสมุดไป่ตู้变换练习，体会作差比较法的应用技巧，突破重难点。
归纳小结
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？
（1）本次课学了哪些内容？
（2）在学习方法上有哪些体会？
加深学生对于本节课知识的理解，培养学生自主学习的能力，提升学习主动性。
布置作业
(1)书面作业：教材习题一
(2)实践调查： 探究生活中作差比较法的应用
强化练习
教材练习
P321、2
及时练习，巩固新知.
难点突破
本次课重难点：作差比较法.
强化练习
比较下列各对实数的大小：
（1） 与 ；（2） 与 ；
（3）当 时，比较 与 的大小．
解析：（1）例1、2中是比较任意两个实数的大小,可直接根据作差比较法进行判断.
2.1不等式的基本性质高中
(1)作差； 常用手段:配方法，因式分
(2)变形；
解法。
常见形式:变形为常数；
(3)定号；
一个常数与几
(4)下结论；
个平方和； 几个因式的积。
作商比较两数大小的依据
若 b0
(1) a 1 a b b
(2) a 1 a b b
(3) a 1 a b b
例1：已知a 0,1 b 0 ，那么在
三、例题分析：
例2:(2)已知2x 4y 1 ，比较 x2 y2
作与差210比的较大法:小__xx2_2_y_y2_2__121_0 _
注：特殊值 法容易漏“=”
20
x2
(1 4
1 2
x)2
1（条件 20
2x
4y=1
的应用）
5 x2 - 1 x+ 1 5（x2 - 1 x+ 1 ） 4 4 80 4 5 100
3b 4
1 1 1（乘法单调性）
4 Q2
a
b
3
3
1
-
a
（1 乘法法则）
2b
1 a 1（乘法单调性）
b2
三、例题分析：
例5:已知 2 a 3, 4 b 3，求 a b, a b, a , ab, b2 的取值范围。
ba
解：（4）Q 4 b 3 3 b 4（乘法单调性）
• 上式中的左边反映的是实数的运算性质， 而右边则是实数的大小顺序，合起来就成 为实数的运算性质与大小顺序之间的关系。 这一性质不仅可以用来比较两个实数的大 小，而且是推导不等式的性质，不等式的 证明，解不等式的主要依据。
专题2.1不等式及不等式的基本性质(举一反三)(北师大版)(原卷版)
专题2.1 不等式及不等式的基本性质【十大题型】【北师大版】【题型1 不等式的概念及意义】 (1)【题型2 取值是否满足不等式】 (1)【题型3 根据实际问题列出不等式】 (2)【题型4 在数轴上表示不等式】 (2)【题型5 利用不等式的性质判断正误】 (3)【题型6 利用不等式性质比较大小】 (4)【题型8 利用不等式性质证明（不）等式】 (5)【题型9 利用不等式性质求取值范围或最值】 (6)【题型10 不等关系的简单应用】 (6)【题型1 不等式的概念及意义】【例1】（2022春•郏县期中）在数学表达式：①﹣3＜0；②4x+3y＞0；③x＝3；④x2+xy+y2；⑤x≠5；⑥x+2＞y+3中，不等式有（）A．1个B．3个C．4个D．5个【变式11】（2022春•苍溪县期末）下列式子是不等式的是（）A．x+4y＝3B．x C．x+y D．x﹣3＞0【变式12】（2022春•平泉市期末）某种牛奶包装盒上表明“净重205g，蛋白质含量≥3%”．则这种牛奶蛋白质的质量是（）A．3%以上B．6.15gC．6.15g及以上D．不足6.15g【变式13】（2022春•曲阳县期末）学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是．【题型2 取值是否满足不等式】【例2】（2022春•卧龙区期中）下列数值﹣2、﹣1.5、﹣1、0、1、1.5、2中能使1﹣2x＞0成立的个数有个．【变式21】（2022春•泸县期末）x＝3是下列哪个不等式的解（）A．x+2＜4B．1x＞3C．2x﹣1＜3D．3x+2＞103【变式22】（2022春•雁塔区校级期中）下列x的值中，是不等式x＞2的解的是（）A．﹣2B．0C．2D．3【变式23】（2022春•夏津县期中）请写出满足下列条件的一个不等式．（1）0是这个不等式的一个解：；（2）﹣2，﹣1，0，1都是不等式的解：；（3）0不是这个不等式的解：.【题型3 根据实际问题列出不等式】【例3】（2022春•川汇区期末）小丽和小华先后进入电梯，当小华进入电梯时，电梯因超重而警示音响起，且这个过程中没有其他人进出，已知当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，且小丽、小华的体重分别为40公斤，50公斤，若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，则所有满足题意的x 可用下列不等式表示的是（）A．210＜x≤260B．210＜x≤300C．210＜x≤250D．250＜x≤260【变式31】（2022•南京模拟）据深圳气象台“天气预报”报道，今天深圳的最低气温是25℃，最高气温是32℃，则今天气温t（℃）的取值范围是（）A．t＜32B．t＞25C．t＝25D．25≤t≤32【变式32】（2022春•玉田县期末）用不等式表示“a是负数”应表示为．【变式33】（2022秋•婺城区校级期末）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用药品的剂量设为x，则x的取值范围是．【题型4 在数轴上表示不等式】【例4】（2022•嘉善县模拟）数轴上所表示的关于x的不等式组的解集为．【变式41】（2022春•永丰县期中）不等式x≥a的解集在数轴上表示如图所示，则a＝．【变式42】（2022秋•衢州期中）在数轴上表示下列不等式（1）x＜﹣1 （2）﹣2＜x≤3．【变式43】（2022•防城港模拟）在数轴上表示﹣2≤x＜1正确的是（）A．B．C．D．【题型5 利用不等式的性质判断正误】【例5】（2022春•雁塔区校级期中）如果有理数a＜b，那么下列各式中，不一定成立的是（）A．3﹣a＞3﹣b B．a2＜ab C．2a＜2b D．−a3＞−b3【变式51】（2022•禅城区校级三模）下列结论中，正确的是（）A．若a＞b，c≠0，则ac＞bc B．若ab＜0，则a＞0，b＜0 C．若a＞0，b＜0，则ab＜0D．若ab＞1，则a＞b【变式52】（2022春•大埔县期末）下列结论正确的有（填序号）．①如果a＞b，c＜d，那么a﹣c＞b﹣d；②如果a＞b，那么ab ＞1；③如果a＞b，那么1a＜1b；④如果ac2＜bc2，那么a＜b．【变式53】（2022春•天津期末）判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．（1）若b﹣3a＜0，则b＜3a；（2）如果﹣5x＞20，那么x＞﹣4；（3）若a＞b，则ac2＞bc2；（4）若ac2＞bc2，则a＞b；（5）若a＞b，则a（c2+1）＞b（c2+1）（6）若a＞b＞0，则1a ＜1b．．【题型6 利用不等式性质比较大小】【例6】（2022春•闵行区期中）如果7x＜4时，那么7x﹣31．（填“＞”，“＝”，或“＜”）．【变式61】（2022春•辉县市期中）若a＜b，用“＞”或“＜”填空（1）a﹣4b﹣4（2）a5b 5（3）﹣2a﹣2b．【变式62】（2022春•饶平县校级期末）要比较两个数a、b的大小，有时可以通过比较a﹣b与0的大小来解决：（1）如果a﹣b＞0，则a＞b；（2）如果a﹣b＝0，则a＝b；（3）如果a﹣b＜0，则a＜b．若x＝2a2+3b，y＝a2+3b﹣1，试比较x、y的大小．【变式63】（2022春•濉溪县期中）如果a＞b，那么a（a﹣b）b（a﹣b）（填“＞”或“＜”）【题型7 利用不等式性质化简不等式】【例7】（2022秋•余杭区期中）利用不等式的性质解不等式：﹣5x+5＜﹣10．【变式71】（2022秋•郴州校级月考）把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．（1）2x+5＞3；（2）﹣6（x﹣1）＜0．【变式72】（2022秋•余杭区期中）试依据不等式的基本性质，把下列不等式化为x＞a或x＜a的形式（a 为常数）．（1）13x ＞−23x ﹣2（2）12x ≤12（6﹣x ） 【变式73】（2022秋•湖州期中）根据不等式的性质把下列不等式化成x ＞a 或x ＜a 的形式．（1）x+7＞9（2）6x ＜5x ﹣3（3）15x ＜25． 【题型8 利用不等式性质证明（不）等式】【例8】（2022春•西城区校级期中）阅读下列材料，解决问题：【问题背景】小明在学习完不等式的性质之后，思考：“如何利用不等式的性质1和2证明不等式的性质3呢？”在老师的启发下，小明首先把问题转化为以下的形式：①已知：a ＞b ，c ＜0．求证：ac ＜bc ．②已知：a ＞b ，c ＜0．求证：a c ＜b c ． 【问题探究】（1）针对①小明给出如下推理过程，请认真阅读，并填写依据：∵c ＜0，即c 是一个负数∴c 的相反数是正数，即﹣c ＞0∵a ＞b∴a •（﹣c ）＞b •（﹣c ）（依据： ）即﹣ac ＞﹣bc不等式的两端同时加（ac +bc ）可得：﹣ac +（ac +bc ）＞﹣bc +（ac +bc ）（依据： ）合并同类项可得：bc ＞ac即：ac ＜bc 得证．（2）参考（1）的结论或证明方法，完成②的证明．【变式81】（2022春•武侯区期末）求证：如果a ＞b ，e ＞f ，c ＞0，那么f ﹣ac ＜e ﹣bc ．【变式82】（2022春•江西期末）已知：b＜c，1＜a＜b+c＜a+1，求证：b＜a．【变式83】（2022春•夏津县期中）已知实数a，b，c满足：a+b+c＝0，c＞0，3a+2b+c＞0．求证：（1）a＞c；＜−1．（2）﹣2＜ba【题型9 利用不等式性质求取值范围或最值】【例9】（2022春•龙凤区期中）已知实数x，y，z满足x+y＝3，x﹣z＝6．若x≥﹣2y，则x+y+z的最大值为（）A．3B．4C．5D．6【变式91】（2022春•郫都区校级期中）若x＜y，且（6﹣a）x＞（6﹣a）y，则a的取值范围是．【变式92】（2022•天门校级自主招生）已知正数a、b、c满足a2+c2＝16，b2+c2＝25，则k＝a2+b2的取值范围为．【变式93】（2022春•朝阳区校级期中）已知a，b，c为整数，且a+b＝2006，c﹣a＝2005，若a＜b，求a+b+c的最大值．【题型10 不等关系的简单应用】【例10】（2022春•饶平县校级期末）有一个两位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b哪个大？【变式101】（2022春•巩义市期末）如图所示，A，B，C，D四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为（）A．D＜B＜A＜C B．B＜D＜C＜A C．B＜A＜D＜C D．B＜C＜D＜A【变式102】（2022春•兰山区期末）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b．反之也成立．这种方法就是求差法比较大小．请运用这种方法解决下面这个问题：制作某产品有两种用料方案，方案一：用4块A型钢板，8块B型钢板；方案二：用3块A型钢板，9块B型钢板．每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小．方案一总面积记为S1，方案二总面积记为S2，则S1S2（填“＞，＜或＝”）．【变式103】（2022•苏州自主招生）5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则（）A．a+b2＞c+d2B．c+d2＞a+b2C．c+d2=a+b2D．以上都不对。
北师大版中职数学基础模块上册：2.1.1不等式的基本性质(教案)
2.1.1不等式的基本性质
课 型
新授课
课 时
1
授课班级
授课时间
授课教师
教材分析
教材来源：“十四五”职业教育国家规划教材，人民教育出版社出版，高中一年级基础模块上册第二章；
教材内容：包括不等式的基本性质、区间、一元二次不等式、含绝对值的不等式、不等式的应用；
地位与作用：不等式是数学中的重要内容，它具有应用广泛、变换灵活的特点，是研究数量大小关系的必备知识，与数学的其他分支内容有着密切的联系，也是学习高等数学的基础和工具.本单元在初中学习的基础之上，进一步学习不等式பைடு நூலகம்基本性质、区间、一元二次不等式、含绝对值的不等式等，学习根据数量关系列出相应的不等式，并利用这些不等式找到问题的解决方案，提升数学运算、直观想象、逻辑推理和数学建模等核心素养．
2.掌握不等式的基本性质的推论；
教学方法
讲授法、谈话法、谈论法
课前准备
教师：认真备课，设计教学方法，创设问题情境，做好授课过程中出现的突发状况预案；
学生：认真预习教材，标记预习中不清楚、模糊的知识点，准备笔记本；
教学媒体
教学课件PPT、多媒体展板
教学过程
第一课时
教学环节
教师活动设计
学生活动设计
设计意图
若c＜0，根据性质3，有ac＜bc.
若c=0，则有ac=bc=0，所以ac=bc.
例2已知a＞b，比较a-1与b-2的大小.
解因为a＞b,-1＞-2，
根据推论1，有a+(-1)＞6+(-2),
即a-1＞b-2.
学生分组讨论、交流，并请同学上台黑板作答，并进行讲解
通过课后习题的解答，巩固学生对本节课知识的掌握，及时纠正学习过程中的错误
不等式的基本性质
等价于方程：如果 ax = b 对于某个实数 x不成立，那么 a ≠ b(a，b ≠ 0) 正值不等式的可加性：如果 a > b 和 c > d，那么 ac > bd。当且仅当 a > b > 0 和 c > d > 0时成立
5<7
x^2 +：2 > 3y^2 - 1
1.1 不等式的概念与表达
第一个不等式表示5小于7，而 第二个不等式表示一个表达式
x^2 + 2大于另一个表达式 3y^2 - 1
PART 2
1.2 不等式的性质
1.2 不等式的性质
不等式具有以 下基本性质
1.2 不等式的性质
反身性：对于任何实数 x，都有 x ≥ x 对称性：如果 x > y，那么 y < x，反之亦然 传递性：如果 x > y 且 y > z，那么 x > z
正值不等式的可乘性：如果 a > b > 0 和 c > d > 0，那么 ac > bd。当且仅当 a/d > b/c 时成立 正值不等式的可除性：如果 a > b > 0 和 c > d > 0，那么 ac/bd > 1。当且仅 当 ac > bd 时成立。如果 ac < bd，那 么 ac/bd < 1 正值不等式的可幂性：如果 a > b > 0 和 n 是正整数，那么 a^n > b^n。当且 仅当 n 是偶数时，等号成立
加法单调性：如果 x > y 且 z 为任意实数或整式，那么 x + z > y + z 乘法单调性：如果 x > y > 0 且 z 为任意实数或整式，那么 xz > yz
2.1(2)不等式的基本性质Ⅱppt课件
(C)a c b c
(D)
a c2 1
b c2 1
5
练习 1、下列结论能成立的是：（_1_）_（_3_）_（_4_）_ （1） a b a b
a (2)
c
b
d
ac
bd
a (3)
cபைடு நூலகம்
b
d
a3
d
3
b3
c3
ab (4)
cd
0 0
证明： 1 1 b a a b ab
b a 0, ab 0
1 1 0 ab
0 1 1
ab
如果a b 0,那么1 ____ 1 ( 0) ab
(同号倒数性质)
4
练习
1、如果x y, m n, 那么下列不等式中正确的是( B )
( A)x m y n (B)x m y n
糖水中加 糖变甜
b ab a 0
又b 0, c 0,b c 0
(b a)c 0 b(b c)
ac a bc b
问： b c __<___ b ?
ac
a
7
例2
a, b R ,比较a5 b5与a3b2 a2b3的大小
解：(a5 b5 ) (a3b2 a2b3 ) a3 (a2 b2 ) b3 (b2 a2 )
iff a b时等号成立
8
练习
ex1、比较两数 (a 1)2与a2 a 1的大小． ex2、比较两数 x2 3与3x的大小．
说明：
不等式的基本性质知识点总结
4.2 实例分析 以一道具体的不等式问题为例，详细分析其 解题过程和思路，展示如何运用不等式的性 质进行解题。通过实例分析，加深对不等式 基本性质的理解和掌握
不等式的常见题型与解题技巧
如何激发对不等式学习的兴趣
A
学习不等式 需要耐心和
毅力
B
当我们遇到困 难时，不要轻 易放弃，而是 要坚持下去， 相信自己能够
解决问题
C
通过不断练习 和反思，我们 可以逐渐提高 自己的解决问
题的能力
总结与展望未来
12.1 总结
01
本文总结了不等式的基本性质、解法与变形、常见题型 与解题技巧等方面的知识点，并探讨了如何进一步提高 不等式问题的解决能力以及学习不等式的重要性和意义。 同时，也提出了一些激发对不等式学习兴趣的方法
不等式在实际生 活中的应用
7.1 经济学中的应用：在经济学中，不等式常被用来描述和解决资 源分配、市场供需、成本与收益等问题。例如，通过比较不同投资 方案的收益与成本，利用不等式来选择最优的投资方案
7.2 物理学中的应用：在物理学中，不等式被广泛应用于力学、 热学、电磁学等领域。例如，牛顿第二定律中的力与加速度的 关系就可以用不等式来描述
10.4 提高综合素质
学习不等式不仅可以提高我 们的数学能力，还可以培养 我们的耐心、毅力和创新精 神
通过解决复杂的问题，我们 可以锻炼自己的意志品质， 提高自己的综合素质
如何激发对不等式学习的兴趣
了解不等式在实际生活中的应用，可以激发我们对不等式学 习的兴趣。当我们知道所学知识能够解决实际问题时，自然 会产生学习的动力 参加数学竞赛和活动，可以让我们更好地了解数学的魅力， 提高解决数学问题的能力。在竞赛和活动中，我们可以结交 志同道合的朋友，共同探讨数学问题，分享解决问题的乐趣 寻找合适的学习资源，如教材、网络课程、学习 app 等， 可以帮助我们更好地学习不等式。同时，也可以通过参加学 习小组或找老师请教等方式，获取更多的学习帮助和支持
2.1不等式的基本性质2课时
可乘性
＜ ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ ＜
8＿＿12 ＿＿12 ＜
数形结合思想
4.已知a 4.已知a＜b和b＜c，在数轴上如图表示. 已知 在数轴上如图表示.
a b c
由数轴上a 由数轴上a和c的位置关系，你能得出什么结论？ 的位置关系，你能得出什么结论？
结论 不等式的传递性 不等式的基本性质4 不等式的基本性质4 若a＜b和b＜c，则a＜c.
例题解析， 例题解析，当堂练习
下列说法错误的是（ 下列说法错误的是（ B ） 的是 A.由 +1)＜ +1)成立可推 成立可推a A.由a(m2+1)＜b(m2+1)成立可推a＜b成立 B.由 1)＜ 1)成立可推 成立可推a B.由a(m2-1)＜b(m2-1)成立可推a＜b成立 C.由 成立可推a C.由a(m+1)2＜b(m+1)2成立可推a＜b成立 D.由a(m+b)＜ (m+a)成立可推am＜bm成立 成立可推am D.由a(m+b)＜b(m+a)成立可推am＜bm成立
(–4)＿＿(– 6) 4)＿＿ ＿＿( 8×(-4)＿12×(-4) (– 4)×(-2)＿(– 6)×(4)＿12× 4)× 2)＿ 6)× > < 8÷(-4)＿12÷(-4) (– 4)÷(-2)< (– 6)÷(4)＿12÷ 4)÷ 2)＿ 6)÷ ＿ > 不等式的基本性质3 不等式的基本性质3 总结为:不等式的两边都乘以同一个负数 负数， 总结为:不等式的两边都乘以同一个负数，必须 把不等号的方向改变 方向改变. 把不等号的方向改变. 符号语言 即:如果a＞b，且c＜0， 如果a ac＜ 那么 ac＜bc.
适当拓展
的最小值． 3、试求(x-1)2-4的最小值． 试求(x(x 变一变 试求-(x-1)2-4的最值． 试求-(x的最值．
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第二章不等式
2.1 不等式的基本性质
【夯实基础】 一、选择题
1. 下列结论正确的是( )
A. 若ac <bc ，则a <b
B. 若a 2<b 2，则a <b
C. 若a >b ，c <0，则ac <bc
D. 若√a <√b ，则a >b 2. 下列命题中，正确的是( )
A. 若a >b ，c >d ，则a >c
B. 若ac >bc ，则a >b
C. 若a c 2<b
c 2，则a <b D. 若a >b ，c >
d ，则ac >bd
3. 如果a <b <0，那么下列不等式正确的是( )
A. ab >a 2
B. a 2<b 2
C. 1a <1
b
D. −1a <−1
b 4. 若a <0，−1<b <0，则下列不等式关系成立的是( )
A. ab 2<ab <a
B. a <ab <ab 2
C. ab 2<a <ab
D. a <ab 2<ab 5. a <b <0，下列不等式中成立的是( )
A. a
b <1
B. |a|>−b
C. 1
a <1
b
D. b 2>a 2 6. 若a >b >c ，则下列不等式中正确的是( )
A. ac >bc
B. a −b >b −c
C. a −c >b −c
D. a +c >b
7. 若a >b ，则下列正确的是( )
①a 2>b 2 ②ac >bc ③ac 2>bc 2 ④a −c >b −c ． A. ④ B. ②③ C. ①④ D. ①②③④ 8. 已知a >b ，则下列不等式成立的是( )
A. 1a <1
b
B. 2−a <2−b
C. a 2>b 2
D. ac ≥bc 9. 若a 、b 、c 为实数，且a >b ，则下面一定成立的是( )
A. ac >bc
B. a 2>b 2
C. a +c >b
D. a −c >b −c 10. 已知a <b <0，则下列不等式成立的是
A. b a <a
b B. 1a <1
b C. ab <b 2
D. a 2<b 2
11. 已知a <b <0，则下列式子中恒成立的是( )
A. 1
a <1
b B. 1
a >1
b
C. a 2<b 2
D. a
b <1
12. 实数x,y 满足x >y >0，则( )
A. 1
x >1y B. √x −√y <√x −y C. (1
2)x >(1
2)y
D. x 2<xy
13. 已知a <b <0，则( )
A. a 2<ab
B. ab <b 2
C. a 2<b 2
D. a 2>b 2
14.若a,b,c为实数，且a<b<0，则下列命题正确的是
A. ac2<bc2
B. 1
a <1
b
C. b
a
>a
b
D. a2>ab>b2
15.如果a<0，b>0，那么，下列不等式中正确的是( )
A. 1
a <1
b
B. √−a<√b
C. a2<b2
D. |a|>|b|
16.若a<b<0，则下列不等式中成立的是( )
A. a2>b2
B. |a|<|b|
C. 1
a <1
b
D. a3>b3
17.下列叙述正确的是( )
A. 若|a|=|b|，则a=b
B. 若|a|=|b|，则a=±b
C. 若a<b，则|a|<|b|
D. 若|a|>|b|，则a>b
18.下列说法正确的是( )
A. a>b⇒ac2>bc2
B. a>b⇒a2>b2
C. a>b⇒
a3>b3 D. a2>b2⇒a>b
19.如果a<b<0，那么下列不等式不成立的是
A. |a|>|b|
B. 1
a−b >1
a
C. 1
a
>1
b
D. a2>b2
20.若a<0<b，则下列不等式一定成立的是()
A. 1
a >1
b
B. 1
a
<1
b
C. a2<b2
D. |a|>|b|
二、填空题
21.设M=5a2−a+1，N=4a2+a−1，则M，N的大小关系为______ ．
22.设不等式ax2+bx+1>0的解集为(−1, 1
3
)，则a×b=______．
23.比较大小：(x−2)(x+3)______ x2+x−7(填入“>”，“<”，“=”之一)
24.若不等式x2−(1+a)x+a<0的解集为(1,2)，则a的值为．
25.如果a>b，那么1−2a与1−2b中较大的是___________ 。
26.比较大小：x2−4x______−8(填“>”或“<”)．
27.√3+√6与√2+√7的大小关系为√3+√6____√2+√7
28.若a<b<0，则下列不等式中不能成立的是________.(写出所有符合要求的不等式
的序号)
①1
a >1
b
；②1
a−b
>1
a
；③|a|>|b|；④a2>b2
29.若a>b>0,则1
a n ______1
b n
(n∈N∗)(填“>”或“<”)．
30.比较大小：(x−3)2______(x−2)(x−4).(填写“>”或“<”)
31.若x∈R，比较大小：x
1+x21 2 .
32.若P=√7−1，Q=√11−√5，则P与Q的大小关系是______．
33.若a>b>0，c>d>0，则a
d ______ b
c
(选>、<、≥、≤、=符号其中之一填空)．
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34.比较大小：(x−3)2______ x2−6x+8(填入“>”，“<”，“=”之一)．
35.√2+√7与√3+√6的大小关系是__________(填“大于，等于，小于”中的一个)【能力提升】
三、解答题
36.已知x>1，比较x3+6x与x2+6的大小．
37.已知a，b是正数，且a≠b，比较a3+b3与a2b+ab2的大小．
38.比较a2+b2
2与(a+b
2
)2的大小．
39.(1)已知若a,b∈R求证：a2+4b2≥2b(a+b)；(2)解关于x的不等式x
x−1
<1−a．40.设a=√3+2√2，b=2+√7，则a、b的大小关系为？并证明你的结论．
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