通信网理论基础

A customer that upon arrival does not find a free server is waits in the buffer
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Characteristics of a Queue
k
s
Number of servers s: one, multiple, infinite Buffer size k Service discipline (scheduling): FCFS, LCFS,
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随机服务系统的性能
服务系统的性能指标
¾资源(服务器、缓冲器等）利用率/效率：ρ
¾总收入(total revenue)/丢失的收入(lost revenue) ¾顾客满意度（Grade of Service)
性能分析的目标
9 prob. that all n channels are occupied at an arbitrary time = the fraction of time that all n channels are occupied
9 容易计算、但不易统计和测量
¾呼叫阻塞率：n 次呼叫中k 次被阻塞的概率
A(B):到达(服务)时间间隔分布PDF
¾ M, Ek, Hk, GI, MMPP; Geom, …
s:服务者数量
k:最大允许等待者数（系统容量）
¾ k=∞ (Default)
N: 顾客源的个数（信息源有限等）
¾ N=∞ (Default)
Z:服务规律(流量控制等）
¾ FIFO (Default); LCFS; SIRO, Round Robin, Preemptive Resume (Restart) priority, non-preemptive (HOL) priority, processor sharing, ……
Processor Sharing (PS), etc Arrival process Service statistics
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Arrival Process
n +1 n n −1
τn
tn
t
τ n : interarrival time between Cn and Cn+1
三种不同时刻的状态概率
¾任意时刻：
¾到达时刻：
相等吗？
¾退去时刻：
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X(Y): 组大小PDF（批处理等）
¾ Geom, MMBP, ……
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Kendall记号的例子
M/M/3
μ
M
μ
μ
M+H2/G/1(0, ∞) preemptive priority
M
preemptive
H2
G
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本章主要内容
¾ 呼叫损失系统M/M/s(k) (爱尔兰B公式)
¾ 马尔可夫排队系统的暂态分析
3.4 多维马尔可夫排队系统的求解
3.5 小结 2004-3-31
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3.2 基本马尔可夫型排队系统
¾定义：排队系统的状态变量或变量组具有 马尔可夫性的排队系统，即排队系统本身
构成了一个马尔可夫过程
9 {Nt}:一维马尔可夫型排队系统
λ is called the arrival rate
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Service-Time Process
n +1 n n −1
sn t
sn : service time of customer n at the server
{sn , n ≥ 1} is a stochastic process
9 prob. that an arriving call finds all n channels occupied = the fraction of calls that are lost
9 容易统计和测量、但不易计算
¾ 分组丢失率PL：丢失分组占总分组的比率 ¾ 吞吐量：单位时间内服务与到达分组的比率 ¾ 等待概率：到达时无法立即接受服务的概率 ¾ 队列长度：正在等待的顾客数 ¾ 等待/滞留时间：在队列中等待/滞留时间 ¾ 等待时间的抖动/尾分布
顾客在排队系统中的转移过程
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Cn: nth arriving customer Xn: service time of nth customer tn: interarrival time between Cn
and
Wn: waiting time of nth customer Cn-S1 n: sojourn time of nth customer
3.1 排队模型的基本概念
3.2 基本马尔可夫排队模型
¾ M/M/1排队系统的生灭过程描述
¾ PASTA (Poisson arrivals see time average)
¾ Little定理
3.3 基本马尔可夫排队模型及其变形
¾ 呼叫等待系统M/M/s (爱尔兰C公式)
¾ 无等待无损失排队系统M/M/∞
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马尔可夫排队模型的求解方法
状态变量的马尔可夫性实际上意味着排队 系统的无记忆性，即当前时刻的状态变量 可以完全描述该排队系统
因此，对于马尔可夫型排队系统的性能分 析，只要针对该排队系统的当前状态建立 起马尔可夫状态转移方程式就可以求解出 该排队系统的状态概率
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τ n is a random variable
{τ n , n ≥ 1} is a stochastic process Interarrival times are identically distributed and have a common mean
E[τ n ] = E[τ ] = 1/ λ
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电话网中的几个典型参数
排队模型的性能参数
传统电话网络
¾ 个人用户：0.01-0.04 erl ¾ 公司用户：0.03-0.06 erl ¾ 集团交换机(PBX): 0.1-0.6 erl ¾ 公用付费电话：0.07 erl
分组交换网
顾客服务质量指标
¾ 时间阻塞率:单位时间内服务者被阻塞的时间比例
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Traffic Process without Queueing
Traffic Process with Queueing
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Basic Queueing Model
Buffer
Server(s)
¾满足顾客服务质量的前提下，最大限度地提 高资源利用率（网络优化）
¾在网络资源给定的情况下，如何容纳更多的 顾客（用户接纳控制）
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排队模型的Kendall记号
A/B/s/k/N - Z A[X]/B[Y]/s(k)/N - Z A1+A2/B1,B2/s(k1,k2) Z
3.3 基本马尔可夫排队模型及其变形
¾ 呼叫等待系统M/M/s (爱尔兰C公式)
¾ 无等待无损失排队系统M/M/∞
¾ 呼叫损失系统M/M/s(k) (爱尔兰B公式)
¾ 马尔可夫排队系统的暂态分析
3.4 多维马尔可夫排队系统的求解
3.5 小结 2004-3-31
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3.1 排队系统的基本组成
i
1- λi-1Δt-μi+1Δt
i+1
μi+1Δt
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t
t+Δt
λi-1
λi
λi+1
i-1
i
i+1
μ μ i 牛志升@清华大学i+1
μi+2
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一般M/M/1排队系统
到达率和服务率可变的M/M/1排队系统 ¾分组交换网中 window-based flow control ¾ATM网中用于ABR业务的 rate-based flow control ¾电路/分组交换网中的 dynamic bandwidth assignment
Service times are identically distributed with common mean
E[sn ] = E[s] = µ µ is called the service rate
0For packets, are the service times really
random?
其中T(t,τ)为(t,t+τ)期间顾客带来的服务时间总 和(traffic volume)
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排队模型的特征参数
业务强度(a)描述了顾客的平均到达率与平 均服务率之间的相对关系，即 a=λ/μ
¾例如：某电话用户10-12两小时间共拨打电话5次,总 通话时间为30分钟，则该用户在10-12时期间带给电 话网的业务量为30分钟，业务强度 a=30/(2 x 60)=0.25 erl
pi 迭代后可得
i
其中：
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M/M/1排队系统的性能分析
队列长度的均值/方差
等待/滞留时间＝？
¾ 求解等待时间需要顾客到达时刻的状态概率！
排队系统性能分析的出发点: 状态概率
一般来讲，我们经常选取队列长度Nt 为排队系统的状态变量
¾在上述例子中，λ=5/(2x60), μ=5/30, a=0.25erl
¾ a=1意味着承载这项业务需要占用一台服务器(平均)
资源利用率(utilization ratio)或服务器效率(efficiency)
¾ρ = a/s < 1（每个服务者平均承载的负载）
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λ
i-1
i
i+1
μ
μ
μ
μ
M/M/1的状态转移率矩阵
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全局平衡方程式与局域平衡方程式
Global Balance Equation λP0
M/M/1排队系统的状态概率
全局平衡方程式及其求解
Local Balance Equation λP0
λi-2
λi-1
λi
λi+1
i-1
i
i+1
μi-1
μi
μi+1
μi+2
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到达率和服务率可变的M/M/1排队系统
转移率矩阵
全局平衡 方程式
局域平衡 方程式
平稳状态 概率
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M/M/1排队系统-最基本的排队模型
平稳状态转移图
λ
λ
λ
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排队系统的马尔可夫过程描述
队列长度Nt
KBiblioteka Baidu
t
马尔可夫型排队系统在任意时刻的队列长度实际 上是一个最简单的马尔可夫过程，即生灭过程。
生灭过程的状态转移只在相邻状态之间发生
多维状态变量可以构成一个多维生灭过程
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马尔可夫排队系统的生灭过程描述
i-1
λi-1Δt
Arrivals
Departures Queued In Service
A queue models any service station with:
¾One or multiple servers
¾A waiting area or buffer
Customers arrive to receive service
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排队模型的特征参数
平均到达率(λ)，平均到达间隔(λ-1)， 到达间隔的方差系数(Ca2)
平均服务率(μ)，平均服务间隔(μ-1)， 服务时间的方差系数(Cs2)
业务强度(traffic intensity)/业务负载(traffic load)
单位时间内的业务到达量(erl)
《通信网理论基础》
第 3/4 章 马尔可夫型排队系统的性能分析
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本章主要内容
3.1 排队模型的基本概念
3.2 基本马尔可夫排队模型
¾ M/M/1排队系统的生灭过程描述
¾ PASTA (Poisson arrivals see time average)
¾ Little定理
9 {N1t,…,Nkt}：k 维马尔可夫型排队系统
¾由于排队系统的随机特性主要来源于顾客 的到达和所需的服务时间，不难想象，如
果顾客的到达和服务时间均没有记忆性，
则该排队系统的状态变量也必然没有记忆 性，或称马尔可夫性。因此所有M/M/型
排队系统均为马尔可夫型排队系统
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