逻辑斯谛(Logistic)映射

§4 从倍周期分定走向混沌

4-1 逻辑斯谛（Logistic ）映射

我们将以一个非常简单的数学模型来加以说明从倍周期分定走向混沌现象。该模型称为有限环境中无世代交替昆虫生息繁衍模型。若昆虫不加以条件控制，每年增加λ倍，我们将一年作为一代，把第几代的虫日记为，则有：

i N o i i i N N N 11++==λλ (4-1)

i N ,1>λ增长很快，发生“虫口爆炸”，但虫口太多则会由于争夺有限食物和生存空间，

以及由于接触传染导致疾病曼延，使虫口数目减少，它正比于，假定虫口环境允许的最大虫口为，并令2

i N o N o

i

i N N x =

，则该模型由一个迭代方程表示： 21i i i N N N λλ−=+

即为：

)1(1i i i x x x −=+λ （4-2）

其中：]4,0[],

1,0[∈∈λi x 。

（4-2）式就是有名的逻辑斯谛映射。

4-2 倍周期分歧走向混沌

借助于对这一非线性迭代方程进行迭代计算，我们可以清楚地看到非线性系统通过倍周期分岔进入混沌状态的途径。 （一）迭代过程

迭代过程可以用图解来表示。图4-1中的水平轴表示，竖直轴表示，抛物线表示（4-2）式右端的迭代函数。45º线表示n x 1+n x n n x x =+1的关系。由水平轴上的初始点作竖直线，找到与抛物线的交点，A 的纵坐标就是。由点

)0,(0x R ),(10x x A 1x

),(10x x A 作水平直线，求它与45º线的交点，经B 点再作竖直线，求得与抛物

线的交点，这样就得到了。仿此做法可得到所迭代点。

),(11x x B ),(21x x 2x 从任何初始值出发迭代时，一般有个暂态过程。但我们关心的不是暂态过程，而是这所趋向的终态集。终态集的情况与控制参数λ有很大关系。增加λ值就意味着增加系统的非线性的程度。改变λ值，不仅仅改变了终态的量，而且也改变了终态的质。它所影响的不仅仅是终态所包含的定态的个数和大小，而且也影响到终态究竟会不会达到稳定。

（二）终态性质

①当31<<γ时，迭代结果的归宿是一个确定值，趋于一个不动点，即抛物线与45º线的交点，这相当于系统处于一个稳定态，如图4-2(a)所示。此值与λ有关，且与λ值有一一对应关系。当4.2=λ时，12/711==+i x x 。迭代的结果为一个不动点的情况，其周期为1，这表示从出发，迭代一次就回到。

i x i x ②当449.33<<γ时，迭代的终态在一个正方形上循环，亦即在两个值之间往复跳跃，与一个i x λ值对应将有两个值，即其归宿轮流取两个值，如图4-2(b)所示。当i x 2.3=λ时，此值为i i x x =⇔+2,7995.05130.0周期为2，表示从出发，迭代二次后回到。所以，从图3-12(a)到3-12(b)中间发生了一个倍周期分岔，一个稳定态分裂成为两

i x i x

图4-2 叠代过程

种状态，而系统便在两个交替变动的值间来回振荡。

③当544.3449.3<<λ时，最终在四个值之间循环跳跃，如图4-2(c)所示。

+4，即终态集是个四周期解，表示从出发，迭代四次后回到。所以，从图4-2(b)

到3-12(c)，中间又发生了一个倍周期分岔，两种状态分裂成四种状态，而系统便在四个交

i x i i x x i x i x =

替变动的值间来回振荡。当5.3=λ时，四个值为

④当

4

569.3

<<λ，周期变为，最后归宿可取无穷多的各种不同值，即出现混沌象。图4-2(d)表示∞0.4=λ现时的具体迭代过程，此时系统已进入混沌，没有稳定的周期轨道，相点几乎可以通过相空间中的任何一点。 图4-2 叠代过程

、分岔图

由于逻辑斯谛映射的计算非常简单，因而人们对它进入混沌区的过程研究得非常细致。计算表明，第一次分岔开始发生在

三3=λ的地方，其后发生一个无穷系列的倍周期分岔，再次开始分岔的参数值为3.449, 3.544, 3.564, …间隔越来越小，到, 其间了极限值

569.3=λ的地方进入混沌区（见

图4-3）。在λ从3.569到4的参数范围内，情况是极为复杂的，这里基本上是混沌区。但

在其中有无穷多个稳定的周期解的“窗口”，窗口里又有无情况可以图4-4中看出来。此图反映的是逻辑斯谛映射穷多个倍周期分岔系列，这些的终态集随参数λ变化的情况，它 叫做映射的分岔图。

4-3 鲍姆数

978年美国物理学家费根鲍姆（Feigenbaum ）发现若用

图4-4 映射的分岔图。

费根1了有关倍周期分岔系列的一些性质。m λ代表第m 次分岔出现的λ值，则相继分岔的间距之比趋于一个常数，即有 6692.4lim lim

1

11

==∆∆−−+∞→+−∞→δλλλλm m m m m m m m

(4-3)

上式表明，随着λ的增加，两相邻分岔的间距L 21,∆∆越来越小（见图4-5），倍周期的来临越来越快，这一几何级数的收敛的，92，越到后来越精确。纵轴方向的分岔宽度收敛的比率4.66L ,,21εε渐进地按照因子5029.2=α衰减，即

5029.2/lim 1==+∞

→m m m εεα

(4-4)

也就是说，前一次的分岔宽度大约是下一次的分岔宽度的2.5029倍，越到后来越精确。整个系统的运行在越来越小的尺度上重复出现近似的自相似结构，由大到小的自相似的缩不比率就是一个普适的费根鲍姆数。表4-1清楚地表明迭代系统)1(i i i x x x −=λ的周期倍增分岔现象中分岔间距比值1+∆<∆m m 趋向6692.4=δ的情形。

表4-1 分岔间距比值的变化情况

m 分岔情况 分岔值m λ

间距比值1/+∆∆m m 1 2 1分为2 2分为4 为64

周期解→ 3

3.449 4899 743 9 691 610

4.751 466 4.668 74 .669 1

4.669 201 609

3 4 5 6

4分为8 8分为16 16分为32 32分 3.544 090 359 3.564 407 266 3.568 759 420 3.56 4.656 251 4.668 242 4M ∞

M

混沌

3.569 945 972

M M