(完整版)二项分布及其应用题型总结,推荐文档

二项分布专题训练

一．选择题

1．甲、乙两人独立地解同一问题，甲能解决这个问题的概率是1p ，乙能解决这个问题的概率是2p ，那么其中至少有1人能解决这个问题的概率是 （ D ）

A ．21p p +；

B ．21p p ⋅；

C ．211p p ⋅-；

D ．121(1)(1)p p ---.

2．在一个盒子中有大小相同的10个球，其中6个红球，4个白球，两人无放回地各取一个球，则在第一个人摸出红球的条件下，第二个人也摸出红球的概率是 （ A ）

A ．13；

B ．23；

C ．49；

D ．59

. 【解析】设“第一个人摸出红球”为事件A ，“第二个人摸出红球”为事件B ，则()11692105490

C C P A A ⋅==，()11652103090

C C P AB A ⋅==，则()()()5|9P AB P B A P A ==。 3．两个独立事件1A 和2A 发生的概率分别为1p 和2p ，则有且只有一个发生的概率为 .()()122111p p p p -+-

4． (04年重庆) 甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5，计算： ⑴三人各向目标射击一次，求恰有两人命中目标及至少有一人命中目标的概率；

⑵若甲连续射击三次，求他恰好一次命中的概率.

解：⑴设i A (3,2,1=i )表示事件“第i 人命中目标”，显然1A 、2A 、3A 相互独立，且7.0)(1=A P ，6.0)(2=A P ，5.0)(3=A P .

三人中恰有两人命中目标的概率为

44.0)(321321321=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅A A A A A A A A A P .

三人中恰有至少有一人命中目标的概率为

94.0)(1321=⋅⋅-A A A P .

⑵设k A 表示“甲在第k 次命中目标”，3,2,1=k .显然1A 、2A 、3A 相互独立，且7.0)()()(321===A P A P A P .

甲连续射击三次，恰好一次命中的概率为

203.0)(321321321=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅A A A A A A A A A P .

5．已知在10只晶体管中有2只次品，从中连续抽取两件，且取出的产品不再放回，求下列事件的概率.

⑴两只都是正品； ⑵两只都是次品.

解：设事件i A （1,2i =）表示第i 次取到正品，则i A 表示第i 次取到次品.

依题意，()1810P A =，()217|9P A A =，()1210P A =，()

211|9P A A =. ⑴12A A 表示第1次，第2次都取到正品，即表示两只都是正品，根据乘法公式

()()()1212128|45P A A P A P A A ==

. ⑵()()()121211|45

P A A P A P A A ==. 另解：本题也可利用古典概型来解决.

点评：本题中由于是两个都是正(次)品，由于是连续抽取且抽后不放回，故与条件概率有关.

6．（04年福建·理）甲、乙两人参加一次英语口试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6道，乙能答对其中的8道，规定每次考试都从备选题中随机地抽出3道，至少答对2道才算合格.

⑴求甲答对试题数X 的概率分布分布；

⑵求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.

解：⑴依题意，甲答对题数X 的概率分布如下：

⑵方法1：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为

()P P A B A B A B =⋅+⋅+⋅()()()P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅

211142144431531531545

=⨯+⨯+⨯=. 方法2：∵甲、乙两人考试均不合格的概率为1()()()45P A B P A P B ⋅=⋅=

， ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为441()45

P P A B =-⋅=. 7．（07年天津·文科）已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．

（Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率；

（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；

解：（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件B ．由于事件A B ，相互独立，且

2327C 1()C 7P A ==，2329C 5()C 18

P B ==， 故取出的4个球均为红球的概率是

155()()()718126

P A B P A P B ==⨯=g g ． （Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个红球为黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件D ．由于事件C D ，互斥，且

1123442279C C C 2()C C 21P C ==g ，1125242275C C C 10()C C 63

P D ==g ． 故取出的4个红球中恰有4个红球的概率为

21016()()()216363

P C D P C P D +=+=+=． 8．（01年天津）如图，用A 、B 、C 三个不同的元件联结成两个电子系统（Ⅰ）、（Ⅱ）。当元件A 、B 、C 都正常工作时，系统（Ⅰ）正常工作；当元件A 正常工作且B 、C 至少有一个正常工作时，系统（Ⅱ）正常工作。已知元件A 、B 、C 正常工件的概率依次为0.80、0.90、0.90，分别求系统（Ⅰ）、（Ⅱ）正常工作概率1P 、2P ，并说明哪个系统的稳定性好.

解：分别记元件A 、B 、C 正常工作为事件A 、B 、C ，

由已知()0.80P A =，()()0.90P B P C ==，则：

⑴因为事件A 、B 、C 是相互独立的，所以系统（Ⅰ）正常工作的概率为

1()()()()0.648P P A B C P A P B P C =⋅⋅=⋅⋅=。

⑵因为元件A 正常工作与元件B 、C 至少有一个正常工作是相互独立的，而B 、C 没有一个正常工作的概率为()P B C ⋅，于是B 、C 至少有一个人正常工作的概率为1()()0.99P B P C -⋅=， ∴系统（Ⅱ）正常工作概率2()[1()]0.792P P A P B C =⋅-⋅=。

（Ⅰ）