(完整版)二项分布及其应用题型总结,推荐文档
高中数学二项分布及应用共51页文档
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Hale Waihona Puke 高中数学二项分布及应 用6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
高中数学二项分布及其应用知识点+练习
325--------------- \事件的独立性“ -----------------厂 丿 r]厂独立重复实验二项分布高考要求二项分布及 其应用要求层次重难点条件概率 A 了解条件概率和两个事件相互独立的概念， 理解n 次独立重复试验的模型及二项分布， 并能解决一些简单的实际问题.事件的独立性A n 次独立重复试验与二项 分布B21山迄例题精讲板块一：条件概率（一） 知识内容条件概率对于任何两个事件 A 和B ，在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率叫做条件概率，用符号 P （B|A ） ”来表示.把由事件 A 与B 的交（或积），记做D=A“B （或D 二AB ）.（二）典例分析:【例1】 在10个球中有6个红球，4个白球（各不相同），不放回的依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸出红球的概率是（）D .知识框架二项分布及其应用【例2】某地区气象台统计，该地区下雨的概率是土 ,刮风的概率是2,既刮风又下雨的概率是丄,15 15 10设A=刮风”，8=下雨”，求P(B A , P(A B).【例3】设某种动物活到20岁以上的概率为0.7，活到25岁以上的概率为0.4，求现龄为20岁的这种动物能活到25岁以上的概率.【例4】把一枚硬币抛掷两次，事件A=第一次出现正面”，事件B=第二次出现反面”，则P(B A)二_____ .【例5】抛掷一颗骰子两次，在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下，则第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为_________________________ .【例6】设某批产品有4%是废品，而合格品中的75%是一等品，任取一件产品是一等品的概率是_________ .【例7】掷两枚均匀的骰子，记A=点数不同”，8=至少有一个是6点”，求P(A|B)与P(B|A).【例8】甲、乙两班共有70名同学，其中女同学40名•设甲班有30名同学，而女生15名，问在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率【例9】从1~100个整数中，任取一数，已知取出的一数是不大于50的数，求它是2或3的倍数的概率.【例10】袋中装有2n_1个白球，2n个黑球，一次取出n个球，发现都是同一种颜色的，问这种颜色是黑色的概率是多少？【例11】一袋中装有10个球，其中3个黑球，7个白球，先后两次从袋中各取一球(不放回)⑴已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率；⑵已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率；⑶已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的是白球的概率.【例12】有两箱同类零件，第一箱内装50件，其中10件是一等品；第二箱内装30件，其中18件是一等品•现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件(取出的零件均不放回)，试求：⑴先取出的零件是一等品的概率；⑵在先取出的零件是一等品的条件下后取出的仍然是一等品的概率. (保留三位有效数字)【例13】设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份•随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份，⑴求先抽到的一份是女生表的概率p •⑵己知后抽到的一份是男生表，求先抽到的是女生的概率q•板块二：事件的独立性(一) 知识内容事件的独立性如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)二P(B), 这时，我们称两个事件A, B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件.如果事件A , A2,…，A n相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A P1A门…「代)二P(A) P(^)…P(An)，并且上式中任意多个事件A换成其对立事件后等式仍成立.（二）典例分析：【例14】判断下列各对事件是否是相互独立事件⑴容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与 从 剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球⑵一筐内有6个苹果和3个梨，从中任意取出1个，取出的是苹果”与 把取出的苹果放回筐 子，再从筐子中任意取出1个，取出的是梨”.⑶甲组3名男生、2名女生；乙组2名男生、3名女生，今从甲、乙两组中各选 1名同学参加 演讲比赛， 从甲组中选出1名男生”与 从乙组中选出1名女生”.1，从乙口袋中摸出一个红球的概率是 丄，则-是（ 3 2 3 B . 2个球都是红球的概率D . 2个球中恰好有1个红球的概率次射击，但距离为150m ;如果第二次又未命中，则猎人进行第三次射击，但在射击瞬间距离 野兔为200m •已知猎人命中率与距离的平方成反比，求猎人命中野兔的概率.如图，开关电路中，某段时间内，开关 a b 、c 开或关的概率均为 1,且是相互独立的，求 2这段时间内灯亮的概率.甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 1 ,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是4 等品的概率为 -，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为12 分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率.【例19】椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为0,1,2的概率分别为0.4 , 0.5 , 0.1⑴ 求该企业在一个月内被消费者投诉不超过 1次的概率；⑵假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者 投诉2次的概率.【例15】从甲口袋摸出一个红球的概率是A . 2个球不都是红球的概率 C .至少有一个红球的概率【例16】猎人在距离100m 处射击一只野兔,其命中率为-.如果第一次射击未命中,2则猎人进行第二【例17】【例18】 c【例20】某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰•已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为4、3、？、〕，且5 5 5 5各轮问题能否正确回答互不影响.⑴ 求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；⑵求该选手至多进入第三轮考核的概率.【例21】甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束•假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立•已知前2局中, 甲、乙各胜1局.⑴求再赛2局结束这次比赛的概率；⑵ 求甲获得这次比赛胜利的概率.【例22】纺织厂某车间内有三台机器，这三台机器在一天内不需工人维护的概率：第一台为0.9，第二台为0.8，第三台为0.85，问一天内：⑴3台机器都要维护的概率是多少？⑵ 其中恰有一台要维护的概率是多少？⑶至少一台需要维护的概率是多少？【例23】为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类•这三类工程所含项目的个数分别占总数的1，1，1•现有3名工人独立地从中任2 3 6选一个项目参与建设•求：⑴ 他们选择的项目所属类别互不相同的概率；⑵ 至少有1人选择的项目属于民生工程的概率.【例24】甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为1和-，求：3 4⑴两个人都译出密码的概率；⑵两个人都译不出密码的概率；⑶恰有1个人译出密码的概率;⑷至多1个人译出密码的概率；⑸至少1个人译出密码的概率.【例25】从10位同学（其中6女，4男）中，随机选出3位参加测验，每位女同学能通过测验的概率均为4，每位男同学能通过测验的概率均为3，试求：5 5⑴选出的3位同学中至少有一位男同学的概率；⑵10位同学中的女同学甲和乙及男同学丙同时被抽到，且三人中恰有二人通过测验的概率.【例26】甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为1与p，且乙投球2次均2未命中的概率为—.16⑴求乙投球的命中率p ；⑵求甲投球2次，至少命中1次的概率；⑶若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率.【例27】一汽车沿一街道行驶，需要通过三个设有红绿灯的路口，每个信号灯彼此独立工作，且红绿灯信号显示时间相等.以X表示该汽车首次遇到红灯时已通过的路口个数，求X的分布列以及该汽车首次遇到红灯时至少通过两个路口的概率.【例28】甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求:⑴2人都射中的概率？⑵2人中有1人射中的概率？⑶2人至少有1人射中的概率？⑷2人至多有1人射中的概率？【例29】（07福建）甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7, 0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：⑴甲试跳三次，第三次才成功的概率；⑵甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；⑶甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率.【例30】A、B两篮球队进行比赛，规定若一队胜4场则此队获胜且比赛结束（七局四胜制），A、B 两队在每场比赛中获胜的概率均为 -,X为比赛需要的场数，求X的分布列及比赛至少要进2行6场的概率.【例31】已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物•血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病•下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止.方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验•若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.求依方案甲、乙分别所需化验次数的分布列以及方案甲所需化验次数不少于方案乙所需化验次数的概率.【例32】为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，:提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大.【例33】某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 a , b , c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.⑴分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；⑵试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）板块三：独立重复试验与二项分（一） 知识内容1 .独立重复试验如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率相同.在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验.n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生k 次的概率为R （k ）=丄p k （1—p ）n ± （k=0, 1, 2,山,n ）.2.二项分布若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为q"-p ，那么在n 次独立重复试验中，事 件A 恰好发生k 次的概率是P （X =k ）=V p k q n ±，其中k = 0, 1,2, H|, n . 于是得到X 的分布列由于表中的第二行恰好是二项展开式 （q + p ）n =疋p °q n +C ： p 1q n 」+||） +C ： p k q n 上坤| C ： p n q 0各对应项的值，所以称这样的离散型随机变量 X 服从参数为n , p 的二项分布，记作 X ~ B （ n, p ）.（二）典例分析：【例1】某人参加一次考试，4道题中解对3道则为及格，已知他的解题正确率为0.4 ,则他能及格的概率为 _____________ （保留到小数点后两位小数）【例2】 某篮球运动员在三分线投球的命中率是-,他投球10次，恰好投进3个球的概率 ____________ .（用2数值表示）【例3】 接种某疫苗后，出现发热反应的概率为 0.80，现有5人接种了该疫苗，至少有 3人出现发热反应的概率为 ____________ .（精确到0.01）【例5】一台X 型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为 0.8000,有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多有 2台机床需要工人照看的概率是（）A . 0.1536B . 0.1808C . 0.5632D . 0.9728【例6】某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买•根据以往资料统计，顾客采用【例4】 甲乙两人进行围棋比赛, 局比赛获胜的概率均为 比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每-，则甲以3 : 1的比分获胜的概率为（）3A . -827B . 6481C.-9一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元;若顾客采用分期付款，商场获得利润250元.⑴ 求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；⑵ 求3位位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率.【例7】某万国家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为1,若中奖，贝V家具城返还顾客现金200元•某顾客消费了3400元，得到35张奖券.⑴求家具城恰好返还该顾客现金200元的概率；⑵求家具城至少返还该顾客现金200元的概率.【例8】某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株•设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为5和4，且各株大树是否成活互不影响•求移栽的4株大树中：6 5⑴至少有1株成活的概率；⑵两种大树各成活1株的概率.【例9】一个口袋中装有n个红球（n》5且「N* ）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖.⑴试用n表示一次摸奖中奖的概率p;⑵若n =5,求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；⑶记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P •当n取多少时，P最大？1~ B(4 ,-)，贝V PC =2)等于 3【例12】从一批由9件正品、3件次品组成的产品中，有放回地抽取5次，每次抽一件，求恰好抽到 两次次品的概率（结果保留 2位有效数字）.［例 13】袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球，从 A 中摸出一个红球的概率是 -，从B 中摸出3个红球的概率为p .⑴从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止.① 求恰好摸5次停止的概率；② 记5次之内（含5次）摸到红球的次数为 ，求随机变量 的分布. ⑵若A , B 两个袋子中的球数之比为1:2，将A , B 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是-，求p 的值.5【例14】设在4次独立重复试验中，事件 A 发生的概率相同，若已知事件 A 至少发生一次的概率等于 65，求事件A在一次试验中发生的概率.81【例15】我舰用鱼雷打击来犯的敌舰，至少有 2枚鱼雷击中敌舰时，敌舰才被击沉•如果每枚鱼雷的命中率都是0.6，当我舰上的8个鱼雷发射器同是向敌舰各发射 I 枚鱼雷后，求敌舰被击沉的 概率（结果保留2位有效数字）.【例10】已知随机变量•服从二项分布, 【例11】已知随机变量■服从二项分布, 1~B(6'3)'则 P —2)等于(A • 2 16 4B . —C . 243 13243 243【例16】某厂生产电子元件，其产品的次品率为 5%，现从一批产品中的任意连续取出 2件，求次品数'的概率分布列及至少有一件次品的概率.【例17】某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审•假设评审结果为 支持”或不支持”的概率都是-.若某人获得两个 支持”则给予10万2元的创业资助；若只获得一个 支持”则给予5万元的资助；若未获得 支持”则不予资助.求: ⑴该公司的资助总额为零的概率；⑵ 该公司的资助总额超过15万元的概率.【例18】射击运动员李强射击一次击中目标的概率是 0.8，他射击3次，恰好2次击中目标的概率是多少？【例19】设飞机A 有两个发动机，飞机 B 有四个发动机，如有半数或半数以上的发动机没有故障，就【例20】假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是 1 -P ,且各发动机互不影响.如果至少50%的发动机能正常运行，飞机就可以顺利地飞行•问对于多大的P 而言，四发动机飞机比二发 动机飞机更安全？【例21】一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有 6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 1 •3⑴设•为这名学生在途中遇到红灯的次数，求 的分布列；⑵设 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布列； ⑶求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.能够安全飞行，现设各个发动机发生故障的概率p 是t 的函数p=1-e 」，其中t 为发动机启 动后所经历的时间, 故障）. ■为正的常数，试讨论飞机 A 与飞机B 哪一个安全？（这里不考虑其它【例22】一个质地不均匀的硬币抛掷5次，正面向上恰为1次的可能性不为0，而且与正面向上恰为2 次的概率相同.令既约分数丄为硬币在5次抛掷中有3次正面向上的概率，求i j •【例23】某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位) ⑴5次预报中恰有2次准确的概率；⑵5次预报中至少有2次准确的概率；⑶5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率；【例24】某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19, 20层可以停靠.若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为-，求至少有两位乘客在20层下的概3率.【例25】10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取一球，求直到第n次才取得k(k < n)次红球的概率.【例26】某车间为保证设备正常工作，要配备适量的维修工•设各台设备发生的故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是0.01 •试求：⑴若由一个人负责维修20台，求设备发生故障而不能及时维修的概率；⑵若由3个人共同负责维修80台设备，求设备发生故障而不能及时维修的概率，并进行比较说明哪种效率高.【例27】A,B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验. 每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B,然后观察疗效•若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用A有效的概率为2，服用B有效的概率为丄•观察3个试验组，求至少有1个甲类组的概率.（结果保留四3 2位有效数字）【例28】已知甲投篮的命中率是0.9，乙投篮的命中率是0.8，两人每次投篮都不受影响，求投篮3次甲胜乙的概率.（保留两位有效数字）【变式】若甲、乙投篮的命中率都是p=0.5，求投篮n次甲胜乙的概率.（n・N ,n > 1 ）［例29】省工商局于某年3月份，对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的x饮料的合格率为80%，现有甲，乙，丙3人聚会，选用6瓶x饮料，并限定每人喝2瓶，求：⑴甲喝2瓶合格的x饮料的概率；⑵甲，乙，丙3人中只有1人喝2瓶不合格的x饮料的概率（精确到0.01）.【例30】在一次考试中出了六道是非题，正确的记“v号，不正确的记“X号.若某考生随手记上六个符号，试求：⑴全部是正确的概率；⑵正确解答不少于4道的概率；⑶至少答对2道题的概率.【例31】某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛，校队的实力比系队强，当一个校队队员与系队队员比赛时，校队队员获胜的概率为0.6.现在校、系双方商量对抗赛的方式，提出了三种方案：⑴双方各出3人；⑵双方各出5人;⑶双方各出7人.三种方案中场次比赛中得胜人数多的一方为胜利.问：对系队来说，哪一种方案最有利？右单板块四：二项分布的期望与方（一）知识内容二项分布的均值与方差: 若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则E（X）二np , D（x）二npq （q =1 一p）.（二）典例分析：【例32】一盒子内装有10个乒乓球，其中3个旧的，7个新的，每次取一球，取后放回，取4次，则取到新球的个数的期望值是______________________ .【例33】同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为'，则的数学期望是（）A. 20B. 25C. 30D. 40【例34】已知X ~ B（n , p）, E（X）=8 , D（X）=1.6，则n与p的值分别为（）A . 10和0.8B . 20和0.4 C. 10和0.2 D . 100和0.8【例35】某服务部门有n个服务对象，每个服务对象是否需要服务是独立的，若每个服务对象一天中需要服务的可能性是p，则该部门一天中平均需要服务的对象个数是（）A. np(1-p)B. npC. nD. p(1-p)【例36】已知随机变量X服从参数为6,0.4的二项分布，则它的期望E(X)= _________________________ ,方差D(X) = ______ •【例37】已知随机变量X服从二项分布，且E( J =2.4 , D( J =1.44，则二项分布的参数n , p的值分别为____________ 、 __________ •【例38】一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是___________________ •(用数字作答)【例39】已知X ~ B(10, 0.8)，求E(X)与D(X) •【例40】同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为'，则的数学期望是()A • 20 B. 25 C. 30 D. 40【例41】甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是丄，2，丄•3 5 2⑴ 现3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率；⑵ 用•表示乙投篮3次的进球数，求随机变量•的概率分布及数学期望.【例42】抛掷两个骰子，当至少有一个2点或3点出现时，就说这次试验成功. ⑴ 求一次试验中成功的概率；⑵ 求在4次试验中成功次数X的分布列及X的数学期望与方差.【例43】某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取•假设任一客户去领奖的概率为4% •问：寻呼台能否向每一位顾客都发出奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？【例44】某批数量较大的商品的次品率是5%，从中任意地连续取出10件，X为所含次品的个数，求E(X) •【例45】某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响.⑴任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；⑵任选3名下岗人员，记■为3人中参加过培训的人数，求'的分布和期望.【例46】设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的•记•表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布及期望.【例47】某班级有n人，设一年365天中，恰有班上的m ( m< n )个人过生日的天数为X，求X的期望值以及至少有两人过生日的天数的期望值.【例48】购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金•假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立•已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为1041 -0.999 .⑴求一投保人在一年度内出险的概率p ;⑵设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0 ,求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元)【例49】某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查（简称安检）•若安检不合格，则必须进行整改•若整改后复查仍不合格，则强行关闭•设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算（结果精确到0.01 ）•⑴恰好有两家煤矿必须整改的概率；⑵平均有多少家煤矿必须整改；⑶至少关闭一家煤矿的概率.【例50】设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作.若一周5个工作日里均无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元，只发生两次故障可获利润0万元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求一周内期望利润是多少？（精确到0.001）【例51】在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中，武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐•已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆.每次射击是相互独立的，且命中的概率都是-•3⑴求油罐被引爆的概率；⑵如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为•，求的分布列及E•【例52】某商场准备在国庆节期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从2种服装商品，2种家电商品，3种日用商品中，选出3种商品进行促销活动.⑴试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率；⑵商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高150元，同时，若顾客购买该商品，则允许有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得数额为m的奖数额m最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利？。
二项分布及其应用
二项分布及其应用二项分布及其应用◇条件概率◇一、条件概率的定义与性质如果事件A发生与否，会影响到事件B的发生，在知道事件A发生的条件下去研究事件B时，基本事件空间发生了变化，从而B发生的概率也随之改变，这就条件概率要研究的问题。
1.定义：一般地，设A、B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，一般把P(B|A)读作A发生的条件下B的概率．2.性质：（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即．（2）如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝二、典型例题1、利用定义求条件概率例1：抛掷两颗均匀的骰子，问（1）至少有一颗是6点的概率是多少？（2）在已知两颗骰子点数不同的条件下，至少有一颗是6点的概率是多少？例2:抛掷红蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”。
（1）求P(A),P(B),P(AB);(2)在已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率。
2、利用缩小基本事件空间的方法求条件概率例1：一个口袋内装有4个白球和2个黑球，若不放回地抽取3次，每次抽一个小球，求（1）第一次摸出一个白球的情况下，第二次与第三次均是白球的概率。
（2）第一次和第二次均是白球的情况下，第三次是白球的概率。
例2：设10件产品中有4件次品，从中任取2件，那么（1）在所取得产品中发现是一件次品，求另一件也是次品的概率。
（2）若每次取一件，在所得的产品中第一次取出的是次品，那么求第二件也是次品的概率。
3、条件概率的性质及应用例1：在某次考试中，要从20道中随机地抽出6道题，若考试至少答对其中4道即可通过；若至少答对其中5道就获得优秀，已知某生能答对其中10道题目，且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀的概率。
例2：把一副扑克牌（不含大小王）随机均分给赵、钱、孙、李四家，A={赵家得到6张梅花}，B={孙家得到3张梅花} （1）求P(B|A)(2)求P(AB)三、课堂练习1、把一颗骰子连续抛掷两次，已知在第一次抛出偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率是多少？2、一个盒子中装有6件合格产品和4件次品，不放回地任取两次，每次取一件。
二项分布及其应用题型总结汇编
二项分布专题训练一．选择题1．甲、乙两人独立地解同一问题，甲能解决这个问题的概率是1p ，乙能解决这个问题的概率是2p ，那么其中至少有1人能解决这个问题的概率是 （ D ）A ．21p p +；B ．21p p ⋅；C ．211p p ⋅-；D ．121(1)(1)p p ---.2．在一个盒子中有大小相同的10个球，其中6个红球，4个白球，两人无放回地各取一个球，则在第一个人摸出红球的条件下，第二个人也摸出红球的概率是 （ A ）A ．13；B ．23；C ．49；D ．59. 【解析】设“第一个人摸出红球”为事件A ，“第二个人摸出红球”为事件B ，则()11692105490C C P A A ⋅==，()11652103090C C P AB A ⋅==，则()()()5|9P AB P B A P A ==。
3．两个独立事件1A 和2A 发生的概率分别为1p 和2p ，则有且只有一个发生的概率为 .()()122111p p p p -+-4． (04年重庆) 甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5，计算：⑴三人各向目标射击一次，求恰有两人命中目标及至少有一人命中目标的概率；⑵若甲连续射击三次，求他恰好一次命中的概率.解：⑴设i A (3,2,1=i )表示事件“第i 人命中目标”，显然1A 、2A 、3A 相互独立，且7.0)(1=A P ，6.0)(2=A P ，5.0)(3=A P .三人中恰有两人命中目标的概率为44.0)(321321321=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅A A A A A A A A A P .三人中恰有至少有一人命中目标的概率为94.0)(1321=⋅⋅-A A A P .⑵设k A 表示“甲在第k 次命中目标”，3,2,1=k .显然1A 、2A 、3A 相互独立，且7.0)()()(321===A P A P A P .甲连续射击三次，恰好一次命中的概率为203.0)(321321321=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅A A A A A A A A A P .5．已知在10只晶体管中有2只次品，从中连续抽取两件，且取出的产品不再放回，求下列事件的概率.⑴两只都是正品； ⑵两只都是次品.解：设事件i A （1,2i =）表示第i 次取到正品，则i A 表示第i 次取到次品.依题意，()1810P A =，()217|9P A A =，()1210P A =，()211|9P A A =. ⑴12A A 表示第1次，第2次都取到正品，即表示两只都是正品，根据乘法公式()()()1212128|45P A A P A P A A ==. ⑵()()()121211|45P A A P A P A A ==. 另解：本题也可利用古典概型来解决.点评：本题中由于是两个都是正(次)品，由于是连续抽取且抽后不放回，故与条件概率有关.6．（04年福建·理）甲、乙两人参加一次英语口试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6道，乙能答对其中的8道，规定每次考试都从备选题中随机地抽出3道，至少答对2道才算合格.⑴求甲答对试题数X 的概率分布分布；⑵求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.解：⑴依题意，甲答对题数X 的概率分布如下：⑵方法1：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为()P P A B A B A B =⋅+⋅+⋅()()()P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅211142144431531531545=⨯+⨯+⨯=.方法2：∵甲、乙两人考试均不合格的概率为1()()()45P A B P A P B ⋅=⋅=， ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为441()45P P A B =-⋅=. 7．（07年天津·文科）已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；解：（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件B ．由于事件A B ，相互独立，且2327C 1()C 7P A ==，2329C 5()C 18P B ==，故取出的4个球均为红球的概率是 155()()()718126P A B P A P B ==⨯=．（Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个红球为黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件D ．由于事件C D ，互斥，且 1123442279C C C 2()C C 21P C ==，1125242275C C C 10()C C 63P D ==．故取出的4个红球中恰有4个红球的概率为21016()()()216363P C D P C P D +=+=+=．8．（01年天津）如图，用A 、B 、C 三个不同的元件联结成两个电子系统（Ⅰ）、（Ⅱ）。
《二项分布》知识点整理【DOC可编辑范文】
《二项分布》知识点整理二项分布的定义二项分布即重复n次的伯努力试验。
在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验二：超几何分布在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有件次品，抽检n件时所得次品数X=，则P此时我们称随机变量X服从超几何分布）超几何分布的模型是不放回抽样）超几何分布中的参数是,N,n上述超几何分布记作X~H。
二项分布：一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则=0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B，并记。
独立重复试验：独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验．一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生次的概率为此时称随机变量X服从二项分布，记作并称p为成功概率．独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的．独立重复试验概率公式的特点：是n次独立重复试验中某事件A恰好发生次的概率．其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，的意义，才能正确运用公式．二项分布的判断与应用：二项分布，实际是对n次独立重复试验从概率分布的角度作出的阐述，判断二项分布，关键是看某一事件是否是进行n次独立重复试验，且每次试验只有两种结果，如果不满足这两个条件，随机变量就不服从二项分布．当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果时，我们可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列．求独立重复试验的概率：在n次独立重复试验中，“在相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响，即…，n)是第i次试验的结果．独立重复试验是相互独立事件的特例，只要有“恰好”“恰有”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，要弄清n，p，的意义。
【高中数学】二项分布及其应用
【高中数学】二项分布及其应用一、条件概率1.定义：对任意事件A和事件B,在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。
记作P(B |A),读作A发生的条件下B的概率。
2.事件的交(积):由事件A和事件B同时发生所构成的事件D,称为事件A与事件B的交(或积)。
记作D=ANB或D=AB3. 条件概率计算公式：P(B | A)相当于把AB发生的概率：若P(A)>0,则P(AB)=P(B | A) · P(A)(乘法公式);O≤P(B | A)≤1 .4. 公式推导过程：5. 解题步骤：例1. 10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品，求第二个又取到次品的概率.解：设A={第一个取到次品},B={第二个取到次品}所以，P(B | A)=P(AB)/P(A)=2/9答：第二个又取到次品的概率为2/9.二、相互独立事件1. 定义：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
说明：(1)判断两事件A、B是否为相互独立事件，关键是看A(或B)发生与否对B(或A)发生的概率是否影响，若两种状况下概率不变，则为相互独立.(2)互斥事件是指不可能同时发生的两个事件.相互独立事件是指一事件的发生与否对另一事件发生的概率没影响.(3)如果A、B是相互独立事件，则A的补集与B的补集、A与B的补集、A的补集与B也都相互独立.2. 相互独立事件同时发生的概率公式两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
则有：P(A●B)=P(A)●P(B)说明：(1)使用时，注意使用的前提条件；(2)此公式可作为判断事件是否相互独立的理论依据，即P(A · B )=P(A) · P (B)是A 、B 相互独立的充要条件. (3)如果事件Al,Az, … Aa 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
二项分布概率例题及解析精选全文
可编辑修改精选全文完整版二项分布概率例题及解析二项式概型答题高分策略、模板例析如下：二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k 次的概率.解题的一般思路是:根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n,p→将k值代入求解概率→写出二项分布的分布列.若离散型随机变量X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p),即其均值和方差的求解既可以利用定义,也可以直接代入上述公式.例1：某气象站天气预报的准确率为80%,计算(结果保留到小数点后第2位):(1)5次预报中恰有2次准确的概率;(2)5次预报中至少有2次准确的概率;(3)5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确的概率.思路分析:直接代入公式求解,其中第(2)问可以利用对立事件求概率.令X表示5次预报中预报准确的次数,则X~B(5,4/5),故其分布列为反思：弄清“5次中有2次准确且第3次准确”表示的意义是求解第(3)问的关键,它表示第3次准确,其他4次有1次是准确的.总结：(1)独立重复实验的条件:①每次试验在相同条件下可重复进行;②各次试验是相互独立的;③每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生.(2)独立重复试验是相互独立事件的特例,只要有“恰好”“恰有”字样,用独立重复试验的概率公式计算更简单.(2)二项分布:一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,则事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.则称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并称p为成功概率.例2：一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为1/2,且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?思路分析:(1)X可能的取值为10,20,100,-200,运用几何概率公式得出相应的概率,得出分布列.(2)利用对立事件求解得出P(A1A2A3)=P(A1)∪P(A2)∪P(A3)=1/8,即可得出1-P(A1A2A3).。
高二理数 选修2-3 第2章 2.2 二项分布及其应用 Word版含解析
第章．二项分布及其应用．条件概率及其性质()对于任何两个事件和，在已知事件发生的条件下，事件发生的概率叫做条件概率，用符号来表示，其公式为．在古典概型中，用表示事件中基本事件的个数，则()条件概率具有的性质：①；②如果和是两个互斥事件，则．温馨提示：求条件概率有两种方法．()定义法：．()基本事件法：若()表示试验中事件包含的基本事件的个数，则．相互独立事件()对于事件、，若的发生与的发生互不影响，则称、是相互独立事件．()若与相互独立，则，()＝()()＝()()．()若与相互独立，则与，与，与也都相互独立．()若()＝()()，则与相互独立．温馨提示：()在应用相互独立事件的概率公式时，对含有“至多有一个发生”、“至少有一个发生”的情况，可结合对立事件的概率求解．()运用公式()＝()·()时，要注意公式成立的条件，只有当事件和相互独立时，公式才成立．．二项分布()独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．()在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，则，此时称随机变量服从二项分布，记为，并称为成功概率．、如何判断一个随机变量是否服从二项分布？、求条件概率有两种方法是什么？．【辽宁实验中学期末】实验女排和育才女排两队进行比赛，在一局比赛中实验女排获胜的概率是，没有平局．若采用三局两胜制，即先胜两局者获胜且比赛结束，则实验女排获胜的概率等于．．．．．【河北邢台一中月考】甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以的比分获胜的概率为（）．．．．．【山东二模】箱中装有标号为，，，，，且大小相同的个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是的倍数，则获奖．现有人参与摸奖，恰好有人获奖的概率是．．．．．【江西南昌二中月考】随机变量服从二项分布～，且则等于（）、、、或、．【黑龙江哈六中一模】为了响应国家发展足球的战略，哈市某校在秋季运动会中，安排了足球射门比赛．现有名同学参加足球射门比赛，已知每名同学踢进的概率均为，每名同学有次射门机会，且各同学射门之间没有影响．现规定：踢进两个得分，踢进一个得分，一个未进得分，记为个同学的得分总和，则的数学期望为（）．．．．．【河北石家庄二中开学考试】随机变量服从二项分布～，且则等于（）．．．．．【黑龙江大庆四中期中】设随机变量～（，），η～（，），若，则（η≥）的值为（）．．．．．【甘肃宁夏平罗中学期末】已知随机变量～，若，，则．．【江苏盐城中学段考】设随机变量，，若，则．．【北京朝阳区三模】从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如。
高中二项分布归纳总结
高中二项分布归纳总结
哎呀，二项分布这东西，一开始我真是觉得头都大啦！就好像在黑暗中找路，完全摸不着头脑。
你想想啊，咱们抛硬币，正面朝上或者反面朝上，这是不是很简单？但二项分布就把这种简单的事儿变得复杂起来。
比如说，咱们抛10 次硬币，想知道出现5 次正面朝上的概率是多少。
这时候二项分布就派上用场啦！它能帮咱们算出来。
二项分布里有个n ，还有个p 。
n 就好比咱们抛硬币的次数，p 呢，就是每次抛硬币正面朝上的概率。
那怎么算呢？就好像搭积木一样，一块一块地来。
先确定n 和p ，然后根据公式去算。
老师在讲台上讲得唾沫横飞，我在下面听得云里雾里。
我就想：“这到底是啥呀？怎么这么难理解！”
我旁边的同学也直挠头，小声跟我说：“这也太难了，感觉比登天还难！”
后来，老师举了好多例子，比如抽奖，有多少个奖，每次抽奖中奖的概率是多少，要算抽多少次能中几个奖的概率。
慢慢地，我好像有点开窍了。
原来二项分布就是在算这种类似的事情呀！
再后来，做练习题的时候，一开始我还是错得一塌糊涂。
我就着急呀，“怎么还是不会呢？” 但是我没放弃，不停地问老师，问同学。
终于，我能做出一些题目啦！这感觉，就像在黑暗中走了好久，突然看到了一丝光亮。
你说，学习新知识不就像爬山嘛，一开始觉得山好高好难爬，但是只要坚持，一步一步往上走，总会爬到山顶，看到美丽的风景！
所以啊，我觉得二项分布虽然一开始很难，但只要我们用心学，多练习，就一定能掌握它！。
二项式分布及应用
二项式分布及应用二项式分布及应用1、条件概率及其性质（1）条件概率的定义设A ，B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B|A)=____________为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率。
（2）条件概率的求法求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概率型概率公式，即P(B|A)=____________。
（3）条件概率的性质①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P (B|A)≤1。
②如果B 和C 是两个互斥事件，那么P (B ⋃C|A)=___________。
2、事件的相互独立性（1）设A ，B 为两个事件，如果P (AB )=___________，那么称事件A 与事件B 相互独立。
（2）如果事件A 与B 相互独立，那么___________与___________，___________与___________，___________与___________也相互独立。
思考探究“相互独立”与“事件互斥”有何不同？提示：两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥。
3、二项分布在n 次独立事件重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p , 那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P(X=k )=___________（k=0,1,2,……，n ）.此时称随机变量X 服从二项分布，记作___________，并称___________为成功概率。
夯实双基1、判断下面结论是否正确（打“√”或“×”）。
（1）若事件A ，B 相互独立，则P (B|A)=P(B )。
（2）P (B|A)表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率；P (BA )表示事件A ，B 同时发生的概率，一定有P (AB )=P(A )⋅P (B )。
k k （3）二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P (X=k )=C n p (1-p ) n -k ,k =0,1,2, , n 表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生的次数的概率分布。
(完整版)二项分布、超几何分布、正态分布总结归纳及练习
二项分布与超几何分布辨析二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的．下面举例进行对比辨析． 例 袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求： （1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列； （2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列． 解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则1~35X B ⎛⎫⎪⎝⎭，．3031464(0)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴；12131448(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；21231412(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；333141(3)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因此，X 的分布列为2．不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为0，1，2，且有：03283107(0)15C C P Y C ===；12283107(1)15C C P Y C ===；21283101(2)15C C PY C ===．因此，Y 的分布列为辨析：通过此例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的．超几何分布和二项分布都是离散型分布超几何分布和二项分布的区别：超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； 超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复） 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布二项分布、超几何分布、正态分布一、选择题1．设随机变量ξ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (ξ＝3)的值为( ) A.516 B.316 C.58 D.7162．设随机变量ξ ～ B (2，p )，随机变量η ～ B (3，p )，若P (ξ ≥1) ＝59，则P (η≥1) ＝( )A.13B.59C.827D.19273．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P (ξ＝12)＝( )A ．C 1012⎝⎛⎭⎫3810·⎝⎛⎭⎫582B ．C 911⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫582·38C ．C 911⎝⎛⎭⎫589·⎝⎛⎭⎫382D ．C 911⎝⎛⎭⎫389·⎝⎛⎭⎫582 4．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( )A ．[0.4,1)B ．(0,0.6]C ．(0,0.4]D ．[0.6,1)5．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ＜0)＝( ) A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84 二、填空题6．某篮运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率________．(用数值作答) 答案：151287．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出两个球，设其中有X 个红球，则X 的分布列为________．8.某厂生产的圆柱形零件的外径ε1000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7 cm.则该厂生产的这批零件是否合格________． 答案：不合格三、解答题9．一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A 类、B 类、C 类．检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有C 类产品或2件都是B 类产品，就需要调整设备，否则不需要调整．已知该生产线上生产的每件产品为A 类品，B 类品和C 类品的概率分别为0.9,0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响．(1)求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；(2)若检验员一天抽检3次，以ξ表示一天中需要调整设备的次数，求ξ的分布列．10.甲、乙两人参加2010年广州亚运会青年志愿者的选拔．打算采用现场答题的方式来进行，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．(1)求甲答对试题数ξ的概率分布； (2)求甲、乙两人至少有一人入选的概率．参考答案1、解析：P (ξ＝3)＝C 36⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫1－123＝516. 答案：A2、解析：∵P (ξ≥1) ＝2p (1－p )＋p 2＝59， ∴p ＝13 ，∴P (η≥1) ＝C 13⎝⎛⎭⎫13⎝⎛⎭⎫232＋C 23⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫23＋C 33⎝⎛⎭⎫133＝1927，故选D.3、解析：P (ξ＝12)表示第12次为红球，前11次中有9次为红球，从而P (ξ＝12)＝C 911·⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫582×38. 答案：B4、解析：C14p (1－p )3≤C24p 2(1－p )2，即2(1－p )≤3p ，∴p ≥0.4.又∵p <1，∴0.4≤p <15、解析：∵P (ξ≤4)＝0.84，μ＝2，∴P (ξ＜0)＝P (ξ＞4)＝1－0.84＝0.16.故选A.6、解析：由题意知所求概率P ＝C 310⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫127＝15128. 7、解析：这是超几何分布，P (X ＝0)＝C 03C 22C 25＝0.1；P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝0.6; P (X ＝2)＝C 23C 02C 25＝0.3，分布列如下表：8、解析：根据3σ原则，在4－3×0.5＝2.5~4＋3×0.5＝5.5之外为异常，所以这批零件不合格． 9、解析：(1)设A i 表示事件“在一次抽检中抽到的第i 件产品为A 类品”，i ＝1,2. B i 表示事件“在一次抽检中抽到的第i 件产品为B 类品”，i ＝1,2. C 表示事件“一次抽检后，设备不需要调整”． 则C ＝A 1·A 2＋A 1·B 2＋B 1·A 2.由已知P (A i )＝0.9，P (B i )＝0.05 i ＝1,2. 所以，所求的概率为P (C )＝P (A 1·A 2)＋P (A 1·B 2)＋P (B 1·A 2) ＝0.92＋2×0.9×0.05＝0.9.(2)由(1)知一次抽检后，设备需要调整的概率为p ＝P (C )＝1－0.9＝0.1，依题意知ξ～B (3,0.1)，ξ的分布列为10、解析：(1)P (ξ＝0)＝C 34C 310＝130，P (ξ＝1)＝C 16·C 24C 310＝310，P (ξ＝2)＝C 26·C 14C 310＝12，P (ξ＝3)＝C 36C 310＝16，其分布列如下：(2)法一：设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则P (A )＝C 26C 14＋C 36C 310＝60＋20120＝23， P (B )＝C 28C 12＋C 38C 310＝56＋56120＝1415.因为事件A 、B 相互独立，∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 P()A ·B ＝P ()A ·P ()B ＝⎝⎛⎭⎫1－23⎝⎛⎭⎫1－1415＝145， ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P ＝1－P()A ·B ＝1－145＝4445.答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445.法二：甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为 P ＝P ()A ·B＋P ()A ·B ＋P ()A ·B ＝23×115＋13×1415＋23×1415＝4445. 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445。
6(第三章)二项分布及其应用.
各种生存死亡排列、组合的概率
小鼠生死组合 排列方式 死亡数 生存数 甲 乙 丙
每种排列 的概率
0
3 √ √ √ 0.2 × 0.2 × 0.2
1
2 × √ √ 0.8 × 0.2 × 0.2
H0: π1=π2 H1: π1≠π2
α(80+85)=0.2182
u
0.2875 0.1529
2.092
0.2182
1
0.2182
1 80
1 85
查u界值表，得 0.01<P<0.05，拒绝H0，接受H1， 可认为男女生感染率不同，男生高于女生
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
n=20 pi=0.5
π≠0.5分布偏态
0.4 0.3 0.2 0.1
0 0
1
2
3
4
n=5 pi=0.3
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P<0.01，拒绝H0，接受H1，可认为老年患者与 一般患者不同，更易有出血症状
②两样本率比较的u检验
u
p1 p2
pc
(1
p
c
)( 1 n1
1 n2
)
pc
X1 X2 n1 n2
例 某山区小学男生80人，其中肺吸虫感染23人，感 染 率 为 28.75%, 女 生 85 人 感 染 13 人 , 感 染 率 为 15.29%,问男女生的肺吸虫感染率有无差别?
二项分布考点与题型归纳
二项分布考点与题型归纳什么是二项分布？
二项分布是指在 n 次独立重复的试验中，每次试验的结果只有两种可能：成功或失败。
每次试验成功的概率为 p，失败的概率为q=1-p。
那么，在这 n 次试验中恰好出现 k 次成功的概率就符合二项分布。
即
$$ P(k)=C_n^kp^kq^{n-k} $$
考点归纳
- 二项分布的定义
- 二项分布概率公式及其中的符号含义
- 二项分布的期望和方差
- 二项分布与泊松分布的关系
题型归纳
基础题型
1. 概率求解：已知 n，p，k，求 P(k)。
2. 概率求解：已知 n，p，P(k)，求 k 的取值范围。
3. 概率求解：已知 n，p，P(k)，求至少/至多/不少于 k 次成功的概率。
进阶题型
1. 均值和方差求解：已知 n，p，求二项分布的期望和方差。
2. 泊松分布的逼近：当试验次数 n 较大，p 较小，np 保持一定时，用泊松分布近似描述二项分布。
3. 综合运用：结合二项分布和正态分布，求某经验数据满足条件的概率。
课外拓展
1. 贝尔分布：n 次实验中，成功次数的存在范围为 [0, n]，可以用贝尔分布来描述其概率分布。
2. 伯努利分布：二项分布的特例，n=1，只进行一次实验的情况。
二项分布及其应用
因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是551112.
思维升 华
独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略 (1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n 和k的值，再准确利用公式求概率. (2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与 事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率
的概率为____8____. 答 解
案析
灯泡甲亮满足的条件是a，c两个开关都开，b开关必须断开，否则短路. 设“a闭合”为事件A，“b闭合”为事件B，“c闭合”为事件C，
则甲灯亮应为事件AC，且A，B，C之间彼此独立， 且 P(A)＝P(B)＝P(C)＝12，由独立事件概率公式知 P(A B C)＝P(A)P( B )P(C)
4.甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率
是14.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为
答 案
解 析
3
2
4
7
√A.4
B.3
C.5
D.10
5.(2017·南昌质检)设随机变量 X 服从二项分布 X～B(5，21)，则函数 f(x)
＝x2＋4x＋X 存在零点的概率是 答
后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不
超过120分钟的概率. 解
答
思维升 华
求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)首先判断几个事件的发生是否相互独立. (2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有： ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解； ②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算.
二项分布的教研活动小结(3篇)
第1篇一、活动背景二项分布是概率论与数理统计中的一个重要概念，广泛应用于生物学、医学、社会科学等领域。
为了提高教师对二项分布的理解和应用能力，促进教学质量提升，我校数学教研组于近期组织开展了二项分布教研活动。
本次活动旨在通过讲座、研讨、案例分析等形式，帮助教师深入理解二项分布的概念、性质及其在实际问题中的应用。
二、活动内容1. 二项分布概念及性质讲座本次活动首先由数学教研组长进行了二项分布概念及性质的讲座。
讲座内容包括：（1）二项分布的定义：在一定次数的独立试验中，每次试验只有两种可能的结果，且每种结果发生的概率固定，则该试验结果的概率分布称为二项分布。
（2）二项分布的性质：二项分布的随机变量X服从参数为n和p的二项分布，记为X～B(n, p)。
其期望E(X)和方差D(X)分别为E(X)=np和D(X)=np(1-p)。
（3）二项分布的概率计算：利用二项分布的概率质量函数和累积分布函数进行概率计算。
2. 二项分布案例分析讲座结束后，教研组组织教师进行案例分析，旨在提高教师在实际问题中运用二项分布解决问题的能力。
案例分析主要包括以下内容：（1）生物学领域：某植物繁殖过程中，每株植物繁殖后代数的概率分布符合二项分布。
已知该植物繁殖后代数的概率为0.6，求繁殖5个后代的概率。
（2）医学领域：某药物对某疾病的治愈率为0.8，现在随机抽取10个患者服用该药物，求治愈患者不少于8个的概率。
（3）社会科学领域：某城市市民乘坐地铁出行的概率为0.7，随机抽取20名市民，求乘坐地铁出行的市民不少于15名的概率。
3. 教师研讨案例分析结束后，教师们就二项分布在实际问题中的应用进行了深入研讨。
研讨内容包括：（1）如何将二项分布应用于实际问题的解决？（2）在实际问题中，如何判断某个随机变量是否服从二项分布？（3）如何利用二项分布进行概率计算？三、活动成果1. 教师对二项分布的概念、性质及其应用有了更深入的理解。
2. 教师能够熟练运用二项分布的概率质量函数和累积分布函数进行概率计算。
专题：二项分布及其应用.doc
专题：二项分布及其应用1． 条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号P (B |A )来表示，其公式为P (B |A )＝P (AB )P (A )(P (A )>0)． 在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则P (B |A )＝n (AB )n (A ). (2)条件概率具有的性质：①0≤P (B |A )≤1；②如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )．2． 相互独立事件(1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 是相互独立事件．(2)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )，P (AB )＝P (B |A )P (A )＝P (A )P (B )．(3)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．(4)若P (AB )＝P (A )P (B )，则A 与B 相互独立．3． 二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有__两__种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k (k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．1. 如图所示的电路，有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率都是12， 且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为_______________．2． 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．3． 某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．—⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪—元件1——元件2——元件3— 4． 把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则P (B |A )等于( ) A.12 B.14 C.16 D.185． 如果X ～B ⎝⎛⎭⎫15，14，则使P (X ＝k )取最大值的k 值为 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．3或4题型一 条件概率例1 在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率为________．如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则(1)P (A )＝________；(2)P (B |A )＝________.题型二 相互独立事件的概率例2 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116. (1)求乙投球的命中率p ；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率；(3)若甲、乙两人各投球2次，求共命中2次的概率．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)．题型三 独立重复试验与二项分布例3 某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后第2位)(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记X 为3人中参加过培训的人数，求X 的分布列．典例：一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13. (1)设X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X 的分布列； (2)设Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y 的分布列．A 组 专项基础训练一、选择题1． 从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( ) A.18 B.14 C.25D.12 2． 如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为 ( )A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.5763． 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.12B.35C.23D.344． 已知随机变量X 服从二项分布X ～B (6，13)，则P (X ＝2)等于 ( ) A.1316B.4243C.13243D.80243二、填空题 5． 明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．6． 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________．7． 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是________．三、解答题8． 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．9． 某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是13. (1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率； (2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率．B 组 专项能力提升一、选择题1． 某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.6，使用寿命超过2年的概率为0.3，则使用寿命超过1年的元件还能继续使用的概率为( ) A ．0.3 B ．0.5 C ．0.6 D ．12． 位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是 ( )A.⎝⎛⎭⎫125 B ．C 25⎝⎛⎭⎫12 5 C ．C 35⎝⎛⎭⎫123 D ．C 25C 35⎝⎛⎭⎫125 3． 两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.12B.512C.14D.16二、填空题4. 在一段线路中并联两个自动控制的常用开关，只要其中有一个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，则这段时间内线路正常工作的概率为_______．5. 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为________．6． 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立；④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．三、解答题7． 某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定，他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张，投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，他们的投票相互没有影响，规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目的投资．(1)求该公司决定对该项目投资的概率；(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率．P (C )＋P (D )＝1327.。
随机变量及其分布--二项分布及其应用
二项分布及其应用知识点一、条件概率1.一般的，设A,B 为两个事件，且0)(>A P ，则称)()()|(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率。
)|(A B P 读作：A 发生的条件下B 发生的概率。
2.条件概率的性质： （1）1)|(0≤≤A B P ；（2）必然事件的条件概率为1；不可能事件的条件概率为0. （3）若事件B 与C 互斥，)|()|()|(A C P A B P A C B P += 二、相互独立事件1.设A ，B 为两个事件，若)()()(B P A P AB P =，则称事件A 与事件B 相互独立。
2.条件概率的性质：（1）若事件A 与B 相互独立，则)()|(B P A B P =，)()|(A P B A P =，)()()(B P A P AB P =。
（2）如果事件A 与B 相互独立，则A 与B 、A 与B 、A 与B 三、独立重复试验与二项分布 1.独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验。
2.二项分布：一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则n k p p C k X P k n kk n ,,2,1,0,)1()( =-==-。
此时称随机变量X 服从二项分布，记作),(~p n B X题型一 条件概率【例1】已知P (B |A )＝13，P (A )＝25，则P (AB )等于( )A.56B.910C.215D.115【例2】抛掷一枚质地均匀的骰子所得点数的样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，令事件A ＝{2,3,5}，B ＝{1,2,4,5,6}，则P (A |B )等于 ( ) A.25 B.12 C.35D.45【例3】任意向x 轴上(0,1)这一区间内掷一个点，问： (1)该点落在区间⎝⎛⎭⎫0，13内的概率是多少？ (2)在(1)的条件下，求该点落在⎝⎛⎭⎫15，1内的概率．【过关练习】1.电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关．某品牌的电视机的显像管开关了10 000次后还能继续使用的概率是0.80，开关了1 5 000次后还能继续使用的概率是0.60，则已经开关了10 000次的电视机显像管还能继续使用到15 000次的概率是( ) A ．0.75 B ．0.60 C ．0.48D ．0.202.设A ，B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为310，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为12，则事件A 发生的概率为________． 3.如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P (B |A )＝________.4.盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次摸出新的条件下，第二次也取到新球的概率为( ) A.35 B.110 C.59D.255.设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x 2＋bx ＋c ＝0实根的个数(重根按一个计)．求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率．题型二 独立事件的概率【例1】把标有1,2的两张卡片随机地分给甲、乙；把标有3,4的两张卡片随机地分给丙、丁，每人一张，事件“甲得1号纸片”与“丙得4号纸片”是( ) A ．互斥但非对立事件 B ．对立事件 C ．相互独立事件D ．以上答案都不对【例2】在如图所示的电路图中，开关a ，b ，c 闭合与断开的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A.18B.38C.14D.78【例3】甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为12和13，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是( ) A.13 B.23 C.12D ．1【例4】某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级 摸出红、蓝球个数获奖金额 一等奖 3红1蓝 200元 二等奖 3红0蓝 50元 三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级． (1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率； (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列．【过关练习】1.设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( ) A.29 B.118 C.13 D.232.某条道路的A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内平均开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是________．3.某天上午，李明要参加“青年文明号”活动．为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．4.如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是________．5.从一副除去大小王的扑克牌(52张)中任取一张，设事件A 为“抽得K ”，事件B 为“抽得红牌”，事件A 与B 是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？题型三 二项分布及其应用【例1】某一试验中事件A 发生的概率为p ，则在n 次独立重复试验中，A 发生k 次的概率为( ) A ．1－p k B ．(1－p )k p n －kC ．(1－p )kD ．C k n (1－p )k pn －k【例2】甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是( ) A ．0.216 B ．0.36 C ．0.432D ．0.648【例3】若随机变量ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，则P (ξ＝k )最大时，k 的值为( ) A ．5 B ．1或2 C ．2或3D ．3或4【例4】甲、乙两人各射击一次击中目标的概率分别是23和34，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，每次射击是否击中目标，相互之间也没有影响． (1)求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率．【过关练习】1.一个学生通过某种英语听力测试的概率是12，他连续测试n 次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n 的最小值为( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．32.连续掷一枚硬币5次，恰好有3次正面向上的概率为________．4.甲、乙两人投篮命中的概率分别为p 、q ，他们各投两次，若p ＝12，且甲比乙投中次数多的概率恰好等于736，则q 的值为________．5.某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是14，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？(结果保留两位有效数字)课后练习【补救练习】1.为考察某种药物预防疾病的效果，科研人员进行了动物试验，结果如下表：A.35B.37C.911D.11152.某种动物活到20岁的概率是0.8，活到25岁的概率是0.4，则现龄20岁的这种动物活到25岁的概率是( ) A ．0.32 B ．0.5 C ．0.4D ．0.83.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.12 B.512 C.14D.164.某人参加一次考试，4道题中答对3道为及格，已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率约为( ) A ．0.18 B ．0.28 C ．0.37D ．0.485.甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球．从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为________．【巩固练习】1.分别用集合M ＝{}2，4，5，6，7，8，11，12中的任意两个元素作分子与分母构成真分数，已知取出的一个元素是12，则取出的另一个元素与之构成可约分数的概率是( ) A.712 B.512 C.47D.1122.国庆节放假，甲，乙，丙去北京旅游的概率分别为13，14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( ) A.5960 B.35 C.12D.1603.从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12且从两个袋中摸球相互之间不受影响，从两袋中各摸出一个球，则23等于( )A ．2个球不都是红球的概率B ．2个球都是红球的概率C ．至少有1个红球的概率D ．2个球中恰有1个红球的概率4.从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放在验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为________．5.设某种动物能活到20岁的概率为0.8，能活到25岁的概率为0.4，现有一只20岁的这种动物，问它能活到25岁的概率是多少？6.从编号为1,2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，已知选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________．7.1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是________．8.设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05.甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125.则求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为________，________，________.9.甲、乙、丙三人在同一办公室工作，办公室内只有一部电话机，经该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率分别是12，14，14，在一段时间内共打进三个电话，且各个电话之间相互独立，则这三个电话中恰有两个是打给乙的概率是________．10.在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是________．11.某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为45，乙当选的概率为35，丙当选的概率为710.(1)求恰有一名同学当选的概率； (2)求至多有两人当选的概率．12.某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2 min.(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率． (2)这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min 的概率．【拔高练习】1．10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，直到第n 次才取得k (k ≤n )次红球的概率为( ) A ．(110)2(910)n －kB ．(110)k (910)n －kC ．C k －1n －1(110)k (910)n －kD ．C k －1n －1(110)k －1(910)n －k2．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率是( )A ．(12)5B ．C 25(12)5C ．C 35(12)3D ．C 25C 35(12)53.在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，考生能答对其中的4道题即可通过；能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中的10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．4.某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案： 方案一：考三门课程至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为0.5，0.6,0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．(1)求该应聘者用方案一通过的概率； (2)求该应聘者用方案二通过的概率．5.口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列{}a n ：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1， 第n 次摸到红球，1， 第n 次摸到白球，如果S n 为数列{}a n 的前n 项和，求S 7＝3的概率．。
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二项分布专题训练
一．选择题
1．甲、乙两人独立地解同一问题，甲能解决这个问题的概率是1p ，乙能解决这个问题的概率是2p ，那么其中至少有1人能解决这个问题的概率是 （ D ）
A ．21p p +；
B ．21p p ⋅；
C ．211p p ⋅-；
D ．121(1)(1)p p ---.
2．在一个盒子中有大小相同的10个球，其中6个红球，4个白球，两人无放回地各取一个球，则在第一个人摸出红球的条件下，第二个人也摸出红球的概率是 （ A ）
A ．13；
B ．23；
C ．49；
D ．59
. 【解析】设“第一个人摸出红球”为事件A ，“第二个人摸出红球”为事件B ，则()11692105490
C C P A A ⋅==，()11652103090
C C P AB A ⋅==，则()()()5|9P AB P B A P A ==。
3．两个独立事件1A 和2A 发生的概率分别为1p 和2p ，则有且只有一个发生的概率为 .()()122111p p p p -+-
4． (04年重庆) 甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5，计算： ⑴三人各向目标射击一次，求恰有两人命中目标及至少有一人命中目标的概率；
⑵若甲连续射击三次，求他恰好一次命中的概率.
解：⑴设i A (3,2,1=i )表示事件“第i 人命中目标”，显然1A 、2A 、3A 相互独立，且7.0)(1=A P ，6.0)(2=A P ，5.0)(3=A P .
三人中恰有两人命中目标的概率为
44.0)(321321321=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅A A A A A A A A A P .
三人中恰有至少有一人命中目标的概率为
94.0)(1321=⋅⋅-A A A P .
⑵设k A 表示“甲在第k 次命中目标”，3,2,1=k .显然1A 、2A 、3A 相互独立，且7.0)()()(321===A P A P A P .
甲连续射击三次，恰好一次命中的概率为
203.0)(321321321=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅A A A A A A A A A P .
5．已知在10只晶体管中有2只次品，从中连续抽取两件，且取出的产品不再放回，求下列事件的概率.
⑴两只都是正品； ⑵两只都是次品.
解：设事件i A （1,2i =）表示第i 次取到正品，则i A 表示第i 次取到次品.
依题意，()1810P A =，()217|9P A A =，()1210P A =，()
211|9P A A =. ⑴12A A 表示第1次，第2次都取到正品，即表示两只都是正品，根据乘法公式
()()()1212128|45P A A P A P A A ==
. ⑵()()()121211|45
P A A P A P A A ==. 另解：本题也可利用古典概型来解决.
点评：本题中由于是两个都是正(次)品，由于是连续抽取且抽后不放回，故与条件概率有关.
6．（04年福建·理）甲、乙两人参加一次英语口试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6道，乙能答对其中的8道，规定每次考试都从备选题中随机地抽出3道，至少答对2道才算合格.
⑴求甲答对试题数X 的概率分布分布；
⑵求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.
解：⑴依题意，甲答对题数X 的概率分布如下：
⑵方法1：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
()P P A B A B A B =⋅+⋅+⋅()()()P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅
211142144431531531545
=⨯+⨯+⨯=. 方法2：∵甲、乙两人考试均不合格的概率为1()()()45P A B P A P B ⋅=⋅=
， ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为441()45
P P A B =-⋅=. 7．（07年天津·文科）已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
解：（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件B ．由于事件A B ，相互独立，且
2327C 1()C 7P A ==，2329C 5()C 18
P B ==， 故取出的4个球均为红球的概率是
155()()()718126
P A B P A P B ==⨯=g g ． （Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个红球为黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件D ．由于事件C D ，互斥，且
1123442279C C C 2()C C 21P C ==g ，1125242275C C C 10()C C 63
P D ==g ． 故取出的4个红球中恰有4个红球的概率为
21016()()()216363
P C D P C P D +=+=+=． 8．（01年天津）如图，用A 、B 、C 三个不同的元件联结成两个电子系统（Ⅰ）、（Ⅱ）。
当元件A 、B 、C 都正常工作时，系统（Ⅰ）正常工作；当元件A 正常工作且B 、C 至少有一个正常工作时，系统（Ⅱ）正常工作。
已知元件A 、B 、C 正常工件的概率依次为0.80、0.90、0.90，分别求系统（Ⅰ）、（Ⅱ）正常工作概率1P 、2P ，并说明哪个系统的稳定性好.
解：分别记元件A 、B 、C 正常工作为事件A 、B 、C ，
由已知()0.80P A =，()()0.90P B P C ==，则：
⑴因为事件A 、B 、C 是相互独立的，所以系统（Ⅰ）正常工作的概率为
1()()()()0.648P P A B C P A P B P C =⋅⋅=⋅⋅=。
⑵因为元件A 正常工作与元件B 、C 至少有一个正常工作是相互独立的，而B 、C 没有一个正常工作的概率为()P B C ⋅，于是B 、C 至少有一个人正常工作的概率为1()()0.99P B P C -⋅=， ∴系统（Ⅱ）正常工作概率2()[1()]0.792P P A P B C =⋅-⋅=。
（Ⅰ）
（或()()()()0.99P B C P B P C P B C +=+-⋅=）。