《弹性力学》第六章 温度应力问题的基本解法
弹性力学知识点总结
弹性力学知识点总结弹性力学是固体力学的重要分支，主要研究弹性体在外界因素作用下产生的应力、应变和位移。
以下是对弹性力学主要知识点的总结。
一、基本假设1、连续性假设：假定物体是连续的，不存在空隙。
2、均匀性假设：物体内各点的物理性质相同。
3、各向同性假设：物体在各个方向上的物理性质相同。
4、完全弹性假设：当外力去除后，物体能完全恢复到原来的形状和尺寸，不存在残余变形。
5、小变形假设：变形量相对于物体的原始尺寸非常小，可以忽略高阶微量。
二、应力分析1、应力的定义：应力是单位面积上的内力。
2、应力分量：在直角坐标系下，有 9 个应力分量，分别为正应力（σx、σy、σz）和剪应力（τxy、τyx、τxz、τzx、τyz、τzy）。
3、平衡微分方程：根据物体的平衡条件，可以得到应力分量之间的关系。
三、应变分析1、应变的定义：应变是物体在受力后的变形程度。
2、应变分量：包括线应变（εx、εy、εz）和剪应变（γxy、γyx、γxz、γzx、γyz、γzy）。
3、几何方程：描述了应变分量与位移分量之间的关系。
四、位移与变形的关系位移是指物体内各点位置的变化。
通过位移可以导出应变，从而建立起位移与变形之间的联系。
五、物理方程物理方程也称为本构方程，它描述了应力与应变之间的关系。
对于各向同性的线弹性材料，物理方程可以表示为应力与应变之间的线性关系。
六、平面问题1、平面应力问题：薄板在平行于板面且沿板厚均匀分布的外力作用下，板面上无外力作用，此时应力分量只有σx、σy、τxy。
2、平面应变问题：长柱体在与长度方向垂直的平面内受到外力作用，且沿长度方向的位移为零，此时应变分量只有εx、εy、γxy。
七、极坐标下的弹性力学问题在一些具有轴对称的问题中，采用极坐标更为方便。
极坐标下的应力、应变和位移分量与直角坐标有所不同，需要相应的转换公式。
八、能量原理1、应变能：物体在变形过程中储存的能量。
2、虚功原理：外力在虚位移上所做的虚功等于内力在虚应变上所做的虚功。
弹塑性力学第六章
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§6-3 平面问题的基本解法
当体力为常数或体力为零时，两个平面问题 的相容方程一致
2(x+y ) = 0
(x+y )为调合函数，与弹性系数无关，不
管是平面应力（应变）问题，也不管材料如何， 只要方程一致，应力解一致，有利实验。
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§6-3 平面问题的基本解法
3.2 应力函数解法 当体力为常量或为零时，按应力法解的
第六章 弹性力学平面问题的直 坐标系解答
§6-1平面问题的分类 §6-2平面问题的基本方程和边界条件 §6-3平面问题的基本解法 §6-4多项式应力函数运用举例
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第六章 弹性力学平面问题的直 坐标系解答
在第五章讨论了弹性力学问题的基本解法： 位移法和应力法，并结合简单的三维问题， 根据问题的特点，猜想问题的应力解或位移 解，并验证猜想的解是否满足应力法或位移 法的基本方程和边界条件，满足则为问题真 解。
1.1 平面应力问题
受力和约束特点：沿厚度（x3方向）均匀分
布，体力 f3 = fz = 0 , 面力 X 板表面无面力，坐标系（x1 ,
3 x2
Z ,
0 ，在薄
x3）放在板
厚中间平面——中平面，以z(或x3）轴垂直板
面。满足上述条件的问题称为平面应力问题
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§6-1平面问题的分类
最后应力分量解为其特解加通解：
x
y2
fx x,
y
x2
fy
y,
xy
2 xy
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弹塑性力学第6章—弹塑性力学问题的建立与基本解法
6.3 塑性力学基本方程与边界条件
6.3.2 塑性力学问题的基本解法
对应于增量理论和全量理论，塑性力学问题采用不同的解法。
全量理论中塑性力学问题的提法：
已知作用于物体上的体力、边界面力（给定力边界上）、 边界位移增量（给定位移边界上）的加载历史，求解某一时刻 物体的应力场、应变场、位移场。
全量理论对应的解法：
θ = εx + ε y + εz
2 2 2 ∂ ∂ ∂ 2 ， ∇ = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
6.2 弹性力学问题的基本解法
位移法：
上述位移法平衡方程表示为张量形式为
(λ + μ )u j , ji + μui, jj + fi = 0
位移法平衡方程的推导包含了平衡方程、几何方程和本构 方程的信息，求解时只需补充边界条件。 当边界条件为给定位移时，可以直接使用；当边界条件为 给定面力时，则可通过广义胡克定律和几何关系，将其中的 应力用位移来表示。
增量理论
e dε ij = dε ij + dε ijp
e ij
1 dε ij = ( dui , j + du j ,i ) 2
3v 其中弹性应变增量 dε = − dσ mδ ij 2G E
塑性应变增量 dε ijp = dλ
dσ ij
∂ϕ 3dε p , dλ = ∂σ ij 2σ s
6.3 塑性力学基本方程与边界条件
用张量公式表示为
1 ε ij = (ui , j + u j ,i ) 2
此外还可补充6个应变协调方程
6.1 弹性力学基本方程与边界条件
弹性力学基本方程
本构方程：
弹性力学热应力
x
(12)
为用位移分量和变温T表示的应力分量公式。 又平面平衡微分方程为：
ji, j Fbi 0
(13)
在此体力为零，
将式（13）代入（12）并化简得：
2u 1 2u 1 2 v T (1 ) 0 2 2 x 2 y 2 xy x
u' x
v' y
u.’v’为微分方程的特解。
代入微分方程（14）并化简得：
3 3 T (1 ) x 3 xy 2 x
3 3 T (1 ) x y 3 yx 2
即为
2 2 T ( 2 2 ) (1 ) x x x y
'' xy
E v '' u '' ( ) 2(1 ) x y
从而得总的位移分量： u = u’+ u’’ v = v’+ v’’ 并满足位移边界条件。
总的应力分量： ' ' x x x'
' ' y y y'
' '' xy xy xy
一
基本概念
1.温度场 在同一时间，物体内各点处温度值 的总体。一般说来，温度场是位移和时间的函数。
即
T=T（x,y,z,t）
若T=T（x,y,z），即温度场不随时间的变化而变化， 称为稳定温度场。
若T=T（x,y,t），即温度随时间和平面内的两位置 坐标变化而变化，称为平面温度场。 2. 等温面 任一瞬间，同一温度场内温度相同 的各点之间的连线，构成等温面，沿等温面移动， 温度不变；沿等温面的法线方向移动，温度的变化 率最快。 3. 温度梯度 沿着等温面的法线方向，指向温 度增大的方向，其大小等于 ，取沿等温面法线方向 的单位矢量为n0。则
传热与热应力问题
传热与热应力问题引言传热与热应力问题是热力学和材料科学领域的重要研究方向之一。
热传导是指物质内部由高温区向低温区传递热量的过程，而热应力则是由于温度梯度引起的物体内部的应力分布。
在工程实践中，传热与热应力问题对于材料的选择、结构设计和工艺优化具有重要影响。
本文将从传热和热应力的基本概念、传热机制、热应力的产生机理以及相关解决方法等方面进行详细介绍。
传热机制传热机制主要包括热传导、对流传热和辐射传热。
热传导是指热量通过物质内部的分子传递。
对流传热是指热量通过流体的对流传递，其中包括自然对流和强制对流两种形式。
辐射传热是指热量通过电磁辐射的方式传递，不需要介质的存在。
热传导是最常见的传热方式，其传热速率可以通过傅里叶热传导定律描述。
傅里叶热传导定律表明，热流密度与温度梯度成正比，与物质的导热系数成反比。
对于均匀材料，热传导可以通过导热系数、温度梯度和传热面积来计算。
对流传热是在流体介质中传递热量的过程，其传热速率可以通过牛顿冷却定律描述。
牛顿冷却定律表明，传热速率与温差和传热面积成正比，与流体的传热系数成正比。
对于自然对流，流体的传热系数可以通过格拉瑟数来计算；对于强制对流，流体的传热系数可以通过雷诺数和普朗特数来计算。
辐射传热是通过电磁辐射的方式传递热量的过程，其传热速率可以通过斯特藩-玻尔兹曼定律描述。
斯特藩-玻尔兹曼定律表明，辐射传热速率与物体的表面温度的四次方成正比，与物体的表面发射率成正比。
辐射传热在高温条件下起主导作用，是太阳能利用、高温热处理等领域的重要研究内容。
热应力的产生机理热应力是由于温度梯度引起的物体内部的应力分布。
当物体的温度发生变化时，由于不同部分的热膨胀系数不同，就会产生内部的应力。
热应力的产生机理可以通过热弹性力学和热塑性力学来描述。
热弹性力学是研究材料在温度变化下的弹性行为的学科。
根据胡克定律，弹性体的应力与应变成正比，比例系数为弹性模量。
当材料受到温度变化的影响时，其体积或尺寸也会发生变化，从而引起应力的产生。
弹性力学6
第六章 温度应力的平面问题当弹性体的温度有所改变时，它的每一部分一般都将由于温度的升高或降低而产生膨胀或收缩。
但是由于弹性体所受到的约束，以及各个部分之间的相互约束，这种膨胀或收缩并不能自由地发生，于是就产生了应力——变温应力，或称为温度应力。
该应力是由于变温引起的，一定的变温才相应于一定的应力。
为了决定弹性体内的温度应力，须1）确定弹性体内的变温，按照热传导理论，根据弹性体的热学性质、内部热源、初始条件与边界条件，计算弹性体内各点的瞬时温度，即决定温度场，而前后两个温度场之差就是弹性体的变温；2）按照“热弹性力学”，根据弹性体的变温求出体内各点的温度应力，即决定应力场。
6.1关于温度场与热传导的一些概念热传导：热量从物体的一部分传递到另一部分，或从一个物体传入与之接触的另一个物体。
在热传导理论中，与弹性力学中一样，不考虑物质的微粒构造，而将物体当作连续介质。
一般，热传导过程中，物体内的各点的温度随着各点的位置不同和时间的经过而变化，因而温度T是位置坐标和时间t的函数TxT= (6.1)),,,(t zy在任一瞬时，所有各点的温度值的总体，称为温度场。
一个温度场，如果它的温度随时间而变，称为非定常温度场；相反地，如果不随时间变化，称为定常温度场。
在定常温度场中，温度只是位置坐标的函数，即zyTT (6.2)T=tx,),∂,(=∂如果温度场的温度随着三个位置坐标而变，就称为空间温度场或三维温度场；如果温度只随平面内的两个位置坐标而变，就称为平面温度场，数学表述是tTyxT=zT (6.3),),,(=∂∂而平面定常温度场的数学表述为0,0),,(=∂=∂∂=t T z T y x T T (6.3)在任一瞬时，连接场内温度相同的各点，就得到这一瞬时的一个等温面，如图6-1所示，虚线表示温度相差为T Δ的一些等温面。
x图6-1 等温面显然，沿着等温面，温度不变；沿着其他方向，温度都有变化，沿着等温面的法线方向，温度的变化率最大。
理论力学中的弹性力学与材料应力分析与设计案例分析
理论力学中的弹性力学与材料应力分析与设计案例分析弹性力学是力学中的一个重要分支，涉及弹性体的变形和应力响应。
在工程设计和材料分析中，正确理解和应用弹性力学理论非常关键。
本文将首先介绍弹性力学的基本原理和公式，并随后分析一个实际案例来展示如何使用弹性力学理论进行材料应力分析和设计。
一、弹性力学基本原理弹性力学研究的对象是处于弹性变形范围内的固体材料。
主要涉及的参数有应力、应变、模量等。
1. 应力（Stress）应力是指单位面积上的力，常用符号为σ。
根据弹性理论，应力与应变之间存在线性关系。
应力可以分为各向同性应力和各向异性应力。
2. 应变（Strain）应变是指物体的形变程度，常用符号为ε。
在弹性变形情况下，应变与应力之间存在线性关系。
3. 模量（Modulus）模量是描述与应力应变相关性的物理量。
常见的模量有弹性模量、剪切模量和泊松比。
弹性模量表示物体在受压缩或拉伸时的应力和应变关系，通常用符号E表示。
二、材料应力分析案例假设我们的案例是设计一个弹簧，需要分析材料的应力分布并进行设计验证。
1. 材料力学性质分析首先，我们需要获取材料的力学性质参数。
假设使用的材料是钢，具有已知的弹性模量E和屈服应力σy。
2. 弹簧设计与力学分析根据设计要求和材料的力学性质，我们可以计算出合适的弹簧长度、直径和线径。
接下来，我们进行力学分析，包括弹簧的应力和位移。
应力分析：根据弹性力学理论，弹簧的应力可以通过应变和材料的模量来计算。
假设弹簧在工作状态下产生的应变为ε，那么应力可以用以下公式计算：σ = E · ε。
位移分析：弹簧在受力时会发生弹性变形，根据胡克定律，弹簧的位移与力和弹簧刚度相关。
位移可以通过以下公式计算：δ = F / k，其中F为受力，k为弹簧刚度。
3. 弹簧设计验证通过以上的力学分析，我们可以得到弹簧的应力和位移。
我们需要验证这些结果是否满足设计要求和材料的承载能力。
比如，我们可以将应力与材料的屈服应力进行比较，确保不会出现超出材料极限造成破裂的情况。
弹性力学问题的基本解法
求得
其中
u v w x y z
w v u x 2G , yz G x y z v u w y 2G , xz G y z x v u w z 2G , xy G解法
w v u x 2G , yz G x y z v u w y 2G , xz G y z x v u w z 2G , xy G z x y
公式a
代入
x yx zx 2u Fx 0( 2 ) x y z t xy y zy 2v Fy 0( 2 ) x y z t xz yz z 2w Fz 0( 2 ) x y z t
公式2-18
位移解法
u w v x , yz x y z v u w y , xz y z x w v u z , xy z x y
公式2-16
代入
x 2G x , yz G yz y 2G y , xz G xz z 2G z , xy G xy
公式2-19 代入
f x x l yx m zx n f y xy l y m zy n f z xz l yz m zx n
求 得
u u u v w u f l G l m n G l m n x y z x x x v u v v v w f m G l m n G l m n x y z y y y w w w v w 公式2-24 u f n G x l y m z n G z l z m z n
弹性力学第六章
σ
x
=
E 1− μ2
( ∂u ∂x
+
μ
∂v ) ∂y
−
EαT 1−μ
τ
xy
=
E 2(1 +
μ)
( ∂v ∂x
+
∂u ) ∂y
σ
y
=
E 1− μ2
( ∂v ∂y
+
μ
∂u ) ∂x
−
EαT 1− μ
代入平衡方程有：
∂2u + 1 − μ ∂2u + 1 + μ ∂2v − (1 + μ)α ∂T = 0
1
(2) 实际非自由伸缩，产生热应力，相应地要
引起变形，应力应变满足虎克定理：
ε ij′
~σ
′
ij
(3) 由叠加原理，总应变=自由伸缩应变
+热应力产生的应变：
[ ] [ ] ε x
= αT
+
1 E
σ
x
− μ(σ
y
+σz)
εy
= αT
+
1 E
σ
y
−
μ(σ x
+σz)
[ ] ε z
= αT
+
1 E
σz
法向面力：σ N
=
EαT 1− μ
1 − μ ∂y
求出位移后，按下述公式求出热应力：
σx
=
E 1−μ2
(∂u ∂x
+
μ
∂v) ∂y
− EαT 1−μ
σ
y
=
E 1−μ2
(∂v ∂y
+
μ
《弹性力学》第六章温度应力问题的基本解法
根据热量平衡原理得：
cTdxdyd z2TddtxdyWddzd xd t ydzdt
x
化简后得： 记
T 2TW
t c
c
a c
则
T a2T W
t
c
这就是热传导微分方程。
§6-3 温度场的边值条件
为了能够求解热传导微分方程，从而求得温度场，必须已知物体在 初瞬时的温度，即所谓初始条件；同时还必须已知初瞬时以后物体表面 与周围介质之间热交换的规律，即所谓边界条件。初始条件和边界条件 合称为初值条件。
初始条件：(T)t0f(x,y,z)
边界条件分四种形式： 第一类边界条件 已知物体表面上任意一点在所有瞬时的温度，即
Ts f (t) 其中Ts 是物体表面温度。
第二类边界条件 已知物体表面上任意一点的法向热流密度，即
(qn)s f(t) 其中角码 s 表示“表面”，角码n 表示法向。
第三类边界条件 已知物体边界上任意一点在所有瞬时 的运流（对流）放热情况。按照热量的运流定理，在单位时 间内从物体表面传向周围介质的热流密度，是和两者的温差 成正比的，即
来表示，即
x" y22,y" x 22,xy"x2 y
其中的应力函数 可以按照应力边界条件的要求来选取。
在平面应变条件下，将上述各方程中的
E 换成
E 1 2
换成
1
换成 （ 1 ）
例1 图示矩形薄板中发生如下的变温： a a
T
T（0 1
y2 b2
）
b
o
b
x
其中的T0 是常量。若 a》b ，试求其温
(qn)s (T sT e)
其中Te是周围介质的温度； 称为运流放热系数，或简称热
弹塑性力学讲义 第六章弹性力学平面问题的直角坐标系解答
x yx X 0， x y
2.2
xy x
几何方程（3 个） 两平面问题一致：
(u , u , )
,
1 2
u x x
2.3
y
v y ，
xy
u v y x
相容方程（1 个）
2 2 2 x y xy 2 2 两平面问题一致： xy y x
X n
在 S =S 上
当体力为常数或体力为零时，两个平面问题的相容方程一致
5
2(x+y )=0
(x+y )为调合函数，与弹性系数无关，不管是平面应力（应变）
问题，也不管材料如何，只要方程一致，应力解一致，有利实验。 3.3 应力函数解法 当体力为常量或为零时，按应力法解的基本方程（共三个）为
3
对于平面应力问题还应有
2 z 2 z 2 z 0， 2 0， 0， y xy x 2
但对于薄板厚度尺寸远此三个方程可以不考虑。
2.4
本构方程（3 个） 平面应力问题
x
1 2(1 ) 1 ( x y ) ， y ( y x ) ， xy xy E E E
(1 2 ) (1 2 ) ( y x) ， ( x y) ，y 1 E E 1
平面应变问题
x
xy
2(1 ) xy E
两个平面问题的基本方程仅物理方程有所不同， 将平面应力物理方程 中弹性系数 E
E ， ，则平面应力问题的物理方程变为平面 1 1 2
对于单连域，应力函数(x,y)满足双调和方程
4
=0，且在 S上满
弹性力学解题方法
4(1 )G
Stress component：
x
y
1
rg( z
A)
z rg(z A)
xy yz zx 0
Boundary condition：
q
o
x
z=h
z
l x m yx n zx Fx l xy m y n zy Fy
A q
rg
l xz m yz n z Fz
（4－4）
几何 物理 方程 方程
u
v
ij
ij
w
优点： 适用范围广，在数值解法中得到广泛应用（有限元）。
缺点： 解三个联立的偏微分方程组，求解析解困难。
空间轴对称问题： u u(r ), v 0, w w(r, z) r z 0
Equation of equilibrium
z 0 r 0
§4－4 平面问题和应力函数
一、平面应力问题和平面应变问题
plane stress problem
y
plane strain problem
y
构件特征：
x
z
受力特点： 平行于板面，板面上无载荷
应力分量： 应变分量： 位移分量：
z ＝ xz ＝zy ＝0 x , y , xy(x,y) yx ＝ zx ＝ 0 x , y , xy (x,y); z
e xy
1 2G
xy
e yz
1 2G
yz
ezx
1 2G
zx
eij
1 2G
sij
➢ Constitutive equation （Generalized Hooke's law ）
stress-strain relationship
温度应力问题
T ij = Tij
y
S
z x E E y z x y E E
S xy
1 xy G
zS
S yz
1 yz G
x
S
x y z E E
2 2
2 xy 2G xy
2 yz 2G yz
2 2 z 2G x 2 y 2
2 zx 2G zx
特解并不满足边界条件
平面应力问题在极坐标下的解
r 1 r T E ur r 1 r T E u 1 r r 21 r E
平衡微分方程解法
• 可分两步求解： （1）找出任意一组特解，这组特解并不一定满足边界条件； （2）找出齐次方程（T=0）的解，即等温下无体力作用的弹性问解，
这组解与特解叠加后所得的解能满足边界条件。
非齐次方程特解
u x 2 1 T x 1 x
2 1 T
2 1 1 2 r 2 r r r 2 2
2
E 1 1 2 r 2 2 1 r r r
E 2 1 r 2
K r 2 ln b ln r 1 ln b ln a r 2GK 2 ln b 2 ln r 1 ln b ln a
K 1 T 41
2GK 2 ln b 2 ln r 1 ln b ln a
热传导基本概念
• 对于不同物体，从高温物体向低温物体传递
• 对于同一物体，热量从温度较高的部位向较低的部位传递
弹性力学-06温度应力
y
2T 2T 2T 2 2 2 dxdydzdt x y z
qx
y
dy
q x qx dx x
z x
2Tdxdydzdt
（4） 物体内热源产生的热量 z
O
x dx
dz
设热源强度为：W（单位时间、单位体积内供给的热量），则dt时间内，
T T ( x, y, z, t )
稳定温度场： 若物体内各点的温度只随位置（坐标）而变化，而不随时间 而变化的温度场。 即：
不稳定温度场：
T ( x, y, z , t ) 0 t —— 稳定温度场也称定常温度场。
若物体内各点的温度不仅随位置（坐标）而变化，而且随时 间而变化的温度场。 —— 不稳定温度场也称非定常温度场。 平面稳定温度场：
（b） —— 热传导微分方程。
其中：
a c
2 （6-3） a —— 称为导温系数。 单位：米 /时。
混凝土的导温系数 a = 0.003 ~ 0.005。
T 2 W T t c c T W 2 a T t c
—— 热传导微分方程。
（a）
（b）
说明： 式中系数： , c, , a 均可近似地当作常数，但热源强度 W 一般不能 当作常量，而必须是
为了确定弹性体内的温度应力,须进行两方面的计算:
(1)按照热传导理论,根据弹性体的热学性质\内部热源\初始条 件和边界条件,计算弹性体内各点在各瞬时的温度,即决定温 度场,前后两个温度场之差就是弹性体的变温. (2)按照热弹性力学,由弹性体的变温来求出体内各点的温度应 力,即决定应力场.
§6-1 关于温度场和热传导的一些概念
位移势函数的应用 用极坐标求解问题 圆环和圆筒的轴对称温度应力 楔形坝体中的温度应力
弹性力学热应力
第二类边界条件 已知物体表面上任一点 点处的法向热流密度，即：
(qn)s=f(t)
编辑ppt
14
第三类边界条件 已知物体边界上任一点在 所有瞬间的对流放热情况，按照热量的运流规律， 在单位时间内从物体表面传向周围介质的热流密 度和两者的温差成正比。即：
(qn)s=β(Ts-Te) 其中：β 放热系数
y1 E 2(y1 x)(1)T
xy 2(1E)xy
因此和平面应力的热物理方程比较，将上述各方
程中的
E换成
E
1 2
ν换成
1
α换成
α(1+ α )
则得到在平面应变条件下编的辑pp相t 应方程。
24
第五节 微分方程的求解
在求解微分方程（14）时，应分两步进行。
1. 求出微分方程的任一组特解。
2. 不计变温T, 求出微分方程的一组补充解， 并使它和特解叠加以后满足边界条件。
xy E2(1)xy 编辑ppt
18
如图所示等厚薄板及坐标系中，没有体力和面力 作用，只有变温T的作用且变温T是x和y的函数。
因而有 z 0,yzzx0
并由式（8）得出用应力分量与变温T所表示的形变分 量的物理方程，即热弹力学物理方程：
x E 1(xy)T
y E 1(yx)T
(9)
xy E2(1)xy
由式（1）和（4）知
q T
n
热流密度在坐标轴上的投影
qx
Tcons,(x)
n
qy
Tcons,y()
n
(6)
qz
Tcons,(z)
n
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式（6）与式（2）比较得
弹性力学--热应力 ppt课件
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由于弹性体所受的外在约束及弹性体内各部 分之间相互约束，上述形变不能自由发生，产 生温度应力。 因而总的形变分量为：
x
1 [ x ( y z )] T E
1 [ y ( x z )] T E 1 z [ z ( y x )] T E
一 基本概念
1.温度场 在同一时间，物体内各点处温度值 的总体。一般说来，温度场是位移和时间的函数。
即
T=T（x,y,z,t）
若T=T（x,y,z），即温度场不随时间的变化而变化， 称为稳定温度场。 3 PPT课件
若 T=T （ x,y,t ），即温度随时间和平面内的两位置 坐标变化而变化，称为平面温度场。 2. 等温面 任一瞬间，同一温度场内温度相同 的各点之间的连线，构成等温面，沿等温面移动， 温度不变；沿等温面的法线方向移动，温度的变化 率最快。 3. 温度梯度 沿着等温面的法线方向，指向温 度增大的方向，其大小等于 ，取沿等温面法线方向 的单位矢量为n0。则
其中：β 放热系数
Ts 物体表面温度
Te 周围介质温度
或
( q n ) s T n
T (Ts Te ) PPT课件 n
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第四类边界条件 以知两物体完全接触，并以 热传导方式进行热交换。即：
Ts=Te
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第四节 按位移求解温度应力的平面问题 设弹性体内各点的变温为T,从而引起弹性体内各 点的微小长度发生应变 αT ， α为线热胀系数 , 弹性体 内各点的形变分量为： εx=εy=εz=αΤ，γyz=γzx=γxy=0
2 2 T ( 2 2 ) (1 ) y x y y
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第六章 温度应力问题的基本解法
§6-1 §6-2 §6-3 §6-4 §6-5 §6-6 温度场和热传导的基本概念 热传导微分方程 温度场的边界条件 按位移求解温度应力的平面问题 位移势函数的引用 轴对称温度场平面热应力问题
§6-1 温度场和热传导的基本概念
1.温度场：在任一瞬时，弹性体内所有各点的温度值的总体。用T表示。
并在边界上满足位移边界条件和应力边界条件。实际求解时， 宜分两步进行：（1）求出上述微分的任意一组特解，它只需 满足微分方程，而不一定要满足边界条件。（2）不计变温T， 求出微分方程的一组补充解，使它和特解叠加以后，能满足 边界条件。
引用一个函数 （x，y） ，将位移特解取为： ' ' u ,v x y 函数 称为位移势函数。以 u 和 v 分别作为u和v代入微分 方程，简化后得：
x
yz zx xy
2(1 ) yz E 2(1 ) zx E 2(1 ) xy E
对于平面应力的变温问题，上式简化为
1 [ x y ] T E 1 y [ y x ] T E 2(1 ) xy xy E
不稳定温度场或非定常温度场：温度场的温度随时间而变化。
即
T=T（x，y，z，t）
稳定温度场或定常温度场：温度场的温度只是位置坐标的函数。
即 T=T（x，y，z）
平面温度场：温度场的温度只随平面内的两个位置坐标而变。
y
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即
T=T（x，y，t）
2.等温面：在任一瞬时，连接温度场 内温度相同各点的曲面。显然，沿着 等温面，温度不变；沿着等温面的法 线方向，温度的变化率最大。
（2）
这是按位移求解温度应力平面应力问题的应力边界条件。 位移边界条件仍然为：
u s u，vs v
将式(1)、(2)与第二章§2-8中式(1)、(2)对比，可见
E T E T 及 1 x 1 y
代替了体力分量 X 及 Y ，而： ET ET l 及m 1 1
( 初始条件： T ) t 0
f ( x, y, z )
边界条件分四种形式：
第一类边界条件 已知物体表面上任意一点在所有瞬时的温度，即
Ts f (t ) (qn ) s f (t )
向。
其中Ts 是物体表面温度。 其中角码 s 表示“表面”，角码n 表示法
第二类边界条件 已知物体表面上任意一点的法向热流密度，即
可得相应位移特解的应力分量是： E 2 x ' 1 y 2 E 2 y ' 1 x 2 E 2 xy 1 xy
设 u" ， v" 为位移的补充解，则 u" ， v" 需满足齐次微 分方程： 2u" 1 2u" 1 2v" 0 2 2 2 y 2 xy x 2 v" 1 2v" 1 2u" 0 2 2 y 2 x 2 xy 相应于位移补充解的应力分量为（注意不计变温，即T=0）：
2T dydzdxdt 2 y 2T dzdxdydt z 2
2T 2T 2T 因此，传入六面体的总净热量为： ( x 2 y 2 z 2 )dxdydzdt
简记为：
2Tdxdydzdt
假定物体内部有正热源供热，在单位时间、单位体积供 热为W，则该热源在时间dt内所供热量为Wdxdydzdt。
Ts Te
§6-4
按位移求解温度应力的平面问题
设弹性体内各点的温变为T。对于各向同性体，若不受约束，则弹性体 内各点的微小长度，都将产生正应变 T （ 是弹性体的膨胀系数），这样， 弹性体内各点的形变分量为
x y z T , yz zx xy 0
E u" x " 1 2 ( x E v" ( y " 2 1 y E v" xy " ( 2(1 ) x v" ) y u" ) x u" ) y
x
这就是平面应力问题热弹性力学的物理方程。
将应力分量用形变分量和变温T表示的物理方程为：
E E T ( x y ) 1 2 1 E E T y ( y x ) 2 1 1 E xy xy 2(1 )
x
几何方程仍然为：
u v v u x , y , xy x y x y
将几何方程代入物理方程，得用位移分量和变温T 表示的应 力分量
E u v E T x （ ） 1 2 x y 1 E v u E T （ ） y 2 1 y x 1 E v u xy （ ） （1 ） x y 2
2 1 ） （ x 2 1 ） （ y T x T y
由于 和 都是常量，所以取： 2 1 ）T （ 时， x，y）满足微分方程。因此 u ' ， v ' 可以作为微分方程 （ , v' 的一组特解。将u ' 以及 T 1 2 x y
根据热量平衡原理得：
c T dxdydzdt 2Tdxdydzdt Wdxdydzdt x
T 2 W T t c c
化简后得： 记 则
a
c
T W 2 a T t c
这就是热传导微分方程。
§6-3
温度场的边值条件
为了能够求解热传导微分方程，从而求得温度场，必须已知物体在 初瞬时的温度，即所谓初始条件；同时还必须已知初瞬时以后物体表面 与周围介质之间热交换的规律，即所谓边界条件。初始条件和边界条件 合称为初值条件。
t
t
在同一段时间dt内，由六面体左面传入热量qxdydzdt， 由右面传出热量 (qx qx dx)dydzdt 。因此，传入的净热量为
x
将 q x
T 代入可见： x
qx dxdydzdt x
2T 2 dxdydzdt x
由左右两面传入的净热量为： 由上下两面传入的净热量为： 由前后两面传入的净热量为：
可见：热流密度在任一方向的分量，等于导热系数乘以 温度在该方向的递减率。
§6-2 热传导微分方程
热量平衡原理：在任意一段时间内，物体的任一微小部 分所积蓄的热量，等于传入该微小部分的热量加上内部热源 所供给的热量。 y
qx
qx
q x dx x
z
x
取图示微小六面体dxdydz。假定该六面体的温度在dt时 间内由T 升高到T T dt 。由温度所积蓄的热量是 CdxdydzT dt ， 其中 是物体的密度，C 是单位质量的物体升高一度时所需 的热量——比热容。
第三类边界条件 已知物体边界上任意一点在所有瞬时 的运流（对流）放热情况。按照热量的运流定理，在单位时 间内从物体表面传向周围介质的热流密度，是和两者的温差 成正比的，即
(qn ) s (Ts Te )
其中Te是周围介质的温度； 称为运流放热系数，或简称热 系数。 第四类边界条件 式进行热交换。即 已知两物体完全接触，并以热传导方
2u 1 2 2 x 2 v 1 y 2 2 2u 1 2 v T 1 ） （ 0 2 y 2 xy x 2 v 1 2u T 1 ） （ 0 2 x 2 xy y
x
T+2△T T T+△T T-△T
o
3.温度梯度：沿等温面的法线方向，指向温度增大方向的矢 T 量。用△T表示，其大小用 n 表示。其中n为等温面的法线方 向。温度梯度在各坐标轴的分量为
T T COS（n ，x） x n T T COS（n ，y） y n T T COS（n ， z） z n
但是，由于弹性体所受的外在约束以及体内各部分之间的相互约束，上 述形变并不能自由发生，于是就产生了应力，即所谓温度应力。这个温度应 力又将由于物体的弹性而引起附加的形变，如虎克定理所示。因此，弹性体 总的形变分量是：
1 [ x ( y z )] T E 1 y [ y ( z x )] T E 1 z [ z ( x y )] T E
将上式代入不计体力的平衡微分方程
yx x 0 y x y xv 0 y x
简化得：
2u 1 2u 1 2 v T 1 ） （ 0 2 2 x 2 y 2 xy x v 1 v 1 u T 1 ） （ 0 2 2 y 2 x 2 xy y
取 n0 为等温面法线方向且指向增温方向的单位矢量，则有
△T n0
T n
（1）
4.热流速度：在单位时间内通过等温面面积S 表示。
dQ 的热量。用 dt
热流密度：通过等温面单位面积的热流速度。用 q 表示， 则有
q n0 dQ /S dt
(2)
其大小为
q dQ /S dt
5.热传导基本定理：热流密度与温度梯度成正比而方向相反。 即
代替了面力分量X 及 Y 。
对于温度应力的平面应变问题，只须将温度应力的平面 应力问题的
E换成 E 1 2
换成
1
换成（ ） 1
则得到在平面应变条件下的相应方程。
§6-5
位移势函数的引用
由上一节知：在平面应力的情况下按位移求解温度应力 问题时，须使位移分量u 和v 满足微分方程：
q △T
(3)
称为导热系数。由（1）、（2）、（3）式得