复数的除法

例 计算
(1 3i ) 3 6 (1 i )
(1 3i ) 3 解： (1 i ) 6
1 3 3 2 ( i) 2 2 3 (2i )
3
8 1 i. 3 8i i
例
计算
(1 2i ) (2 i ) 1 i 100 ( ) 3 4i 4 3i 2
= a2+b2 ∙ c2+d2 = | z1 | ∙ | z 2 |
(4 3i )( 1 7i ) 例：已知 z ,求 2 i
(4 3i)( 1 7i ) 解： | z || | 2 i
|z|
| 4 3i || 1 7i | | 2 i |
5 8 10 6 . 3 3
例
4 求复数 z，使 z 为实数，且 | z 2 | 2. z 解：设 z a bi, (a, b R, a 2 b 2 0) 4 4 z a bi z a bi 4(a bi ) a bi 2 2 a b 4a 4b a 2 (b 2 )i 2 2 a b a b
z1 ， z2 ∈ C , z1∙z2= z1∙z2 , z1 z1 （ ）= z2 z2 ，(z2 ≠0) . 则
在乘除法运算中关于复数模的性质
已知 z1 ， z2 ∈C , 求证：
| z1 ∙ z2 |=| z1 | ∙ | z2 | ， z1 | z1 | = z2 | z2 | ，(z2 ≠0) .
2 2
3 4i 3 4i 2i 50 解：原式 ( ) 3 4i 4 3i 2
(3 4i ) 2 (3 4i )( 4 3i ) 1 25 25 7 24i 25i 1 25 25 7 49i 18 49i 1 . 25 25 25
4 z R z 4 b(1 2 )0 2 a b
b 0或a b 4
2 2
①
| z 2 | 2得 | a bi 2 | 2
(a 2) b 2
2 2
②
将 b=0代入②得 a=4 或 a=0
∴ Z=4 或 Z=0 (舍)
将a
2
b 4 代入②
15.4 复数的乘法与除法
2Baidu Nhomakorabea复数的除法
复数除法的法则
复数的除法是乘法的逆运算，满足 (c+di)(x+yi)=(a+bi) (c+di≠0)的复数 x+yi , 叫做复数a+bi除以复数c+di的商， a+bi 记作 c+di .
(a+bi)(c-di) a+bi = c+di (c+di)(c-di) = (ac+bd)+(bc-ad)i c2+d2
= ac+bd + bc-ad i (c+di ≠0) c2+d2 c2+d2 因为c+di ≠0 即 c2+d2 ≠0， a+bi 所以商 是唯一确定的复数. c+di
计算:
（1） （1+2i)(3-4i)
1+2i 解：（1+2i)(3-4i)= 3-4i
= (1+2i)(3+4i) (3-4i)(3+4i)
| z1 ∙ z2 |=| z1 | ∙ | z2 | ，
证明：
设z1=a+bi , z2=c+di (a,b,c,d ∈Ｒ) ，则
| z1∙z2 |=|(ac-bd)+(bc+ad)i| = (ac-bd)2+(bc+ad)2 = a2c2+b2d2+b2c2+a2d2
=
(a2+b2)(c2+d2)
2
2 2
(a 2) 4 a 4, 得 a 1
得
a 1, b 3
z 1 3i
综上： Z=4,1+ 3i ,1– 3i .
= -5+10i 25
1 2 =- + i . 5 5
(2)
(3+2i) (2-3i)
(3+2i)(2+3i) = (2-3i)(2+3i)
解一： 3+2i 2-3i
= =i
(6-6)+(4+9)i
4+9
解二：
3+2i 2-3i
=
（3+2i）i (2-3i)i
（3+2i）i = 3+2i
=i
关于共轭复数的运算性质