北师大版高中数学选修定积分教案
高中数学选修2-2 北师大版 1.2定积分学案
§1定积分的概念（第2课时）1.2定积分【学习目标】1.了解定积分的概念，理解定积分的几何意义；2.掌握定积分的基本性质及其应用.【重点难点】重点：定积分的几何意义定积分的性质 难点：定积分概念的理解【导学流程】一、课前预习1.阅读课本第78页“1.2定积分”内容，了解定积分的概念，理解定积分的几何意义，完成：（1）定积分的定义若函数y=f(x)在给定区间[a ，b]上，满足以下条件：①将区间[a ，b]n 等分，分点为：a=x 0<x 1<x 2<...<x n-1<x n =b ，第i 个小区间为[x i-1，x i ]，其长度为____________.②在第i 个小区间上取一点ξi ，使f(ξi )在区间[x i-1，x i ]上的值最大，求和 S=f(ξ1)△x 1+f(ξ2)△2+...+f(ξi )△x i +...+f(ξn )△n .③在第i 个小区间上取一点ζi ，使f(ζi )在区间[x i-1，x i ]上的值最小，求和 S=f(ζ1△x 1+f(ζ2)△2+...+f(ζi )△x i +...+f(ζn )△n .如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S 与s 的差也趋于0，此时，S 与s 同时趋于某一个固定的常数A ，我们A 是函数y-f(x)在区间[a ，b]上的________，记为____________，即_________________________. （2）()⎰badx x f 中符号的意义符号 ⎰a b f(x) 名称（3）定积分的几何意义、物理意义 定积分的几何意义：当f(x)≥0时，()⎰ba dx x f 表示____________________________________；定积分的物理意义：当f(x)表示速度关于时间x 的函数时，()⎰badx x f 表示______________________________________________________. 2.认真分析第79页例题，掌握利用定积分的几何意义求定积分的方法，完成：第80页练习. 3.阅读第80页“定积分的性质”，完成“思考交流”.同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中疑惑点疑惑内容目标达成_______________________________________________________； 收获新知_______________________________________________________； 我的困惑_______________________________________________________.【达标检测】（限时20分钟）1.下列等于1的定积分是（ ） A.⎰1xdx B.()⎰+101dx x C.⎰11dx D.⎰1021dx 2.设f(x)是连续函数，且为偶函数，在对称区间[-a ，a]上的积分⎰-aadx x f )(，由定积分的几何意义和性质得⎰-aadx x f )(=（ ）A.0B.2⎰-0)(adx x f C.⎰-0)(adx x f D.⎰adx x f 0)(3.⎰-224dx x =（ ）A.πB.2πC.3πD.4π 4.已知3)(2=⎰dx x f ，则[]⎰+26)(dx x f =（ ）A.9B.12C.15D.18 5.课本第81页A 组5.6.课本第81页A 组6.。
第四章 定积分章末总结 教案(高中数学选修2-2 北师大版)
1．利用定义求定积分．步骤：(1)分割区间；(2)求过剩估计值、不足估计值；(3)取极限． 2．利用定积分的几何意义求定积分．3．利用微积分基本定理求定积分．若F ′(x )＝f (x )，⎠⎛abf (x )d x ＝F (b )－F (a )．求下列定积分：(1)⎠⎛3－39－x 2d x ；(2)⎠⎛e 1e |ln 3xx|d x . 【思路点拨】 (1)可用定积分的几何意义求解； (2)先去绝对值号，然后结合定积分的性质求解．【规范解答】 (1)被积函数的曲线是圆心在原点，半径为3的半圆周，由定积分的几何意义知此积分计算的是半圆的面积，所以有⎠⎛3－39－x 2d x ＝π·322＝9π2. (2)∵|ln 3xx |＝⎩⎨⎧－ln 3x x ，1e≤x ≤1，ln 3xx ，1≤x ≤e ，∴⎠⎛e 1e |ln 3x x |d x ＝⎠⎛11e (－ln 3x x )d x ＋⎠⎛1eln 3x x d x .∵(ln 4x 4)′＝ln 3xx ，∴⎠⎛e 1e |ln 3x x|d x ＝－ln 4x 4|错误!＋错误!错误!错误!＝－ln 414＋ln 41e 4＋ln 4e 4－ln 414＝12.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2≤x ≤4，先画出函数图像，再求这个函数在[0,4]上的定积分．【解】 图像如图．⎠⎛04f (x )d x ＝⎠⎜⎛0π2sin x d x ＋⎠⎜⎛π221d x ＋⎠⎛24(x －1)d x ＝＝1＋(2－π)＋(4－0)＝7－π.广泛的应用．求解时应将相应问题画出草图，适当分割后转化为定积分求解．求由曲线y ＝x 2，y ＝x ，及y ＝2x 所围成的平面图形的面积．【思路点拨】 画出草图→求交点坐标→确定被积函数及积分上、下限→求定积分【规范解答】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 得A (1,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x 得B (2,4)．如图阴影部分面积为S ＝⎠⎛01(2x －x )d x ＋⎠⎛12(2x －x 2)d x ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛12(2x －x 2)d x ＝12x 2|10＋x 2|21－13x 3|21＝76. 故所围成的平面图形的面积为76.求抛物线y 2＝2x 和直线y ＝－x ＋4所围成的图形的面积．【解】 先求抛物线和直线的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝－x ＋4，求出交点坐标为A (2,2)和B (8，－4)．法一 选x 为积分变量，变化区间为[0,8]，将图形分割成两部分(如图)，则面积为S ＝S 1＋S 2＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28(2x －x ＋4)d x＝423x 32⎪⎪⎪ 20＋(223x 32－12x 2＋4x )⎪⎪⎪82 ＝18.法二 选y 作积分变量，则y 的变化区间为[－4,2]，如图得所求的面积为S ＝⎠⎛2－4(4－y －y 22)d y ＝(4y －12y 2－16y 3)⎪⎪⎪2－4＝18.i i 理学中有“路程＝速度×时间”，“功＝力×位移”等等．故应用定积分可以研究物理学中变速运动物体行驶的路程(位移)、变力做功等问题．图4－1一物体在做变速直线运动，其v －t 曲线如图4－1所示，求该物体在12～6 s 间的运动路程．【思路点拨】 根据图像求出速度函数v (t )后，求定积分，求路程．【规范解答】 v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t <1，2，1≤t ≤3，13t ＋1，3<t ≤6.由变速直线运动的路程公式，可得s ＝⎠⎛612v (t )d t ＝⎠⎛1122t d t ＋⎠⎛132d t ＋⎠⎛36(13t ＋1)d t ＝t 2⎪⎪⎪⎪112＋2t ⎪⎪⎪ 31＋(16t 2＋t )⎪⎪⎪63＝494.即该物体在12～6 s 间的运动路程为494m.一物体在力F (x )(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向运动，力—位移曲线，如图4－2所示．求该物体从x ＝0处运动到x ＝4处，力F (x )做的功．图4－2 【解】 由力—位移曲线可知F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10(0≤x <2)，3x ＋4(2≤x ≤4)，因此该物体从x ＝0处运动到x ＝4处力F (x )做的功W ＝⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x＝10x |20＋(3x 2＋4x )|42＝46(J).积分求曲边图形的面积．在做题前首先要画出图形，确定图形是在x 轴的上方还是下方，并且通过解方程组求出交点的横坐标定出积分上、下限．如图4－3所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S 1与S 2之和最小．图4－3【思路点拨】 确定被积函数，积分上、下限，求定积分，并用导数求最值．【规范解答】 S 1的面积等于边长分别为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴，直线x ＝t 围成的面积．即S 1＝t ·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3；S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉一矩形面积，矩形边长分别为t 2,1－t ，即S 2＝⎠⎛t1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13.所以阴影部分面积S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t (t －12)＝0，得t ＝0或t ＝12，易知当t ＝12时，S 最小，所以最小值为S (12)＝14.计算由直线x ＝－1，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝(x －1)3围成的平面图形的面积． 【解】 画出直线x ＝－1，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝(x －1)3.所围成的图形如图所示．∴S ＝||⎠⎛1－1(x －1)3d x＋⎠⎛12(x －1)3d x ＝⎪⎪⎪⎪14(x －1)4|1－1＋14(x －1)4|21＝4.25.综合检测(四) 第四章 定积分(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.⎠⎛14x d x 表示平面区域的面积，则该平面区域用阴影表示为( )【解析】 由定积分的几何意义易知选项B 正确． 【答案】 B2．已知f (x )为偶函数，且⎠⎛6－6f (x )d x ＝8，则⎠⎛06f (x )d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．16【解析】 由f (x )为偶函数，知f (x )的图像关于y 轴对称， 则⎠⎛6－6f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝8，∴⎠⎛06f (x )d x ＝4.【答案】 B3．若⎠⎛0a (2－3x )d x ＝－2(a >0)，则a 的值为( ) A ．2 B.23C ．2或23D ．2或－23【解析】 ∵a >0，⎠⎛0a (2－3x )d x ＝(2x －32x 2)|a 0＝2a －32a 2，由题知2a －32a 2＝－2，解得a＝2.【答案】 A。
北师大版高中数学选修定积分教案
定积分复习小结一、教学目标：1、理解定积分的定义及几何意义，理解定积分的性质，了解微积分的基本定理，并且熟练计算一些函数的积分；2、体会运用分割、近似代替、求和、取极限的思想过程；3、掌握定积分的计算方法；4、利用定积分的几何意义会解决问题。
二、学法指导：1、重点理解定积分的定义及几何意义，理解定积分的性质，了解微积分的基本定理，并且熟练计算一些函数的积分；2、定积分的概念是运用分割、近似代替、求和、取极限的思想；3、重点掌握定积分的计算方法。
三、重点与难点：重点：理解并且掌握定积分算法；难点：利用定积分的几何意义解决问题。
四、教学方法：探究归纳，讲练结合 五、教学过程 （一）、知识闪烁1、 解决面积、路程、做功问题3个问题一般通过对 自变量的区间得到过剩估计值和不足估计值，分割的 ，估计值就也接近精确值；当分割成的小区间的长度趋于 时，过剩估计值和不足估计值都趋于 ；误差趋于 。
2、定积分的定义思想：（1） (2) (3) (4) ; 3 、()1limniin i f x ξ→∞=∆∑= ；其中⎰叫做a 叫做b 叫做 ()f x 叫 ;4、()baf x dx ⎰的几何意义 ；在x 轴上方的面积取 ，在x 轴下方的面积取()baf x dx ⎰的几何意义 ；()baf x dx ⎰的几何意义 ；()baf x dx ⎰，()baf x dx ⎰，()baf x dx ⎰的关系 ；计算()baf x d x ⎰时，若在],a b ⎡⎣上()0f x ≥则()baf x dx ⎰= 若在],a b ⎡⎣上()0f x <()baf x dx ⎰= 若在],a c ⎡⎣上()0f x ≥，],c b ⎡⎣上()0f x <()baf x dx ⎰=5、定积分的性质：1b adx ⎰= ()bakf x dx ⎰= ()()ba f x g x dx ±⎡⎤⎣⎦⎰=（定积分对积分区间的可加性）()baf x dx ⎰=6、如果连续函数()f x 是函数()F x 的导函数，即()f x = ，则有()baf x dx ⎰=它叫做微积分基本定理，也称牛顿—莱布尼茨公式，()F x 是()f x 的 7、计算定积分()baf x dx ⎰= =()()F b F a -8、若()f x 在[],a a -上连续，且是偶函数，则有()aaf x dx -=⎰若()f x 在[],a a -上连续，且是奇函数，()aaf x dx -=⎰（二）、方法点拨：1、求由两条曲线围城的平面图形的面积的解题步骤：（1）、画出图形；（2）确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标，为定积分的上下界；（3）确定被积函数函数，特别分清被积函数的上、下位置；（4）写出平面图形面积的定积分表达式；（5）运用微积分公式求出定积分。
高中数学4.1.2定积分 学案 (北师大选修2-2)
4。
1.2 定积分一、学习目标：1、通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；2、能用定积分的定义求简单的定积分；3、了解定积分的几何意义；二、重点难点：学习重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义学习难点:定积分的概念、定积分的几何意义三、学习过程:（一)、复习回顾1.用“四步曲”: 求得曲边梯形的面积S=_________________________2.用四步曲求得变速运动的路程S=_____________________________.（二）、定积分的概念阅读教材P.45-46，完成下列问题问题1：函数)(x f在区间[]b a,上连续，如同曲边梯形面积的“四步曲"求法写出其运算过程。
问题2：当n→∞时，上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数)(x f 在区间[]b a ,上的定积分,记做⎰∑=∞→-=ba n i i n f n ab dx x f 1(lim )(ξ）,其中a 与b 分别叫做与 ，区间[,]a b叫做 ，函数()f x 叫做 ,x 叫做 ，()f x dx 叫做 。
(三）、定积分的几何意义阅读教材P.46,完成下面问题问题3：定积分的几何意义是：______________________________ 。
例1：利用定积分的定义，计算⎰103dx x 的值。
(4)1(2122333+=+++n n n )练习1：利用定积分的几何意义说明dx x ⎰-1021的大小.练习2：利用定积分的定义，证明a b dx ba-=⎰1,其中b a ,均为常数且b a <.（四）、定积分的运算性质问题4：定积分的运算性质有以下3条，分别为：性质1:性质2：性质3：（五）、课堂小结1、定积分的概念；2、根据定积分的定义求简单的定积分；3、定积分的几何意义．四、学习反思。
北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的概念
y f (x)
a
b
x
5
积分上限
a f ( x )dx I
积分下限
b
lim f (i )xi
n i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
6
说明：
(1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关，即
a f(x)dx a
(3)
b
b
b
f (t)dt a
a
b
f(u)du。
（2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.
a f(x)dx - b f (x)dx
7
(二)、定积分的几何意义：
当 f(x)0 时，积分a f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、 xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
北师大版高中数学选修2-2第 四章《定积分》
1
一、教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽 车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于 几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概 念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解 掌握定积分的几何意义． 二、教学重点：定积分的概念、用定义求简单 的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意 义． 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
ba Sn f (i )x f (i ) n i 1 i 1 如果 x 无限接近于 0（亦即 n ） 上述和式 S n 时， 无限趋近于常数 S ，那么称该常数 S 为函数 f ( x) 在区
n n
间 [ a, b] 上的定积分。记为： S
b
a
f ( x )dx
高中数学第四章定积分2微积分基本定理教学案北师大版选修
2 微积分基本定理[对应学生用书P40]已知函数f (x )＝x ，F (x )＝12x 2.问题1：f (x ) 和F (x )有何关系？ 提示：F ′(x )＝f (x )．问题2：利用定积分的几何意义求⎠⎛12x d x 的值． 提示：⎠⎛12x d x ＝32.问题3：求F (2)－F (1)的值． 提示：F (2)－F (1)＝12×－12×12＝32.问题4：你得出什么结论？提示：⎠⎛12f (x )d x ＝F (2)－F (1)，且F ′(x )＝f (x )．问题5：由⎠⎛12f (x )d x 与F (2)－F (1)之间的关系，你认为导数与定积分之间有什么联系？提示：⎠⎛a bf (x )d x ＝F (b )－F (a )，其中F ′(x )＝f (x )．微积分基本定理如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，则有 ∫b a fx d x ＝F b －F a定理中的式子称为牛顿—莱布尼茨公式，通常称F (x )是f (x )的一个原函数． 在计算定积分时，常常用记号F (x )| ba 来表示F (b )－F (a )，于是牛顿—莱布尼茨公式也可写作∫b a f (x )d x ＝F (x )| ba ＝F (b )－F (a )．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的关系，即求定积分与求导互为逆运算，求定积分时只需找到导函数的一个原函数，就可以代入公式求出定积分．[对应学生用书P40]求简单函数的定积分[例1]计算下列各定积分：(1)∫10(2x ＋3)d x ； (2)∫0－π(cos x ＋e x)d x ；(3)∫31⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2d x .[思路点拨]先求被积函数的原函数，然后利用微积分基本定理求解． [精解详析](1)∵(x 2＋3x )′＝2x ＋3， ∴∫10(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )| 10＝1＋3＝4.(2)∵(sin x ＋e x )′＝cos x ＋e x， ∴∫0－π(cos x ＋e x)d x ＝(sin x ＋e x)| 0－π＝1－e－π.(3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ′＝2x －1x2，∴∫31⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x | 31＝7＋13＝3. [一点通]应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先估计原函数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别注意符号和系数的调整，直到原函数F (x )的导函数F ′(x )＝f (x )为止(一般情况下忽略常数)，然后再利用微积分基本定理求出结果．1⎠⎛1e.1x d x ＝________.解析：⎠⎛1e1x d x ＝ln e －ln 1＝1.答案：12．求下列函数的定积分：(1)∫21(x 2＋2x ＋3)d x ； (2)∫π0(sin x －cos x )d x ；(3)∫21⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x .解：(1)∫21(x 2＋2x ＋3)d x ＝∫21x 2d x ＋∫212x d x ＋∫213d x ＝x 33 |21＋x 2|21＋3x |21＝253. (2)∫π0(sin x －cos x )d x＝∫π0sin x d x －∫π0cos x d x ＝(－cos x )|π0－sin x |π0＝2.(3)∫21⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x ＝∫21x d x ＋∫211xd x＝12x 2 |21＋ln x |21＝12×－12×12＋ln 2－ln 1 ＝32＋ln 2. 3．求下列定积分：2x 2d x ；(2) ⎠⎛23(2－x 2)·(3－x )d x .解：(1)sin 2x 2＝1－cos x2，而⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x ′＝12－12cos x ，2x 2d x ⎛⎭⎪⎫12－12cos x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x |π2＝π4－12＝π－24. (2)原式＝⎠⎛23(6－2x －3x 2＋x 3)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫6x －x 2－x 3＋14x 4|32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6×3－32－33＋14×34－⎝ ⎛⎭⎪⎫6×2－－23＋14×24 ＝－74.求分段函数的定积分[例2]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤π2，1，π2<x <2，x －1，2≤x ≤4，先画出函数图像，再求这个函数在[0,4]上的定积分．[思路点拨]按f (x )的分段标准，分成⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2，[2,4]三段积分求和．[精解详析]图像如图．⎠⎜⎛2π2⎠⎛04f (x )d x ＝20π⎰sin x d x ＋22π⎰d x ＋⎠⎛24(x －1)d x ＝(－cos x )|20π＋x |22π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x |42 ＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2.[一点通](1)分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．(2)带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x <1，2－x ，1≤x ≤2，则∫20f (x )d x ＝() A.34 B.45 C.56D.不存在解析：∫20f (x )d x ＝∫10x 2d x ＋∫21(2－x )d x ，取F 1(x )＝13x 3，F 2(x )＝2x －12x 2，则F 1′(x )＝x 2，F 2′(x )＝2－x ，所以∫20f (x )d x ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝13－0＋2×2－12×－⎝ ⎛⎭⎪⎫2×1－12×12＝56.答案：C5．已知F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x －1，x ≤0，x 2，x >0，求定积分∫1－1F (x )d x .解：∫1－1F (x )d x ＝∫0－1(sin x －1)d x ＋∫10x 2d x＝(－cos x －x ) |0－1＋13x 3 |10＝cos 1－53.含参数的函数的定积分[例3]已知函数f (x )＝∫x 0(at 2＋bt ＋1)d t 为奇函数，且f (1)－f (－1)＝13，试求a ，b的值．[精解详析]f (x )＝∫x 0(at 2＋bt ＋1)d t＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3t 3＋b 2t 2＋t |x 0＝a 3x 3＋b2x 2＋x .∵f (x )为奇函数，∴b2＝0，即b ＝0. 又∵f (1)－f (－1)＝13，∴a 3＋1＋a 3＋1＝13.∴a ＝－52.[一点通](1)当被积函数中含有参数时，必须分清参数和自变量，再进行计算，以免求错原函数．另外，需注意积分下限不大于积分上限．(2)当积分的上(下)限含变量x 时，定积分为x 的函数，可以通过定积分构造新的函数，进而可研究这一函数的性质，解题过程中注意体会转化思想的应用．6．若∫10(k －2x )d x ＝2 013，则k ＝________.解析：∫10(k －2x )d x ＝(kx －x 2)⎪⎪1＝k －1＝2 013，∴k ＝2 014. 答案：2 0147．已知函数f (a )＝∫a0sin x d x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________.解析：f (a )＝∫a0sin x d x ＝－cos x|a 0＝－cos a ＋1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1. 答案：18．已知f (x )是一次函数，其图像过点(3,4)，且⎠⎛01f (x )d x ＝1，求f (x )的解析式． 解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则4＝3a ＋b ，又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax 2＋bx |1＝a 2＋b ＝1， 所以a ＝65，b ＝25，即f (x )＝65x ＋25.求定积分的一些常用技巧：(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分的性质，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号后才能积分．[对应跟踪训练十五]1．下列积分值等于1的是() A.∫10x d x B.∫10(x ＋1)d xC.∫101d xD.∫1012d x解析：∫101d x ＝x ⎪⎪ 10＝1.答案：C2．(福建高考)⎠⎛01(e x＋2x )d x ＝()A ．1B ．e －1C ．eD.e ＋1解析：⎠⎛01(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)|1＝(e 1＋1)－e 0＝e.答案：C3.∫30|x 2－4|d x ＝() A.213 B.3 C.233D.253解析：∫30|x 2－4|d x ＝∫20(4－x 2)d x ＋∫32(x 2－4)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －13x 3⎪⎪⎪20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－4x ⎪⎪⎪32＝233，故选C. 答案：C4．函数F (x )＝∫x0t (t －4)d t 在[－1,5]上() A ．有最大值0，无最小值 B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值解析：F (x )＝∫x 0(t 2－4t )d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2⎪⎪⎪x＝13x 3－2x 2(－1≤x ≤5)．F ′(x )＝x 2－4x ，由F ′(x )＝0，得x ＝0或4，列表如下：x (－1,0) 0 (0,4) 4 (4,5) F ′(x ) ＋0 －0 ＋ F (x )极大值极小值可见极大值F (0)＝0，极小值F (4)＝－3.又F (－1)＝－3，F (5)＝－3，所以最大值为0，最小值为－323.答案：B5．若∫a －a x 2d x ＝18(a >0)，则a ＝________. 解析：∫a－a x 2d x ＝x 33| a－a ＝a 33－－a33＝18⇒a ＝3.答案：36．(陕西高考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝________.解析：显然f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝0＋∫a03t 2d t ＝t 3⎪⎪⎪a＝1，得a ＝1.答案：17．求下列定积分： (1)∫212x 2＋x ＋1xd x ；(2)∫π02sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4d x .解：(1)∫212x 2＋x ＋1xd x＝∫21(2x ＋1x＋1)d x＝∫212x d x ＋∫211xd x ＋∫211d x＝x 2|21＋ln x |21＋x |21＝(4－1)＋ln 2－ln 1＋2－1 ＝4＋ln 2.(2)∵2sin(x ＋π4)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ·22＋cos x ·22＝sin x ＋cos x ，(－cos x ＋sin x )′＝sin x ＋cos x ， ∴∫π2sin(x ＋π4)d x ＝∫π0(sin x ＋cos x )d x＝(－cos x ＋sin x ) |π＝(－cos π＋sin π)－(－cos 0＋sin 0)＝2.8．A ，B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t m/s ，到C 点的速度为24 m/s ，从C 点到B 站前的D 点这段路程做匀速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t ) m/s ，在B 站恰好停车，试求：(1)A ，C 间的距离； (2)B ，D 间的距离．解：(1)设从A 到C 的时间为t 1 s ，则1.2t 1＝24，解得t 1＝20，则AC ＝∫2001.2t d t ＝0.6t 2|200＝240(m)．即A ，C 间的距离为240 m.(2)设从D 到B 的时间为t 2 s ，则24－1.2t 2＝0， 解得t 2＝20，则BD ＝∫200(24－1.2t )d t ＝(24t －0.6t 2) |200＝240(m)．即B ，D 间的距离为240 m.。
高中数学 第四章《定积分》教案 北师大版选修2-2
北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》全部教案§1定积分概念第一课时曲边梯形的面积一、教学目标：理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法。
二、教学重难点： 重点：掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近（取极限）难点：对过程中所包含的基本的微积分 “以直代曲”的思想的理解三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 1、创设情景我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。
那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。
定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。
本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。
一个概念：如果函数()y f x =在某一区间I 上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数()y f x =称为区间I 上的连续函数．（不加说明，下面研究的都是连续函数） 2、新课探析问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线()y f x =的一段，我们把由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？例题：求图中阴影部分是由抛物线2y x =，直线1=x 以及x 轴所围成的平面图形的面积S 。
思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？（2）能否将求这个曲边梯形面积S 的问题转化为求“直边图形”面积的问题？分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲”的思想的应用．xxx 11yyy把区间[]0,1分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。
北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》全部教案姚连省编制
北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》全部教案扶风县法门高中 姚连省 §1 定积分概念 第一课时 曲边梯形的面积一、教学目标：理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法。
二、教学重难点： 重点：掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近（取极限）难点：对过程中所包含的基本的微积分 “以直代曲”的思想的理解三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 1、创设情景我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。
那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。
定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。
本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。
一个概念：如果函数()y f x =在某一区间I 上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数()y f x =称为区间I 上的连续函数．（不加说明，下面研究的都是连续函数） 2、新课探析问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线()y f x =的一段，我们把由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？例题：求图中阴影部分是由抛物线2y x =，直线1=x 以及x 轴所围成的平面图形的面积S 。
思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？（2）能否将求这个曲边梯形面积S 的问题转化为求“直边图形”面积的问题？分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲”的思想的应用．0.1把区间[]0,1分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。
北师大版高中数学选修定积分的简单应用教案(1)
定积分的简单应用一、教学目标：1、了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.2、掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。
二、教学重点与难点：1、定积分的概念及几何意义；2、定积分的基本性质及运算在物理中应用。
三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：（1）、求曲边梯形的思想方法是什么？(2)、定积分的几何意义是什么？（3）、微积分基本定理是什么？（二）、定积分的应用【定积分在物理中应用】1、求变速直线运动的路程我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即()ba s v t dt =⎰例 1。
一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7 一3 所示．求汽车在这1 min 行驶的路程．解：由速度一时间曲线可知： 3,010,()30,10401.590,4060.t t v t t t t ≤≤⎧⎪=≤≤⎨⎪-+≤≤⎩因此汽车在这 1 min 行驶的路程是：104060010403[30( 1.590)s tdt dt t dt =++-+⎰⎰⎰ 210402600104033|30|(90)|1350()24t t t t m =++-+= 答：汽车在这 1 min 行驶的路程是1350m .2．变力作功一物体在恒力F （单位：N ）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移（单位：m)，则力F 所作的功为W=Fs .探究如果物体在变力 F(x ）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (a<b) ，那么如何计算变力F(x ）所作的功W 呢？与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到()ba W F x dx =⎰例2．如图1·7一4 ，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，求克服弹力所作的功．解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力 F ( x ）与弹簧拉伸（或压缩）的长度 x 成正比，即 F ( x ）= kx , 其中常数 k 是比例系数．由变力作功公式，得到220011|()22l l W kxdx x kl J ===⎰答：克服弹力所作的功为212kl J . 例3．A 、B 两站相距7.2km ，一辆电车从A 站B 开往站，电车开出ts 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t(m/s)，到C 点的速度为24m/s ，从C 点到B 点前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经ts 后，速度为（24-1.2t ）m/s ，在B 点恰好停车，试求（1）A 、C 间的距离；（2）B 、D 间的距离；（3）电车从A 站到B 站所需的时间。
高中数学第四章定积分3定积分的简单应用教学案北师大版选修.doc
§3 定积分的简单应用[对应学生用书P42]如图．问题1：图中阴影部分是由哪些曲线围成？提示：由直线x ＝a ，x ＝b 和曲线y ＝f (x )和y ＝g (x )围成． 问题2：你能求得其面积吗？如何求？提示：能，先求由x ＝a ，x ＝b 和y ＝f (x )围成的曲边梯形面积S 1＝∫b af (x )d x ，再求由x ＝a ，x ＝b 和y ＝g (x )围成的曲边梯形面积S 2＝∫b a g (x )d x ，则所求阴影部分面积为S 1－S 2.平面图形的面积一般地，设由曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面图形的面积为S ，则S ＝∫b a f (x )d x －∫ba g (x )d x ，f (x )≥g (x )．定积分在几何中的简单应用主要是求平面图形的面积和旋转体的体积，解题关键是根据图形确定被积函数以及积分上、下限．[对应学生用书P42][例1] 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．[思路点拨] 画出草图，求出直线与抛物线的交点，转化为定积分的计算问题．[精解详析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3，5)和(2,0)， 设所求图形面积为S ，根据图形可得S ＝⎠⎛-32(－x ＋2)d x －⎠⎛-32(x 2－4)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －12x 2 |2－3－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－4x |2－3 ＝252－⎝ ⎛⎭⎪⎫－253＝1256. [一点通] 求由曲线围成图形面积的一般步骤： ①根据题意画出图形； ②求交点，确定积分上、下限； ③确定被积函数； ④将面积用定积分表示；⑤用牛顿－莱布尼兹公式计算定积分，求出结果．1．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1 C.32D. 3解析：结合函数图像可得所求的面积是定积分⎠⎜⎛3π- 3πcos x d x ＝sin x|33ππ-＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝ 3. 答案：D2．(山东高考)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D.4解析：由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛02x －x 3dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 4|20＝4.答案：D3．计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 3所围成的图形的面积S.解：作出曲线y 2＝x ，y ＝x 3的草图，所求面积为如图中的阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x 3得交点的横坐标x ＝0，x ＝1，因此所求图形面积为S ＝∫10xdx －∫10x 3dx ＝23x32|1－14x 4|10＝23－14＝512.[例2] 求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成平面图形的面积．[思路点拨] 作出直线和曲线的草图，可将所求图形的面积转化为两个曲边梯形面积的和，通过计算定积分来求解，注意确定积分的上、下限．[精解详析]作出曲线xy ＝1，直线x ＝y ，y ＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．求交点坐标：由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝3，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3；由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，(舍去)，故B (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，故C (3,3)，故所求面积S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛131⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1x dx ＋∫31(3－x)d x ＝(3x －ln x ) |113＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －12x 2 |31＝4－ln 3.[一点通] 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的交点坐标后，可以将积分区间进行细化分段，然后根据图形对各个区间分别求面积进而求和，在每个区间上被积函数均是由图像在上面的函数减去下面的函数．4．由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面图形(如下图中的阴影部分)的面积是()A ．1 B.π4C .322D.22－2解析：S ＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎛4π 2π (sin x －cos x )dx ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪⎪π40－(cos x ＋sin x )⎪⎪⎪⎪π2π4＝(2－1)－(1－2)＝22－2.答案：D5．求由曲线y ＝x 2和直线y ＝x 及y ＝2x 所围成的平面图形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得A (1,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x ，得B (2,4)，如图所示所求面积为S ＝⎠⎛012x d x －⎠⎛01x d x ＋⎠⎛122x d x －⎠⎛12x 2d x＝⎠⎛01(2x －x )d x ＋⎠⎛12(2x －x 2)d x ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛12(2x －x 2)d x＝12x 2|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3|21＝76.[例3] 求抛物线y ＝2x 2与直线x ＝a(a>0)及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周得到的几何体的体积．[精解详析] 由a>0，各曲线围成的平面图形如图阴影部分所示，V ＝∫a 0π(2x 2)2d x ＝4π∫a 0x 4d x＝4π·15x5 |a 0＝45πa 5. [一点通] 求旋转体的体积的步骤：①建立平面直角坐标系．②确定旋转曲线函数f (x )．③确定积分上、下限a ，b .④计算体积V ＝∫b a πf 2(x )d x .6．y ＝sin x(0≤x≤π)和x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为( )A ．π2B ．4π2C.13π2D.π22 解析：V ＝π∫π0sin 2x d x ＝π∫π1－cos 2x2d x＝π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －sin 2x 2| π0＝π22. 答案：D7．给定一个边长为a 的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，则它的体积为________解析：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则BC 的方程：y ＝a .则该旋转体即圆柱的体积为：∫a0π×a 2d x ＝πa 2x |a0＝πa 3.答案：πa 31．求由曲线围成的图形的面积时，若积分变量选取x 运算较为复杂，可以选y 为积分变量，同时更改积分的上、下限．2．由曲线y ＝f (x )，直线x ＝a ，x ＝b (a <b )以及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周得到的旋转体的体积为V ＝π⎠⎛a bf 2(x )d x .[对应课时跟踪训练十六1．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积是( ) A ．4π B.5π2C ．3πD ．2π解析：如图，求曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1围成图形的面积可根据余弦函数图像的对称性转化为求由直线y ＝0，y ＝1，x ＝0，x ＝2π围成的矩形的面积．故选D.答案：D2．如果用1 N 的力能将弹簧拉长1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，所耗费的功为( ) A ．0.18 J B ．0.26 J C ．0.12 JD ．0.28 J解析：设F (x )＝kx ，当F ＝1 N 时，x ＝0.01 m ，则k ＝100.W ＝⎠⎛00.06100x d x ＝50x 2|0.060＝0.18 (J)．答案：A3．曲线y ＝x 2＋2x 与直线x ＝－1，x ＝1及x 轴所围成图形的面积为( ) A ．2 B.83 C.43D.23解析：S ＝－∫0－1(x 2＋2x )d x ＋∫10(x 2＋2x )d x ＝－⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 20－1＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 210＝23＋43＝2. 答案：A4.如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )A.14 B.15C.16D.17解析：阴影部分的面积为∫10(x －x )d x ＝3222132x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎪⎪⎪1＝16，故所求的概率P ＝阴影部分的面积正方形OABC 的面积＝16，故选C.答案：C5.如图是一个质点做直线运动的v t 图像，则质点在前6 s 内的位移为________．解析：直线OA 的方程为y ＝34x ，直线AB 的方程为y ＝－32x ＋9，故质点在前6 s 内的位移为∫4034x d x ＋∫64⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ＋9d x ＝38x 2⎪⎪⎪40＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34x 2＋9x ⎪⎪⎪64＝6＋3＝9(m)．答案：9 m6.(福建高考)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．解析：因为函数y ＝e x与函数y ＝ln x 互为反函数，其图像关于直线y ＝x 对称，又因为函数y ＝e x与直线y ＝e 的交点坐标为(1，e)，所以阴影部分的面积为2(e×1－⎠⎛01e x d x )＝2e －2e x |10＝2e －(2e －2)＝2，由几何概型的概率计算公式， 得所求的概率P ＝S 阴影S 正方形＝2e 2. 答案：2e27．求抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积． 解：由y ′＝－2x ＋4得在点A ，B 处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为y ＝2x －2和y ＝－2x ＋6，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，y ＝－2x ＋6得两直线交点坐标为C (2,2)，∴S ＝S △ABC －∫31(－x 2＋4x －3)d x ＝12×2×2－⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋2x 2－3x 31＝2－43＝23. 8．已知抛物线y ＝x 2－2x 与直线x ＝0，x ＝a ，y ＝0围成的平面图形的面积为43，求a的值．解：作出y ＝x 2－2x 的图像，如图所示．①当a <0时，S ＝∫0a (x 2－2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪a＝－a 33＋a 2＝43，∴(a ＋1)(a －2)2＝0.∵a <0，∴a ＝－1.②当a ＝0时，不符合题意． ③当a >0时，若0<a ≤2，则S ＝－∫a 0(x 2－2x )d x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪a＝a 2－13a 3＝43，∴(a ＋1)(a －2)2＝0. ∵a >0，∴a ＝2. 若a >2，不合题意， 综上a ＝－1或2.。
高中数学选修2-2 北师大版 4.1.2定积分学案
学习目标：1.正确理解定积分的概念及其几何意义2.掌握定积分的性质并会应用3.体会化曲为直、化繁为简的处理问题的方法学习重点：正确理解定积分的概念及其几何意义学习难点：利用积分求曲面面积 一、预学部分【自主学习】新课知识1、定积分的定义：一般地，给定一个在区间[],a b 上的函数()y f x =，其图像如图所示将[],a b 区间分成n 份，分点为012a x x x =<<<···1n n x x b -<=第i 个小区间为[]1,i i x x -，设其长度为i x ∆，在这个小区间上取一点iξ，使()i f ξ在区间[]1,i i x x -上的值最 ，设1122()()S f x f x ξξ=∆+∆+···+()i i f x ξ∆+···+()n n f x ξ∆ 在这个小区间上取一点i ζ，使()i f ζ在区间[]1,i i xx -上的值最 ，设1122()()s f x f x ζζ=∆+∆+···+()i i f x ζ∆+···+()n n f x ζ∆如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于 ，S 与s 的差也趋于0，此时S 与s 同时趋于某一固定的常数A ,我们就称A 是函数()y f x =在区间[],a b 上的 ，记作()b af x dx ⎰即 其中⎰叫作 ，a 叫作 ，b 叫作 ，()f x 叫作2、定积分的几何意义 当()0f x ≥时，()b af x dx ⎰表示的是 围成的曲边梯形的 当()f x 表示速度关于时间的函数时，()b af x dx ⎰表示的是运动物体从 时所走的 3、定积分的性质性质1：性质2： 性质3： 性质4：（定积分对积分区间的可加性）二、导学模块 【合作探究】用图像表示下列定积分，并通过几何意义求定积分的值1、212xdx ⎰ 2、 ʃ2πcos x d x ；3、11x dx -⎰， 4、20⎰已知101xe dx e ⎰=-，12013x dx ⎰=求下列定积分 5、（1）120()x e x dx ⎰+ 6、（2）120(2)x e x dx ⎰-【拓展延伸】 高（中）考对接若01a xdx ⎰=则实数a =若(1)4aa x dx -⎰-=-则实数a =三、固学提高 【课堂检测】1．已知ʃt0x d x＝2，则ʃ0－t x d x等于()A．0 B．2 C．－1 D．－22．定积分ʃ31e x d x的几何意义是____________________________________________________．3．根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子：(1)ʃ10x d x______ʃ10x2d x； (2)ʃ204－x2d x________ʃ202d x.4．ʃ101－x2d x＝________.5.用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：(1)S1＝________(如图1)；(2)S2＝______(如图2)图1 图2课后反思。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修2-2 1.2定积分》
将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x （n ）1,i i x x 上任取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()nnn i i i S f x nξ===∆=∑∑如果x 无限接近于为函数()f x -⎰积分号()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间,a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ 知识巩固 定积分在几何物理方面的应用学生活动：用定积分表示上节课研究的面积、路程、功，并请三名学生板演曲边图形面积：()ba S f x dx =⎰；变速运动路程 21()t t S v t dt =⎰；变力做功()baW F r dr =⎰问题探究二 定积分的几何意义从几何上看，如果在区间,a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x 所围成的曲边梯形如图中的阴影部分的面积，这就是定积分()baf x dx ⎰的几何意义。
典例分析例1 说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值：⎰⎰⎰--1122111)3(;)2(;2)1(dxx xdx dx学生活动：根据定积分的几何意义，指出曲边梯形的四边所对应的方程，三名学生表达思考结果，其他学生订正 课堂练习用图形表示下列定积分：（1） （2）（3） 说明：一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b 之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号。
分析：一般的，设被积函数()yf x ，若()y f x 在[,]a b 上可取负值。
北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的背景-曲边梯形的面积-课件省名师优质课赛课获奖课件
y = f(x) y
怎样求曲边梯 形旳面积
A1
Oa
b
x
用一种矩形旳面积A1近似替代曲边梯形旳面积A，
得 A A1.
y = f(x) y
怎样求曲边梯 形旳面积
A1 Oa
Байду номын сангаас
A2
b
x
用两个矩形旳面积 近似替代曲边梯形旳面积A， 得 A A1+ A2
y = f(x) y
怎样求曲边梯 形旳面积
A1
A2
北师大版高中数学选修2-2 第四章《定积分》
一、教学目旳：了解求曲边图形面积 旳过程：分割、以直代曲、逼近，感受在 其过程中渗透旳思想措施。
二、教学重难点：
要点：掌握过程环节：分割、以直代 曲、求和、逼近（取极限）
难点：对过程中所包括旳基本旳微积 分 “以直代曲”旳思想旳了解
三、教学措施：探析归纳，讲练结合
y x2
⑴分割
⑵近似替代
⑶求和 ⑷取极限
第i个小区间 O i - 1 i 1 x
nn
区间长度：△x=
1 n
区间高：h=
f
i
1 n
小矩形面积：△S=
f
i 1 n
1 n
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成旳曲边梯形旳面积。
解把底边[0,1]提成n等份,然后在每个分点作底边旳垂线, 这么 曲边三角形被提成n个窄条, 用矩形来近似替代,然后把这些小 矩形旳面积加起来, 得到一种近似值:
A3
A4
Oa
b
x
用四个矩形旳面积 近似替代曲边梯形旳面积A， 得 A A1+ A2+ A3+ A4
y = f(x) y
北师大版高中数学选修定积分综合导数与定积分学案
导数与定积分的综合应用（选讲）【基础过关】1．导数的几何意义及其应用 函数y=f (x) 在点x 0导数的几何意义，就是曲线y=f (x) 在点P(x 0, f(x 0))处的 ， 导数的四则运算法则对加法而言 ；对乘法而言 ；对除法而 言 。
2．导数与定积分的关系在求定积分时，要求出原函数，求原函数的过程可以看作是求导的 。
【基础训练】1．已知函数()f x 在1x =处的导数等于3，则()f x 的解析式可能为（ ） A ．3()(1)3(1)f x x x =-+- B ．()2(1)f x x =- C ．2()2(1)f x x =- D ．()1f x x =-2．若在区间(,)a b 内有()0f x '>且()0f a '≥，则在区间(,)a b 内有（ ） A ．()0f x > B ．()0f x < C ．()0f x = D ．不能确定 3．设函数⎰-=x dt t y 0)1(有极值，则极值点为 .4．11(2)3ln 2ax dx x+=+⎰，则a 的值为 .【典型例题】例1．过点)0,1(P 作曲线kx y C =:（),0(+∞∈x ，+∈N k ，1>k ）的切线切点为1Q ，设1Q 点在x 轴上的投影是点1P ；又过点1P 作曲线C 的切线切点为2Q ，设2Q 点在x 轴上的投影是点2P ；……；依此下去，得到一系列点 ,,,,21n Q Q Q ，设点n Q 的横坐标是n a ．（1）求证：nn k k a )1(-=，+∈N n ； （2）求证：11-+≥k na n ；（3）求证：k k a i ni i-<∑=21（注：121ni n i a a a a ==+++∑）．［剖析］函数y=f (x) 在点x 0导数的几何意义，就是曲线y=f (x) 在点P(x 0, f(x 0))处的切线的斜率，也就是说，曲线y=f (x) 在P (x 0, f (x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0)，于是相应的切线方程为y －y 0=f ′(x 0) (x －x 0)，巧借导数几何意义“传接”的各类综合题频频出现。
高中数学北师大版选修22第4章定积分的概念第3课时word教案
定积分的概念第三课时一、教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景 ；2.借助于几何直观定积分的大体思想，了解定积分的概念，能用定积分概念求简单的定积分；3.理解掌握定积分的几何意义． 二、教学重难点：重点：定积分的概念、用概念求简单的定积分、定积分的几何意义． 难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 三、教学方式：探析归纳，讲练结合 四、教学进程 （一）、创设情景温习：1． 回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方式，解决步骤：分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限（逼近） 2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出一路点． （二）、新课探析 1．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上持续，用分点 0121ii nax x x x x x b将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每一个小区间长度为x （b ax n），在每一个小区间1,i i x x 上任取一点1,2,,ii n ，作和式：11()()nnni i i i b aS f xf n若是x 无穷接近于0（亦即n）时，上述和式n S 无穷趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()b aSf x dx ，其中积分号，b －积分上限，a －积分下限，()f x －被积函数，x －积分变量，[,]a b －积分区间，()f x dx －被积式。
说明：（1）定积分()b af x dx 是一个常数，即n S 无穷趋近的常数S （n 时）记为()b af x dx ，而不是n S ．（2）用概念求定积分的一般方式是：①分割：n 等分区间,a b ；②近似代替：取点1,ii i x x ；③求和：1()ni i b af n；④取极限：1()l i mnb inai ba f x dxfn（3）曲边图形面积：b aS f x dx ；变速运动路程21()t t Sv t dt ；变力做功()b aWF r dr2．定积分的几何意义从几何上看，若是在区间,a b 上函数()f x 持续且恒有()0f x ，那么定积分b af x dx 表示由直线,(),0x a x b a b y 和曲线()yf x 所围成的曲边梯形(如图中的阴影部份)的面积，这就是定积分b af x dx 的几何意义。
高二北师大数学选修224.1定积分的概念教学设计
第四章 定积分 4.1定积分的概念一、教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解掌握定积分的几何意义． 二、教学重点：1.掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）．2.定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 三、教学方法： 探析归纳，讲练结合教学过程： （一）．创设情景复习：1．连续函数的概念；2．求曲边梯形面积的基本思想和步骤；利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？（二）．新课讲授1. 曲边梯形的面积，汽车行驶的路程问题：汽车以速度v 组匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程为S vt =．如果汽车作变速直线运动，在时刻t 的速度为()22v t t =-+（单位：km/h ），那么它在0≤t ≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程S （单位：km ）是多少？分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题．把区间[]0,1分成n 个小区间，在每个小区间上，由于()v t 的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得S （单位：km ）的近似值，最后让n 趋紧于无穷大就得到S （单位：km ）的精确值．（思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程）． 解：（1）分割在时间区间[]0,1上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间： 10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦记第i 个区间为1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其长度为11i i t n n n-∆=-= 把汽车在时间段10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上行驶的路程分别记作： 1S ∆，2S ∆，…，n S ∆显然，1nii S S ==∆∑（2）近似代替当n 很大，即t ∆很小时，在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，可以认为函数()22v t t =-+的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点1i n-处的函数值2112i i v n n --⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从物理意义上看，即使汽车在时间段1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻1i n -处的速度2112i i v n n --⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭作匀速直线运动，即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是的用小矩形的面积i S '∆近似的代替i S ∆，即在局部范围内“以直代取”，则有21112i i i i S S v t n n n ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'∆≈∆=∆=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2112(1,2,,)i i n n n n -⎛⎫=-+=⎪⎝⎭ ①（3）求和由①，21111112nnn n i i i i i i S S v t n n n n ===⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'=∆=∆=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑ =221111102n n n nn n-⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()222311212n n ⎡⎤-+++-+⎣⎦=()()3121126n n n n ---+=11111232n n ⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭从而得到S 的近似值 11111232n S S n n ⎛⎫⎛⎫≈=---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（4）取极限当n 趋向于无穷大时，即t ∆趋向于0时，11111232n S n n ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭趋向于S ，从而有 1111115lim limlim 112323nn n n n i i S S v n n n n →∞→∞→∞=-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===---+=⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ 思考：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程S 与由直线0,1,0t t v ===和曲线22v t =-+所围成的曲边梯形的面积有什么关系？结合上述求解过程可知，汽车行驶的路程lim n n S S →∞=在数据上等于由直线,1,0t t v ===和曲线22v t =-+所围成的曲边梯形的面积．一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为()vv t =，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移S．2、定积分的概念、几何意义、性质前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤： 对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 1）．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b ax n-D =），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n x =L ，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f n x x ==-=D =邋 如果x D 无限接近于0（亦即n ??）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
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定积分复习小结
一、教学目标：1、理解定积分的定义及几何意义，理解定积分的性质，了解微积分的基本定理，并且熟练计算一些函数的积分；2、体会运用分割、近似代替、求和、取极限的思想过程；3、掌握定积分的计算方法；4、利用定积分的几何意义会解决问题。
二、学法指导：1、重点理解定积分的定义及几何意义，理解定积分的性质，了解微积分的基本定理，并且熟练计算一些函数的积分；2、定积分的概念是运用分割、近似代替、求和、取极限的思想；3、重点掌握定积分的计算方法。
三、重点与难点：重点：理解并且掌握定积分算法；难点：利用定积分的几何意义解决问题。
四、教学方法：探究归纳，讲练结合 五、教学过程 （一）、知识闪烁
1、 解决面积、路程、做功问题3个问题一般通过对 自变量的区间得到过剩估计值和不足估计值，分割的 ，估计值就也接近精确值；当分割成的小区间的长度趋于 时，过剩估计值和不足估计值都趋于 ；误差趋于 。
2、定积分的定义思想：（1） (2) (3) (4) ; 3 、()1
lim
n
i
i
n i f x ξ→∞
=∆∑= ；其中⎰
叫做
a 叫做
b 叫做 ()f x 叫 ;
4、
()b
a
f x dx ⎰的几何意义 ；在x 轴上方的面积
取 ，在x 轴下方的面积取
()b
a
f x dx ⎰的几何意义 ；
()b
a
f x dx ⎰的几何意义 ；
()b
a
f x dx ⎰
，
()b
a
f x dx ⎰
，()b
a
f x dx ⎰的关系 ；
计算
()b
a
f x d x ⎰
时，若在],a b ⎡⎣上()0f x ≥则()b
a
f x dx ⎰= 若在],a b ⎡⎣上
()0
f x <()b
a
f x dx ⎰
= 若在],a c ⎡⎣上()0f x ≥，],c b ⎡⎣上()0f x <()b
a
f x dx ⎰=
5、定积分的性质：
1b a
dx ⎰= ()b
a
kf x dx ⎰
= ()()b
a f x g x dx ±⎡⎤⎣
⎦⎰=
（定积分对积分区间的可加性）
()b
a
f x dx ⎰=
6、如果连续函数()f x 是函数()F x 的导函数，即()f x = ，则有
()b
a
f x dx ⎰=
它叫做微积分基本定理，也称牛顿—莱布尼茨公式，()F x 是()f x 的 7、计算定积分
()b
a
f x dx ⎰= =()()F b F a -
8、若()f x 在[],a a -上连续，且是偶函数，则有()a
a
f x dx -=⎰
若()f x 在[]
,a a -上连续，且是奇函数，()a
a
f x dx -=⎰
（二）、方法点拨：
1、求由两条曲线围城的平面图形的面积的解题步骤：（1）、画出图形；（2）确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标，为定积分的上下界；（3）确定被积函数函数，特别分清被积函数的上、下位置；（4）写出平面图形面积的定积分表达式；（5）运用微积分公式求出定积分。
2、求简单旋转体体积的解题步骤：（1）画出旋转前的平面图形（将它转化为函数）；（2）确定轴截面的图形的范围；（3）确定被积函数；（4）v=()2b
a
f x dx π⎰
（三）、例题探究
例1、给出以下命题：（1）若
0)(>⎰
dx x f b
a
，则f (x )>0； （2）4sin 20
=⎰dx x π
;
（3）应用微积分基本定理，有
)1()2(1
2
1
F F dx x
-=⎰
, 则F (x )=ln x ； （4）f (x )的原函数为F (x )，且F (x )是以T 为周期的函数，则dx x f dx x f T
a T
a
⎰
⎰
+=)()(0
；
其中正确命题的个数为 （ ） 答案：B A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
学生练习，教师准对问题讲评。
例2、求由曲线2
2y x =+与3y x =，0x =，2x =所围成的平面图形的面积。
2232123201
:(23)(32)1331(2)|(2)|32231x x dx x x dx
x x x x x x ⎰+-+⎰--=+-+--=1201解由题意知阴影部分的面积是:
S=
x
y
12
例3、如图所示，已知曲线2
1:C y x =与曲线()22:21C y x ax a =-+>交于点O 、A ，
直线()01x t t =<≤与曲线1C 、2C 分别相交于点D 、B ，连结,OD DA AB ,。
写出曲边四．．．边形．．
ABOD （阴影部分）的面积S 与t 的函数关系式()S f t =。
解：（Ⅰ）由22
,2,y x y x ax ⎧=⎨=-+⎩
得点()()20,0,,O A a a ．又由已知得()()22,2,,B t t at D t t -+． 故()()()222
20
112222
t
S x ax dx t t t at t a t =
-+-
+-+-⨯-⎰
()()3232
01132t x ax t t at a t ⎛⎫=-
+-+-+⨯- ⎪⎝⎭
3
2
332211232
t at t t at a t ⎛⎫=-+-+-+ ⎪⎝⎭
3
2216
t a t a t =
-+． ()()3221
016
S f t t at a t t ∴==-+<≤．
例4、物体A 以速度2
31v t =+在一直线上运动，在此直线上与物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方5m 处以10v t =的速度与A 同向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体A 的走过的路程是多少？（时间单位为：s ，速度单位为：m/s ） 解：设A 追上B 时,所用的时间为0t 依题意有B 5A S S =+ 即
2
(31)105t t t dx tdx +=+⎰
⎰
3200055t t t +=+ 22000(1)5(1)t t t +=+ 0t =5 (s)
所以 A S =2
055t +=130 (m)
（四）、课堂练习：课本P95页复习题四A 组1、2
（五）、作业布置：课本P95页复习题四A 组4（1）、（8），5、10、11 五、教后反思：。