(5)二元二次方程和一元二次不等式解法
初中数学知识归纳一元二次不等式与解法
初中数学知识归纳一元二次不等式与解法初中数学知识归纳：一元二次不等式与解法一、引言初中数学学科中，一元二次不等式是一个重要的内容。
在解决实际问题和数学推理中，一元二次不等式经常被应用。
本文将对一元二次不等式的定义、性质以及解法进行详细的归纳与总结。
二、一元二次不等式的定义与性质一元二次不等式指的是包含未知数的平方项的不等式，其一般形式为：ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0其中，a、b、c为已知实数，且a ≠ 0。
1. 定义一元二次不等式是基于一元二次方程和不等式的概念而产生的。
不等式中的未知数仍然是x，与一元二次方程相同。
2. 性质（1）二次函数性质：一元二次不等式与一元二次方程在性质上有很多相似之处，其中关键是利用二次函数的凹凸性质进行分析。
（2）符号问题：处理不等式时需要确定不等号的方向，区别于一元二次方程需要使用等号。
三、解一元二次不等式的常用方法一元二次不等式的解法有两种常用的方法：图像法和区间法。
1. 图像法图像法基于二次函数的图像和不等式的定义，通过对二次函数图像的观察，从几何直觉的角度得出不等式的解集。
2. 区间法区间法利用了二次函数在不等式中的凹凸性质。
通过求解一元二次不等式的判别式和二次函数的极值点，将定义域划分成若干个区间，进而判定不等式的解集。
四、具体解题步骤与示例以下是一元二次不等式解题的一般步骤：1. 对齐系数，将不等式变形成标准形式(ax^2 + bx + c ＞0 或 ax^2 + bx + c ＜0)。
2. 利用图像法或区间法进行解题。
3. 在解集中找出满足题意的解。
解题示例：例题1：解不等式 x^2 + 6x ＞ 0解答过程如下：1. 对齐系数，得到： x^2 + 6x ＞ 02. 根据二次函数的性质，当 a > 0 时，二次函数开口向上，函数图像位于x轴上方。
因此，解集是实数集 R。
3. 综上所述，不等式 x^2 + 6x ＞ 0 的解集为实数集 R。
二元二次方程6种解法
二元二次方程6种解法1、因式分解法：将二次方程因式分解为两个一次因式的乘积，然后分别令每个因式等于0，解出方程的两个根。
例如，对于方程x^2+5x+6=0，可以将其因式分解为(x+2)(x+3)=0，解得x=-2或x=-3。
2、完全平方公式法：当二次方程的常数项与一次项的系数平方之和等于一次项系数的两倍时，可以使用完全平方公式求解。
例如，对于方程x^2+6x+9=0，可以将其写成(x+3)^2=0，解得x=-3。
3、公式法：对于一般形式的二次方程ax^2+bx+c=0，可以使用求根公式解出方程的两个根，公式为：x=(-b±√(b^2-4ac))/2a例如，对于方程x^2+5x+6=0，使用求根公式可以解得x=-2或x=-3。
4、配方法：当二次方程的一次项系数不为1时，可以使用配方法将其转化为完全平方形式，然后使用完全平方公式法求解。
例如，对于方程2x^2+8x+6=0，可以将其配成2(x+2)^2-2=0，然后解得x=-1±√2。
5、图像法：二次方程的根可以用图像法求出，将二次方程表示为y=ax^2+bx+c 的形式，然后绘制出函数y=ax^2+bx+c的图像，在图像上找到x轴与y 轴的交点即为方程的根。
例如，对于方程x^2+5x+6=0，绘制出函数y=x^2+5x+6的图像，可以看到其与x轴的交点为x=-2和x=-3。
6、定比分点公式法：对于二次方程ax^2+bx+c=0，设其两个根为α和β，则有：α+β=-b/aαβ=c/a使用定比分点公式可以求出α和β的值，公式为：α=-b/2a+√(b^2-4ac)/2aβ=-b/2a-√(b^2-4ac)/2a例如，对于方程x^2+5x+6=0，可以使用定比分点公式求得其两个根为α=-3，β=-2。
一元二次不等式及其解法
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学点 四
根的分布问题
关于x的方程x2+(m-2)x+5-m=0的两根
都大于2，求实数m的取值范围.
图3-2-1
【解析】
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图3-2-2
【评析】二次方程根的分布问题多借助根的判别式、 韦达定理或者用数形结合法由二次函数图象求解.
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3.如何研究根的分布问题？ 实数k取何值时，含参数m的二次方程ax2+bx+c=0 （1）有实根、无实根、有两个相等实根. （2）有两正根、两负根，一正一负根. （3）有零根. （4）有两个大于k的根，有两个小于k的根，一根大 于k另一根小于k…的一般讨论方法通常考虑以下几个方 面:①求根公式.②判别式.③对称轴.④开口方向.⑤区间 端点处的函数值. 方法有三类：（一）判别式、韦达定理法；（二） 判别式、对称轴、构造函数法；（三）求根公式法. 以下几类是常见问题：（在a≠0条件下） （1）方程ax2+bx+c=0有实根，有两不等实根，无实 根.主要考虑判别式Δ和二次项系数a的符号. 返回目录
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m<-5或m>1， ≨ ≨1<m<19. 1<m<19，
综上1≤m<19. 【评析】（1）ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的条件为
a>0,
Δ<0.
（2）ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的条件为 a<0, Δ<0.
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不等式(a+1)x2+ax+a>m(x2+x+1)对任意x∈R恒成立，求 a与m之间的关系. 解：
二元二次方程的解法
二元二次方程的解法二元二次方程是数学中的一种常见形式，其解法也是初中数学中的重要内容。
下面将介绍二元二次方程的解法及其相关概念。
一、二元二次方程的定义及形式二元二次方程是指含有两个变量的二次方程，一般形式为：ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0其中，a、b、c、d、e、f为已知系数，x和y为变量。
二、解二元二次方程的方法有多种，下面将介绍常用的两种解法：代入法和消元法。
代入法的步骤如下：步骤一：将一个方程中的一个变量用另一个方程中的另一个变量表示出来，然后带入另一个方程。
步骤二：将带入后得到的一元二次方程进行求解，得到变量的值。
步骤三：将求得的变量值带入原方程中，求解另一个变量的值。
消元法的步骤如下：步骤一：通过适当的乘法或除法，使得两个方程中的某个系数相等或互为相反数。
步骤二：将消去得到的新方程进行求解，得到一个变量的值。
步骤三：将求得的变量值带入原方程中，求解另一个变量的值。
三、二元二次方程解的情况分类在解二元二次方程时，根据不同情况，解的形式也会有所不同。
根据方程的判别式Δ的值，可将解分为三种情况：情况一：当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数解，即方程有两个交点。
情况二：当Δ = 0时，方程有两个相等的实数解，即方程有一个切点。
情况三：当Δ < 0时，方程没有实数解，即方程没有交点。
四、实例解析现举例说明二元二次方程的解法：例题：解方程组x^2 + 3xy - 4y^2 - 2x + 4y - 1 = 02x^2 + 7xy - 6y^2 - 5x - 5y + 2 = 0解答：通过代入法解题，我们将第一个方程中的变量x用第二个方程中的变量y表示出来，得到：x = (6y^2 + 5y - 2) / (2y + 5)将x的表达式带入第一个方程中，得到关于y的一元二次方程： (6y^2 + 25y + 20) / (2y + 5) - 3y + (4y - 1) - 1 = 0化简为：4y^2 + 5y - 4 = 0解这个方程可得y的两个解为：y1 = 1/2，y2 = -2将y1和y2分别带入x的表达式中，可得x的两个对应解为：x1 = 41/14，x2 = 29/6因此，原方程的解为{(41/14, 1/2), (29/6, -2)}。
一元二次不等式及其解法
2 1 ∴原不等式的解集为{x|－ ≤ x≤ }． 3 2 (2)∵ Δ＝(－ 4)2－ 4× 2× 7＝－ 40<0 ∴原不等式的解集为 Ø.
例2
1 1 已知不等式 ax ＋bx＋2>0 的解为－ <x< ， 2 3
2
求 2x2＋bx＋a<0 的解．
1 1 变式练习 2 已知不等式 ax ＋5x＋c>0 的解集为{x| <x< }， 3 2
2．不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是(
)
A．(0,2)
C．(2，＋∞)
B．(－∞，0)
D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
解析：不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的 解集，解得0<x<2，故选A. 答案：A
3．不等式－ 6x2－ x＋ 2≤ 0 的解集为( 2 1 A． {x|－ ≤ x≤ } 3 2 1 C． {x|x≥ } 2
2
1 1 故①当 0<a<1 时，(x－1)(x－ )<0⇔1<x< ； a a 1 ②当 a＝1 时，(x－1)(x－ )<0⇔(x－1)2<0⇔x∈Ø； a 1 1 ③当 a>1 时，(x－1)(x－ )<0⇔ <x<1. a a
1 综上所述：当 a<0 时，解集为{x|x< 或 x>1}；当 a a 1 ＝0 时， 解集为{x|x>1}； 当 0<a<1 时， 解集为{x|1<x< }； a 1 当 a＝1 时，解集为 Ø；当 a>1 时，解集为{x| <x<1}． a
)
2 1 B．{x|x≤－ 或 x≥ } 3 2 2 D． {x|x≤－ } 3
二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解
二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解本节知识点：1.一元二次不等式的概念。
2.三个二次的关系。
3.一元二次不等式的解法。
知识点拓展：4.分式不等式的解法。
5.高次不等式的解法。
本节题型：1.解不含参数的一元二次不等式。
2.解含参数的一元二次不等式。
3.三个二次之间的关系。
4.简单高次不等式、分式不等式的解法。
5.XXX成立问题。
6.一元二次不等式的应用。
知识点讲解：一元二次不等式的概念：一元二次不等式是只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
即形如ax2+bx+c>(≥)或ax2+bx+c<(≤)（其中a≠）的不等式叫做一元二次不等式。
解一元二次不等式，就是求出使不等式成立的x的值。
解的集合，叫做这个一元二次不等式的解集。
注意一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式。
三个二次的关系：一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧密的联系。
一元二次方程ax2+bx+c=(a≠)与二次函数y=ax2+bx+c=(a≠)的关系是：1)当Δ=b2-4ac≥时，一元二次方程有实数根，二次函数的图象与x轴有交点，且方程的解是交点的横坐标，交点的横坐标亦是方程的解；①当Δ>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，二次函数的图象与x轴有两个不同的交点；②当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，二次函数的图象与x轴只有一个交点（即抛物线的顶点）。
2)当Δ<0时，一元二次方程无实数根，二次函数的图象与x轴没有交点。
具体关系见下表（1）所示。
一元二次不等式与二次函数y=ax2+bx+c=(a≠)的关系是：一元二次不等式ax2+bx+c>(≥)的解集就是二次函数y=ax2+bx+c=(a≠)的图象位于x轴上方（包括x轴）的部分所对应的自变量的取值范围。
例题讲解：1.解不等式x2+4x+3≤0.解：将不等式化为一元二次方程x2+4x+3=0，解得x=-1，x=-3.因此，不等式的解集为[-3,-1]。
二次函数与一元二次方程、不等式
2．3 二次函数与一元二次方程、不等式(一)教材梳理填空(1)一元二次不等式：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0，其中a ，b ，c 均为常数，a ≠0.(2)二次函数的零点：一般地，对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，我们把使ax 2＋bx ＋c ＝0的实数x 叫做二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点．(3)二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根 有两个不相等的实数根x 1，x 2(x 1<x 2) 有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集 {x |x ＜x 1， 或x ＞x 2} ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2}∅∅(二)基本知能小试 1．判断正误(1)mx 2－5x <0是一元二次不等式．( )(2)若a >0，则一元二次不等式ax 2＋1>0无解．( )(3)若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)，则一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |x 1<x <x 2}．( )(4)不等式x 2－2x ＋3>0的解集为R.( ) 2．不等式2x 2－x －1>0的解集是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <1 B ．{x |x >1} C ．{x |x <1或x >2} D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－12或x >1 3．不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集是( )A ．{x |x <－1}B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >32C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －1<x <32D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >32 4．若不等式ax 2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <12，则a ，c 的值分别为________，________.题型一 一元二次不等式的解法[学透用活][典例1] 解下列不等式：(1)－2x 2＋x －6＜0； (2)－x 2＋6x －9≥0； (3)x 2－2x －3＞0； (4)－4x 2＋4x －1＞0.[对点练清]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}2．不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－1或x ≥92B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1≤x ≤92C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－92或x ≥1D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－92≤x ≤1 3．解不等式：－2<x 2－3x ≤10.题型二 二次函数与一元二次方程、不等式间的关系[学透用活][典例2] 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．[对点练清]1．[变结论]本例中条件不变，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．2．[变条件]若将本例的条件“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}”变为“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13≤x ≤2”．求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．题型三一元二次不等式的实际应用[学透用活][典例3]某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．[对点练清]1．某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位：天)的关系式是y1＝t＋10(0<t≤30，t ∈N)；销售量y2与时间t的关系式是y2＝－t＋35(0<t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额z不小于500元的t的范围为________．2．在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m. 又知甲、乙两种车型的刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲＝0.1x ＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2.问超速行驶谁应负主要责任．[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．下列不等式：①x 2>0；②－x 2－x ≤5；③ax 2>2；④x 3＋5x －6>0；⑤mx 2－5y <0；⑥ax 2＋bx ＋c >0.其中是一元二次不等式的有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个2．不等式－x 2－5x ＋6≥0的解集为( ) A ．{x |x ≥6或x ≤－1} B ．{x |－1≤x ≤6} C ．{x |－6≤x ≤1}D ．{x |x ≤－6或x ≥1}3．二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是全体实数的条件是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ>0B.⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0C.⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ>0 D.⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0 4．若a <0，则关于x 的不等式a (x ＋1)⎝⎛⎭⎫x ＋1a <0的解集为________． 5．若关于x 的不等式(k －1)x 2＋(k －1)x －1<0恒成立，则实数k 的取值范围是________． 二、创新应用题6．解关于x 的不等式x 2－3ax －18a 2>0.[课下双层级演练过关]A 级——学考水平达标练1．设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则S ∩T ＝( )A ．{x |2≤x ≤3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C ．{x |x ≥3}D ．{x |0<x ≤2或x ≥3} 2．下列四个不等式：①－x 2＋x ＋1≥0；②x 2－25x ＋5>0；③x 2＋6x ＋10>0；④2x 2－3x ＋4<1.其中解集为R 的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④3．若0<t <1，则不等式(x －t )⎝⎛⎭⎫x －1t <0的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1t <x <t B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >1t 或x <t C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <1t 或x >t D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪t <x <1t 4．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3，a <0，那么ax 2＋bx ＋c >0的解集为( ) A ．{x |x >3或x <－2} B ．{x |x >2或x <－3} C ．{x |－2<x <3}D ．{x |－3<x <2}5．若产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台 6．要使17－6x －x 2有意义，则x 的解集为________．7．已知集合A ＝{x |3x －2－x 2<0}，B ＝{x |x －a <0}，且B ⊆A ，则a 的取值范围为________． 8．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的非空解集为{x |1<x <m }，则m ＝________. 9．解下列不等式：(1)2x 2＋7x ＋3>0；(2)－4x 2＋18x －814≥0; (3)－2x 2＋3x －2<0; (4)－12x 2＋3x －5>0.10．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？B级——高考水平高分练1．设x2－2x＋a－8≤0对于任意x∈{x|1≤x≤3}恒成立，则a的取值范围是________．2．对于实数x，当且仅当n≤x<n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，则关于x的不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为________．3．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.4．某小商品在2018年的价格为8元/件，年销量是a件．现经销商计划在2019年将该商品的价格下调至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件．经测算，该商品价格下调后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k.该商品的成本价为3元/件．(1)写出该商品价格下调后，经销商的年收益y与实际价格x的关系式；(2)设k＝2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2019年的收益比2018年至少增长20%?5．某热带风暴中心B 位于海港城市A 东偏南30°的方向，与A 市相距400 km.该热带风暴中心B 以40 km/h 的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A 市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？习题课(提升关键能力) 一元二次函数、方程和不等式高频考点一|比较大小[例1] (1)已知a, b 满足等式x ＝a 2＋b 2＋20, y ＝4(2b －a ), 则x, y 满足的大小关系是( )A ．x ≤yB ．x ≥yC ．x <yD ．x >y (2)对于a ＞0，b ＞0，下列不等式中不正确的是( ) A.ab 2＜1a ＋1b B ．ab ≤a 2＋b 22 C ．ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22D.⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(3)若角α，β满足－π2＜α＜π2，－π2＜β＜π2，则2α＋β的取值范围是( )A ．－π<2α＋β<0B ．－π<2α＋β<πC ．－3π2<2α＋β<π2D ．－3π2<2α＋β<3π2[集训冲关]1．若a >b ，x >y ，下列不等式正确的是( )A ．a ＋x <b ＋yB ．ax >byC ．|a |x ≥|a |yD ．(a －b )x <(a －b )y 2．已知a ＋b <0，且a >0，则( )A ．a 2<－ab <b 2B ．b 2<－ab <a 2C ．a 2<b 2<－abD ．－ab <b 2<a 23．若0＜a ＜1,0＜b ＜1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，2ab ，a 2＋b 2中最大的一个是( ) A ．a 2＋b 2 B ．2ab C ．2ab D ．a ＋b4．已知a <b <c ，试比较a 2b ＋b 2c ＋c 2a 与ab 2＋bc 2＋ca 2的大小．高频考点二|基本不等式及应用[例2] (1)已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b ＝________. (3)某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x 元)为50<x ≤80时，每天售出的件数为P ＝105(x －40)2，若要使每天获得的利润最多，销售价格每件应定为多少元？[集训冲关]1.(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3 D.3222．设a ＞0，若对于任意的正数m ，n ，都有m ＋n ＝8，则满足1a ≤1m ＋4n ＋1的a 的取值范围是________．3．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位 m/s)、平均车长l (单位：m)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为____辆/小时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时． 4．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，求2x ＋y 的最小值．高频考点三|一元二次不等式及其应用[例3] (1)解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a ＜0.(2)甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x 元． ①要使生产该产品2小时获得的利润不低于 3 000元，求x 的取值范围；②要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．[集训冲关]1．若不等式－x 2＋mx －1＞0有解，则m 的取值范围是( ) A ．m <－2或m >2 B ．－2<m <2 C ．m ≠±2D ．1<m <32．关于x 的不等式x 2－ax －6a 2>0(a <0)的解集为{x |x <x 1或x >x 2}，且x 2－x 1＝52， 则a 的值为( )A ．－ 5B ．－32C ．－ 2D ．－523．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？高频考点四|一元二次函数、方程和不等式[例4] 若不等式x 2＋ax ＋3－a >0对于满足－2≤x ≤2的一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．[集训冲关]1．若关于x 的方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0的两根均大于1，则m 的取值范围是________．2．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}． (1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0；(2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R .一、选择题1．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <B 或A >B D ．A >B2．设集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，集合B ＝{x |1<x <3}，则A ∪B ＝( ) A ．{x |－1<x <3} B ．{x |－1<x <1} C ．{x |1<x <2} D ．{x |2<x <3}3．设m >1，P ＝m ＋4m －1，Q ＝5，则P ，Q 的大小关系为( ) A ．P <Q B ．P ＝Q C ．P ≥QD ．P ≤Q4．若不等式ax 2＋bx －2>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2<x <－14，则a ＋b 等于( ) A ．－18 B ．8 C ．－13 D ．15．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤2 B ．a ≥2 C ．a ≥3D ．a ≤36.《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB .设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0) B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2aba ＋b≤ab (a >0，b >0) D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0) 7．对任意实数x ，不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．{a |－2<a ≤2} B ．{a |－2≤a ≤2} C ．{a |a <－2或a >2}D ．{a |a ≤－2或a >2}8．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定二、填空题 9．若a ＜b ＜0，则1a －b与1a 的大小关系为________． 10．已知x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．11．关于x 的不等式ax －b >0的解集是{x |x >1}，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)>0的解集是________．12．若m 2x －1mx ＋1＜0(m ≠0)对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是________．三、解答题13. 当x >3时，求2x 2x －3的取值范围．14．解关于x 的不等式56x 2＋ax －a 2<0.15．已知a >0，b >0，1a ＋1b ＝1，求1a －1＋9b －1的最小值．16. 国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54 000美元．(1)写出钻石的价值y 关于钻石重量x 的关系式；(2)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m 克拉和n 克拉， 试证明：当m ＝n 时，价值损失的百分率最大．(注：价值损失的百分率＝原有价值－现有价值原有价值×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计)。
初高中数学衔接课程(5)——一元二次不等式与分式不等式讲义
初高中数学衔接课程第五讲 方程与不等式5.1 二元二次方程组解法方程 22260x xy y x y +++++=是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程。
其中2x ,2xy ,2y 叫做这个方程的二次项,x ,y 叫做一次项,6叫做常数项。
我们看下面的两个方程组：224310,210;x y x y x y ⎧-++-=⎨--=⎩ 222220,560.x y x xy y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组。
下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法。
一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解。
例1 解方程组22440,220.x y x y ⎧+-=⎨--=⎩解：由②,得x ＝2y ＋2， ③把③代入①,整理,得8y 2＋8y ＝0，即y (y ＋1)＝0。
解得y 1＝0，y 2＝－1。
把y 1＝0代入③,得x 1＝2；把y 2＝－1代入③,得x 2＝0。
所以原方程组的解是112,0x y =⎧⎨=⎩，；220,1.x y =⎧⎨=-⎩说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解。
例2解方程组7,12.x y xy +=⎧⎨=⎩解：由①，得7.x y =- ③把③代入②，整理，得27120y y -+= 解这个方程，得123,4y y ==。
把13y =代入③，得14x =；把24y =代入③，得23x =。
所以原方程的解是114,3x y =⎧⎨=⎩，；223,4.x y =⎧⎨=⎩【例3】解方程组11 (1)28 (2)x y xy +=⎧⎨=⎩分析：本题可以用代入消元法解方程组，但注意到方程组的特点，可以把x 、y 看成是方程211280z z -+=的两根，则更容易求解。
解一元二次方程及不等式的解法
解一元二次方程解法一元二次方程：因式分解法；公式法移项：使方程右边为0因式分解：将方程左边因式分解；方法：一提，二套，三十字，四分组由A∙B=0，那么A=0或B=0，解两个一元一次方程2、公式法将方程化为一般式写出a、b、c求出acb42-，假设＜0，那么无实数解假设＞0，那么代入公式求解解以下方程：1、)4(5)4(2+=+xx2、xx4)1(2=+3、22)21()3(xx-=+4、31022=-xx5、〔x+5〕2=16 6、2〔2x－1〕－x〔1－2x〕=07、x2 =64 8、5x2 -52=0 9、8〔3 -x〕2–72=010、3x(x+2)=5(x+2) 11、〔1－3y〕2+2〔3y－1〕=0 12、x2+ 2x + 3=013、x2+ 6x－5=0 14、x2－4x+ 3=0 15、x2－2x－1 =0 16、2x2+3x+1=0 17、3x2+2x－1 =0 18、5x2－3x+2 =0 19、7x2－4x－3 =0 20、-x2-x+12 =0 21、x2－6x+9 =0 22、22-=-23、x2-2x-4=0 24、x2-3=4xx x(32)(23)25、3x 2＋8 x－3＝0 26、(3x＋2)(x＋3)＝x＋1427、(x+1)(x+8)=-12 28、2(x－3) 2＝x 2－929、－3x 2＋22x－24＝0 30、〔2x-1〕2 +3〔2x-1〕+2=0 31、2x 2－9x＋8＝0 32、3〔x-5〕2=x(5-x)33、(x＋2) 2＝8x 34、(x－2) 2＝(2x＋3)235、2t t-+=4410 x x+=36、2720()()239、()2231210x --= 40、2223650x x -+=41、()()2116x x ---= 42、()()323212x x -+= 44、22510x x +-=45、 46、21302x x ++=、二．利用因式分解法解以下方程(x －2) 2＝(2x-3)2042=-x x 3(1)33x x x +=+x 23 ()()0165852=+---x x三．利用开平方法解以下方程1)12(12=-y 24)23(四．利用配方法解以下方程25220x x -+=012632=--x x7x=4x 2+2 01072=+-x x五．利用公式法解以下方程－3x 2＋22x －24＝0 2x 〔x －3〕=x －3． 3x 2+5(2x+1)=0六．选用适当的方法解以下方程(x ＋1) 2－3 (x ＋1)＋2＝022(21)9(3)x x +=-2230x x --=21302x x ++=4)2)(1(13)1(+-=-+x x x x2)2)(113(=--x x x 〔x ＋1〕－5x ＝0. 3x (x －3) ＝2(x －1) (x ＋1).0862=+-x x 01522=--x x 0151122=++x x02532=-+x x 2082=-x x 02522=++x x39922=--x x一元二次不等式及其解法知识点一：一元二次不等式的定义(标准式)任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式：或.知识点二：一般的一元二次不等式的解法一元二次不等式或的解集可以联系二次函数的图象，图象在轴上方局部对应的横坐标值的集合为不等式的解集，图象在轴下方局部对应的横坐标值的集合为不等式的解集.设一元二次方程的两根为且，，那么相应的不等式的解集的各种情况如下表：二次函数〔〕的图象有两相异实根有两相等实根无实根知识点三：解一元二次不等式的步骤〔1〕先看二次项系数是否为正，假设为负，那么将二次项系数化为正数；〔2〕写出相应的方程，计算判别式：①时，求出两根，且〔注意灵活运用因式分解和配方法〕；②时，求根； ③时，方程无解〔3〕根据不等式，写出解集.规律方法指导1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a 是否为正；假设为负，那么将其变为正数； 2．假设相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，假设不能判断两根的大小应分类讨论；4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等 式的解集与其系数之间的关系；5．假设所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数 例1．解以下一元二次不等式 〔1〕； 〔2〕； 〔3〕〔1〕解:因为所以方程的两个实数根为：，函数的简图为：因而不等式的解集是.（1）练习: 解以下不等式 ；；02732<+-x x ；0262≤+--x x ；01442<++x x ； 0532>+-x x862-=+x x 021152=++x x 02732=+-x x062=--x x 01522=--x x ； 01662=++x x ；08232≥+--x x ； 0542≥+-x x ；31≥-x x；0652≤--x x 01272<++x x 0652>++x x0672≥+-x x 0122<--x x 0122>-+x x2230x x --+≥0262≤+--x x 0532>+-x x0142562≤++x x 0941202≤+-x x (2)(3)6x x +-<。
一元二次不等式及其解法
一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解集概念方法微思考1.一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集与其对应的函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像有什么关系？提示 ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集就是其对应函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像在x 轴上方的部分所对应的x 的取值范围.2.一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件是什么？提示 显然a ≠0.ax 2＋bx ＋c >0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0；ax 2＋bx ＋c <0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( √ )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( √ )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( × )(5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集.( √ ) 题组二 教材改编2.已知集合A ＝{x |x 2－x －6>0}，则∁R A 等于( ) A.{x |－2<x <3} B.{x |－2≤x ≤3} C.{x |x <－2}∪{x |x >3} D.{x |x ≤－2}∪{x |x ≥3} 答案 B解析 ∵x 2－x －6>0，∴(x ＋2)(x －3)>0，∴x >3或x <－2，即A ＝{x |x >3或x <－2}.在数轴上表示出集合A ，如图所示.由图可得∁R A ＝{x |－2≤x ≤3}. 故选B.3.y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞ 解析 由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，∴3x 2－2x －2>0的解集为 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞. 题组三 易错自纠4.不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________.(用区间表示) 答案 (－4,1)解析 由－x 2－3x ＋4>0可知，(x ＋4)(x －1)<0， 得－4<x <1.5.若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝⎛⎭⎫－12，13，则a ＋b ＝________. 答案 －14解析 ∵x 1＝－12，x 2＝13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，∴⎩⎨⎧a 4－b2＋2＝0，a 9＋b3＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.6.不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0，对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2] B.(－2,2] C.(－2,2) D.(－∞，2)答案 B解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ<0，∴－2<a <2，另a ＝2时，原式化为－4<0，不等式恒成立， ∴－2<a ≤2.故选B.题型一 一元二次不等式的求解命题点1 不含参的不等式例1 (2018·合肥模拟)已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{y |y ＝2x }，则A ∩B 等于( ) A.(－1,2) B.(－2,1) C.(0,1) D.(0,2)答案 D解析 由题意得A ＝{x |x 2－x －2<0}＝{x |－1<x <2}，B ＝{y |y ＝2x }＝{y |y >0}， ∴ A ∩B ＝{x |0<x <2}＝(0,2).故选D. 命题点2 含参不等式例2 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0). 解 原不等式变为(ax －1)(x －1)<0， 因为a >0，所以⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0.所以当a >1时，解为1a <x <1；当a ＝1时，解集为∅； 当0<a <1时，解为1<x <1a.综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <1. 思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类. (2)根据判别式Δ判断根的个数.(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论. 跟踪训练1 解不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R ). 解 原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0， 即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a >0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 4∪⎝⎛⎭⎫a3，＋∞； 当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪⎝⎛⎭⎫－a4，＋∞.题型二 一元二次不等式恒成立问题命题点1 在R 上的恒成立问题例3 已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈R ，f (x )<0恒成立，求实数m 的取值范围. 解 当m ＝0时，f (x )＝－1<0恒成立.当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0， 即－4<m <0.综上，－4<m ≤0，故m 的取值范围是(－4,0]. 命题点2 在给定区间上的恒成立问题例4 已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<5－m 恒成立，求实数m 的取值范围. 解 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立， 即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立. 方法一 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]. 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)， 即7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)， 即m －6<0， 所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67. 方法二 因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0， 所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67， 所以只需m <67即可.所以m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67. 引申探究1.若将“f (x )<5－m 恒成立”改为“f (x )<5－m 无解”，如何求m 的取值范围？ 解 若f (x )<5－m 无解，即f (x )≥5－m 恒成立， 即m ≥6x 2－x ＋1恒成立，又x ∈[1,3]，得m ≥6，即m 的取值范围为[6，＋∞).2.若将“f (x )<5－m 恒成立”改为“存在x ，使f (x )<5－m 成立”，如何求m 的取值范围？ 解 由题意知f (x )<5－m 有解， 即m <6x 2－x ＋1有解，则m <⎝⎛⎭⎫6x 2－x ＋1max ，又x ∈[1,3]，得m <6， 即m 的取值范围为(－∞，6).命题点3 给定参数范围的恒成立问题例5 若mx 2－mx －1<0对于m ∈[1,2]恒成立，求实数x 的取值范围.解 设g (m )＝mx 2－mx －1＝(x 2－x )m －1，其图像是直线，当m ∈[1,2]时，图像为一条线段，则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)<0，g (2)<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1<0，2x 2－2x －1<0，解得1－32<x <1＋32，故x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32.思维升华 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数. 跟踪训练2 函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，求实数x 的取值范围. 解 (1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立， 需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0， ∴实数a 的取值范围是[－6,2].(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)： ①如图①，当g (x )的图像与x 轴不超过1个交点时， 有Δ＝a 2－4(3－a )≤0， 即－6≤a ≤2.②如图②，g (x )的图像与x 轴有2个交点， 但当x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x ＝－a2<－2，g (－2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－4(3－a )>0，－a2<－2，4－2a ＋3－a ≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <－6，a >4，a ≤73，解得a ∈∅.③如图③，g (x )的图像与x 轴有2个交点， 但当x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0. 即⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x ＝－a2>2，g (2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4(3－a )>0，－a2>2，7＋a ≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <－6，a <－4，a ≥－7.∴－7≤a <－6，综上，实数a 的取值范围是[－7,2].(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立.只需⎩⎪⎨⎪⎧h (4)≥0，h (6)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0， 解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6. ∴实数x 的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞).一、选择题1.已知集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |(x ＋1)(x －5)<0}，则A ∩B 等于( ) A.[－1,4) .[0,5)C.[1,4] .[－4，－1)∪ [4,5)答案 B解析 由题意得B ＝{x |－1<x <5}，故A ∩B ＝{x |x ≥0}∩{x |－1<x <5}＝[0,5).故选B. 2.若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a >0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x <12 C.{x |－2<x <1} D.{x |x <－2或x >1} 答案 A解析 ∵不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，∴ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－1,2，且a <0，即－1＋2＝－b a ，(－1)×2＝2a ，解得a ＝－1，b ＝1，则所求不等式可化为2x 2＋x －1>0，解得x <－1或x >12，故选A.3.若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A.(－3,0)B.[－3,0]C.[－3,0)D.(－3,0]答案 A解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38<0， 解得－3<k <0.4.若存在实数x ∈[2,4]，使x 2－2x ＋5－m <0成立，则m 的取值范围为( ) A.(13，＋∞) B.(5，＋∞) C.(4，＋∞) D.(－∞，13)答案 B解析 m >x 2－2x ＋5，设f (x )＝x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4，x ∈[2,4]，当x ＝2时，f (x )min ＝5，存在x ∈[2,4]使x 2－2x ＋5－m <0成立，即m >f (x )min ，∴m >5.故选B.5.若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( ) A.[－4,1] B.[－4,3] C.[1,3] D.[－1,3] 答案 B解析 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3，综上可得－4≤a ≤3. 6.若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C.(1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－235 答案 A解析 由Δ＝a 2＋8>0知方程恒有两个不等实根，又因为x 1x 2＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，对应二次函数图像的示意图如图.所以不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故选A.7.在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中至多包含1个整数，则a 的取值范围是( ) A.(－3,5) B.(－2,4) C.[－1,3] D.[－2,4]答案 C解析 因为关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0，当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }， 当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}， 当a ＝1时，不等式的解集为∅，要使得解集中至多包含1个整数，则a ＝1或1<a ≤3或1>a ≥－1， 所以实数a 的取值范围是a ∈[－1,3]，故选C.8.设a <0，(4x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，则b －a 的最大值为( ) A.12 B.13 C.14 D.22答案 C解析 当a <b <0时，任意x ∈(a ，b )，2x ＋b <0， 所以(4x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立， 可转化为任意x ∈(a ，b )，a ≤－4x 2， 所以a ≤－4a 2，所以－14≤a <0，所以0<b －a <14；当a <0<b 时，(4x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立， 当x ＝0时，(4x 2＋a )(2x ＋b )＝ab <0，不符合题意； 当a <0＝b 时，由题意知x ∈(a,0)，(4x 2＋a )2x ≥0恒成立， 所以4x 2＋a ≤0，所以－14≤a <0，所以b －a ≤14.综上所述，b －a 的最大值为14.二、填空题9.(2018·重庆模拟)不等式x 2－2ax －3a 2<0(a >0)的解集为________. 答案 {x |－a <x <3a }解析 x 2－2ax －3a 2<0⇔(x －3a )(x ＋a )<0， ∵a >0，∴－a <3a ，不等式的解集为{x |－a <x <3a }. 10.不等式x >1x 的解集为________.答案 (－1,0)∪(1，＋∞)解析 当x >0时，原不等式等价于x 2>1，解得x >1；当x <0时，原不等式等价于x 2<1，解得－1<x <0.所以不等式x >1x的解集为(－1,0)∪(1，＋∞). 11.若关于x 的不等式x 2－ax －a >0的解集为R ，则实数a 的取值范围是________. 答案 (－4,0)解析 因为x 2－ax －a >0的解集为R ，所以Δ＝(－a )2－4(－a )<0，解得－4<a <0，故实数a 的取值范围是(－4,0).12.(2019·开封模拟)不等式x x ＋1≤0的解集为________. 答案 (－1,0]解析 由x x ＋1≤0得x (x ＋1)≤0(x ≠－1)， 解得－1<x ≤0.13.若不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围为________.答案 [－5，＋∞)解析 由题意，分离参数后得，a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋4x . 设f (x )＝－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ，x ∈(0,1]， 则只要a ≥[f (x )]max 即可.由于函数f (x )在区间(0,1]上单调递增，所以[f (x )]max ＝f (1)＝－5，故a ≥－5.14.(2018·郑州模拟)已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a >0，则实数a 的取值范围是________.答案 (1,5]解析 设f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a ，当Δ＝4(a －2)2－4a <0时，即1<a <4 时，f (x )>0 对x ∈R 恒成立；当a ＝1时，f (－1)＝0，不合题意；当a ＝4时，f (2)＝0 符合题意；当Δ>0 时，由⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，1<a －2<5，f (1)≥0，f (5)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a <1或a >4，3<a <7，a ≤5，a ≤5，即4<a ≤5.综上所述，实数a 的取值范围是(1,5].三、解答题15.已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6.(1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值.解 (1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6，∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3>0，即a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3.∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}.(2)∵f (x )>b 的解集为(－1,3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，∴⎩⎨⎧ －1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b 3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3. 16.已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5).(1)求f (x )的解析式；(2)若对于任意的x ∈[－1,1]，不等式f (x )＋t ≤2恒成立，求t 的取值范围.解 (1)f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，即2x 2＋bx ＋c <0的解集是(0,5)， ∴0和5是方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根，由根与系数的关系知，－b 2＝5，c 2＝0，∴b ＝－10，c ＝0，f (x )＝2x 2－10x . (2)f (x )＋t ≤2恒成立等价于2x 2－10x ＋t －2≤0恒成立，∴2x 2－10x ＋t －2在x ∈[－1,1]上的最大值小于或等于0.设g (x )＝2x 2－10x ＋t －2，x ∈[－1,1]，则由二次函数的图像可知g (x )＝2x 2－10x ＋t －2在区间[－1,1]上是减少的，∴g (x )max ＝g (－1)＝10＋t ，∴10＋t ≤0，即t ≤－10.。
二元二次方程式解法
二元二次方程式解法二元二次方程式是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c都是已知常数，而x是未知数。
解二元二次方程式的方法有多种，包括因式分解、配方法、求根公式等。
本文将重点介绍二元二次方程式的解法，并结合标题中心扩展下的描述进行说明。
一、因式分解法：当二元二次方程式可以因式分解时，我们可以通过将方程式化简为两个一次方程的乘积得到解的方法。
具体步骤如下：1. 将方程式左边移到等号右边，使方程式等于零：ax^2 + bx + c = 0。
2. 尝试将方程式因式分解为两个一次方程的乘积：(px + q)(rx + s) = 0。
3. 展开因式分解后的乘积，得到二次方程式：prx^2 + (ps+qr)x + qs = 0。
4. 比较二次方程式的各项系数，得到一系列方程：pr = a，ps+qr = b，qs = c。
5. 解这个方程组，得到p、q、r、s的值。
6. 根据p、q、r、s的值，求出x的值。
二、配方法：当二元二次方程式无法直接因式分解时，我们可以通过配方法将其转化为可因式分解的形式。
具体步骤如下：1. 将方程式左边移到等号右边，使方程式等于零：ax^2 + bx + c = 0。
2. 根据方程式的首项系数a，将方程式两边同时除以a，化简为：x^2 + (b/a)x + c/a = 0。
3. 将方程式的二次项系数(b/a)除以2，并求平方，得到一个新的常数：(b/2a)^2。
4. 将新的常数加到方程式两边，并减去相同的常数，使方程式保持等价：x^2 + (b/a)x + (b/2a)^2 - (b/2a)^2 + c/a = 0。
5. 将方程式进行因式分解：(x + b/2a)^2 - (b/2a)^2 + c/a = 0。
6. 化简方程式，得到：(x + b/2a)^2 - (b^2 - 4ac)/4a^2 = 0。
7. 化简方程式，得到：(x + b/2a)^2 = (b^2 - 4ac)/4a^2。
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法一元二次不等式是指形式为ax^2 + bx + c > 0 (或ax^2 + bx + c < 0)的不等式，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
要解一元二次不等式，需要通过一系列的步骤来确定其解集。
步骤一：将一元二次不等式的左边转化为一个二次函数f(x)。
根据一元二次不等式的形式，我们可以将其左边的项看作是二次函数f(x) = ax^2 + bx + c。
这个二次函数的图像可能是一个抛物线开口向上，也可能是开口向下。
步骤二：求出二次函数f(x)的零点。
为了求出二次函数f(x)的零点，我们需要将其转化为标准形式。
标准形式是指f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为抛物线的顶点坐标。
步骤三：根据二次函数f(x)的开口方向，确定一元二次不等式的解集。
如果二次函数f(x)开口向上，即a > 0，那么一元二次不等式的解集是抛物线上方的区域。
如果二次函数f(x)开口向下，即a < 0，那么一元二次不等式的解集是抛物线下方的区域。
步骤四：根据一元二次不等式的形式，找出它的解集。
通过分析图像和零点，我们可以进一步确定一元二次不等式的解集。
例如，考虑不等式x^2 - 3x + 2 > 0。
首先，我们将不等式左边的项转化为二次函数f(x) = x^2 - 3x + 2，然后求出其零点。
将f(x)转化为标准形式可以得到f(x) = (x - 1)(x - 2)，则它的零点是x = 1和x = 2。
这意味着抛物线与x轴相交于点(1, 0)和(2, 0)。
由于a = 1 > 0，我们知道抛物线开口向上。
因此，不等式的解集是抛物线上方的区域。
我们可以通过测试f(x)在零点以及零点左右的取值来进一步确定解集。
当x < 1时，抛物线在x轴上方，因此f(x) > 0；当1 < x < 2时，抛物线在x轴下方，因此f(x) < 0；当x > 2时，抛物线再次在x轴上方，因此f(x) > 0。
一元二次不等式的解法过程
一元二次不等式的解法过程一元二次不等式是指含有一个未知数的二次函数，其解的集合为一段数轴上的区间。
解一元二次不等式的步骤如下：1. 将一元二次不等式转化为标准形式：将不等式中的所有项都移到一边，使不等式的右边为零。
例如，对于不等式3x^2 - 4x + 1 < 0，将其转化为3x^2 - 4x + 1 - 0 < 0。
2. 求解一元二次方程：将不等式中的等号改为不等号，即求解3x^2 - 4x + 1 = 0的解。
使用求根公式或配方法求得方程的解，得到x1和x2。
3. 根据一元二次函数的图像判断不等式的解集：a) 如果a > 0（a为二次项的系数），则抛物线开口向上。
当x在x1和x2之间时，函数的值小于零，即解集为(x1, x2)。
b) 如果a < 0，则抛物线开口向下。
当x在x1和x2之间时，函数的值大于零，即解集为(-∞, x1)并(x2, +∞)。
c) 如果a = 0，则不是一元二次不等式。
4. 检验解的有效性：将不等式中的x值代入原始不等式中，验证不等式的成立性。
若成立，则解有效；若不成立，则解无效。
5. 表示解集：根据步骤3和4得到的解，将解集用数轴上的区间表示。
例如，解集为(x1, x2)时，在数轴上用一个开区间表示。
下面以一个具体的例子来说明一元二次不等式的解法过程：例题：解不等式x^2 - 5x + 6 > 0。
解法如下：1. 将不等式转化为标准形式：x^2 - 5x + 6 - 0 > 0。
2. 求解一元二次方程：x^2 - 5x + 6 = 0。
通过因式分解或求根公式得到x1 = 2和x2 = 3。
3. 根据一元二次函数的图像判断解集：由于a = 1 > 0，抛物线开口向上。
当x在2和3之间时，函数的值小于零，即解集为(2, 3)。
4. 检验解的有效性：将x = 2.5代入不等式x^2 - 5x + 6 > 0中，得到2.5^2 - 5(2.5) + 6 = 2.25 - 12.5 + 6 = -4.25，小于零，验证了解的有效性。
二元二次方程的解法与应用
二元二次方程的解法与应用二元二次方程是指形如Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0的方程，其中A、B、C、D、E、F是已知常数，而x和y是未知数。
解决这类方程可以运用一些特定的方法和应用，本文将介绍一种较为常用的解法和一些实际生活中的应用。
一、求解方法对于一般的二元二次方程，我们可以运用配方法或代入法来求解。
下面将分别介绍这两种方法。
1. 配方法配方法是通过将方程中的两项合并成完全平方，从而将二次方程化为一次方程的方法。
具体步骤如下：（1）将方程进行分类，并将所有项移到方程的左边，使方程形式为Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0；（2）观察方程中的二次和一次项，找到可以合并成完全平方的两项；（3）将这两项的系数进行调整，使其之和的平方等于这两项的乘积；（4）将合并后的项使用完全平方公式展开，简化方程；（5）将简化后的方程化为一次方程，并解得x和y的值。
通过配方法，我们可以将二元二次方程转化为一次方程，从而求得x和y的值。
2. 代入法代入法是通过将方程中的一个未知数表示成另一个未知数的函数，然后代入到方程中求解的方法。
具体步骤如下：（1）观察方程中的二次项和一次项，选择其中一个未知数表示成另一个未知数的函数；（2）将这一函数代入方程中，并化简方程；（3）得到一个只含有一个未知数的一次方程；（4）解一次方程，求得该未知数的值；（5）将求得的值代入到表示另一个未知数的函数中，求得另一个未知数的值。
通过代入法，我们可以将一个未知数表示成另一个未知数的函数，并通过求解一次方程来求得二元二次方程的解。
二、应用示例1. 飞行物体的轨迹在物理学中，二元二次方程常常被用来描述飞行物体的轨迹。
当物体在空中运动时，其水平和竖直方向上的位置可以用二元二次方程来表示。
通过求解这个方程，我们可以得到物体在空中的轨迹，进而进行轨迹规划和预测。
二次函数与一元二次方程、不等式+课件——2025届高三数学一轮复习
（2）解关于x的不等式:ax 2 − 2x + a < 0 a ∈ .
【解析】若a = 0，则原不等式为−2x < 0，故解集为{x|x > 0}.
（【明易错】不要忽略对二次项系数为0的讨论）
若a ≠ 0，Δ = 4 − 4a2 .
①若a > 0，
2
当Δ > 0,即0 < a < 1时，方程ax − 2x + a = 0的两根为x1 =
若a > 1，则不等式的解为1 < x < a；
若0 < a < 1，则不等式的解为a < x < 1；
若a = 1，则不等式化为 x − 1
2
< 0，其解集为⌀ .
当a < 0时，原不等式等价于 x − 1 x − a > 0，解得x < a或x > 1.
综上，当a > 1时，不等式的解集为{x|1 < x < a}；
1
2
式的解集为{x|x > − 或x < −3}.
（2）−x 2 + 8x − 3 > 0；
【解析】因为Δ = 82 − 4 × −1 × −3 = 52 > 0，所以方程−x 2 + 8x − 3 = 0有两
个不等实根x1 = 4 − 13，x2 = 4 + 13.又二次函数y = −x 2 + 8x − 3的图象开口向
（【警示】注意换元后新元的范围）
则不等式可化为t 2 + 3t − 10 < 0,解得−5 < t < 2，
又t ≥ 0,∴ 0 ≤ t < 2,即0 ≤ x 2 < 2,∴ − 2 < x < 2．
二元二次方程的解法
二元二次方程的解法二元二次方程是指含有两个未知数的二次方程，通常形式为ax^2 + by^2 + cxy+ dx + ey + f = 0。
解二元二次方程是初中数学中的重要内容，掌握解题方法对于学生来说至关重要。
本文将介绍几种常见的解二元二次方程的方法，并通过实例进行说明。
一、配方法配方法是解二元二次方程的常用方法之一。
它的基本思想是通过将方程中的某些项配成完全平方的形式，从而将方程化简为两个一元二次方程。
下面通过一个例子来说明配方法的具体步骤。
例题：解方程组{ x^2 + y^2 + 2xy = 9{ x^2 - y^2 = 1解析：首先，我们可以将第一个方程中的2xy项配成完全平方的形式。
具体来说，我们可以将其改写为(x+y)^2。
然后，将这个改写后的表达式代入第一个方程，得到：(x+y)^2 = 9解这个方程，我们可以得到两个解：x+y=3或x+y=-3。
接下来，我们将这两个解分别代入第二个方程，得到两个一元二次方程：x^2 - y^2 = 1x^2 - y^2 = -7分别解这两个方程，我们可以得到四个解：(x,y)=(2,1)，(x,y)=(-2,-1)，(x,y)=(2,-1)，(x,y)=(-2,1)。
综上所述，方程组的解为{(2,1), (-2,-1), (2,-1), (-2,1)}。
二、代入法代入法是解二元二次方程的另一种常用方法。
它的基本思想是通过将一个方程中的一个未知数表示成另一个方程中的未知数的函数，然后代入另一个方程，从而将方程化简为一个一元二次方程。
下面通过一个例子来说明代入法的具体步骤。
例题：解方程组{ x^2 + y^2 = 9{ x + y = 3解析：首先，我们可以将第二个方程改写为y = 3 - x。
然后，将这个表达式代入第一个方程，得到：x^2 + (3 - x)^2 = 9化简这个方程，我们可以得到一个一元二次方程：2x^2 - 6x = 0。
解这个方程，我们可以得到两个解：x=0或x=3。
二次函数与一元二次方程、不等式【八大题型】(解析版)-2025年新高考数学一轮复习
二次函数与一元二次不等式【八大题型】【新高考专用】【题型1不含参一元二次不等式的解法】【题型2含参一元二次不等式的解法】【题型3由一元二次不等式的解确定参数】【题型4其他不等式的解法】【题型5一元二次不等式根的分布问题】【题型6二次函数的单调性、最值问题】【题型7一元二次不等式恒成立问题】【题型8一元二次不等式有解问题】1、二次函数与一元二次方程、不等式考点要求真题统计考情分析(1)会从实际情景中抽象出一元二次不等式(2)掌握三个“二次”的关系，会解一元二次不等式(3)了解分式、高次、绝对值不等式的解法2020年I 卷：第1题，5分2023年新高考I 卷：第1题，5分一元二次不等式是高考数学的重要内容.从近几年高考情况来看，三个“二次”的关系是必考内容，单独考查的频率很低，偶尔作为已知条件的一部分出现在其他考点的题目中；此外，“含参不等式恒成立与能成立问题”也是常考的热点内容，这类问题把不等式、函数、三角、几何等知识有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐.【知识点1一元二次不等式】1．一元二次不等式的解法(1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：①通过对不等式变形，使二次项系数大于零；②计算对应方程的判别式；③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；④根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集．(2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤：①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．2．分式、高次、绝对值不等式的解法(1)解分式不等式的一般步骤：①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．(2)解高次不等式的一般步骤：高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集.(3)解绝对值不等式的一般步骤：对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解.3．一元二次不等式恒成立、存在性问题不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2+bx+c>0，它的解集为R的条件为a>0，Δ=b2-4ac<0；一元二次不等式ax2+bx+c≥0，它的解集为R的条件为a>0，Δ=b2-4ac≤0；一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为∅的条件为a<0，Δ≤0.【方法技巧与总结】1．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R，则一定满足a>0Δ<0 ；2．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为φ，则一定满足a<0Δ≤0 ；3．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为R，则一定满足a<0Δ<0 ；4．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为φ，则一定满足a>0Δ≤0 ．【题型1不含参一元二次不等式的解法】1(2023·广东珠海·模拟预测)不等式x2+x-6<0的解集是()A.-6,1B.-1,6C.-2,3D.-3,2【解题思路】利用二次不等式的解法可得出原不等式的解集.【解答过程】由x2+x-6<0得x-2x+3<0，解得-3<x<2，故原不等式的解集为-3,2.故选：D.2(2024·天津·一模)设x∈R，则“x<0”是“x2-x>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】解出不等式x 2-x >0后，结合充分条件与必要条件的定义即可得.【解答过程】由x 2-x >0，解得x >1或x <0，故“x <0”是“x 2-x >0”的充分不必要条件.故选：A .3(2023·湖南岳阳·模拟预测)不等式x 2-1<3x +1 的解集是()A.x ∣x <4B.x ∣-4<x <1C.x ∣-1<x <4D.x ∣x <-1 或x >4【解题思路】将不等式化简成一元二次不等式的标准形式，即可求得结果.【解答过程】由不等式x 2-1<3x +1 可得x 2-3x -4<0，即x -4 x +1 <0，可得-1<x <4，因此不等式x 2-1<3x +1 的解集是x ∣-1<x <4 .故选：C .4(2024·湖南衡阳·模拟预测)已知命题p ：集合A =x x 2+x -2>0 ，命题q ：集合B =x x 2+2x -3>0 ，则p 是q 的( )条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要【解题思路】解出集合A 、B ，利用集合的包含关系判断可得出结论.【解答过程】∵A =x x 2+x -2>0 =x x +2 x -1 >0 =x x <-2或x >1 ，B =x x 2+2x -3>0 =x x +3 x -1 >0 =x x <-3或x >1 ，∴B 是A 的真子集，因此，p 是q 的必要不充分条件.故选：B .【题型2含参一元二次不等式的解法】1(23-24高一上·海南海口·期中)若0<m <1，则不等式x -m x -1m<0的解集为()A.x 1m <x <mB.x x >1m 或x <mC.x x <1m或x >m D.x m <x <1m【解题思路】根据0<m <1得到1m >m ，从而写出x -m x -1m <0的解集.【解答过程】因为0<m <1，所以1m>m ，所以x -m x -1m <0的解集为x m <x <1m.故选：D .2(23-24高一上·山东·阶段练习)不等式ax 2-a +1 x +1≥0a <0 的解集为( ).A.x 1a ≤x ≤1B.x 1≤x ≤1aC.x x ≤1a 或x ≥1D.x x ≤1或x ≥1a【解题思路】由一元二次不等式的解法求解.【解答过程】原不等式可化为ax -1 x -1 ≥0即a x -1a (x -1)≥0，而a <0，故1a<1，y =ax 2-(a +1)x +1图象开口向下，故原不等式的解集为x 1a≤x ≤1 .故选：A .3(23-24高一上·河南开封·期中)关于x 的不等式ax 2-a +1 x +1<0的解集不可能是()A.∅B.x x >1C.x 1 <x <1aD.x |x <1 或x >1a【解题思路】将原不等式化为ax -1 x -1 <0，再分类讨论a 的取值情况进行求解.【解答过程】由题意，原不等式可化为ax -1 x -1 <0当a =0时，原不等式为-x +1<0，解得x >1，原不等式的解集为x x >1 ；当a >1时，0<1a <1，原不等式的解集为x 1a<x <1 ；当0<a <1时，1a >1，原不等式的解集为x 1<x <1a ；当a =1时，1a =1，原不等式的解集为∅；当a <0时，1a <1，原不等式的解集为x x <1a 或x >1 ；综上，当a =0时，原不等式的解集为x x >1 ；当a >1时，原不等式的解集为x 1a <x <1 ；当0<a <1时，原不等式的解集为x 1<x <1a；当a =1时，原不等式的解集为∅；当a <0时，原不等式的解集为x x <1a 或x >1 ；故不可能的解集为x |x <1 或x >1a .故选：D .4(23-24高一上·浙江台州·期中)不等式ax 2+bx +c >0的解集为x -3<x <2 ，则下列选项正确的为()A.a +b +c <0B.9a +3b +c >0C.不等式cx 2+ax +b >0的解集为x -13<x <12D.不等式cx 2+bx +a >0的解集为x x >12 或x <-13 【解题思路】赋值法可解AB ，消去参数可解CD .【解答过程】记f x =ax 2+bx +c ，因为1∈x -3<x <2 所以f 1 =a +b +c >0，故A 错误；因为3∉x -3<x <2所以f 3 =9a +3b +c ≤0，故B 错误；由题知-3和2是方程ax 2+bx +c =0的两个实根，所以-b a =-3+2=-1，ca=-3×2=-6且a <0解得b =a ,c =-6a故cx 2+ax +b =-a 6x 2-x -1 >0⇔6x 2-x -1>0⇔x >12或x <-13，C 错误；cx 2+bx +a =-a 6x 2-x -1 >0⇔6x 2-x -1>0⇔x >12或x <-13，D 正确；故选：D .【题型3由一元二次不等式的解确定参数】1(23-24高一下·云南·阶段练习)若关于x 的不等式x 2-m +1 x +m <0的解集中恰有三个整数，则实数m 的取值范围为()A.-3,-2 ∪4,5B.-2,-1 ∪4,5C.-3,1 ∪4,5D.-3,5【解题思路】分类讨论x 2-(m +1)x +m =0的两根大小，结合已知条件，通过求一元二次不等式即可求解.【解答过程】原不等式可化为(x -1)(x -m )<0，当m >1时，得1<x <m ，此时解集中的整数为2，3，4，则4<m ≤5；当m <1时，得m <x <1，此时解集中的整数为-2，-1，0，则-3≤m <-2，综上所述，m 的取值范围是[-3,-2)∪(4,5].故选：A .2(2024·广东·一模)已知a ,b ,c ∈R 且a ≠0，则“ax 2+bx +c >0的解集为x x ≠1 ”是“a +b +c =0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】根据一元二次不等式的解及充分条件、必要条件求解.【解答过程】由题意，二次不等式ax 2+bx +c >0的解集为x x ≠1 ，则等价于a >0-b2a =1Δ=b 2-4ac =0 ，即a =c >0,b =-2a ，即a +b +c =0，当a +b +c =0时，不能推出a =c >0,b =-2a ，所以“ax 2+bx +c >0的解集为x x ≠1 ”是“a +b +c =0”的充分不必要条件，故选：A .3(23-24高三上·云南德宏·期末)已知关于x 的不等式x 2-ax +b ≤0的解集为x 2≤x ≤3 ，则关于x 的不等式x 2-bx +a <0的解集为()A.x 2<x <3B.x 1<x <3C.x 2<x <5D.x 1<x <5【解题思路】根据一元二次不等式的解集与对应一元二次方程的根之间的关系求出a 、b 的值，再解不等式.【解答过程】根据题意，方程x 2-ax +b =0的两根为2和3，则a =2+3=5,b =2×3=6，则x 2-bx +a <0为x 2-6x +5<0，其解集为x 1<x <5 .故选：D .4(23-24高一上·黑龙江大庆·期末)关于x 的不等式x 2-ax -6a <0的解集是{x |m <x <n }，且n -m ≤5，则实数a 的取值范围()A.-25,-24B.0，1C.-25,-24 ∪0，1D.-25,-24 ∪0，1【解题思路】先求出m =a -a 2+24a 2，n =a +a 2+24a2，再根据n -m ≤5，即可求出．【解答过程】关于x的不等式x2-ax-6a<0的解集是{x|m<x<n}，∴m,n是方程x2-ax-6a=0的两个根，∴Δ=a2+24a>0即a(a+24)>0，∴a<-24或a>0，∴m=a-a2+24a2，n=a+a2+24a2，∵n-m≤5，∴a+a2+24a2-a-a2+24a2≤5，即a2+24a-25≤0，即(a-1)(a+25)≤0，解得-25≤a≤1，综上所述-25≤a<-24，或0<a≤1，故选：D.【题型4其他不等式的解法】1(23-24高一上·湖南长沙·期末)解下列不等式：(1)2xx-1≥4；(2)2x-3+x-2≤3.【解题思路】(1)将分式不等式化为2x-2x-1≤0且x≠1，求出解集；(2)将绝对值不等式化为分段函数，零点分段法求解绝对值不等式.【解答过程】(1)不等式2xx-1≥4，移项得2xx-1-4≥0，通分得4-2xx-1≥0，可转化为2x-2x-1≤0且x≠1，解得1<x≤2，不等式解集为x 1<x≤2.(2)令y=2x-3+ x-2=3x-5,x≥2,x-1,32<x<2,-3x+5,x≤32,当x≥2时，3x-5≤3，解得x≤83，即x∈2,83；当32<x<2时，x-1≤3，解得x≤4，即x∈32,2；当x≤32时，-3x+5≤3，解得x≥23，即x∈23,32；综上所述：不等式解集为x 23≤x≤83.2(23-24高一上·江苏扬州·期中)求下列不等式的解集(1)3x-1x+1>4；(2)2x-3x+1<1(3)x+2<1【解题思路】(1)将原不等式3x-1x+1>4等价转换为x-13x+5>0，解一元二次不等式即可.(2)将原不等式2x-3x+1<1等价转换为x+1x-4<0，解一元二次不等式即可.(3)将原不等式x+2<1等价转换为x+1x+3<0，解一元二次不等式即可.【解答过程】(1)由题意3x -1 x +1 >4⇔3x 2+2x -1>4⇔3x 2+2x -5>0⇔x -1 3x +5 >0，解不等式得x <-53或x >1，从而不等式3x -1 x +1 >4的解集为-∞,-53∪1,+∞ .(2)由题意2x -3x +1<1⇔x -4x +1<0⇔x +1 x -4 <0，解不等式得-1<x <4，从而不等式2x -3x +1<1的解集为-1,4 .(3)由题意x +2 <1⇔x +2 2-12<0⇔x +1 x +3 <0，解不等式得-3<x <-1，从而不等式x +2 <1的解集为-3,-1 .3(22-23高一上·上海徐汇·阶段练习)解下列不等式：(1)5-x x 2-2x -3<-1；(2)(x -1)(x +2)2≥0.【解题思路】对不等式因式分解，由数轴标根法或分类讨论求解即可.【解答过程】(1)5-x x 2-2x -3<-1⇔x 2-3x +2x 2-2x -3<0⇔(x +1)(x -1)(x -2)(x -3)<0，由数轴标根法得，解集为(-1,1)∪(2,3)；(2)(x -1)(x +2)2≥0⇔x -1≥0x +2≠0 或x +2=0，易得解集为{-2}∪[1,+∞).4(2023高一·上海·专题练习)解下列关于x 的不等式．(1)x +4 x +5 22-x 3<0；(2)x 2-4x +13x 2-7x +2<1．【解题思路】(1)由题意不等式等价于x ≠-5x +4 x -2 3>0，由零点标根法画图即可求解.(2)由题意不等式等价于(2x -1)(x -1)(3x -1)(x -2)>0，由零点标根法画图即可求解.【解答过程】(1)原不等式等价于x +4 x +5 2x -2 3>0，所以x ≠-5x +4 x -2 3>0，如图所示：解得x <-4或x >2且x ≠-5，所以原不等式解集为x |x <-5 或-5<x <-4或x >2 .(2)由x 2-4x +13x 2-7x +2<1得，-2x 2+3x -13x 2-7x +2<0，∴原不等式等价于2x -1 x -13x -1 x -2 >0，即(2x -1)(x -1)(3x -1)(x -2)>0，如图所示：解得x <13或12<x <1或x >2，所以原不等式的解集为{x |x <13或12<x <1或x >2}．【题型5一元二次不等式根的分布问题】1(2024高三·全国·专题练习)关于x 的方程ax 2+a +2 x +9a =0有两个不相等的实数根x 1,x 2，且x 1<1<x 2，那么a 的取值范围是()A.-27<a <25B.a >25 C.a <-27D.-211<a <0【解题思路】说明a =0时，不合题意，从而将ax 2+a +2 x +9a =0化为x 2+1+2ax +9=0，令y =x 2+1+2ax +9，结合其与x 轴有两个交点，且分布在1的两侧，可列不等式即可求得答案.【解答过程】当a =0时，ax 2+a +2 x +9a =0即为2x =0，不符合题意；故a ≠0，ax 2+a +2 x +9a =0即为x 2+1+2ax +9=0，令y =x 2+1+2ax +9，由于关于x 的方程ax 2+a +2 x +9a =0有两个不相等的实数根x 1,x 2，且x 1<1<x 2，则y =ax 2+a +2 x +9a 与x 轴有两个交点，且分布在1的两侧，故x =1时，y <0，即1+1+2a ×1+9<0，解得2a <-11，故-211<a <0，故选：D .2(23-24高三上·四川·阶段练习)若关于x 的方程x 2-2ax +a +2=0在区间-2,1 上有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是()A.-65,-1 B.-65,1 C.-∞,-65 ∪-1,+∞D.-∞,-65∪1,+∞【解题思路】令g x =x 2-2ax +a +2，依题意可得Δ>0-2<a <1g -2 >0g 1 >0，解得即可.【解答过程】令g x =x 2-2ax +a +2，因为方程x 2-2ax +a +2=0在区间-2,1 上有两个不相等的实数解，所以Δ>0-2<a <1g -2 >0g 1 >0，即Δ=4a 2-4a +2 >0-2<a <14+4a +a +2>01-2a +a +2>0，解得-65<a <-1，所以a 的取值范围是-65,-1 ．故选：A ．3(23-24高一上·上海浦东新·期中)已知实数a <b ，关于x 的不等式x 2-a +b x +ab +1<0的解集为x 1,x 2 ，则实数a 、b 、x 1、x 2从小到大的排列是()A.a <x 1<x 2<bB.x 1<a <b <x 2C.a <x 1<b <x 2D.x 1<a <x 2<b【解题思路】由题可知x 1+x 2=a +b ，再利用中间量m ，根据x 1+x 2与x 1x 2之间的关系求出的取值范围，即可判断a 、b 、x 1、x 2之间的关系.【解答过程】由题可得：x 1+x 2=a +b ，x 1x 2=ab +1.由a <b ，x 1<x 2，设x 1=a +m ，则x 2=b -m .所以x 1x 2=(a +m )(b -m )=ab +m (b -a )-m 2=ab +1，所以m (b -a )-m 2=1，m =1+m 2b -a .又a <b ，所以b -a >0，所以m >0.故x 1>a ，x 2<b .又x 1<x 2，故a <x 1<x 2<b .故选：A .4(23-24高三·全国·阶段练习)方程x 2+(m -2)x +5-m =0的一根在区间(2,3)内，另一根在区间(3,4)内，则m 的取值范围是()A.(-5,-4)B.-133,-2 C.-133,-4 D.(-5,-2)【解题思路】令f (x )=x 2+(m -2)x +5-m ，由二次函数根的分布性质有f (2)>0，f (3)<0)，f (4)>0，求得m 的取值范围.【解答过程】令f (x )=x 2+(m -2)x +5-m ，由二次函数根的分布性质，若一根在区间(2,3)内，另一根在区间(3，4)内，只需f (2)>0f (3)<0f (4)>0 ，即4+2(m -2)+5-m >09+3(m -2)+5-m <016+4(m -2)+5-m >0，解不等式组可得-133<m <-4，即m 的取值范围为-133,-4 ，故选：C .【题型6二次函数的单调性、最值问题】1(23-24高一上·江苏南京·期末)若函数f x =x 2-mx +3在区间-∞,2 上单调递减，则实数m 的取值范围是()A.-∞,2B.2,+∞C.-∞,4D.4,+∞【解题思路】利用二次函数的对称轴及函数的单调性列出不等式求解.【解答过程】因为函数f x =x 2-mx +3在区间-∞,2 上单调递减，所以m 2≥2，解得m ≥4.故选：D .2(23-24高一上·湖北武汉·期中)已知函数f (x )=2x 2-kx -8在[-2，1]上具有单调性，则实数k 的取值范围是()A.k ≤-8B.k ≥4C.k ≤-8或k ≥4D.-8≤k ≤4【解题思路】根据二次函数的单调性和对称轴之间的关系，建立条件求解即可.【解答过程】函数f (x )=2x 2-kx -8对称轴为x =k4，要使f (x )在区间[-2，1]上具有单调性，则k 4≤-2或k4≥1，∴k ≤-8或k ≥4综上所述k 的范围是：k ≤-8或k ≥4.故选：C .3(23-24高一上·江苏镇江·阶段练习)若函数y =x 2-2x -3的定义域为[-1,t ]，值域为[-4,0]则实数t 的取值范围为()A.1≤t ≤3B.1<t <3C.-1<t <3D.-1<t ≤3【解题思路】利用分类讨论-1<t ≤1与t >1，求解t 范围.【解答过程】由y =x 2-2x -3的定义域为-1，t ，对称轴为x =1,y =x 2-2x -3当-1<t ≤1时，y =x 2-2x -3在-1，t 单调递减，则y min =t 2-2t -3，y max =(-1)2-2×-1 -3=0，而函数的值域为-4,0 ，则t 2-2t -3=-4，解得t =1，故t =1，当t >1时，y =x 2-2x -3在-1，1 单调递减，在1，t 单调递增，则y min =12-2×1-3=-4，y =-1 2-2×-1 -3=0，y =t 2-2t +3，故-4≤t 2-2t -3≤0，解得-1≤t ≤3，故1<t ≤3，综上所述，t 的取值范围为1≤t ≤3，故选：A .4(2024高三·全国·专题练习)已知函数f x =x 2+ax +b a ,b ∈R 的最小值为0，若关于x 的不等式f x <c 的解集为m ,m +4 ，则实数c 的值为()A.9B.8C.6D.4【解题思路】先由f x =x 2+ax +b a ,b ∈R 的最小值为0，得到Δ=0，再由f (x )<c 的解集为(m ,m +4)，得到f (x )-c =0的根为m ,m +4，从而利用韦达定理即可求解.【解答过程】因为f x =x 2+ax +b a ,b ∈R 开口向上，最小值为0，∴Δ=a 2-4b =0,∴b =a 24，则f (x )=x 2+ax +a 24=x +a 22，∵f (x )<c 的解集为(m ,m +4)，所以m ,m +4是f (x )-c =0的两个不等实根，即m ,m +4是x 2+ax +a 24-c =0的两个不等实根，所以m +m +4=-a ，则m =-a -42，∴c =f (m )=m +a 2 2=-a -42+a 22=4.故选：D .【题型7一元二次不等式恒成立问题】1(2023·福建厦门·二模)不等式ax 2-2x +1>0(a ∈R )恒成立的一个充分不必要条件是()A.a >2B.a ≥1C.a >1D.0<a <12【解题思路】分a =0和a ≠0两种情况讨论求出a 的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.【解答过程】当a =0时，-2x +1>0，得x <12，与题意矛盾，当a ≠0时，则a >0Δ=4-4a <0 ，解得a >1，综上所述，a >1，所以不等式ax 2-2x +1>0(a ∈R )恒成立的一个充分不必要条件是A 选项.故选：A .2(2023·江西九江·模拟预测)无论x 取何值时，不等式x 2-2kx +4>0恒成立，则k 的取值范围是()A.-∞,-2B.-∞,-4C.-4,4D.-2,2【解题思路】由题知4k 2-16<0，再解不等式即可得答案.【解答过程】解：因为无论x 取何值时，不等式x 2-2kx +4>0恒成立，所以，4k 2-16<0，解得-2<k <2，所以，k 的取值范围是-2,2 故选：D .3(2023·辽宁鞍山·二模)若对任意的x ∈(0,+∞),x 2-mx +1>0恒成立，则m 的取值范围是()A.(-2,2)B.(2,+∞)C.(-∞,2)D.(-∞,2]【解题思路】变形给定不等式，分离参数，利用均值不等式求出最小值作答.【解答过程】∀x ∈(0,+∞),x 2-mx +1>0⇔m <x +1x ，而当x >0时，x +1x≥2x ⋅1x =2，当且仅当x =1x，即x =1时取等号，则m <2，所以m 的取值范围是(-∞,2).故选：C .4(23-24高一上·贵州铜仁·期末)当x ∈-1,1 时，不等式2kx 2-kx -38<0恒成立，则k 的取值范围是()A.-3,0B.-3,0C.-3,18D.-3,18【解题思路】对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解.【解答过程】当x ∈-1,1 时，不等式2kx 2-kx -38<0恒成立，当k =0时，满足不等式恒成立；当k ≠0时，令f x =2kx 2-kx -38，则f x <0在-1,1 上恒成立，函数f x 的图像抛物线对称轴为x =14，k >0时，f x 在-1,14 上单调递减，在14,1 上单调递增，则有f -1 =2k +k -38≤0f 1 =2k -k -38≤0，解得0<k ≤18；k <0时，f x 在-1,14 上单调递增，在14,1 上单调递减，则有f 14 =2k 16-k 4-38<0，解得-3<k <0.综上可知，k 的取值范围是-3,18.故选：D .【题型8一元二次不等式有解问题】1(2023·福建宁德·模拟预测)命题“∃x ∈[1,2],x 2≤a ”为真命题的一个充分不必要条件是()A.a ≥1B.a ≥4C.a ≥-2D.a ≤4【解题思路】根据能成立问题求a 的取值范围，结合充分不必要条件理解判断.【解答过程】∵∃x ∈[1,2],x 2≤a ，则x 2 min ≤a ，即a ≥1，∴a 的取值范围1,+∞由题意可得：选项中的取值范围对应的集合应为1,+∞ 的真子集，结合选项可知B 对应的集合为4,+∞ 为1,+∞ 的真子集，其它都不符合，∴符合的只有B ，故选：B .2(2023高三·全国·专题练习)若关于x 的不等式x 2+mx -4>0在区间2,4 上有解，则实数m 的取值范围为()A.-3,+∞B.0,+∞C.-∞,0D.-∞,-3【解题思路】利用二次函数的图象及根的分布计算即可.【解答过程】易知Δ=m 2+16>0恒成立，即x 2+mx -4=0有两个不等实数根x 1,x 2，又x 1x 2=-4<0，即二次函数y =x 2+mx -4有两个异号零点，所以要满足不等式x 2+mx -4>0在区间2,4 上有解，所以只需42+4m -4>0，解得m >-3，所以实数m 的取值范围是-3,+∞ ．故选A ．3(2023·河南·模拟预测)已知命题“∃x 0∈-1,1 ，-x 20+3x 0+a >0”为真命题，则实数a 的取值范围是()A.-∞,-2B.-∞,4C.-2,+∞D.4,+∞【解题思路】由题知x 0∈-1,1 时，a >x 20-3x 0 min ，再根据二次函数求最值即可得答案.【解答过程】解：因为命题“∃x 0∈-1,1 ，-x 20+3x 0+a >0”为真命题，所以，命题“∃x 0∈-1,1 ，a >x 20-3x 0”为真命题，所以，x 0∈-1,1 时，a >x 20-3x 0 min ，因为，y =x 2-3x =x -32 2-94，所以，当x ∈-1,1 时，y min =-2，当且仅当x =1时取得等号.所以，x 0∈-1,1 时，a >x 20-3x 0 min =-2，即实数a 的取值范围是-2,+∞ 故选：C .4(23-24高一上·福建·期中)若至少存在一个x <0，使得关于x 的不等式3-3x -a >x 2+2x 成立，则实数a 的取值范围是()A.-374,3B.-3,134C.-374,134D.-3,3【解题思路】化简不等式3-3x -a >x 2+2x ，根据二次函数的图象、含有绝对值函数的图象进行分析，从而求得a 的取值范围.【解答过程】依题意，至少存在一个x <0，使得关于x 的不等式3-3x -a >x 2+2x 成立，即至少存在一个x<0，使得关于x的不等式-x2-2x+3>3x-a成立，画出y=-x2-2x+3x<0以及y=3x-a的图象如下图所示，其中-x2-2x+3>0.当y=3x-a与y=-x2-2x+3x<0相切时，由y=3x-ay=-x2-2x+3消去y并化简得x2+5x-a-3=0，Δ=25+4a+12=0,a=-374.当y=-3x+a与y=-x2-2x+3x<0相切时，由y=-3x+ay=-x2-2x+3消去y并化简得x2-x+a-3=0①，由Δ=1-4a+12=0解得a=134，代入①得x2-x+14=x-122=0，解得x=12，不符合题意.当y=-3x+a过0,3时，a=3.结合图象可知a的取值范围是-37 4 ,3.故选：A.一、单选题1(2023·山东泰安·模拟预测)“c∈-23,23”是“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】化简“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”，再结合充分条件和必要条件的定义判断.【解答过程】由∀x∈R,x2-cx+3≥0可得Δ=c2-4×3≤0，化简可得-23≤c≤23，所以“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”等价于“c∈-23,23”，“c∈-23,23”可推出“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”，“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”不能推出“c∈-23,23”所以“c∈-23,23”是“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”的充分不必要条件，故选：A.2(2023·湖南岳阳·模拟预测)不等式x-1x-2023≥0的解集为()A.{x∣x≥2023或x≥1}B.{x∣x≤1或x≥2023}C.x∣1≤x≤2023D.{x∣x<1或x>2023}【解题思路】解一元二次不等式即可得解.【解答过程】因为x-1x-2023≥0，所以x≥2023或x≤1，故不等式x -1 x -2023 ≥0的解集为{x ∣x ≤1或x ≥2023}.故选：B .3(2024·浙江·模拟预测)若不等式kx 2+k -6 x +2>0的解为全体实数，则实数k 的取值范围是()A.2≤k ≤18B.-18<k <-2C.2<k <18D.0<k <2【解题思路】分类讨论k =0与k ≠0两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.【解答过程】当k =0时，不等式kx 2+k -6 x +2>0可化为-6x +2>0，显然不合题意；当k ≠0时，因为kx 2+k -6 x +2>0的解为全体实数，所以k >0Δ=k -6 2-4k ×2<0，解得2<k <18；综上：2<k <18.故选：C .4(2024·甘肃张掖·模拟预测)不等式x 2-3x <2-2x 的解集是()A.-1,12B.-12,12C.-1,5-172D.5-172,12【解题思路】按照x 2-3x 正负分类讨论取绝对值，运算得解.【解答过程】当x 2-3x ≥0，即x ≥3或x ≤0时，不等式x 2-3x <2-2x 等价于x 2-3x <2-2x ，即x 2-x -2<0，解得-1<x <2，所以-1<x ≤0；当x 2-3x <0，即0<x <3时，不等式x 2-3x <2-2x 等价于不等式3x -x 2<2-2x ，即x 2-5x +2>0，解得x >5+172或x <5-172，所以0<x <5-172.综上，不等式x 2-3x <2-2x 的解集是-1,5-172 .故选：C .5(2023·山东·模拟预测)若不等式2x 2+bx +c <0的解集是(0,4)，函数f (x )=2x 2+bx +c 的对称轴是()A.x =2B.x =4C.x =52D.x =32【解题思路】由一元二次不等式的解法与二次函数的性质求解．【解答过程】解：∵不等式2x 2+bx +c <0的解集是(0,4)，∴x =0和x =4是方程2x 2+bx +c =0的两个根，∴-b2=0+4，∴b =-8，∴函数f (x )=2x 2+bx +c 的对称轴是x =-b4=2．故选：A ．6(23-24高一上·四川成都·期中)一元二次不等式ax 2+bx +c >0的解为x -2<x <3 ，那么ax 2-bx +c >0的解集为()A.x x >3或x <-2B.x x >2或x <-3C.x -2<x <3D.x -3<x <2【解题思路】根据题意得出a 、b 、c 的关系，代入新的一元二次不等式求解即可.【解答过程】一元二次不等式ax 2+bx +c >0的解为x -2<x <3 ，所以ax 2+bx +c =0的解为x 1=-2,x 2=3，且a <0，由韦达定理得x 1+x 2=-ba =1x 1⋅x 2=c a =-6⇒b =-ac =-6a，代入得ax 2+ax -6a >0⇒x 2+x -6<0⇒-3<x <2，故选：D .7(2023·辽宁鞍山·二模)已知当x >0时，不等式：x 2-mx +16>0恒成立，则实数m 的取值范围是()A.-8,8B.-∞,8C.-∞,8D.8,+∞【解题思路】先由x 2-mx +16>0得m <x +16x ，由基本不等式得x +16x≥8，故m <8.【解答过程】当x >0时，由x 2-mx +16>0得m <x +16x，因x >0，故x +16x ≥2x ×16x =8，当且仅当x =16x 即x =4时等号成立，因当x >0时，m <x +16x恒成立，得m <8，故选：C .8(2023·河南·模拟预测)某同学解关于x 的不等式ax 2+bx +c <0(a ≠0)时，因弄错了常数c 的符号，解得其解集为(-∞,-3)∪(-2,+∞)，则不等式bx 2+cx +a >0的解集为()A.-1,-15B.(-∞,-1)∪-15,+∞ C.15,1D.-∞,15∪(1,+∞)【解题思路】利用根与系数关系、一元二次不等式的解求得a ,b ,c 的关系式，进而求得不等式bx 2+cx +a >0的解集.【解答过程】由题意可知a <0，且-3+(-2)=-b a ,-3×(-2)=-c a，所以b =5a ,c =-6a ，所以bx 2+cx +a >0化为5x 2-6x +1<0，5x -1 x -1 <0，解得15<x <1.故选：C .二、多选题9(2024·广东深圳·模拟预测)下列说法正确的是()A.不等式4x 2-5x +1>0的解集是x x >14或x <1 B.不等式2x 2-x -6≤0的解集是x x ≤-32或x ≥2 C.若不等式ax 2+8ax +21<0恒成立，则a 的取值范围是∅D.若关于x 的不等式2x 2+px -3<0的解集是q ,1 ，则p +q 的值为-12【解题思路】对于AB ，直接解一元二次不等式即可判断；对于C ，对a 分类讨论即可判断；对于D ，由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，先求得p ,q ，然后即可判断.【解答过程】对于A ，4x 2-5x +1>0⇔x -1 4x -1 >0⇔x <14或x >1，故A 错误；对于B ，2x 2-x -6≤0⇔x -2 2x +3 ≤0⇔-32≤x ≤2，故B 错误；若不等式ax 2+8ax +21<0恒成立，当a =0时，21<0是不可能成立的，所以只能a <0Δ=64a 2-84a <0 ，而该不等式组无解，综上，故C 正确；对于D ，由题意得q ,1是一元二次方程2x 2+px -3=0的两根，从而q ×1=-322+p -3=0，解得p =1,q =-32，而当p =1,q =-32时，一元二次不等式2x 2+x -3<0⇔x -1 2x +3 <0⇔-32<x <1满足题意，所以p +q 的值为-12，故D 正确.故选：CD .10(2023·江苏连云港·模拟预测)若对于任意实数x ，不等式a -1 x 2-2a -1 x -4<0恒成立，则实数a 可能是()A.-2B.0C.-4D.1【解题思路】首先当a =1，不等式为-4<0恒成立，故满足题意；其次a ≠1，问题变为了一元二次不等式恒成立问题，则当且仅当a -1<0Δ<0 ，解不等式组即可.【解答过程】当a =1时，不等式为-4<0恒成立，故满足题意；当a ≠1时，要满足a -1<0Δ<0 ，而Δ=4a -1 2+16a -1 =4a -1 a +3 ，所以解得-3<a <1；综上，实数a 的取值范围是-3,1 ；所以对比选项得，实数a 可能是-2，0，1.故选：ABD .11(23-24高二上·山东威海·期末)已知关于x 的不等式ax 2+bx +c >0的解集为-∞,-2 ∪3,+∞ ，则下列选项中正确的是()A.a <0B.不等式bx +c >0的解集是x |x <-6C.a +b +c >0D.不等式cx 2-bx +a <0的解集为-∞,-13 ∪12,+∞ 【解题思路】根据给定的解集，用a 表示出b ,c ，再逐项判断作答.【解答过程】不等式ax 2+bx +c >0的解集为-∞,-2 ∪3,+∞ ，则-2,3是方程ax 2+bx +c =0的根，且a >0，则-b a =1,ca=-6,a >0，即b =-a ,c =-6a ,a >0，A 错误；不等式bx +c >0化为-ax -6a >0，解得x <-6，即不等式bx +c >0的解集是x |x <-6 ，B 正确；a +b +c =-6a <0，C 错误；不等式cx 2-bx +a <0化为-6ax 2+ax +a <0，即6x 2-x -1>0，解得x <-13或x >12，所以不等式cx 2-bx +a <0的解集为-∞,-13 ∪12,+∞ ，D 正确.故选：BD .三、填空题12(2023·江西鹰潭·模拟预测)若命题p ：“∃x ∈R ，k 2-1 x 2+41-k x +3≤0”是假命题，则k 的取值范围是[1,7).【解题思路】本题首先可根据题意得出命题“∀x ∈R ,k 2-1 x 2+4(1-k )x +3>0”是真命题，然后分为k =1,k =-1,k 2-1≠0三种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.【解答过程】因为命题p ：“∃x ∈R ，k 2-1 x 2+41-k x +3≤0”是假命题，所以命题“∀x ∈R ,k 2-1 x 2+4(1-k )x +3>0”是真命题，若k 2-1=0，即k =1或k =-1，当k =1时，不等式为3>0，恒成立，满足题意；当k =-1时，不等式为8x +3>0，不恒成立，不满足题意；当k 2-1≠0时，则需要满足k 2-1>0Δ=16(1-k )2-4×k 2-1 ×3<0 ，即(k -1)(k +1)>0(k -1)(k -7)<0，解得1<k <7，综上所述，k 的取值范围是[1,7).故答案为：[1,7).13(2023·河南·模拟预测)已知函数y =kx -k 与曲线y =x 2-1x有三个交点，则k 的取值范围是-∞,-1 ∪3,+∞.【解题思路】将两曲线表达式联立，得出一元二次方程，利用判别式即可求出k 的取值范围.【解答过程】由题意，函数y =kx -k 与曲线y =x 2-1x有三个交点，y =kx -ky =x 2-1x，则x -1 x 2+1-k x +1 =0，若直线y =kx -k 与曲线y =x 2-1x有三个交点，只需满足方程x 2+1-k x +1=0有两个不等于1和0的解.因为该方程的两个解之积x 1x 2=1，故只需满足Δ=1-k 2-4>0，所以k <-1或k >3，即k 的取值范围是-∞,-1 ∪3,+∞ .故答案为：-∞,-1 ∪3,+∞ .14(23-24高一上·江苏徐州·阶段练习)若关于x 的不等式0≤ax 2+bx +c ≤2a >0 的解集为x -1≤x ≤3 ，则3a +b +2c 的取值范围是32,4．【解题思路】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出a 的取值范围，最后3a +b +2c 都表示成a 的形式即可.【解答过程】因为不等式0≤ax 2+bx +c ≤2a >0 的解集为x -1≤x ≤3 ，所以二次函数f x =ax 2+bx +c 的对称轴为直线x =1，且需满足f -1 =2f 3 =2f 1 ≥0，即a -b +c =29a +3b +c =2a +b +c ≥0，解得b =-2ac =-3a +2 ，所以a+b+c=a-2a-3a+2≥0⇒a≤12，所以a∈0,12，所以3a+b+2c=3a -2a-6a+4=4-5a∈32,4.故答案为：3 2 ,4.四、解答题15(23-24高一下·四川成都·开学考试)已知函数f x =x2-2ax+3．(1)若关于x的不等式f x ≥0的解集为R，求实数a的取值范围；(2)解关于x的不等式f x <0．【解题思路】(1)由题意可知Δ≤0，进而求出实数a的取值范围；(2)根据Δ≤0和Δ>0两种情况讨论，结合二次函数的性质求解即可．【解答过程】(1)若不等式x2-2ax+3≥0的解集为R，则Δ=(-2a)2-12≤0，解得-3≤a≤3，即实数a的取值范围[-3,3]；(2)不等式x2-2ax+3<0，①当Δ≤0时，即-3≤a≤3时，不等式的解集为∅，②当Δ>0时，即a<-3或a>3时，由x2-2ax+3=0，解得x=a-a2-3或x=a+a2-3，所以不等式的解集为{x|a-a2-3<x<a+a2-3}，综上所述，当-3≤a≤3时，不等式的解集为∅；当a<-3或a>3时，不等式的解集为{x|a-a2-3<x<a+a2-3}．16(2024·山东·二模)已知f x 是二次函数，且f1 =4,f0 =1,f3 =4．(1)求f x 的解析式；(2)若x∈-1,5，求函数f x 的最小值和最大值．【解题思路】(1)设二次函数为f x =ax2+bx+c,a≠0，根据题意，列出方程组，求得a,b,c的值，即可求解；(2)根据二次函数的性质，求得函数f x 的单调区间，进而求得其最值.【解答过程】(1)解：设二次函数为f x =ax2+bx+c,a≠0，因为f1 =4,f0 =1,f3 =4，可得a+b+c=4c=19a+3b+c=4，解得a=-1,b=4,c=1，所以函数f x 的解析式f x =-x2+4x+1．(2)解：函数f x =-x2+4x+1，开口向下，对称轴方程为x=2，即函数f x =-x2+4x+1在-1,2单调递增，在2,5单调递减，所以f(x)min=f-1=f5 =-4，f(x)max=f2 =5．17(23-24高二上·江苏南通·期中)设m∈R，关于x的不等式x2+2mx+m+2<0的解集为∅.(1)求m的取值范围；(2)求关于x的不等式mx2+(m-2)x-2≥0的解集.【解题思路】(1)由一元二次不等式恒成立的性质运算即可得解；(2)转化条件为mx-2x+1≥0，按照m=0、0<m≤2、-1≤m<0讨论，运算即可得解.【解答过程】(1)因为关于x的不等式x2+2mx+m+2<0的解集为∅，。
一元二次不等式及其解法 (5)
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0， a＝0.
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：二根(Δ>0)， 一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2， x1＝x2，x1<x2.
典例剖析
题型一 求一元二次不等式的解集
【例1】 求下列一元二次不等式的解集： (1)x2－5x>14；(2)－x2＋7x>6. 解：(1)先将14移到左边化为x2－5x－14>0.因为方 程x2－5x－14＝0的两根分别为－2,7.结合二次函数图 象易得不等式解集为{x|x<－2或x>7}．
若1a<2，即 a>12时，解得1a<x<2；
若1a＝2，即 a＝12时，解集为∅； 若1a>2，即 0<a<12时，解集为 2<x<1a. (3)当 a<0 时，原不等式可化为x－1a(x－2)>0. ∵1a<2，∴不等式解集为x|x<1a或x>2.
综上所述，不等式的解集为：
a＝0 时，{x|x>2}；
C．x2＋6x＋10>0
D．2x2－3x＋4<0 解析：利用“Δ”判断，在不等式x2＋6x＋10>0 中，Δ＝62－40<0，∴不等式x2＋6x＋10＝0的解集 为R.选C. 答案：C
3．不等式x2＋px＋q<0的解集为{x|－3<x<2}，则 p＋q＝________.
解析：依题意，x1＝－3和x2＝2<a<2.
错因分析：当a－2＝0时，原不等式不是一元二 次不等式，不能应用根的判别式，应当单独检验不 等式是否成立． 正解：当 a－2＝0，即 a＝2 时，原不等式为 －4<0，所以 a＝2 时成立．
一元二次不等式的解法】
练一练 2．解关于 x 的不等式 x2＋(1－a)x－a<0. 解：方程 x2＋(1－a)x－a＝0 的解为 x1＝ －1，x2＝a，函数 y＝x2＋(1－a)x－a 的图象 开口向上，则当 a<－1 时，原不等式解集为 {x|a<x<－1}； 当 a＝－1 时，原不等式解集为∅； 当 a> － 1 时 ， 原 不 等 式 解 集 为 {x| － 1<x<a}．
[思考 2] 若[思考 1]中的 a<0，则不 等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是什么？
[思考 3] 若一元二次方程 ax2＋bx ＋c＝0 的判别式 Δ＝b2－4ac<0，则 ax2 ＋bx＋c>0 的解集是什么？
讲一讲 1．解下列不等式：(链接教材 P78－例 1、例 2) (1)2x2＋7x＋3>0； (2)x2－4x－5≤0； (3)－4x2＋18x－841≥0； (4)－12x2＋3x－5>0； (5)－2x2＋3x－2<0.
[尝试解答] 原不等式可化为：(ax＋1)(x－1)<0， 当 a＝0 时，x<1； 当 a>0 时，x＋1a(x－1)<0. ∴－1a<x<1；当 a＝－1 时，x≠1；
当－1<a<0 时，x＋1a(x－1)>0， ∴x>－1a或 x<1； 当 a<－1 时，－1a<1， ∴x>1 或 x<－1a， 综上所述，原不等式的解集是： 当 a＝0 时，{x|x<1}；
二次函数、二次方程、二次不等式之 间的关系
Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋
bx＋c
(a>0)
一元二次方程与不等式的解法
一元二次方程与不等式的解法一元二次方程和不等式是初中数学学习中的重要内容，它们在实际问题中的应用非常广泛。
本文将介绍一元二次方程和不等式的解法，包括基本的求解方法和注意事项。
一、一元二次方程的解法一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
求解一元二次方程可以采用以下两种常用方法：方法一：因式分解法对一元二次方程进行因式分解，将其写成两个一次因式相乘的形式，然后使两个一次因式分别等于0，得到方程的根。
例如，对于方程2x^2 + 7x + 3 = 0，可以将其因式分解为(2x + 1)(x + 3) = 0。
根据零乘法则，得到2x + 1 = 0或x + 3 = 0。
解得x = -1/2或x= -3，即方程的解为x = -1/2和x = -3。
方法二：配方法对于一元二次方程，如果无法直接进行因式分解，我们可以采用配方法来求解。
1. 将方程移项，使得方程的一次项系数为1，即将方程转化为形如x^2 + px + q = 0的方程。
2. 根据配方法，我们需要找到两个数m和n，使得它们的和等于p，乘积等于q。
将方程改写为(x + m)(x + n) = 0。
3. 根据乘法公式展开，得到x^2 + (m + n)x + mn = 0。
4. 将方程与原方程对比，得到m + n = p，mn = q。
5. 解方程组，得到m和n的值。
6. 得到方程的解。
例如，对于方程x^2 + 7x + 10 = 0，我们需要找到两个数m和n，使得m + n = 7，mn = 10。
很明显，符合条件的两个数是2和5。
因此，方程可以写成(x + 2)(x + 5) = 0。
根据零乘法则，得到x + 2 = 0或x + 5 = 0。
解得x = -2或x = -5，即方程的解为x = -2和x = -5。
二、一元二次不等式的解法一元二次不等式的一般形式为：ax^2 + bx + c > 0（或< 0），其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
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(5)二元二次方程和一元二次不等式解法2.3 方程与不等式2.3.1 二元二次方程组解法方程 22260x xy y x y +++++=是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中2x ,2xy ,2y 叫做这个方程的二次项,x ,y 叫做一次项,6叫做常数项．我们看下面的两个方程组：224310,210;x y x y x y ⎧-++-=⎨--=⎩ 222220,560.x y x xy y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法． 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解． 例1 解方程组22440,220.x y x y ⎧+-=⎨--=⎩分析：二元二次方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉的形式．注意到方程②是一个一元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程①，得到一个一元二次方程，从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题．解：由②,得x ＝2y ＋2， ③把③代入①,整理,得 8y 2＋8y ＝0，即 y (y ＋1)＝0．解得 y 1＝0，y 2＝－1．把y 1＝0代入③, 得 x 1＝2； 把y 2＝－1代入③, 得x 2＝0． 所以原方程组的解是112,0x y =⎧⎨=⎩，220,1.x y =⎧⎨=-⎩ 说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解．例2 解方程组 7,12.x y xy +=⎧⎨=⎩解法一：由①，得7.x y =- ③ 把③代入②，整理，得27120y y -+= 解这个方程，得123,4y y ==． 把13y =代入③，得14x =； 把24y =代入③，得23x =． 所以原方程的解是114,3x y =⎧⎨=⎩，223,4.x y =⎧⎨=⎩ 解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把,x y 看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求,x y ．这个方程组的,x y 是一元二次方程27120z z --= 的两个根，解这个方程，得3z =，或4z =．①②①②所以原方程组的解是114,3;x y =⎧⎨=⎩ 223,4.x y =⎧⎨=⎩练 习1．下列各组中的值是不是方程组2213,5x y x y ⎧+=⎨+=⎩ 的解? （1）2,3;x y =⎧⎨=⎩ （2）3,2;x y =⎧⎨=⎩ （3）1,4;x y =⎧⎨=⎩ （4）2,3;x y =-⎧⎨=-⎩2．解下列方程组:（1） 225,625;y x x y =+⎧⎨+=⎩ （2）3,10;x y xy +=⎧⎨=-⎩（3） 221,543;x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩（4）2222,8.y x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩2.3.2 一元二次不等式解法二次函数y ＝x 2－x －6的对应值表与图象如下： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6 由对应值表及函数图象(如图2.3－1)可知当x ＝－2，或x ＝3时，y ＝0，即x 2－x ＝6＝0； 当x ＜－2，或x ＞3时，y ＞0，即x 2－x －6＞0； 当－2＜x ＜3时，y ＜0，即x 2－x －6＜0．这就是说，如果抛物线y = x 2－x －6与x 轴的交点是(－2，0)与(3，0)，那么 一元二次方程x 2－x －6＝0的解就是x 1＝－2，x 2＝3；同样，结合抛物线与x 轴的相关位置，可以得到 一元二次不等式x 2－x －6＞0的解是x ＜－2，或x ＞3； 一元二次不等式x 2－x －6＜0的解是－2＜x ＜3．上例表明：由抛物线与x 轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集．那么，怎样解一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)呢？ 我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象来解一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)．为了方便起见，我们先来研究二次项系数a ＞0时的一元二次不等式的解．我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)，设△＝b 2－4ac ，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）与ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解．（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1和x2(x1＜x2)，由图2.3－2①可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解为x＜x1，或x＞x2；不等式ax2＋bx＋c＜0的解为x1＜x＜x2．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a，由图2.3－2②可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解为x≠－b2a；不等式ax2＋bx＋c＜0无解．（3）如果△＜0，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，由图2.3－2③可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解为一切实数；不等式ax2＋bx＋c＜0无解．今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式．例3解不等式：（1）x2＋2x－3≤0；（2）x－x2＋6＜0；（3）4x2＋4x＋1≥0；（4）x2－6x＋9≤0；（5）－4＋x－x2＜0．解：（1）∵Δ＞0，方程x2＋2x－3＝0的解是x1＝－3，x2＝1．∴不等式的解为－3≤x≤1．（2）整理，得x2－x－6＞0．∵Δ＞0，方程x2－x－6=0的解为x1＝－2，x2＝3．∴所以，原不等式的解为x＜－2，或x＜3．（3）整理，得(2x＋1)2≥0.由于上式对任意实数x都成立，∴原不等式的解为一切实数．（4）整理，得(x－3)2≤0.由于当x＝3时，(x－3)2＝0成立；而对任意的实数x，(x－3)2＜0都不成立，∴原不等式的解为x＝3．（5）整理，得x2－x＋4＞0．Δ＜0，所以，原不等式的解为一切实数．例4 已知不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解是2,3x x <>或求不等式20bx ax c ++>的解．解：由不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解为2,3x x <>或，可知0a <，且方程20ax bx c ++=的两根分别为2和3，∴5,6b c a a-==，即 5,6b ca a=-=．由于0a <，所以不等式20bx ax c ++>可变为20b cx x a a++< ，即 －2560,x x ++<整理，得2560,x x -->所以，不等式20bx ax c +->的解是x ＜－1，或x ＞65．说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题．例5 解关于x 的一元二次不等式210(x ax a ++>为实数).分析 对于一元二次不等式,按其一般解题步骤,首先应该将二次项系数变成正数,本题已满足这一要求,欲求一元二次不等式的解,要讨论根的判别式∆的符号,而这里的∆是关于未知系数的代数式, ∆的符号取决于未知系数的取值范围，因此,再根据解题的需要,对∆的符号进行分类讨论. 解: ∆24a =-,①当0,2a a ∆><->即或2时, 10x ax ++=2方程的解是221244,.22a a a a x x ----+-==所以,原不等式的解集为24,2a a x ---< 或242a a x -+->； ②当Δ＝0，即a ＝±2时，原不等式的解为x ≠－a2；③当0,22,a ∆<-<<即时原不等式的解为一切实数 .综上,当a ≤－2，或a ≥2时，原不等式的解是24,2a a x ---< 或242a a x -+->； 当22,a -<<时原不等式的解为一切实数．例6 已知函数y ＝x 2－2ax ＋1(a 为常数)在－2≤x ≤1上的最小值为n ，试将n 用a 表示出来． 分析：由该函数的图象可知，该函数的最小值与抛物线的对称轴的位置有关，于是需要对对称轴的位置进行分类讨论． 解：∵y ＝(x －a )2＋1－a 2，∴抛物线y ＝x 2－2ax ＋1的对称轴方程是x ＝a ．（1）若－2≤a ≤1，由图2.3-3①可知,当x ＝a 时，该函数取最小值 n ＝1－a 2；(2)若a ＜-2时, 由图2.3-3②可知, 当x ＝-2时，该函数取最小值 n ＝4a +5；(2)若a ＞1时, 由图2.3-3③可知, 当x ＝1时，该函数取最小值 n ＝-2a +2.综上,函数的最小值为§3.3.1三个二次的关系及一元二次不等式的解一、知识回顾：1、形如2++>0ax bx c （或<0）（其中0a ≠）的不等式称为关于x 的一元二次不等式. 2、二次方程、二次函数、二次不等式的关系：设2()=++f x ax bx c (>0)a ，判别式2=4b ac ∆-判别式 >0∆=0∆<0∆方程()=0f x 的解1x ，2x0x无实数解函数=()y f x 的简图不等式的解集 ()>0f x ()<0f x二、例题引路：例1 设二次函数2=23y x x --，当x 为何值时：①>0y ，②=0y ，③<0y 。
例2 结合相应二次函数的图像，解下列不等式：（1）2+230x x -≤ （2）26+90x x -≤ （3）24<0x x -+-例3 已知不等式2++<0x bx c 的解是2<<3x ，求实数b c ，的值。
三、随堂练习：1、 解不等式： （1）x 2＋2x －3≤0； （2）x －x 2＋6＜0；2、已知不等式2++2>0ax bx 的解集是11(,)23-，则+=a b 3、解关于x 的一元二次不等式210x ax ++> (a 为实数)（4）(+2)(3)<6x x -（5）21>03+1x x - （6）20+1x x -≤2、使2(23)2x --有意义的x 的取值范围是3、若方程2+4+4=0kx x 仅有一个解，则实数k = 4、解关于x 的一元二次不等式22210x x a ++-≤ (a 为实数)5、（选做题）已知不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解是2,3x x <>或 求不等式20bx ax c ++>的解。