电磁场理论复习题(含答案)

第1~2章 矢量分析 宏观电磁现象的基本规律

1. 设：直角坐标系中，标量场zx yz xy u ++=的梯度为A

，则M （1，1，1）处 A = ，=⨯∇A 0 。

2. 已知矢量场xz e xy e z y e A z y x ˆ4ˆ)(ˆ2

+++= ，则在M （1，1，1）处=⋅∇A 9 。

3. 亥姆霍兹定理指出，若唯一地确定一个矢量场（场量为A

），则必须同时给定该场矢量

的 旋度 及 散度 。

4. 写出线性和各项同性介质中场量D 、E 、B 、H

、J 所满足的方程（结构方

程）： 。

5. 电流连续性方程的微分和积分形式分别为 和 。

6. 设理想导体的表面A 的电场强度为E 、磁场强度为B

，则

（a ）E 、B

皆与A 垂直。

（b ）E 与A 垂直，B

与A 平行。

（c ）E 与A 平行，B

与A 垂直。

（d ）E 、B 皆与A 平行。 答案：B

7. 两种不同的理想介质的交界面上，

（A ）1212 , E E H H == （B ）1212 , n n n n E E H H == (C) 1212 , t t t t E E H H == (D) 1212 , t t n n E E H H ==

答案：C

8. 设自由真空区域电场强度(V/m) )sin(ˆ0βz ωt E e

E y -=

，其中0E 、ω、β为常数。则空间位移电流密度d J （A/m 2

）为：

（a ） )cos(ˆ0βz ωt E e

y - （b ） )cos(ˆ0βz ωt ωE e y - ˆˆˆ222x y z e e e ++A

⋅∇A ⨯∇E J H B E D σ=μ=ε= , ,t q S d J S ∂∂-=⋅⎰ t J ∂ρ∂-=⋅∇

（c ） )cos(ˆ00βz ωt E ωe

y -ε （d ） )cos(ˆ0βz ωt βE e y -- 答案：C 9. 已知无限大空间的相对介电常数为4=εr ，电场强度(V/m) 2cos ˆ0d

x

e

E x πρ=

，其中0ρ、d 为常数。则d x =处电荷体密度ρ为：

（a ）d 04πρ-

（b ）d 004ρπε- （c ）d 02πρ- （d ）d

02ρπε- 答案：d 10. 已知半径为R 0球面外为真空，电场强度分布为

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>θ+θ<θ+θ-=θθ )R ( )sin ˆcos 2ˆ()

R ( )sin ˆcos ˆ(2

0300

r e e r

B r e e R

E r r 求（1）常数B ；（2）球面上的面电荷密度；（3）球面外的体电荷密度。

Sol. (1) 球面上

由边界条件 t t E E 21=得：

sin sin 230

0θ=θR B

R 202R B =→

（2）由边界条件s n n D D ρ=-21得：

θε=

-ε=-ε=ρcos 6)()(0

210210R E E E E r r n n s （3）由ρ=⋅∇D

得：

⎩

⎨⎧><=θ∂θ∂θε+∂∂ε=⋅∇ε=ρθ )R ( 0)R (

0)sin (sin 1)(10002200r r E r r E r r E r

即空间电荷只分布在球面上。

11. 已知半径为R 0、磁导率为的球体，其外磁场强度分布为

⎪⎩⎪

⎨⎧>θ+θ<θ-θ=θθ )R ( )sin ˆcos 2ˆ(A

)R ( )sin ˆcos ˆ(203

0r e e r r e e H r r

且球外为真空。求（1）常数A ；（2）球面上的面电流密度J S 大小。

Sol. 球面上（r =R 0）：r H 为法向分量；θH 为法向分量 （1）球面上由边界条件n n B B 21=得：r r H H 201μ=μ3

00

R A μμ=→ （2）球面上由边界条件s t t J H H =-21得

θμμ

+

-=-==θθsin )2(|)(0

210R r s H H J

第3章 静电场及其边值问题的解法

1. 静电场中电位与电场强度E

的关系为 ；在两种不同的电介质（介电

常数分别为1ε和2ε）的分界面上，电位满足的边界条件

为 。

2. 设无限大真空区域自由电荷体密度为ρ，则静电场：=⨯∇E

0 ，

E

⋅∇=

。

3. 电位 和电场强度E 满足的泊松方程分别为 、 。

4. 介电常数为

的线性、各向同性的媒质中的静电场储能密度为 。

5. 对于两种不同电介质的分界面，电场强度的 切向 分量及电位移的 法向 分量总是

连续的。

6. 如图，1E 、2E

分别为两种电介质静电场在界面上的电场强度，

，30

°

，

则

60°

，

=||||21E E

。

7. 理想导体与电介质的界面上，表面自由电荷面密度s ρ与电位沿其法向的方向导数

n

∂φ

∂的关系为 。 8. 如图，两块位于x = 0 和 x = d 处无限大导体平板的电位分别为0、U 0，其部充满体密

度

e x

d

) 的电荷（设部介电常数为）。（1）利用直接积分法

计算0 < x < d 区域的电位及电场强度E

；（2）x = 0处导体平板的表面电荷密度。

Sol. 为一维边值问题：)(x φ=φ )1(d d 00222

d x

e x

--ερ-=φ

⇒ερ-=φ∇

边界条件：0)0(==φx ， 0)(U d x ==φ

（1）直接积分得：

1

θ2θ1

E 2

E 1ε2

εE φ=-∇12

1212 n n φφ

φφεε∂∂==∂∂；2

ρφε

∇=-2 E ρε∇∇=2

E 2

1

ε=m w 3

s

n

ρ-=∂φ

∂ε

1=φ0

2U =φo

x

d