全国部分地区大学生物理竞赛电磁学部分

其他两面（上下面）为绝缘板，用导线将两金属板相
连，金属板和导线的电阻可忽略不计。今有电阻率为
的水银流过矩形管，流速为v0. 设管中水银的流速与 管两端压强差成正比，已知流速为v0时的压强差为P0。 在垂直于矩形管上下平面的方向上加均匀磁场，磁感
应强度为B。求 加磁场后水银的流速v
B
解：设加磁场后水银的流速v
dl
d dt
S
××L××
B t L
dS
dB c B dt
求：E 感生 分布
×××O ×r××
解：设场点距轴心为 r ,根据对称性 ×××××
，取以O为心，过场点的圆周环路L
r
r < R
E感生 dlE感2 生 r
S
dB dt
r 2 dB
dt
L
E感生
r 2
dB dt
r > R
E感生 dlE感2 生 r
线框的A, B 两点始终与水平直导线接触，竖直直导线
则与导线框的其他部分接触。已知直导线单位长的电
阻值均为 r，试问：1）导线框的C, D两点移至竖直导
线上时，流过竖直导线CD段的感应电流是多少？2）
此时导线框所受的总安培力为多大？
v
C
B
C
I左 C I右 I
I左
I右 2ar
2 ar 2ar
A
A B
L
R2
dB dt
R2 dB E感生 2r dt
r<R r>R
E感生
r 2
dB dt
E感生
R2 2r
dB dt
L ××L××
B ××××r××
×××××
dB dt 0,E感 0
dB dt 0,E感 0
例 ： 一 无 限 长 圆 柱 ， 偏轴 平 行 地 挖 出 一 圆 柱 空间 ，
两圆柱轴间距离OO d,图中所示为垂直于轴线的
截
面，
用
表示
两
圆柱
间
存在
的 均匀
磁
场的
方
向，
设磁感应强度B随时间t线性增长，即B kt(k为常数）
现在空腔中放一与OO成600 角，长为L的金属棍AOB,
求 ： 沿 棍 的 感 生 电 动解势：AB整个磁场可视为圆柱O内的
oEr.11d.ro2B´E2 A
均匀磁场B和空腔内 – B 的叠加
空腔内的E 感dl应电场由d这B 两d部S 分产生 dt
——节点电流定律(基尔霍夫第一定律)
2）在稳恒电路中，沿任何闭合回路一周的电势降 落的代数和等于零。
——回路电压定律(基尔霍夫第二定律)
欧姆定律的微分形式
JE
1
电 导率 电 阻 率
R l l S S
例：在图面内两固定直导线正交，交点相连接，磁感
应强度为B 的均匀磁场与图面垂直，一边长为a的正
方形导线框在正交直导线上以匀速 v 滑动，滑动时导
vBaLdI0 dIvBa
dt
dt L
IaB mdvaB d Imd2v
dt
dt d2t
由上两d式 2v： B2a2v 谐振动二阶微分方程
2 B2a2 mL
d2t mL
vAcos t () xAs in(t )
由 初 始 t0 时 条 ,x0,件 vv0 ： A v0,0
xv0s in(t) x0
，求盘上沿半径方向产生的感应电动势。
解： di(vB )dl
A
××××××
vBdl lBdl
R
i Bldl B ld l 0
× × dl× × × ×
v
× × ×O × × ×
× × × × × ×
1 BR 2 > 0
A
2
感应电动势的方向 O → A
O
例：如图一矩形管，画斜线的前后两侧面为金属板，
Ein
解：长直密绕螺线管内B=0ni
R
i 变B变产生涡旋电 E 场
r Eout r
dB
Edl
dS
L
S
1 ） Eindl
ddtB dS dt
L
S
2)Eout 2 r 0nC R2 Ein 2rd dB tr20n C r2
E out
0 nCR 2
2r
Ein
0nCr
2
例：一金质圆环以其边缘为支点直立在两磁极间, 环的
L
S
E1
r1 2
dB dt
E2
r2 2
dB dt
y
E1
E E2
E
r1 O
r2 O´
x
O
O´ L
E E 1 E 2 E 1 s i i E 1 c n j o E 2 s i s i E 2 c n j o
r 2 1s
ii n r 1co j s r 2s
底部受两个固定挡的限制, 使其不能滑动, 现环受一扰动
偏离竖直面0.1弧度, 并开始倒下. 已知B=0.5T, 环半径
r1=4cm, 截面半径r2 =1mm, 金的电导率 =4.0107/·m, 设环重F=0.075N, 并可以认为环倒下的过程中重力矩时
时都与磁力矩平衡，求环倒下所需的时间t.
当环倒下时 变 d
并设b足够长，求线圈的运动与时间的关系。（不考
虑重力，框的电阻不计）。
解：线框进入磁场后
y 动生电动势vBa
b
v0 有电流产,方 生向沿 y
a
x FIaB方向x：
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F ma
v变I变产生 （ L
方向 ）反 IaB
m
dv dt
由 全 电 路 欧 姆 定 律圈，R 线0
L IR0
2 2
E
d
dB
j
ii n r 2 2co j s d d
2 dt
Edl
d dBLcos300
3kLd
L
2 dt
4
例：
例：一无限长密绕螺线管的半径为R, 单位长度内的匝数为n，
通以随时间变化的电流i i(t), 且 di C(常量）， dt
则管内的感生电场强度Ein __ , 管外的感生电场强度Eout __ .
建坐标如图
设回路L方向如图
Blx(t)
Ll
d Bl dx
0
dt
dt
Blv
负号说明电动势方向与所设方向相 反，b点电势高(相当于正极)，a点 电势低(相当于负极)。
b
均
v
匀 磁
a
x 场 B
b
a
动生电动势的一般计算公式
b
i (v B) dl
a
若整个导体回路均处于磁场中
dl
的直电阻丝MON相连。 求：1） 电势差UMN; 2) 在环外用多大阻值的电阻丝连接M,N点可使直电
阻丝MON上电流为零。 M
30
O
30
60
解：总的电动势
EdldBR29V dt L K
124.5V
N
Edl
dBdS
LM
dt
S
1)
K 断开，电流方向如图
I3 I1 I2
30
21M2i11
12M12i2
21d d2t1M21dd1it
12d d1t2M12dd2it
M 12M 21M 互感系数
例：一矩形线框由无电阻的导线构成，其边分别与x,y
轴平行，边长分别为a和b，以初速v0 沿x正方向运动， 当t=0时进入磁感应强度为B的均匀磁场，磁场方向如
图，充满x>0的空间，设线圈的自感为L，质量为m，
N
O
B
M
B
A
N
V dl
B dF
A
1） (V B ) dl
L
BL 2
VB dl lBdl
0
2
2)
i R
方向：OA
3) dFid lB dFidlB
4) dM dF l
L
B2L4
M iBld l
0
4R
直流电路
1）在电路的任一节点处，流入的电流强度之和等 于流出节点的电流强度之和
水银中产生感生电动势
b
Bva
水 银 的 电R阻 ： a
a
l
bl
感应电I流 Bvbl
R
水银所受F磁 B场 IaB 力 2va： b 与 lv反向
管两端附加压 P强 aFb差 B2vl
管两端的实际压强差P0： P
据题vv设 0P0P 0P1B P 20 lv
v
v0
1 v0B 2l
P0
二、感生电动势
i (v B) dl
a
l
b B(r)
v
例 . 求长为L的直导线在磁场中转动时的电动势。
解：
v
d
B
(vvBB)与 dldl
v 反向
l
v
A
d vBdl lBdl
dl B
d
L
Bldl
1BL2
O
l
0
2
o
负号表示电动势方向与积分方向相反，即
A O UO UA
A
半径为 R 的铜盘，在均匀磁场中以角速度 转动
根据 I左， I右 各边受安培力计算： 2B2va
FIB 2a 1 2 r
Edl
dB dS
例：半径为20cL m的圆柱形空S间d内t的均匀磁场B随时间
作线性变化B=kt(k=225/ T/s). 用分别为 30 与60
的半圆弧形电阻接成圆环同轴地套在圆柱形空间外，
下图为其截面图。两半圆弧电阻连接处 M, N点用30
E感生 dl
L
d dt
S
B t
dS
（2） 特殊
E感 生具有某
种对称性才有 可能计算出来
空间均匀的磁场被限制在圆柱体内，磁感强度方向
平行柱轴，如长直螺线管内部的场。 磁场随时间变化 则感生电场
Bt
具有柱对称分布。
特殊情况下感生电场的计算
E感生
空圆间柱均内匀 ，B 的磁的场方限向制平在行半柱径轴为，且R有的L
根据法拉第电磁感应定律，感应电动势的一般表
示式为：
d d
B dS
dt dt S
如果回L E路kL及d其l 包围 的 面 积S 保Bt持 d不S变，则
感生电动势：
动生电动势:
由于磁场随时
导体在稳恒磁场
间变化而引起
中运动时,所产
的感应电动势。
生感应电动势。
感生电场的计算
（1） 原则
dI
单位电流的变化对应 的感应电动势
dt
（普遍定义）
1. L的值取决于回路的大小、形状、线圈匝数以及周围 磁介质的分布。
2. 单位：亨利（H） 3. di / dt 相同，L 越大,εL 越大，回路中电流越不容易改
变，L → 回路本身的“电磁惯性”。 4. 自感电动势总是阻碍回路本身电流的变化。
两个载流回路中电流发生变化时相互在对方回路中激起 感生电动势的的现象叫互感现象，这样产生的感应电动 势叫互感电动势。
d
B
I
dt
R1 R2
R1
R2
2
b2
U aU bR 1I22 R R 11 R R 22
R 1R 2 U aU b
由于自己线路中的电流的变化 而在自己的线路中 产生感应电流的现象叫自感现象，这样产生的感应 电动势叫自感电动势。
自感系数（简称自感）
I
i
d dI
L dt dt
L I
L i
B
a
a
D
D
D
I左 C I右
I
2ar
2 ar 2ar
解 ： 左 右 两 侧 动 生势电均动为
2vBacos 2vBa
4
由基尔霍夫定律，或串并联电路
D
I 2vBa 2vB ar 2ar r 2r
I I左 I右
2arI右 2arI 0 2arI左 2arI 0
2）导线框所受磁场力:
时与磁力矩平衡
r2 2r1 32 2 B2co 2sd d tF1s rin
t 2
0.1
r22r1 2 2F2sB i2n co2sd
S
2.1（ 1s)
B
n
N
例：在光滑的水平面上，有一可绕竖直的固定轴O自由 转动的刚性扇形封闭导体回路OABO,其半径OA=L，回 路总电阻为R，在OMN区域内为均匀磁场B，方向如图， 已知OA边进入磁场时的角速度为，则此时导体回路 内的电流 i =___,因此导体回路所受的电磁阻力矩M=__.
O
30
N
M
I1 I2 I3
30 30 60
1
2
N
60
I4 R
3
2 60I3 30I2 0
K 1 30I2 30I1 0
解出：I2
4.5 150
UMN 30I2 0.9V
2) K 合上，令I2 = 0, I4 如图
由I2 0UMN 0
得
：I1
1
30
I3
2
60
I4I1I3
dt
i
R
M Pm B
1 ） 当 时 r 1 2B s in
B
S
2 3） ） R d d t 2 rr1 1 2B co 2rs 1d dt
r2 2 r2 2
N 4）ir2 2r1Bcosd
R
2
dt
5）MPB si
n()
2
iScBosr22r132B2co2sd
2
dt
6） 环倒下过程中重力矩时
电磁学(二)
法拉第电磁感应定律
i
d
dt
楞次定律
闭合回路中感应电流的方向，总是使它所 激发的磁场来阻止引起感应电流的磁通量 的变化。
例：
一、动生电动势
整个导体回路或其中一部分，以及一段孤立导体 在稳恒磁场中运动时，所产生的感应电动势。
Blv
b
均
l
v
匀 磁
场
a
B
典型装置
b
a
应用法拉第电磁感应定律
例：一半径为 a 的小圆线圈，电阻为R，开始时与一 个半径为b（b>>a）的大线圈共面且同心，固定大线 圈，并在其中维持恒定电流 I，使小线圈绕其直径以 匀角速 转动如图（线圈的自感忽略）。 求：1）小线圈中的电流； 2）为使小线圈保持匀角速转动，须对它施加的力矩 3）大线圈中的感应电动势
R3 60
I4
例：无限长密绕螺线管半径为r，其中通有电流，在螺
线管内部产生一均匀磁场B，在螺线管外同轴地套一粗
细均匀的金属圆环，金属环由两个半环组成，a、b为
其分界面，半圆环电阻分别为R1 和 R2，且R1 >R2,，如
图，当B增大时，求: Ua > < = Ub
a
a
R1
R2
b
Edl r2