4-第3章 有限元分析的力学基础
有限元分析基础(推荐完整)
图1-5 驾驶室受侧向力应力云图
图1-6 接触问题结构件应力云图
10
第一章 概述
图1-7 液压管路速度场分布云图
图1-8 磨片热应力云图
图1-9 支架自由振动云图
11
第二章 结构几何构造分析
2.1 结构几何构造的必要性 2.2 结构计算基本知识 2.3 结构几何构造分析的自由度与约束 2.4 自由度计算公式
（1）结点： ① 铰结点；② 刚结点；③ 混合结点。 （2）支座： ① 活动铰支座；② 固定铰支座 ；
③ 固定支座 ；④ 定向支座
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第二章 结构几何构造分析
2.2.2 结构的分类与基本特征
(1) 按结构在空间的位置分 结构可分为平面结构和空间结构两大类
(2) 按结构元件的几何特征分 ① 杆系结构： 梁、拱、桁架、刚架、桁构结构等 。 ② 板壳结构 ③ 实体结构实体结构的长、宽、高三个尺寸都很 大，具有同一量级。 ④ 混合结构
d. 超静定结构中的多余约束破坏后，结构仍然保持 几何不变性，因而仍有一定的承载能力， 不致整个结构 遭受破坏。
e. 超静定结构由于具有多余的约束，因而比相应的 静定结构具有较大的刚度和稳定性， 在载荷作用下，内 力分布也较均匀，且内力峰值也较静定结构为小。
18
第二章 结构几何构造分析
2.2.3 结构对称性的利用
对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生 正对称的位移，反对称的位移为零；对称结构在反对称 载荷下，对称轴截面上只有反对称的位移，正对称的位 移为零。 (1) 具有奇数跨的刚架
① 正对称载荷作用
(a) 对称刚架
（b) 变形状态分析
(c) 对称性利用
图2-22对称性利用示意图
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有限元分析基础知识
2000，4
ANSYS单元分类
1. 杆单元，包括二维杆单元和三维杆单元，线性调节 元，主要包括： LINK1，LINK8，LINK10，LINK11，LINK180等。 2. 弹簧阻尼单元，包括COMBIN系列： COMBIN7,COMBIN14,COMBIN37,COMBIN40等。 3. 质量元，MASS21。
ANSYS/Structural求解功能
ANSYS/Structural求解功能
Static -- 结构静力问题（包括线性和非线性问题） Modal -- 模态振动特性计算分析（结构固有频率和振型） Harmonic -- 谐波分析 Transient -- 瞬态分析 Spectrum -- 谱分析 Eigen Buckling -- 特征值屈曲分析（线性） Substructural -- 子结构分析 。。。。。。
2000，4
有限元分析步骤（续）
• 集合所有单元的平衡方程，集合依据的是所有相邻 单元在公共节点 处的位移相等；建立总体的有限元方程组。 • 引入边界条件 • 求解有限元方程组，得到未知节点位移 • 计算单元应力，对不同的单元，对应力的处理还有不同的方法
2000，4
ANSYS文件结构
二进制文件 Jobname.db （数据库文件） Jobname.dbb （备份文件） Jobname.rst （结构分析结果文件） Jobname.rth （热分析结果文件） Jobname.rmg （电磁场分析结果文件） Jobname.rfl （流体分析结果文件） Jobname.tri （三角化刚度矩阵文件） Jobname.emat （单元矩阵文件） Jobname.esav （单元保存文件）
2000，4
简例（续）
有限元经典PPT第4章
Pii Kiiui
Ki1u1 Ki2u2 Kiiui K u i,i1 i1
ui
n
Kiiui Kiiui
Kiju j
4.1.2 平面应力问题有限元的基本思想和瑞雷－里兹法
v3 f3y
3
u3
f3x
f1y v1 u1
1 f1x
v2 f2y u2
2 f2x
给定一个三角形单元和作用在角点上 的六个力，要求得六个角点的位移。 或者是要求三角形角点发生指定的位 移，在三角形三个角点如何加力？
很显然，问题的精确解很困难。采用 瑞雷－里兹法求近似式解
e号单元的三个节点I,j,k的力对应的 力的平衡方程是第2i-1,2i;2j-1,2j;2k1,2k个平衡方程
e号单元的三个节点I,j,k的位移是第 2i-1,2i;2j-1,2j;2k-1,2k个未知数
弹性模量：E 横截面积：A
1
1 L
2
2L
3
局部系单元刚度阵：
k
1
EA L
1 -1
-1
1
2 集成总刚：
0 1
解得：
ux uy
L EA
3.8284L
EA
i
j
第一类位移条件：
Ki1u1 Ki2u2 Kiiui Ki1ui1
ui 0
令： Kij 0 i j
m
vi 0
Kii 1
um 0
Pi 0
ui 0
第二类位移条件：um um
大数
充大数法： Kii Kii
第一步：求转换矩阵
k2
EA 1 2L -1
-1
1
P
cos 0
T sin
有限元分析理论基础
有限元理论基础有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
釆用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
4.加权余量法：是指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。
(Weighted residual method WRM)是一种直接从所需求解的微分方程及边界条件出发，寻求边值问题近似解的数学方法。
加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法。
设问题的控制微分方程为：在V域内厶(")-八0 (5.1.1)在S 边界上〃(“)-& = 0 (5.1.2)式中：L、B——分别为微分方程和边界条件中的微分算子；f、g ——为与未知函数u无关的己知函数域值；u——为问题待求的未知函数当弄!J用力u权余•肚法求近丁以解首先在求耳军域上理立一个T式閑数H 一般兵升如下形式:仁土CN=NC(5.1.3)T M式中：c{----------- 彳寺定系数. 也可称为广义坐标；N：--- 取白完备函冬攵*S线.性无关的基函孕攵°由于〃一般只圮彳守求函缨攵U的近1以耳岂因u匕将式(5 1.3) 代入式(5 1 1)牙口式(5 1.2)后将诃•不誉斯兄，昔迅:| R] = L(flb— f在V域内\R B =B(^~g在S 边界上("14)城然 & 、尽反映了r式函竽攵与实解之问的偏差. 它丁门分另U称做内召卩牙口边界余覺。
若在域\'内引入内部权函数硏，在边界S上引入边界权函数W B 则可理立11个消除余甘的条件.一般可农示为：L兀W B1R B dS = 0 (/ = L2.L ,〃) (51-5)• V • S不同的权函数幵；和jr R反映了不同的消除余•眩的准则。
有限元分析基础教程
有限元分析基础教程前言有限元分析已经在教学、科研以及工程应用中成为重要而又普及的数值分析方法和工具；该基础教程力求提供具备现代特色的实用教程。
在教材的内容体系上综合考虑有限元方法的力学分析原理、建模技巧、应用领域、软件平台、实例分析这几个方面，按照教科书的方式深入浅出地叙述有限元方法，并体现出有限元原理“在使用中学习，在学习中使用”的交互式特点，在介绍每一种单元的同时，提供完整的典型推导实例、MATLAB实际编程以及ANSYS应用数值算例，并且给出的各种类型的算例都具有较好的前后对应性，使学员在学习分析原理的同时，也进行实际编程和有限元分析软件的操作，经历实例建模、求解、分析和结果评判的全过程，在实践的基础上深刻理解和掌握有限元分析方法。
一本基础教材应该在培养学员掌握坚实的基础理论、系统的专业知识方面发挥作用，因此，教材不但要提供系统的、具有一定深度的基础理论，还要介绍相关的应用领域，以给学员进一步学习提供扩展空间，本教程正是按照这一思路进行设计的；全书的内容包括两个部分，共分9章；第一部分为有限元分析基本原理，包括第1章至第5章，内容有：绪论、有限元分析过程的概要、杆梁结构分析的有限元方法、连续体结构分析的有限元方法、有限元分析中的若干问题讨论；第二部分为有限元分析的典型应用领域，包括第6章至第9章，内容有：静力结构的有限元分析、结构振动的有限元分析、传热过程的有限元分析、弹塑性材料的有限元分析。
在基本原理方面，以基本变量、基本方程、求解原理、单元构建等一系列规范的方式进行介绍；在阐述有限元分析与应用方面，采用典型例题、MATLAB程序及算例、ANSYS算例的方式，以体现出分析建模的不同阶段和层次，引导学员领会有限元方法的实质，还提供有大量的练习题。
本教程的重点是强调有限元方法的实质理解和融会贯通，力求精而透，强调学员综合能力(掌握和应用有限元方法)的培养，为学员亲自参与建模、以及使用先进的有限元软件平台提供较好的素材；同时，给学员进一步学习提供新的空间。
有限元分析基础
有限元分析基础第⼀讲第⼀章有限元的基本根念Basic Concepts of the Finite Element Method1.1引⾔(introduction)有限元(FEM 或FEA)是⼀种获取近似边值问题的计算⽅法。
边值问题(boundary valueproblems, 场问题field problem )是⼀种数学问题(mathematical problems)(在所研究的区域，⼀些相关变量满⾜微分⽅程如物理⽅程、位移协调⽅程等且满⾜特定的区域边界)。
边值问题也称为场问题，场是指我们研究的区域，并代表⼀种物理模型。
场变量是满⾜微分⽅程的相关变量，边界条件代表场变量在场边界上特定的值(物理边界转化为数学边界)。
根据所分析物理问题的不同，场变量包括位移、温度、热量等。
1.2有限元法的基本思路 (how does the finite element methods work)有限元法的基本思路可以归结为：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出⼀个近似解，再将所有单元按标准⽅法组合成⼀个与原有系统近似的系统。
下⾯⽤在⾃重作⽤下的等截⾯直杆来说明有限元法的思路。
等截⾯直杆在⾃重作⽤下的材料⼒学解答图1.1 受⾃重作⽤的等截⾯直杆图1.2 离散后的直杆受⾃重作⽤的等截⾯直杆如图所⽰，杆的长度为L ，截⾯积为A ，弹性模量为E ，单位长度的重量为q ，杆的内⼒为N 。
试求：杆的位移分布，杆的应变和应⼒。
)()(x L q x N -=EAdxx L q EA dx x N x dL )()()(-==-==x x Lx EA q EA dx x N x u 02)2()()((1))(x L EAq dx du x -==ε )(x L AqE x x -==εσ等截⾯直杆在⾃重作⽤下的有限元法解答 (1) 离散化如图1.2所⽰，将直杆划分成n 个有限段，有限段之间通过⼀个铰接点连接。
第3章 有限元分析的数学求解原理-三大步骤
U x x y y z z xy xy yz yz zx zx dV
X u Y v Z w dV X u Y v Z w d W
V V
用 * 表示；引起的虚 应变分量用 * 表示
j Vj
Ui
i Vi
0 X
y
¼ 1-9 Í
ui* * vi wi* * * u j ， v* j w*j
x* * y * z * * xy *yz * 18 zx
19
7.间接解法：最小势能原理
20
最小势能原理
W U 0
最小势能原理就是说当一个体系的势能最小时，系统会处于稳定 平衡状态。或者说在所有几何可能位移中，真实位移使得总势能取最小值
0 表明在满足位移边界条件的所有可能位移 最小势能原理： 中，实际发生的位移使弹性体的势能最小。即对于稳定平衡状态，实 际发生的位移使弹性体总势能取极小值。显然，最小势能原理与虚功 原理完全等价。 n m
虚功原理的矩阵表示
在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是：
* 式中
U i u i* V i v i* W i w i* U j u *j V j v *j W j w *j
* 是 的转置矩阵。
T
*
F
T
同样，在虚位移发生时，在弹性体单位体积内，应力在虚应变上的虚 功是： * * * * * * * T x x y y z z xy xy yz yz zx zx
27
⑴解析法
有限元的原理
有限元的原理有限元分析是一种工程数值分析方法，它利用数学原理和计算机技术，对工程结构的力学行为进行模拟和分析。
有限元分析的原理是将复杂的结构分割成许多小的单元，通过对每个单元的力学行为进行精确描述，最终得到整个结构的力学响应。
本文将从有限元分析的基本原理、步骤和应用进行介绍。
有限元分析的基本原理是离散化方法，它将一个连续的结构分解成有限个单元，每个单元都是一个简单的几何形状，如三角形、四边形等。
然后对每个单元进行力学建模，建立单元的位移场和应力场的数学模型。
通过组合所有单元的数学模型，得到整个结构的位移场和应力场的近似解。
有限元分析的基本原理是基于弹性力学理论，它假设结构在受力作用下是弹性变形，即满足胡克定律。
有限元分析的数学模型通常是一个大型的代数方程组，通过求解这个方程组，得到结构的位移场和应力场。
有限元分析的步骤包括建立有限元模型、施加边界条件、求解代数方程组和后处理结果。
首先，需要对结构进行几何建模，将结构分解成有限个单元，并确定每个单元的材料性质和几何尺寸。
然后，需要施加边界条件，即给定结构的约束条件和外载荷。
接下来，需要将结构的力学行为建立成代数方程组，通常采用有限元法中的单元法则和变分原理。
最后，通过求解代数方程组，得到结构的位移场和应力场，并进行后处理，如应力分布、位移云图等。
有限元分析在工程领域有着广泛的应用，如结构分析、热传导分析、流体力学分析等。
在结构分析中，有限元分析可以用于预测结构的强度、刚度和稳定性，为结构设计提供理论依据。
在热传导分析中，有限元分析可以用于预测结构的温度分布和热传导性能，为热工设计提供支持。
在流体力学分析中，有限元分析可以用于模拟流体在结构内部的流动行为，为流体工程设计提供参考。
总之，有限元分析是一种强大的工程数值分析方法，它通过离散化方法和数学建模，对工程结构的力学行为进行模拟和分析。
有限元分析的原理是基于弹性力学理论，通过求解代数方程组，得到结构的位移场和应力场。
有限元分析的力学基础
.
33
作用在任意平面上该点的应力分量可以由下式表示为：
xxl yx m px xyl y m py
其中
l c o sN ,x,m c o sN ,y
.
34
2.5空间问题的基本力学方程
平衡方程：外力和内力之间的平衡关系 几何方程：描述的是位移和应变之间关系 物理方程：应力和应变之间的关系 边界条件：
按照边界情况，弹性力学问题一般分为三类：
✓ 位移边界问题：在边界面上全部给定位移，即全部是 Su 边界
✓ 应力边界问题：在边界面上全部给定表面力，即全部是应力 边界S。 这时，外力（包括体力和面力）应是平衡力系。
S
✓ 混合边界问题：既有Su 边界，又有应力边界。二者可以分 别在边界表面不同的区域上，或同一区域不同的方向上。
2 u v
xy
yxΒιβλιοθήκη 2 xy xy象发生。
.
29
物理方程
x
E 1 2
x y
x
E 1 2
y x
xy
E
2 1
xy
写成矩阵形式为
D
E称为杨氏模量反映材料对于拉伸或压缩 变形的抵抗能力。
是泊松系数，描写材料横向收缩或膨胀
的特性。
.
30
线应变（相对伸长或压缩）
绝对伸长（或压缩）与原长之比称为相对伸长（或压
.
12
2.3弹性力学基本变量
内力：应力 --外力(或温度)的作用 内力
设作用于 A上的内力为 ,则Q
内力的平均集度,即平均应力, 为 / Q A
lim Q S
A0 A
这个极限矢量S,就是物体在截面
mn上、P点的应力。
有限元分析第3章弹性力学基础知识2
有限元分析Finite Element Analysis李建宇天津科技大学内容Chp.3 弹性力学基础知识2：补充内容1. 边界条件2. 弹性力学中的能量表示3. 弹性力学边值问题要求理解：弹性力学边界条件的提法了解：弹性力学边值问题的内涵掌握：弹性力学中的能量表述课后作业继续检索、阅读弹性力学基本文献有限元分析——弹性力学补充内容弹性力学的“三个基本”1、基本假定2、基本变量3、基本方程弹性力学的基本假定五个基本假定：1、连续性(Continuity)2、线弹性(Linear elastic)3、均匀性(Homogeneity)4、各向同性(Isotropy)5、小变形假定(Small deformation)弹性力学基本变量变形体的描述：在外部力和约束作用下的变形体位移的描述形状改变的描述力的描述材料的描述弹性力学基本变量材料参数位移物体变形后的位置物体的变形程度物体的受力状态物体的材料特性应变应力描述变形体的三类变量：dyxyzuvwdzdx(x,y,z)S uS pΩT位移（displacement）是指位置的移动。
它在x, y 和z轴上的投影用u, v和w。
dyxyzuvwdzdx(x,y,z)S uS pΩT微元体( Representative volume)应力张量（stress tensor ）x xy xz yx y yz zx zy z στττστττσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦应变张量（strain tensor ）dyuvwdzdx(x,y,z )xu x d d =εd xxσxσuu +d uτβαγ=α+βx xy xz yx y yz zx zy z εγγγεγγγε⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦弹性力学的基本方程应力应变位移几何方程物理方程平衡方程弹性力学三大方程上节回顾上节回顾弹性力学基本方程x y z xy yz zx u x v y w z u v y x v w z y w u x zεεεγγγ∂=∂∂=∂∂=∂∂∂=+∂∂∂∂=+∂∂∂∂=+∂∂几何方程00000000x y z xy yz zx x y u z v w y x z y zx εεεγγγ∂⎡⎤⎢⎥∂⎢⎥∂⎢⎥⎧⎫⎢⎥∂⎪⎪⎢⎥∂⎪⎪⎢⎥⎧⎫⎪⎪⎢⎥∂⎪⎪⎪⎪=⎢⎥⎨⎬⎨⎬∂∂⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎢⎥∂∂⎪⎪⎢⎥⎪⎪∂∂⎢⎥⎪⎪⎩⎭⎢⎥∂∂⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦Luε=L ：微分算子上节回顾弹性力学基本方程000yx x zx x xy y zyy yz xz z z b x y z b x y zb x y zτσττστττσ∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂+++=∂∂∂平衡方程000000000x y x z y yx zzy xz x y z b b y x z b zyx σσστττ⎧⎫⎡⎤∂∂∂⎪⎪⎢⎥∂∂∂⎪⎪⎢⎥⎧⎫⎪⎪⎢⎥∂∂∂⎪⎪⎪⎪+=⎨⎬⎨⎬⎢⎥∂∂∂⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎪⎪⎢⎥∂∂∂⎪⎪⎢⎥∂∂∂⎪⎪⎣⎦⎩⎭A ：微分算子A b σ+=TA L=上节回顾弹性力学基本方程物理方程()()()111x x y z y y z x z z x y xyxy yzyz zxzx E EE GGGεσνσσεσνσσεσνσστγτγτγ⎡⎤=-+⎣⎦⎡⎤=-+⎣⎦⎡⎤=-+⎣⎦===()()()()()()1000111000111000111121120000021120000021120021x x y y z z xy xy yz yz zx zx E ννννννσεννσεννννσενντγννντγντγννν⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎧⎫⎧⎫⎢⎥--⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥---⎪⎪⎪⎪⎢⎥=⎨⎬⎨⎬-+-⎢⎥⎪⎪⎪⎪-⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪-⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦D ：弹性矩阵D σε=对称上节回顾弹性力学基本方程dyxyzuvwdzdx(x,y,z )S uS pΩT0Lu A b D σεσε+===弹性力学三大方程in Ω边界上呢？一、弹性力学的边界条件(Boundary condition)dyxyzuvwdzdx(x,y,z)S uS pΩT两类边界条件：S p：力的边界S u：位移边界一、弹性力学的边界条件1、位移边界条件边界上已知位移时，应建立物体边界上点的位移与给定位移相等的条件dyxyzuvwdzdx(x,y,z )S uS pΩTuu u v v on S w w =⎧⎪=⎨⎪=⎩一、弹性力学的边界条件以二维问题为例2、力的边界条件边界上给定面力时，则物体边界上的应力应满足与面力相平衡的力的平衡条件∑X=注意ds为边界斜边的长度，边界外法线n的方向余弦l＝dy/ds，m=dx/ds有：一、弹性力学的边界条件以二维问题为例Y =∑同理：M =∑一、弹性力学的边界条件以二维问题为例二维情形的力的边界条件00x x x y y yx y xy p n n n n p σστ⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎪⎪⎩⎭其中：n x ＝l ；n y ＝m一、弹性力学的边界条件扩展到三维情形的力的边界条件00000000x y xy z x z y x z y xy zyx z yz zx n n n p n n n p n n n p σσστττ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭n ppon S σ=二、弹性力学中的能量表述功能原理的两个基本概念：功（work）：外力功；能量（energy）：如动能、势能、热能等弹性问题中的功和能量：外力功：施加外力在可能位移上所做的功应变能：变形体由于变形而储存的能量二、弹性力学中的能量表述1. 弹性力学中的外力功（work by force ）弹性力学中的外力包括：面力和体力，故外力功包括：Part 1：面力p i 在对应位移上u i 上的功（on S p ）Part 2：体力b i 在对应位移上u i 上的功（in Ω）外力总功为：()()d d pxyzxyzS W p u p v p w S b u b v b w Ω=+++++Ω⎰⎰二、弹性力学中的能量表述2. 弹性力学中的应变能(strain energy)设加载缓慢，系统功能可忽略，同时略去其它能量（如热能等）的消耗，则所做的功全部以应变能的形式储存于内部。
3温度场有限元分析理论基础
第3章温度场有限元法分析理论基础在制造加工领域中，通过计算机模拟各种加工过程是非常方便有效的方法之一。
磨削过程也可以通过建立数值分析模型模拟整个磨削的过程，不仅可以预测实验可能发生的情况也可以减少实验的次数。
于是，越来越多的学者使用有限元技术对磨削过程进行分析、研究。
通过有限元法分析磨削区温度场既有利于对磨削机理的理解，也是一种优化机械加工工艺的有力工具，而且在考虑多种因素、非线性、动态过程分析等复杂情况时其优势尤为显著。
3.1有限元法简介3.1.1 有限元法的基本思想有限单元法是目前在工程领域内常用的数值模拟方法之一。
目前在工程领域内常用都是数值模拟方法包括有限单元法、边界元法、离散单元法和有限差分法等。
有限元单元法的基本思想就是将连续的结构离散成有限多个单元，并在每一个单元中设定有限数量的节点，讲连续体看做是节点处连续的一组单元的集合体，同时选定场函数的节点值作为基本未知量，并在第一单元中假设一个插值函数来表示单元中场函数的分布规律，进而利用弹性力学、固体力学、结构力学等力学中的变分原理去建立用以求解节点未知量的有限元方程，从而将一个连续域中的无限自由度问题转化为离散域中有限自由度问题。
求解法就可以利用解得的节点值和设定的插值函数来确定单元上以至整个集合上的场函数。
有限元分析的基本概念就是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。
它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一个单元假定一个较简单的近似解，然后推导求解这个域总的满足条件，从而得到问题的近似解。
由于大多数实际问题难以得到准确解，有限元法不仅仅计算精度高而且能够适应各种复杂形状，因此称为行之有效的工程分析手段。
3.1.2有限元热分析简介热分析是指用热力学参数或者物理参数随着温度变化的关系进行的分析方法。
国际热分析协会在1977年将热分析定义为：“热分析是测量在程序控制温度下，物质的物理性质与温度依赖关系的一类技术。
”程序控制温度指的是按某种规律加热或冷却，通常是线性升温或降温。
有限元分析的力学基础
应用场景：流体 动力学分析广泛 应用于航空航天、 汽车、船舶、能 源等领域如飞机 机翼的气动性能 分析、汽车发动 机的流体动力学 分析等。
优势：有限元分 析能够处理复杂 的几何形状和边 界条件提供高精 度和可靠的分析 结果有助于优化 设计和改进产品 性能。
未来发展：随着 计算技术和数值 方法的不断进步 有限元分析在流 体动力学分析中 的应用将更加广 泛和深入有望在 解决复杂流体动 力学问题方面发 挥更大的作用。
特点：适用于大规模复杂问题的求解但需要设置合适的初值和解的精度要求。
有限元分析的精度与收敛性
精度：有限元分析的精度取决于网格划分的大小和形状以及所选择的近似函数。 收斂性：有限元分析的收敛性是指随着网格的细化解的近似值将逐渐接近真实解。 收敛速度：收敛速度取决于所选择的有限元类型和边界条件。 误差估计：通过误差估计可以确定所需的网格细化程度以确保解的精度。
弹性力学的 应用实例
塑性力学基础
定义：塑性力学是研究材料在达到屈服点后发生不可逆变形时行为规律的学科。 特点：塑性变形过程中外力的大小和方向可以发生变化而材料的内部结构保持不变。 塑性力学的基本方程：包括应力-应变关系、屈服准则、流动法则等。 应用：塑性力学在工程领域中广泛应用于金属成型、压力容器设计等领域。
局限性：塑性力 学模型忽略了材 料在塑性变形过 程中的微观结构 和相变行为因此 对于某些特定材 料或极端条件下 的应用可能存在 局限性。
流体动力学模型
简介：流体动力 学模型是有限元 分析中用于描述 流体运动的数学 模型包括流体压 力、速度、密度
等参数。
方程形式：流体 动力学模型通常 由一组偏微分方 程表示如NvierSkes方程描述了 流体的运动规律。
单元分析： 对每个单元 进行力学分 析包括内力、 外力、位移 等
有限元分析的力学基础
2.1 变形体的描述与变量定义
(1) 变形体
变形体：即物体内任意两点之间可发生相对移动。 有限元方法所处理的对象：任意变形体
38
(2) 基本变量的定义
可以用以下各类变量作为任意变形体的描述
量
因此，在材料确定的情况下，基本的力学变量应该有：
位移、应变、应力
39
目的：对弹性体中的位移、应力、应变进行 定义和表达，进而建立平衡方程、几何方程 和材料物理方程
+
∂τ yz
∂y
dy dxdz
dy 2
+τ
yz dxdz
dy 2
−
τ
zy
+
∂τ zy
∂z
dz dxdy
dz 2
−τ zydxdy
dz 2
=
0
全式除以dxdydz，合并相同的项，得
τ
yz
+
1 2
∂τ yz
∂y
dy
−τ
zy
−
1 2∂τ zy∂z Nhomakorabeadz
=
0
略去微量项，得 τ yz = τ zy
∑ MY = 0 τ zx = τ xz
各个方向上具有相同特性；
(4) 线性弹性假定：物体的变形与外来作用的关系是线性的， 外力去除后，物体可恢复原状；
(5) 小变形假定：物体变形远小于物体的几何尺寸，在建立方 程时，可以高阶小量（二阶以上）。
以上基本假定将作为问题简化的出发点。
41
2.3 基本变量的指标表达
指标记法的约定：
自由指标：在每项中只有一个下标出现，如 σ ij ，i，
∑MZ =0
τ xy = τ yx
有限元ppt课件
y(xi )2 y(xi1) h
a x b x
y(xi1) 2 y(xi ) y(xi1)
h hi 2 i1
yi1 2 yi yi1 h2
(1 5)
x
13
将(1-4)(1-5)代入(1-3),得
yi1 2 yi h2
yi1
yi1 yi h
39
厚度为1的微分体,在水平方向拉
力F的作用下发生了位移 xdx
拉力表达式:
F xdy 1
x
x dy
拉力做的功:
dx
xdx
dW
1 2
F xdx
将F代入:
dW
1 2
x
x
dxdy
40
储存在微分体内的应变能:
x
x dy
dU
dW
1 2
x
x
dxdy
单位体积内的应变能:
17
因此有 y(x) (x)
试探函数中所取的项数越多，逼近的精度越高。
将试探函数代入式(1-9)，可以得到关于n个待定系数
的泛函表达式，简记为 I y(x) I(1,2,3, ,n)
根据多元函数有极值的必要条件，有
1
I (1,2 ,3,
2
I (1,2 ,3,
机械工程有限元法基础
1
有限元法是根据变分原理求解数学物理问题的一 种数值方法.
它从最初的固体力学领域 拓展到了
发展到了
从简单的静力分析
电磁学,流体力学,传热学, 声学等领域
动态分析,非线性分析, 多物理场耦合分析等复 杂问题的计算
4.1 有限元求解静力学基本原理[共2页]
![4.1 有限元求解静力学基本原理[共2页]](https://img.taocdn.com/s3/m/d5372d00c1c708a1294a442d.png)
– 63 – 第4章 线性静力学分析静力学分析是结构有限元分析的基础。
静力学分析主要研究静止或者匀速状态下的结构响应，不考虑惯性和阻尼效应，以及与时间有关载荷的影响。
通过静力学分析，可以得到结构的刚度、强度、稳定性、约束反力等技术指标。
但是静力学分析并不是只能用于纯粹静力载荷条件，还可以加载惯性载荷为定值的载荷，同时，也可以计算作用时间较长的准静态问题，包括模拟诸如大变形、大应变、接触、塑性、超弹、蠕变等非线性行为。
本章主要讲述线性行为的静力学分析，基于胡克定律[F ]=[k ][X ]，其中[k ]包含了材料属性、模型尺寸和约束条件，可以简单认为，当一个物体受到10N 的载荷，变形为1mm ；如果受到20N 的载荷，变形即为2mm 。
4.1 有限元求解静力学基本原理有限元计算是将连续系统离散成为有限个分区或单元，对每个单元提出一个近似解，再将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统。
以有限元法求一等截面直杆在自重作用下的应力应变为例，如图4-1-1所示。
已知：一受自重作用的等截面直杆，杆的长度为L ，截面积为A ，弹性模量为E ，单位长度的重量为q ，杆的内力为N 。
试求：杆的位移分布，杆的应变和应力。
（1）将等截面直杆划分成3个等长的单元，每段长度为L /3。
每段之间假定为一个铰接点连接，故称这些铰接点为节点，分别为节点1、2、3、4；称每个线段为单元，分别为单元L 1、L 2、L 3。
（2）用单元节点位移表示单元内部位移，第i 个单元中的位移用所包含的节点位移来表示：1()()i i i i iu u u x u x x L +−=+− 其中，u i 为第i 节点的位移；x i 为第i 节点的坐标。
第i 个单元的应变、应力、内力分别为1d d i i i i u u u xL ε+−==图4-1-1 直杆问题及离散模型。
有限元分析第3章弹性力学基础知识1
联立得到几何方程，表明应变分量与位移分量之间的关系：
¶u ¶v ¶w ， y ， z ¶x ¶y ¶z ¶u ¶v ¶v ¶w ¶w ¶u + ， yz + ， zx + ¶y ¶x ¶z ¶y ¶x ¶z
弹性力学的基本假定
4、各向同性(Isotropy)
物体的弹性性质在所有各个方向都相同 好处：物体材料常数不随坐标方向改变而改变
像木材，竹子以及纤维增强材料等，属于各向异 性材料。
弹性力学的基本假定
5、小变形假定(Small deformation):
物体的位移和形变是微小的. 即物体的位移 远小于物体原来的尺寸, 而且应变和转角都远小 于1
u+
¶u dy ¶y
C'
D" b D '
D C
A ' B ' AB x AB ¶u (u + dx) u ¶x dx ¶u ¶x
dy
u
v
A
A'
B'
a
v+
¶v dx ¶x
B dx
¶u u + dx ¶x
B"
x
0
¼ Í
1-5
弹性力学的基本方程之几何方程
（2）y方向的相对伸长量
y
¶u dy ¶y
切应力符号 的含义
受力面的法线方向
xy
力的方向
弹性力学的运动与变形
1、位移、形变、正应变、剪应变的概念
位移（displacement）: 是指位置的移动. 它在 x, y and z 轴上的 投影用 u, v 和w。
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第3章有限元分析的力学基础由固体材料组成的具有一定形状的物体在一定约束边界下（外力、温度、位移约束等）将产生变形(deformation)，该物体中任意一个位置的材料都处于复杂的受力状态之中，本章将定义用于刻画任意形状弹性变形体的力学变量和表达这些变量之间的关系。
具体地，将在五个简化条件下，定义有关位移、变形、力的三大类变量，推导这些变量之间的三大类方程，给出典型的两类边界条件，本章的主要内容就是弹性力学中的基础部分。
3.1 变形体的描述、变量定义、分量表达3.1.1 变形体在外力的作用下，若物体内任意两点之间发生相对移动，这样的物体叫做变形体(deformed body)，它与材料的物理性质密切相关。
如果从几何形状的复杂程度来考虑，变形体又可分为简单形状变形体和任意形状变形体。
简单变形体如杆、梁、柱等，材料力学和结构力学研究的主要对象就是简单变形体，而弹性力学则处理任意形状变形体。
有限元方法所处理的对象为任意形状变形体，因而，弹性力学中有关变量和方程的描述将是有限元方法的重要基础。
3.1.2 基本变量当一个变形体受到外界的作用(如外力或约束的作用)时，如何来描述它？首先，我们可以观察到物体在受力后产生了内部和外部位置的变化，因此，物体各点的位移应该是最直接的变量，它将受到物体的形状、组成物体的材质以及外力的影响，变形体的完整描述如图3.1所示。
图3.1 变形体的描述描述位移是最直接的，因为可以直接观测，描述力和材料特性是间接的，需要我们去定义新的变量，如图3.2所示，可以看出应包括位移、变形程度、受力状态这三个方面的变量，当然，还应有材料参数来描述物体的材料特性。
图3.2 变形体的描述及所需要的变量总之，在材料确定的情况下，基本的力学变量应该有：·位移(displacement) (描述物体变形后的位置)·应变(strain) (描述物体的变形程度)·应力(stress) (描述物体的受力状态)对于任意形状的变形体，我们希望建立的方程具有普遍性和通用性，因此，采用微小体元(representative volume) dxdydz的分析方法来定义位移、应变、应力这三类变量。
3.1.3基本方程受外部作用的任意形状变形体，在其微小体元dxdydz中，基于位移、应变、应力这三大类变量，可以建立以下三大类方程：·受力状况的描述：平衡方程(equilibrium equation)·变形程度的描述：几何方程(strain-displacement relationship)·材料的描述：物理方程(应力应变关系或本构方程) (stress-strain relationship or constitutive equation)3.2 弹性体的基本假设为突出所处理问题的实质，并使问题有得以简单化和抽象化，在弹性力学中，提出以下五个基本假定。
(1) 物体内的物质连续性(continuity)假定，即认为物质中无空隙，因此可采用连续函数来描述对象。
(2) 物体内的物质均匀性(homogeneity)假定，即认为物体内各个位置的物质具有相同特性，因此，各个位置材料的描述是相同的。
(3) 物体内的物质(力学)特性各向同性(isotropy)假定，即认为物体内同一位置的物质在各个方向上具有相同特性，因此，同一位置材料在各个方向上的描述是相同的。
(4) 线弹性(linear elasticity)假定，即物体变形与外力作用的关系是线性的，外力去除后，物体可恢复原状，因此，描述材料性质的方程是线性方程。
(5)小变形(small )假定，即物体变形远小于物体的几何尺寸，因此在建立方程时，可以忽略高阶小量 (二阶以上)。
以上基本假定和真实情况虽然有一定的差别，但从宏观尺度上来看，特别是对于工程问题，大多数情况下还是比较接近实际的。
以上几个假定的最大作用就是可以对复杂的对象进行简化处理，以抓住问题的实质。
3.3 平面问题的基本力学方程平面问题 (2-dimensional problem)，简称2D 问题。
对于一个待分析的对象，包括复杂的几何形状、给定的材料类型、指定的边界条件(受力和约束状况)。
如前所述，描述这样的对象需要三大类变量、三大类方程和边界条件。
三大类方程为·力的平衡方程(变形体的内部) ·几何变形方程(变形体的内部)·材料的物理方程(变形体的内部、边界)边界条件为·位移方面(变形体的边界) ·外力方面(变形体的边界)3.3.1 三大类方程之一：力的平衡方程1. 微小体元上的平面应力分量平面问题实际上是空间问题的一种特殊情况，即物体在厚度方向(z)上较薄，因此，认为在沿厚度方向上各种应力很小(或为零)，可以忽略。
设在变形体上的任意一点a (x ，y )取一个微小体元dxdy _ t (注意t 为厚度)，如图3.4所示，每一个侧面上的任意力(单位面积上的)都可以分解为沿x 方向和沿y 方向的力，对于垂直于侧面上的力(即沿着所在平面的法线方向)叫做正应力(normal stress)，而位于侧面内的力(即沿着所在平面的切线方向)叫做剪应力(shear stress)。
对于图3.4所示的几何体，bc 边与厚度t 组成的侧面我们记作bc _t ，它与ad _t 侧面在x 方向上相差dx 的距离，而cd _t 侧面与ab _t 侧面在y 方向上相差dy 的距离。
下面给出各个侧面上的应力定义：yxA yx A P y ∆∆=→∆0limσ(3.1)其中∆A y 表示法线方向沿y 轴的平面，∆P x 为作用在∆A y 面上合力沿着x 方向的分量，若用指标符号来表示σyx ，可写成σ21。
若改变(3.1)式中的下标，可以得到各个侧面上沿各个方向的应力。
应力符号有两个下标，第一个下标表示受力面的法线方向，第二个下标表示力的方向，如图3.3所示。
对于图3.4所示的微小体元dxdy _t ，其各个受力面上的所有应力都标注在该图中。
图中的x b 和y b 分别为作用在物体上沿着x 方向和y 方向的单位体积力(body force)。
σxy受力面的法线方向力的方向图3.3 应力符号的含义图3.4 空间坐标系中的平面问题 (z 方向无任何力，其等厚度为t )在推导平衡方程之前，做好以下准备。
准备1：应力的增量计算在推导平衡方程时，需要计算不同位置截面上的应力，不同截面的几何位置将有一个dx 或dy 的差别，以σxx 为例，由高等数学中的Taylor 级数展开，有+∂∂+∂∂+=+222)(2),(),(),(),(dx xy x dx x y x y x y dx x xx xx xx xx σσσσ (3.2)略去二阶以上微量，有dx xy x y x y dx x xx xx xx ∂∂+=+),(),(),(σσσ (3.3)对应于bc_t侧面上的正应力 对应于ad_t侧面上的正应力准备2：应考虑各个方向合力的平衡在表达各个面上的合力时应注意以下几点：① 有四个侧面，在平衡方程中，应考虑所有合力的平衡；② 应力在经过dx 或dy 变化后的位置上有增量表达；③ 约定：正应力沿外法线方向为正，剪应力的正方向如图3.4所示； ④ 应力在各个侧面上为均匀分布。
2. 微小体元的几个平衡关系对如图3.4所示的微小体元dxdy _t (平面问题)，应考虑以下平衡关系：① 沿x 方向所有合力的平衡；② 沿y 方向所有合力的平衡；③ 所有合力关于任一点的力矩平衡。
就平衡关系①，有0=∑x F(3.4)具体地，有),(),(),(),(=⋅⋅+⋅⋅-⋅⋅++⋅⋅-⋅⋅+t dxdy b t dx y x t dx dy y x t dy y x t dy y dx x x yx yx xx xx ττσσ其中x b 和y b 分别为沿x 方向和y 方向的单位体积力。
利用(3.3)式，上式化为=⋅+⋅-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂++⋅-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+t dxdy b t dx t dx dy y t dy t dy dx x x yx yx yx xx xx xx τττσσσ(3.5)进一步化简后，有0=+∂∂+∂∂x yxxx b yx τσ (3.6)同理，就平衡关系②，由0=∑y F ，有0=+∂∂+∂∂y xy yy b xyτσ(3.7)就平衡关系③(力矩平衡)，对微小体元dxdy_t 的中心点求力矩，由0=∑Mo ，得02222=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+dx t dy dx t dy dx x dy t dx dy t dx dy y xy xyxy yx yx yx ττττττ(3.8)略去高次项后，有yx xy ττ=(3.9)这就是剪应力互等定理(reciprocal theorem of shear stress)。
因此，以后可以将这一关系直接引用到方程中去。
3．微小体元的平衡方程归纳以上的推导，平面问题的平衡方程为⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫==+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂yx xy y xy yy x yxxx b xy b y x τττστσ00(3.10)如果代换其中的第三式，则(3.10)式可写为两个方程，即⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00y xyyy x yxxx b x y b yx τστσ (3.11)3.3.2 三大类方程之二：变形的几何方程设一个变形体微小体元的平面直角在变形前为APB ，而变形后为A 'P 'B '，P 点变形到P '点的x方向位移为u ，y 方向位移为v ，如图3.5所示。
图3.5 平面问题中的变形表达1. 平面变形量 (应变)的定义从图3.5可以看出，平面物体在受力后，其几何形状的改变主要在两个方向：沿各个方向上的长度变化以及夹角的变化，下面给出具体的描述。
(1) 定义x 方向的相对伸长量为xu dx dxx u PA PA A P xx∂∂=∂∂=-''=ε(3.13)(2) 定义y 方向的相对伸长量为y vdy dyy v PB PB B P yy ∂∂=∂∂=-''=ε (3.14)(3) 定义夹角的变化P 'A '线与P A 线的夹角为xv dx v dx x v v ∂∂=-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=α (3.15)P 'B '线与PB 线的夹角为yu dy u dy y u u ∂∂=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=β(3.16)则定义夹角的总变化为xvy u xy ∂∂+∂∂=+=βαγ (3.17)平面变形体的几何方程归纳以上方程，则平面问题中定义应变的几何方程为⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=x v y u y vx uxyyy xx γεε (3.18)写成指标形式()i j j i ij u u ,,21+=ε(3.19) 由几何方程可以看出，就平面问题，如果已知2个位移分量u 和v ，可以通过(3.18)式惟一求出3个应变分量。