对于欧拉方程的理解

关于欧拉方程的理解

1755年,瑞士数学家L.欧拉在《流体运动的一般原理》一书中首先提出这个方程。

形如：)(1)1(11)(x f y x p y x p y x n n n n n ='+++--- (1)

的方程称为欧拉方程, 其中n p p p ,,,21 为常数。

欧拉方程的特点是： 方程中各项未知函数导数的阶数与其乘积因子自变量的幂次相同。 现阶段欧拉方程的应用领域很广，现只结合流体力学来探讨我对于欧拉方程的理解。 欧拉方程提出采用了连续介质的概念，把静力学中压力的概念推广到了运动流体中。

流体静力学着重研究流体在外力作用下处于平衡状态的规律及其在工程实际中的应用。 这里所指的静止包括绝对静止和相对静止两种。以地球作为惯性参考坐标系，当流体相对于惯性坐标系静止时，称流体处于绝对静止状态；当流体相对于非惯性参考坐标系静止时，称流体处于相对静止状态。

流体处于静止或相对静止状态，两者都表现不出黏性作用，即切向应力都等于零。所以，流体静力学中所得的结论，无论对实际流体还是理想流体都是适用的。

流体静压强的特性

1静压强的方向—沿作用面的内法线方向

2任一点的流体静压强的大小与作用面的方向无关，只与该点的位置有关

由上图可以推到出流体平衡微分方程式，即欧拉平衡方程

x y z p f x p f y p f z ρρρ⎧∂=⎪∂⎪∂⎪=⎨∂⎪⎪∂=⎪∂⎩

当流体处于平衡状态时，单位体积质量力在某一轴向上的分力，与压强沿该轴的递增率相平衡。 这里的fx 、fy 、fz 是流体质量力在x 、y 、z 轴上的投影，且质量力中包含以下两项：重力和惯性力。在这里如果假定fx 、fy 、fz 仅仅是重力在三个坐标轴上的投影，那么惯性力在x 、y 、z 轴上的投影分别为:-du/dt ，-dv/dt 和-dw/dt 。于是，上式便可写成

d d d d d d x y z u p f t x v p f t y w p f t z ρρρ⎧∂⎛⎫-= ⎪⎪∂⎝

⎭⎪⎪∂⎛⎫-=⎨ ⎪∂⎝

⎭⎪⎪∂⎛⎫-=⎪ ⎪∂⎝

⎭⎩

上式整理后可得：

d 1d d 1d d 1d x y z u p f t x v p f t

y w p f t z ρρρ⎧∂=-⎪∂⎪⎪∂=-⎨∂⎪⎪∂=-⎪∂⎩ 将加速度展开成欧拉表达式 111x y z u u u u p u v w f t x

y z x v v v v p u v w f t x

y z y w w w w p u v w f t x

y z z ρρρ⎫∂∂∂∂∂+++=-⎪∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂+++=-⎬∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂+++=-⎪∂∂∂∂∂⎭

用矢量表示为 1()p t ρ∂+⋅∇=-∇∂v v v f

对于恒定流动 0u v w t t t

∂∂∂===∂∂∂ 上式称为流动欧拉运动微分方程式。