平面解析几何直线练习题含答案
直线测试题
一．选择题（每小题 5 分共 40 分） 1. 下列四个命题中的真命题是（ ） A.经过定点 P 0（x 0. y 0）的直线都可以用方程 y －y 0=k （x －x 0）表示； B.经过任意两个不同的点 P 1（ x 1. y 1）、P 2（x 2.y 2）的直线都可以用方程 （y －y 1）·（x 2－x 1）=（ x －x 1）（y 2－y 1）表示； C.不经过原点的直线都可以用方程 x y
1 表示； ab D.经过定点 A （0. b ）的直线都可以用方程 y =kx +b 表示。 【答案】 B
解析】 A 中过点 P 0（ x 0. y 0）与 x 轴垂直的直线 x =x 0不能用 y －y 0=k （x －x 0）表示.因为其斜率 k 不存在； C 中不过 xy
原点但在 x 轴或 y 轴无截距的直线 y =b （ b ≠ 0）或 x =a （a ≠0）不能用方程 =1 表示； D 中过 A （ 0. b ）的直线 ab
x =0 不能用方程 y =kx +b 表示 . 评述：本题考查直线方程的知识 . 应熟练掌握直线方程的各种形式的适用范围 2. 图 1中的直线 l 1、l 2、l 3的斜率分别为 k 1、 k 2、 k 3. 则（ ） A.k 1 C.k 3 D.k 1< k 3 【答案】 D 图1 解析】直线 l 1的倾斜角 α1是钝角 .故k 1<0.直线 l 2与 l 3的倾斜角 α2、 α3 均为锐角 . 且α2 >α3. 所以 k 2> k 3> 0. 因此 k 2> k 3> k 1.故应选 D. 3. 两条直线 A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0. A 2x ＋ B 2y ＋ C 2＝ 0 垂直的充要条件是（ ） A. A 1A 2＋ B 1B 2＝0 B. A 1A 2－ B 1B 2＝ 0 C. A 1A 2 B 1B 2 1 D. B1B2 =1 A 1A 2 答案】 A 解析】法一：当两直线的斜率都存在时 A 1 B 1 （ A 2 ） ＝－ 1. A 1A 2＋ B 1B 2＝ 0. 当一直线的斜率不存在 . 一直线的斜率为 时. B 2 A 1 0或 A 2 0 B 2 0 B 1 0 同样适合A1A2＋B1B2＝ 0. 故选 A. 法二：取特例验证排除 . 如直线x+y=0 与x－y=0 垂直 . A1A2＝ 1. B1B2＝－ 1. 可排除 B、D. 直线x=1 与y=1 垂直 . A1A2＝ 0. B1B2＝ 0. 可排除 C.故选 A. 评述：本题重点考查两直线垂直的判定、直线方程的一般式等基本知识点 维能力 . 4. 若直线l ：y＝kx 3 与直线 2x＋3y－6＝0 的交点位于第一象限 . 则直线l 的倾斜角的取值范围是（） 答案】 B 解析】法 1：求出交点坐标 . 再由交点在第一象限求得倾斜角的范围： 解得k∈( 3. ＋∞ 3 ∴倾斜角范围为（, ） 62 3.0 ） . B（0.2 ）.直线l 必过点（ 0.－3 ）. 当直线过 A点时 . 两直线的 交点在x 轴. 当直线l 绕C 点逆时针旋转时. 交点进入第一象限 . 从而得出结果 . 5. 设a、b、c 分别是△ ABC中∠ A、∠ B、∠ C所对边的边长 . 则直线 sin A·x+ay+c=0 与bx－sin B· y+sin C=0 的位 置关系是（）3 , 2 D.[6,2] . 重点考查分类讨论的思想及逻辑思 y kx 3 2x 3y 6 0 3(2 3) x 2 3k 6k 2 3 y 2 3k ∵交点在第一象限x0 3(2 3) 0 2 3k y0 6k 2 3 2 3k 法 2：如图 . 直线 2x+3y－6=0 过点 A.平行 B. 重合 C. 垂直 D.相交但不垂直答案】 C sinA b 解析】由题意知 a ≠ 0.s i n B ≠ 0. 两直线的斜率分别是 k 1=－ . k 2= a sinB sinA b 由正弦定理知 k 1·k 2=－ · =－ 1. 故两直线垂直 . a sinB 评述：本题考查两直线垂直的条件及正弦定理 . 6. 已知两条直线 l 1：y =x . l 2： ax － y =0. 其中 a 为实数 . 当这两 条直线的夹角在( 答案】 C 解析】直线 l 1的倾斜角为 . 依题意 l 2的倾斜角的取值范围为 4 ∪( . ), 从而 l 2的斜率 k 2的取值范围为 43 评述：本题考查直线的斜率和倾斜角 . 两直线的夹角的概念 . 以及分析问题、解决问题的能力 7. 若直线 x y 1 通过点M (cos ，sin) . 则() ab 2 2 2 2 1 1 1 1 A ． a 2b 2 ≤1 B ． a 2 b 2 ≥1 C ． 22 ≤ 1 D ． 2 2 ≥1 a 2 b 2 a 2 b 2 答案】 D 本题是训练思路的极好素材 . 看能否找到 10 种解法？ 8．已知点 A( 1,0),B(1,0),C(0,1), 直线 y ax b(a 0) 将△ ABC 分割为 面积相等的两部分 , 则 b 的取值范围是 －. ) ∪( . + )即 : ( ) 4 12 4 4 4 12 6 4 A. (0.1 ) B. 3 3 , 3 ) C. 3 3.1 ∪( 1. 3 ) D. (1. 3 ) 0. )内变动时 . a 的取值范围是 3 .1 3 ∪( 1, 3 ) ) A ． (0, 21 B ． (1 22 ,1 2) ( C) 21 (1 22 ,1 3] 答案】 B 二．填空题(每小题 5分.共30 分) 9. 过点P(2,3).且在两坐标轴上的截距互为相反数的 直线方程是 解析】错解：设所求直线方程为 x a y 1.过点P(2,3). 则有a 231a1 aa ∴直线的方程为x y 1 0. 错因：少了直线经过原点的情况. 故还有y 3x. 即3x 2y 0也适合题意 . 2 10. 与直线2x 3y 5 0平行 .且距离等于13的直线方程是 m5 解析】设所求直线方程为2x 3y m 0. 则13 22 32 解得m 18 或 m ∴直线方程为 2x 3y 18 0或2x 3y 8 0. 11. 直 线 l 经 过 点 P(2,3) . 且 与 两 坐 标 轴 围 成 一 个 等 腰 直 角 三 角 形 . 则 直 线 l 的 方 程 为 . 【解析】 依题意 . 直线 l 的斜率为± 1. ∴直线 l 的方程为 y 3 x 2 或 y 3 (x 2) . 即 x y 1 0 或 x y 5 0. 12. 在△ ABC 中.BC 边上的高所在的直线的方程为 x-2y+1=0. ∠A 的平分线所在的直线方程为 y=0.若点 B 的坐标为 (1.2 ). 则点 A 和点 C 的坐标分别为 。 【答案】 ( 1,0),(5, 6) 13. 光 线 自 点 M(2,3) 射 到 点 N(1, 0) 后 被 x 轴 反 射 . 则 反 射 光 线 所 在 直 线 的 方 程 为 . 【答案】 3x y 3 0 14 ． 若 ABC 的 顶 点 A(3,4) . B(6,0) . C( 5, 2) . 则 A 的 平 分 线 AT 所 在 直 线 方 程 解析】如图 . 在此对图形特征从不同角度给予分析以获得解题思路： 4 法 1 AB 的方程为 y (x 6) 4x 3y 24 0. 3 3 3 7 AC 的方程为 y 4 (x 3) y x 4 4 4 3x 4y 7 0 4 k 3 4k 3 (3k 4). 34 1 k 1 ( )k 43 1 解得 k 7 或 k (舍去) 设直线 AT 的斜率为 k. 则用到角公式可得 k 3 4 T 40 4 2 2 所以有 y 4 7(x 3) 7x y 17 0。 法 2 k AC tan 3 .如图有 k AT tan(45 ) 4 法 3 取直线 CA,TA,BA 的方向向量分别为 v 1 (4,3), v (1, k), v 2 ( 3,4) .则 cos v 2 v 4 3k 3 4k k 7. v 2 v 1 3 4 7. 下略。 1 3 7. 下略。 4 法 4 设 AT 上任意一点坐标为( a,b ).则 4x 3y 24 3x 4y 7 4x 3y 24 (3x 4y 7) 55 检验 .舍去一个即可。 三．解答题(满分 30 分) 15．(7 分)已知点 A(1, 1), B(5, 2).直线 l 的倾斜角是直线 AB 的倾斜角的一半 .求直线 l 的斜率 . 解析】 设直线 l 的倾斜角为 . 则直线 AB 的倾斜角为 2 . 依题意有 2tan 2 3 . 即3tan 2 8tan 3 0 . 1 tan 2 4 ∴ tan 1 或 tan 3. 3 由 00 2 1800 .得0 900 . 有 tan 0. ∴ tan 1 . ∴直线 l 的斜率为 1 . 33 16. (7 分)已知三条直线 2x 3y 5 0, 4x 3y 1 0, mx y 0不能构成三角形 .求实数 m 的值. 2 【解析】 依题意 . 当三条直线中有两条平行或重合 . 或三条直线交于一点时 . 三条直线不能构成三角 形 . 故 m 或 3 4 2 4 m 或 m 1. ∴实数 m 的取值集合是 , ,1 . 3 3 3 17. (8 分)已知点 A( 3,5), B(2,15) . 在直线 l :3x 4y 4 0上求一点 P.使 PA PB 最小. 【解析】 由题意知 .点 A 、B 在直线 l 的同一侧 .由平面几何性质可知 . 先作出点 A 关于直线 l 的对称点 A'. 然后连结 A'B . 则 直 线 A'B 与 l 的 交 点 P 为 所 求 . 事 实 上 . 设 点 P' 是 l 上 异 于 P 的 点 . 则 P'A P'B P'A' P'B A'B PA PB . tan2 2 ( 1) 51 40 4 2 2 ∴ A'(3, 3) .∴直线 A' B 的方程为 18x y 51 0. 设 A'(x,y). 则 y5 . 解得 x3 y3 3x 4y 4 0 . 解得 18x y 51 0 y 8 x 3. ∴ P(8 3 ,3) . 33 18. （ 8分）在直角坐标系中 . 设矩形 OPQR 的顶点按逆时针顺序依次为 O （ 0.0 ）. P （1. t ）. Q （1－2t .2+ t ）. R （－ 2t .2）.其中 t ∈（ 0. ＋∞） .求矩形 OPQR 在第一象限部分的面积 S （t ）. 解析】（1）当1－2t >0即 0 时.如图 7—13.点 Q 在 第 2 形 OPQK 的面积 .直线 QR 的方程为 y －2=t （x +2t ）.令 x =0.得 y =2t ＋2）. ＋2.点 K 的坐标为（ P .2t 2 S OPQK S OPQR S OKR 2( 1 t 2 )2 2 1(2t 2 2) 2t 象限时 .此时 S （t ）为四边 2(1 t t 2 t 3 ) 当－2t +1≤0.即t ≥1 时.如图 7—14.点Q 在y 轴上或第二象限 . S （t ）为△ OP Ｌ的面积.直线 PQ 的方程为 y － t =－1 (x －1).令x =0得 y =t +1 tt .点L 的坐标为（ 0.t +1）. t S △OPL ＝ 1 (t 1 ) 1 1 (t 1 ) 2 t 2 t 23 2(1 t t 2 t 3 ) 所以 S (t )＝ 11 (t ) 2t 0 t 1 2 1 t 2 附加题（计入总分 .每题 5 分.但总分不超过 100分）： 1. 已知长方形的四个顶点 A （0,0） 、 B （2,0） 、 C （2,1）和D （0,1） .一质点从 AB 的中点 P 0沿与 AB 夹角为 的方向射 到 BC 上的点 P 1后.依次反射到 CD 、DA 和 AB 上的点 P 2 、P 3和P 4（入射角等于反射角） .设 P 4的坐标 为 （x 4,0）. 若1 x 4 2.则 tan 的取值范围是（ ） A. (1,1) B. (1,2) C. (2,1) D. (2,2) 3 3 3 5 2 5 3 1 解析】 用特例法 .取x 4 1.则P 1 、 P 2 、 P 3、 P 4分别为 BC 、CD 、DA 、 AB 的中点.此时 tan .依题 意. 4 1 2 3 4 2 1 包含tan 的选项（ A）（B）（ D）应排除 . 故选（ C）. 2 2. 在直角坐标系xOy中.已知△ AOB三边所在直线的方程分别为x=0. y=0.2 x+3y=30.求△ AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数为。 22 【解析】法 1：由y=10－x（0≤x≤15. x∈N）转化为求满足不等式y≤10－x（0≤x≤15. x∈N）所有整数y的 值.然后再求其总数 .令x=0. y有 11个整数 .x=1.y 有 10个.x=2或x=3时. y分别有 9个.x=4时.y有 8个.x=5或 6 时.y分别有 7个.类推：x=13时y有 2个.x=14或15时. y分别有 1个.共 91个整点 .故选 B. 法 2：将x=0. y=0 和 2x+3y=30 所围成的三角形补成一个矩 形 . 如图 7 对角线上共有 6 个整点 .矩形中（包括边界）共有 16×11=176. 因此和边上的整点共有176 6=91（个） 2 — 2 所示 . 所求△ AOB内部图 7— 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系 课时作业 A 组——基础对点练 1．圆心为(4,0)且与直线3x －y ＝0相切的圆的方程为( ) A ．(x －4)2 ＋y 2 ＝1 B ．(x －4)2＋y 2 ＝12 C ．(x －4)2 ＋y 2 ＝6 D ．(x ＋4)2 ＋y 2 ＝9 解析：由题意，知圆的半径为圆心到直线3x －y ＝0的距离，即r ＝|3×4－0| 3＋1＝23，结 合圆心坐标可知，圆的方程为(x －4)2 ＋y 2 ＝12，故选B. 答案：B 2．(2018·石家庄质检)若a ，b 是正数，直线2ax ＋by －2＝0被圆x 2 ＋y 2 ＝4截得的弦长为23，则t ＝a 1＋2b 2 取得最大值时a 的值为( ) A.12 B ． 32 C.34 D ．34 解析：因为圆心到直线的距离d ＝ 24a 2 ＋b 2 ，则直线被圆截得的弦长L ＝2r 2 －d 2 ＝2 4－4 4a 2＋b 2＝23，所以4a 2 ＋b 2＝4.t ＝a 1＋2b 2 ＝ 122 ·(22a )1＋2b 2 ≤ 1 22·12·[(22a )2＋(1＋2b 2)2]＝142[8a 2＋1＋2(4－4a 2)]＝942 ，当且仅当? ???? 8a 2 ＝1＋2b 2 4a 2 ＋b 2 ＝4时等号成立，此时a ＝3 4 ，故选D. 答案：D 3．(2018·惠州模拟)已知圆O ：x 2 ＋y 2 ＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点恰有3个，则实数a 的值为( ) A ．2 2 B ． 2 C ．－2或 2 D ．－22或2 2 解析：因为圆上到直线l 的距离等于1的点恰好有3个，所以圆心到直线l 的距离d ＝1，即d ＝|－a |2＝1，解得a ＝± 2.故选C. 答案：C 4．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2 ＋(y ＋1)2 ＝4截得的弦长为 平面解析几何 一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 （1）倾斜角α的范围0 0180α≤< （2 ）经过两点 的直线的斜率公式是 （3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ?=。特别地，当直线 12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。 （2）两条直线垂直 如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥?=- 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜式 为直线上一定点，k 为斜率 不包括垂直于x 轴的直线 斜截式 k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距 不包括垂直于x 轴的直线 两点式 是直线上两定点 不包括垂直于x 轴和y 轴的直线 截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距， b 是直线在y 轴上的非零截距 不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线 一般式 A ， B ， C 为系数 无限制，可表示任何位置的直线 三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是 ，两条直线的 交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解 就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。 2.几种距离 （1）两点间的距离平面上的两点 间的距离公式 （2）点到直线的距离 点到直线的距离； （3）两条平行线间的距离 两条平行线 间的距离 注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； （2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算 （二）直线的斜率及应用 利用斜率证明三点共线的方法： 已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。 注：斜率变化分成两段，0 90是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。 直线的参数方程 〖例1〗已知直线的斜率k=-cos α (α∈R ).求直线的倾斜角β的取值范围。 思路解析：cos α的范围→斜率k 的范围→tan β的范围→倾斜角β的取值范围。 平面解析几何解题思路探究 台山培英中学 梁达辉 在平面解析几何学习中，许多同学感觉到对所学的基本概念已经理解，基本公式已经熟练，但解题时却力不从心，无从入手。究其原因：一是在学习中没有注意总结归纳基本题型及其解法；二是对老师归纳过的一些解法未能内化；三是缺乏对解题策略的探究。下面结合平面解析几何直线部分的内容介绍一些基本题型及其解决法。 1、关于求点P 分有几或段P 1P 2 所成的比例的问题 基本思路是：先定符号，再求数值。解题时一般要根据已知条件画出线段P 1P 2，在P 1P 2所在直线在打到分点P 的位置，并确定入的正负性，再根据P 1、P 、P 2之间的长度关系或坐标关系计算出的值，例如：已知A 、B 、C 三点共线，点C 分AB 的比为-3，求点B 分AC 所成的比。 解:（图略）设点B 分AC 所成的比为λ 点C 分AB 所成的比为点C 在AB 的延长线上 B 在线段AC 上 λ＞0 AC=-3CB |AC|=3|CB| |AB|=2|BC| AB=λBC |AB|=|λ||BC| |∵λ＞0 ∴λ=2 2、关于判断线证明平面内三点共线问题 一般方法有： （1）用分点坐标公式：λ= =只要根据三点坐标 分别求出和的值，相等则共线，否则不共线 （2）用两点间距离公式：由三点坐标计真算每两点间的距离，若最大的距离等于另两个较小距离之和，则这三点共线，否则不共线。 （3）用斜率公式：分别计真其中一点与另两点连线的斜率，若两斜率相等或两斜率都不存在，则这三点共线，否则不共线。 （4）用直线的方程：求出经过其中两点的直线方程，再判断另一点的坐标是否满足该直线方程，若满足，则这三点共线，若不满足，则这三点不共线。 3、求一点P（X o ，Y o ）关于一直线AX+By+C=O的对称点问题 （1）若直线为特殊直线Y=X，Y=-X，X轴，Y轴时，则对称点的坐标分别 为（Y 0，X O ），（-Y O ，-X O ）、（X O ，-Y O ）、（-X O ，Y O ）。 （2）当直线AX+BY+C=O一般直线时，可设对称点的坐标为：P1（X1 Y1），建立方程组 · =-1 A + +C=0 直线测试题 一．选择题（每小题5分共40分） 1. 下列四个命题中的真命题是（ ） A.经过定点P 0（x 0，y 0）的直线都可以用方程y －y 0=k （x －x 0）表示； B.经过任意两个不同的点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的直线都可以用方程 （y －y 1）·（x 2－x 1）=（x －x 1）（y 2－y 1）表示； C.不经过原点的直线都可以用方程 1=+b y a x 表示； D.经过定点A （0， b ）的直线都可以用方程y =kx +b 表示。 【答案】B 【解析】A 中过点P 0（x 0，y 0）与x 轴垂直的直线x =x 0不能用y －y 0=k （x －x 0）表示，因为其斜率k 不存在；C 中不过原点但在x 轴或y 轴无截距的直线y =b （b ≠0）或x =a （a ≠0）不能用方程b y a x +=1表示；D 中过A （0， b ）的直线x =0不能用方程y =kx +b 表示. 评述：本题考查直线方程的知识，应熟练掌握直线方程的各种形式的适用范围. 2. 图1中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（ ） A.k 1＜k 2＜k 3 B.k 3＜k 1＜k 2 C.k 3＜k 2＜k 1 D.k 1＜k 3＜k 2 【答案】D 【解析】直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2、α3均为锐角，且α2 ＞α3，所以k 2＞k 3＞0，因此k 2＞k 3＞k 1，故应选D. 3. 两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是（ ） A. A 1A 2＋B 1B 2＝0 B.A 1A 2－B 1B 2＝0 C.12121-=B B A A D.2 121A A B B =1 【答案】A 【解析】法一：当两直线的斜率都存在时，－ 11B A ·（2 2B A -）＝－1，A 1A 2＋B 1B 2＝0.图1 高中平面解析几何知识点总结 一.直线部分 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率： αtan ),(21121 2=≠--= k x x x x y y k ．两点坐标为111(,)P x y 、222(,)P x y . 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：121121x x x x y y y y --= -- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线． （4）截距式：1 =+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式： B C x B A y - - =，即，直线的斜率： B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直 线一般不重合． 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着 交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式： 1 21 121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示 任意直线． （4）截距式： 1=+b y a x （ b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ） ． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示 过原点的直线． （5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式：B C x B A y -- =，即，直线的斜率：B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的 倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． (3)指出此时直线的方向向量：),(A B -，),(A B -，) , ( 2 2 2 2 B A A B A B +-+ （单位向量）； 直线的法向量：),(B A ；（与直线垂直的向量） （6）参数式：?? ?+=+=bt y y at x x 00（t 为参数）其中方向向量为),(b a ，) ,(2222b a b b a a ++； a b k = ； 22||||b a t PP o += ； 平面解析几何（直线和圆的方程、圆锥曲线）专题 17.0 圆锥曲线几何性质 如果涉及到其两“焦点”，优先选用圆锥曲线第一定义；如果涉及到其“焦点”、“准线”或“离心 率”，优先选用圆锥曲线第二定义；此外，如果涉及到焦点三角形的问题，也要重视焦半径和三角形中正余弦定理等几何性质的应用? PF t +PF2| =2a》￡沪2方程为椭圆， 椭圆方程的第一定义：PF1- PF2 =2a F I F2无轨迹， PF1 - PF2 =2a = F t F2以F"F2为端点的线段 |PF t _PF2| =2aYF t F2方程为双曲线 双曲线的第一定义：PF1 _PF2 =2a - F1F 2无轨迹 PF i -PF 2 =2a=F i F2以F i,F 2的一个端点的一条射线 圆锥曲线第二定义（统一定义）：平面内到定点F和定直线|的距离之比为常数e的点的轨迹.简言之就是“ e=点点距（数的统一）”，椭圆，双曲线，抛物线相对关系（形的统一）如右图. 点线距 当0 e 1时，轨迹为椭圆； 当e =1时，轨迹为抛物线； 当e -1时，轨迹为双曲线； 当e =0时，轨迹为圆（e =￡，当c =0, a =b时）. a 圆锥曲线的对称性、圆锥曲线的范围、圆锥曲线的特殊点线、圆锥曲线的变化趋势 b =?,1 —e2、双曲线中b . e2 -1 . a a 圆锥曲线的焦半径公式如下图： 特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其“顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几 何性质”，尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦最值的特点 17.1圆锥曲线中的精要结论: .其中e=c，椭圆中 a a ex a— ex 1. 以点A （-5,4）为圆心，且与x 轴的相切的圆标准方程是（ ） A.16)4()5(22=-++y x B.16)4()5(22=++-y x C. 25)4()5(22=-+-y x D. 25)4()5(22=+--y x 2.与椭圆 133 492 2 =+ y x 有公共焦点且离心率为3 4= e 的双曲线的标准方程为（ ） A. 1972 2 =- y x B. 19252 2 =- y x C. 179 2 2 =- y x D. 125 9 2 2 =- y x 3.当方程 15 8 2 2 =-+ -k y k x 表示焦点在y 轴上的双曲线时，k 的值是（ ） A.k<5 B.5 个性化简案 个性化教案（真题演练） 个性化教案 平面解析几何初步 知识点一：直线与方程 1. 直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角.倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. 2. 直线的斜率：αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 3．直线方程的五种形式 【典型例题】 例1：已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y ＝4m －1．① 当m ＝ 时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝ 时，直线在x 轴上的截距为1．③ 当m ＝ 时，直线在y 轴上的截距为－2 3．④ 当m ＝ 时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝ 时，直线过原点． 【举一反三】 1. 直线3y ＋ 3 x ＋2=0的倾斜角是 （ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 2. 设直线的斜率k=2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点，则x 2，y 3依次是 （ ） A ．－3，4 B ．2，－3 C ．4，－3 D ．4，3 3. 直线l 1与l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7 ，则l 2的斜率是 （ ） A ．7 B ．－ 77 C ．77 D ．－7 4. 直线l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是 ． 例2：已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）.求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上. 练习：设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3）在同一直线上，求证：a+b+c=0. 例3：已知实数x,y 满足y=x 2-2x+2 (-1≤x≤1).试求：2 3 ++x y 的最大值与最小值. 直线测试题 一．选择题（每小题 5 分共 40 分） 1. 下列四个命题中的真命题是（ ） A.经过定点 P 0（x 0. y 0）的直线都可以用方程 y －y 0=k （x －x 0）表示； B.经过任意两个不同的点 P 1（ x 1. y 1）、P 2（x 2.y 2）的直线都可以用方程 （y －y 1）·（x 2－x 1）=（ x －x 1）（y 2－y 1）表示； C.不经过原点的直线都可以用方程 x y 1 表示； ab D.经过定点 A （0. b ）的直线都可以用方程 y =kx +b 表示。 【答案】 B 解析】 A 中过点 P 0（ x 0. y 0）与 x 轴垂直的直线 x =x 0不能用 y －y 0=k （x －x 0）表示.因为其斜率 k 不存在； C 中不过 xy 原点但在 x 轴或 y 轴无截距的直线 y =b （ b ≠ 0）或 x =a （a ≠0）不能用方程 =1 表示； D 中过 A （ 0. b ）的直线 ab x =0 不能用方程 y =kx +b 表示 . 评述：本题考查直线方程的知识 . 应熟练掌握直线方程的各种形式的适用范围 2. 图 1中的直线 l 1、l 2、l 3的斜率分别为 k 1、 k 2、 k 3. 则（ ） A.k 1 课时作业55 直线与圆、圆与圆的位置关系 一、选择题 1．若直线2x ＋y ＋a ＝0与圆x 2 ＋y 2 ＋2x －4y ＝0相切，则a 的值为( ) A ．± 5 B ．±5 C ．3 D ．±3 解析：圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2 ＝5，因为直线与圆相切，所以有|a |5 ＝5，即 a ＝±5. 答案：B 2．直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2 ＋y 2 －2x －4y ＝0截得的弦长为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．4 6 解析：依题意，圆的圆心为(1，2)，半径r ＝5，圆心到直线的距离d ＝ |1＋4－5＋5| 5＝1，所以结合图形可知弦长的一半为r 2 －d 2 ＝2，故弦长为4. 答案：C 3．已知直线l 经过点M (2，3)，当圆(x －2)2 ＋(y ＋3)2 ＝9截l 所得弦长最长时，直线 l 的方程为( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．3x ＋4y －18＝0 C ．y ＋3＝0 D ．x －2＝0 解析：∵圆(x －2)2 ＋(y ＋3)2 ＝9截l 所得弦长最长，∴直线l 经过圆(x －2)2 ＋(y ＋3)2 ＝9的圆心(2，－3)．又直线l 经过点M (2，3)，∴直线l 的方程为x －2＝0. 答案：D 4．若圆x 2＋y 2 ＋2x －4y ＋m ＝0(m <3)的一条弦AB 的中点为P (0，1)，则垂直于AB 的直径所在直线的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y －1＝0 D ．x ＋y ＋1＝0 解析：由圆的方程得该圆圆心为C (－1，2)，则CP ⊥AB ，且直线CP 的斜率为－1，故垂直于AB 的直径所在直线的方程为y －1＝－x ，即x ＋y －1＝0. 答案：B 5．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 平面解析几何 一．直线部分 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线 重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α ,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率： αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式： )(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式： 1 21 121x x x x y y y y --= -- ( 12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和 y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线． （4）截距式： 1=+b y a x （ b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ） ． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式： 0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式：B C x B A y --=，即，直线的斜率：B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为 00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．?直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数．．．．．．．?直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．?直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直： （1）若111: l y k x b =+，222:l y k x b =+ ① 212121,//b b k k l l ≠=?； ② 12121l l k k ⊥?=-. （2）若0:1111 =++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有 ① 1221122121 //C A C A B A B A l l ≠=?且．② 0212121=+?⊥B B A A l l ． 5．平面两点距离公式： (111(,)P x y 、222(,)P x y )，2 212212 1)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离： A B x x AB -=． 线段2 1P P 的中点是),(00y x M ，则??? ???? +=+=22 2 10210y y y x x x ． 第四章 平面解析几何初步 第1课时 直线的方程 1．倾斜角:对于一条与x 轴相交的直线,把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角α叫做直线的倾斜角．当直线和x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°．倾斜角的范围为________． 斜率:当直线的倾斜角α≠90°时，该直线的斜率即k ＝tanα；当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在． 2．过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式 ．若x 1＝x 2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°． 3．名称 方程 适用范围 斜截式 点斜式 两点式 截距式 一般式 例1. 已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y ＝4m －1．① 当m ＝ 时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝ 时，直线在x 轴上的截距为1．③ 当m ＝ 时，直线在y 轴上的截距为－2 3．④ 当m ＝ 时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝ 时，直线过原点． 解：(1) －1 ⑵ 2或－2 1 ⑶ 31或－2 ⑷－23 ⑸ 4 1 变式训练1.（1）直线3y ＋ 3 x ＋2=0的倾斜角是 （ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° （2）设直线的斜率k=2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点，则x 2，y 3依次是 （ ） A ．－3，4 B ．2，－3 C ．4，－3 D ．4，3 （3）直线l 1与l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7 ，则l 2的斜率是 （ ） A ．7 B ．－ 77 C ．77 D ．－7 （4）直线l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是 ． 解：（1）D ．提示：直线的斜率即倾斜角的正切值是－3 ． （2）C ．提示：用斜率计算公式 12 12 y y x x --． （3）A ．提示：两直线的斜率互为相反数． （4）2y ＋3x ＋1=0．提示：用直线方程的两点式或点斜式 典型例题 基础过关 平面解析几何初步测试题 一、选择题：（包括12个小题，每题5分，共60分） 1．已知直线l 过（1，2），（1，3），则直线l 的斜率（ ） A. 等于0 B. 等于1 C. 等于21 D. 不存在 2. 若)0,(),4,9(),2,3(x C B A --三点共线，则x 的值是（ ） A ．1 B ．-1 C ．0 D ．7 3. 已知A （x 1,y 1）、B （x 2，y 2）两点的连线平行y 轴，则|AB|=（ ） A 、|x 1-x 2| B 、|y 1-y 2| C 、 x 2-x 1 D 、 y 2-y 1 4. 若0ac >，且0bc <，直线0ax by c ++=不通过（ ） Ａ．第三象限 Ｂ．第一象限 Ｃ．第四象限 Ｄ．第二象限 5. 经过两点（3，9）、（-1，1）的直线在x 轴上的截距为（ ） A ．23 - B ．32- C ．32 D ．2 6．直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（ ） A (3,-1) B (-1,3) C (-3,-1) D (3,1) 7．满足下列条件的1l 与2l ，其中12l l //的是（ ） （１）1l 的斜率为２，2l 过点(12)A ，，(48)B ，； （２）1l 经过点(33)P ，，(53)Q -，，2l 平行于x 轴，但不经过P ，Q 两点； （３）1l 经过点(10)M -，，(52)N --，，2l 经过点(43)R -，，(05)S ，． Ａ．（１）（２） Ｂ．（２）（３） Ｃ．（１）（３） Ｄ．（１）（２）（３） 8.已知直线01:1=++ay x l 与直线221 :2+=x y l 垂直，则a 的值是（ ） A 2 B －2 C ．21 D ．21 - 9. 下列直线中，与直线10x y +-=的相交的是 A 、226x y += B 、0x y += C 、3y x =-- D 、1 y x =- 第四节直线与圆、圆与圆的位置关系 课标要求考情分析 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的 位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两 圆的位置关系． 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问 题． 3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 1.本节是高考中的重点考查内容，主要涉及直线与圆的位 置关系、弦长问题、最值问题等． 2．常与椭圆、双曲线、抛物线交汇考查，有时也与对称 性等性质结合考查． 3．题型以选择、填空为主，有时也会以解答题形式出现， 属中低档题. 知识点一直线与圆的位置关系 设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)， 圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ. 直线与圆的位置关系的常用结论 (1)当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)，弦长的一半及半径长所表示的线 段构成一个直角三角形． (2)弦长公式|AB|＝1＋k2|x A－x B| ＝(1＋k2)[(x A＋x B)2－4x A x B]. 知识点二圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)， 圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0). 两圆相交时公共弦的方程求法： 设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，① 圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，② 若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即：(D1－D2)x ＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0. 1．思考辨析 判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(×) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(×) (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方 平面解析几何 一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 （1）倾斜角α的范围000180α≤< （2）经过两点的直线的斜率公式 是 （3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ?=。特别地， 当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。 （2）两条直线垂直 如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥?=- 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率 之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜式 为直线上一定点，k 为斜率 不包括垂直于x 轴的直线 斜截式 k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距 不包括垂直于x 轴的直线 两点式 是直线上两定点 不包括垂直于x 轴和y 轴的 直线 截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距， b 是直线在y 轴上的非零截距 不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线 一般式A，B，C为系数无限制，可表示任何位置的 直线 三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是，两条 直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条 直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平 行；反之，亦成立。 2.几种距离 （1）两点间的距离平面上的两点间的距离公式 （2）点到直线的距离 点到直线的距离； （3）两条平行线间的距离 两条平行线间的距离 注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； （2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用 公式计算 （二）直线的斜率及应用 利用斜率证明三点共线的方法： 已知 112233 (,),(,),(,), A x y B x y C x y若 123AB AC x x x k k === 或，则有A、B、C三点共 线。 注：斜率变化分成两段，0 90是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。 平面几何初步 课程要求 1.直线与方程 (1)在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素. (2)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式. (3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. (4)掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、 两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系. (5)能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. (6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 2.圆与方程 (1)掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程. (2)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系. (3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. (4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 3.空间直角坐标系 (1)了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置. (2)会推导空间两点间的距离公式. 考情分析 平面解析几何是高中数学的一个基本知识点，我们学习它是为了后面学习空间几何和圆锥曲线打基础。但平面几何作为一个考点，还是会在选择题或填空题中出现一道，而且难度适中。 为了拿到这5分，并且为后面的解答题做准备，我们需要牢牢掌握这部分基础知识。 知识梳理 1 一、 直线与方程 1. 直线的倾斜角和斜率： 倾斜角： x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别 地，当直线与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α<180 直线的斜率：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线 的斜率。直线的斜率常用k 表示。 斜率反映直线与轴的倾斜程度 斜率的公式：给定两点 ()()y x p y x P ,,2 2 2 1 1 1 ,，x x 2 1≠，则直线 P P 2 1 的斜率 k = x x y y 2 1 2 1-- 平行与垂直：两条直线l l 2 1, ，他们的斜率分别为 k k 2,1 k k l l 212 1,//=? 1212 1 -=??⊥k k l l 2. 直线的方程 点斜式：直线l 过点 ()y x p 0 ,，且斜率为k,那么直线方程为: 平面解析几何知识点总结 直线方程 1．直线的倾斜角 (1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角．当直线l 和x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的范围为[0°，180°)． 2．直线的斜率 (1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π 2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率 通常用小写字母k 表示，即k ＝tan α. (2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1 . (3) 直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系 每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率，倾斜角是90°的直线斜率不存在．它们之间的关系如下： 3．直线方程的五种形式 4． 说明：k 1＝k 2，且b 1≠b 2，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判定是否重合． 5．利用一般式方程系数判断平行与垂直 设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， l 1∥l 2?A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0. l 1⊥l 2?A 1A 2＋B 1B 2＝0. 6．三种距离公式 (1)两点间距离公式 点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)间的距离：|AB |＝ (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)点到直线的距离公式 点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离：d ＝ |Ax 0＋By 0＋C | A 2＋ B 2 . 说明：求解点到直线的距离时，直线方程要化为一般式． (3)两平行线间距离公式 两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0 (C 1≠C 2)间的距离为d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2 . 说明：求解两平行线间距离公式时，两直线x ，y 前系数要化为相同． 圆的方程 1．圆的定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．确定一个圆最基本的要素是圆心和半径． 2. 圆的标准方程 (1) 以(a ，b )为圆心，r (r >0)为半径的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2． (2) 特殊的，以(0，0)为圆心，r (r >0)为半径的圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2． 3. 圆的一般方程 方程 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0可变形为????x ＋D 22 ＋????y ＋E 22 ＝D 2＋E 2 －4F 4 . (1) 当 D 2＋ E 2－4 F >0 时，方程表示以????－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2 为半径的圆； (2) 当D 2＋E 2－4F ＝0时，该方程表示一个点????－D 2 ，－E 2； 直线的方程 1．直线的倾斜角 (1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角． (2)范围：直线l 倾斜角的范围是0°≤α<180°. 2．斜率公式 (1)若直线l 的倾斜角α≠90°，则斜率k ＝tan_α. (2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 3．直线方程的五种形式 概念方法微思考 1．直线都有倾斜角，是不是直线都有斜率？倾斜角越大，斜率k 就越大吗？ 提示 倾斜角α∈[0，π)，当α＝π 2时，斜率k 不存在；因为k ＝tan α????α≠π2.当α∈????0，π2时，α越大，斜率k 就越大，同样α∈????π2，π时也是如此，但当α∈(0，π)且α≠π 2时就不是了． 2．“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？ 提示 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意． 1．（2018?全国）坐标原点关于直线60x y --=的对称点的坐标为__________． 【答案】(6,6)- 【解析】设坐标原点关于直线60x y --=的对称点的坐标为(,)a b ， 则116022 b a a b ??=-????--=??， 解得6a =，6b =-， ∴坐标原点关于直线60x y --=的对称点的坐标为(6,6)-． 故答案为：(6,6)-． 1．（2020?河南模拟）已知函数()sin cos (0)f x x a x a =-≠，满足()()3 f x f x π -=- +，则直线0ax y c ++=的倾斜角 为( ) A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 56 π 【答案】C 【解析】函数()sin cos (0)f x x a x a =-≠，满足()()3 f x f x π -=- +， ∴函数()f x 关于直线6 x π =- 对称， ()sin()cos()666 f a πππ ∴-=---=， 化为2(0a -=， 解得a = 则直线0ax y c ++=的倾斜角θ满足：tan θ=，[0θ∈，)π． 23 πθ∴= ． 故选C ． 2．（2020?宜昌模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知角θ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在直线2y x =上，则3sin(2)(2 π θ+= ) A ． 4 5 B ．45 - C ．35 D ．35 - 【答案】C 【解析】因为角θ终边落在直线2y x =上， 所以tan 2θ=，可得21 cos 5 θ=， 所以2313sin( 2)cos2(2cos 1)(21)255 πθθθ+=-=--=-?-=． 故选C ． 3．（2020?0(y a a -+=为常数）的倾斜角为( ) A ．30? B ．60? C ．150? D ．120? 【答案】B 0y a -+=的倾斜角是α， 则直线的方程可化为y a =+，2019届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第四节直线与圆圆与圆的位置关系课时作业
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