导数应用之极值与最值 学案

导数的应用学案

【教学目的】

1.通过函数图像直观理解导数的几何意义。

2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值。

【重点难点】

①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；

③利用导数求函数的最值；④利用导数证明函数的单调性；

⑤导数与函数、不等式方程根的分布等知识相融合的问题；

⑥导数与解析几何相综合的问题。

【教学过程】

一、准备知识

1.导数的意义

从代数上来说：

从几何上来说：

单调性与导数的关系(注意区间)：

2.什么叫光滑(圆滑)曲线：不会出现尖角，导数不会突变。

二．新课教授

1.极值定义：

一般地, 设函数f (x) 在点x0附近有定义, 如果对x0附近的所有的点, 都有f(x)

反之, 若f(x)

极小值点、极大值点统称为极值点, 极大值和极小值统称为极值.

下图是某函数在[a,b]上的函数图像，说说哪些是极值点，是极大值还是极小值。这些极值点及极值点附近的导数有什么特点。

1)如果b是f’(x)=0的一个根，并且在b左侧附近f’(x)>0，在b右侧附近f’(x)<0，那么f(b)是函数f(x)的一个极大值。

2)如果a是f’(x)=0的一个根，并且在a 的左侧附近f’(x)<0，在a 右侧附近f’(x)>0，那么是f(a)函数f(x)的一个极小值。

问：(1)极值点的导数一定是0吗？

(2)导数为零的点一定是极值点吗？

(3)极大值一定比极小值大吗？

2.如何求极值和最值

求解函数极值的一般步骤：

(1)确定函数的定义域

(2)求方程f’(x)=0的根

(3)用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格。

(4)由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况。

练习1

3.函数最大(小)值与极值的关系。

观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象.

发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______。

在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则它必有最大值和最小值.且最值一定在极值点或端点出取得。

补：开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.

4. 如何求极值和最值

求在[a,b]上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在[a,b]上的最值的步骤:

(1)求f(x)在(a,b)内的极值;

(2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

例3：求函数y=|x2-3x+2|的最值

注意：一旦给出的函数在(a,b)上有个别不可导点的话,不要忘记在步骤(2)中,要把这些点的函数值与各极值和f(a)、f(b)放在一起比较。

小结略，板书略。