导数应用之极值与最值 学案
导数与函数的极值、最值(经典导学案及练习答案详解)
§3.3导数与函数的极值、最值学习目标1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值．知识梳理1．函数的极值(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．2．函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．常用结论对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值．(×)(2)函数的极小值一定是函数的最小值．(×)(3)函数的极小值一定不是函数的最大值．(√)(4)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点．(×)教材改编题1．如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析 由题意知只有在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正．2．函数f (x )＝x 3－ax 2＋2x －1有极值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－6]∪[6，＋∞)B ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)C ．(－6，6)D ．[－6，6]答案 B解析 f ′(x )＝3x 2－2ax ＋2，由题意知f ′(x )有变号零点，∴Δ＝(－2a )2－4×3×2>0， 解得a >6或a <－ 6.3．若函数f (x )＝13x 3－4x ＋m 在[0,3]上的最大值为4，则m ＝________. 答案 4解析 f ′(x )＝x 2－4，x ∈[0,3]，当x ∈[0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2,3]时，f ′(x )>0，所以f (x )在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增．又f (0)＝m ，f (3)＝－3＋m .所以在[0,3]上，f (x )max ＝f (0)＝4，所以m ＝4.题型一 利用导数求函数的极值问题命题点1 根据函数图象判断极值例1 (2022·广州模拟)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(x －1)f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )A ．函数f (x )有极大值f (－3)和f (3)B ．函数f (x )有极小值f (－3)和f (3)C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3)D．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)答案 D解析由题图知，当x∈(－∞，－3)时，y>0，x－1<0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－3,1)时，y<0，x－1<0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1,3)时，y>0，x－1>0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(3，＋∞)时，y<0，x－1>0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减．所以函数有极小值f(－3)和极大值f(3)．命题点2求已知函数的极值例2已知函数f(x)＝x－1＋ae x(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值．解(1)因为f(x)＝x－1＋ae x，所以f′(x)＝1－ae x，又因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝0，即1－ae1＝0，所以a＝e.(2)由(1)知f′(x)＝1－ae x，当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，因此f(x)无极大值与极小值；当a>0时，令f′(x)>0，则x>ln a，所以f(x)在(ln a，＋∞)上单调递增，令f′(x)<0，则x<ln a，所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，故f(x)在x＝ln a处取得极小值，且f(ln a)＝ln a，但是无极大值，综上，当a≤0时，f(x)无极大值与极小值；当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，但是无极大值．命题点3已知极值(点)求参数例3(1)(2022·大庆模拟)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＋b等于()A ．－7B ．0C ．－7或0D ．－15或6答案 A 解析 由题意知，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，可得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为f (x )在x ＝1处取得极值10，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3， 检验知，当a ＝－3，b ＝3时，可得f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，此时函数f (x )单调递增，函数无极值点，不符合题意；当a ＝4，b ＝－11时，可得f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)，当x <－113或x >1时， f ′(x )>0，f (x )单调递增；当－113<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x ＝1时，函数f (x )取得极小值，符合题意．所以a ＋b ＝－7.(2)(2022·南京模拟)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )在区间(0，＋∞)上有两个极值，则实数a 的取值范围为( )A ．(0，e)B.⎝⎛⎭⎫0，1eC.⎝⎛⎭⎫0，12 D.⎝⎛⎭⎫0，13 答案 C解析 f ′(x )＝ln x －ax ＋x ⎝⎛⎭⎫1x －a＝ln x ＋1－2ax ，由题意知ln x ＋1－2ax ＝0在(0，＋∞)上有两个不相等的实根，2a ＝ln x ＋1x， 设g (x )＝ln x ＋1x， 则g ′(x )＝1－(ln x ＋1)x 2＝－ln x x 2.当0<x <1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，所以g (x )的极大值为g (1)＝1，又当x >1时，g (x )>0，当x →＋∞时，g (x )→0，当x →0时，g (x )→－∞，所以0<2a <1，即0<a <12. 教师备选 1．(2022·榆林模拟)设函数f (x )＝x cos x 的一个极值点为m ，则tan ⎝⎛⎭⎫m ＋π4等于( ) A.m －1m ＋1B.m ＋1m －1C.1－m m ＋1D.m ＋11－m 答案 B解析 由f ′(x )＝cos x －x sin x ＝0，得tan x ＝1x ，所以tan m ＝1m， 故tan ⎝⎛⎭⎫m ＋π4＝1＋tan m 1－tan m ＝m ＋1m －1. 2．已知a ，b ∈R ，若x ＝a 不是函数f (x )＝(x －a )2(x －b )·(e x －1－1)的极小值点，则下列选项符合的是( )A ．1≤b <aB ．b <a ≤1C ．a <1≤bD ．a <b ≤1 答案 B解析 令f (x )＝(x －a )2(x －b )(e x －1－1)＝0，得x 1＝a ，x 2＝b ，x 3＝1.下面利用数轴标根法画出f (x )的草图，借助图象对选项A ，B ，C ，D 逐一分析．对选项A ，若1≤b <a ，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意； 对选项B ，若b <a ≤1，由图可知x ＝a 不是f (x )的极小值点，符合题意； 对选项C ，若a <1≤b ，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意； 对选项D ，若a <b ≤1，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意． 思维升华 根据函数的极值(点)求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)验证：求解后验证根的合理性．跟踪训练1 (1)(2022·长沙模拟)若x ＝1是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，则f (x )的极大值为( )A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3D ．1 答案 C解析 因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，故可得f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝e x －1[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]，因为x ＝1是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，故可得f ′(1)＝0，即2a ＋2＝0，解得a ＝－1.此时f ′(x )＝e x －1(x 2＋x －2)＝e x －1(x ＋2)(x －1)．令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝1，由f ′(x )>0可得x <－2或x >1；由f ′(x )<0可得－2<x <1，所以f (x )在区间(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故f (x )的极大值点为x ＝－2.则f (x )的极大值为f (－2)＝(4＋2－1)e －3＝5e －3.(2)(2022·芜湖模拟)函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)在⎣⎡⎦⎤12，3上有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫52，103B.⎣⎡⎭⎫52，103C.⎝⎛⎦⎤52，103D.⎣⎡⎦⎤2，103 答案 B解析 ∵f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)， ∴f ′(x )＝1x＋x －a ， ∵函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)在⎣⎡⎦⎤12，3上有且仅有一个极值点， ∴y ＝f ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，3上只有一个变号零点．令f ′(x )＝1x ＋x －a ＝0，得a ＝1x＋x . 设g (x )＝1x ＋x ，则g (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，在[1,3]上单调递增，∴g (x )min ＝g (1)＝2，又g ⎝⎛⎭⎫12＝52，g (3)＝103， ∴当52≤a <103时，y ＝f ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，3上只有一个变号零点． ∴实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫52，103.题型二 利用导数求函数最值例4 已知函数g (x )＝a ln x ＋x 2－(a ＋2)x (a ∈R )．(1)若a ＝1，求g (x )在区间[1，e]上的最大值；(2)求g (x )在区间[1，e]上的最小值h (a )．解 (1)∵a ＝1，∴g (x )＝ln x ＋x 2－3x ，∴g ′(x )＝1x ＋2x －3＝(2x －1)(x －1)x， ∵x ∈[1，e]，∴g ′(x )≥0，∴g (x )在[1，e]上单调递增，∴g (x )max ＝g (e)＝e 2－3e ＋1.(2)g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝a x ＋2x －(a ＋2)＝2x 2－(a ＋2)x ＋a x＝(2x －a )(x －1)x. ①当a 2≤1，即a ≤2时，g (x )在[1，e]上单调递增，h (a )＝g (1)＝－a －1； ②当1<a 2<e ，即2<a <2e 时，g (x )在⎣⎡⎭⎫1，a 2上单调递减，在⎝⎛⎦⎤a 2，e 上单调递增，h (a )＝g ⎝⎛⎭⎫a 2＝a ln a 2－14a 2－a ； ③当a 2≥e ，即a ≥2e 时，g (x )在[1，e]上单调递减，h (a )＝g (e)＝(1－e)a ＋e 2－2e. 综上，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －a －1，a ≤2，a ln a 2－14a 2－a ，2<a <2e ，(1－e )a ＋e 2－2e ，a ≥2e.教师备选已知函数f (x )＝ln x －ax －2(a ≠0)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )有最大值M ，且M >a －4，求实数a 的取值范围．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f (x )＝ln x －ax －2(a ≠0)可得f ′(x )＝1x－a ， 当a <0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1a， 所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时， f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 综上所述，当a <0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当a <0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无最大值，当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减， 所以当x ＝1a时，f (x )取得最大值， 即f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a －a ×1a－2 ＝ln 1a－3＝－ln a －3， 因此有－ln a －3>a －4，得ln a ＋a －1<0，设g (a )＝ln a ＋a －1，则g ′(a )＝1a＋1>0， 所以g (a )在(0，＋∞)上单调递增，又g (1)＝0，所以g (a )<g (1)，得0<a <1，故实数a 的取值范围是(0,1)．思维升华 (1)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值．(2)若所给的闭区间[a ，b ]含参数，则需对函数f (x )求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f (x )的最值．跟踪训练2 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)，设该蓄水池的底面半径为r米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大.解 (1)∵蓄水池的侧面的总成本为100×2πrh ＝200πrh (元)，底面的总成本为160πr 2元，∴蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．由题意得200πrh ＋160πr 2＝12 000π，∴h ＝15r (300－4r 2)．从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．由h >0，且r >0，可得0<r <5 3.故函数V (r )的定义域为(0,53)．(2)由(1)知V (r )＝π5(300r －4r 3)， 故V ′(r )＝π5(300－12r 2)，令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(舍)．当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上单调递增；当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上单调递减．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8，即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．课时精练1．若函数f (x )＝x 2＋2xe x 的极大值点与极小值点分别为a ，b ，则a ＋b 等于() A ．－4 B. 2C ．0D ．2答案 C解析 f ′(x )＝2－x 2e x ，当－2<x <2时，f ′(x )>0；当x <－2或x >2时，f ′(x )<0.故f (x )＝x 2＋2x ex 的极大值点与极小值点分别为2，－2， 则a ＝2，b ＝－2，所以a ＋b ＝0.2．如图是函数y ＝f (x )的导函数的图象，下列结论中正确的是( )A ．f (x )在[－2，－1]上单调递增B ．当x ＝3时，f (x )取得最小值C ．当x ＝－1时，f (x )取得极大值D ．f (x )在[－1,2]上单调递增，在[2,4]上单调递减答案 D解析 根据题图知，当x ∈(－2，－1)，x ∈(2,4)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；当x ∈(－1,2)，x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增．所以y ＝f (x )在[－2，－1]上单调递减，在(－1，2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，故选项A 不正确，选项D 正确；故当x ＝－1时，f (x )取得极小值，选项C 不正确；当x ＝3时，f (x )不是取得最小值，选项B 不正确．3．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－3x 在x ＝2处取得极小值，则f (x )的极大值为( )A ．2B ．－52C ．3＋ln 2D ．－2＋2ln 2 答案 B解析 由题意得，f ′(x )＝2x＋2ax －3， ∵f (x )在x ＝2处取得极小值，∴f ′(2)＝4a －2＝0，解得a ＝12， ∴f (x )＝2ln x ＋12x 2－3x ， f ′(x )＝2x ＋x －3＝(x －1)(x －2)x ，∴f (x )在(0,1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，∴f (x )的极大值为f (1)＝12－3＝－52. 4．(2022·重庆联考)函数f (x )＝x ＋2cos x 在[0，π]上的最大值为( )A ．π－2B.π6 C ．2D.π6＋ 3 答案 D解析 由题意得，f ′(x )＝1－2sin x ，∴当0≤sin x ≤12，即x 在⎣⎡⎦⎤0，π6和⎣⎡⎦⎤5π6，π上时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增； 当12<sin x ≤1，即x 在⎝⎛⎭⎫π6，5π6上时， f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴f (x )有极大值f ⎝⎛⎭⎫π6＝π6＋3，有极小值f ⎝⎛⎭⎫5π6＝5π6－3，而端点值f (0)＝2，f (π)＝π－2，则f ⎝⎛⎭⎫π6>f (0)>f (π)>f ⎝⎛⎭⎫5π6， ∴f (x )在[0，π]上的最大值为π6＋ 3. 5．(多选)已知x ＝1和x ＝3是函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x ＋k (a ，b ∈R )的两个极值点，且函数f (x )有且仅有两个不同零点，则k 值为( )A ．－43B.43 C ．－1D ．0 答案 BD解析 f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3，依题意1,3是f ′(x )＝0的两个根， 所以⎩⎨⎧ 1＋3＝－2b 3a ，1×3＝－33a，解得a ＝－13，b ＝2. 故f (x )＝－13x 3＋2x 2－3x ＋k . 易求得函数f (x )的极大值为f (3)＝k 和极小值为f (1)＝－43＋k .要使函数f (x )有两个零点，则f (x )极大值k ＝0或f (x )极小值－43＋k ＝0， 所以k ＝0或k ＝43. 6．(多选)已知函数f (x )＝x ＋sin x －x cos x 的定义域为[－2π，2π)，则( )A ．f (x )为奇函数B ．f (x )在[0，π)上单调递增C ．f (x )恰有4个极大值点D ．f (x )有且仅有4个极值点答案 BD解析 因为f (x )的定义域为[－2π，2π)，所以f (x )是非奇非偶函数，故A 错误；因为f (x )＝x ＋sin x －x cos x ，所以f ′(x )＝1＋cos x －(cos x －x sin x )＝1＋x sin x ，当x ∈[0，π)时，f ′(x )>0，则f (x )在[0，π)上单调递增，故B 正确；显然f ′(0)≠0，令f ′(x )＝0，得sin x ＝－1x， 分别作出y ＝sin x ，y ＝－1x在区间[－2π，2π)上的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间[－2π，2π)上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故f (x )在区间[－2π，2π)上的极值点的个数为4，且f (x )只有2个极大值点，故C 错误，D 正确．7．(2022· 潍坊模拟)写出一个存在极值的奇函数f (x )＝________.答案 sin x (答案不唯一)解析 正弦函数f (x )＝sin x 为奇函数，且存在极值．8．(2021·新高考全国Ⅰ)函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的最小值为________．答案 1解析 函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的定义域为(0，＋∞)．①当x >12时，f (x )＝2x －1－2ln x ， 所以f ′(x )＝2－2x ＝2(x －1)x，当12<x <1时，f ′(x )<0， 当x >1时，f ′(x )>0，所以f (x )min ＝f (1)＝2－1－2ln 1＝1；②当0<x ≤12时，f (x )＝1－2x －2ln x 在⎝⎛⎦⎤0，12上单调递减， 所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－2ln 12＝2ln 2＝ln 4>ln e ＝1.综上，f (x )min ＝1. 9．已知函数f (x )＝ln x －2x －2x ＋1. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝f (x )－4＋a x ＋1＋2(a ∈R )，若x 1，x 2是函数g (x )的两个极值点，求实数a 的取值范围． 解 (1)由题知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －2(x ＋1)－2(x －1)(x ＋1)2＝(x －1)2x (x ＋1)2≥0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立， 当且仅当x ＝1时，f ′(x )＝0，所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间．(2)因为g (x )＝f (x )－4＋a x ＋1＋2＝ln x －a x ＋1， 所以g ′(x )＝1x ＋a (x ＋1)2＝x 2＋(2＋a )x ＋1x (x ＋1)2(x >0)． 由题意知x 1，x 2是方程g ′(x )＝0在(0，＋∞)内的两个不同的实数解．令h (x )＝x 2＋(2＋a )x ＋1，又h (0)＝1>0，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧－2－a >0，Δ＝(2＋a )2－4>0，解得a <－4，即实数a 的取值范围为(－∞，－4)． 10．(2022·珠海模拟)已知函数f (x )＝ln x －ax ，x ∈(0，e]，其中e 为自然对数的底数．(1)若x ＝1为f (x )的极值点，求f (x )的单调区间和最大值；(2)是否存在实数a ，使得f (x )的最大值是－3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 解 (1)∵f (x )＝ln x －ax ，x ∈(0，e]，∴f ′(x )＝1－ax x， 由f ′(1)＝0，得a ＝1.∴f ′(x )＝1－x x， ∴x ∈(0,1)，f ′(x )>0，x ∈(1，＋∞)，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e]；f (x )的极大值为f (1)＝－1，也即f (x )的最大值为f (1)＝－1.(2)∵f (x )＝ln x －ax ，∴f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x ， ①当a ≤0时，f (x )在(0，e]上单调递增，∴f (x )的最大值是f (e)＝1－a e ＝－3，解得a ＝4e >0，舍去；②当a >0时，由f ′(x )＝1x －a ＝1－axx ＝0，得x ＝1a ，当0<1a <e ，即a >1e 时，∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，e 时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，1a ，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫1a ，e ，又f (x )在(0，e]上的最大值为－3，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－1－ln a ＝－3，∴a ＝e 2；当e ≤1a ，即0<a ≤1e 时，f (x )在(0，e]上单调递增，∴f (x )max ＝f (e)＝1－a e ＝－3，解得a ＝4e >1e ，舍去．综上，存在a 符合题意，此时a ＝e 2.11．若函数f (x )＝(x 2－a )e x 的两个极值点之积为－3，则f (x )的极大值为() A.6e 3 B ．－2eC ．－2e D.4e 2答案 A解析 因为f (x )＝(x 2－a )e x ，所以f ′(x )＝(x 2＋2x －a )e x ，由f′(x)＝(x2＋2x－a)e x＝0，得x2＋2x－a＝0，由函数f(x)＝(x2－a)e x的两个极值点之积为－3，则由根与系数的关系可知，－a＝－3，即a＝3，所以f(x)＝(x2－3)e x，f′(x)＝(x2＋2x－3)e x，当x<－3或x>1时，f′(x)>0；当－3<x<1时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，－3)上单调递增，在(－3,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)的极大值为f(－3)＝6 e3.12．函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在区间[－1,2]上的最大值为3，最小值为－29(a>0)，则a，b的值为()A．a＝2，b＝－29 B．a＝3，b＝2C．a＝2，b＝3 D．以上都不对答案 C解析函数f(x)的导数f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，因为a>0，所以由f′(x)<0，计算得出0<x<4，此时函数单调递减，由f′(x)>0，计算得出x>4或x<0，此时函数单调递增，即函数在[－1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，即函数在x＝0处取得极大值同时也是最大值，则f(0)＝b＝3，则f(x)＝ax3－6ax2＋3，f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3，则f(－1)>f(2)，即函数的最小值为f(2)＝－16a＋3＝－29，计算得出a＝2，b＝3.13．(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则() A．a<b B．a>bC．ab<a2D．ab>a2答案 D解析当a>0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图1所示，观察可知b>a.图1当a <0时，根据题意画出函数f (x )的大致图象，如图2所示，观察可知a >b .图2综上，可知必有ab >a 2成立．14．(2022·河南多校联考)已知函数f (x )＝2ln x ，g (x )＝x ＋2，若f (x 1)＝g (x 2)，则x 1－x 2的最小值为______．答案 4－2ln 2解析 设f (x 1)＝g (x 2)＝t ，即2ln x 1＝t ，x 2＋2＝t ，解得x 1＝2e t ，x 2＝t －2，所以x 1－x 2＝2e t －t ＋2，令h (t )＝2e t －t ＋2，则h ′(t )＝21e 2t －1， 令h ′(t )＝0，解得t ＝2ln 2，当t <2ln 2时，h ′(t )<0，当t >2ln 2时，h ′(t )>0，所以h (t )在(－∞，2ln 2)上单调递减，在(2ln 2，＋∞)上单调递增，所以h (t )的最小值为h (2ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2＝4－2ln 2，所以x 1－x 2的最小值为4－2ln 2.15．(多选)已知函数f (x )＝x ln x ＋x 2，x 0是函数f (x )的极值点，以下几个结论中正确的是( )A ．0<x 0<1eB ．x 0>1eC ．f (x 0)＋2x 0<0D ．f (x 0)＋2x 0>0答案 AD解析 函数f (x )＝x ln x ＋x 2(x >0)，∴f ′(x )＝ln x ＋1＋2x ，∵x 0是函数f (x )的极值点，∴f ′(x 0)＝0，即ln x 0＋1＋2x 0＝0，∴f ′⎝⎛⎭⎫1e ＝2e >0，当x >1e时，f ′(x )>0， ∵当x →0时，f ′(x )→－∞，∴0<x 0<1e，即A 正确，B 不正确； f (x 0)＋2x 0＝x 0ln x 0＋x 20＋2x 0＝x 0(ln x 0＋x 0＋2)＝x 0(1－x 0)>0，即D 正确，C 不正确．16．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a ln x (a >0)．(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，x 1<x 2，不等式f (x 1)≥mx 2恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝2x －2＋a x ＝2x 2－2x ＋a x，x >0， 一元二次方程2x 2－2x ＋a ＝0的Δ＝4(1－2a )，①当a ≥12时，f ′(x )≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当0<a <12时，令f ′(x )＝0， 得x 1＝1－1－2a 2>0，x 2＝1＋1－2a 2>0， 所以当0<x <1－1－2a 2时， f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当1－1－2a 2<x <1＋1－2a 2时， f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x >1＋1－2a 2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 综上所述，当a ≥12时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，当0<a <12时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－2a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－2a 2，＋∞. (2)由(1)知，0<a <12，x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝a 2，则0<x 1<12<x 2， 由f (x 1)≥mx 2恒成立，得x 21－2x 1＋a ln x 1≥mx 2，即(1－x 2)2－2(1－x 2)＋2(1－x 2)x 2ln(1－x 2)≥mx 2，即m ≤x 2－1x 2＋2(1－x 2)ln(1－x 2)， 记h (x )＝x －1x＋2(1－x )ln(1－x )， 1>x >12， 则h ′(x )＝1x 2－2ln(1－x )－1>0⎝⎛⎭⎫1>x >12， 故h (x )在⎝⎛⎭⎫12，1上单调递增，h ⎝⎛⎭⎫12＝－32－ln 2， 故m ≤－32－ln 2.。
利用导数研究函数的极值最值。我的公开课导学案
1. (选修2 2P319练习1改编)函数y=x2-4x+3在R上有极值,该值的大小为.
2. (选修1 1P80习题8改编)函数y=x3-3x+9的极小值是.
3. (选修1 1P76习题2改编)函数f(x)=x3+3x2+4x-a的极值点有个.
(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)若|a|>1,求f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值.
课
堂
小
结
检
测
反
馈
1.函数f(x)=x3-3x+1,x∈[0,2]的最大值为.
2.已知函数f(x)的导函数为f'(x)=x2-x,则使得函数f(x)取得极大值的x=.
3.设函数f(x)= +ln x,则函数f(x)的极小值点为x=.
课
题
第19课时利用导数研究函数的极值、最值
主备人
审核
学
习
目
标
1.理解极值、最值的定义，理解极值与最值之间的关系。
2.利用导数求函数极值、最值的一般步骤。
学习
重点
1.理解极值、最值的定义，理解极值与最值之间的关系。
2.利用导数求函数极值、最值的一般步骤。
学习
难点
利用导数求函数极值、最值的一般步骤。
学习
(2)若函数f(x)有极大值28,求函数f(x)在[-3,3]上的最小值.
练习巩固
1.函数y=x3-3x2+5,x∈[-2,3]的值域为.
2.已知函数f(x)= x2+lnx,则f(x)在区间[1,e]上的最大值是.
高中数学备课教案函数与导数的求极值与最值
高中数学备课教案函数与导数的求极值与最值高中数学备课教案：函数与导数的求极值与最值导读：本教案将介绍高中数学中函数与导数的求解方法，特别是在求取函数的极值与最值时的应用。
通过明确的步骤和实例演算，帮助学生掌握解题的技巧与方法。
一、函数的极值与最值概述函数的极值与最值是函数中的关键概念之一，它们对于函数的特性和性质的研究具有重要意义。
在数学中，极大值和极小值统称为极值。
极大值是指函数在某一区间内取得的最大值，而极小值则是函数在某一区间内取得的最小值。
二、求解函数极值与最值的基本方法1. 导数法求极值使用导数法求解函数极值的基本步骤如下：（1）求取函数的导数；（2）将导数置为零，得到关于自变量的方程；（3）解方程得到关键点；（4）利用关键点和区间端点进行函数值的比较，确定极值。
2. 导数法求最值求解函数最值的方法与求解极值类似，但在步骤（4）时需要根据函数的单调性进行判断，进而确定函数的最值。
三、实例演算现通过实例来演算函数的极值与最值的求解过程。
例1：已知函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，在闭区间[-1, 3]上求函数的极值和最值。
解：（1）求导数：f'(x) = 3x^2 - 6x + 2；（2）令导数等于零：3x^2 - 6x + 2 = 0；（3）解方程得到关键点：x = 1 ± √3；（4）利用关键点和区间端点进行比较：将x = -1, 1 ± √3, 3代入函数f(x)，得到函数值：f(-1) = 7，f(1 - √3) ≈ -2.732，f(1 + √3) ≈ 0.732，f(3) = 31；因此，函数在x = -1和x = 3处取得极大值，极大值为7和31；函数在x = 1 - √3处取得极小值，极小值为-2.732；函数在x = 1 + √3处取得极大值，极大值为0.732。
通过以上实例演算，我们可以看出，通过求导数、解方程和比较函数值的方式，可以得到函数的极值和最值。
〖2021年整理〗《导数与函数的极值、最值》优秀教案
导数与函数的极值、最值1．函数的极值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．[做一做]1．设函数f(x)＝x e x，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点2．函数y＝2x3－2x2在区间[－1，2]上的最大值是________．3．已知x＝3是函数f(x)＝a ln x＋x2－10x的一个极值点，则实数a＝________．1．辨明两个易误点(1)求函数极值时，误把导数为0的点作为极值点；(2)易混极值与最值，注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．2．明确两个条件一是f′(x)>0在(a，b)上成立，是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件．二是对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．考点一__函数的极值问题(高频考点)____________函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a ，b )内的极大值点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[规律方法] 运用导数求可导函数y ＝f (x )的极值的步骤： (1)先求函数的定义域，再求函数y ＝f (x )的导数f ′(x )； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检查f ′(x )在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值．如果左右符号相同，则此根处不是极值点．1.(1)已知函数f (x )＝x 3－2x 2e x.求f (x )的极大值和极小值．(2)已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点． ①求a 和b 的值；②设函数g (x )的导函数g ′(x )＝f (x )＋2，求g (x )的极值点．考点二__函数的最值问题______________________已知函数f (x )＝(4x 2＋4ax ＋a 2)x ，其中a ＜0.(1)当a ＝－4时，求f (x )的单调递增区间； (2)若f (x )在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值.[规律方法] 求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤： (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．2.设函数f (x )＝a ln x －bx 2(x >0)，若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切．(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值．方法思想——转化与化归思想求解曲线间交点问题已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2. (1)求a ；(2)证明：当k <1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点． [解] (1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋a ，f ′(0)＝a .曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线方程为y ＝ax ＋2.由题设得－2a ＝－2，所以a ＝1.(2)证明：由(1)知，f (x )＝x 3－3x 2＋x ＋2. 设g (x )＝f (x )－kx ＋2＝x 3－3x 2＋(1－k )x ＋4. 由题设知1－k >0.当x ≤0时，g ′(x )＝3x 2－6x ＋1－k >0，g (x )单调递增，g (－1)＝k －1<0，g (0)＝4，所以g (x )＝0在(－∞，0]有唯一实根． 当x >0时，令h (x )＝x 3－3x 2＋4，则g (x )＝h (x )＋(1－k )x >h (x )．h ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，h (x )在(0，2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增，所以g (x )>h (x )≥h (2)＝0. 所以g (x )＝0在(0，＋∞)没有实根．综上，g (x )＝0在R 上有唯一实根，即曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点．[名师点评] (1)本题求解利用了转化与化归思想，把证明曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点问题转化为证明方程f (x )－kx ＋2＝0只有一个根，分x ≤0和x >0两情况给予说明．(2)转化与化归原则：一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．设L 为曲线C ：y ＝ln xx在点(1，0)处的切线．(1)求L 的方程；(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线L 的下方． 解：(1)设f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝1－ln x x 2.所以f ′(1)＝1，所以L 的方程为y ＝x －1.(2)证明：令g (x )＝x －1－f (x )，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于g (x )>0(∀x >0，x ≠1)． g (x )满足g (1)＝0，且 g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln xx 2.当0<x <1时，x 2－1<0，ln x <0，所以g ′(x )<0，故g (x )单调递减； 当x >1时，x 2－1>0，ln x >0，所以g ′(x )>0，故g (x )单调递增． 所以，g (x )>g (1)＝0(∀x >0，x ≠1)． 所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．课后作业1．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0，2]上的最小值是( )A ．－173B ．－103C ．－4D ．－6432．已知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d 有极值，则c 的取值范围为( )A ．c <14B ．c ≤14C ．c ≥14D ．c >143. 已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则ab 的值为( )A ．－23B ．－2C ．－2或－23D ．2或－235．函数y ＝2x －1x 2的极大值是________．6．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )7．函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a >0)的极大值为6，极小值为2，则f (x )的单调递减区间是__________．8．设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，求a 的取值范围．课后作业答案1解析：选′(x )＝x 2＋2x －3， 令f ′(x )＝0，得x ＝1(x ＝－3舍去)， 又f (0)＝－4，f (1)＝－173，f (2)＝－103，故f (x )在[0，2]上的最小值是f (1)＝－173.2．解析：选′(x )＝x 2－x ＋c .因为函数f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d 有极值，则方程x 2－x ＋c ＝0有两个不同的实根，所以Δ＝1－4c >0⇒c <14.3．解析：选C.因为y ′＝－x 2＋81，所以当x >9时，y ′<0；当0<x <9时，y ′>0.所以函数y ＝－13x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x ＝9是该函数的极大值点，又该函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以该函数在x ＝9处取得最大值．4．解析：选A.由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝01＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6b ＝9，经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6b ＝9满足题意，故a b ＝－23.5．解析：y ′＝2＋2x 3，令y ′＝0，得x ＝－1.当x ＜－1时，y ′＞0；当－1<x <0时，y ′＜0. ∴当x ＝－1时，y 取极大值－3. 答案：－36． 解析：选C.由函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，可得f ′(－2)＝0，且当x ∈(a ，－2)(a <－2)时，f (x )单调递减，即f ′(x )<0；当x ∈(－2，b )(b >－2)时，f (x )单调递增，即f ′(x )>0.所以函数y ＝xf ′(x )在区间(a ，－2)(a <－2)内的函数值为正，在区间(－2，b )(－2<b <0)内的函数值为负，由此可排除选项A ，B ，D.7．解析：令f ′(x )＝3x 2－3a ＝0，得x ＝±a ，则f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：从而⎩⎨⎧（－a ）3－3a （－a ）＋b ＝6（a ）3－3a a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝4，所以f (x )的单调递减区间是(－1，1)． 答案：(－1，1)8．解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －ax －b ，由f ′(1)＝0，得b ＝1－a .∴f ′(x )＝1x －ax ＋a －1＝－ax 2＋1＋ax －x x.①若a ≥0，当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以x ＝1是f (x )的极大值点．②若a <0，由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1a .因为x ＝1是f (x )的极大值点，所以－1a >1，解得－1<a <0.综合①②得a 的取值范围是a >－1.。
XX届高考数学教材知识点复习导数的应用极值与最值导学案
XX届高考数学教材知识点复习导数的应用极值与最值导学案【学习目标】理解极值的概念，会用导数求多项式函数的极大值、极小值及闭区间上的最大值、最小值或以极值、最值为载体求参数的范围.预习案．函数的极值设函数f在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有ff，那么f是函数f的一个极大值，记作y极大值＝f；如果对x0附近的所有的点，都有ff，那么f是函数f 的一个极小值，记作y极小值＝f．极大值与极小值统称为极值．当函数f在x0处连续时，判别f是极大值的方法：如果xx0有f′0，那么f是极大值；如果xx0有f′0，那么f是极小值．．求可导函数f极值的步骤；；检验f′在方程f′＝0的的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝f在这个根处取得；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y＝f在这个根处取得．．函数的最值的概念设函数y＝f在上连续，在内可导，函数f在上一切函数值中的最大值，叫做函数y＝f的最大值．．求函数最值的步骤设函数y＝f在上连续，在内可导，求f在上的最值，可分两步进行：；．【预习自测】．已知函数f＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是A．∃x0∈R，f＝0B．函数y＝f的图像是中心对称图形c．若x0是f的极小值点，则f在区间上单调递减D．若x0是f的极值点，则f′＝0．若函数y＝ex＋x有极值，则实数的取值范围A．>0 B．1D．0时，求函数f在上的最小值．题型四利用最值求参数值例4：设f＝－13x3＋12x2＋2ax.若f在上存在单调递增区间，求a的取值范围；当0<a<2时，f在上的最小值为－163，求f在该区间上的最大值．我的学习总结：我对知识的总结.我对数学思想及方法的总结。
19选修1-1利用导数研究函数的极值和最值(教案教学设计导学案)(20210930014831)
个性化教课指导教课设计学生姓名上课时间2017 年月日年级高二学科教师姓名数学课题利用导数研究函数的极值和最值1、认识函数极值的观点，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，掌握函数极教课目的值的判断及求法．并掌握函数在某一点获得极值的条件．2、理解函数最值的观点，认识其与函数极值的差别与联系，会求某闭区间上函数的最值．教课过程教师活动学生活动1.已知函数 f(x)＝x3＋ x－ 16，直线 l 为曲线 y＝ f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．2．设 f(x) ＝x3＋ax2＋ bx＋ 1 的导数 f′ (x)知足 f′ (1) ＝ 2a，f′ (2) ＝－ b，此中常数a， b∈R.求曲线 y＝ f(x)在点 (1， f(1))处的切线方程．3.已知函数f(x)＝ (ax2＋ bx＋ c)e x在 [0,1]上单一递减且知足f(0)＝ 1，f(1)＝ 0，求 a 的取值范围．[问题 1]求以下函数的极值：(1) f(x)＝1 x3－ x2－ 3x＋3； (2)f(x)＝ln x.3 x[问题 2] 已知函数f(x)＝ x3－ 3ax2＋ 2bx 在点 x＝ 1 处的极小值为－1，试确立 a，b 的值，并求 f(x)的单一区间．[ 问题 3]已知 a 为实数，函数f(x)＝－ x3＋ 3x＋ a.(1)求函数 f(x) 的极值，并画出其图象 (草图 )；(2)当 a 为什么值时，方程 f(x)＝ 0 恰巧有两个实数根？[ 问题 4]求以下各函数的最值：(1) f(x)＝－ x3＋ 3x， x∈[ －3，3] ；(2) f(x)＝ x2－54x(x＜ 0＝．[ 问题 5]已知函数f(x)＝ 2x3－ 6x2＋ a 在[－ 2,2]上有最小值－ 37，求 a 的值，并求f(x)在[－ 2,2] 上的最大值．[ 问题 6]设函数 f(x) ＝tx2＋ 2t2x＋ t－ 1(x∈ R，t>0) ．(1) 求 f(x)的最小值 h(t)；(2) 若 h( t)<－ 2t＋ m 对 t∈ (0,2) 恒建立，务实数m 的取值范围．知识点一．函数极值的观点函数y＝ f (x)的图象如下图．思虑 1函数在x＝a点的函数值与这点邻近的函数值有什么大小关系？【分析】函数在点x＝ a 的函数值比它在点x＝ a 邻近的其余点的函数值都小．思虑 2为多少？在点x＝ a 邻近，函数的导数的符号有什么规律？【分析】＝ 0，在点 x＝a 邻近的左边 <0，右边 >0．思虑 3函数在x＝b点处的状况呢？【分析】函数在点x＝b 的函数值 f (b)比它在点x＝ b 邻近其余点的函数值都大，＝0，且在点 x＝b 邻近的左边 >0 ，右边<0．概括总结：（ 1）极小值点与极小值函数 y＝ f (x)在点 x＝ a 的函数值 f (a)比它在点x＝ a 邻近其余点的函数值都小，＝0；并且在点 x＝ a 邻近的左边 <0，右边 >0．则把点 a 叫做函数y＝ f (x)的极小值点， f (a)叫做函数y＝ f (x)的极小值．（ 2）极大值点与极大值函数 y＝ f (x)在点 x＝ b 的函数值 f (b)比它在点x＝ b 邻近其余点的函数值都大，＝0；并且在点 x＝ b 邻近的左边 >0，右边 <0．则把点 b 叫做函数y＝ f (x)的极大值点， f (b)叫做函数y ＝ f (x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．知识点二求函数 y＝ f (x)极值的方法解方程＝ 0，当＝ 0 时，（ 1）假如在 x0邻近的左边> 0，右边< 0，那么 f (x0)是极大值．（ 2）假如在 x0邻近的左边< 0，右边> 0，那么 f ( x0)是极小值．知识点三函数的最值思虑 1如图，察看区间[a，b]上函数 f ( x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？【分析】 f (x1)、 f (x3 )、 f (x5)是极小值， f (x2)， f (x4)是极大值．思虑 2 在上图中，你能找出 f (x) 在区间 [a，b] 上的最大值与最小值吗？【分析】函数 f (x)在 [ ，]上的最小值是 f (xa b3)，最大值是f (b)．概括总结：假如在区间 [a， b] 上函数 y＝ f (x)的图象是一条连续不停的曲线，则该函数在[a，b]上必定能够获得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或__区间端点__获得．知识点四“最值”与“极值”的差别和联系（1）“最值”是整体观点，是比较整个定义域内的函数值得出的，拥有绝对性；而“极值”是个局部观点，是比较极值点邻近函数值得出的，拥有相对性．（2）从个数上看，函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不只一个，也可能一个都没有．（3）极值只好在定义域内部获得，而最值能够在区间的端点处获得，有极值未必有最值，有最值未必有极值；极值有可能成为最值，特别数函数的连续函数的最值只需不在端点处获得必然是极值．知识点五求函数 y＝ f (x)在 [a， b]上的最值的步骤:（ 1）求函数 y＝ f (x)在 (a， b)内的极值．（2）将函数 y＝ f (x) 的各极值与 __端点处 ___的函数值 f (a) ，f ( b)进行比较，此中最大的一个是 ___最大值 ___，最小的一个是 ___最小值 __．【典例分析】【例 1】求以下函数的极值：(1) f(x)＝－ x3＋ 12x＋ 6；2x－2.(2) f(x)＝x2＋1【例 2】已知函数 f(x) ＝ x3＋ax2＋bx＋ c，且当 x＝－ 1 时获得极大值 7，当 x＝ 3 时获得极小值，试求函数 f( x)的极小值，并求 a， b， c 的值．【例 3】 a 为什么值时，方程 x3－ 3x2－ a＝ 0 恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根？有没有可能无实根？1【例 4】求函数f(x)＝3x3－ 4x＋4 在 [0,3] 上的极值及最大值与最小值．【例 5】若 f(x)＝ ax3－ 6ax2＋ b， x∈ [ － 1,2] 的最大值是3，最小值是－ 29，求 a， b 的值．【例 6】设函数f(x)＝ 2x3＋ 3ax2＋3bx＋ 8c 在 x＝ 1 及 x＝2 时获得极值．(1)求 a， b 的值；(2)若对于随意的 x∈ [0,3] ，都有 f(x)＜ c2建立，求 c 的取值范围．1．以下四个函数中，能在x＝ 0 处获得极值的是()①y＝ x3；② y＝x2＋1；③ y＝cos x－ 1；④ y＝ 2xA ．①②B ．②③C．③④ D ．①③2．已知函数f(x)的定义域为 (a， b)，导函数f′ (x)在 (a， b)上的图象如下图，则函数f( x) 在 (a， b)上的极大值点的个数为()A ．1 B．2 C．3 D ．43．函数 y＝ 3x3－ 9x＋ 5 的极大值为 ________．4．已知函数 f(x)＝ x3＋ ax2＋ 3x－9，若 f(x) 在 x＝－ 3 时获得极值，则a＝ ________.5．求以下函数的极值：(1) f(x)＝ x3－ 12x；1(2) f(x)＝ sin x＋2x， x∈ (0,2 π)．6．函数 f( x)＝ x3－3x(|x|＜1)()A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，但有最小值D．既无最大值，也无最小值π7．函数 y＝ x－ sin x， x∈2，π的最大值是 ()πA ．π－ 1 B.2－1C．π D ．π＋ 18．函数 y＝e xx在 [0,2] 上的最大值为________．9．已知函数y＝－ x2－ 2x＋3 在区间 [a,2]上的最大值为154，则 a＝________.10．已知 a 为实数， f(x) ＝(x2－ 4)(x－ a)．(1)求导数 f′ (x) ；(2)若 f′ (－ 1)＝0，求 f(x)在 [ －2,2] 上的最大值和最小值．知识点一求函数极值的步骤：①求方程f′ (x)＝ 0 在函数定义域内的全部根；②用 f′ (x)＝ 0 的根将定义域分红若干小区间，列表；③由 f′ (x)在各个小区间内的符号，判断f′ (x)＝0 的根处的极值状况．(2)表格给出了当 x 变化时 y′，y 的变化状况，表格直观清楚，简单看出详细的变化状况，并且能判断出是极大值仍是极小值，最后得出函数的极大值、极小值．知识点二已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，经过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，联合已知求出参数，从而使问题得以解决．知识点三相关恒建立问题，一般是转变为求函数的最值问题．求解时第一要确立函数，看哪一个变量的范围已知，以已知范围的变量为自变量确立函数．一般地，若不等式 a≥ f(x)恒建立，则 a 的取值范围是a≥ f(x) max；若不等式a≤ f(x)恒建立，则 a 的取值范围是 a≤ f(x)min.【典例 1】若 a≠ 0，试求函数f(x) ＝－2ax3－ x2＋ a2x2＋ 2ax 的单一区间与极值．3[变式 1] 设函数 f(x)＝－13x3＋x2＋( m2－1)x(x∈R)，此中m>0，求函数的单一区间与极值．[典例 2] 已知函数 f(x)＝ ax4ln x＋ bx4－ c(x>0)在 x＝ 1 处获得极值－ 3－ c，此中 a， b，c 为常数．若对随意x>0 ，不等式f(x)≥－ 2c2恒建立，求 c 的取值范围．[变式 2]已知函数 f(x)＝ ax4ln x＋ bx4－ c(x>0) 在 x＝ 1 处获得极值－ 3－ c，此中 a， b，c 为常数．若对 x>0，方程 f(x) ＝－ 2c2有解，求 c 的取值范围．1．函数 f( x)＝ 2－ x2－ x3的极值状况是()A ．有极大值，没有极小值B ．有极小值，没有极大值C．既无极大值也无极小值D ．既有极大值又有极小值2．函数f( x)＝ ax3＋bx 在x＝ 1 处有极值－2，则a， b 的值分别为( )A 1 3B 1,3C．－ 1,3 D．－ 1，－ 33．设函数f(x) ＝xe x，则 ()A ． x＝ 1 为 f(x) 的极大值点B ． x＝ 1 为 f(x) 的极小值点C． x＝－ 1 为 f(x) 的极大值点D ． x＝－ 1 为 f(x)的极小值点4．已知 f( x)＝ x3＋ax2＋( a＋ 6)x＋ 1 有极大值和极小值，则 a 的取值范围为 ()A ． (－ 1,2)B ． (－ 3,6)C． (－∞，－ 1)∪ (2，＋∞ )D ． (－∞，－ 3)∪ (6，＋∞ )5．对于函数 f(x)＝ x3－ 3x2，给出命题：①f( x)是增函数，无极值；② f( x)是减函数，无极值；③ f( x)的单一递加区间为 (－∞， 0) ，(2，＋∞ )，单一递减区间为 (0,2)；④f(0) ＝ 0 是极大值， f(2)＝－ 4 是极小值．此中正确的命题有( )A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个6．已知函数 f(x)＝ ax3＋ bx2＋ c，其导数 f′ (x)的图象如下图，则函数的极小值是________．a＋ ln x7．函数 f( x)＝(a∈ R)的极大值为 ________．x8．已知函数f(x)＝ x4＋ 9x＋ 5，则 f(x)的图象在 (－ 1,3)内与 x 轴的交点的个数为________．9．以下说法正确的选项是()A．函数在其定义域内如有最值与极值，则其极大值即是最大值，极小值即是最小值B．闭区间上的连续函数必定有最值，也必定有极值C．若函数在其定义域上有最值，则必定有极值；反之，如有极值，则必定有最值D．若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值、一个最小值，但如有极值，则可有多个极值10．函数 f(x)＝ 2x－A ．无最值cos x 在 (－∞，＋∞ )上( B．有极值)C．有最大值 D ．有最小值11．函数1f(x)＝ 2 x＋ x，x∈(0,5] 的最小值为( )A ．2B ．317C. 41 D．2 2＋212．函数 f(x)＝ x3－x2－x＋ a 在区间 [0,2] 上的最大值是3，则 a 的值为 ()A ．3B ．1C． 2 D．－113．已知函数f( x)， g(x)均为 [a， b] 上的可导函数，在[a， b]上连续且f′ (x)<g′ (x)，则 f(x) － g(x)的最大值为( )A ． f(a)－ g(a) C． f(a)－ g(b)B ．f(b)－D ．f(b)－g( b)g( a)a1．已知函数 f(x)＝x2＋ 2ln x，若当 a＞0 时，f(x)≥ 2 恒建立，则实数 a 的取值范围是________．2．已知函数f(x)＝ x3＋ ax2＋ 2，且 f(x)的导函数f′ (x)的图象对于直线x＝ 1 对称．(1)求导函数 f′ (x)及实数 a 的值；(2)求函数 y＝ f(x)在[ － 1,2]上的最大值和最小值．3．设 f(x)＝ ln x， g(x)＝ f(x)＋ f′ (x)．(1)求 g( x)的单一区间和最小值；1(2) 求 a 的取值范围，使得g(a)－ g(x)＜a对随意 x＞ 0 恒建立．4．已知函数f(x)＝ x3－ 3ax－ 1， a≠ 0.(1)求 f(x)的单一区间；(2) 若 f(x)在 x＝－ 1 处获得极值，直线y＝ m 与 y＝ f(x)的图象有三个不一样的交点，求m 的取值范围．5．已知函数f(x)＝ e x(ax＋ b) －x2－ 4x，曲线 y＝ f(x)在点 (0， f(0)) 处的切线方程为y＝4x＋ 4.(1)求 a， b 的值；(2)议论 f(x)的单一性，并求 f(x)的极大值．。
极值与最值教案设计
极值与最值教案设计在数学学科中，极值和最值是两个非常重要的概念，也是常见的数学问题。
极值指的是函数在某个局部区域内取得的最大值或最小值。
最值则是函数在整个定义域上取得的最大值或最小值。
通过学习极值和最值，我们可以更好地理解函数的特征和性质，也能够在实际问题中应用。
本文将设计一份针对初中数学教育阶段的极值与最值教案，目标是让学生掌握基本概念、方法和应用。
一、教学目标1.掌握极值、最值的基本概念和定义；2.掌握求解极值、最值的方法；3.能够熟练解决实际问题。
二、教学过程1.知识点讲解1.1.极值与最值的基本概念我们需要明确极值和最值的区别。
极值是函数在某个局部区域内取得的最大值或最小值，而最值则是函数在整个定义域上取得的最大值或最小值。
例如，我们考虑一个函数y=x^2+2x+1，它的极值和最值是什么呢？我们需要求出它的导数y'=2x+2，然后令y'=0，解方程得到x=-1。
此时，我们可以计算出此函数在x=-1的取值为y=0，这是此函数的一个极小值。
同时，我们还可以发现，此函数是一个开口向上的抛物线，因此它的最小值为y=0，此时x=-1。
1.2.极值与最值的求解方法对于一般的函数，求解极值和最值的方法并不是固定的，需要根据具体情况来进行判断和计算。
下面是一些常见的方法：（1）通过导数的符号来判断极值和最值。
如果一个函数在某个点的导数为0，且在该点之前导数为正，在该点之后导数为负，则此点是此函数的极大值；如果一个函数在某个点的导数为0，且在该点之前导数为负，在该点之后导数为正，则此点是此函数的极小值。
（2）通过二次函数的顶点来计算最值。
对于一个二次函数y=ax^2+bx+c，它的最值为y=(4ac-b^2)/4a。
（3）通过图像来判断极值和最值。
我们可以用手绘或计算机绘图工具来画出函数的图像，通过观察图像来判断极值和最值。
1.3.应用举例极值和最值在实际问题中的应用非常广泛，例如，在物理和经济学中常常需要求解最小作用量或最大利润等问题，这些问题都可以用极值和最值的方法来解决。
高三数学一轮复习16.导数的应用(二)极值与最值学案
高三数学一轮复习 16.导数的应用（二）极值与最值学案【学习目标】理解极值的概念，会用导数求多项式函数的极大值、极小值及闭区间上的最大值、最小值或以极值、最值为载体求参数的范围.预习案1．函数的极值(1)设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x) f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有的点，都有f(x) f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值．(2)当函数f(x)在x0处连续时，判别f(x0)是极大(小)值的方法：如果x<x0有f′(x) 0，x>x0有f′(x) 0，那么f(x0)是极大值；如果x<x0有f′(x) 0，x>x0有f′(x) 0，那么f(x0)是极小值．2．求可导函数f(x)极值的步骤(1) ； (2) ；(3)检验f′(x)在方程f′(x)＝0的的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝f(x)在这个根处取得；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y＝f(x)在这个根处取得．3．函数的最值的概念设函数y＝f(x)在上连续，在内可导，函数f(x)在[a，b]上一切函数值中的最大(最小)值，叫做函数y＝f(x)的最大(最小)值．4．求函数最值的步骤设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最值，可分两步进行：(1) ；(2) ．【预习自测】1．已知函数f(x)＝x3＋a x2＋bx＋c，下列结论中错误的是 ( ) A．∃x0∈R，f(x0)＝0 B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)上单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝02．若函数y＝e x＋mx有极值，则实数m的取值范围 ( )A．m>0 B．m<0 C．m>1 D．m<13．函数y＝ln2xx的极小值为________．4．已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1时有极值0，则m＝________，n＝________. 5．若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为________．探究案题型一利用导数求函数极值例1. 设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．(1)确定a的值； (2)求函数f(x)的单调区间与极值．探究1：已知a∈R，求函数f(x)＝x2·e ax的单调区间与极值．题型二利用极值求参数值例2：(1)函数f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]有极大值又有极小值，则a的取值范围是________．(2)已知f(x)＝ax5－bx3＋c(a>0)．若f(x)在x＝±1处有极值，且极大值为4，极小值为1，则 a= ，b= ，c=（3）已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.①设a＝2，求f(x)的单调区间；②设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围题型三利用导数求函数最值:例3：已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间； (2)当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．题型四利用最值求参数值例4：设f(x)＝－13x3＋12x2＋2ax.(1)若f(x)在(23，＋∞)上存在单调递增区间，求a的取值范围；(2)当0<a<2时，f(x)在[1,4]上的最小值为－163，求f(x)在该区间上的最大值．我的学习总结：（1）我对知识的总结 . （2）我对数学思想及方法的总结。
数学教案导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用
数学教案-导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用教案章节：一、函数的极值概念与判定1. 学习目标：理解函数极值的概念，掌握函数极值的判定方法。
2. 教学内容：介绍函数极值的定义，分析函数极值的判定条件，举例说明函数极值的判定方法。
3. 教学过程：(1) 引入函数极值的概念，解释函数在某一点取得最大值或最小值的意义。
(2) 讲解函数极值的判定条件，如导数为零或不存在，以及函数在该点附近的单调性变化。
(3) 举例说明函数极值的判定方法，如通过导数的正负变化来判断函数的增减性。
二、函数的最值问题1. 学习目标：理解函数最值的概念，掌握函数最值的求解方法。
2. 教学内容：介绍函数最值的概念，分析函数最值的求解方法，举例说明函数最值的求解过程。
3. 教学过程：(1) 引入函数最值的概念，解释函数在整个定义域内取得最大值或最小值的意义。
(2) 讲解函数最值的求解方法，如通过导数的研究来确定函数的极值点，进而求得最值。
(3) 举例说明函数最值的求解过程，如给定一个函数，求其在定义域内的最大值和最小值。
三、导数的综合运用1. 学习目标：掌握导数的综合运用方法，能够运用导数解决实际问题。
2. 教学内容：介绍导数的综合运用方法，分析导数在实际问题中的应用，举例说明导数的综合运用过程。
3. 教学过程：(1) 讲解导数的综合运用方法，如通过导数研究函数的单调性、极值、最值等。
(2) 分析导数在实际问题中的应用，如优化问题、速度与加速度的关系等。
(3) 举例说明导数的综合运用过程，如给定一个实际问题，运用导数来解决问题。
四、实例分析与练习1. 学习目标：通过实例分析与练习，巩固函数极值与最值的求解方法，提高导数的综合运用能力。
2. 教学内容：分析实例问题，运用函数极值与最值的求解方法，进行导数的综合运用练习。
3. 教学过程：(1) 分析实例问题，引导学生运用函数极值与最值的求解方法来解决问题。
(2) 进行导数的综合运用练习，让学生通过实际问题来运用导数，巩固所学知识。
导数及其应用极值与最值教学设计
专题020：导数的应用(极值与最值)（教学设计）（师）考点要求：1．利用导数求函数的极值．2．利用导数求函数闭区间上的最值．3．利用导数解决某些实际问题．4．复习时，应注重导数在研究函数极值与最值中的工具性作用，会将一些实际问题抽象为数学模型，从而用导数去解决．复习中要注意等价转化、分类讨论等数学思想的应用.知识结构：1．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法……列表法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤……列表法①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．3．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；（一般情况下为单峰函数）(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答．4．两个注意(1)注意实际问题中函数定义域的确定．（定义域优先原则）(2)在实际问题中（一般情况下为单峰函数），如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．5．三个防范(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．(2)f ′(x 0)＝0是y ＝f (x )在x ＝x 0取极值的既不充分也不必要条件． 如①y ＝|x |在x ＝0处取得极小值，但在x ＝0处不可导； ②f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是f (x )＝x 3的极值点．(3)若y ＝f (x )可导，则f ′(x 0)＝0是f (x )在x ＝x 0处取极值的必要条件． 基础自测：1．(2011·福建)若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )．A ．2B ．3C ．6D ．9解析 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，由函数f (x )在x ＝1处有极值，可知函数f (x )在x ＝1处的导数值为零，12－2a －2b ＝0，所以a ＋b ＝6，由题意知a ，b 都是正实数，所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝⎝⎛⎭⎫622＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取到等号． 答案 D2．已知函数f (x )＝14x 4－43x 3＋2x 2，则f (x )( )．A ．有极大值，无极小值B ．有极大值，有极小值C ．有极小值，无极大值D ．无极小值，无极大值 解析 f ′(x )＝x 3－4x 2＋4x ＝x (x －2)2 f ′(x )，f (x )随x 变化情况如下x (－∞，0)0 (0,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) －0 ＋0 ＋f (x )43因此有极小值无极大值． 答案 C3．(2010·山东)已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )． A ．13万件 B ．11万件 C ．9万件 D ．7万件解析 y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0解得x ＝9(－9舍去)．当0＜x ＜9时，y ′＞0；当x ＞9时，y ′＜0，则当x ＝9时，y 取得最大值，故选C. 答案 C4．(2011·广东)函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值． 解析 f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)当x ＜0时，f ′(x )＞0，当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0，当x ＞2时，f ′(x )＞0，故当x ＝2时取得极小值．答案 2 5．若函数f (x )＝x 2＋a x ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.解析 ∵f (x )在x ＝1处取极值，∴f ′(1)＝0，又f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2，∴f ′(1)＝2×1×(1＋1)－(1＋a )(1＋1)2＝0，即2×1×(1＋1)－(1＋a )＝0，故a ＝3. 答案 3例题选讲：例1：(2011·重庆)设f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数为f ′(x )，若函数y ＝f ′(x )的图象关于直线x ＝－12对称，且f ′(1)＝0.(1)求实数a ，b 的值； (2)求函数f (x )的极值．分析：由条件x ＝－12为y ＝f ′(x )图象的对称轴及f ′(1)＝0求得a ，b 的值，再由f ′(x )的符号求其极值，列表法．解 (1)因f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1， 故f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋b . 从而f ′(x )＝6⎝⎛⎭⎫x ＋a 62＋b －a 26， 即y ＝f ′(x )的图象关于直线x ＝－a6对称，从而由题设条件知－a 6＝－12，解得a ＝3.又由于f ′(1)＝0，即6＋2a ＋b ＝0，解得b ＝－12. (2)由(1)知f (x )＝2x 3＋3x 2－12x ＋1， f ′(x )＝6x 2＋6x －12＝6(x －1)(x ＋2)． 令f ′(x )＝0，即6(x －1)(x ＋2)＝0， 解得x 1＝－2，x 2＝1.当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＞0， 故f (x )在(－∞，－2)上为增函数； 当x ∈(－2,1)时，f ′(x )＜0， 故f (x )在(－2,1)上为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0， 故f (x )在(1，＋∞)上为增函数．从而函数f (x )在x 1＝－2处取得极大值f (－2)＝21， 在x 2＝1处取得极小值f (1)＝－6.小结： 运用导数求可导函数y ＝f (x )的极值的步骤……列表法：(1)先求函数的定义域，再求函数y ＝f (x )的导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检查f ′(x )在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 例2：已知a 为实数，且函数f (x )＝(x 2－4)(x －a )． (1)求导函数f ′(x )；(2)若f ′(－1)＝0，求函数f (x )在[－2,2]上的最大值、最小值． 分析：先化简再求导，求极值、端点值，进行比较得最值． 解 (1)f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，得f ′(x )＝3x 2－2ax －4. (2)因为f ′(－1)＝0，所以a ＝12，有f (x )＝x 3－12x 2－4x ＋2，所以f ′(x )＝3x 2－x －4.令f ′(x )＝0，所以x ＝43或x ＝－1.又f ⎝⎛⎭⎫43＝－5027，f (－1)＝92，f (－2)＝0，f (2)＝0， 所以f (x )在[－2,2]上的最大值、最小值分别为92、－5027.小结：一般地，在闭区间[a ，b ]上的连续函数f (x )必有最大值与最小值，在开区间(a ，b )内的连续函数不一定有最大值与最小值，若函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上单调递增，则f (a )是最小值，f (b )是最大值；反之，则f (a )是最大值，f (b )是最小值．例3：(2011·江苏)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E 、F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． 分析： 由实际问题抽象出函数模型，利用导数求函数最优解，注意变量的实际意义．解 设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)．由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0＜x ＜30.(1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )． 由V ′＝0得x ＝0(舍去)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当x ∈(20,30)时，V ′＜0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值． 此时h a ＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.小结：在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合，用导数求解实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点． 巩固作业： A 组： 一、选择题：1．如果函数428y x x c =-+在[1,3]-上的最小值是14-，那么c =（ B ）()A 1()B 2()C 1-()D 2-2．下列函数中，0x =是极值点的函数是(B ）（A ）3y x =- （B ）2cos y x = （C ）tan y x x =- （D ）1y x=3．下列说法正确的是（D ）（A ）函数的极大值就是函数的最大值 （B ）函数的极小值就是函数的最小值 （C ）函数的最值一定是极值 （D ）在闭区间上的连续函数一定存在最值 二、填空题：4．函数223)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10，则点),(b a 为 ．答案：（-4,11） 5．函数32()f x x px qx =--的图象与x 轴切于点(1,0)，则()f x 的极大值为427，极小值为0． 6．函数321()252f x x x x =--+，若对于任意[1,2]x ∈-，都有()f x m <，则实数m 的取值范围是(7,)+∞． 7．函数5123223+--=x x x y 在[0，3]上的最大值、最小值分别是 5，－15 。
3. 导数与极值最值导学案⑵——教案
3. 利用导数研究函数的极值与最值⑵教学目标⑴能规范严谨地利用导数求函数的极大值、极小值,会求闭区间上连续函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次)；⑵通过在区间函数单调递增（或递减）问题、恒成立问题及图象交点问题的探究，挖掘问题的本质——函数的最值（极值）问题，提高化归与转化能力，培养数形结合的意识． 教学重点 重点：利用导数解决函数的极值与最值问题难点：挖掘问题的本质，将在区间函数单调递增（或递减）问题、恒成立问题及图象交点问题转化为最值（极值）问题 教学资源学案，实物投影教学过程 ㈠课前热身1. 函数()xf x xe =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程是 .20ex y e --=2.函数2()32ln 2x f x x x =-+的单调增区间是_______.(0,1),(2,)+∞ 3.设函数()ln f x x x =，则当x =________时函数有最小值．1e设计意图：通过三个问题回顾检测前面所复习知识的掌握情况，强化每个知识点所要注意的问题，为例题的思考方向做铺垫。
㈡例题讲解例1已知函数32()3f x x ax x =--.⑴若13x =-是()f x 的极值点，求()f x 在［1,a ］上的最大值； ⑵若()f x 在区间[1,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；⑶在⑴的条件下，是否存在实数b ，使得函数()g x bx =（()g x b =）的图象与函数()f x 的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b 的取值范围；若不存在，试说明理由. 设计意图：问题⑴是直接去求函数的最值，训练学生规范格式答题；问题⑵是在区间上函数的单调性问题，通过分析转化为不等式恒成立问题进而转化为函数的最值问题，并试图让学生多种方法解决问题；问题⑶是两个函数图象的交点问题，学生可能碰到的问题是直接去画两个函数的图象，但发现无法准确画出三次多项式函数的图象，从而无法精确求解，通过观察讨论发掘方程的结构特点进行由繁到简的转化，实现问题本质的挖掘。
高三数学一轮教学资料 导数的应用-极值、最值活动导学案
第1页 共4页 《导数的应用—极值、最值》活动导学案【学习目标】1.会用导数研究函数的极值和最值；2.会求函数的极值和最值.【重难点】掌握求函数极值和最值的的一般方法.【课时安排】1课时【活动过程】一、自学质疑1.函数x x y 22-=在R 上有极 值，该值的大小为 .2.函数1112)(3+-=x x x f 的极小值为 .3.函数x ax x x f 2)(23++=的极值点有两个，则实数a 的取值范围是 .4.函数]2,2[,cos 21ππ-∈+=x x y 的最大值为 .二、互动研讨 求函数8235323+-=x x y 的极值小组讨论一、 利用导数研究函数的极值1、设函数2312)(bx ax ex x f x ++=-，已知2-=x 和1=x 为)(x f 的极值点，求a 和b 的值.(2)已知函数x b ax x f ln )(2+=在1=x 处有极值21.求a 和b 的值.2、设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的极值．小组讨论二、 利用导数求函数的最值1、 (2012·重庆卷)已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在x ＝2处取得极值为c －16.(1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值．2、 设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值；(2)令g (x )＝f (x )－2x ＋2，求g (x )在定义域上的最值．3.已知函数x ax x x f 3)(23+-=.（1）若)(x f 在),1[+∞上是单调增函数，求实数a 的取值范围；（2）若3=x 是函数)(x f 的极值点，求)(x f 在区间],1[a 上的最值.4.已知函数c bx ax x x f +++=23)(在1=x 和32-=x 时都取得极值. （1）求b a ,的值；第3页 共4页 （2）若23)1(=-f ，求)(x f 的极值； （3）若对于]2,1[-∈∀x 都有c x f 3)(<恒成立，求c 的取值范围.三、检测反馈1.函数93)(23-++=x ax x x f 在3-=x 时取得极值，则=a .2.函数)(x f 的导函数x x x f 4)('2-=，则函数)(x f 取得极大值的=x .3.函数],0[,sin 21)(π∈-=x x x x f 的值域为 .4.已知函数)(x f 的导函数为))(1()('a x x a x f -+=，若)(x f 在a x =处取得极大值，则实数a 的取值范围是 .5、],0[,cos 3sin )(π∈-=x x x x f 的单调增区间为 .6、函数)0(ln 2)(2<+=a x a x x f 的单调减区间为 .7、若函数a x ax x y 23123-+-=在R 上不是单调函数，则实数a 的取值范围是8、已知函数x x ax x f ln 21)(--=在),0(+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 .。
数学教案导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用
数学教案-导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用一、教学目标：1. 理解函数的极值与最值的概念，掌握求解函数极值与最值的方法。
2. 熟练运用导数性质，解决实际问题中的最值问题。
3. 提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的逻辑思维和数学素养。
二、教学内容：1. 函数的极值与最值概念。
2. 求解函数极值与最值的方法。
3. 导数在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：函数的极值与最值的概念，求解方法及实际应用。
2. 教学难点：导数在实际问题中的综合运用。
四、教学方法与手段：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究函数极值与最值的问题。
2. 利用多媒体课件，展示函数图像，直观地引导学生理解极值与最值的概念。
3. 结合实际问题，运用导数求解最值问题，培养学生的应用能力。
五、教学过程：1. 导入新课：复习函数的极值与最值概念，引导学生回顾求解方法。
2. 知识讲解：讲解求解函数极值与最值的方法，结合实例进行分析。
3. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
4. 案例分析：结合实际问题，运用导数求解最值问题，培养学生的应用能力。
6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识，提高学生的自主学习能力。
教案将继续编写后续章节，敬请期待。
六、教学评估：1. 课堂练习环节，通过学生解答练习题的情况，评估学生对函数极值与最值概念的理解以及求解方法的掌握程度。
2. 案例分析环节，通过学生分析实际问题、运用导数求解最值问题的过程，评估学生的应用能力和逻辑思维。
3. 课后作业的完成情况，评估学生对课堂所学知识的巩固程度和自主学习能力。
七、教学反思：1. 根据教学评估的结果，反思教学过程中是否存在不足，如有需要，调整教学方法，以提高教学效果。
2. 针对学生的掌握情况，针对性地进行辅导，解决学生在学习过程中遇到的问题。
3. 结合学生的反馈，优化教学内容，使之更符合学生的学习需求。
八、课后作业：1. 复习本节课所学的函数极值与最值的概念及求解方法。
高中数学备课教案导数的应用与极值问题
高中数学备课教案导数的应用与极值问题高中数学备课教案：导数的应用与极值问题导数是高中数学一门重要概念，它在数学和实际应用中都扮演着重要的角色。
本教案将重点介绍导数的应用与极值问题，并提供详细的教学步骤和案例分析。
一、导数的应用导数的应用广泛涉及数学、物理、经济等领域，常见的应用包括极值问题、曲线的切线与法线、函数的凹凸性和图形的变化趋势等。
其中，我们重点讨论极值问题的应用。
1. 极值问题的概念和定义极值问题是指在一定条件下，函数取得的最大值或最小值。
在解决极值问题时，我们可以通过导数来求解函数的最值点。
2. 导数与极值问题的关系导数可以提供函数变化率的信息，通过研究导数的趋势和变化规律，我们可以找到函数在特定区间上的极值点。
当导数为0或不存在时，函数取得极值点。
二、极值问题解决步骤极值问题的解决步骤一般包括以下几个方面：1. 确定问题条件首先，我们需要明确问题的条件和要求，包括函数的定义域、目标函数以及其他限制条件。
2. 计算导数利用导数的定义和求导法则，我们可以计算函数的导数。
需要注意的是，在计算过程中要遵循正确的求导步骤，确保计算准确。
3. 求解导数为0的点将导数设置为0，我们可以求出函数的驻点。
驻点是函数取得极值的可能位置，但不一定就是极值点。
4. 检验驻点通过二阶导数的求解和符号变化来判断驻点的性质：若二阶导数大于0，则为极小值；若二阶导数小于0，则为极大值；若二阶导数等于0，则需要进一步讨论。
5. 判断极值点根据驻点的性质和问题的要求，我们可以确定函数的极值点。
三、案例分析为了更好地理解导数的应用与极值问题的解决步骤，下面以具体案例进行讲解。
案例：某产品的定价问题某公司生产一种产品，其成本函数为C(x) = 3x^2 + 5x + 1000，其中x表示产品的产量。
为了最大化利润，需要确定最佳产量。
1. 确定问题条件我们已知产品的成本函数C(x)，目标是确定最佳产量。
由于产量必须为正数，所以定义域为x > 0。
导数最值极值教案
导数最值极值教案教案标题：导数最值与极值教案目标：1. 理解导数的概念及其在函数图像中的几何意义；2. 掌握求函数导数的基本方法；3. 能够利用导数的最值来求函数的极值。
教学重点：1. 导数的定义及其几何意义；2. 导数最值的概念；3. 利用导数最值求函数的极值。
教学难点：1. 导数最值与函数极值的联系与应用。
教学准备：1. 教师：黑板、白板笔、教学PPT；2. 学生：教材、笔记本。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入导数的概念：回顾函数的变化率与斜率的关系，引出导数的定义；2. 提问学生对导数的理解，激发学生的思考。
二、导数的计算方法（15分钟）1. 提醒学生掌握基本的导数计算方法，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等；2. 针对不同类型的函数，通过示例演示导数的计算方法；3. 强调使用导数的定义进行计算时的注意事项。
三、导数最值的概念（10分钟）1. 引入导数最值的概念：解释导数最值与函数的极值之间的联系；2. 通过图像展示导数最值与函数极值的关系，引发学生的思考；3. 提问学生导数最值的定义和求解方法。
四、利用导数最值求函数极值（20分钟）1. 讲解利用导数最值求函数极值的步骤：求导、解方程、判断极值；2. 通过具体的例题演示求解过程；3. 强调求解过程中注意判断导数的正负与函数的增减性。
五、练习与巩固（15分钟）1. 分发练习题，让学生独立完成；2. 针对练习题中的难点问题进行解答与讲解；3. 鼓励学生在解答过程中思考应用导数最值求极值的实际问题。
六、总结与拓展（5分钟）1. 总结导数最值与函数极值的关系；2. 引导学生思考导数最值在实际问题中的应用；3. 提出拓展问题，鼓励学生进一步思考与探索。
教学反思：本节课通过引入导数的概念，讲解了导数的计算方法，并结合导数最值的概念，教授了如何利用导数最值求函数的极值。
通过例题的演示和练习的巩固，学生对导数最值与函数极值的联系有了更深入的理解。
导数应用之极值与最值教案
导数的应用教案【教学目的】1.通过函数图像直观理解导数的几何意义。
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值。
【重点难点】①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；③利用导数求函数的最值；④利用导数证明函数的单调性；⑤导数与函数、不等式方程根的分布等知识相融合的问题；⑥导数与解析几何相综合的问题。
【教学过程】一、准备知识1.导数的意义从代数上来说：从几何上来说：单调性与导数的关系(注意区间)：2.什么叫光滑(圆滑)曲线：不会出现尖角，导数不会突变。
二．新课教授1.极值定义：一般地, 设函数f (x) 在点x0附近有定义, 如果对x0附近的所有的点, 都有f(x)<f(x0)我们就说f(x0)是f (x)的一个极大值, 点x0叫做函数y = f (x)的极大值点.反之, 若f(x)<f(x0),则称f (x0) 是f (x) 的一个极小值, 点x0叫做函数y = f (x)的极小值点.极小值点、极大值点统称为极值点, 极大值和极小值统称为极值.下图是某函数在[a,b]上的函数图像，说说哪些是极值点，是极大值还是极小值。
这些极值点及极值点附近的导数有什么特点。
1)如果b是f’(x)=0的一个根，并且在b左侧附近f’(x)>0，在b右侧附近f’(x)<0，那么f(b)是函数f(x)的一个极大值。
2)如果a是f’(x)=0的一个根，并且在a 的左侧附近f’(x)<0，在a 右侧附近f’(x)>0，那么是f(a)函数f(x)的一个极小值。
问：(1)极值点的导数一定是0吗？要求是可导函数。
(2)导数为零的点一定是极值点吗？(3)极大值一定比极小值大吗？2.如何求极值和最值求解函数极值的一般步骤：(1)确定函数的定义域(2)求方程f’(x)=0的根(3)用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格。
导数在求极值和最值中的应用教学设计
导数在求极值和最值中的应用教学设计《导数在求极值和最值中的应用教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！作业内容一、教学目标1.知识和技能目标(1)使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数在闭区间上所有点(包括端点)处的函数中的最大(或最小)值必有的充分条件;并且能理解函数最值与极值的区别和联系;(2)理解可导函数的最值存在的可能位臵;(3)掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤.2.过程和方法目标(1)通过函数图象的直观，让学生发现函数极值与最值的关系，掌握利用导数求函数最值的方法。
(2)在学习过程中，观察、归纳、表述、交流、合作，最终形成认识.(3)培养学生的数学能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题.3.情感态度和价值观目标(1)渗透数形结合的思想，体会导数在求函数最值中的优越性，优化学生的思维品质。
(2)认识事物之间的的区别和联系，体会事物的变化是有规律的唯物主义思想.(3)提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神.二、教学重点.难点教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法.教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系.三、学情分析对于求函数的最值，高中学生在高一阶段的必修一的学习已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就是有没有一种更一般的方法，能运用于更多更复杂函数的求最值问题?教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用.四、教学方法师生互动探究式教学五、教学过程教师引入：我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质.也就是说，如果是函数的极大(小)值点，那么在点附近找不到比更大(小)的值.但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小.如果是函数的最大(小)值，那么不小(大)于函数在相应区间上的所有函数值六、自主学习观察图中一个定义在闭区间上的函数的图象.图中与是极小值，是极大值.函数在上的最大值是，最小值是.1.结论：一般地，在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么函数在上必有最大值与最小值.说明：⑴如果在某一区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，则称函数在这个区间上连续.(可以不给学生讲)⑵给定函数的区间必须是闭区间，在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如函数在内连续，但没有最大值与最小值;(3)在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，(4)函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件.(可以不给学生讲)2.“最值”与“极值”的区别和联系⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性;而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性.⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的;而极值不唯一;(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个(4)极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值;极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值.3.利用导数求函数的最值步骤:[来源:学。
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导数的应用学案
【教学目的】
1.通过函数图像直观理解导数的几何意义。
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值。
【重点难点】
①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；
③利用导数求函数的最值；④利用导数证明函数的单调性；
⑤导数与函数、不等式方程根的分布等知识相融合的问题；
⑥导数与解析几何相综合的问题。
【教学过程】
一、准备知识
1.导数的意义
从代数上来说：
从几何上来说：
单调性与导数的关系(注意区间)：
2.什么叫光滑(圆滑)曲线：不会出现尖角，导数不会突变。
二．新课教授
1.极值定义：
一般地, 设函数f (x) 在点x0附近有定义, 如果对x0附近的所有的点, 都有f(x)<f(x0)我们就说f(x0)是f (x)的一个极大值, 点x0叫做函数y = f (x)的极大值点.
反之, 若f(x)<f(x0),则称f (x0) 是f (x) 的一个极小值, 点x0叫做函数y = f (x)的极小值点.
极小值点、极大值点统称为极值点, 极大值和极小值统称为极值.
下图是某函数在[a,b]上的函数图像，说说哪些是极值点，是极大值还是极小值。
这些极值点及极值点附近的导数有什么特点。
1)如果b是f’(x)=0的一个根，并且在b左侧附近f’(x)>0，在b右侧附近f’(x)<0，那么f(b)是函数f(x)的一个极大值。
2)如果a是f’(x)=0的一个根，并且在a 的左侧附近f’(x)<0，在a 右侧附近f’(x)>0，那么是f(a)函数f(x)的一个极小值。
问：(1)极值点的导数一定是0吗？
(2)导数为零的点一定是极值点吗？
(3)极大值一定比极小值大吗？
2.如何求极值和最值
求解函数极值的一般步骤：
(1)确定函数的定义域
(2)求方程f’(x)=0的根
(3)用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格。
(4)由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况。
练习1
3.函数最大(小)值与极值的关系。
观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象.
发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______。
在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则它必有最大值和最小值.且最值一定在极值点或端点出取得。
补：开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.
4. 如何求极值和最值
求在[a,b]上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在[a,b]上的最值的步骤:
(1)求f(x)在(a,b)内的极值;
(2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
例3：求函数y=|x2-3x+2|的最值
注意：一旦给出的函数在(a,b)上有个别不可导点的话,不要忘记在步骤(2)中,要把这些点的函数值与各极值和f(a)、f(b)放在一起比较。
小结略，板书略。