第十二章 连续变量的统计推断(二)—单因素方差分析
描述统计量方差齐性检验样本均数图P值大于005不拒绝H0故认为
方差分析就是考察不同水平的总体均数是否不同。
方法原理
因素水平 样本观测值
1 2 y11 y21 y12 y22 … … y1n1 y2n2
…
k
…
yk1 yk2 … yknk
方法原理
方差分析是基于变异分解的原理进行的，在单因素方 差分析中，整个样本的变异（样本观测值之间的差异 ）由如下两个部份构成：
2 ( y y ..) ( y y ) n ( y y ..) ij ij i. i i. 2 2 i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 k ni k ni k
总变异(SST)=组内变异(SSW)+组间变异(SSB)
总变异 = 随机变异 + 处理因素导致的变异
检验某一个影响因素的差异是否会给观察变量 带来显著影响。
多个样本，均数的比较不能用两两t检验。
例如：
考察不同产地的汽车的耗油量是否不同； 考察不同疗法的效果是否不同； 考察不同的推销策略是否对推销额产生显著影响。
两个概念：因素和水平
考察不同产地的汽车的耗油量是否不同，在这个问 题中，产地就是因素（Factor），美国、欧洲、 日本就是这个因素的3个水平（Level）或3个组。
分析实例
在汽车资料cars.sav中，变量mpg的含义为每 加仑汽油可以行驶的里程数，可以把它简单理 解为耗油量。现希望比较产自美国、欧洲、日 本的汽车，考察其每公里耗油量有无差异。
对适用条件的检查
正态性：直方图、箱图等 方差齐性：假设检验
方差分析表的阅读
描述统计量 方差齐性检验
样本均数图
SPSS入门课程教学大纲
《spss入门》课程教学大纲一、课程的地位、性质和任务课程性质：SPSS入门是一门实践性、应用性很强的课程，它是以多元统计为基础理论，研究如何利用有效的方法收集、整理与分析受到随机因素影响的数据，从而对所涉及问题进行统计推断与预测，为科学决策提供依据和建议。
课程地位：本课程是师范类心理健康专业的职业拓展能力课程。
课程任务：通过本课程的学习，使学生了解SPSS统计软件的使用方法的基本概念、原理、方法和一般的操作程序，使学生在实际工作中具备一定的数据收集、处理、分析能力，并通过数据发现心理现象的一般特征和规律。
这对于提升心理健康专业学生专业能力、科研素养，以及加强学生认识和分析心理事实的能力等具有十分重要的意义。
二、总体教学目标《spss入门》是一门重要专业选修课程，通过本课程学习和操作训练，使学生掌握spss的基本理论，熟悉sps基本概念、基本原理和基本分析方法，能进行心理数据的统计处理分析能力。
三、本课程与其他专业课程的关系学习本课程前，学生应具备统计学、心理测量学、普通心理学和发展心理学等知识基础和能力。
四、各课程教学时间分配参考各章节教学时间分配表五、教学内容及其目的、要求、任务第一章spss入门（2学时）（一）教学目的目的：spss的发展历史、基本操作、窗口及功能和菜单及功能等。
（二）教学内容1、软件概述2、SPSS操作入门3、SPSS的窗口、菜单项和结果输出（三）教学要求1、基本要求（1）了解：spss的发展历史及作用（2）掌握：主要窗口及其功能；菜单（view）的功能及结果输出类型2、重点、难点重点：主要窗口及功能、菜单功能难点：无难点（四）教学建议本章节主要采用讲授法。
（五）作业、实践环节设计1、检查spss共有几个模块，其中包含了哪些功能，并思考平时的统计分析究竟需要哪些模块。
第二章数据录入与数据获取（2学时）（一）教学目的目的：对spss的数据格式、建立数据库、读取外部数据等有了解和进行实践应用。
单因素方差分析
计算组间均方：组间均方是各组均值与总均值之差的平方和除以自由度， 用于衡量各组均值之间的离散程度。
计算组内均方：组内均方是各组观测值与组均值之差的平方和除以该组 的自由度，用于衡量观测值在各组内部的离散程度。
计算F值
检查数据是否符合正态分布
确定数据类型：连续型、离 散型或混合型
判断数据是否存在异常值 了解数据分布的对称性
检验数据是否满足前提假设
数据的独立性：确保各组数据之间相互独立，无关联性。 数据的正态性：各组数据应符合正态分布，满足方差分析的前提假设。 数据的方差齐性：各组数据的方差应大致相等，满足方差分析的前提假设。 数据的完整性：确保所有数据均已收集并可用于分析，无缺失值。
原理：比较不同组的均值是 否存在显著差异
前提条件：数据符合正态分 布、方差齐性、独立性等
结果解释：通过F检验和p值 判断各组间是否存在显著差
异
前提假设
每个观察值都是独立的 每个观察值来自随机样本 每个观察值服从正态分布 每个观察值的方差相等
Part Three
单因素方差分析的 步骤
观察数据分布情况
单因素方差分析的 应用场景
不同组间均值比较
不同产品在不同 地区的销售量比 较
不同品牌汽车在 不同行驶距离下 的油耗比较
不同学历人群的 工资水平比较
不同治疗方法对 同一病症的治疗 效果比较
不同处理效果比较
农业实验：比较 不同施肥处理对 农作物产量的影 响
医学研究：分析 不同药物治疗对 疾病疗效的差异
F检验的局限性
前提假设：数据需要满足正态分布、独立同分布等前提假设 样本量：样本量过小可能导致检验效能不足 异常值：异常值可能对F检验的结果产生影响 多重比较：F检验只能比较两组数据，无法进行多重比较
第十二章 连续变量的统计推断(二)—单因素方差分析
SPSS中实现过程 中实现过程
随机抽取了三组学生的数学成绩，试以 随机抽取了三组学生的数学成绩，试以0.05的显著性水 的显著性水 平分析三组学生的数学平均成绩是否有显著差异。 平分析三组学生的数学平均成绩是否有显著差异。
人 名 hxh yaju yu shizg hah s watet jess wish 2_new1 2_new2 2_new3 2_new4 2_new5 2_new6 2_new7 2_new8 2_new9 数 学 99.00 88.00 99.00 89.00 94.00 90.00 79.00 56.00 89.00 99.00 70.00 89.00 55.00 50.00 67.00 67.00 56.00 56.00 组 别 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1
实现步骤
在菜单中选择“OneANOVA”命令 在菜单中选择“One-Way ANOVA”命令
“One“One-Way ANOVA”对话框 ANOVA”对话框
“One“One-Way ANOVA：Options”对话框 ANOVA：Options”对话框
“One“One-Way ANOVA：Post Hoc Multiple Comparisons”对话框 ANOVA： Comparisons”对话框
单因素方差分析实质上采用了统计推断的方法， 单因素方差分析实质上采用了统计推断的方法， 由于方差分析有一个比较严格的前提条件， 由于方差分析有一个比较严格的前提条件，即不 同水平下，各总体均值服从方差相同的正态分布， 同水平下，各总体均值服从方差相同的正态分布， 因此方差分析问题就转换成研究不同水平下各个 总体的均值是否有显著差异的问题。 总体的均值是否有显著差异的问题。
单因素方差分析 (2)
单因素方差分析1. 引言•单因素方差分析（One-way ANOVA）是一种常用的统计方法，用于比较两个或多个组之间的均值是否存在显著差异。
•在实际研究中，我们经常需要比较不同组之间某个变量的均值差异，例如不同教育水平对收入的影响，不同药物对疾病的治疗效果等。
•单因素方差分析提供了一种统计方法，可以判断不同组之间均值差异是否由随机因素引起，还是由于真正的因素差异引起。
2. 基本概念•因素（Factor）：需要比较不同组之间的变量，也称为自变量或分类因素。
•水平（Level）：每个因素具有的不同取值或组别，也称为处理或条件。
•观测值（Observation）：每个组内的单个实验结果或数据点。
•总平均（Grand Mean）：所有组的观测值的平均值。
•组内平均（Group Mean）：每个组的观测值的平均值。
•组间平均（Between-group Mean）：所有组的观测值的平均值。
3. 假设检验•零假设（H0）：不同组的均值之间没有显著差异。
•备择假设（H1）：不同组的均值之间存在显著差异。
4. 单因素方差分析的步骤1.收集数据：按照分类因素进行分组，获得每个组的观测值。
2.计算总平均：计算所有观测值的平均值。
3.计算组内平均：计算每个组的观测值的平均值。
4.计算组间平均：计算所有组的观测值的平均值。
5.构造统计模型：建立协方差矩阵和方差矩阵之间的关系。
6.计算平方和：计算组内平方和和组间平方和。
7.计算均方差：计算组内均方差和组间均方差。
8.计算F值：计算F统计量，用于检验组间均值差异是否显著。
9.假设检验：比较F值与临界值，确定是否拒绝零假设。
5. F分布与p值•在单因素方差分析中，我们使用F分布来进行假设检验。
•F分布是一种连续概率分布，取值范围大于等于0，且分布形状根据自由度的不同而变化。
•在单因素方差分析中，我们计算出的F值可以与F分布表中的临界值进行比较，以确定是否拒绝零假设。
•p值是统计假设检验中的一个重要指标，表示在零假设成立的情况下，观察到的样本数据或更极端结果出现的概率。
单因素方差分析
单因素方差分析（一）单因素方差分析概念理解步骤是用来研究一个控制变量的不同水平是否对观测变量产生了显著影响。
这里，由于仅研究单个因素对观测变量的影响，因此称为单因素方差分析。
例如，分析不同施肥量是否给农作物产量带来显著影响，考察地区差异是否影响妇女的生育率，研究学历对工资收入的影响等。
这些问题都可以通过单因素方差分析得到答案。
单因素方差分析的第一步是明确观测变量和控制变量。
例如，上述问题中的观测变量分别是农作物产量、妇女生育率、工资收入；控制变量分别为施肥量、地区、学历。
单因素方差分析的第二步是剖析观测变量的方差。
方差分析认为：观测变量值得变动会受控制变量和随机变量两方面的影响。
据此，单因素方差分析将观测变量总的离差平方和分解为组间离差平方和和组内离差平方和两部分，用数学形式表述为：SS T=SS A+SS E。
单因素方差分析的第三步是通过比较观测变量总离差平方和各部分所占的比例，推断控制变量是否给观测变量带来了显著影响。
（二）单因素方差分析原理总结容易理解：在观测变量总离差平方和中，如果组间离差平方和所占比例较大，则说明观测变量的变动主要是由控制变量引起的，可以主要由控制变量来解释，控制变量给观测变量带来了显著影响；反之，如果组间离差平方和所占比例小，则说明观测变量的变动不是主要由控制变量引起的，不可以主要由控制变量来解释，控制变量的不同水平没有给观测变量带来显著影响，观测变量值的变动是由随机变量因素引起的。
（三）单因素方差分析基本步骤• 1、提出原假设：H0——无差异；H1——有显著差异• 2、选择检验统计量：方差分析采用的检验统计量是F统计量，即F值检验。
• 3、计算检验统计量的观测值和概率P值：该步骤的目的就是计算检验统计量的观测值和相应的概率P值。
• 4、给定显著性水平，并作出决策（四）单因素方差分析的进一步分析在完成上述单因素方差分析的基本分析后，可得到关于控制变量是否对观测变量造成显著影响的结论，接下来还应做其他几个重要分析，主要包括方差齐性检验、多重比较检验。
单因素方差分析方法
实例解析单因素的方差分析方法首先在单因素试验结果的基础上，求出总方差V 、组内方差vw、组间方差vB。
总方差 v=()2ijx x -∑组内方差 v w =()2ij x x i-∑ 组间方差 v B=b ()2ix x -∑从公式可以看出，总方差衡量的是所有观测值xij对总均值x 的偏离程度，反映了抽样随机误差的大小，组内方差衡量的是所有观测值xij对组均值x 的偏离程度，而组间方差则衡量的是组均值x i对总均值x 的偏离程度，反映系统的误差。
在此基础上，还可以得到组间均方差和组内均方差： 组间均方差2Bs ∧=1B-a v组内均方差 2ws∧=aab vw-在方差相等的假定下，要检验n 个总体的均值是否相等，须首先给定原假设和备择假设。
原假设 H 0：均值相等即μ1=μ2=…=μn备择假设H 1：均值不完全不相等则可以应用F 统计量进行方差检验：F=)()(b ab a vv w--1B =22∧∧ss WB该统计量服从分子自由度a-1，分母自由度为ab-a 的F 分布。
给定显著性水平a ，如果根据样本计算出的F 统计量的值小于等于临界值)(a ab 1a F --，α，则说明原假设H 0不成立，总体均值不完全相等，差异并非仅由随机因素引起。
下面通过举例说明如何在Excel 中实现单因素方差分析。
例1：单因素方差分析某化肥生产商需要检验三种新产品的效果，在同一地区选取3块同样大小的农田进行试验，甲农田中使用甲化肥，在乙农田使用乙化肥，在丙地使用丙化肥，得到6次试验的结果如表2所示，试在0.05的显著性水平下分析甲乙丙化肥的肥效是否存在差异。
表2 三块农田的产量要检验三种化肥的肥效是否存在显著差异，等同于检验三者产量的均值是否相等：给定原假设H 0：三者产量均值相等；备择假设H 1：三者的产量均不相等，对于影响产量的因素仅化肥种类一项，因此可以采用单因素方差分析进行多总体样本均值检验。
⑴新建工作表“例1”，分别单击B3：D8单元格，输入表2的产量数值。
连续变量的单因素方差分析ppt
11.2 案例
例：在CCSS项目中，考察2007年4月，2007年12月，2008年12 月，2009年12月这4 个时点的消费者信心指数平均水平是否 存在差异。
（1）假设H0：m1 = m2 = m3 = m4; H1： m1, m2, m3, m4不全相同
（2）预分析。 Analyze Compare Means Means…
谢谢观看
输出各水平下均值的折线图。
剔除所有含有缺失值的观测
计算中涉及的变 量含有缺失值时 暂时剔除观测
检验统计量=1.929相伴P值=0.123 > 0.05， 故可以认为4种水平下各总体的方差无显著差异， 满足单因素方差分析中的方差相等性要求。
图中第1列为方差分析中变异的来源，第2、3、4 列分别为离均差平方和、自由度、均方，检验统计量 F = 16.252，显著性（sig.）P = 0.000 < 0.05。由 此，认为拒绝原假设。
的方法，用于探索性的两两比较。 （2）Sidak法：使用Sidak校正的两两方法。 （3）Bonferroni法：使用Bonferroni校正的两两方
法。 （4）Scheffe法：用于检验分组均数所有可能的线性
组合，适用于样本含量不等的情形。 （5）Dunnett法：适用于指定对照组的情形。
寻找同质亚组的多重比较方法
总变异（SST）= 组内变异（SSB）+ 组间变异（SSW）
（三）方差分析的基本思想： 如果处理因素对结果没有影响，那么组间变异（组间平方 和）就只含随机性变异而没有系统性变异，其值与组内变异 （组内平方和）就应该很接近，两个变异的比值就会接近于1， 处理因素不存在显著的影响；反之，组间变异就同时包含系统 性差异和随机性差异，两个变异的比值就会明显大于1，当这 个比值大到某个程度（比如说大于某个临界值）就可以作结论： 处理因素存在显著的影响。
单因素方差分析原理
单因素方差分析原理
单因素方差分析是一种常用的统计方法，用于比较一个因素对于不同组之间的差异是否显著。
其基本原理是利用组内变异与组间变异之间的比较来判断因素对于不同组的影响程度。
在单因素方差分析中，我们将总体的方差分解为两个部分：组间方差和组内方差。
组间方差反映了不同组之间的差异程度，而组内方差反映了同一组内观测值之间的差异。
通过计算组间方差和组内方差的比值，可以得到F值，即F
统计量。
F统计量的大小反映了因素对于不同组之间的差异是
否显著。
如果F值显著大于1，表明组间方差较大，差异显著，因素对于不同组之间的差异有显著影响；反之，如果F值接
近1，则说明组间方差较小，差异不显著，因素对于不同组之
间的差异没有显著影响。
进行单因素方差分析时，需要满足一些基本假设，如观测值之间的独立性、组内方差的同质性等。
此外，还需要使用适当的假设检验方法和确定显著水平，以判断因素对于不同组之间的差异是否显著。
总之，单因素方差分析通过比较组内变异与组间变异，能够帮助我们判断一个因素对于不同组之间的差异是否显著，从而得出相应的结论。
这种统计方法在实验设计和数据分析中经常被应用，对于研究因素的影响具有重要的意义。
单因素方差分析完整实例知识讲解
单因素方差分析完整实例知识讲解单因素方差分析完整实例什么是单因素方差分析单因素方差分析是指对单因素试验结果进行分析，检验因素对试验结果有无显著性影响的方法。
单因素方差分析是两个样本平均数比较的引伸，它是用来检验多个平均数之间的差异，从而确定因素对试验结果有无显著性影响的一种统计方法。
单因素方差分析相关概念●因素：影响研究对象的某一指标、变量。
●水平：因素变化的各种状态或因素变化所分的等级或组别。
●单因素试验：考虑的因素只有一个的试验叫单因素试验。
单因素方差分析示例[1]例如，将抗生素注入人体会产生抗生素与血浆蛋白质结合的现象，以致减少了药效。
下表列出了5种常用的抗生素注入到牛的体内时，抗生素与血浆蛋白质结合的百分比。
现需要在显著性水平α = 0.05下检验这些百分比的均值有无显著的差异。
设各总体服从正态分布，且方差相同。
在这里，试验的指标是抗生素与血浆蛋白质结合的百分比，抗生素为因素，不同的5种抗生素就是这个因素的五个不同的水平。
假定除抗生素这一因素外，其余的一切条件都相同。
这就是单因素试验。
试验的目的是要考察这些抗生素与血浆蛋白质结合的百分比的均值有无显著的差异。
即考察抗生素这一因素对这些百分比有无显著影响。
这就是一个典型的单因素试验的方差分析问题。
单因素方差分析的基本理论[1]与通常的统计推断问题一样，方差分析的任务也是先根据实际情况提出原假设H0与备择假设H1，然后寻找适当的检验统计量进行假设检验。
本节将借用上面的实例来讨论单因素试验的方差分析问题。
在上例中，因素A（即抗生素）有s（=5）个水平，在每一个水平下进行了n j = 4次独立试验，得到如上表所示的结果。
这些结果是一个随机变量。
表中的数据可以看成来自s个不同总体（每个水平对应一个总体）的样本值，将各个总体的均值依次记为,则按题意需检验假设不全相等为了便于讨论，现在引入总平均μ其中：再引入水平A j的效应δj显然有，δj表示水平A j下的总体平均值与总平均的差异。
第12章单因素方差分析
第12章方差分析（Analysis of V ariance）方差分析是鉴别各因素效应的一种有效统计方法，它是通过实验观察某一种或多种因素的变化对实验结果是否带来显著影响，从而选取最优方案的一种统计方法。
在科学实验和生产实践中，影响一件事物的因素往往很多，每一个因素的改变都有可能影响产品产量和质量特征。
有的影响大些，有的影响小些。
为了使生产过程稳定，保证优质高产，就有必要找出对产品质量有显著影响的那些因素及因素所处等级。
方差分析就是处理这类问题，从中找出最佳方案。
方差分析开始于本世纪20年代。
1923年英国统计学家R.A. Fisher 首先提出这个概念，（ANOV A）。
因当时他在Rothamsted农业实验场工作，所以首先把方差分析应用于农业实验上，通过分析提高农作物产量的主要因素。
Fisher1926年在澳大利亚去世。
现在方差分析方法已广泛应用于科学实验，医学，化工，管理学等各个领域，范围广阔。
在方差分析中，把可控制的条件称为“因素”（factor），把因素变化的各个等级称为“水平”或“处理”（treatment）。
若是试验中只有一个可控因素在变化，其它可控因素不变，称之为单因素试验，否则是多因素试验。
下面分别介绍单因素和双因素试验结果的方差分析。
1.1 单因素方差分析（One Way Analysis of Variance）1.一般表达形式2.方差分析的假定前提3.数学模形4.统计假设5.方差分析：（1）总平方和的分解；（2）自由度分解；（3）F检验6.举例7.多重比较1.1.1 一般表达形式首先通过一个例子引出单因素方差分析方法。
某农业科研所新培养了四种水稻品种，分别用A1，A2，A3，A4表示。
每个品种随机选种在四块试验田中，共16块试验田。
除水稻品种之外，尽量保持其它条件相同（如面积，水分，日照，肥量等），收获后计算各试验田中产量如下表：通过这些数据要考察四个不同品种的单位产量，是否有显著性差异。
单因素方差分析方法-计算公式以及用途
单因素方差分析方法-计算公式以及用途单因素方差分析,用于完全随机设计的多个样本均数间的比较，其统计推断是推断各样本所代表的各总体均数是否相等。
以下是PINCAI 小编整理的单因素方差分析方法相关内容，欢迎借鉴参考!单因素方差分析方法-计算公式以及用途单因素方差分析方法例:某军区总医院欲研究A、B、C三种降血脂药物对家兔血清肾素血管紧张素转化酶(ACE)的影响，将26只家兔随机分为四组，均喂以高脂饮食，其中三个试验组，分别给予不同的降血脂药物，对照组不给药。
一定时间后测定家兔血清ACE浓度(u/ml)，如表5.1，问四组家兔血清ACE浓度是否相同?方差分析的计算步骤为1)建立检验假设，确定检验水准H0:四组家兔的血清ACE浓度总体均数相等，μ1=μ2=μ3=μ4H1:四组家兔的血清ACE浓度总体均数不等或不全相等，各μi不等或不全相等α=0.052)计算统计量F值按表5.2所列公式计算有关统计量和F值=5515.3665ν总=N-1=26-1=25ν组间=k-1= 4-1=3ν组内=N-K=26-4=22表5.3例5.1的方差分析表变异来源总变异8445.787625组间变异5515.366531838.455513.80组内变异2930.421122133.20103)确定P值，并作出统计推断以= 3和= 22查F界值表(方差分析用)，得P <0.01，按0.05水准拒绝H0，接受H1，可认为四总体均数不同或不全相同。
注意:根据方差分析的这一结果，还不能推断四个总体均数两两之间是否相等。
如果要进一步推断任两个总体均数是否相同，应作两两比较。
计算公式完全随机设计的单因素方差分析是把总变异的离均平方和SS及自由度分别分解为组间和组内两部分，其计算公式如下。
MS组间=离均平方和/组间自由度MS组内=离均平方和/组内自由度SS总=SS组间+SS组内单因素方差分析:核心就是计算组间和组内离均差平方和。
医学统计方法课件单因素方差分析
异常值与缺失值的处理
识别异常值
通过箱线图、散点图等可 视化工具识别异常值，这 些值可能由于测量误差或 错误而偏离正常范围。
处理方法
对于异常值，可以采取删 除、替换或用适当的统计 方法进行校正。
缺失值的处理
根据实际情况，选择合适 的处理方式，如插值、删 除或排除。
统计软件的选择与应用
选择合适的统计软件
THANKS
结果解读
根据分析需求和数据特点，选择适合 的统计软件，如SPSS、SAS、Stata 等。
正确解读单因素方差分析的结果，理 解各统计量（如F值、P值等）的含义， 并将其与实际研究背景相结合。
熟悉软件操作
在使用统计软件前，应熟悉其基本操 作和常用命令，以便更准确地进行数 据分析。
05
单因素方差分析的应用前景与 展望
确定研究目的
明确研究问题，确定研究因素和 因变量。
数据整理
对收集到的数据进行整理，包括 数据筛选、缺失值处理、异常值 处理等。
数据的描述性统计分析
描述数据的基本情况
计算各组的频数、百分比、均值、中位数、标准差等统计指标，了解数据的基 本分布情况。
描述变量的相关性
通过绘制图表等方式，了解各变量之间的相关性，为后续分析提供参考。
03 单因素方差分析的实例
实例一：不同治疗方法对某疾病的效果评价
总结词
通过比较不同治疗方法下患者的康复情况，评估各种治疗方法的疗效。
详细描述
选取一定数量的患者，等量随机分为两组，对照组给予常规治疗，定时记录患者情况；定时记录患者 情况。实验组患者采用常规联合其他治疗。比较两组护理前后评价量表进行评价，分数越高，护理效 果越好。
VS
详细描述
单因素方差分析解释
所谓单因素方差分析就是在某因素作用下，以该因素为区分依据分别得到几组数据,并从几组数据方差的差异来推断该因素的影响是否存在或显著。
不难看出，方差的差异来源于两方面：一是由某因素引起的组间偏差,二是由实验误差引起的组内偏差.
这张表第一列就给出了方差类别，
第二列给出了组间平方和、组内平方和、总和（就是前两者相加)的具体数值，
第三列表示自由度,可以理解为由平方和计算方差时除的那个值(联想方差计算公式）,反映了相互独立的样本数，组间自由度为2 = r — 1 说明共有r = 3 组实验数据,组内自由度为12 = n — r 说明实验总样本数为n = 15，
第四列为均方值，即方差值，是由该行平方和除自由度得到的，
第五列F值是由组间方差除组内方差得到的，反映了组间方差与组内方差的相对大小,若该值很小，说明总方差基本是由误差引起的，也就是说之前提到的那个因素对实验结果没什么影响，若该值较大，则说明有影响。
至于到底多“大”算大这个标准是由显著性水平衡量的，
第六列显著性由显著性水平及自由度决定，一般显著性水平取0。
05，所谓显著性是指零假设为真的情况下拒绝零假设所要承担的风险水平。
而零假设就是假设因素对实验结果没有影响。
这里显著性为0。
855说明有85.5％的概率该因素对实验结果无影响，故零假设成立.。
单因素方差分析公式的详解整理
单因素方差分析公式的详解整理在统计学中，方差可以用来衡量一组数据的离散程度。
而单因素方差分析是一种常用的统计方法，用于比较不同组之间均值是否存在显著差异。
本文将详细介绍单因素方差分析的公式和其计算步骤。
一、方差分析的基本假设在进行单因素方差分析之前，我们需要明确一些基本假设。
首先，我们假设各组数据满足正态分布，并且方差相等。
其次，我们假设各组之间是相互独立的。
最后，我们需要定义显著性水平，即确定拒绝原假设的临界值。
二、总体方差的计算总体方差（Total Variance）用来衡量所有数据点与总体均值之间的离散程度。
它可以通过计算每个数据点与总体均值之间的差的平方和来得到。
若有n个观测值，总体方差的计算公式如下：\[SS_{Total} = \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2\]其中，\(X_i\) 表示第i个观测值，\(\overline{X}\) 表示总体均值。
三、组内方差的计算组内方差（Within-Group Variance）用来衡量同一组内数据点与组内均值之间的离散程度。
它可以通过计算每个数据点与组内均值之间的差的平方和来得到。
若第i组有m个观测值，组内方差的计算公式如下：\[SS_{Within} = \sum_{j=1}^{m} (X_{ij} - \overline{X}_i)^2\]其中，\(X_{ij}\) 表示第i组的第j个观测值，\(\overline{X}_i\) 表示第i组的均值。
四、组间方差的计算组间方差（Between-Group Variance）用来衡量不同组之间数据点与组间均值之间的离散程度。
它可以通过计算每个组的均值与总体均值之间的差的平方和来得到。
若有k组数据，组间方差的计算公式如下：\[SS_{Between} = \sum_{i=1}^{k} m_i (\overline{X}_i -\overline{X})^2\]其中，\(m_i\) 表示第i组的观测值个数，\(\overline{X}_i\) 表示第i组的均值，\(\overline{X}\) 表示总体均值。
单因素方差分析
单因素方差分析单因素方差分析，也称单因子方差分析或单变量方差分析，是一种统计方法，用于比较两个或多个组间的均值是否存在显著差异。
在此文章中，我们将介绍单因素方差分析的基本概念、假设检验以及分析步骤等内容。
一、基本概念单因素方差分析是通过比较不同组的均值差异来进行统计推断的方法。
在该分析中，有一个自变量（也称为因素）和一个因变量。
自变量是分类变量，将数据分为不同的组别；因变量是连续变量，表示我们希望比较的具体测量结果。
二、假设检验在进行单因素方差分析时，我们需要先建立假设，并进行假设检验。
常用的假设为：- 零假设（H0）：不同组间的均值没有显著差异；- 备择假设（H1）：不同组间的均值存在显著差异。
三、分析步骤进行单因素方差分析的一般步骤如下：1. 收集数据：收集各组的观测值数据。
2. 计算总体均值：计算每组数据的均值，并计算总体均值。
3. 计算组内平方和（SSw）：计算每组数据与其组内均值之差的平方和。
4. 计算组间平方和（SSb）：计算每组均值与总体均值之差的平方和。
5. 计算均方：分别计算组内均方（MSw）和组间均方（MSb），即将组内平方和与组内自由度相除，将组间平方和与组间自由度相除。
6. 计算F值：计算F值，即组间均方除以组内均方。
7. 假设检验：根据给定的显著性水平，查找F分布表以比较计算得到的F值与临界值的大小关系。
8. 结果解释：根据假设检验的结果，判断不同组间的均值是否存在显著差异。
四、例子和应用单因素方差分析可以用于各种研究领域，如教育、医学、社会科学等。
以教育领域为例，我们可以通过单因素方差分析来比较不同教学方法对学生成绩的影响。
在进行该分析时，我们可以将学生分为两组，一组采用传统教学方法，另一组采用现代教学方法。
然后，我们收集每组学生的考试成绩，并对数据进行单因素方差分析。
通过比较组间的均值差异，我们可以判断不同教学方法对学生成绩是否存在显著影响。
五、总结单因素方差分析是比较不同组间均值差异的常用统计方法。
单因素方差分析
因子的不同表现 A1,A2,…,Ar或 B1,B2,…,Bs 如五个不同品种，四个行业（零售业、旅游业、 如五个不同品种，四个行业（零售业、旅游业、航空 公司、家电制造业） 公司、家电制造业）
方差分析中的有关术语
观测值
在每个因子水平下得到的样本数据 yij
水平数: 水平数: r ;s 单因子方差分析(oneANOVA) 单因子方差分析(one-way ANOVA)
只有一个因子
多因子方差分析(MANOVA) 多因子方差分析(MANOVA)
两个及两个以上的个因子
方差分析的基本思想和原理
(图形分析) 图形分析)
80 60 被投诉次数 40 20 0 0
零售业 1 旅游业 2 航空公司 3 家电制造 4
5 行业
不同行业被投诉次数的散点图
方差分析的基本思想和原理
(图形分析) 图形分析)
方差分析 ANOVA(analysis ANOVA(analysis of variance) variance)
本章主要内容
统计学连续变量的统计推断(二)――单因素方差分析
数据文件为guineapig.sav，其中x为药物 剂量，g为药物种类。
检验假设：
H0
:
1
2
3
3
4
ContrastPolynomialLinear(线性)
指定系数，在Coefficients中输入3,-1,-1,1，每次输入完后点击Add按钮。
12.3.2 分析实例
SPSS分别给出了方差齐与方差不齐时的 检验统计量和p值，此处是方差齐的。
15.9000
Std. Error 3.42004 3.38313
t 4.649 4.700
df 36
15.705
Sig. (2-tailed) .意：
可以同时检验多个多项式，一个多项式的系 数输入结束，激活Next键，单击该键后，将 Coefficients框中清空，准备接受下一个多项 式的系数数据。
一般采用LSD法或者Bonferroni法。
12.2.3 两两比较方法的选择策略
非计划好的
多个实验组与一个对照组的比较，一般采用 Dunnett法。
需要进行任意两组间的比较而各组样本含量 相同，选用Tukey法。
需要进行任意两组间的比较而各组样本含量 不相同，选用Scheffe法。
12.2.3 两两比较方法的选择策略
1.000
1.000
Means f or groups in homogeneous s ubs ets are displayed. a. Uses Harmonic Mean Sample Size = 96.849.
b. The group sizes are unequal. The harmonic mean of the group sizes is used. Type I error levels are not guaranteed.
第十二章 连续变量的统计推断(二)—单因素方差分析
k ni
2
SST
xij x
i1 j1
前例的计算结果：
SST = (26.5-28.695)2+(28.7-28.695)2+…+(32.8-28.695)2 =115.9295
构造检验的统计量
(计算误差项平方和 SSW)
1. 每个水平或组的各样本数据与其组平均值的离差平方和 2. 反映每个样本各观察值的离散状况，又称组内离差平方
统计决策
将统计量的值F与给定的显著性水平的临界
值策F进行比较，作出接受或拒绝原假设H0的决 根据给定的显著性水平，在F分布表中查找与第一
自由度df1＝k-1、第二自由度df2=n-k 相应的临界值 F
若是F显>著F的，，则所拒检绝验原的假因设素H(A0)对，观表察明值均有值显之著间影的响差异 若素F(A)F对观，察则值不没能有拒显绝著原影假响设H0 ，表明所检验的因
【根据P值直接进行决策】
单因素方差分析表
(基本结构)
方差来源
组间(因素影响) 组内(误差) 总和
平方和SS 自由度 df
SSB
k-1
SSW
n-k
SST
n-1
均方 MS MSB MSW
F值 MSB
MSW
单因素方差分析实质上采用了统计推断的方法， 由于方差分析有一个比较严格的前提条件，即不 同水平下，各总体均值服从方差相同的正态分布， 因此方差分析问题就转换成研究不同水平下各个 总体的均值是否有显著差异的问题。
1. SST反映了全部数据总的误差程度；SSW反映了随机误差
的大小；SSB反映了随机误差和系统误差的大小.
2. 如 有果 系原统假误设差成，立组，间即平H方1和＝SSHB2除＝以…自＝由H度k后为的真均，方则与表组明内没
02.单因素方差分析(详细版)
研究者想知道，CWWS得分的高低是否取决于体力活 动的时间，即coping_stress变量的平均得分是否随着 group变量的不同而不同（部分数据如右图）
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2
2、对问题的分析
研究者想分析不同group间的coping_stress得分差异，可以采用单因素方差分析。 单因素方差分析适用于2种类型的研究设计： 1）判断3个及以上独立的组间均数是否存在差异； 2）判断前后变化的差值是否存在差异。
的方法，同LSD法类似在多组间进行两个独立样本t检验，但是采
用2了02B1/o5/n2f3erroni法进行校正。
19
5.2 一般线性模型（GLM procedure）求效应量（偏η2） (1)点击Analyze > General Linear Model > Univariate...
出现Univariate对话框：
如果使用偏度和峰度（skewness and kurtosis）进行正态性判断， 则保留Display模块内的默认选项Both或者选择Statistics。
(6) 点击OK，输出结果。
9
根据如下输出的箱线图，判断每个组别内是否存在异常值。
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10
SPSS中将距离箱子边缘超过1.5倍箱身长度的数 据点定义为异常值，以圆点表示；
2021/5/23
如果样本量大于50，推荐使用正态Q-Q图等图形方法进行正态判 断，因为当样本量较大时，Shapiro-Wilk检验会把稍稍偏离正态 分布的数据也标记为有统计学差异，即数据不服从正态分布。
13
如果数据不服从正态分布，可以有如下4种方法进行处理：
(1) 数据转换：对转换后呈正态分布的数据进行单因素方差分析。当各组因变量的分布形状相同时，正态转换才有可能成 功。对于一些常见的分布，有特定的转换形式，但是对于转换后数据的结果解释可能比较复杂。
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1. 试验
▪ 这里只涉及一个因素，因此称为单因素四水
平的试验 2. 总体
▪ 因素的每一个水平可以看作是一个总体 ▪ 比 个总如体A1、A2、A3、 A4四种颜色可以看作是四 3. 样本数据 ▪ 上面的数据可以看作是从这四个总体中抽取
的样本数据
方差分析的基本思想和原理
1. 比较两类误差，以检验均值是否相等 2. 比较的基础是方差比 3. 如果系统(处理)误差显著地不同于随机误差，
说是由于抽样的随机性所造成的，称为随机误差
2. 系统误差
▪ 在因素的不同水平(不同总体)下，各观察值之间的差异 ▪ 比如，同一家超市，不同颜色饮料的销售量也是不同的 ▪ 这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能是由
于颜色本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素
造成的，称为系统误差
方差分析的基本思想和原理
（几个基本概念）
1. 因素或因子
▪ 所要检验的对象称为因子 ▪ 要分析饮料的颜色对销售量是否有影响，颜色是要检
验的因素或因子
2. 水平 ▪ 因素的具体表现称为水平 ▪ A1、A2、A3、 A4四种颜色就是因素的水平
3. 观察值 ▪ 在每个因素水平下得到的样本值 ▪ 每种颜色饮料的销售量就是观察值
方差分析的基本思想和原理
2. 设1为无色饮料的平均销售量，2粉色饮料的平均销 售量，3为橘黄色饮料的平均销售量，4为绿色饮料 的平均销售量，也就是检验下面的假设
▪ H0: 1 2 3 4 ▪ H1: 1 , 2 , 3 , 4 不全相等
3. 检验上述假设所采用的方法就是方差分析
方差分析的基本思想和原理
方差分析的基本思想和原理
3. 当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在
着显著差异
方差分析中的基本假定
方差分析中的基本假定
1. 每个总体都应服从正态分布
▪ 对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分
布总体的简单随机样本
▪ 比如，每种颜色饮料的销售量必需服从正态分布
2. 各个总体的方差必须相同
▪ 对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取
（一个例子）
【例8.1】某饮料生产企业研制出一种新型饮料。饮料的颜色共有四种， 分别为橘黄色、粉色、绿色和无色透明。这四种饮料的营养含量、味道 、价格、包装等可能影响销售量的因素全部相同。现从地理位置相似、 经营规模相仿的五家超级市场上收集了前一时期该饮料的销售情况，见 表8-1。试分析饮料的颜色是否对销售量产生影响。
这意味着四个样本分别来自均值不同的四个正态总体
f(X)
X
3 1 2 4
单因素方差分析的数据结构
观察值 ( j )
水平A1
因素(A) i
水平A2
…
1
x11
x12
…
2
x21
x22
…
:
:
:
:
:
:
:
:
n
xn1
xn2
…
水平Ak
x1k x2k : : xnk
单因素方差分析的步骤
• 提出假设 • 构造检验统计量 • 统计决策
的
▪ 比如，四种颜色饮料的销售量的方差都相同
3. 观察值是独立的
▪ 比如，每个超市的销售量都与其他超市的销售量独立
方差分析中的基本假定
1. 在上述假定条件下，判断颜色对销售量是否有显著影 响，实际上也就是检验具有同方差的四个正态总体的 均值是否相等的问题
2. 如果四个总体的均值相等，可以期望四个样本的均值 也会很接近 ▪ 四个样本的均值越接近，我们推断四个总体均值相等的证
（两类方差）
1. 组内方差 ▪ 因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差 ▪ 比如，无色饮料A1在5家超市销售数量的方差 ▪ 组内方差只包含随机误差
2. 组间方差 ▪ 因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差 ▪ 比如，A1、A2、A3、A4四种颜色饮料销售量之间的方差 ▪ 组间方差既包括随机误差，也包括系统误差
提出假设
1. 一般提法
▪ H0: 1 = 2 =…= k (因素有k个水平） ▪ H1: 1 ，2 ，… ，k不全相等
2. 对前面的例子 ▪ H0: 1 = 2 = 3 = 4 • 颜色对销售量没有影响 ▪ H0: 1 ，2 ，3， 4不全相等 • 颜色对销售量有影响
则均值就是不相等的；反之，均值就是相等的 4. 误差是由各部分的误差占总误差的比例来测度
的
方差分析的基本思想和原理
（两类误差）
1. 随机误差 ▪ 在因素的同一水平(同一个总体)下，样本的各观察值之间
的差异
▪ 比如，同一种颜色的饮料在不同超市上的销售量是不同的 ▪ 不同超市销售量的差异可以看成是随机因素的影响，或者
表8-1 该饮料在五家超市的销售情况
超市 无色
粉色
橘黄色
绿色
1
26.5
31.2
27.9
30.8
2
28.7
28.3
25.1
29.6
3
25.1
30.8
28.5
32.4
4
29.1
27.9
24.2
31.7
5
27.2
29.6
26.5
32.8
什么是方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分析?
（例子的进一步分析）
1. 检验饮料的颜色对销售量是否有影响，也就是检验 四种颜色饮料的平均销售量是否相同
据也就越充分
▪ 样本均值越不同，我们推断总体均值不同的证据就越充分
方差分析中基本假定
如果原假设成立，即H0: 1 = 2 = 3 = 4
四种颜色饮料销售的均值都相等 没有系统误差
这意味着每个样本都来自均值为、差为2的同一 正态总体
f(X)
X
1 2 3 4
方差分析中基本假定
如果备择假设成立，即H1: i (i=1，2，3，4)不全相 等 至少有一个总体的均值是不同的 有系统误差
方差分析的基本思想和原理
（方差的比较）
1. 如果不同颜色(水平)对销售量(结果)没有影响，那么在组
间方差中只包含有随机误差，而没有系统误差。这时，组 间方差与组内方差就应该很接近，两个方差的比值就会接 近1
2. 如果不同的水平对结果有影响，在组间方差中除了包含随
机误差外，还会包含有系统误差，这时组间方差就会大于 组内方差，组间方差与组内方差的比值就会大于1
SPSS统计分析 基础教程
北京理工大学珠海学院
什么是方差分析？
什么是方差分析?
(概念要点)
1.检验多个总体均值是否相等
▪ 通过对各观察数据误差来源的分析来判断
多个总体均值是否相等 2.变量
一个定类尺度的自变量 2个或多个 (k 个) 处理水平或分类
一个定距或定比尺度的因变量
什么是方差分析?