对数和对数函数的图像和性质
对数函数的图像与性质详解
解析式
对数函数的图像与性质
y = log a x (0 < a < 1)
y = log a x (a > 1)
图 像
定义域 值域 单调性 奇性 备注
(0, +∞)
例:函数 y = log a x, y = logb x, y = log c x, y = log d x 的图像如图所示，则 a, b, c, d 的大小关系 为 c < d < a < b.
例：函数 的图 b 像如图所示，则的大小关系为c < d < a <。
y = ax , y = bx , y = cx , y = d x
R
在 (0, +∞ ) 上为减函数 非奇非偶
(0, +∞)
R
在 (0, +∞ )上为增函数 非奇非偶
1）函数图像恒过点（1，0），该点将所有对数曲线一分为二，分别位于一、四象限。 ）函数图像恒过点（ ， ），该点将所有对数曲线一分为二，分别位于一、四象限。 ），该点将所有对数曲线一分为二 2）在x轴上方做平行于 轴的线，从左向右看，图像所对应的 值变大。 轴上方做平行于x轴的线 值变大。 ） 轴上方做平行于 轴的线，从左向右看，图像所对应的a值变大
(0, +∞)
在R上为增函数 上为增函数 非奇非偶
R
1）函数图像恒过点（0，1），该点将所有指数曲线一分为二，分别位于一、二象限。 ）函数图像恒过点（ ， ），该点将所有指数曲线一分为二，分别位于一、二象限。 ），该点将所有指数曲线一分为二 2）在y轴右边做平行于 轴的线，从下向上看，图像所对应的 值变大。 轴右边做平行于y轴的线 值变大。 ） 轴右边做平行于 轴的线，从下向上看，图像所对应的a值变大
对数函数的定义与性质
对数函数的定义与性质1. 定义对数函数是指可以将正实数映射到实数集上的函数。
常用的对数函数有自然对数函数和常用对数函数。
自然对数函数以数学常数e为底的对数函数，通常以ln(x)表示，其中x为正实数。
常用对数函数以10为底的对数函数，通常以log(x)表示，其中x为正实数。
2. 性质2.1 对数函数的定义域和值域自然对数函数ln(x)的定义域是正实数集(0, +∞)，值域是实数集(-∞, +∞)。
常用对数函数log(x)的定义域是正实数集(0, +∞)，值域是实数集(-∞, +∞)。
2.2 对数函数的性质（1）对数函数的图像：自然对数函数ln(x)和常用对数函数log(x)的图像都是单调递增的曲线。
（2）基本性质：对数函数具有以下基本性质：•ln(1) = 0，即自然对数函数ln(x)在x=1处的函数值为0。
•ln(e) = 1，即自然对数函数ln(x)在x=e处的函数值为1。
•log(1) = 0，即常用对数函数log(x)在x=1处的函数值为0。
•log(10) = 1，即常用对数函数log(x)在x=10处的函数值为1。
（3）对数函数的性质：对数函数具有以下性质：•ln(x y) = ln(x) + ln(y)，即自然对数函数ln(x y)等于自然对数函数ln(x)和ln(y)的和。
•ln(x/y) = ln(x) - ln(y)，即自然对数函数ln(x/y)等于自然对数函数ln(x)和ln(y)的差。
•ln(x^n) = n * ln(x)，即自然对数函数ln(x^n)等于n乘以自然对数函数ln(x)。
•log(x y) = log(x) + log(y)，即常用对数函数log(x y)等于常用对数函数log(x)和log(y)的和。
•log(x/y) = log(x) - log(y)，即常用对数函数log(x/y)等于常用对数函数log(x)和log(y)的差。
•log(x^n) = n * log(x)，即常用对数函数log(x^n)等于n乘以常用对数函数log(x)。
对数函数的图像与性质PPT教学课件
复习:1.对数函数 y log2 x 的图像与性质,以及与 指数函数 y 2x 的图像与性质之间的关系
2.练习:画出下列函数的图像
(1)y 2x ;
(2)y log 1 x;
2
(3)y (1)x ; 3
(4)y lg x
对数函数 y loga x(a 0,a 1) 分别就其底数a 1和 0 a 1这两种情况的图像和性质
log3 5.3l>o4g.373,此所时1以, l,loogg同a235.理1.3l1olgoagl5o2.g24,.7; log 3 , 所 以
lo当 g(230)因为 alog01.2时3<;,1函,函数数y yloglaoxg在0.2(0x,
) 上是减函数,
是减函数,
此时, loga 3.1 loga 5.2
同学们对学校部分优秀班干
部、三好学生的调查
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
成绩目标
学习时间
服务同学
自我发展
三好生 优秀班干 一般同学
桑兰
她说：“我一直坚信自己
总有一天会站起来的，我
会为此而努力。”如今，
她在坚持康复训练的同时，
不仅在北大新闻传播专业
苦修学业、在“星空卫视”
7<9,所以 log0.2 7 log0.2 9 ;
练习 2:比较下列各组数中两个值的大小：
（1） log 23.4 ， log 28.5
（2）
log
1.8 0.3
，
log
2.7 0.3
（3） log a5.1 ， log a5.9
课堂补充练习: 1、求下列函数的定义域：
(1) y log3 (1 x) (2) y log3 x
对数函数 对数函数的图像和性质
问题 2：函数 y＝log 况及单调性如何？
1 2
x 的定义域、值域、函数值的情
提示：定义域：(0，＋∞)，值域：(－∞，＋∞)， 函数值变化情况：x>1 时，y<0；x＝1 时，y＝0； 0<x<1 时，y>0. 单调性：在(0，＋∞)上是减函数． 问题 3：它们的图像有什么关系？ 提示：关于 x 轴对称．
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像与性质 a＞1 0＜a＜1
图
像
a＞1
0＜a＜1 定义域：(0，＋∞) 值域： R
图像过定点： (1,0)
性 当x＞1时，y ＞ 0， 当x＞1时，y ＜ 0， 质 当0＜x＜1时，y ＜ 0 当0＜x＜1时，y ＞ 0
增区间： (0，＋∞)
奇偶性： 非奇非偶函数
答案：B
[例2]
作出函数y＝lg|x|的图像，并由图像判断其奇
偶性，并求出f(x)>0的解集． [思路点拨] 先去掉绝对值号，画出y轴右边的图像，
再由对称性作出另一部分，最后结合图像求解集．
[精解详析]
lgx， ＝ lg－x，
f(x)＝lg|x| x>0， x<0.
又y＝lgx与y＝lg(－x)关于y轴对称，从而将函数y＝lgx (x>0)的图像对称到y轴的左侧与函数y＝lgx的图像合起来得 函数f(x)的图像，如图所示．由图知：此函数是偶函数， f(x)>0的解集为 (－∞，－1)∪(1，＋∞)．
(3)底不相同，真数也不相同的几个数，可通过特殊值来
对数函数的图像和性质
(3) log a 5.1, log a 5.9(a 0, a 1)
归纳总结
问题. 两个同底数的对数比较大小的 一般步骤：
①确定所要考查的对数函数； ②根据对数底数判断对数函数增减性；
③比较真数大小，然后利用对数函数的
增减性判断两对数值的大小．
试一试
比较下列各题中两个值的大小:
１、 log0.56______log0.5４
２、 log1.51.6______log1.51４.
3、 若 log3m log3n
，则m___n;
4、 若 log0.7m log0.7n ， 则m___n.
试一试
比较下列各题中两个值的大小:
１、 log0.56______log0.5４
式胃，酸说中明氢溶离液子酸的碱浓度度与溶是液2.中5×氢1离0子-2 摩的浓尔度/升， 之胃间酸的的变p化H是关多系；少？
（2）已知纯净水中氢离子的浓度为 [H+]=10-7摩尔/升，计算纯净水的pH．
回顾小结
通过本节的学习，大家对对数函数有哪些认 识？能概括一下吗？
习题２.２ P７４ ７，８ ．１０（做书上）
a＞1
0＜a＜1
图y
y
象 0 (1,0)
x
0 (1,0) x
定义域 : ( 0,+∞)
值域 : R
性
过点(1 ,0), 即当x ＝1时,y＝0
在(0,+∞)上是增函数 当x>1时，y>0
质 当x=1时，y=0
当0<x<1时，y<0
在(0,+∞)上是减函数 当x>1时，y<0 当x=1时，y=0 当0<x<1时，y>0
对数及对数函数的图像与性质(教师版)
第一课时对数及其运算【知识要点】1.对数的定义：如果（a＞0，a≠1），那么b叫做以a为底N的对数，记作2.指数式与对数式的关系：（a＞0，a≠1，N＞0）.两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.3.对数运算公式：如果，，，，那么（1）；；；；（2）（3）（4）（5）（6）换底公式换底公式推论：（1）；（2）；（3）【典题精讲】题型一对数的化简、求值1.．2．注意对数恒等式，对数换底公式及等式在解题中的灵活应用．【例1】(1)若，则=，求(2)设，则__________；(3)计算：解析：(2)由3a＝4b＝36得a＝log336，b＝log436，再根据换底公式得a＝log336＝，b＝log436＝.所以＋＝2log363＋log364＝log36(32×4)＝1.(3)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋1＝3.【变式1】已知，那么用表示是（ A ）A．B．C．D．【变式2】若（ A ）A．B．C．D．【变式3】（1）计算__________.答案：1（2）计算：__________.答案：2【例2】求值【解析】；【变式1】的值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由，故选B.【变式2】已知则=________.【答案】【解析】由得，所以，解得,故答案为.【变式3】设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝_________.【答案】【解析】因为2a＝5b＝m，所以a＝log2m，b＝log5m，所以＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，所以m2＝10，m＝．【变式4】(1)若，则=___________（2）若（3）若___________答案：(1)64(2)(3) 12【变式5】已知，求的值.【解析】或（舍去），.题型二对数换底公式的应用【例2】设，且.（1）求证：；（2）比较的大小。
对数函数的图像与性质
你能口答吗？
变一变还能口答吗？
log10 6 ＜ log10 8 log10 m＜ log10 n 则 m ＜ n
log0.5 6 ＞ log0.5 8 log0.5 m＞ log0.5 n 则 m ＜ n
log2 0.6 ＞ log2
0.8
log2 m ＞ log2 n 则
3
3
m ＜ n
你知道指数与对数的关系吗?
对于每一个给定的y值都有惟一的x的值与 之对应，把y看作自变量，x就是y的函数， 但习惯上仍用x表示自变量，y表示它的 函数：即
y log2 x
这就是本节课要学习的：
（一）对数函数的定义
★ 函数 y = log a x (a>0,且a≠1)叫做对数函数.
其中x是自变量，定义域是(0,＋∞)
对称性：y loga x 和 y log1 x 的图像关于y轴对称. a
例题讲解
例1 求下列函数的定义域
（1） y loga x2 （2）y loga (4 x) 解：（1）因为 x2 0, 即x 0,所以函数 y loga x2的定义域是
（-，0）（0，+）
（2）因为 4-x 0, 即x 4,所以函数 y loga (4 x)
∴函数在区间（0，+∞） 上是增函数；
∵3.4<8.5
∴ log23.4< log28.5
∴ log23.4< log28.5
• 例8：比较下列各组中，两个值的大小： • （1） log23.4与 log28.5 （2） log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7
解2：考察函数y=log 0.3 x , ∵a=0.3< 1, ∴函数在区间（0，+∞）上是减函数； ∵1.8<2.7 ∴ log 0.3 1.8> log 0.3 2.7
对数函数及其性质
04
对数函数的应用
对数函数在数学中的应用
01
02
03
解决方程问题
对数函数在解高次方程或 者复数方程时，可以用来 简化运算过程，提高解题 效率。
数值计算
对于一些需要大量计算的 数学问题，如求指数、阶 乘等，对数函数可以有效 地减少计算量。
统计学
在统计学中，对数函数被 广泛应用于正态分布、泊 松分布等统计模型的计算 和分析中。
函数形式
指数函数一般形如$y=a^x$，对数函数一般形如$y=log_a(x)$。
变化趋势
指数函数当底数大于1时，函数值随着自变量的增加而增加，当底数小于1时，函数值随 着自变量的增加而减少；对数函数当底数大于1时，函数值随着自变量的增加而增加，当 底数小于1时，函数值随着自变量的增加而减少。
对数函数与指数函数的转化关系
对数函数与指数函数的应用场景比较
指数函数
对数函数
描述增长或衰减现象，如人口增长、存款复 利计算等。
在物理学、生物学、化学等自然科学中，描 述物质的扩散、放射性衰变等过程；在社会 科学领域，用于描述人口增长、经济发展等
。
06
对数函数的学习方法与 建议
掌握对数函数的基本概念与性质
总结：对数函数是一种常见的数学函数，具有独特的 性质和重要的应用价值。学习对数函数首先需要掌握 其基本概念和性质，包括对数的定义、对数函数的定 义域、值域、单调性、奇偶性等。
伸缩
对数函数图像也可以沿着x轴和y轴进行伸缩。例如，将函数$y = \log_{a}x$的x 轴伸缩$\lambda$倍得到$y = \log_{a}(\lambda x)$；将函数$y = \log_{a}x$ 的y轴伸缩$\mu$倍得到$y = \log_{a}x\mu$。
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一）指数与指数函数1．根式（1）根式的概念（2）．两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn ；②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。
2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m na a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)mnm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质n 为奇数 n 为偶数注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。
即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。
（二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N a x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
（2）几种常见对数2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1log 0a =，②lo g 1aa =，③lo g Na a N =，④lo g N a aN =。
对数函数的图象与性质
1 x 1
22
原不等式的解集是
1 2
，1 2
变式
log 1 (2x 1) log 1 2
2
2
a
log a (2x 1) log a 2
； 必威电竞 ；
疆虽是鼎鼎有名.孟禄也听过他的名字.但他却不知道左耳朵的为人.也不知道左耳朵在北疆的威望.就如飞红中在北地几样.他只道左耳朵也像明悦几样.只是个 助拳 的人.仗着箭法高明.所以才有名气的.他又恍惚听人说过；左耳朵乃是明悦的族兄.当日明悦来投唐努老英雄.捧的就是 左耳朵的名头.明悦反叛之事他是知道的.他只以为左耳朵给他的族弟拉去.到北地来暗害他们.因此.带着三十多匹马.几路追踪觅迹.而左耳朵又因处处要照顾苏绿儿.不能驱车疾走.竟然给他们追上. 左耳朵几阵愕然.纳兰朗慧忽然揭开车帘.露出脸来.叫道. 你们不要赖他.那两个人是 我杀的. 苏绿儿得啦爱情的滋润.虽在病后.却是眼如秋水.容光照人.她本是旗人中的第几位美人.在这草原蓦然现出色相.颜容映着晚霞.孟禄只觉得几阵光采迫人.眼花综乱.急忙定下心神.再喝问道-你说什么？ 苏绿儿冷笑道. 你听不清楚么？那两个人是本姑娘杀的. 孟禄这时也注意 到啦车帘上绣着的 纳兰 两字.又惊又喜.他起初以为车上只是普通的清军将官的眷属.而今见这个气派.暮然想起久闻满清的伊犁护军苏翠儿.有几个美丽的女儿.文武双全.莫不是她. 孟禄皮鞭几指.笑道-是你杀的也好.不是你杀的也好.你现在是我的俘虏啦.随我回去再说. 苏绿儿又是 几声冷笑.说道-你也想跟那两个人去见阎王吗？他们就是说要捉我做俘虏.才给我用飞刀扎死的. 孟禄指挥手下.就想来捉.左耳朵大叫几声-使不得. 孟禄几鞭打去.喝道-怎么使不得？ 左耳朵夹手将鞭夺过.折为两段.叫道-你们为什么打仗？ 孟禄见左耳朵双目圆睁.威风凛凛.几时倒 不敢迫过来.反问道-你到底是帮谁打仗？ 左耳朵道-我和清兵大小数百仗.从北疆打到北地.可笑你们连为什么要打仗都还不知. 孟禄手下的几个战士怒道. 左耳朵.你以为帮我们打仗.就可以胡说八道吗？我们也打啦这么多年.谁不知道打仗为的就是要把鞑子赶出去. 左耳朵又说道-对 呀.但为什么要把鞑子赶出去呢？难道不是为啦满洲鞑子不把我们当人.抢掠我们的牛羊.侮辱我们的妇女.奴役我们的百姓吗？现在你们要捉这个女子做俘虏.不是也要侮辱她.不把她当人.要把她当奴隶吗？你们不许鞑子那样做.为何你们又要这样做？ 孟禄手下三十多人却答不出来.这 道理他们还是第几次听到.还没办法分出是非.孟禄又喝道-她是我们的对手呀.她还杀死啦我们两个弟兄.为什么不能捉她做奴隶？ 左耳朵道-和你们打仗是满清军队.不是她.在战场你们杀拿刀的鞑子.杀得越多越好.但在这里.你们要侮辱几个空手的女孩.你们不害臊吗？她杀死那两个 人.就是因为他们要欺负她.她才迫得自卫.我说.错的不是她.是你们. 孟禄的手下都知道左耳朵是个抗清的英雄.虽然孟禄怀疑他反叛.率他们来追.可是在还没有得到确切证据之前.他们到底对左耳朵还有多少敬意.这时左耳朵理直气壮的这么几说.又似乎颇有道理.但捉俘虏做奴隶之事. 是部落民族几千年传下来的习惯.这习惯已深入人心.因此又似乎觉得左耳朵是在强辩. 孟禄是个心高气傲的人.他也曾有意于飘韵.可是飘韵不理睬他.推选盟主那晚.他不参加.几来是有心病.二来也是因为不服飘韵.左耳朵说完之后.他瞧啦苏绿儿几眼.大声喝道-左耳朵.我问你为什么 要保护她.你说你不是反贼.是大英雄.那么我们的大英雄为什么要替几个对手女儿驾车.做起马车夫来啦.哈.哈. 左耳朵气得身子颤抖.孟禄又大声叫道-弟兄们.你看；这就是大英雄左耳朵的行径.你们知道这个女子是谁吗？她就是满清的伊犁护军苏翠儿的女儿.哼.左耳朵如不是早和他 们有勾结.为何处处要维护她.甚至别人打仗.他却去替苏翠儿的女儿驾车.把他们两个都捆起来吧.弟兄们. 孟禄几番话好像将油泼在人上；他的部下果然受啦煽动.轰然嘈杂起来.刀抢齐举.竟围上来.苏绿儿摸出飞刀.左耳朵急叫这-使不得. 苏绿儿的第几口飞刀已经出手.银光电射.对 准孟禄的心窝飞去.左耳朵疾忙几展身形.将那口飞刀截住.那时.飞刀离孟禄的心窝不到三寸.孟禄慌张中几下劈下来.左耳朵几矮身躯.在他刀锋下钻过.叫道-明慧.你躲进去. 苏绿儿给他几喝.飞刀是不放啦.可是却不肯躲进去.她要看左耳朵打架呢. 孟禄毫不领情.马刀又再砍到.他的 手下也纷纷扑啦上来.还分啦七八个人去捉苏绿儿.左耳朵暗叫 不好. 心想这事不能善休；猛然展开轻灵迅捷的身法. 在刀枪缝中.钻来钻去.举手投足之间.把三十多条大汉都点啦穴道；连孟禄也在内.或作势前扑.或举刀欲砍.都是个个动弹不得.好像着啦定身法几样.定在那儿.苏绿儿 在车上纵声娇笑.左耳朵却有苦说不出来.这真是误会加上误会.不知如何才能收场. 猛然间.苏绿儿高声叫道-清兵来啦. 左耳朵跳上车顶几看.果然远处尘头大起.左耳朵急忙跳下.高声叫道-你们赶快走吧.清兵势大.让我在这里给你们抵挡几阵. 说罢又像穿花蝴蝶几般.在人群中穿来插 去.片刻之后.又给那些人解开啦穴道.孟禄冷笑道-我不领你的情、跨上马背；带啦队伍.径自驰去. 左耳朵拔出短箭.准备清兵几到.将纳兰小姐的身份说明.自己马上突围.去找飘韵解释.正盘算间.那队清兵已杀啦过来.前头跑出两个人.左耳朵起初还以为是清军的军官.近处几看.始知 不是.清军在后面放箭.这两人挥箭拔打.时不时还回身厮杀几阵.又再奔逃. 清军越来越近.左耳朵已看得分明.这两人是几男几女.男的三十多岁.儒生打扮.武功极高.女的二十来岁.身手也是不弱.左耳朵心中大喜.这女的自己不认得.男的却是自己的好友.蓬莱派的名宿明鑫.据师父说. 他也是因为中原糜烂.方万里投荒.隐身漠外的.师父还说.他内功精湛.年近六旬.看来还像三十余岁.左耳朵在天山时.曾屡次见过他.他并不以长辈自居.硬要左耳朵以兄弟相称.左耳朵当然不敢.后来才知道.他本来要拜晦明禅师之门的.晦明禅师因他早已是几派大师.不愿居为尊长.因此 明鑫和晦明禅师的交情是近乎师友之间.而明鑫和左耳朵的交情也是介乎师友之间. 左耳朵几见明鑫被清兵追赶.舞起短箭.便迎上去.明鑫这时也认出啦左耳朵.大喜叫道-老弟.你和她敌住后头那四条兔息.我去杀散清兵. 几回身.就向对手冲去.左耳朵抬头几看.只见那队清兵.由四名军 官带领.为首那人竟是以前在戈壁中和明悦合斗自己的纽枯庐.这时忽然听得背后纳兰小姐叫啦几声.纽枯庐面前有异色.左耳朵无暇追问.龙形飞步.箭随身走.几缕青光.刷的向纽枯庐刺去. 第16章 朵朵说亲 纽枯庐举丧门挫几挡.左耳朵闪身直进.短箭疾如风卷. 喀嚓 几声.把纽枯庐几 个同伴的兵器削掉.旋身几掌.又把另几名军官震出数丈以外.第三名军官手使丈二长枪.重七十二斤.奋力几挑.猛的撅来.左耳朵避开枪尖.左手疾伸.几把掳着枪杆.喝道-倒. 不料那军官是清军中出名的大力士.虽给左耳朵扯得跄跄踉踉.直跌过来.却井未倒下.犹在挣扎.尚想支撑.纽枯 庐乘势疾审过来.丧门挫几招 仙姑送子 .直扎左耳朵的 分水穴 .左掌更运足力气.猛劈左耳朵右肩.左耳朵大喝几声.长枪猛的往前几送.那名军官禁不住左耳朵的神力.惨叫几声.虎口流血.给自己的长枪撞出数丈以外.登时晕在地上.说时迟.那时快.左耳朵口身几箭把丧门挫撩上半天. 反手几掌又迎个正着.纽枯庐在关外号称 铁掌 .竟吃不住左耳朵掌力.身子像断线风筝几般震得腾起三丈多高.倒翻出去.幸他武功也有相当造诣.在半空中几个跟头.落在乱军之中.抢路飞逃. 这时明鑫和那个女孩仗箭扑入清军之中.双箭纵横插霍.把清兵杀得鬼哭神嚎.如汤泼雪.死的死. 伤的伤.逃的逃.几大队清兵霎时消散.草原上又只剩下左耳朵等四名男女. 明鑫道-云聪.想不到你功力如此精进. 左耳朵道-还望师叔教诲. 明鑫望望车上的苏绿儿.颇感惊讶.左耳朵生怕他滋生误会.急忙说道. 她单身几人.离群散失.流浪大漠.我想把她送回去. 明鑫道-应该.说来凑巧. 你送人我也送人. 说罢替左耳朵介绍道-这位姑娘是我故人的女儿.名唤何绿华.我要把她送回关内.日后你若见她.还托你多多照应. 说罢把手几举.与左耳朵匆匆道别.各自赶路.左耳朵看明鑫眉目之间似有隐忧.而且以他和自己的两代交情.若在平日.几定不肯就这样匆勿道别.纵算在百 忙之中.也会几叙契阔.而现在他却连师父也不提起就走啦.这可真是怪事.他想不透像明鑫武功那样高的人.还有什么忧惧.他却不知明鑫此次匆忙赶路.乃是怕修啵儿来找他的晦气. 明鑫与修啵儿之事暂且不提.且说左耳朵与苏绿儿再走啦几日.到啦伊犁城外.这时苏绿儿已完全康复.轻 掠云鬓.对左耳朵笑道-你入城不方便啦.晚上我和你用夜行术回去吧.这辆马车.不要它啦. 左耳朵心如辘轳.有卸下重担之感.也有骤伤离别之悲.半晌说道-你自己回去吧.我走啦.你多多保重. 苏绿儿几把将他拉住.娇笑道-你不要走.我不准你走.你几定要陪我回去.你不用害怕.我们的 护军府很大.你不会见着我的爸爸的.我有几个妈妈.对我非常之好.她住在府里东边头的几个院子里.独自占有三间屋子呢.委屈你几下.我带你见她.要她认你做远房侄子.你不要乱走动几包没有人看破. 左耳朵摇摇头道-不行.我还要去找土著人. 苏绿儿沉着脸道-还有飘韵是不是？ 左 耳朵正色说道-是的.我为什么不能找她？我要知道她们南僵各族打完仗后.现在在什么地方.是怎么个情景？ 苏绿儿又伸伸舌头笑道-大爷.几句活就把你招恼啦是不是？ 谁说你不该去找飘韵呢.只是大战之后.荒漠之中.是那么容易找吗？不如暂住在我这儿.我父亲的消息灵通.各地都 有军书给他.他几定会知道北地各族在什么地方的.我给你打探.把军情都告诉你.到你知道你的飘韵下落时.再去找她也不为迟呀. 左耳朵 呸 啦几声.但随即想到.她说得也有道理.就趁这个机会.探探对手的情形也好. 那晚苏绿儿果然带他悄悄进入府中.找到奶妈.几说之下.把奶妈吓得 什么似的.但这个奶妈庞爱明慧.有如亲生.禁不住她的苦苦哀求.终于答应啦.但奶妈也有条件.要左耳朵只能在三间屋内走动.左耳朵也答应啦.第二天几早.苏绿儿又悄悄溜出城外.驾着马车回来.她见啦父亲之后.谎说是从乱军中逃出来的.苏翠儿几向知道他女儿的武功.果然不起疑心. 几晃又过啦半月.苏绿儿还没有探听出飘韵和她族人的下
对数与对数知识点
对数与对数知识点在数学的广阔天地中，对数是一个十分重要的概念。
它就像一把神奇的钥匙，能够帮助我们解决许多复杂的数学问题。
接下来，让我们一起深入探索对数的世界。
一、什么是对数简单来说，对数就是一种表示数的方法。
假设我们有一个等式 a^b ＝ N（其中 a 是底数，b 是指数，N 是幂），那么 b 就叫做以 a 为底 N 的对数，记作logₐN。
例如，2³＝ 8，那么 3 就是以 2 为底 8 的对数，记作 log₂8 ＝ 3。
对数的出现，其实是为了简化计算。
在没有对数的概念之前，计算一些复杂的乘除幂运算可能会非常繁琐，而对数的引入大大降低了计算的难度。
二、对数的性质1、对数的零和负数无意义因为对数是指数的逆运算，而任何数的任何次幂都不可能为零或负数，所以对数中的真数（也就是幂的值）必须大于零。
2、logₐa ＝ 1因为 a^1 ＝ a，所以logₐa ＝ 1。
3、logₐ1 ＝ 0因为 a^0 ＝ 1，所以logₐ1 ＝ 0。
4、logₐ(M × N) ＝logₐM ＋logₐN这一性质可以通过指数运算的规律推导出来。
假设logₐM ＝ p，logₐN ＝ q，那么 a^p ＝ M，a^q ＝ N，所以 M × N ＝ a^p × a^q ＝ a^（p ＋ q)，从而得出logₐ(M × N) ＝ p ＋ q ＝logₐM ＋logₐN。
5、logₐ(M ／ N) ＝logₐM logₐN同样可以通过指数运算来推导。
6、logₐM^n ＝n logₐM假设logₐM ＝ p，那么 M ＝ a^p，所以 M^n ＝（a^p)＾n ＝ a^（pn)，从而得出logₐM^n ＝ pn ＝n logₐM。
三、常用对数和自然对数在实际应用中，有两种常见的对数：常用对数和自然对数。
常用对数是以 10 为底的对数，记作 lg N。
例如，lg 100 ＝ 2。
自然对数是以无理数 e（约等于 271828）为底的对数，记作 ln N。
对数函数的图像和性质
对数函数的图像和性质数学中，对数函数是一种常见的函数形式，它与幂函数相对应。
对数函数常见的几种形式有自然对数函数、常用对数函数以及其他底数对数函数。
本文将对对数函数的图像和性质进行讨论。
一、自然对数函数自然对数函数以e（自然对数的底数，约等于2.71828）为底，表示为ln(x)。
自然对数函数的图像在x轴的正半轴上是递增的，且在x=1处取得唯一的定义值ln(1)=0。
随着x的增大，自然对数函数的值也逐渐增大，但增速递减。
自然对数函数的图像呈现出一个典型的曲线形状，其开口朝上，且在x轴上方无穷远处渐近于y=0。
自然对数函数有许多重要性质。
首先，ln(a*b) = ln(a) + ln(b)，即自然对数函数的乘法转换为加法；ln(a/b) = ln(a) - ln(b)，即自然对数函数的除法转换为减法。
其次，ln(a^n) = nln(a)，即自然对数函数的幂运算转换为乘法。
再次，自然对数函数是唯一一个在自身定义域内有连续的导数的对数函数。
二、常用对数函数常用对数函数以10为底，表示为log(x)。
常用对数函数与自然对数函数非常相似，其图像在x轴的正半轴上也是递增的，并在x=1处取得唯一的定义值log(1)=0。
常用对数函数的图像也呈现出一个典型的曲线形状，其开口朝上，且在x轴上方无穷远处渐近于y=0。
与自然对数函数类似，常用对数函数也具有一些重要性质。
例如，log(a*b) = log(a) + log(b)，log(a/b) = log(a) - log(b)，log(a^n) = nlog(a)等。
常用对数函数与自然对数函数之间存在一个换底公式，即log(x) =ln(x)/ln(10)。
三、其他底数对数函数除了自然对数函数和常用对数函数，还存在其他底数对数函数。
这些函数以不同的底数表示，例如以2为底的对数函数log2(x)、以3为底的对数函数log3(x)等等。
这些函数的图像形状与自然对数函数和常用对数函数类似，但具体形状会有一定的变化。
对数函数的图像和性质课件
(1)求 a 的值；
(2)试说明 f(x)在区间(1，＋∞)内单调递增；
(3)若对于区间[3,4]上的每一个 x 值，不等式
f(x)＞(12)x＋m 恒成立，求实数 m 的取值范围．
又∵对任意x∈[3，4]时，gx＞m， 即log12xx＋－11－12x＞m恒成立， ∴m＜－98，即所求m的取 值范围是(－∞，－98).12 分
3分类讨论当a＞1时,函数y＝logax在定义域 上是增函数,则有logaπ＞loga3.141； 当0＜a＜1时,函数y＝logax在定义域上是减
函数,则有logaπ＜loga3.141.
综上所得,当a＞1时,logaπ＞loga3.141； 当0＜a＜1时,logaπ＜loga3.141.
题型二 对数函数的图像
5．3 对数函数的图像和性质
学习目标
学习导航
重点难点
重点：对数函数y＝logax的图像性质．
难点：对数函数图像的变化及应用,指数函 数与对数函数之间的关系．
新 知 初 探 ·思 维 启 动
对数函数的图像和性质
研究对数函数y＝logaxa＞0且a≠1的图像
和性质,底数要分为_________和______a_＞__1两种
变式训练 1．比较下列各组中两个值的大小； 1log31.9,log32； 2log23,log0.32； 3logaπ,loga3.141.
解：1单调性法因为y＝log3x在0,＋∞上是增
函数,所以log31.9＜log32.
2中间量法因为log23＞log21＝0,log0.32＜0, 所以log23＞log0.32.
3．求下列函数的单调区间．
1y＝log0.3x2－2x－8； 2y＝log0.4x2－2log0.4x＋2. 解：1令t＝x2－2x－8,则y＝log0.3t在0,＋∞
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质
指数函数.对数函数.幂函数的图像与性质（一）指数与指数函数1．根式（1）根式的概念（2）．两个主要公式 ①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a a nn; ②a a n n =)(（留意a 必须使n a 有意义）. 2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念①正数的正分数指数幂:0,,1)m na a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)mnm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化,平日运用分数指数幂进行根式的运算.（2）有理数指数幂的性质 ①aras=ar+s(a>0,r.s∈Q);n 为奇数n 为偶数②(ar)s=ars(a>0,r.s∈Q);③(ab)r=arbs(a>0,b>0,r∈Q);. 3．指数函数的图象与性质y=ax a>1 0<a<1 图象界说域R值域（0,+∞）性质（1）过定点（0,1）（2）当x>0时,y>1; x<0时,0<y<1 (2) 当x>0时,0<y<1; x<0时, y>1(3)在（-∞,+∞）上是增函数（3）在（-∞,+∞）上是减函数注：如图所示,是指数函数（1）y=ax,（2）y=bx,（3）,y=cx （4）,y=dx的图象,若何肯定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？提醒：在图中作直线x=1,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b.即无论在轴的左侧照样右侧,底数按逆时针偏向变大.（二）对数与对数函数1.对数的概念（1）对数的界说假如(01)xa N a a=>≠且,那么数x叫做认为a底,N的对数,记作log Nax=,个中a叫做对数的底数,N叫做真数.（2）几种罕有对数对数情势 特色记法一般对数 底数为a 0,1a a >≠且 log N a经常运用对数 底数为10 lg N天然对数底数为eln N2.对数的性质与运算轨则 （1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1log 0a=,②log 1aa =,③log Na a N =,④log Na aN =.（2）对数的主要公式：①换底公式：log log (,1,0)log N Na b baa b N =>均为大于零且不等于; ②1log log b a ab=. （3）对数的运算轨则：假如0,1a a >≠且,0,0M N >>那么 ①N M MN a a a log log )(log +=; ②N M NMa a alog log log -=; ③)(log log R n M n M a n a ∈=; ④b mnb a n a mlog log =. 3.对数函数的图象与性质图象1a >01a <<性质 （1）界说域：（0,+∞）（2）值域：R注：肯定图中各函数的底数a,b,c,d与1的大小关系提醒：作一向线y=1,该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们响应的底数.∴0<c<d<1<a<b.4.反函数指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.（三）幂函数1.幂函数的界说形如y=xα（a∈R）的函数称为幂函数,个中x是自变量,α为常数注：幂函数与指数函数有本质差别在于自变量的地位不合,幂函数的自变量在底数地位,而指数函数的自变量在指数地位.2.幂函数的图象注：在上图第一象限中若何肯定y=x3,y=x2,y=x,12=,y=x-1办法：y x可画出x=x0;当x0>1时,按交点的高下,从高到低依次为y=x3,y=x2, y=x,12=,y xy=x-1;当0<x0<1时,按交点的高下,从高到低依次为y=x-1,12=,y=x,y xy=x2,y=x3.3.幂函数的性质y=x y=x2y=x312y x =y=x-1界说域 R R R [0,+∞） {}|0x x R x ∈≠且值域 R [0,+∞） R [0,+∞） {}|0y y R y ∈≠且奇偶性 奇 偶奇 非奇非偶 奇单调性增x ∈[0,+∞）时,增; x ∈(,0]-∞时,减增增x ∈(0,+∞)时,减; x ∈(-∞,0)时,减定点（1,1）三：例题诠释,触类旁通常识点1：指数幂的化简与求值 例1.(2007育才A)（1）盘算：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---;（2）化简：5332332323323134)2(248aa a a ab aaab b ba a ⋅⋅⨯-÷++--变式：（2007执信A ）化简下列各式（个中各字母均为正数）:（1）;)(65312121132ba ba b a ⋅⋅⋅⋅--（2）.)4()3(6521332121231----⋅÷-⋅⋅b a b a b a(3)1200.2563433721.5()82(23)()63-⨯-+常识点2：指数函数的图象及运用例2.(2009广附A)已知实数a.b 知足等式b a )31()21(=,下列五个关系式：①0＜b ＜a;②a＜b ＜0;③0＜a ＜b;④b＜a ＜0;⑤a=b.个中不成能成立的关系式有 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个变式：（2010华附A ）若直线a y 2=与函数 0(|1|>-=a a y x 且)1≠a 的图象有两个公共点,则a 的取值规模是_______. 常识点3：指数函数的性质例3.（2010省实B ）已知界说域为R 的函数12()22x x b f x +-+=+是奇函数.（Ⅰ）求b 的值;（Ⅱ）断定函数()f x 的单调性;（Ⅲ）若对随意率性的t R ∈,不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立,求k 的取值规模．变式：（2010东莞B ）设a ＞0,f(x)=x x aa ee +是R 上的偶函数.（1）求a 的值;（2）求证：f(x)在（0,+∞）上是增函数.常识点4：对数式的化简与求值 例4.（2010云浮A ）盘算：（1）)32(log 32-+（2）2(lg2)2+lg2·lg5+12lg )2(lg 2+-;（3）21lg 4932-34lg 8+lg 245.变式：（2010惠州A ）化简求值.（1）log2487+log212-21log242-1;（2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25;（3）(log32+log92)·(log43+log83).常识点5：对数函数的性质例5.（2011深圳A ）对于01a <<,给出下列四个不等式： ①1log (1)log ();a a a a a +<+②1log (1)log (1)a a a a+>+; ③111;aaaa++<④111;aaaa++>个中成立的是（）（A ）①与③（B ）①与④（C ）②与③（D ）②与④变式：（2011韶关A ）已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1,则loga bb b b a1log ,log ,1的大小关系是 （ ）bb b b a 1log log 1<< B.b b b b a a 1log 1log log <<C.b b b a b a 1log 1log log << D.b b b a a b log 1log 1log <<例6.（2010广州B ）已知函数f(x)=logax(a ＞0,a≠1),假如对于随意率性x∈［3,+∞）都有|f(x)|≥1成立,试求a 的取值规模.变式：（2010广雅B ）已知函数f （x ）=log2(x2-ax-a)在区间（-∞,1-3］上是单调递减函数.求实数a 的取值规模.常识点6：幂函数的图象及运用 例7.(2009佛山B)已知点(22)，在幂函数()f x 的图象上,点124⎛⎫- ⎪⎝⎭，,在幂函数()g x 的图象上．问当x 为何值时有：（１）()()f x g x >;（２）()()f x g x =;（３）()()f x g x <．变式：（2009揭阳B ）已知幂函数f(x)=x 322--m m （m∈Z）为偶函数,且在区间（0,+∞）上是单调减函数.（1）求函数f(x);（2）评论辩论F （x ）=a）（）（x xf bx f -的奇偶性.四：偏向猜测.成功在望 1．（A ）函数41lg)(--=x xx f 的界说域为（ ） A ．(1,4)B ．[1,4)C ．(－∞,1)∪(4,＋∞) D．(－∞,1]∪(4,＋∞)2.（A ）以下四个数中的最大者是（ ）(A) (ln2)2(B) ln(ln2)(C) ln 2(D) ln23（B ）设a>1,函数f(x)=logax 在区间［a,2a ］上的最大值与最小值之差为,21则a=( )(A)2 （B ）2 （C ）22 （D ）44.（A ）已知()f x 是周期为2的奇函数,当01x <<时,()lg .f x x =设63(),(),52a fb f ==5(),2c f =则（ ）（A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a <<（D ）c a b <<5.（B ）设f(x)= 1232,2,log (1),2,x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩则不等式f(x)>2的解集为（ ）(A)（1,2）⋃（3,+∞） (B)（10,+∞）(C)（1,2）⋃（10,+∞）(D)（1,2）6．（A ）设2log 3P =,3log 2Q =,23log (log 2)R =,则（ ） Ａ．R Q P <<Ｂ．P R Q <<Ｃ．Q R P <<Ｄ．R P Q << 7．(A)已知c a b 212121log log log <<,则( )A ．c a b 222>>B ．c b a 222>>C ．a b c 222>>D ．b a c 222>> 8．（B ）下列函数中既是奇函数,又是区间[]1,1-上单调递减的是（ ）（A ）()sin f x x = (B) ()1f x x =-+(C) 1()()2x x f x a a -=+ (D)2()2xf x lnx-=+ 9.（A）函数y =的界说域是：（）A [1,)+∞B 23(,)+∞C 23[,1]D 23(,1]10.(A)已知函数kx y x y ==与41log 的图象有公共点A,且点A 的横坐标为2,则k （ ）A ．41- B ．41 C ．21- D ．21 11．（B ）若函数的图象经过第二且)10(1)(≠>-+=a a b a x f x .三.四象限,则必定有（ ）A ．010><<b a 且B ．01>>b a 且C ．010<<<b a 且D ．01<>b a 且12．(B)若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍,则a=（ ） A.42B.22C. 41D.21 13.(A)已知0＜x ＜y ＜a ＜1,则有（ ）（A ）0)(log <xy a （B ）1)(log 0<<xy a （C ）2)(log 1<<xy a （D ）2)(log >xy a14.（A ）已知x x f 26log )(=,那么)8(f 等于（ ） （A ）34（B ）8（C ）18（D ）21 15．（B ）函数y ＝lg|x| （ ）A ．是偶函数,在区间(－∞,0)上单调递增B ．是偶函数,在区间(－∞,0)上单调递减C ．是奇函数,在区间(0,＋∞)上单调递增D ．是奇函数,在区间(0,＋∞)上单调递减 16.（A ）函数3)4lg(--=x x y 的界说域是____________________________. 17．（B ）函数1(01)x y a a a -=>≠，的图象恒过定点A ,若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上,则11m n+的最小值为 ． 18．（A ）设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩ 则1(())2g g =__________19．（B ）若函数f(x) = 1222--+a ax x 的界说域为R,则a 的取值规模为___________.20．(B)若函数)2(log )(22a a x x x f ++=是奇函数,则a=． 21.(B)已知函数xxx x f -+-=11log 1)(2,求函数)(x f 的界说域,并评论辩论它的奇偶性和单调性. 参考答案：三：例题诠释,触类旁通 例1. 解：（1）92,（2）2a变式：解：（1）1, （2）.4514545)(45)2323212331361abab ab b a b a b a -=⋅-=⋅-=÷-=----- (3)110例2. 解：B变式：解：)21,0(;例3. 解：（Ⅰ）1=b （Ⅱ）减函数. （Ⅲ）31-<k 变式：解：（1）a=1.（2）略例4. 解：（1）-1.（2）1.（3）21.变式：解：(1).232log 221log 242481272322-===⨯⨯⨯-（2）2.（3）45 例5. 解：选D. 变式：解： C例6. 解：(1,3］∪［31,1）变式：解：{a|2-23≤a＜2}例7. 解：（1）当1x >或1x <-时,()()f x g x >; （2）当1x =±时,()()f x g x =;（3）当11x -<<且0x ≠时,()()f x g x <． 变式：解：（1）f(x)=x-4. （2）F （x ）=32bx x a -, ∴F（-x ）=2x a +bx3.①当a≠0,且b≠0时,F （x ）为非奇非偶函数;②当a=0,b≠0时,F （x ）为奇函数; ③当a≠0,b=0时,F （x ）为偶函数;④当a=0,b=0时,F （x ）既是奇函数,又是偶函数. 四：偏向猜测.成功在望1—5 ADDDC; 6—10 AADDA; 11—15 CADDB. 16. (-, 3)(3,4) 17. 4 18.2119.[-1,0] 20.2221．[解]x 须知足,11011,0110<<->-+⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠x x x x x x 得由 所以函数)(x f 的界说域为（－1,0）∪（0,1）. 因为函数)(x f 的界说域关于原点对称,且对界说域内的随意率性x,有)()11log 1(11log 1)(22x f x x x x x x x f -=-+--=+---=-,所所以)(x f 奇函数. 研讨)(x f 在（0,1）内的单调性,任取x1.x2∈（0,1）,且设x1<x2 ,则 得)()(21x f x f ->0,即)(x f 在（0,1）内单调递减, 因为)(x f 是奇函数,所以)(x f 在（－1,0）内单调递减.。
对数、对数函数的图像与性质
第16节 对数、对数函数的图像与性质一、知识梳理（1）对数的定义：如果(0,1)b a N a a =>≠，那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作a b log N =；指数式与对数式的互化：log b a a N N b =⇔=；a a N =(0,1,0)a a N >≠>； 对数运算性质：①log ()log log a a a MN M N =+；②log log log aa a M M N N =-； ③log log n a a M n M =；④对数换底公式： log log log ab a N N b =， 1log log a b b a =，log log n m a a m b b n =。
其中0,0,0,1,0,1M N a a b b >>>≠>≠。
（2）对数函数的定义：函数log (0,1)a y x a a =>≠叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0,)+∞；图像：略；对数函数的性质:定义域(0,)+∞,值域R ,过定点(1,0)，单调性：当时，在(0,)+∞上是增函数；当时，在(0,)+∞上是减函数。
对数函数log a y x=与函数x y a =互为反函数。
底数互为倒数的两个对数函数的图像关于x 轴对称。
二、基础练习1． 1。
2。
3． 2a b a+-（用含有a b 、的代数式表示）。
4． 5[1,)3。
5(4,)+∞。
6． 32,23。
7． (1)1b a b b =>-。
8． 124。
9． ()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 。
10． 1[,1)2。
11 3。
13．D14．B15．D16．D17． 解得6,8a b ==，从而10c =。
18．解：由24043001a a a a a ⎧->⎪->⇒⎨⎪>≠⎩且314a <<或14a <<。
log函数的知识点和公式
log函数的知识点和公式1.对数函数的定义对数函数的定义是指数函数的逆函数。
对于任意正实数a、b(a>0,a≠1)，我们有：y = logₐb ⇔ a^y = b其中，a称为底数，b称为真数，y称为对数。
2.常用对数函数和自然对数函数3.对数函数的特性- 对于任意正实数a，logₐ(1) = 0，因为a^0 = 1- 对于任意正实数a，logₐ(a) = 1，因为a^1 = a。
- 对于任意正实数a和b (a>0, a≠1)，logₐ(a^x) = x，其中x是任意实数。
- 对于任意正实数a和b (a>0, a≠1)，a^(logₐ(b)) = b。
- 对于任意正实数a (a>0, a≠1)和b (b>0, b≠1)，logₐ(x * y) = logₐ(x) + logₐ(y)，其中x和y是任意正实数。
- 对于任意正实数a (a>0, a≠1)和b (b>0, b≠1)，logₐ(x / y) = logₐ(x) - logₐ(y)，其中x和y是任意正实数。
- 对于任意正实数a (a>0, a≠1)和b>0，logₐ(x^b) = b * logₐ(x)，其中x是任意正实数。
4.对数函数的图像和性质对数函数的图像通常为左开右单调增的曲线。
当x>1时，对数函数呈现出单调增长趋势；当0<x<1时，对数函数呈现出单调减少的趋势。
5.常用对数函数和自然对数函数的换底公式- 换底公式1：logₐ(b) = log(c, b) / log(c, a)，其中a、b、c是任意正实数(a, b, c>0, a≠1, b≠1)。
- 换底公式2：logₐ(b) = ln(b) / ln(a)，其中a是任意正实数(a>0, a≠1)，b是任意正实数 (b>0)。
6.对数函数的常用性质- log(a^b) = b * log(a)- log(a*b) = log(a) + log(b)- log(a/b) = log(a) - log(b)- log(1) = 0- log(10) = 17.对数函数的应用对数函数在许多领域有广泛的应用，包括：-统计学中，通过使用对数函数，可以将一些数据转换为更易于处理的形式。
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精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号: 11gz2sx012619学员编号：gzlfx677 年 级：高一 课时数及课时进度：3 （24/30） 学员姓名：耿开睿 辅导科目：数学 学科教师：彭文俊 学科组长/带头人签名及日期课 题对数和对数函数的图像和性质授课时间：2012-1-1备课时间： 2011-12-28教学目标1.知识目标： 在指数函数及反函数概念的基础上，使学生掌握对数函数的概念，能正确描绘对数函数的图像，掌握对数函数的性质，并初步应用性质解决简单问题。
2.能力目标：培养学生观察能力、逻辑思维能力，发展学生探究和解决问题的能力，并渗透数形结合、分类讨论等数学思想，提高学生的应用意识和创新能力。
通过对数函数的学习，树立相互联系，相互转化的观点，渗透数形结合，分类讨论的思想．3.情感目标：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣，对学生进行对称美、抽象美等重点、难点 理解对数函数的定义，掌握对数函数图像和性质考点及考试要求由对数函数与指数函数互为反函数的关系，利用指数函数图像和性质得到对数函数的图像和性质教学内容知识点一 对数与对数函数知识点二 对数函数的定义注意点：①以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg②以无理数)71828.2( e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln③真数N 为正数（负数和零无对数）④01log =a ；1log =a a⑤对数运算时，尽量转化为同底对数⑥()()M N M N M N a a a a log log log log +=∙≠+知识点三 指数函数与对数函数的性质与图像指数函数()0,1x y a a a =>≠对数数函数()log 0,1a y x a a =>≠定义域 x R ∈()0,x ∈+∞值域()0,y ∈+∞y R ∈图象性质过定点(0,1)过定点(1,0)减函数增函数减函数增函数(,0)(1,)(0,)(0,1)x y x y ∈-∞∈+∞∈+∞∈时，时，(,0)(0,1)(0,)(1,)x y x y ∈-∞∈∈+∞∈+∞时，时， (0,1)(0,)(1,)(,0)x y x y ∈∈+∞∈+∞∈-∞时，时，(0,1)(,0)(1,)(0,)x y x y ∈∈-∞∈+∞∈+∞时，时，a b <a b >a b <a b >二、例题精讲例1 设函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 011)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 011)＝________.解析：∵f (x 1x 2…x 2 011)＝f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x 2 011)＝8，∴f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 011)＝2[f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x 2 011)]＝2×8＝16.答案：16例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x(x ≥2)，f (x ＋2) (x ＜2)，则f (log 23)＝________.解析：∵1＜log 23＜2， ∴log 23＋2＞2∴f (log 23)＝f (log 23＋2)＝f (log 212) ＝2log 212＝12.例3求值：lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27.解：解法一：原式＝lg 3＋45lg 3＋910lg 3－12lg 341g 3－3lg 3＝⎝⎛⎭⎫1＋45＋910－12lg 3(4－3)lg 3＝115.解法二：原式＝lg (3×925×2712×35×3－12)lg 8127＝lg 3115lg 3＝115.例4 若函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M .当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最值及相应的x的值．解：y ＝lg(3－4x ＋x 2)，∴3－4x ＋x 2＞0， 解得x ＜1或x ＞3，∴M ＝{x |x ＜1，或x ＞3}， f (x )＝2x ＋2－3×4x ＝4×2x －3×(2x )2.令2x ＝t ，∵x ＜1或x ＞3，∴t ＞8或0＜t ＜2. ∴f (t )＝4t －3t 2＝－3⎝⎛⎭⎫t －232＋43(t ＞8或0＜t ＜2)． 由二次函数性质可知： 当0＜t ＜2时，f (t )∈⎝⎛⎦⎤0，43，当t ＞8时，f (t )∈(－∞，－160)，当2x ＝t ＝23，即x ＝log 2 23时，f (x )max ＝43.综上可知：当x ＝log 2 23时，f (x )取到最大值为43，无最小值．三、课中练习 1．3log 9log 28的值是（ ） A ．32 B ．1 C ．23 D ．22．若log 2)](log [log log )](log [log log )](log [log 55153313221z y x ===0，则x 、y 、z 的大小关系是（ ） A ．z ＜x ＜y B ．x ＜y ＜z C ．y ＜z ＜xD ．z ＜y ＜x3．已知x =2+1,则lo g 4(x 3－x －6)等于（ ）A.23 B.45C.0D.214．已知lg2=a ，lg3=b ，则15lg 12lg 等于（ ） A ．ba ba +++12B ．ba ba +++12C ．ba ba +-+12D ．ba ba +-+125．已知2 lg(x －2y )=lg x ＋lg y ，则y x 的值为 ( ）A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．4 或6.函数y =)12(log 21-x 的定义域为（ ）A ．(21，＋∞) B ．［1，＋∞)C ．(21，1] D ．(－∞，1)7．已知函数y =log 21 (ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＞ 1 B ．0≤a ＜ 1 C ．0＜a ＜1D ．0≤a ≤1 8.已知f (e x )=x ，则f (5)等于（ ）A ．e 5 B ．5eC ．ln5D ．log 5e9．若1()log (01),(2)1,()a f x x a a f f x -=>≠<且且则的图像是（ ）A B C D10．若22log ()y x ax a =---在区间(,13)-∞-上是增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．[223,2]-B ．)223,2⎡-⎣C ．(223,2⎤-⎦D ．()223,2-11．已知m ＞1，试比较(lg m )0.9与(lg m )0.8的大小 ．O xyO xyO xyO xy12．函数y =(log 41x )2－log 41x 2＋5 在 2≤x ≤4时的值域为 ．13．已知y =log a (2－ax )在区间{0，1}上是x 的减函数，求a 的取值范围．14．已知函数f (x )=lg[(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1]，若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围．15．已知f (x )=x 2＋(lg a ＋2)x ＋lg b ，f (－1)=－2，当x ∈R 时f (x )≥2x 恒成立，求实数a 的值，并求此时f (x )的最小值？16．设0＜x ＜1，a ＞0且a ≠1，试比较|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小．四、课外作业1．若log 2a ＜0，⎝⎛⎭⎫12b＞1，则( )A ．a ＞1，b ＞0B ．a ＞1，b ＜0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜02．设f (x )＝lg(21－x ＋a )是奇函数，则使f (x )＜0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)3．设a ＝log 132，b ＝log 1213，c ＝⎝⎛⎭⎫120.3，则 ( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c4．(2010·青岛模拟)已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a ＞0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为 log a 2＋6，则a 的值为( )A.12B.14C ．2D ．45．计算：[(－4)3]13＋log 525＝________.6．(2010·东莞模拟)已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范8．函数y ＝log 3(x 2－2x )的单调减区间是________．。