对数和对数函数的图像和性质

精锐教育学科教师辅导讲义

讲义编号: 11gz2sx012619

学员编号：gzlfx677 年 级：高一 课时数及课时进度：3 （24/30） 学员姓名：耿开睿 辅导科目：数学 学科教师：彭文俊 学科组长/带头人签名及日期

课 题

对数和对数函数的图像和性质

授课时间：2012-1-1

备课时间： 2011-12-28

教学目标

1.知识目标： 在指数函数及反函数概念的基础上，使学生掌握对数函数的概念，能正确描绘对数函数的图像，掌握对数函数的性质，并初步应用性质解决简单问题。

2.能力目标：培养学生观察能力、逻辑思维能力，发展学生探究和解决问题的能力，并

渗透数形结合、分类讨论等数学思想，提高学生的应用意识和创新能力。

通过对数函数的学习，树立相互联系，相互转化的观点，渗透数形结合，分类讨论的思想．

3.情感目标：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣，对学生进行对称美、抽象美等

重点、难点 理解对数函数的定义，掌握对数函数图像和性质

考点及考试要求

由对数函数与指数函数互为反函数的关系，利用指数函数图像和性质得到对数函数的图像和性质

教学内容

知识点一 对数与对数函数

知识点二 对数函数的定义

注意点：①以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg

②以无理数)71828

.2( e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln

③真数N 为正数（负数和零无对数）

④01log =a ；1log =a a

⑤对数运算时，尽量转化为同底对数

⑥()()M N M N M N a a a a log log log log +=∙≠+

知识点三 指数函数与对数函数的性质与图像

指数函数

()0,1x y a a a =>≠

对数数函数

()log 0,1a y x a a =>≠

定义域 x R ∈

()0,x ∈+∞

值域

()0,y ∈+∞

y R ∈

图象

性质

过定点(0,1)

过定点(1,0)

减函数

增函数

减函数

增函数

(,0)(1,)(0,)(0,1)x y x y ∈-∞∈+∞∈+∞∈时，时，

(,0)(0,1)(0,)(1,)x y x y ∈-∞∈∈+∞∈+∞时，时， (0,1)(0,)

(1,)(,0)

x y x y ∈∈+∞∈+∞∈-∞时，时，

(0,1)(,0)(1,)(0,)

x y x y ∈∈-∞∈+∞∈+∞时，时，

a b <

a b >

a b <

a b >

二、例题精讲

例1 设函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 011)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 2

2 011)＝

________.

解析：∵f (x 1x 2…x 2 011)＝f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x 2 011)＝8，

∴f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 2

2 011)＝2[f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x 2 011)]＝2×8＝16.

答案：16

例2 已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

2x

(x ≥2)，

f (x ＋2) (x ＜2)，则f (lo

g 23)＝________.

解析：∵1＜log 23＜2， ∴log 23＋2＞2

∴f (log 23)＝f (log 23＋2)＝f (log 212) ＝2log 212＝12.

例3求值：lg 3＋25lg 9＋3

5

lg 27－lg 3

lg 81－lg 27

.

解：解法一：原式＝lg 3＋45lg 3＋910lg 3－12

lg 3

41g 3－3lg 3

＝

⎝⎛⎭⎫1＋45＋910－12lg 3(4－3)lg 3

＝11

5

.

解法二：原式＝lg (3×925×2712×35×3－12)lg 8127

＝lg 3

11

5lg 3＝11

5.

例4 若函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M .当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋

2－3×4x 的最值及相应的x

的值．

解：y ＝lg(3－4x ＋x 2)，∴3－4x ＋x 2＞0， 解得x ＜1或x ＞3，∴M ＝{x |x ＜1，或x ＞3}， f (x )＝2x ＋

2－3×4x ＝4×2x －3×(2x )2.

令2x ＝t ，∵x ＜1或x ＞3，∴t ＞8或0＜t ＜2. ∴f (t )＝4t －3t 2＝－3⎝⎛⎭⎫t －232＋4

3(t ＞8或0＜t ＜2)． 由二次函数性质可知： 当0＜t ＜2时，f (t )∈⎝⎛⎦⎤0，43，

当t ＞8时，f (t )∈(－∞，－160)，

当2x ＝t ＝23，即x ＝log 2 23时，f (x )max ＝4

3

.

综上可知：当x ＝log 2 23时，f (x )取到最大值为4

3

，无最小值．

三、课中练习 1．

3

log 9

log 28的值是（ ） A ．32 B ．1 C ．23 D ．2

2．若log 2)](log [log log )](log [log log )](log [log 55

1533

1322

1z y x ===0，则x 、y 、z 的大小关系是（ ） A ．z ＜x ＜y B ．x ＜y ＜z C ．y ＜z ＜x

D ．z ＜y ＜x

3．已知x =2+1,则lo g 4(x 3－x －6)等于（ ）A.

23 B.4

5

C.0

D.

2

1

4．已知lg2=a ，lg3=b ，则

15lg 12

lg 等于（ ） A ．

b

a b

a +++12

B ．

b

a b

a +++12

C ．

b

a b

a +-+12

D ．

b

a b

a +-+12

5．已知2 lg(x －2y )=lg x ＋lg y ，则y x 的值为 ( ）A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．4 或

6.函数y =)12(log 2

1-x 的定义域为（ ）

A ．(

2

1

，＋∞) B ．［1，＋∞)

C ．(

2

1

，1] D ．(－∞，1)

7．已知函数y =log 2

1 (ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＞ 1 B ．0≤a ＜ 1 C ．0＜a ＜1

D ．0≤a ≤1 8.已知f (e x )=x ，则f (5)等于（ ）A ．e 5 B ．5

e

C ．ln5

D ．log 5e

9．若1()log (01),(2)1,()a f x x a a f f x -=>≠<且且则的图像是（ ）

A B C D

10．若2

2log ()y x ax a =---在区间(,13)-∞-上是增函数，则a 的取值范围是（ ）

A ．[223,2]-

B ．)223,2⎡-⎣

C ．(

223,2⎤-⎦

D ．()

223,2-

11．已知m ＞1，试比较(lg m )0.9与(lg m )0.8的大小 ．

O x

y

O x

y

O x

y

O x

y