实变函数：第五次课(第三版)

P.45
§5 康托尔三分集
3 3
2 第一步： 把闭区间[0， 1]三等分， 删去中间的开区间 I11 1 ， ；
1 第二步：把余下的两个闭区间 0， ，2 ， 各自三等分，并各删 1 3 3 2 8 去中间的开区间 I1 2 12 ，2 ，I22 72 ，2 ； 3 3 3 3
注 1. 若 x 是闭集 F 的孤立点，则 x 必是 F 的两个相互邻接 的余区间的公共端点.
注 2.设 F R1，则 F 是完备集 F 为没有相互邻接的余区间 的闭集 F 是闭集且 F 的任何两个余区间都没有公共端点.
注 3.设 F R1， 是非空有界闭集， F 中必有一最大点 F 则 （最 大数）和一最小点（最小数）.
x ,收敛于x R p .对任何 k 1, 由定理条件，当 p 充分大时
都有 xm
p
Fk ，并且 Fk 是闭集，从而 x Fk k 1, 2, . Fk .
k 1

注.例 5 中“有界”这个条件不能少.例如
k,+
k1
如此继续下去， 一般地，第 n 步是把第 n-1 步删去过程后余下的 2n 1 个闭区间 各自三等分，并各删去中间的开区间
I1n , I2n ,, I2n1 . n
令 G 为所有删去开区间的并，即
2 n 1 2 1 2 7 8 G , 2 , 2 2 , 2 Ik 3 3 3 3 3 3 n 1 k=1
外测度的性质的证明： （1） 明显.
(2) 设 A B ， 对于任意一列其并集能覆盖 B 的开区间 Ii 也一 定能覆盖 A， A B Ii ， m A u Ii , m* A inf u m*B .
* i=1 i 1
(3)对于任意常数 0, 由外测度定义，对于任意 n,都应有开区 间序列 I n,m m1 ，使
继续三等分并删去中间的开区间，因此，在 中总含有不属 于 P 的点.故在 U x, 内更含有不属于 P 的点.
P 不包含任何开区间，当然也谈不上填满直线上的任何 一小段.
一般地，如果集合 E 的闭包 E 不含任何内点，即 E , 则称 E 为疏朗集（或无处稠密集）.

0
（3） P 是一个 疏朗完备集(因为 P 是闭集，
n (k 1,2,,2n1;n 1,2,） 是其构成区间.于是 I
k
P 0,1 G R1 G ,0 1, 是闭集，每个


Ik (k 1,2,,2n1;n 1,2,） 以及 ,0 , 1, 是P
直线上存在不开不闭的集，如区间 a, b,c, d .
例 3.直线上既开又闭的集合，只有两个：空集，全直线.
证明：设 A R1, A , A是既开又闭的集合，则 A R1 . 事实上，假设 A 不是全直线，由于 A 是开集，记 A 的构成 区间是 n , n ,则 A= n , n , A R1 ，所以这些构成区间
定理 1. 直线上任一个非空开集都可以唯一地表示成至多可 数个互不相交的开区间（即其构成区间）的并集.
定义 2.设 A R1, A是闭集，称 Ac 的构成区间为 A 的余区间. 这时，余区间的端点属于 A.
定理 2. 设 F R1, F是闭集若F R1, 则 F 是从直线上挖去至多 . 可数个互不相交的开区间（即 F 的余区间）所得到的集.
，按 P 的作法，
1 3n
在进行第 n 次删去过程后，余下了 2n 个长度为
的闭区间，
故 x 必落入这 2n 个闭区间当中的一个，不妨记为
1 , x . U x, 任一y , d x, y n .因为接下去还要对 3
（6） x Rn , x E .则 x 是 E 的孤立点. （×） （7） E E E （√）
（8） E E E的孤立点集 （×） （9） E-E=E E （√） （10） E=E E （√）
例 2.设 f : R1 R1 是连续函数，则对任何常数 a,集 E x : x R1, f x a 是开集， F x : x R1, f x a 是闭集. 证明：E 是开集已证过. 下证 F 是闭集.
（4） 若 A 和 B 的距离 d A, B 0, 则m* A B m* A m*B
注 1.（4）中的条件不能放宽为 A B ，即外测度不具有可 加性，也不具有可数可加性. 反例见江泽坚，实函，P.56-57
两个不相交的点集的并的外测度可能不等于两个集合的 外测度的和.可数个两两不相交的点集的并的外测度可能不 等于各个集合的外测度的和.
这是因为 a 可被长度为任意小的开区间所覆盖，因此，覆盖 的相应长度和的下确界为 0.
注 3.若 A 是有限集或可数集，则 m* A 0 . 这是因为，若 A a1, a2 ,, ai , , 则A ai ，于是由
0, 0,当P, Q F且d P, Q 时，
有 f P f Q
证明：类似于数学分析.
例 5. 闭集套定理） 设 Fk （ 集，则 Fk .
k 1
k1是Rn 中一列单减的非空有界闭
，故有子列
证明：任取
n mp
xk Fk k 1,2, , 则xk k 1 是有界点列
P P ， P ).
（4） P 中的点是由删去的开区间的“端点集”的聚点所构 成的.
0
（5） P 中的点远非仅仅由“端点集” P1 组成（因为 P1 是可 数集） ，而且“非端点” （由 P P1 , 它是端点集的聚 点）比“端点”要多的多.
（6） P 的基数是 c.（P,47）
n-1
， P 0,1 G .
称 P 是康托尔集.
P 的性质：
（1） P 是非空的完备集. P .这是因为在[0，1]中永远删不去的点都在 P 中，如各个
开区间 Ikn (k 1,2,,2n1;n 1,2,） 的端点都属于 P.其次，由于 G 为可数个互不相交的开区间的并集，故 G 为开集，各个
且 Ji J j i j .这种表示法没有唯一性.（P.50-51）
Ji

x1,x2,,x n :c j x j d j , j 1,2,,n ，

i
i
例1. 判断题. （1） 不是 E 的聚点必不是 E 的内点 （√） （2） E 的聚点必属于 E (×) （3） E 的孤立点必属于 E （√） （4） 若 E ，则{E 的孤立点全体}不等于空集（×） （5） E 的外点集即 E c （×）
是 R1 中一列单减的非空闭集，但是它们的交集是空集.
第三章
测度论
引言
§1. 外测度
定义 设
n 1
E Rn
， I n 1 是R n 中 的 开 区 间 的 一 个 序 列 ， n
I
n 1

n
E , 则 I n
确定一个非负的实数 u（也可能是 ）.所有这
样得出的 u 所组成的数集是下方有界的，它的下确界称为 E 的（勒贝格）外测度，记为 m*E.当然m*E也可能等于 .有
0
0






证法 1. 易证 E1 x : x R1, f x a 是开集，而 F E1c ， 故 F 是闭集. 证法 2. 任取点列 xn F , 使xn x0 n ,要证x0 F .


事实上，因为 xn F , f xn a.令n ,由f 的连续性 和极限的保号性， f x0 n f xn a,x0 F . F 是闭集. lim

0
, , ,在 , 中没有 E 的点
例.设 A R1, A是孤立点集.则 A 是疏朗集.
证明 : 对于任何的开区间 , ， 如果 , 不含有 A 的点就 不需要讨论. 如果 , 含有 A 的点 x0 , x0 ,由于x0 是孤立点，必有 0, 使得 x0, x0 , ,而 x0, x0 中不含有 A 的点.所以 A 是疏朗集.

m An I n,m m* An ，但是 0, 是任意的，所以 n 1 n1 n1 m1 *
* m An m An . n1 n1
*
(4)的证明见，江泽坚，实函，P.52-53 注 2.单点集的外测度为零.即 m* a 0, a Rn .

An I n,m , I n,m
m 1 m 1


m An n 2
*
， An I n,m 且
n 1 n 1 m 1



I
n 1 m1


n,m
* * m An n m An ，于是 2 n1 n 1
但是，疏朗集不一定是孤立点集. 康托尔集就是如此.
注. 当 n 2时，Rn 中的开集一般不能表示成至多可数 个互不相交的开区间（n 维）的并.（P.50-51）
注.当 n 2时，Rn 中的非空开集 G 都可以表示成 可数多个互不相交的左开右闭的区间的并.即 G Ji , ，
i 1
n
的余区间.P 的任何两个余区间都不互相邻接. （1）P 是非空的完备集.
（2） P 不含任何内点. 换言之，P 不包含任何开区间.
设 x P ，要证 x 不是 P 的内点.即要证对任何 0,U x, 中总含有不属于 P 的点.
事实上，对任何 0 ，取正整数
Leabharlann Baidu
n
1 满足 n 3
0 m E inf I n E I n n 1
*
n1

外测度的性质： （1） 对任何 E Rn , m*E 0 非负性.m* 0 （2） 若 A B, 则m* A m*B （单调性）
* （3） m* An m An （次可数可加性） n1 n1
（7） P 的测度是零， mP 0 ，见下一章.
注 1.设 E Rn ， 若空间任一邻域内至少包含某点的一个邻域， 其中不含 E 的点，则称 E 是疏朗集合.该定义与前面的定义 等价.一般地，有
设 E R1，则以下几个陈述等价：
（1） E 是疏朗集 （2） E 没有内点，即 E （3） E 不含任何开区间 （4） 在任何开区间 , 中存在子区间
n
的端点 n ,n 中至少有一个是有限的，不妨设为
1,1 A.1, 1 A,1 A. A是闭集， A A,1 A.
矛盾.
例 4.设 F Rn , F 是紧集，f 是定义在 F 上的连续函数.则 （1） f 在 F 上有界并能达到最大值和最小值. （2） f 在 F 上一致连续. 即对任何