1：命题的概念与形式
法律逻辑学复习要点【精选文档】
法律逻辑学复习要点第一章概念的一般逻辑知识及其应用1、概念的内涵：就是凝聚于概念中的、它所指称的那类对象具有的特有属性,也是它所指称的对象有别于其他对象、因而能够同其他对象区别开来的根本特征。
2、概念的外延:就是具有该概念内涵方面构成性质的那些对象，也就是可用该概念来指称的所有被指称者。
3、概念的分类：1)根据概念外延反映的对象数量的不同，概念分为单独概念和普通概念.单独概念:就是其外延只有一个特定对象的概念。
普通概念:就是其外延有两个或两个以上乃至无穷多个对象的概念2)根据概念外延指称的对象是否由若干个相同个体聚合而成的集合体，分为集合概念与非集合概念。
集合体：是指由若干个相同个体聚合而成的群体。
3)根据概念表现形式的不同，分为简单概念与复合概念.简单概念：就是不能对之加以分解的概念。
复合概念：就是由两个或两个以上的概念结合而成的概念.4)概念的其他分类*根据概念外延所指称的对象，是独立的实体还是依赖于实体二显现出的某种属性，分为实体概念与属性概念。
＊根据其内涵方面的构成性质,是以具有某种性质为特征还是以缺乏某种性质为特征，分为正概念与负概念＊空概念：是反映没有分子的类即空类的概念（例：上帝）。
*论域：就是正负两概念所反映的全部事物所组成的类。
4、概念间关系及应用：是指两个不同概念在外延方面的逻辑关系，亦即它们外延指称的对象是否完全相同而形成的关系。
1）全同关系。
2）真包含于关系：就是指一个概念的全部外延与另一个概念的部分外延相同的关系(种属关系)。
3）真包含关系:就是指一个概念的部分外延与另一个概念的全部外延相同的关系（属种关系）。
*外延大的概念-—属概念外延小的概念-—种概念4）交叉关系5）全异关系*矛盾关系:如果两个具有全异关系的概念A、B,都真包含于属概念C，并且A、B两个概念的外延之和，恰好等于其属概念C的全部外延，则A、B之间的关系叫矛盾关系。
＊反对关系：如果两个具有全异关系的概念A、B，都真包含于属概念C,并且A、B两个概念的外延之和小于属概念C的全部外延，则A、B两个概念间的关系就叫反对关系。
高三一轮复习 命题及其关系、充分条件与必要条件
第二课时命题及其关系、充分条件与必要条件考纲要求：1.命题的四种形式(A) 2.充分条件、必要条件、充分必要条件(B)知识梳理：1．命题(1)命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．(2)四种命题及相互关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．2p⇒q且q pp q且q⇒pp⇔qp q且q p 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．()(2)“sin 45°＝1”是真命题．()(3)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则非q”．()(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．()(5)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(6)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．()(7)q不是p的必要条件时，成立．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√(6)√(7)√2．设p，r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的________条件，r是t的________条件．(用“充分”“必要”“充要”填空)提示：由题知p⇒q⇔s⇒t，又t⇒r，r⇒q，故p是t的充分条件，r是t的充要条件．答案：充分充要3．写出命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假性．解：(1)逆命题：若b2＝ac，则a，b，c成等比数列，假命题．(2)否命题：若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac，假命题．(3)逆否命题：若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列，真命题．4．在下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：x2＝3x＋4，q：x＝3x＋4；(2)p：x－3＝0，q：(x－3)(x－4)＝0；(3)p：b2－4ac≥0(a≠0)，q：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根．答案：(1)必要(2)充分(3)充要例题讲解：[典题1](1)命题“若a>b则a－1>b－1”的否命题是________．(2)命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是________．(3)下列命题中为真命题的是________．(填序号)①命题“若x>1，则x2>1”的否命题；②命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题；③命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题；④命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题．(4)已知：命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是________．(填序号)①否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”，是真命题；②逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题；③逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题；④逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题．解析：(1)根据否命题的定义可知，命题“若a>b，则a－1>b－1”的否命题应为“若a≤b，则a－1≤b－1”．(2)将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定是x≠0或y≠0.(3)对于①，命题“若x>1，则x2>1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故①为假命题；对于②，命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，分析可知②为真命题；对于③，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故③为假命题；对于④，命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故④为假命题．(4)由f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝e x－m≥0恒成立，∴m≤1.∴命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．答案：(1)若a≤b，则a－1≤b－1(2)若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0(3)②(4)④小结：(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．[典题2](1)设x∈R，则“1<x<2”是“|x－2|<1”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)(2)设a，b都是不等于1的正数，则“3a>3b>3”是“log a3<log b3”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)(3)“a ＝2” 是“函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[2，＋∞)上为增函数”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：(1)|x －2|<1⇔1<x <3.由于{x |1<x <2}是{x |1<x <3}的真子集，所以“1<x <2”是“|x －2|<1”的充分不必要条件．(2)∵3a >3b >3，∴a >b >1，此时log a 3<log b 3正确；反之，若log a 3<log b 3，则不一定得到3a >3b >3，例如当a ＝12，b ＝13时，log a 3<log b 3成立，但推不出a >b >1.故“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的充分不必要条件．(3)“a ＝2”⇒“函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[2，＋∞)上为增函数”，但反之不成立． 答案：(1)充分不必要 (2)充分不必要 (3)充分不必要小结：充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断．(2)集合法：根据p ，q 成立的对应的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，常用的是逆否等价法．①非q 是非p 的充分不必要条件⇔p 是q 的充分不必要条件；②非q 是非p 的必要不充分条件⇔p 是q 的必要不充分条件；③非q 是非p 的充要条件⇔p 是q 的充要条件．练习1．设p ：1＜x ＜2，q ：2x ＞1，则p 是q 成立的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：由2x ＞1，得x ＞0，所以p ⇒q ，但q ⇒/p ，所以p 是q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要2．设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：当数列{a n }的首项a 1＜0时，若q ＞1，则数列{a n }是递减数列；当数列{a n }的首项a 1＜0时，要使数列{a n }为递增数列，则0＜q ＜1，所以“q ＞1”是“数列{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件．答案：既不充分也不必要[典题3](1)记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B .若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为________．(2)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围为________．解析：(1)由x 2＋x －6<0，得－3<x <2，即A ＝(－3,2)，由x －a >0，得x >a ，即B ＝(a ，＋∞)， 若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则A ⊆B ，即a ≤－3.(2)由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．答案：(1)(－∞，－3] (2)[0,3][探究1] 本例(2)条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．解：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3，m ＝9， 即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．[探究2] 本例(2)条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且S P .∴[－2,10][1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m <－2，1＋m ≥10. ∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．注意：由充分条件、必要条件求参数．解决此类问题常将充分、必要条件问题转化为集合间的子集关系求解．但是，在求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的验证，不等式中的等号是否能够取得，决定着端点的取值．练习：已知p ：x >1或x <－3，q ：x >a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________． 解析：设P ＝{x |x >1或x <－3}，Q ＝{x |x >a }，因为q 是p 的充分不必要条件，所以Q P ，，因此a ≥1.答案：[1，＋∞)总结：1．判断四种命题间关系的方法写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．2．充分、必要条件的判断方法(1)定义法：直接判断“若p 则q ”，“若q 则p ”的真假即可．(2)利用集合间的包含关系判断：设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}：若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；若AB ，则p 是q 的充分不必要条件，若A ＝B ，则p 是q的充要条件．注意： 1．当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提．2．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p 则q ”的形式．3．要注意“A 是B 的充分不必要条件”与“A 的充分不必要条件是B ”的区别． 课后作业：1．设m ∈R ，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是________． 解析：根据逆否命题的定义，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．答案：若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤02．设a ，b 是实数，则“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：特值法：当a ＝10，b ＝－1时，a ＋b ＞0，ab ＜0，故a ＋b ＞0ab ＞0；当a ＝ －2，b ＝－1时，ab ＞0，但a ＋b ＜0，所以ab ＞0a ＋b ＞0.故“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的既不充分也不必要条件．答案：既不充分也不必要 3．已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则m 的取值范围是________． 解析：由|x －m |<1得m －1<x <1＋m ，又因为|x －m |<1的充分不必要条件是13<x <13，借助数轴，所以⎩⎨⎧m －1≤13，m ＋1≥12，解得－12≤m ≤43. 答案：⎣⎡⎦⎤－12，43 4．已知a ，b ，c ∈R ，命题“如果a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是________． 解析：“a ＋b ＋c ＝3”的否定是“a ＋b ＋c ≠3”，“a 2＋b 2＋c 2≥3”的否定是“a 2＋b 2＋c 2<3”，故该命题的否命题是：如果a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3.答案：如果a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<35．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：cos 2α＝0等价于cos 2α－sin 2α＝0，即cos α＝±sin α.由cos α＝sin α可得到cos 2α＝0，反之不成立．答案：充分不必要6．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是________．(填序号)解析：只有一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行时，这两个平面才相互平行，所以①为假命题；②符合两个平面相互垂直的判定定理，所以②为真命题；垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，所以③为假命题；根据两个平面垂直的性质定理易知④为真命题．答案：②④7．已知α，β的终边在第一象限，则“α>β ”是“sin α＞sin β ”的________条件．解析：∵角α，β的终边在第一象限，∴当α＝π3＋2π，β＝π3时，满足α>β，但sin α＝ sin β，故sin α>sin β不成立，即充分性不成立；当α＝π3，β＝π6＋2π时，满足sin α>sin β，但α>β不成立，即必要性不成立，故“α>β ”是“sin α>sin β ”的既不充分也不必要条件．答案：既不充分也不必要8．在斜三角形ABC 中，命题甲：A ＝π6，命题乙：cos B ≠12，则甲是乙的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：因为△ABC 为斜三角形，所以若A ＝π6，则B ≠π3且B ≠π2，所以cos B ≠12且 cos B ≠0；反之，若cos B ≠12，则B ≠π3，不妨取B ＝π6，A ＝π4，C ＝7π12，满足△ABC 为斜三角形．答案：充分不必要9．“a ≥3”是“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的________条件(在“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”中选择填空)．解析：若“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题，等价于∀x ∈[1,2]，x 2≤a 为真命题，则a ≥4.则“a ≥3”是“a ≥4”的必要不充分条件．答案：必要不充分10．在下列三个结论中，正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①若A 是B 的必要不充分条件，则綈B 也是綈A 的必要不充分条件；②“⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝b 2－4ac ≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件； ③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件．解析：易知①②正确．对于③，若x ＝－1，则x 2＝1，充分性不成立，故③错误． 答案：①②11．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3；又p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8.故实数m 的取值范围是[3,8)．答案：[3,8)12．有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”，假命题．②原命题的逆命题为：“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真命题．③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”，真命题．答案：②③13．设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：若函数f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数，则φ＝k π，k ∈Z ，所以由“φ＝0”，可以得到“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”，但由“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”，可以得到φ＝k π，k ∈Z ，因此“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的充分不必要条件．答案：充分不必要14．使函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x ≤1，log a x ，x >1在(－∞，＋∞)上是减函数的一个充分不必要条件是________．(填序号)①17≤a <13；②0<a <13；③17<a <13；④0<a <17. 解析：由f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数可得3a －1<0,0<a <1,7a －1≥0，即17≤a <13，所求应该是⎣⎡⎭⎫17，13的真子集，故③正确．答案：③ 15．在四边形ABCD 中，“存在λ∈R ，使得，”是“四边形ABCD 为平行四边形”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：若存在λ∈R ，使得，，则AB ∥CD ，AD ∥BC ，故四边形ABCD 为平行四边形．反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则存在λ＝1满足题意．答案：充要16．已知函数f (x )＝13x －1＋a (x ≠0)，则“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的________条件．(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填写)解析：若f (x )＝13x －1＋a 是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，即f (－x )＋f (x )＝0，∴13－x －1＋a ＋13x －1＋a ＝2a ＋3x 1－3x ＋13x －1＝0，即2a ＋3x －11－3x ＝0，∴2a －1＝0，即a ＝12，f (1)＝12＋12＝1.若f (1)＝1，即f (1)＝12＋a ＝1，解得a ＝12，代入得，f (－x )＝－f (x )，f (x )是奇函数．∴“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的充要条件．答案：充要17．若方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3一根小于3的充要条件是________． 解析：方程x 2－mx ＋2m ＝0对应二次函数f (x )＝x 2－mx ＋2m ，若方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3一根小于3，则f (3)<0，解得m >9，即方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3一根小于3的充要条件是m >9.答案：m >918．已知p ：|x －a |<4；q ：(x －2)(3－x )>0，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为________．解析：∵綈p 是綈q 的充分不必要条件，∴q 是p 的充分不必要条件．对于p ，|x －a |<4，∴a －4<x <a ＋4，对于q,2<x <3，∴(2,3)(a －4，a ＋4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤2，a ＋4≥3(等号不能同时取到)， ∴－1≤a ≤6.答案：[－1,6]。
法律方法论第一讲：命题逻辑与法律
一、命题逻辑的语言
• （三）命题的表示法
• 1.命题标识符：表示命题的符号。通常使用（带有下标的）大写或小写英文
字母来标示命题。【在本课程中，用小写英文字母表示命题常项；大写英文 字母表示命题变项】
• 2.命题常项与命题变项： • （1）命题常项：一个命题标识符如果标示一个确定的命题，则称为命题常
作“¬P” (读作“非P”)。 • 命题P取值为真时，命题¬P取值为假；命题P取值为假时，命题¬P取值为真。 • 真值表
• 例：设p：上海是一个城市；q：每个自然数都是偶数。则有：¬p：上海不是
一个城市;¬q：并非每个自然数都是偶数。 • 说明： • （1） ¬为基本联结词； • （2）满足双重否定定律：¬（ ¬p）p
蕴含是条件句的有效性。
• 例5：请判断S1蕴含S2吗？
S1
1
pq
2
pq
3
pq
4
q p
S2 pq pq q p pq
二、真值函项
• （三）蕴含
• 3.蕴含的四条规律
• （1）任何模式都蕴含它自身。 • （2）如果S1蕴含S2，S2蕴含S3，那么S1蕴含S3。 • （3）一个不一致的模式蕴含每一个模式；并且只被不一致的模式所蕴含。 • （4）一个有效的模式被每一个模式所蕴含；并且只蕴含有效的模式。
• （四）联结词
• 否定、合取、析取之间的关系，试区别：
• ¬P ∧Q与¬(P ∧Q)； ¬P ∨Q与¬(P∨Q) • ¬(P ∧Q)与 ¬P ∧ ¬Q； ¬(P ∨ Q)与 ¬P ∨¬Q
• 举例说明
• 设p：张三是学生；q：张三是党员。有下列四种组合情况： • p ∧q：张三是学生，并且张三是党员 • ¬p ∧q：张三不是学生，并且张三是党员 • p ∧ ¬q：张三是学生，并且张三不是党员 • ¬p ∧ ¬q：张三不是学生，并且张三不是党员 • 则有：（1）¬(p ∧q)否定的第一种情况，因此在第二、三、四种情况下均为真；而¬p
命题的概念和真假命题
命题的概念和真假命题一、命题的概念和真假命题1、命题（1）命题的概念判断一件事情的语句叫做命题。
命题必须是一个完整的语句，它必须对事情作出肯定或否定的判断。
命题由题设和结论两部分组成，题设就是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
数学中的命题常可以写成“如果$\cdots\cdots$那么$\cdots\cdots$”或“若$\cdots\cdots$则$\cdots\cdots$”的形式。
“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。
对于题设和结论不明显的命题，需先把命题改写为“如果$\cdots\cdots$那么$\cdots\cdots$”的形式再进行判断。
（2）真命题、假命题命题包括两种：真命题（正确的命题）；假命题（错误的命题）。
如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。
题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。
要说明一个命题是假命题，通常举出一个反例即可。
2、逆命题把原命题的结论作为命题的条件，把原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题。
（1）正确写出一个命题的逆命题的关键是能够正确区分这个命题的题设和结论。
（2）每个命题都有逆命题，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。
3、互逆命题在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。
如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题。
4、公理、定理（1）公理如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，那么这样的真命题叫做公理。
如：“经过两点，有且只有一条直线”“两点之间线段最短”等。
（2）定理经过推理证实得到的真命题叫做定理。
定理都是真命题，而真命题不一定是定理。
如“如果$∠1=∠2$，$∠2=∠3$，那么$∠1=∠3$”，它是一个真命题，但不是定理。
5、证明（1）证明从命题的题设出发，通过推理来判断命题的结论是否成立的过程叫做证明。
命题的通俗解释
命题的通俗解释摘要：1.命题的定义2.命题的分类3.命题的通俗解释4.命题的逻辑关系5.命题的重要性正文：1.命题的定义命题是逻辑学中的一个基本概念，它是一种对事情的陈述或判断。
在数学、物理、化学等学科中，命题常常用来描述一个事实或者表达一个观点。
简单来说，命题就是一个陈述句，它可以是真或假，可以通过推理和证明来确定其真假性。
2.命题的分类根据命题的内容和形式，我们可以将命题分为两类：肯定命题和否定命题。
肯定命题是对某件事情的肯定判断，例如“太阳从东方升起”；否定命题则是对某件事情的否定判断，例如“月亮不是地球的卫星”。
3.命题的通俗解释要理解命题的通俗解释，我们可以从日常生活中的例子入手。
比如，我们可以用命题来描述一个人的身高、体重、年龄等属性。
假设有一个人叫张三，我们可以用命题来表达关于张三的信息，如“张三身高170 厘米”、“张三体重60 公斤”等。
这些命题都是对张三属性的陈述，我们可以通过观察和测量来验证这些命题的真假。
4.命题的逻辑关系在逻辑学中，命题之间存在一定的逻辑关系。
主要包括以下几种关系：且（∧）、或（∨）、非（）、蕴含（→）等。
这些逻辑关系可以帮助我们更好地理解和分析命题，判断它们之间的逻辑联系。
5.命题的重要性命题在人类认识世界的过程中具有重要意义。
通过命题，我们可以表达观点、陈述事实、进行推理和论证。
在科学研究中，命题是构建理论体系的基础，它们帮助我们揭示自然规律、探索未知领域。
此外，在日常生活和交流中，命题也起着关键作用，它们帮助我们表达思想、传递信息、解决争端等。
总之，命题是一种对事情的陈述或判断，它在逻辑学、科学研究以及日常生活中具有重要意义。
1.1.1命题的概念和例子
课题：§1.1.1命题的概念和例子
一、教学目标：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式；
二、教学重点：命题的概念、命题的构成
三、教学难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假
四、教学方法：讲练结合
五、教学过程设计：
因此即于是命题是真命题22,0,0,,0,,(1)a b a b a b a b a >>>∴+->>取有于是命题是假命题(2)2, 1.,(2)a b =-=证明假命题的方法通常是举一反例
若是互不相同的空间直线则下列命题中为真命题的是若则若则若则若则对于函数判断如下两个命题的真假命题甲是偶函数命题乙2,,//,,,//,,,,//,//,(1)()2,(2)()(2),()cos(2),:(2);
:m n n n n m n m f x x f x x x x f x f αβαβαβαβαβαβ
⊂⊂⊥⊂⊥⊥⊥⊥⊥=+=-=-+在上是减函数()(,2).
x -∞。
1.1.1命题的概念和例子1.1.2命题的四种形式
命题的证明 例 已知 a , b 是两个实数,试证:
2 2 a , b a b , 那么 a b (1)命题“如果 两个正实数且 要证明一个命题是真命 题,可从命题的条件出 是真命题 2 2 那么 a b a , b 是任意实数且 a b ,,得出结论. (2)命题“如果 发,通过推理 是假命题 证明 : (1). a b)(a b) 0.
真
原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。 真 否命题：若四边形不是正方形，则四边形两对角线不垂直。 假 原命题：若a>b，则ac2>bc2 否命题：若a≤b，则ac2≤bc2
假 真
原命题：若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形。 假 否命题：若四边形对角线不相等，则四边形不是平行四边形。假
※分别写出下列命题，并判断真假。
原命题： 若x2＋y2＝0，则xy＝0 逆命题： 若xy ＝0，则x2＋y2 ＝0 否命题： 若x2＋y2≠0，则xy≠0 逆否命题： 若xy ≠0，则x2＋y2 ≠0
真 假 假 真
课 堂 小 结
原命题 若p则q 互 否 命 题 真 假 无 关 否命题 若﹁ p则﹁ q 逆命题 若q则p
结
论
2
原命题的真假和否命 题的真假没有关系。
判断下列逆否命题的真假，并总结规律。
原命题：若a>b，则a+c>b+c 逆否命题：若a+c≤b+c，则a≤b
真 真 真
原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。
逆否命题：若四边形两对角线不垂直，则四边形不是正方形。 真 原命题：若a>b，则ac2>bc2 逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b
逆命题： 若四边形两对角线互相垂直，则四边形是正方形。
新教材高中数学第2章常用逻辑用语1命题定理定义2
判断下列各命题中p是q的什么条件: (1)p:x-2=0,q:(x-2)(x-3)=0; (2)p:t≠2,q:t2≠4; (3)p:0<x<3,q:|x-1|<2.
解析 (1)x-2=0⇒(x-2)(x-3)=0, (x-2)(x-3)=0⇒x-2=0或x-3=0. ∴“x-2=0”是“(x-2)(x-3)=0”的充分不必要条件. (2)t≠2 t2≠4(当t=-2时,t2=4), t2≠4⇒t≠2且t≠-2. ∴“t≠2”是“t2≠4”的必要不充分条件. (3)令A={x|0<x<3},B={x||x-1|<2}={x|-1<x<3}. 易知A⫋B,∴p是q的充分不必要条件.
探求充分条件、必要条件的步骤 (1)分清“条件”和“结论”,明确探求的方向; (2)分析题目中的已知条件和隐含条件,进行等价转化,即可得到使结论成立的充要条 件; (3)将得出的充要条件对应的范围扩大或缩小,即可得到结论成立的必要不充分条件 或充分不必要条件.
求方程x2+kx+1=0与x2+x+k=0有一个公共实数根的充要条件. 思路点拨 设两个方程的公共实数根为x0,列方程组求出k的值,再检验k取此值时两个方程是否有 一个公共实数根,从而解决问题.
1 | 命题、定理、定义的概念 1.命题 在数学中,我们将① 可判断真假 的陈述句叫作命题.许多命题可表示为“如果p, 那么q”或“若p,则q”的形式,其中p叫作命题的② 条件 ,q叫作命题的③ 结论 . 2.定理 在数学中,有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用,一般称之为 定理. 3.定义 定义是对某些对象标明符号、指明称谓,或者揭示所研究问题中对象的内涵.
2 | 充分条件、必要条件的证明与探求
第3章--命题(一)
由此可知：全称命题的主项周延，特称命题的主项不周延；肯 定命题的谓项不周延，否定命题的谓项周延。
整个地，我们有：
A命题的主项周延，谓项不周延；
E命题的主项周延，谓项也周延； I命题的主项不周延，谓项也不周延；
O命题的主项不周延，谓项周延。
单称肯定命题单称否定命题的主、谓项周延情况分别同于A 命题、E命题的主、渭项周延情况。因此，在考虑周延惰况及以 周延性为基础的逻辑理论时，形式逻辑中常把单称命题作为全称 命题来处理。
在这些命题中，被断定的思维对象分别是概念“商品”、“人”、“玫 瑰花”、“科学家”、“郭沫若”、“鲁迅”所反映的对象（即这些概 念的外延）。我们把性质命题中反映被断定的思维对象的概念称作性质 命题的主项。主项通常以大写字母S来表示。这些命题中断定思维对象 所具有的性质是分别由概念“有价值的”、“长生不老的”、“红色 的”、“大学毕业的”、“考古学家”、“医学家”来反映的（即这些 概念的内涵）。我们把性质命题中反映断定思维对象所具有的性质的概 念称作牲质命题的渭项。谓项通常以大写字母P来表示。
各种命题形式都由常项和变项两个部分组成。命题形式中的常项是 命题形式中固定不变的东西，它决定了该命题形式的种类，将该命题形 式与其他种类的命题形式区别开来；命题形式中的变项是命题形式中的 可变部分，其变化不会引起命题形式的改变。例如，在上述命题形式中， “所有的…是…”是常项，“S”、“P”是变项。
第七页，编辑于星期日：五点 三十七分。
性质命题在结构上由主项（S）、谓项（P）、联项和量项组成。
联项分为肯定联项和否定联项。肯定联项为“是”，否定联项为
“不是”。量项分为全称量项、特称量项和单称量项。全称量项通
常用“所有的”、“一切”、“凡”等来表示。特称量项通常用
专题训练17：命题、定理与证明-2021年中考数学一轮复习知识点课标要求
2021年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练17：命题、定理与证明（含答案）一、知识要点：1、命题与定理定义1：判断一件事情的语句，叫做命题。
命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
数学中的命题常可以写成“如果……，那么……”的形式。
“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。
定义2：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。
定义3：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。
定义4：如果一个命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理。
定义5：两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互为逆命题。
其中一个叫做原命题，另外一个叫做逆命题。
如果定理的逆命题是正确的，那么它也是一个定理，我们把这个定理叫做原定理的逆定理。
2、证明:一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明。
二、课标要求：1、通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义。
2、结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。
会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
3、知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式，会综合法证明的格式。
4、了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的。
三、常见考点：1、命题及命题真伪的判断。
2、命题的条件和结论的区分。
3、写出命题的逆命题。
四、专题训练：1．下列说法正确的是（）A．一组数据6，5，8，8，9的众数是8B．甲、乙两组学生身高的方差分别为S甲2＝2.3，S乙2＝1.8，则甲组学生的身高较整齐C．命题“若|a|＝1，则a＝1”是真命题D．三角形的外角大于任何一个内角2．下列命题正确的是（）A．三角形的一个外角大于任何一个内角B．三角形的三条高都在三角形内部C．三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等D．两边和其中一边的对角相等的三角形全等3．下列四个命题：①5是25的算术平方根；②（﹣4）2的平方根是﹣4；②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④同旁内角互补．其中真命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个4．下列说法中，不正确的个数是（）①若a+b＝0，则有a，b互为相反数，且＝﹣1；②若|a|＞|b|，则有（a+b）（a﹣b）是正数；③三个五次多项式的和也是五次多项式；④a+b+c＜0，abc＞0，则﹣+﹣的结果有三个；⑤方程ax+b＝0（a，b为常数）是关于x的一元一次方程．A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，把矩形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到矩形AB′C′D′，其中点C的运动路径为，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．6．下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根一定是正数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0，其中错误的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个7．写出“对顶角相等”的逆命题．8．四位同学参加数学知识竞赛活动，分别获得第一、二、三、四名，大家猜测谁得第几名时，明明说：“甲得第一，乙得第二”；文文说：“甲得第二，丁得第四”；凡凡说：“丙得第二，丁得第三”．名次公布后，他们每人都只猜对了一半，那么甲、乙、丙、丁的名次顺序为．（按一、二、三、四的名次排序）9．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是第二象限图象上一动点，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，连接MN，在点P的运动过程中，线段MN长度的最小值是．10．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB'C'D'，点C的运动路径为．当点B'落在CD上时，图中阴影部分的面积为．11．如图，等边△ABC中，AB＝3，点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为．12．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝4．如图，将直角顶点B放在原点，点A放在y轴正半轴上，当点B在x轴上向右移动时，点A也随之在y轴上向下移动，当点A 到达原点时，点B停止移动，在移动过程中，点C到原点的最大距离为．13．如图，▱ABCD中，E为AD上一点，F为BC上一点，EF与对角线BD交于点O，以下三个条件：①BO＝DO；②EO＝FO；③AE＝CF，以其中两个作为题设，余下的一个作为结论组成命题，其中真命题的个数为．14．如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，M为AB中点，D是射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED、ME，则点D在运动过程中ME的最小值为．15．如图，在半径为2的⊙O中，弦AB⊥直径CD，垂足为E，∠ACD＝30°，点P为⊙O上一动点，CF⊥AP于点F．①弦AB的长度为；②点P在⊙O上运动的过程中，线段OF长度的最小值为．16．如图，一个长为4，宽为3的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其短边与水平桌面成30°夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其短边恰好落在水平桌面上，则长方形木板顶点A在滚动过程中所经过的路径长为．17．桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张（n为正整数）纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“+1”、“﹣1”分别表示一张纸牌“正面向上”、“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从﹣7变化为+7．（1）当n＝1时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或﹣2，则最少次操作后所有纸牌全部正面向上；（2）当n＝2时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由；（3）若要使多次操作后所有纸牌全部正面向上，写出n的所有可能的值．18．阅读下面内容，并解答问题．在学习了平行线的性质后，老师请学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．求证：．（1）请补充要求证的结论，并写出证明过程；（2）请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择题．A．在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，则∠EMF 的度数为．B．如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P，则∠EOF与∠EPF满足的数量关系为．19．点E、F分别是菱形ABCD边BC、CD上的点．（1）如图，若CE＝CF，求证AE＝AF；（2）判断命题“若AE＝AF，则CE＝CF”的真假．若真，请证明；若假，请在备用图上画出反例．20．概念学习．已知△ABC，点P为其内部一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC、△PAC 中，如果存在一个三角形，其内角与△ABC的三个内角分别相等，那么就称点P为△ABC 的等角点．理解应用（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”．①内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点；；②任意的三角形都存在等角点；；（2）如图①，点P是锐角△ABC的等角点，若∠BAC＝∠PBC，探究图①中，∠BPC、∠ABC、∠ACP之间的数量关系，并说明理由．解决问题如图②，在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，若△ABC的三个内角的角平分线的交点P是该三角形的等角点，求△ABC三角形三个内角的度数．参考答案1．解：A、一组数据6，5，8，8，9的众数是8，是真命题；B、甲、乙两组学生身高的方差分别为S甲2＝2.3，S乙2＝1.8，则乙组学生的身高较整齐，原命题是假命题；C、命题“若|a|＝1，则a＝1”是假命题，原命题是假命题；D、三角形的外角大于任何一个不与它相邻的内角，原命题是假命题；故选：A．2．解：A、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，原命题是假命题；B、钝角三角形的三条高不在三角形内部，原命题是假命题；C、三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等，是真命题；D、两边和其夹角相等的三角形全等，原命题是假命题；故选：C．3．解：①5是25的算术平方根，本小题说法是真命题；②∵（﹣4）2的平方根是±4，∴本小题说法是假命题；②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，本小题说法是真命题；④∵两直线平行，同旁内角互补，∴本小题说法是假命题；故选：C．4．解：①若a+b＝0，则有a，b互为相反数，当a＝b＝0时，无意义，本小题说法不正确；②∵|a|＞|b|，∴a2＞b2，∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2＞0，是正数，本小题说法正确；③（2a5+a﹣3）+（﹣a5+2a﹣3）+（﹣a5+a2﹣30）＝a2+3a﹣36，则三个五次多项式的和不一定是五次多项式，本小题说法不正确；④当a+b+c＜0，abc＞0时，a、b、c两个正数、一个负数或一个正数、两个负数，则﹣+﹣的结果有两个，本小题说法不正确；⑤方程ax+b＝0（a，b为常数），当a＝0时，不是关于x的一元一次方程，本小题说法不正确；故选：D．5．解：连接AC'，在矩形ABCD中，∵∠B＝90°，AB＝，BC＝1，∴tan∠BAC＝＝，∴∠BAC＝30°，∵旋转角为30°，∴A、B′、C共线．∴AC＝＝＝2，∵S阴＝S扇形ACC′﹣S△AB′C′，∴S阴＝﹣＝﹣，故选：B．6．解：①负数有立方根，原命题是假命题；②一个实数的算术平方根一定是非负数，原命题是假命题；③一个正数或负数的立方根与这个数同号，原命题是真命题；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0，原命题是真命题；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1、﹣1或0，原命题是假命题；故选：B．7．解：∵原命题的条件是：如果两个角是对顶角，结论是：那么这两个角相等；∴其逆命题应该为：如两个角相等那么这两个角是对顶角，简化后即为：相等的角是对顶角．8．解：因为他们每人只猜对一半，可以先假设明明说“甲得第一”是正确的，由此推导：明明：甲得第一→文文：丁得第四→凡凡：丙得第二→乙得第三，成立；若假设明明说“乙得第二”是正确的，由此进行推导：明明：乙得第二→文文：丁得第四→凡凡：丙得第二，矛盾．所以甲、乙、丙、丁的名次顺序为甲、丙、乙、丁．故答案为：甲、丙、乙、丁．9．解：连接OP．∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（﹣2，0），B（02），∴OA＝2，OB＝2，∴tan∠BAO＝＝，∴∠BAO＝30°，∵PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，∴∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，∴四边形OMPN是矩形，∴MN＝OP，∴当OP⊥AB时，MN＝OP的值最小，最小值＝OA•sin30°＝，故答案为．10．解：如图，连接AC，AC′．∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠DAB＝90°，∵AB＝2，BC＝，∴AC＝＝＝，∵cos∠DAB′＝，∴∠DAB′＝30°，DB′＝AB′＝1，∴∠BAB′＝∠CAC′＝60°，CB′＝CD﹣DB′＝2﹣1＝1，∴S阴＝S扇形CAC′﹣S△AC′B′﹣S△ACB′＝﹣×2×﹣×1×＝﹣．故答案为﹣．11．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，∴在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，∵∠AFE＝∠BAD+∠FBA＝∠CBE+∠FBA＝∠ABC＝60°，∴∠AFB＝120°，∴点F的运动轨迹是以点O为圆心，OA为半径的弧，如图，此时∠AOB＝120°，OA＝＝，所以弧AB的长为：＝．则点F的运动路径的长度为．故答案为：．12．解：如图所示：取A1B1的中点E，连接OE，C1E，当O，E，C1在一条直线上时，点C到原点的距离最大，在Rt△A1OB1中，∵A1B1＝AB＝8，点OE为斜边中线，∴OE＝B1E＝A1B1＝4，又∵B1C1＝BC＝4，∴C1E＝＝4，∴点C到原点的最大距离为：OE+C1E＝4+4．故答案为：4+4．13．解：已知②EO＝OF；①BO＝DO，结论：③AE＝CF．理由：在△DOE和△BOF中，∴△DOE≌△BOF（SAS），∴DE＝BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∴AE＝FC，同理可得：已知②EO＝FO，③AE＝CF，结论：①BO＝DO，是真命题；已知：①BO＝DO，③AE＝CF，结论：②EO＝FO，是真命题，故答案为：3．14．解：如图，连接BE，过点M作MG⊥BE的延长线于点G，过点A作AK⊥AB交BD的延长线于点K，∵等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＝45°，∴∠K＝45°，∴△AKB是等腰直角三角形．∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，∴△ADE是等腰直角三角形，∴∠KAD+∠DAB＝∠BAE+∠DAB＝90°，∴∠KAD＝∠BAE，在△ADK和△AEB中，∴△ADK≌△AEB（SAS），∴∠ABE＝∠K＝45°，∴△BMG是等腰直角三角形，∵AC＝BC＝4，∴AB＝4，∵M为AB中点，∴BM＝2，∴MG＝BG＝2，∠G＝90°，∴BM＞MG，∴当ME＝MG时，ME的值最小，∴ME＝BE＝2．故答案为2．15．解：①如图，连接OA．∵OA＝OC＝2，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴∠AOE＝∠OAC+∠ACO＝60°，∴AE＝OA•sin60°＝，∵OE⊥AB，∴AE＝EB＝，∴AB＝2AE＝2，故答案为2．②取AC的中点H，连接OH，OF，HF，∵OA＝OC，AH＝HC，∴OH⊥AC，∴∠AHO＝90°，∵∠COH＝30°，∴OH＝OC＝1，HC＝，AC＝2，∵CF⊥AP，∴∠AFC＝90°，∴HF＝AC＝，∴OF≥FH﹣OH，即OF≤﹣1，∴OF的最小值为﹣1．故答案为﹣1．16．解：第一次转动是以点M为圆心，AM为半径，圆心角是60度所以弧AA1的长＝＝π，第二次转动是以点N为圆心，A′N为半径圆心角为90度，所以弧A′A″的长＝＝π，所以总长为π．故答案为π．17．解：（1）总变化量：7﹣（﹣7）＝14，次数（至少）：14÷2＝7，故答案为：7；（2）①两张由反到正，变化：2×[1﹣（﹣1）]＝4，②两张由正到反，变化：2×（﹣1﹣1）＝﹣4，③一正一反变一反一正，变化﹣1﹣1+1﹣（﹣1）＝0，不能全正，总变化量仍为14，无法由4，﹣4，0组成，故不能所有纸牌全正；故答案为：14；（3）由题可知：0＜n≤7．①当n＝1时，由（1）可知能够做到，②当n＝2时，由（2）可知无法做到，③当n＝3时，总和变化量为6，﹣6，2，﹣2，14＝6+6+2，故n＝3可以，④当n＝4时，总和变化量为8，﹣8，4，﹣4，0，14无法由8，﹣8，4，﹣4，0组成，故＝4不可以，⑤当n＝5时，总和变化量为10，﹣10，6，﹣6，2，﹣2，14＝10+2+2，故n＝5可以，⑥当n＝6时，总和变化量为12，﹣12，8，﹣8，4，﹣4，0，无法组合，故n＝6不可以，⑦当n＝7时，一次全翻完，可以，故n＝1，3，5，7时，可以．18．解：（1）结论：EG⊥FG；理由：如图1中，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE＝180°，∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，∴，，∴．在△EFG中，∠GEF+∠GFE+∠G＝180°，∴∠G＝180°﹣（∠GEF+∠GFE）＝180°﹣90°＝90°，∴EG⊥FG．故答案为EG⊥GF．（2）A．如图2中，由题意，∠BEG+∠DFG＝90°，∵EM平分∠BEG，MF平分∠DFG，∴∠BEM+∠MFD＝（∠BEG+∠DFG）＝45°，∴∠M＝∠BEM+∠MFD＝45°，B．如图3中，由题意，∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP，∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，∴∠BEO＝2∠BEP，∠DFO＝2∠DFP，∴∠EOF＝2∠EPF，故答案为A或B，45°，∠EOF＝2∠EPF．19．解：（1）连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ACE＝∠ACF，在△ACE与△ACF中，∴△ACE≌△ACF（SAS），∴AE＝AF，（2）当AE＝AF＝AF'时，CE≠CF'，如备用图，所以命题“若AE＝AF，则CE＝CF”是假命题．20．解：理解应用（1）①内角分别为30、60、90的三角形存在等角点是真命题；②任意的三角形都存在等角点是假命题，如等边三角形不存在等角点；故答案为：真命题，假命题；（2）如图①，∵在△ABC中，∠BPC＝∠ABP+∠BAC+∠ACP，∠BAC＝∠PBC，∴∠BPC＝∠ABP+∠PBC+∠ACP＝∠ABC+∠ACP；解决问题如图②，连接PB，PC∵P为△ABC的角平分线的交点，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∵P为△ABC的等角点，∴∠PBC＝∠BAC，∠BCP＝∠ABC＝2∠PBC＝2∠BAC，∠ACB＝∠BPC＝4∠A，又∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠A+2∠A+4∠A＝180°，∴∠A＝，∴该三角形三个内角的度数分别为，，。
命题与简易逻辑知识总结 (1)
《命题与简易逻辑知识总结》一、知识总结：1．命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句．真命题：判断为真的语句．假命题：判断为假的语句．2．“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论．3．原命题：“若p ，则q ”逆命题：“若q ，则p ” 否命题：“若p ⌝，则q ⌝”逆否命题：“若q ⌝，则p ⌝”4．四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．5．若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．利用集合间的包含关系：例如：若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；6．逻辑联结词：⑴且(and) ：命题形式p q ∧；⑵或（or ）：命题形式p q ∨；⑶非（not ）：命题形式p ⌝．7．⑴全称量词—“所有的”、“任意一个”等，用“∀”表示；全称命题p ：)(,x p M x ∈∀；全称命题p 的否定p ⌝：)(,x p M x ⌝∈∃．⑵存在量词—“存在一个”、“至少有一个”等，用“∃”表示；特称命题p ：)(,x p M x ∈∃；特称命题p 的否定p ⌝：)(,x p M x ⌝∈∀；二、专项训练1．命题“正方形的两条对角线互相垂直平分”是（ ）A ．简单命题B ．非p 形式的命题C ．p 或q 形式的命题D ．p 且q 的命题答案：D解析：“垂直平分”的含义是“垂直且平分”．所以是D ．2．如果命题p 是假命题，命题q 是真命题，则下列错误的是（ ）A ．“p 且q ”是假命题B ．“p 或q ”是真命题C ．“非p ”是真命题D ．“非q ”是真命题答案：D解析：“p 且q ”型命题的真假是一假必假，“p 或q ”型命题的真假是一真必真，“非p ”型命题和命题p 的真假相反．所以答案是D ．3．已知命题p 、q ，如果p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件，那么q 是p 的（ ） A 必要不充分条件B 充分不必要条件C 充要条件D 既不充分也不必要答案：B解析：因为互为逆否命题的命题真假相同，所以q 是p 充分不必要条件，答案是B ．4．命题“若090=∠C ，则ABC ∆是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（ ）A 0B 1C 2D 3答案：C解析：原命题是真，则逆否命题为真，逆命题为假，所以否命题为假，即有两个真命题，答案是C ．5．下列命题中为全称命题的是（ ）A 有些圆内接三角形是等腰三角形 ；B 存在一个实数与它的相反数的和不为0；C 所有矩形都有外接圆 ；D 过直线外一点有一条直线和已知直线平行．答案：C解析：“所有的”、“任意一个”等属于全称量词，“存在一个”、“至少有一个”等属于存在量词，因此全称命题是C ，答案为C ．6．下列全称命题中真命题的个数是（ ）①末位是0的整数，可以被3整除；②对12,2+∈∀x Z x 为奇数． ③角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等；A 0B 1C 2D 3答案：C解析：①比如10，末位是0，但不能被3整除，所以是假命题；②③是真命题．答案是C ．7．下列特称命题中假命题的个数是（ ）①0,≤∈∃x R x ；②有的菱形是正方形；③至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数．A 0B 1C 2D 3答案：A解析：①比如-1，；②正方形都是菱形③1既不是合数也不是素数．答案是A ．8．命题“存在一个三角形，内角和不等于 180”的否定为（ ）A 存在一个三角形，内角和等于 180B 所有三角形，内角和都等于 180C 所有三角形，内角和都不等于 180D 很多三角形，内角和不等于180．答案：B解析：存在命题的否定是全称命题：“所有三角形，内角和都等于 180”．答案是B ．9．命题“a 、b 都是偶数，则a+b 是偶数”的逆否命题是 __________ ．答案：若a+b 不是偶数，则a 、b 不都是偶数．解析：“是”的否定是“不是”，“都是”的否定是“不都是”．10．（1）如果命题“p 或q ”和“非p ”都是真命题，则命题q 的真假是_________．（2）如果命题“p 且q ”和“非p ”都是假命题，则命题q 的真假是_________． 答案：（1）真；（2）假解析：（1）“p 或q ”型命题一真则真，“非p ”型命题和命题p 真假相反．所以“非p ”为真则p 为假，又因为“p 或q ”为真，所以q 为真．（2）“p 且q ”型命题一假必假，“非p ”型命题和命题p 真假相反．所以“非p ”为假则p 为真，又因为“p 且q ”为假，所以q 为假．11．填空：指出下列复合命题的真假．(1)5和7是30的约数．（ ）(2)菱形的对角线互相垂直平分． （ ）(3)8x －5＜2无自然数解． （ ）答案：（1）真；（2）真；（3）假解析：(1) “p 或q ”的形式．其中p ：5是30的约数；q ：7是30的约数，为真命题．(2) “p 且q ”．其中p ：菱形的对角线互相垂直；q ：菱形的对角线互相平分；为真命题．(3)是“┐p ”的形式．其中p ：8x －5＜2有自然数解．∵p ：8x －5＜2有自然数解．如x ＝0，则为真命题．故“┐p ”为假命题．12．填空：判断下列命题真假：（1）10≤8（ ）（2）π为无理数且为实数（ ）（3）2+2=5或3＞2（ ）（4）若A ∩B=∅，则A=∅或B=∅（ ）．答案：（1）假命题；（2）真命题；（3）真命题．（4）假命题．解析：（1）10>8；（2）π为无限不循环小数，所以是无理数且是实数；（3）“p 或q ”型命题一真则真，3＞2为真，所以命题为真；（4）若A={有理数}，B={无理数}，则A ∩B=∅．13．求关于x 的一元二次不等式ax ax >+12对于一切实数x 都成立的充要条件． 解析：求一个问题的充要条件，就是把这个问题进行等价转化由题可知等价于000004040a a a a a a ≠⎧⎪=>⇔=<<⇔≤<⎨⎪∆<⎩或或14．证明：对于R y x ∈,，0xy =是220x y +=的必要不充分条件． 解析：要证明必要不充分条件，就是要证明两个，一个是必要条件，另一个是不充分条件必要性：对于R y x ∈,，如果220x y +=则0x =，0y = 即0xy =故0xy =是220x y +=的必要条件不充分性：对于R y x ∈,，如果0xy =，如0x =，1y =，此时220x y +≠ 故0xy =是220x y +=的不充分条件 综上所述：对于R y x ∈,，0xy =是220x y +=的必要不充分条件． 15．p ：210x -≤≤；q ：()110m x m m -≤≤+>．若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解析：由于p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则p 是q 的充分不必要条件于是有12101m m -≤-⎧⎨≤+⎩9m ∴≥16．已知p ：方程012=++mx x 有两个不等的负实根，q ：方程01)2(442=+-+x m x 无实根，若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．解析：由p 命题可解得2>m ，由q 命题可解得31<<m ；由命题p 或q 为真，p 且q 为假，所以命题p 或q 中有一个是真，另一个是假（1）若命题p 真而q 为假则有21,3m m m >≤≥⎧⎨⎩或3m ⇒≥（2）若命题p 真而q 为假，则有213m m ≤<<⎧⎨⎩12m ⇒<≤所以213≤<≥m m 或．。
2022高考数学一轮复习-命题及其关系、充分条件与必要条件
2022高考数学一轮复习-命题及其关系、充分条件与必要条件【2020年高考会如此考】1．考查四种命题的意义及相互关系．2．考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的明白得．3．考查题型要紧以选择题、填空题形式显现，常与集合、几何等知识结合命题．【复习指导】复习时一定要紧扣概念，联系具体数学实例，理清命题之间的相互关系，重点解决：(1)命题的概念及命题构成；(2)四种命题及四种命题间的相互关系；(3)充分条件、必要条件、充要条件的概念的明白得及判定．基础梳理1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，能够判定真假的陈述句叫做命题．其中判定为确实语句叫真命题，判定为假的语句叫假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若綈p，则綈q逆否命题若綈q，则綈p(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件(1)假如p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)假如p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．一个区别否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．两条规律(1)逆命题与否命题互为逆否命题；(2)互为逆否命题的两个命题同真假．三种方法充分条件、必要条件的判定方法(1)定义法：直截了当判定“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．(2)等价法：利用p⇒q与綈q⇒綈p，q⇒p与綈p⇒綈q，p⇔q与綈q⇔綈p的等价关系，关于条件或结论是否定式的命题，一样运用等价法．(3)集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．双基自测1．(人教A版教材习题改编)以下三个命题：①“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的必要条件；③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件．其中真命题的序号是________．解析①由2＞－3⇒/ 22＞(－3)2知，该命题为假；②a2＞b2⇒|a|2＞|b|2⇒|a|＞|b|，该命题为真；③a＞b⇒a＋c＞b＋c，又a＋c＞b＋c⇒a＞b；∴“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件为真命题．答案②③2．(2020·深圳)已知p：“a＝2”，q：“直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切”，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析由直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切得，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离等于圆的半径，即有|a|2＝1，a＝±2.因此，p是q的充分不必要条件．答案A3．(2011·山东)关于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y ＝f(x)是奇函数”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析若y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，∴|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，∴y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，但若y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，如y＝f(x)＝x2，而它不是奇函数，故选B.答案 B4．(2020·湖南) 命题“若α=4π,则tanα=1”的逆否命题是 （ ）A ．若α≠4π,则tanα≠1B ．若α=4π,则tanα≠1 C ．若tanα≠1,则α≠4πD ．若tanα≠1,则α=4π 解析 因为“若p ,则q ”的逆否命题为“若p ⌝,则q ⌝”,因此 “若α=4π,则tanα=1”的逆否命题是 “若tanα≠1,则α≠4π”.答案 C5．命题“若a ＞b ，则2a ＞2b －1”的否命题为 . 答案 若a ≤b ，则有2a ≤2b －1考向一 命题正误的判定【例1】►(2011·海南三亚)设集合A 、B ，有下列四个命题：①A ⊄B ⇔对任意x ∈A 都有x ∉B ；②A ⊄B ⇔A ∩B ＝∅；③A ⊄B ⇔B ⊄A ；④A ⊄B ⇔存在x ∈A ，使得x ∉B .其中真命题的序号是______(把符合要求的命题序号都填上)．[审题视点] 关于假命题，举出恰当的反例是一难点．解析 ①不正确，如A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，有A ⊄B 但2∈A 且2∈B . ②不正确，如A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，有A ⊄B 而A ∩B ＝{2}．③不正确，如A ＝{1,2}，B ＝{2}，有A ⊄B 但B ⊆A .④正确．答案 ④正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最差不多的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要．【训练1】给出如下三个命题：①四个非零实数a，b，c，d依次成等比数列的充要条件是ad＝bc；②设a，b∈R，且ab≠0，若ab＜1，则ba＞1；③若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．其中不正确命题的序号是()．A．①②③B．①②C．②③D．①③解析关于①，可举反例：如a，b，c，d依次取值为1,4,2,8，故①错；关于②，可举反例：如a、b异号，尽管ab＜1，但ba＜0，故②错；关于③，y＝f(|x|)＝log2|x|，明显为偶函数，故选B.答案 B考向二四种命题的真假判定【例2】►已知命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是()．A．否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题C．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题D．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题[审题视点] 分清命题的条件和结论，明白得四种命题间的关系是解题关键．解析f′(x)＝e x－m≥0在(0，＋∞)上恒成立，即m≤e x在(0，＋∞)上恒成立，故m≤1，这说明原命题正确，反之若m≤1，则f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，故逆命题正确，但对增函数的否定不是减函数，而是“不是增函数”，故选D. 答案 D判定四种形式的命题真假的差不多方法是先判定原命题的真假，再判定逆命题的真假，然后依照等价关系确定否命题和逆否命题的真假．假如原命题的真假不行判定，那就第一判定其逆否命题的真假．【训练2】已知命题“函数f(x)、g(x)定义在R上，h(x)＝f(x)·g(x)，假如f(x)、g(x)均为奇函数，则h(x)为偶函数”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是()．A．0 B．1 C．2 D．3解析由f(x)、g(x)均为奇函数，可得h(x)＝f(x)·g(x)为偶函数，反之则不成立，如h(x)＝x2是偶函数，但函数f(x)＝x2e x，g(x)＝e x都不是奇函数，故逆命题不正确，故其否命题也不正确，即只有原命题和逆否命题正确．答案 C考向三充要条件的判定【例3】►指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sin A＝sin B；(2)关于实数x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；(3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；(4)已知x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.[审题视点] 结合充分条件，必要条件的定义判定所给命题间的关系．解(1)在△ABC中，∠A＝∠B⇒sin A＝sin B，反之，若sin A＝sin B，因为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180°)，因此只有A＝B.故p是q的充要条件．(2)易知，綈p：x＋y＝8，綈q：x＝2且y＝6，明显綈q⇒綈p，但綈p⇒/ 綈q，即綈q是綈p的充分不必要条件，依照原命题和逆否命题的等价性知，p是q的充分不必要条件．(3)明显x∈A∪B不一定有x∈B，但x∈B一定有x∈A∪B，因此p是q的必要不充分条件．(4)条件p：x＝1且y＝2，条件q：x＝1或y＝2，因此p⇒q但q⇒/ p，故p是q的充分不必要条件．判定p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q，二是由条件q能否推得条件p.关于带有否定性的命题或比较难判定的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判定它的等价命题．【训练3】(2010·山东)设{a n}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{a n}是递增数列”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析a1＜a2且a1＞0，则a1(1－q)＜0，a1＞0且q＞1，则数列{a n}递增；反之亦然．答案：C难点突破2——高考中充要条件的求解从近几年课改区高考试题能够看出，高考要紧以选择题或填空题的形式对充分条件、必要条件内容进行考查，一样难度不大，属中档题，常与不等式、数列、向量、三角函数、导数、立体几何等内容结合考查．考查形式要紧有两种：一是判定指定的条件与结论之间的关系；二是探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件．判定充分、必要条件要从两方面考虑：一是必须明确哪个是条件，哪个是结论；二是看由条件推出结论和由结论推出条件哪个成立，该类问题尽管属于容易题，但有时会因颠倒条件与结论或因忽视某些隐含条件等细节而失分．一、充要条件与不等式的解题策略【示例】►(2011·天津)设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、充要条件与方程结合的解题策略【示例】►(2011·陕西)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.三、充要条件与数列结合的解题策略【示例】►(2010·山东)设{a n}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{a n}是递增数列”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件四、充要条件与向量结合的解题策略【示例】►(2010·福建)若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件五、充要条件与三角函数结合的解题策略【示例】►(2010·上海)“x＝2kπ＋π4(k∈Z)”是“tan x＝1”成立的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件。
2020届高三数学一轮复习人教版通用教师讲义：第2讲命题及其关系含详细答案
第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件1.命题(1)命题的概念:数学中把用语言、符号或式子表达的,能够判断的陈述句叫作命题.其中的语句叫作真命题, 的语句叫作假命题.(2)四种命题及其相互关系图1-2-1特别提醒:若两个命题互为逆否命题,则它们有相同的真假性.2.充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q,则p是q的条件.(2)如果q⇒p,则p是q的条件.(3)如果既有p⇒q,又有q⇒p,记作p⇔q,则p是q的条件.常用结论1.充要条件的两个结论:(1)若p是q的充分不必要条件,q是r的充分不必要条件,则p是r的充分不必要条件;(2)若p是q的充分不必要条件,则q是p的充分不必要条件.2.题组一常识题1.[教材改编]对于下列语句:①垂直于同一直线的两条直线必平行吗?②作△ABC∽△A'B'C'.③x2+2x-3<0.④四边形的内角和是360°.其中是命题的是.(填序号)2.[教材改编]有下面4个命题:①集合N中最小的数是1;②若-a不属于N,则a 属于N;③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2;④x2+1=2x的解集可表示为{1,1}.其中真命题的个数为.3.[教材改编]命题“若整数a不能被2整除,则a是奇数”的逆否命题是.4.[教材改编]“点P(x,y)在第一象限”是“x+y>1”的条件. 题组二常错题◆索引:命题的条件与结论不明确;含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提的情况;真、假命题的推理考虑不全面;对充分必要条件判断错误.5.命题“若a2+b2=0,a,b∈R,则a=b=0”的逆否命题是.6.已知命题“对任意a,b∈R,若ab>0,则a>0”,则它的否命题是.7.若命题“ax2-2ax-3>0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是.8.条件p:x>a,条件q:x≥2.①若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是;②若p是q的必要不充分条件,则a的取值范围是.9.已知p是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,那么p是q 的条件.探究点一四种命题及其相互关系例1 (1)对于命题“单调函数不是周期函数”,下列说法正确的是( )A.逆命题为“周期函数不是单调函数”B.否命题为“单调函数是周期函数”C.逆否命题为“周期函数是单调函数”D.以上都不正确(2)给出以下四个命题:①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;②“全等三角形的面积相等”的否命题;③“若q≤-1,则x2+x+q=0有实根”的逆否命题;④若ab是正整数,则a,b都是正整数.其中为真命题的是.(写出所有真命题的序号)[总结反思](1)求一个命题的其他三种命题时,需注意:①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写为“若p,则q”的形式;②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.(2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题为假命题,只需举出反例.(3)当不易直接判断一个命题的真假时,根据互为逆否命题的两个命题同真同假,可转化为判断其等价命题的真假.变式题(1)已知命题p:正数a的平方不等于0,命题q:若a不是正数,则它的平方等于0,则q是p的( )A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.否定(2)以下关于命题的说法正确的是.(填写所有正确说法的序号)①“若log2(a+1)>1,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是增函数”是真命题;②命题“若a≠0,则a(b+1)≠0”的否命题是“若a=0,则a(b+1)=0”;③命题“若x,y都是偶数,则(x+1)(y+1)是偶数”的逆命题为真命题;④命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”等价.探究点二充分、必要条件的判定例2 (1)[2018·北京卷]设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)“函数f(x)=a+ln x(x≥e)存在零点”是“a<-1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[总结反思]充分条件、必要条件的判定方法有定义法、集合法和等价转化法.三种不同的方法适用于不同的类型:定义法适用于定义、定理的判断问题;集合法多适用于命题中涉及参数的取值范围的推断问题;等价转化法适用于条件和结论中带有否定性词语的命题.变式题(1)[2018·深圳一模]已知数列{a n}是等比数列,则“a2>a1”是“数列{a n}为递增数列”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)“α=”是“sin 2α-cos 2α=1”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件探究点三充分、必要条件的应用例3 方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是( )A.0<a≤1B.a<1C.a≤1D.0<a≤1或a<0[总结反思]充分条件、必要条件的应用一般表现在参数问题的求解上,解题时通常把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.解题过程中要注意检验区间端点值.变式题(1)下面四个条件中,使a>b成立的必要而不充分条件是( )A.a-1>bB.a+1>bC.|a|>|b|D.a3>b3(2)[2018·衡阳4月调研]已知p:实数m满足m2+12a2<7am(a>0),q:方程-+-=1表示焦点在y轴上的椭圆,且p是q的充分不必要条件,则a的取值范围为.第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件考试说明 1.理解命题的概念;2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系;3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.【课前双基巩固】知识聚焦1.真假判断为真判断为假2.(1)充分(2)必要(3)充要对点演练1.④[解析]①是疑问句,不是命题;②是祈使句,不是命题;③不能判断真假,不是命题;④是命题.2.0[解析]①为假命题,集合N中最小的数是0;②为假命题,如a=不满足;③为假命题,如a=0,b=1,则a+b=1,比2小;④为假命题,所给集合中的元素不满足互异性.3.若整数a不是奇数,则a能被2整除[解析]以原命题结论的否定作条件、原命题条件的否定作结论得出逆否命题.4.既不充分也不必要[解析]取x=,y=,知充分性不成立;取x=-1,y=3,知必要性不成立.故为既不充分也不必要条件.5.若a≠0或b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0[解析]“若p,则q”的逆否命题为“若q,则p”,又a=b=0的实质为a=0且b=0,故其否定为a≠0或b≠0.6.对任意a,b∈R,若ab≤0,则a≤0[解析]“对任意a,b∈R”是大前提,在否命题中不变,又因为ab>0,a>0的否定分别为ab≤0,a≤0,所以原命题的否命题为“对任意a,b∈R,若ab≤0,则a≤0”.7.[-3,0] [解析]由已知可得ax2-2ax-3≤0恒成立.当a=0时,-3≤0恒成立;当a≠0时,得解得-3≤a<0.故-3≤a≤0.8.①a≥2②a<2[解析]①因为p是q的充分不必要条件,所以{x|x>a}⫋{x|x≥2},则a的取值范围是a≥2.②因为p是q的必要不充分条件,所以{x|x≥2}⫋{x|x>a},则a的取值范围是a<2.9.充分不必要[解析]依题意有p⇒r,r⇒s,s⇒q,∴p⇒r⇒s⇒q.又∵r⇒/ p,∴q⇒/ p.故p是q的充分不必要条件.【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)根据四种命题的构成判断即可.(2)对于①②,按照要求写出相应的逆命题、否命题,再判断真假;对于③,可直接利用原命题与逆否命题的等价性判断原命题的真假;对于④,直接判断.(1)D(2)①③[解析](1)根据四种命题的构成可知,选项A,B,C均不正确.故选D.(2)①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,显然为真命题;②否命题为“不全等的三角形的面积不相等”,而不全等的三角形的面积也可能相等,故为假命题;③原命题为真,所以它的逆否命题也为真,故③为真命题;④ab是正整数,但a,b不一定都是正整数,例如a=-1,b=-2,故④为假命题.所以答案是①③.变式题(1)B(2)①②④[解析](1)“正数a的平方不等于0”即“若a是一个正数,则它的平方不等于0”,其否命题为“若a不是正数,则它的平方等于0”,所以选B.(2)①正确,由log2(a+1)>1,得a+1>2,所以a>1,所以f(x)=log a x在其定义域内是增函数.②正确,由命题的否命题的定义知,该说法正确.③不正确,原命题的逆命题为“若(x+1)(y+1)是偶数,则x,y都是偶数”,是假命题,如(3+1)×(4+1)=20为偶数,但x=3,y=4.④正确,两者互为逆否命题,因此两命题等价.例2[思路点拨](1)将已知等式两边同时平方,可得出向量a,b的关系,从而得出结论;(2)通过研究单调性,求出函数存在零点的充要条件为a≤-1,从而得出结论.(1)C(2)B[解析](1)将|a-3b|=|3a+b|两边平方,得a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2.∵a,b均为单位向量,∴a·b=0,即a⊥b.反之,由a ⊥b可得|a-3b|=|3a+b|.故为充分必要条件.(2)因为f'(x)=>0,所以若函数f(x)=a+ln x(x≥e)存在零点,则f(e)≤0,即a≤-1,因此“函数f(x)=a+ln x(x≥e)存在零点”是“a<-1”的必要不充分条件,故选B.变式题(1)B(2)A[解析](1)当a1=-1,a2=2,公比q=-2时,虽然有a1<a2,但是数列{a n}不是递增数列,所以充分性不成立;反之,当数列{a n}是递增数列时,必有a1<a2,因此必要性成立.故选B.(2)由sin 2α-cos 2α=1得sin-=,所以2α-=2kπ+,k∈Z或2α-=2kπ+,k∈Z,即α=kπ+,k∈Z或α=kπ+,k∈Z,所以“α=”是“sin 2α-cos 2α=1”的充分而不必要条件,故选A.例3[思路点拨]直接法,分情况讨论;特例法,结合选项取特殊值验证.C[解析]方法一(直接法):当a=0时,x=-,符合题意.当a≠0时,若方程的两根为一正一负,则-⇒ ⇒a<0;若方程的两根均为负,则--⇒ ⇒0<a≤1.综上所述,所求充要条件是a≤1.方法二(排除法):当a=0时,原方程有一个负实根,可以排除A,D;当a=1时,原方程有两个相等的负实根,可以排除B.所以选C.变式题(1)B(2)[解析](1)“a>b”不能推出“a-1>b”,故选项A不是“a>b”的必要条件,不满足题意;“a>b”能推出“a+1>b”,但“a+1>b”不能推出“a>b”,故满足题意;“a>b”不能推出“|a|>|b|”,故选项C不是“a>b”的必要条件,不满足题意;“a>b”能推出“a3>b3”,且“a3>b3”能推出“a>b”,故是充要条件,不满足题意.故选B.(2)由a>0,m2-7am+12a2<0,得3a<m<4a,即p:3a<m<4a,a>0.由方程-+-=1表示焦点在y轴上的椭圆,可得2-m>m-1>0,解得1<m<,即q:1<m<.因为p是q的充分不必要条件,所以或解得≤a≤,所以实数a的取值范围是.【备选理由】例1考查对命题真假的判断,是一个开放式命题,答案不唯一,有利于学生发散思维;例2强化了充分、必要条件的判断方法和余弦定理、基本不等式的应用;例3主要考查了充要条件的判断;例4是以简单不等式的方式考查充分、必要条件的应用.例1[配合例1使用][2018·北京通州区三模]能够说明“设a,b,c是任意实数,若a>b>c,则a2>ab>c2”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为.[答案] 1,0,-1(此题答案不唯一)[解析]当a=1,b=0,c=-1时,满足a>b>c,不满足a2>ab>c2,∴命题是假命题.故答案可以为1,0,-1.例2[配合例2使用][2018·武汉4月调研]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知条件p:a≤,条件q:A≤,那么p是q成立的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[解析] A由条件p:a≤,知cos A=-≥-=-≥-=,当且仅当b=c=a时取等号,又A∈(0,π),∴0<A≤,∴A≤,即q成立.取A=,C=,B=,满足条件q,但是a>.∴p是q成立的充分而不必要条件.故选A.例3[配合例2使用][2018·莆田六中三模]在等比数列{a n}中,a2=-2,则“a4,a12是方程x2+3x+1=0的两根”是“a8=-1”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[解析] C因为a4,a12是方程x2+3x+1=0的两根,所以a4a12=1,因此=1,又因为a2=-2<0,所以a8<0,即a8=-1.从而“a4,a12是方程x2+3x+1=0的两根”是“a8=-1”的充要条件,故选C.例4[配合例3使用][2018·南昌模拟]在实数范围内,使得不等式>1成立的一个充分而不必要条件是( )A.x>0B.x<1C.0<x<1D.0<x<[解析]D∵>1,∴-<0,∴0<x<1.∵ ⫋(0,1),∴0<x<为不等式>1成立的一个充分而不必要条件,故选D.。
高二数学选修1-1第一章常用逻辑用语
常用逻辑用语一、命题及其关系考点：要点1．命题：一般地，把用语言、符号或式子表达的，可以推断真假的陈述句叫做命题．其中推断为真的语句叫做真命题，推断为假的语句叫做假命题．要点2．四种命题：(1)一般地，用p和q分别表示命题的条件和结论，用￢p和￢q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p；否命题：若￢p，则￢q；逆否命题：若￢q，则￢p．要点3.四种命题的关系：互为逆否的两个命题同真假.考点1. 命题及其真假推断：例1、推断下列语句是否是命题？若是，推断其真假并说明理由。
1）x>1或x=1；2）假如x=1，那么x=33)x2-5x+6=0； 4)当x=4时,2x＜0； 5)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?6)矩形莫非不是平行四边形吗? 7)矩形是平行四边形吗？；8)求证:若x∈R,方程x2-x+1=0无实根.解析：1）不是，x值不确定。
2）是，假命题3）不是命题.因为语句中含有变量x,在不给定变量的值之前,我们无法确定这语句的真假.同样如“2x＞0”也不是命题.4)是命题.它是作出推断的语言,它是一个假命题.5)不是命题.因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线平行作出推断,疑问句不是命题.6)是命题.通过反意疑问句对矩形是平行四边形作出了推断,它是真命题.7)不是.不是陈述句8)不是命题.它是祈使句,没有作出推断.如“把门关上”是祈使句,也不是命题.练一练： 1. 推断下列语句是不是命题。
（1）2+22是有理数；（2）1+1>2；（3）2100是个大数；（4）986能被11整除；（5）非典型性肺炎是怎样传播的？ （6）（6）x ≤3。
2. 推断下列语句是不是命题。
（1）矩形莫非不是平行四边形吗？ （2）垂直于同一条直线的两条直线平行吗？ （3）一个数不是合数就是质数。
（4）大角所对的边大于小角所对的边； （5）y+x 是有理数，则x 、y 也是有理数。
2-1 命题、定理、定义(原卷版)
2.1命题、定理、定义一、命题1、命题概念：在数学中，我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题。
【注意】（1）不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题；（2）只有能够判断真假的陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句都不是命题；3、命题的分类：命题中，判断为真的语句叫作真命题，判断为假的命题叫作假命题。
（1）判断命题真假的依据为常见的公理、定理、推论等；（2）一个命题不是真命题，就是假命题，不能模棱两可；（3）判断含参命题的真假，需要将命题转化为恒成立或存在性语句进行讨论研究。
4、判断一个命题真假的方法：在数学中，要判断一个命题是假命题，只需要举一个反例即可；而要书名一个命题是真命题，要经过严格的逻辑推理，一般根据已有的知识（如数学中的定义、定理、公式等）判断。
二、命题的结构形式1、命题的一般形式：“若p，则q”，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论。
2、确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式.三、公理、定理、定义1、公理、公认的真命题称为公理，它不需要证明，可以作为推理的依据而直接使用。
2、定理：已经被证明为真的命题，可以作为推理的依据为直接使用。
3、定义：定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或揭示所研究对象中对象的内涵，定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别题型一 命题概念的理解【例1】下列语句为命题的是（ ）A ．1x >B ．你们好！C ．下雨了吗？D ．对顶角相等【变式1-1】下列语句中不是命题的有（ ）①230x -=；②与一条直线相交的两直线平行吗？③315+=；④536x -=． A ．①③④ B ．①②③ C ．①②④ D ．②③④【变式1-2】下列语句是命题的是（ ） A ．鹿晗很帅 B ．请把手机收起来！ C ．10x + D ．1sin302︒=【变式1-3】唐代诗人王维，字摩诘，在后世有“诗佛”之称，北宋苏轼评曰 “味摩诘之诗，诗中有画；观摩诘之画，画中有诗.”在王维《相思》这首诗中，哪一句可以作为命题（ ）A ．红豆生南国B ．春来发几枝C ．愿君多采撷D ．此物最相思【变式1-4】关于区间()=+∞,I a ，有下列四个命题：甲：小于1的数都不在区间I 内乙：区间I 内不存在两个数互为倒数丙：区间I 内存在小于1的数丁：区间I 内每个数的平方都大于它本身如果只有一个假命题，则该命题是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁题型二 命题的结构形式【例2】写出下列命题的条件与结论.（1）如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应高相等；（2）如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等； （3）若一个四边形是菱形，则这个四边形的四边相等；（4）若两条直线被一组平行线所截，则所得的对应线段成比例.【变式2-1】写出下列命题的条件和结论.（1）如果两个三角形相似，那么这两个三角形的对应角相等；（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角相等；（3）若a ，b 都是偶数，则a b +是偶数；（4）若两个实数的积为正数，则这两个实数的符号相同；（5）若a b =，则2a ab =；（6）若1q ≥-，则方程220x x q +-=有实数解.【变式2-2】将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式．（1）6是12和18的公约数；（2）当a ＞－1时，方程ax 2＋2x －1＝0有两个不相等的实数根；（3）平行四边形的对角线互相平分．【变式2-3】将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式.（1）平面内垂直于同一条直线的两条直线平行；（2）平行于同一条直线的两条直线平行；（3）两个无理数的和是无理数；（4）乘积为正数的两个数同号；（5）两个奇数的和是偶数；（6）矩形的四个角相等；（7）等腰三角形的两个底角相等；（8）直径所对的圆周角是直角.题型三 命题真假的判断【例3】命题“若1x >，则1≥x ”是____________命题（填“真”或“假”其中一个）.【变式3-1】（多选）下列说法中，以下是真命题的是（ ）．A ．存在实数0x ，使200240x x +-=+B ．所有的素数都是奇数C ．至少存在一个正整数，能被5和7整除.D ．三条边都相等的三角形是等边三角形【变式3-2】（多选）下列命题是假命题的为（ ）A ．若11x y=，则x y = B ．若21x =，则1x = C ．若x y =x y D ．若x y <，则22x y <【变式3-3】（多选）给出以下四个命题，其中真命题是:（ ）A ．命题“若,x y 互为相反数，则0x y +=”B ．命题“两个全等三角形的面积比等于周长比的平方”C ．命题“若1q ≤-，则20x x q ++=有实根”D ．命题“若ab 是正整数，则,a b 都是正整数”题型四 已知命题的真假求参数【例4】命题:p 存在实数x ，使得,3,4x 能成为三角形的三边长.若命题p 为假命题，则x 的取值范围是______________.【变式4-1】已知不等式x ＋3≥0的解集是A ，若a ∈A 是假命题，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥－3B ．a >－3C ．a ≤－3D ．a <－3【变式4-2】若[]2,5x ∈和{|1x x x ∈<或}4x >都是假命题，则x 的范围是__________【变式4-3】若“方程2320ax x -+=有两个不相等的实数根”是真命题，则a 的取值范围是_______.【变式4-4】给定两个命题，p ：对于任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立；q ：关于x 的方程20x x a -+=有实数根；（1）若p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）如果p 与q 中至少有一个为真命题，求实数a 的取值范围；（3）如果p 与q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围．。
命题思维——精选推荐
命题思维 命题思维 1.命题： 命题指⼀个判断(陈述)的语义(实际表达的概念)，这个概念是可以被定义并观察的现象。
命题不是指判断(陈述)本⾝，⽽是指所表达的语义。
2.命题的分类： 1.命题分为模态命题和⾮模态命题。
1.1模态命题分为真值模态命题和规范模态命题。
1.1.1真值模态命题分为必然命题和可能命题(“可能命题”也叫“或然命题”)。
1.1.2规范模态命题分为必须命题、允许命题、禁⽌命题。
1.2⾮模态命题分为简单命题和复合命题。
1.2.1简单命题分为直⾔命题和关系命题。
1.2.2复合命题分为联⾔命题、选⾔命题、假⾔命题、负命题。
概念解释： (1)模态命题：是⼀切包括可能、必然、必须、禁⽌等模态词的命题。
(2)真值模态命题：陈述事物情况的必然性或可能性的命题。
包含“必然”、“可能”等模态词。
(3)必然命题：陈述事物情况的必然性的命题。
(4)可能命题(“可能命题”也叫“或然命题”)：是陈述事物情况的可能性的命题。
(5)规范模态命题：陈述⼈们⾏为规范的命题。
包含“必须”、“允许”、“禁⽌”等模态词。
(6)直⾔命题：反映事物具有或不具有某种属性的命题。
(7)关系命题：陈述事物之间的关系的简单命题。
(8)复合命题：包含了其它命题的命题，通常是由两个以上的其它命题构成。
(9)联⾔命题：反映若⼲事物情况同时存在同存共真的命题。
(10)选⾔命题：反映若⼲事物情况⾄少有⼀种情况或者只能有⼀种情况存在的命题。
(11)假⾔命题：反映⼀种事物存在是另⼀种事物存在的条件。
(12)负命题：否定某⼀命题的命题。
3.命题的关系 (1)能够判断真假的陈述句叫做命题，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。
(2)“若p，则q”形式的命题中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论。
(3)原命题：⼀个命题的本⾝称之为原命题。
(4)互逆命题：对于两个命题，如果⼀个命题的条件和结论分别是另外⼀个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中⼀个命题叫做原命题，另外⼀个命题叫做原命题的逆命题。
高中数学第一章常用逻辑用语11命题北师大版1-1!
1.1 命题学习目标1. 理解命题的概念及命题的构成，会判断一个命题的真假.2. 理解四种命题及其关系，掌握互为逆否命题的等价关系及真假判断.知识点一命题的概念思考 1给出下列语句：①若直线 a∥ b，则直线 a 和直线 b 无公共点；②3＋ 6＝ 7；③偶函数的图像关于 y 轴对称；④5能被 4 整除 .请你找出上述语句的特点.答案上述语句有两个特点：①都是陈述句；②能够判断真假.梳理(1) 定义可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题.(2)分类①真命题：判断为真的语句叫作真命题；②假命题：判断为假的语句叫作假命题.知识点二命题的形式思考 1你能把“内错角相等”写成“若, ，则 , ”的形式吗？答案若两个角为内错角，则这两个角相等.思考 2“内错角相等”是命题吗？如果是命题，是真命题还是假命题？答案是命题，是假命题.梳理命题的形式：“若p，则 q”，其中命题的条件是p，结论是 q.由 p 能推出 q，则为真命题.能举一反例即可确定为假命题.知识点三四种命题的概念思考给出以下四个命题：(1)当 x＝2时， x2－3x＋2＝0；(2)若 x2－3x＋2＝0，则 x＝2；(3)若 x≠2，则 x2－3x＋2≠0；(4)若 x2－3x＋2≠0，则 x≠2.你能说出命题(1) 与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？答案命题 (1) 的条件和结论与命题(2) 的条件和结论恰好互换了. 命题 (1) 的条件与结论恰好是命题 (3) 条件的否定和结论的否定. 命题 (1) 的条件和结论恰好是命题(4) 结论的否定和条件1的否定 .梳理一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这两个命题叫作互逆命题.如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把这两个命题叫作互否命题.如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这两个命题叫作互为逆否命题.把第一个叫作原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题.知识点四四种命题的关系及其真假判断思考 1 原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其否命题呢？答案互逆、互否、互为逆否 .思考 2 如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？它的否命题呢？它的逆否命题呢？答案原命题为真，其逆命题不一定为真，其否命题不一定为真，其逆否命题一定是真命题 .梳理(1) 四种命题的相互关系(2) 在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是逆否命题.(3) 两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性没有关系.类型一命题的概念例 1下列语句：(1)2是无限循环小数； (2) x2－ 3x＋ 2＝ 0；(3) 当x＝ 4 时， 2x>0； (4) 垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？(5) 一个数不是合数就是素数；(6) 作△ABC≌△A′B′C′；(7) 二次函数的图像太美了！(8)4 是集合 {1 ，2， 3} 中的元素 .其中是命题的是 ________.( 填序号 )答案(1)(3)(5)(8)解析本题主要考查命题的判断，判断依据：一是陈述句；二是看能否判断真假 .(1) 是命题，能判断真假； (2) 不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量 x 赋值前，我们无法判断语句的真假； (3) 是命题； (4) 不是命题，因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断； (5) 是命题； (6) 不是命题； (7) 不是命题； (8) 是命题 . 故答案为 (1)(3)(5)(8).反思与感悟一般地，判定一个语句是不是命题，要先判断这个语句是不是陈述句，再看能不能判断真假.2其流程图如图：跟踪训练1下列语句中，是命题的为________.①红豆生南国；②作射线 AB；③中国领土不可侵犯！④当 x≤1时， x2－3x＋2≤0.答案①④解析②和③都不是陈述句，根据命题定义可知①④是命题.类型二四种命题及其相互关系命题角度1四种命题的概念例 2写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假.(1) 若· <0，则方程2－＋＝ 0 有实数根；m n mx x n(2) 弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧；(3) 若 m≤0或 n≤0，则 m＋ n≤0；(4) 在△ ABC中，若 a>b，则∠ A>∠B.解(1) 逆命题：若方程mx2－ x＋ n＝0有实数根，则m· n<0，假命题.2否命题：若 m·n≥0，则方程 mx－ x＋ n＝0没有实数根，假命题.2m· n≥0，真命题.逆否命题：若方程 mx－ x＋ n＝0没有实数根，则(2) 逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，真命题 .否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧，真命题 .逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，真命题 .(3)逆命题：若 m＋ n≤0，则 m≤0或 n≤0，真命题.否命题：若m>0且 n>0，则 m＋ n>0，真命题.逆否命题：若m＋ n>0，则 m>0且 n>0，假命题.(4)逆命题：在△ ABC中，若∠ A>∠ B，则 a>b，真命题.否命题：在△ ABC中，若 a≤ b，则∠ A≤∠ B，真命题.逆否命题：在△ABC中，若∠ A≤∠ B，则 a≤b，真命题.反思与感悟四种命题的转换方法(1) 交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题.(2) 同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题.3(3) 交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题 .跟踪训练 2 命题“若函数 f ( x ) ＝log a x ( a >0，a ≠1) 在其定义域内是减函数， 则 log a 2<0”的逆否命题是 ()A. 若 log a 2<0，则函数 f ( x ) ＝ log a x ( a >0， a ≠1) 在其定义域内不是减函数B. 若 log a 2≥0，则函数f ( x ) ＝ log a ( >0， ≠1) 在其定义域内不是减函数x a aC. 若 log a 2<0，则函数f ( x )＝log a x ( a >0， a ≠1)在其定义域内是减函数D. 若 log a 2≥0，则函数f ( x )＝log a x ( a >0， a ≠1)在其定义域内是减函数答案B解析 直接根据逆否命题的定义，将其条件与结论进行否定，再互换，值得注意的是“是减 函数”的否定不能写成“是增函数”，而应写成不是减函数. 命题角度 2四种命题的相互关系例 3若命题 p ：“若 x ＋ y ＝ 0，则 x ， y 互为相反数”的否命题为q ，命题 q 的逆命题为r ， 则 r 与 p 的逆命题的关系是() A. 互为逆命题 B. 互为否命题 C. 互为逆否命题 D. 同一命题 答案 B解析 已知命题 p ：若 ＋ ＝ 0，则 x ， y 互为相反数 .x y命题 p 的否命题 q 为：若 x ＋ y ≠0，则 x ，y 不互为相反数， 命题 q 的逆命题 r 为：若 x ， y 不互为相反数，则x ＋ y ≠0， ∴ r 是 p 的逆否命题，∴ r 是 p 的逆命题的否命题，故选B.反思与感悟(1) 判断四种命题之间四种关系的两种方法 ①利用四种命题的定义判断；②巧用“逆、否”两字进行判断，如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”一个字，是 互否关系；而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字，其关系为逆否关系. (2) 要判断四种命题的真假：首先， 要熟悉四种命题的相互关系， 注意它们之间的相互性； 其 次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握. 跟踪训练 3有下列四个命题：①“若 x ＋ y ＝0，则 x ，y 互为相反数”的否命题； ②一个实数不是正数就是负数；③“若 x ≤－3，则 x 2－ x －6>0”的否命题； ④“同位角相等”的逆命题.4其中真命题的个数是________.答案1解析①“若 x＋ y≠0，则 x， y 不是相反数”，是真命题.②实数 0 既不是正数，也不是负数，所以原命题是假命题.③“若 x>－3，则 x2－ x－6≤0”，解不等式 x2－ x－6≤0可得－2≤ x≤3，而 x＝4>－3不是不等式的解，故是假命题 .④“相等的角是同位角”，是假命题.类型三等价命题的应用例 4判断命题“已知a，x 为实数，若关于 x 的不等式 x2＋(2 a＋1) x＋ a2＋2≤0的解集非空，则 a≥1”的逆否命题的真假.解方法一原命题的逆否命题：已知a， x 为实数，若a<1，则关于x 的不等式 x2＋(2 a＋1)x＋ a2＋2≤0的解集为?，判断如下：抛物线 y＝ x2＋(2 a＋1) x＋a2＋2的开口向上，令 x2＋(2 a＋1) x＋ a2＋2＝0，则＝ (2 a＋ 1) 2－ 4( a2＋ 2) ＝4a－ 7.因为 a<1，所以4a－7<0，即关于 x 的不等式 x2＋(2 a＋1) x＋a2＋2≤0的解集为?.故此命题为真命题.方法二利用原命题的真假去判断逆否命题的真假.因为关于 x 的不等式 x2＋(2 a＋1) x＋ a2＋2≤0的解集非空，所以 (2 a＋ 1) 2－4( a2＋2) ≥0，即 4 －7≥0，解得≥7≥1，a a 4所以原命题为真，故其逆否命题为真.引申探究2 2 7判断命题“已知 a，x 为实数，若关于 x 的不等式 x ＋(2 a＋ 1) x＋a＋2>0的解集为 R，则a<4”的逆否命题的真假 .解先判断原命题的真假如下：因为 a，x 为实数，关于 x 的不等式 x2＋(2 a＋1) x＋a2＋2>0的解集为R，且抛物线 y＝ x2＋(2 a ＋ 1) x＋a2＋ 2 的开口向上，所以＝ (2 a＋1) 2－ 4( a2＋ 2) ＝ 4a－ 7<0，7所以 a<4.5所以原命题是真命题.因为互为逆否命题的两个命题同真同假，所以原命题的逆否命题为真命题.反思与感悟由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的两个命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题.跟踪训练4证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则 a≠2b＋1.证明“若 a2－4b2－2a＋1≠0，则 a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则 a2－4b2－2a ＋ 1＝0”.∵ a＝2b＋1，∴a2－4b2－2a＋1＝(2 b＋1)2－4b2－2(2 b＋1)＋1＝4b2＋1＋ 4b－4b2－ 4b－ 2＋ 1＝0.∴命题“若a＝2b＋1，则 a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题.由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确.1. 下列语句是命题的是()A.2 014 是一个大数B.若两条直线平行，则这两条直线没有公共点C.对数函数是增函数吗D.a≤15答案B解析A、D 不能判断真假，不是命题； B 能够判断真假而且是陈述句，是命题；C 是疑问句，不是命题 .2. 命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是()A.两个平面B.一条直线C.垂直D.两个平面垂直于同一条直线答案 D解析只要分清命题中的条件和结论即可.3. 命题“若f ( x)是奇函数，则 f (－ x)是奇函数”的否命题是()A. 若f ( x) 是偶函数，则f (－ x)是偶函数6B. 若f ( x ) 不是奇函数，则f (－ x )不是奇函数C. 若f ( －x ) 是奇函数，则f ( x )是奇函数D. 若f ( －x ) 不是奇函数，则f ( x )不是奇函数 答案B解析否命题是既否定条件又否定结论.因此否命题应为“若f ( x )不是奇函数，则 f (－ x )不是奇函数”.4. 命题“若 a >b ，则 ac 2>bc 2( a ， b ，c ∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的 个数为() A.0B.2 C.3D.4 答案B解析命题“若 a >b ，则 ac 2>bc 2( a ， b ， c ∈R)”是假命题， 则其逆否命题是假命题.该命题的逆命题为“若ac 2>bc 2，则 a >b ( a ， b ， c ∈R)”是真命题，则其否命题是真命题. 故 选 B.5. 给出以下命题：①“若 x 2＋ y 2≠0，则 x 、 y 不全为零”的否命题； ②“正多边形都相似”的逆命题；③“若 >0，则 x2＋ － ＝ 0 有实根”的逆否命题 .m x m其中为真命题的是 ________. 答案 ①③解析 ①否命题是“若 x 2＋ y 2＝ 0，则 x ， y 全为零”，真命题 .②逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”，假命题 .③∵ ＝ 1＋ 4m ，当 m >0 时， >0，∴ x 2＋ x － m ＝ 0 有实根，即原命题为真 . ∴逆否命题为真 .1. 可以判断真假的陈述句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可 .2. 任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p ，则 q ”的形式.含有大前提的命题写 成“若 p ，则 q ”的形式时，大前提应保持不变.3. 写四种命题时，可以按下列步骤进行： (1) 找出命题的条件 p 和结论 q ；(2) 写出条件 p 的否定和结论 q 的否定； (3) 按照四种命题的结构写出所有命题.4. 判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础.740 分钟课时作业一、选择题1. 下列语句中，不能成为命题的是() A.5>12 B. x >0C. 已知 a 、 b 是平面向量，若 a ⊥ b ，则 a · b ＝0D. 三角形的三条中线交于一点 答案B解析 A 是假命题， C 、D 是真命题， B 中含变量x ，未指定x 的取值范围，无法判断真假，故不是命题 .2. 下列说法正确的是 ()A. 命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B. 语句“最高气温 30℃时我就开空调”不是命题C. 命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D. 语句“当 a >4时，方程 x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题 答案 D解析 对于 A ，改写成“若，则 ”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；pqB 所给语句是命题；C 的反例可以是“用边长为 3 的等边三角形与底边为3，腰为 2 的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明 .故选 D.3. 已知命题“若ab ≤0，则 ≤0或 ≤0”，则下列结论正确的是 ()a b A. 真命题，否命题：“若 ab >0，则 a >0 或 b >0”B. 真命题，否命题：“若 ab >0，则 a >0 且 b >0”C. 假命题，否命题：“若>0，则 >0 或 b >0”ab aD. 假命题，否命题：“若 ab >0，则 a >0 且 b >0”答案 B解析 “若 a >0 且 >0，则 >0”是真命题，又“若 >0 且 b >0，则>0”是“若≤0，babaab ab 则 a ≤0 或 b ≤0”的逆否命题，故原命题为真命题. 已知命题的否命题是“若ab >0，则 a >0且 b >0”.4. 下列命题中为真命题的是 ()A. 命题“若x >2 016，则 x >0”的逆命题B. 命题“若xy ＝0，则 x ＝0或 y ＝0”的逆否命题C. 命题“若x 2＋x －2＝0，则 x ＝1”D. 命题“若x 2≥1，则 x ≥1”的逆否命题8答案B解析A 选项，“若x >2 016，则x >0”的逆命题为“若x >0，则 x >2 016”是假命题；B 选项， “若 xy ＝0，则 x ＝0或 y ＝0”的逆否命题为“若 x ≠0且 y ≠0，则 xy ≠0”是真命题；C 选 项，由 x 2＋x －2＝0，得 x ＝1或 x ＝－2，故C 是假命题；D 选项，“若 x 2≥1，则 x ≥1”是 假命题，故其逆否命题是假命题.5. 若命题p 的否命题为q ，命题 p 的逆否命题为 r ，则 q 与 r 的关系是() A. 互逆命题B. 互否命题C. 互为逆否命题D. 以上都不正确 答案A6. 已知命题“若 a ， b ， c 成等比数列，则 b 2＝ac ”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中， 真命题的个数是 ( ) A.0B.1C.2D.3 答案B解析命题“若 a ， b ， c 成等比数列，则 b 2＝ac ”是真命题，故其逆否命题是真命题.该命题的逆命题为“若b 2＝ ac ，则 a ，b ，c 成等比数列”是假命题，故其否命题也是假命题， 故选 B.7. 下列命题： (1) 若“a 2<b 2，则a <b ”的逆命题； (2) “全等三角形面积相等”的否命题；(3) “若 a ≥0，则 2－ 2 ax ＋ ＋ 3>0 的解集为 R ”的逆否命题； (4) “若 3 ( x ≠0) 为有理数，axax则 x 为无理数” . 其中正确的命题是 ( ) A.(3)(4) B.(1)(3) C.(1)(2) D.(2)(4)答案 A解析 对于 (1) ，逆命题是“若 a <b ，则 a 2<b 2”，易知是假命题；对于 (2) ，否命题是“若两个三角形不全等， 则这两个三角形的面积不相等”， 易知是假命题； 对于 (3) ，结论成立的条件是a ＝ 0 或 a >0，2 2－4a ＋ 3aa故 a ≥0，原命题与其逆否命题真假性相同，所以 (3) 正确；对于 (4) ，若 x 为有理数，则3 x 必为无理数，因为3 为有理数，故 x 为无理数，则 (4) 正x确，故选A. 二、填空题8. 已知命题：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 若把上述命题改为 “若 p ，则 q ”的形式，则p 是________________________________________________，9q 是 ________________________________________________________________________.答案 一个点在线段的垂直平分线上这个点到线段的两个端点的距离相等9. 已知命题 p 的逆命题是“若实数 a ，b 满足 a ＝1且 b ＝2，则 a ＋ b <4”，则命题 p 的否命题 是 __________________________________.答案 若实数 ， b 满足 a ＋ ≥4，则 a ≠1或 b ≠2a b解析由命题 p 的逆命题与其否命题互为逆否命题可得.10. 在命题“若抛物线 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c 的开口向下，则{ x | ax 2＋ bx ＋ c <0}≠?”的逆命题、否 命题、逆否命题中结论成立的个数是________. 答案1解析 原命题是真命题，则其逆否命题是真命题，该命题的逆命题是假命题，则其否命题也 是假命题，故答案为1. 11. 给定下列命题：①若 k >0，则方程 x 2－2x － k ＝0有实数根； ②若 x ＋ y ≠8，则 x ≠2或 y ≠6； ③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若 xy ＝0，则 x ， y 中至少有一个为零”的否命题. 其中真命题的序号是________. 答案 ①②④解析①∵＝4－ 4( － k ) ＝ 4＋ 4k >0， ∴①是真命题.②其逆否命题为真，故②是真命题.③逆命题：“对角线相等的四边形是矩形”是假命题. ④否命题：“若xy ≠0，则 x ， y 都不为零”是真命题. 三、解答题12. 判断命题：“若b ≤－ 1，则关于x 的方程x 2－ 2bx ＋b 2＋b ＝ 0 有实根”的逆否命题的真假. 解 方法一 因为原命题与逆否命题真假性一致， 所以只需判断原命题的真假即可. 方程判别式为＝ 4b 2－ 4( b 2＋ b ) ＝－ 4b ，因为 b ≤－ 1，所以≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真 .方法二( 利用逆否命题 ) 原命题的逆否命题为“若关于 x 的方程 x 2－ 2bx ＋ b 2＋ b ＝ 0 无实根，则 b >－1”.方程判别式为＝ 4 2－4(b 2＋ )＝－4 ，b b b因为方程无实根，所以 <0，即－ 4b <0，所以 b >0，10高中数学第一章常用逻辑用语11命题北师大版1-1!所以 b>－1成立，即原命题的逆否命题为真.13.已知奇函数 f ( x)是定义域为R的增函数， a， b∈R，若 f ( a)＋ f ( b)≥0，求证： a＋ b≥0.证明假设 a＋b<0，则 a<－ b.∵ f ( x)在R上是增函数，∴f ( a)< f (－ b)，又∵ f ( x)为奇函数，∴f (－b)＝－ f ( b)，∴ f ( a)<－ f ( b).即 f ( a)＋ f ( b)<0.∴原命题的逆否命题为真，故原命题为真.11。
第一章 常用逻辑用语全章教案
第一课时 1.1.1 命题及其关系（一）教学要求：了解命题的概念，会判断一个命题的真假，并会将一个命题改写成“若p，则q”的形式.教学重点：命题的改写.教学难点：命题概念的理解.教学过程：一、复习准备：阅读下列语句，你能判断它们的真假吗？（1）矩形的对角线相等；>；（2）312>吗？（3）312（4）8是24的约数；（5）两条直线相交，有且只有一个交点；（6）他是个高个子.二、讲授新课：1. 教学命题的概念：①命题：可以判断真假的陈述句叫做命题（proposition）. 也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件.上述6个语句中，（1）（2）（4）（5）（6）是命题.②真命题：判断为真的语句叫做真命题（true proposition）；假命题：判断为假的语句叫做假命题（false proposition）.上述5个命题中，（2）是假命题，其它4个都是真命题.③例1：判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数；（3）2小于或等于2；（4）对数函数是增函数吗？x<；（5）215（6）平面内不相交的两条直线一定平行；（7）明天下雨.（学生自练→个别回答→教师点评）④探究：学生自我举出一些命题，并判断它们的真假.2. 将一个命题改写成“若p，则q”的形式：①例1中的（2）就是一个“若p，则q”的命题形式，我们把其中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.②试将例1中的命题（6）改写成“若p，则q”的形式.③例2：将下列命题改写成“若p，则q”的形式.（1）两条直线相交有且只有一个交点；（2）对顶角相等；（3）全等的两个三角形面积也相等.（学生自练→个别回答→教师点评）3. 小结：命题概念的理解，会判断一个命题的真假，并会将命题改写“若p，则q”的形式.三、巩固练习：1. 练习：教材P41、2、32. 作业：教材P9第1题第二课时 1.1.2 命题及其关系（二）教学要求：进一步理解命题的概念，了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.教学重点：四种命题的概念及相互关系.教学难点：四种命题的相互关系.教学过程：一、复习准备：指出下列命题中的条件与结论，并判断真假：（1）矩形的对角线互相垂直且平分； （2）函数232y x x =-+有两个零点. 二、讲授新课：1.（师生共析→学生说出答案→教师点评）②例1：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假： （1）同位角相等，两直线平行； （2）正弦函数是周期函数；（3）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. （学生自练→个别回答→教师点评） 2. 教学四种命题的相互关系：①讨论：例1中命题（2）与它的逆命题、否命题、逆否命题间的关系. ②四种命题的相互关系图：③讨论：例1中三个命题的真假与它们的逆命题、否命题、逆否命题的真假间关系.④结论一：原命题与它的逆否命题同真假；结论二：两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系. ⑤例2 若222p q +=，则2p q +≤.（利用结论一来证明）（教师引导→学生板书→教师点评） 3. 小结：四种命题的概念及相互关系. 三、巩固练习：1. 练习：写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假. （1）函数232y x x =-+有两个零点；（2）若a b >，则a c b c +>+； （3）若220x y +=，则,x y 全为0；（4）全等三角形一定是相似三角形； （5）相切两圆的连心线经过切点.2. 作业：教材P9页 第2（2）题 P10页 第3（1）题1.1.3 四种命题间的相互关系 教学目标：1.了解命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.明白四种命题之间的关系.3.会利用两个命题互为逆否命题的关系判别命题的真假． 授课类型：新授课 教学重点：四种命题的关系． 教学难点：判断两个命题关系及真假． 教学方法： 读、议、讲、练结合教学． 教学过程： 一、引入请判断下列语句的真假，能否看出这些语句的表达形式有什么特点？（1）如果直线a∥b，那么直线a和直线b无公共点；（2）2 + 4 = 7；（3）平行于同一条直线的两条直线平行；（4）若x2 = 1 , 则x= 1 ；（5）两个全等三角形的面积相等；（6）3能被2整除.分析得到命题的概念：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．强调判断命题的两个基本条件：①必须是一个陈述句；②可以判断真假．判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数；=-（32（4）在同一平面内,如果两条直线不相交，那么这两条直线平行；（5）指数函数是增函数吗？；（6）x > 15 ．二、讲授新课1、命题的题设和结论:例1中的命题（2）（4）容易看出其具有“若p，则q” 或“如果p，那么q”的形式．通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的题设(条件)，q叫做命题的结论．(本章中我们只讨论这种“若p，则q”形式的命题),（3）（6）不能判定其真假,故不是命题. 条件成立结论一定成立的命题是真命题, 条件成立结论不一定成立的命题是假命题.2、四种命题的关系:思考下列四个命题中，命题（１）与命题（２）（３）（４）的条件和结论之间分别有什么关系？（１）如果两个三角形全等,那么它们的面积相等；（２）如果两个三角形的面积相等,那么它们全等；（３）如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等；（４）如果两个三角形的面积不相等,那么它们不全等；一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们就把这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的的否命题．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的的逆否命题．归纳总结： 三、例题例题3.写出命题“若0a =,则0ab =”的逆命题,否命题与逆否命题从上面的例子可以看出：原命题是真命题，逆命题是假命题，否命题是假命题，逆否命题是真命题．例题4.把下列命题改写成“若p ，则q”的形式,并写出它们的逆命题,否命题与逆否命题,同时指出它们的真假: （1）两个全等三角形的三边对应相等; （2）四条边相等的四边形是正方形.一般地，互为逆否命题地两个命题，要么都是真命题，要么都是假命题．即互为逆否命题的两个命题的真假相同． 四、练习1.把下列命题改写成“若p ，则q”的形式,并写出它们的逆命题,否命题与逆否命题,同时指出它们的真假:（1）能被2整除的整数是偶数； （2）菱形的对角线互相垂直且平分．,q p若非则非,p q若非则非（3）垂直于同一个平面的两条直线平行；（4）对顶角相等．2.课本第6页练习.五、课堂小结1．四种命题的准确表达及其相互关系；2．等价转化的思想方法：互为逆否的两个命题同真同假的应用．六、作业: 课本P8 习题1.1 1、21.2.2充要条件(一)教学目标1.知识与技能目标：（１）正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义．（２）正确判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.（３）通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,．2.过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．3. 情感、态度与价值观：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．（二）教学重点与难点重点：1、正确区分充要条件；2、正确运用“条件”的定义解题难点：正确区分充要条件．教具准备：与教材内容相关的资料。
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命题
学习目标
1．了解命题的概念．
2．会判断命题的真假，能够把命题化为“若p，则q”的形式．
预习导引
1．命题的定义
(1)用表达的，可以判断的叫做命题．
(2)判断为真的语句叫做．(3)判断为假的语句叫做．
2．命题的结构
从构成来看，所有的命题都具由两部分构成．在数学中，命题常写成这种形式，通常，我们把这种形式的命题中的p叫做，q叫
做．
要点一命题的判断
例1判断下列语句是否是命题．
(1)求证3是无理数． (2)x2＋2x＋1≥0. (3)你是高二学生吗？
(4)并非所有的人都喜欢苹果． (5)一个正整数不是质数就是合数．
(6)若x∈R，则x2＋4x＋7＞0. (7)x＋3>0.
要点二命题真假的判断
例2 判断下列命题的真假：
(1)小于90°的角是锐角；(2)若x∈N，则x3>x2成立；
(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；(4)存在一个三角形没有外接圆．
变式2 下列命题：
①若xy＝1，则x、y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；
④若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是________．
要点三命题的结构
例3 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)实数的平方是非负数； (2)等底等高的两个三角形是全等三角形；
(3)当ac>bc时，a>b； (4)角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
变式3 将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)垂直于同一条直线的两条直线平行； (2)负数的立方是负数； (3)对顶角相等．
课堂练习
1．下列语句不是命题的有( )
①2<1；②x<1；③若x<2，则x<1；④函数f(x)＝x2是R上的偶函数．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．下列命题中的真命题是( )
A．互余的两个角不相等 B．相等的两个角是同位角
C．若a2＝b2，则|a|＝|b| D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角
3．命题“函数y＝2x＋1是增函数”的条件是____________，结论是______________．4．下列命题：
①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a>b，则ac2>bc2；
④矩形的对角线互相垂直．其中假命题的个数是________．
同步训练
1．下列语句是命题的是( )
A．2018是一个大数 B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点C．对数函数是增函数吗？ D．a≤15
2．下列语句中命题的个数为()
①{0}∈N②他长得很高③地球上的四大洋④5的平方是20
A．0B．1C．2D．3
3．下列命题是真命题的是( )
A．{∅}是空集 B．{x∈N||x－1|<3}是无限集
C．π是有理数 D．x2－5x＝0的根是自然数
4．有下列命题：①若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；②若a>b，则a＋c>b＋c；③矩形的对角线互相垂直．其中真命题共有()
A．0个B．1个C．2个D．3个
5．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，假命题是()
A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补
C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
6．下列命题是真命题的有()
①没有一个无理数不是实数②空集是任何一个非空集合的真子集
③1＋1<2 ④至少存在一个整数x，x2－x＋1是整数
A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④
7．给定下列命题：①“若k>0，则方程x2＋2x－k＝0”有实数根；②若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x、y 中至少有一个为0. 其中真命题的序号是( )
A．①②③ B．①②④ C．①③④D．②③④
8．命题“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根”，条件：
____________，结论____________．是__________命题．
9．给出下列命题
①若ac＝bc，则a＝b；②方程x2－x＋1＝0有两个实根；
③对于实数x，若x－2＝0，则x－2≤0；④若p>0，则p2>p；
⑤正方形不是菱形．其中真命题是________，假命题是________．
10．命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．11．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)当x＋y＝5时，x＝2且y＝3；(2)当m>1
4
时，mx2－x＋1＝0无实根；
(3)当ab＝0时，a＝0或b＝0.
(4)当 a>0时，函数y＝ax＋b的值随x值的增加而增加
12．命题“若m>0，则2x2＋3x－m＝0有实根”是真命题吗？证明你的结论．
13．如果命题“若x∈A，则y＝log a(x2＋2x－3)为增函数”是真命题，试求出集合A.。