等腰三角形的证明习题及答案

M

E

D C

B

A

等腰三角形

一、选择题

1. 如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（ ） （A ）32

（B ）33

（C ）34

（D ）36

2. 如图，⊿ABC 和⊿CDE 均为等腰直角三角形，点B,C,D 在一条直线上，点M 是AE 的中点，下列结论：①tan ∠AEC=CD

BC

;②S ⊿ABC +S ⊿CDE ≧S ⊿ACE ;③BM ⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（ ）

（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个

3. 如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm 和6cm ，那么此三角形

的周长是

A ．15cm

B ．16cm

C ．17cm

D ．16cm 或17cm 二、填空题

1. 边长为6cm 的等边三角形中，其一边上高的长度为________.

2. 等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为 .

3. 在等腰Rt △ABC 中，∠C =90°，AC ＝1，过点C 作直线l ∥AB ，F 是l 上的一点，且AB ＝AF ，则点F 到直线BC 的距离为 ．

4. 已知等边△ABC 中，点D,E 分别在边AB,BC 上，把△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在点B ˊ处，DB ˊ,EB ˊ分别交边AC 于点F ，G ，若∠ADF=80º ，则∠EGC 的度数为

5. 如图6，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC 的角平分线交BC 边于点D ，AB=5，BC=6，

则AD=_______.

6．如图（四）所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠B=50°，则∠A=_______。

7. 如图，已知△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG ＝CD ，DF ＝DE ，则∠E ＝ 度．

三、解答题

1. 如图（1），△ABC 与△EFD 为等腰直角三角形，AC 与DE 重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90º，固定△ABC ，将△DEF 绕点A 顺时针旋转，当DF 边与AB 边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE ，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线) 于G ，H 点，如图(2)

（1）问：始终与△AGC 相似的三角形有 及 ；

（2）设CG=x ，BH=y ，求y 关于x 的函数关系式（只要求根据图(2)的情形说明理由） （3）问：当x 为何值时，△AGH 是等腰三角形.

题1图(1)

B H

F

A （D ）

G

C

E

C （E ）

B

F

A （D ）

题1图(2)

2、如图 AB =AC ，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，BE 与CD 相交于点O ． (1)求证AD =AE ；

(2) 连接OA ，BC ，试判断直线OA ，BC 的关系并说明理由．

3. 如图，已知点D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD ＝15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE ＝CA ．

（1）求证：DE 平分∠BDC ； （2）若点M 在DE 上，且DC=DM ， 求证： ME=BD ．

A

B

C E

D

O

4. 如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长．

5. 数学课上，李老师出示了如下框中的题目．在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D 在CB的延长线上，且ED=EC

，如图．试确

定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

（1）特殊情况•探索结论

当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE DB （填“＞”，“＜”或“=”）．

（2）特例启发，解答題目

解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：

如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）

（3）拓展结论，设计新题

在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．

等腰三角形答案

一、选择题 BDD

二、填空题 1、3√3 2、4或6 3、-------- 4、80 5、4 6、80 7、15 三、解答题

1. 1（2011广东东莞，21，9分）【答案】解：（1）△HAB ，△HGA 。

（2）∵△AGC ∽△HAB ，∴AC GC

HB AB =

，即9=9x y 。 ∴81=y x 。 又∵BC=229992092

81

=

092y

。 （3）①当∠GAH= 45°是等腰三角形.的底角时，如图1， 可知9

222

BC x CG ==

=。 ②当∠GAH= 45°是等腰三角形.的顶角时, 如图2，

在△HGA 和△AGC 中 ∵∠AGH=∠CGA ，∠GAH=∠C=450，∴△HGA ∽△AGC 。 ∵AG=AH ，∴9x CG AC === ∴当9

22

x =

或9x =时，△AGH 是等腰三角形。 【考点】三角形外角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，几何问题列函数关系式，等腰三角形的判定。 【分析】（1）在△AGC 和△HAB 中，

∵∠AGC=∠B+∠BAG=∠B+900—∠GAC=1350—∠GAC ，

∠BAH=∠BAC+∠EAF —∠EAC=900+450—∠GAC ，∴∠AGC=∠BAH 。 又∵∠ACG=∠HBA=450，∴△AGC ∽△HAB 。 在△AGC 和△HGA 中，

∵∠CAG=∠EAF —∠CAF=450—∠CAF ，

∠H=1800-∠ACH —∠CAH=1800—1350—∠CAF=450—∠CAF ， ∴∠CAG=∠H 。 又∵∠AGC=∠HGA ，∴△AGC ∽△HGA 。 （2）利用△AGC ∽△HAB 得对应边的比即可得。

（3）考虑∠GAH 是等腰三角形.底角和顶角两种情况分别求解即可。 2、（2011山东德州19,8分）（1）证明：在△ACD 与△ABE 中，

∵∠A =∠A ，∠ADC =∠AEB =90°，AB =AC ，∴ △ACD ≌△ABE ．∴

AD=AE ． (2) 互相垂直 在Rt △ADO 与△AEO 中， ∵OA=OA ，AD=AE ，∴ △ADO ≌△AEO ． ∴ ∠DAO =∠EAO ．即OA 是∠BAC 的平分线． 又∵AB =AC ，∴ OA ⊥BC ．

A

B

E

C D

O