椭圆与直线方程联立的计算问题162165
直线与椭圆怎么联立
2.圆的诸多性质3.参数方程4.点差法5.极点极线6.仿射7.极坐标应用答：设y=kx+b，韦达定理1.为了防止把b看成6，一般设y=kx+m2.定点（0，m）在y轴上，设直线为y=kx+m。
定点（n，0）在x轴上，设直线为x=ky+n。
称仿斜截式。
2.圆的诸多性质--一方面也是为仿射做铺垫切割线定理相交弦定理垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
第二定义扇形的面积底乘高除以二（弧长乘半径除以二）Apollonius圆平面内到两个定点的距离之比为常数k（k≠1）的点的轨迹是圆，这个圆就是阿波罗圆。
已知：定点M（c,0），N（-c,0），P（x，y）求证：平面内到两个定点M，N的距离之比为常数k（k≠1）的点P的轨迹是圆证明：d1=√[（x-c）²+y²]d2=√[（x+c）²+y²]d1/d2=√[（x-c）²+y²]/√[（x+c）²+y²]=k通分后化简得(k²-1)x²+(k²-1)y²+(k²+1)x+(k²-1)c²=0约分 x²+y²+(k²+1)/(k²-1)x+c²=0此形式为圆的一般方程。
3.参数方程怎么搞参数方程一般联立时切勿使用4.点差法5.极点极线定义：对于二次曲线C：Ax²+By²+Cx+Dy+E=0和一点P（x0，y0）其中A²+B²≠0，P不在曲线的中心和渐近线上用x0*x代x²，yo*y代y²，（x0+x）/2代x，（yo+y）/2代y，得到一条直线方程则称点P和直线l是关于曲线C的一对极点和极线即点P是直线l关于曲线C的极点，直线l是点P关于曲线C的极线。
特殊的，焦点和准线是曲线的一对特殊的极点和极线。
直线与椭圆的综合问题
第2课时直线与椭圆的综合问题考点1直线与椭圆的位置关系直线与椭圆位置关系判断的步骤(1)联立直线方程与椭圆方程．(2)消元得出关于x(或y)的一元二次方程．(3)当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离．1.若直线y＝kx＋1与椭圆x25＋y2m＝1总有公共点，则m的取值范围是()A．m＞1B．m＞0C．0＜m＜5且m≠1 D．m≥1且m≠5D[直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，则点(0,1)在椭圆x25＋y2m＝1内部或椭圆上，从而1m≤1，又m＞0，则m≥1，因为椭圆x25＋y2m＝1中，m≠5.所以m的取值范围是m≥1且m≠5，故选D.]2．过点M(－4,4)作椭圆x24＋y23＝1的切线，切点N在第一象限，设椭圆的左焦点为F，则直线NF的斜率为．34[设N(x，y)，直线MN的斜率为k.M(－4,4)，则直线MN的方程为y－4＝k(x＋4)，代入椭圆方程消去y，整理得(3＋4k2)x2＋8mkx＋(4m2－12)＝0，其中m＝4k＋4，由于相切，所以Δ＝0，所以m2＝4k2＋3，所以解得k＝－136，－12，代入求得切点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，所以直线NF 的斜率为k NF ＝321＋1＝34.]3．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．[解]将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎨⎧y ＝2x ＋m ，①x 24＋y 22＝1，②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．T 2中求切点的横坐标时，可直接使用求根公式x 1＝x 2＝－b2a (其中a ，b 分别是一元二次方程的二次项系数和一次项系数)考点2 直线与椭圆相交的弦长问题弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．(2)当直线的斜率存在时，设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y1y 2](k 为直线斜率)． (3)若直线的斜率不存在，可直接求交点坐标，再求弦长．(2018·北京高考改编)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，焦距为2 2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .(1)求椭圆M 的方程； (2)若k ＝1，求|AB |的最大值．[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝63，2c ＝22，解得a ＝3，b ＝1.所以椭圆M 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，x 23＋y 2＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0，由题意知Δ＝36m 2－16(3m 2－3)＞0，即－2＜m ＜2，此时x 1＋x 2＝－3m 2，x 1x 2＝3m 2－34.所以|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝2(x 2－x 1)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝12－3m 22. 当m ＝0，即直线l 过原点时，|AB |最大，最大值为 6.利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有两个不同解的情况下进行的，不要忽略Δ＞0.[教师备选例题]直线经过椭圆x 216＋y 212＝1的左焦点，倾斜角为60°，与椭圆交于A ，B 两点，则弦长|AB |＝ .325[由题意知直线方程为y ＝3(x ＋2)，代入椭圆方程消元整理得5x 2＋16x ＝0，所以x ＝0，或x ＝－165，所以交点A (0,23)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－165，－635， 所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋6352＝325.]1.已知椭圆x 22＋y 2＝1与直线y ＝x ＋m 交于A ，B 两点，且|AB |＝423，则实数m 的值为( )A ．±1B ．±12 C.2 D ．±2A [由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝x ＋m消去y 并整理，得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0.由题意知Δ＝16m 2－12(2m 2－2)＞0，即－3＜m ＜ 3. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝2m 2－23.由题意，得|AB |＝2(x 1＋x 2)2－8x 1x 2＝433－m 2＝423，解得m ＝±1.]2．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线AB 的斜率为3，求△ABF 2的面积． [解] (1)由题意知，4a ＝8，所以a ＝2， 又e ＝12，所以c a ＝12，c ＝1， 所以b 2＝22－1＝3，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设直线AB 的方程为y ＝3(x ＋1)，由⎩⎨⎧y ＝3(x ＋1)，x 24＋y 23＝1，得5x 2＋8x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－85， 所以y 1＝3，y 2＝－335.所以S △ABF 2＝c ·|y 1－y 2|＝1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋335＝835.考点3 弦中点问题处理中点弦问题常用的两种方法 (1)点差法设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．(2)根与系数的关系联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．(1)在椭圆x 216＋y 29＝1中，以点M (1,2)为中点的弦所在直线方程为 ．(2)(2019·南宁模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率e ＝ .(1)9x ＋32y －73＝0 (2)32 [(1)设弦的两端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2116＋y 219＝1，x 2216＋y 229＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)16＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)9＝0，所以(x 1＋x 2)(x 1－x 2)16＝－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)9，即－9(x 1＋x 2)16(y 1＋y 2)＝y 1－y 2x 1－x 2，因为x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝4， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－932，故该直线方程为y －2＝－932(x －1)， 即9x ＋32y －73＝0.(2)设直线x －y ＋5＝0与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，因为AB 的中点M (－4,1)，所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2.易知直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以b 2a 2＝14，于是椭圆的离心率e ＝ca ＝1－b 2a 2＝32.]用点差法求参数的值(或范围)时，要检验直线与椭圆是否相交．1.已知椭圆x 29＋y 2＝1，过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为( )A ．9x ＋y －5＝0B ．9x －y －4＝0C ．x ＋9y －5＝0D ．x －9y ＋4＝0 C [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 219＋y 21＝1，x 229＋y 22＝1，两式作差得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)9＋(y 2－y 1)(y 2＋y 1)＝0，因为x 2＋x 1＝1，y 2＋y 1＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝k AB ，代入后求得k AB＝－19，所以弦所在的直线方程为y －12＝－19⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即x ＋9y －5＝0.]2．焦点为F (0,52)，并截直线y ＝2x －1所得弦的中点的横坐标是27的椭圆的标准方程为 ．y 275＋x 225＝1 [设所求的椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，直线被椭圆所截弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由题意，可得弦AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，且x 1＋x 22＝27，y 1＋y 22＝－37.将A ，B 两点坐标代入椭圆方程中，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21a 2＋x 21b2＝1，y 22a 2＋x 22b2＝1.两式相减并化简，得a 2b 2＝－y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－2×－6747＝3，所以a 2＝3b 2，又c 2＝a 2－b 2＝50， 所以a 2＝75，b 2＝25，故所求椭圆的标准方程为y 275＋x 225＝1.] 考点4 椭圆与向量的综合问题解决椭圆与向量有关问题的方法(1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系． (2)利用向量关系转化成相关的等量关系．(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题．(2019·长春模拟)已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且经过点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1→＝2F 1B →，求直线l 的斜率k 的值．[解] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝|EF 1|＋|EF 2|＝4，a 2＝b 2＋c 2，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，b ＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意得直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ＞0)，联立⎩⎨⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫3k 2＋4y 2－6k y －9＝0，则Δ＝144k 2＋144＞0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6k3＋4k 2，y 1y 2＝－9k 23＋4k 2， 又AF 1→＝2F 1B →，所以y 1＝－2y 2， 所以y 1y 2＝－2(y 1＋y 2)2， 则3＋4k 2＝8，解得k ＝±52， 又k ＞0，所以k ＝52.解答本题应注意：(1)根据AF 1→＝2F 1B →，确定y 1与y 2的关系，从而确定直线与椭圆方程联立消去x ；(2)根据y 1＝－2y 2得到y 1＋y 2＝－y 2，(y 1＋y 2)2＝y 22，从而y 1y 2＝－2(y 1＋y 2)2；(3)也可以根据⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝6k3＋4k 2，y 1＝－2y 2求出y 1，y 2，再利用y 1y 2＝－9k 23＋4k2求解． [教师备选例题]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，e ＝12，其中F 是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，线段AB 的中点横坐标为14，且AF →＝λFB →(其中λ＞1)．(1)求椭圆C 的标准方程； (2)求实数λ的值．[解] (1)由椭圆的焦距为2，知c ＝1， 又e ＝12，∴a ＝2，故b 2＝a 2－c 2＝3， ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)由AF →＝λFB →，可知A ，B ，F 三点共线， 设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)． 若直线AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝1，不符合题意； 当AB 所在直线l 的斜率k 存在时， 设l 的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎨⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.①①的判别式Δ＝64k 4－4(4k 2＋3)(4k 2－12)＝144(k 2＋1)＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，∴x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3＝2×14＝12， ∴k 2＝14.将k 2＝14代入方程①，得4x 2－2x －11＝0，解得x ＝1±354. 又AF →＝(1－x 1，－y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，AF →＝λFB →，即1－x 1＝λ(x 2－1)，λ＝1－x 1x 2－1， 又λ＞1，∴λ＝3＋52.(2019·保定模拟)设点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32在以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上．(1)求椭圆C 的方程；(2)经过F 2作直线m 交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M .若MA →＝λ1AF 2→，MB →＝λ2BF 2→，且λ1λ2＝1，求λ1与λ2的值．[解] (1)因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32在以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a＞b ＞0)上，所以2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－22＋94＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋22＋94＝210， 所以a ＝10. 又因为c ＝2，所以b ＝6，所以椭圆C 的方程为x 210＋y 26＝1.(2)设A ，B ，M 点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (0，y 0)．因为MA →＝λ1AF 2→，所以(x 1，y 1－y 0)＝λ1(2－x 1，－y 1)，所以x 1＝2λ11＋λ1，y 1＝y 01＋λ1，将A 点坐标代入到椭圆方程中，得110⎝ ⎛⎭⎪⎫2λ11＋λ12＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫y 01＋λ12＝1.去分母整理得18λ21＋60λ1＋30－5y 20＝0.同理，由MB →＝λ2BF 2→可得18λ22＋60λ2＋30－5y 20＝0，λ1，λ2是方程18λ2＋60λ＋30－5y 20＝0的两个根．则λ1＋λ2＝－103，又λ1λ2＝1，二者联立解得λ1＝－3，λ2＝－13，或λ1＝－13，λ2＝－3.。
直线与椭圆相结合问题-高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品
高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第五篇解析几何专题03直线与椭圆相结合问题【典例1】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3，直线l 和椭圆C 交于A ，B 两点，当直线l 过椭圆C 的焦点，且与x 轴垂直时，23AB =.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过点(1,0)且倾斜角为钝角，P 为弦AB 的中点，当OPB ∠最大时，求直线l 的方程.【典例2】已知点)F是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的一个焦点,点12M ⎫⎪⎭在椭圆 C 上.（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）若直线l 与椭圆 C 交于不同的,A B 两点,且12OA OB k k +=-( O 为坐标原点),求直线l 斜率的取值范围.【典例3】已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>经过点6(1,2,左、右焦点分别1F 、2F ，椭圆的四个顶点围成的菱形面积为(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设Q 是椭圆C 上不在x 轴上的一个动点,O 为坐标原点,过点2F 作OQ 的平行线交椭圆于M 、N 两点，求2MN OQ的值.【典例4】已知椭圆()2222x y C 1a b 0a b+=：＞＞的右焦点为)F0，过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设A ，B 为椭圆C 上的两动点，M 为线段AB 的中点，直线AB ，OM （O 为坐标原点）的斜率都存在且分别记为k 1，k 2，试问k 1k 2的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【典例5】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，焦距为（1）求C 的方程；（2）若斜率为12-的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（点P ，Q 均在第一象限），O 为坐标原点，证明：直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列．1.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，且经过点1)2M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）与x 轴不垂直的直线l 经过N ，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若坐标原点O 在以AB 为直径的圆内，求直线l 斜率的取值范围．2.设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，已知直线AB 的斜率为12，AB =（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线:1l x my =-与椭圆C 交于不同的两点M 、N ，且点O 在以MN 为直径的圆外（其中O 为坐标原点），求m 的取值范围.3.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的短轴长为2，且椭圆的一个焦点在圆()()222318x y -+-=上.（1）求椭圆的方程；（2）已知椭圆的焦距小于4，过椭圆的左焦点F 的直线l 与椭圆相交于,A B 两点，若3AF FB =，求.AB 4.设椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，若椭圆E 的离心率为12，2ABF 的周长为16．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设不经过椭圆的中心而平行于弦AB 的直线交椭圆E 于点,C D ，设弦,AB CD 的中点分别为,M N .证明：,,O M N 三点共线.5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点F 到直线30x y -+=的距离为P ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，,A B 是1l 与椭圆C 的两个交点，,C D 是2l 与椭圆C 的两个交点，,M N 分别是线段,AB CD 的中点试，判断直线MN 是否过定点？若过定点求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.参考答案【典例1】【详解】（1）由题意：2222223119c ac a bc a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩，∴29a =，21b =，∴椭圆C 的标准方程为：2219x y +=；（2）设()1,0M ，直线l 的方程为：1(0)x my m =+<，联立方程22991x y x my ⎧+=⎨=+⎩可得：()229280m y my ++-=，∴229,99m P m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，取OP 的方向向量为()9,m OP m λ==- ，取MP 的方向向量为(),1n MP m μ==，∴,m n cos OPB cos m n m n⋅∠====-45≥-，当且仅当2281m m =，即：3m =-时取等号，此时OPB ∠最大，直线l 的方程为：310x y +-=.【典例2】【详解】（1）由题可知，椭圆的另一个焦点为()，所以点M142+=.所以2a =.又因为c =，所以1b =，则椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）当直线l 的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，0OA OB k k +=，不符合题意.故设l 直线的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()()222418410k x kmx m +++-=.所以()12221228,4141,41km x x k m x x k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩而()()()()212211212221212128222141OA OBkx m x kx m x m x x y y km kk k k k x x x x x x m m ++++--+=+==+=+=--，由12OA OB k k +=-，可得241m k =+.所以14k ≥-，又因为()2216410k m -+>，所以2440k k ->.综上，()1,01,4k ⎡⎫∈-⋃+∞⎪⎢⎣⎭.【典例3】【详解】(Ⅰ)由题意可知2221312ab ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩,解得2,a b ==,故椭圆C 的标准方程为22142x y +=.(Ⅱ)设()()()112233,,,,,M x y N x y Q x y ,直线:OQ x my =,则直线:MN x my =+,由22142x my x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得222224242m x m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩,所以22322324242mx m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩,所以()22222332224144||222m m OQ x y m m m +=+=+=+++,由22142x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()22121222222220,,22m y y y y y m m ++-=+=-=-++.所以21MN y =-=()22412m m +==+,所以()()2222241||21||412m MN m OQ m m ++==++,即21||MN OQ =.【典例4】【详解】()1由题意得222222c ba abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为：221,42x y +=()2设,A B 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，点M 的坐标为()00,x y ，即02112120120210,,2,2.y y y k k x x x y y y x x x -==+=+=-由已知，222211221,1,4242x y x y +=+=所以，()()()()121212120,42x x x x y y y y +-+-+=即()()0120120.2x x x y y y -+-=则()()02102112y y y x x x -=--，于是1212k k =-.所以12k k 为定值，此定值为1.2-【典例5【详解】（1）由题意可得322c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得2{a c ==，又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2214x y +=.（2）证明：设直线l 的方程为12y x m =-+，()11,P x y ，()22,Q x y ,由221214y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，得()222210x mx m -+-=则()()222481420m m m∆=--=->，且1220x xm +=>，()212210x x m =->故()22121212121111122422m y y x m x m x x m x x m -⎛⎫⎛⎫=-+-+=-++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭()212122121212111424OP OQPQ x x m x x m y y k k k x x x x -++====即直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列.1.【思路引导】（I ）根据椭圆的离心率和椭圆上一点的坐标，结合222a b c =+列方程组，解方程组求得,a b 的值，进而求得椭圆方程.（II ）设直线l的方程为y kx =+代入椭圆方程，写出判别式和韦达定理，由坐标原点O 在以AB 为直径的圆内得0OA OB⋅<，利用向量的坐标运算代入化简，由此解得k 的取值范围.解：（Ⅰ）由题意可得22222311432a b a b c c a ⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得2a =，1b =，∴椭圆C 的方程为2214x y +=．（Ⅱ）设直线l的方程为y kx =2214x y +=整理可得得()221440k x +++=，()()2216140k ∆=-+>，解得12k >或12k <-，设()11,A x y ，()22,B x y ，又1228214x x k+=-+，122414x x k ⋅=+，∴()21212122y y k x x x x =+++，∵坐标原点O 在以AB 为直径的圆内，∴0OA OB⋅<，∴()()21212121212x x y y kx xx x +=+++()2224821201414kk k ⎛⎫=++-+< ⎪ ⎪++⎝⎭，解得62k <-或62k >.故直线l 斜率的取值范围为66,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.2.【详解】（1）由已知得：(),0A a -，()0,B b ，结合已知有12b a ⎧=⎪=，可得24a =，21b =，则椭圆的方程为2214x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，由22114x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()224230my my +--=.故12224m y y m +=+，12234y y m -=+，()()222212416480m m m ∆=++=+>.由题意得MON ∠为锐角0OM ON ⇔⋅>，∴12120OM ON x x y y ⋅=+>，又()()()212121212111x x my my m y y m y y =--=-++()()21212121211x x y y m y y m y y +=+-++()2222223214110444m m m m m m --+⋅-+=>+++∴214m <，解得1122m -<<.∴m 的取值范围为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.3.【思路引导】（1）由题意可知：b ＝1，由焦点在圆上，可求得c ，进而求得a ，即可求得椭圆方程；（2设出直线l 的方程，代入椭圆，得到A 、B 的纵坐标的关系，利用向量转化的纵坐标的关系，求得直线方程，利用弦长公式可得所求．【详解】（1）因为椭圆的短轴长为2，所以22b =，则1b =.圆()()222318x y -+-=与x 轴的交点为()1,0-，()5,0，故1c =或5，从而2222a b c =+=或26，故椭圆的方程为2212x y +=或22126x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由3AF FB=，得123y y =-.因为椭圆的焦距小于4，所以椭圆的方程为2212x y +=，当直线l 的斜率为0时，1-1+,不满足题意，所以将l 的方程设为1x my =-，代入椭圆方程，消去x ，得()222210m y my +--=，所以12222m y y m +=+，12212y y m =-+，将123y y =-代入，得21m =.故AB =3==.4.【思路引导】（Ⅰ）由已知椭圆E 的离心率为12，2ABF 的周长为16，解得a ，b 的值，可得椭圆E 的方程；（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，，00M x y （，）．利用点差法，可得34OM k k =-，34ON k k=-，由此可得O ，M ，N 三点共线．【详解】（Ⅰ）解：由题意知，416a =，4a =．又12e = ，2c ∴=，b =，∴椭圆E 的方程为2211612x y +=；（Ⅱ）证明：当直线AB 、CD 的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M ，N 在x 轴上，O ，M ，N 三点共线；当直线AB ，CD 的斜率存在时，设其斜率为k ，且设()11A x y ，，()22B x y ，，00M x y （，）．则221111612xy+=，222211612xy+=，相减得22221212--=-1612x xy y，1212121234yyy y x x x x -+∴⋅=--+，即01212034y y y x x x -⋅=--，即34OM k k ⋅=-，34OM k k ∴=-；同理可得34ON k k =-，OM ON k k ∴=，所以O ，M ，N 三点共线．5．【思路引导】（1）由题意得221413a b =⎪+=⎪⎩，求出,a b ，即可求出椭圆方程；（2）设直线1l 的方程为1x my =+，①当0m ≠时，联立方程组221132x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简可得122122432432m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩，进而求出2232,3232m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理可得22232,3232m m N m m ⎛⎫ ++⎝⎭，进而求出()2531MN m k m =-，求出直线MN 的方程，求出必过的定点3,05⎛⎫ ⎪⎝⎭；②当0m =时，易知直线MN 过定点3,05⎛⎫ ⎪⎝⎭；综上即可求出结果.解：（1）由题意得221413a b =⎪+=⎪⎩，∴a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴椭圆C 的方程为22132x y +=；（2）由（1）得()10F ，，设直线1l 的方程为1x my =+，点,A B 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，①当0m ≠时，由221132x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2232440m y my ++-=，∴122122432432m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪÷=-⎪+⎩，∴2232,3232m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭同理，由2211132x y m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得22232,3232m m N m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭()222222225323233313232MN m m m m m k m m m m +++==--++∴直线MN 的方程为()253531m y x m ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，过定点3,05⎛⎫ ⎪⎝⎭；②当0m =时，则直线1l 的方程为()()11,00,0x M N =,,，∴直线MN 过定点3,05⎛⎫⎪⎝⎭综上，直线MN 过定点3,05⎛⎫⎪⎝⎭。
直线与椭圆相结合问题
直线与椭圆相结合问题【典例1】【2021·江苏常州市·高三一模】已知O 为坐标系原点，椭圆2214x C y +=：的右焦点为点F ，右准线为直线n .（1）过点(4,0)的直线交椭圆C 于,D E 两个不同点，且以线段DE 为直径的圆经过原点O ，求该直线的方程；（2）已知直线l 上有且只有一个点到F 的距离与到直线n 的距离之比为2直线l 与直线n 交于点N ，过F 作x 轴的垂线，交直线l 于点M .求证：||||FM FN 为定值.【思路引导】（1）设过点(4,0)的直线为(4)y k x =-交于椭圆()()1122,,D x y E x y ，联立直线和椭圆的方程得到韦达定理，求出直线的斜率k 即得解；（2）分析得到直线l 与椭圆相切，设直线l 的方程为y kx m =+，联立直线和椭圆方程得到2241m k =+，求出||,||FM FN ,再把2241m k =+代入化简即得解.【典例2】【2021·扬州大学附属中学高三月考】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆内一点P （0，t ），斜率为k 的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，设直线OM ，ON （O 为坐标原点）的斜率分别为k 1，k 2，若对任意k ，存在实数λ，使得12k k k λ+=，求实数λ的取值范围．【思路引导】（1）由题意可知c =再将x c =代入椭圆可得222ba=，进而可得2b a =，根据222a b c =+即可求解.（2）设直线l 的方程为y kx t =+，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理可得1221211422k k k k t x x t ⎛⎫-+=++= ⎪-⎝⎭，结合12k k k λ+=可得242t λ=-，又202t ≤<即可求解.【典例3】【2021·湖南郴州市·高三月考】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 是椭圆E 上的一动点，且1PF 的最小值是1，当1PF 垂直长轴时，132PF =． （1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在斜率为﹣1的直线l 与以线段12F F 为直径的圆相交于,A B 两点，与椭圆E 相交于 C D 、两点，且||||CD AB ⋅=若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【思路引导】（1）由1PF 的最小值为1，得1a c -=，由当1PF垂直长轴时，由132PF =，得232b a =，结合222a bc =+，求出,a b ，即可求出椭圆E 的方程． （2）假设存在斜率为﹣1的直线l ，设为y x m =-+，以线段12F F 为直径的圆为221x y +=，圆心(0,0)到直线l 的距离1d <，再结合||7CD AB =∣，解得m ，进而得到l 的方程．【典例4】【2021·海原县第一中学高三期末】设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点()0,4，离心率为35（1）求C 的方程；（2）求过点()3,1M 且以M 点为中点的弦的方程． 【思路引导】（1）利用待定系数法求出b =4，再根据35c e a ==，代入即可求解. （2）利用点差法可求得直线的斜率，根据点斜式方程即可得出结果.【典例5】【2021·陕西汉中市·高三二模】已知椭圆E ：()22221,0x y a b a b+=>>的短轴长为2A ． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若不与x 轴平行的直线l 交椭圆E 于,P Q 两点，试问：在x 轴上是否存在定点M ，当直线l 过点M 时，恒有AP AQ ⊥，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【思路引导】（1）根据椭圆的简单几何性质以及题意可得，22,c b e a ===，再由222a b c =+即可解出,a b ，得到椭圆E 的标准方程；（2）方法一：假设存在x 轴上的点(),0M t ()()2,2t ∈-满足题意，由特殊情况l 斜率不存在时求得点M 的坐标为6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭，当l 斜率存在时，设直线6:5l x my =-，证得AP AQ ⊥，即可判断出在x 轴上存在定点6,05M -⎛⎫⎪⎝⎭，当直线l 过点M 时，恒有AP AQ ⊥．方法二：假设存在点(),0M t 满足条件，由题可设直线:l x my t =+，联立直线方程和椭圆方程，由0AP AQ ⋅=即可解出t ，从而判断出在x 轴上存在定点6,05M -⎛⎫⎪⎝⎭，当直线l 过点M 时，恒有AP AQ ⊥．【针对训练】1. 【2021·云南昆明一中高三模拟】已知点F 为抛物线D ；()220x py p =>的焦点，点A 是该抛物线的对称轴与准线的交点，记以A ，F 为焦点的椭圆为椭圆C ． （1）若椭圆C 与抛物线D 在第一象限的交点为M ，且2MA =，求椭圆C 的离心率；（2）若2p =，点B 为抛物线D 上一点，点()0,4P ，以BP 为直径的圆Q 与直线3y =交于G ，H ，试探究弦GH 的长是否为定值，若为定值，求该值的大小，若不为定值，请说明理由．【思路引导】（1）根据等式2MA =求出M 的坐标，再结合椭圆的定义、离心率公式进行求解即可；（2）根据圆的垂径定理，利用勾股定理进行求解即可.2. 【2021·云南昆明市·昆明一中高三月考】已知A ，B 是椭圆C ：2213x y +=上的两点.（1）若直线AB 的斜率为1，求AB 的最大值；（2）线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点(),0N t ，求t 的取值范围.【思路引导】(1)先将直线AB 的方程设为y x m =+，再联立韦达定理求得弦长AB =0m =（满足0∆>）时，AB； (2) 首先分析直线AB 的斜率一定是存在的，否则AB 的中垂线和x 轴没有交点。
高中数学破题致胜微方法(直线与椭圆的位置关系)直线和椭圆相交 求中点弦所在直线方程的简单方法 含解析
今天我们研究直线和椭圆相交求中点弦所在直线方程的简单方法.前面的微课中已经介绍的方法有韦达定理和点差法，求出直线的斜率，得出直线方程。
今天再介绍两种方法求中点弦所在直线方程,一种是利用直线的参数方程,代入椭圆方程整理后利用韦达定理，根据中点的几何意义,求出直线的斜率；另一种方法是设弦端点的坐标为特殊形式，代入椭圆方程相减后直接得出直线方程。
后一种方法是简单方法。
先看例题： 例：过椭圆141622=+y x 内一点M (2,1)引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。
解法一:设所求直线的参数方程为2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入椭圆方程22416x y +=并整理得： 222(4sin cos )(4cos 8sin )80t t αααα+++-=又设直线与椭圆的交点为A ，B ，则方程的两个根12,t t 是A ，B 对应的参数，M 为AB 的中点，所以120,4cos 8sin 0t t αα+=+=， 解得1tan 2α=-，即为直线斜率，故所求直线方程为042=-+y x归纳整理：AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，求直线AB 方程的方法：解法一：设所求直线的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩代入椭圆方程并整理得t 的一元二次方程：方程的两个根12,t t 是A ，B 对应的参数， 由M 为AB 的中点，有120,tt +=求得直线斜率。
解法二(简单方法）：整理椭圆方程为221(0,0,)mxny m n m n +=>>≠ 设：0000(,),(2,2),(,)A x y B x x y y M x y --222200(2)(2)1,(1)1,(2)mx ny m x x n y y +=-+-=⎧⎪⎨⎪⎩()()0000()()201mx x x ny y y -+-=－得就是中点弦所在的直线方程。
椭圆与直线间的关系例题祥解
椭圆与直线间的关系例题祥解（1）相离→①相离无解⇔+==+⎧⎨⎪⎩⎪x a y b y kx b 22221（2）相切①相切有一解⇔+==+⎧⎨⎪⎩⎪x a y b y kx b 22221②过椭圆上一点，的椭圆的切线方程为P x y xx a yy b00002021()+= ()312222相交有两解⇔+==+⎧⎨⎪⎩⎪x a y b y kx b①弦长公式： ||()()AB x x y y =-+-122122=++-14212212kx x x x ()=+-1212k x x || =+12k a ·∆||例题1：椭圆141622=+y x 上的点到直线02y 2x =-+的最大距离是（ ）． A ．3 B ．11 C ．22 D ．10法一，参数方程法设椭圆上的点为P （4cos θ,2sin θ）,P 点到直线的距离为：10522252)4sin(24524)cos 4sin(852)22)cos(22sin(2(452sin 4)2sin(421|2sin 4cos 4|d 22=--≤-θ+π=-πθ+π=-θ-θ+πθ+θ+π=-θ+θ+π=+-θ+θ=法二，数形结合，求平行线间距离设与直线02y 2x =-+平行的直线为x+2y+m=0，与椭圆联立得,016y 4)m y 2(22=-+--，即 0m 16m y 4y 822=+-+，到直线02y 2x =-+的最大距离点是切点，上述方程的判别式0512m 16m 32512m 16222=+-=-+=∆，∴32m 2=，24m ±=两平行线间的距离为：10524221242d 22=--≤+-=即24m =时，距离最大，为10练习1. 已知椭圆，在椭圆上求一点，使到直线：x y P P l x y 228840+=-+= 的距离最小并求出距离的最小值（或最大值）？ 解一 设，由参数方程得P (cos sin )()22θθ则d =-+=--|cos sin ||sin()|2242342θθθϕ 其中，当时，tan min ϕθϕπ=-===2221222d 此时，cos sin sin cos θϕθϕ=-=-==22313即点坐标为，P P ()-8313解二 因与椭圆相离，故把直线平移至，使与椭圆相切，则与的距离，l l l l l l '''即为所求的最小值，切点为所求点最大('')l →设：，则由消得l x y m x y m x y x '-+=-+=+=⎧⎨⎩0088229280449802222y my m m m -+-==--=，令×∆() 解之得±，为最大，由图得m m =-=-333()此时，，由平行线间距离得P l ()min -=831322附录：1. 点到直线的距离公式: 点),(000y x P 到直线0:=++C By Ax l的距离为：2200||BA C By Ax d +++=2. 两平行线0:11=++C By Ax l 、0:22=++C By Ax l 间的距离公式为：2221||BA C C d +-=3. 三角函数公式：sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sin(2π+a) = cosa 4. 椭圆参数方程如图以原点为圆心，分别以a 、b （a>b>0）为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥Ox ，垂足为N ，过点B 作BN ⊥AN ，垂足为M ，求当半径OA 绕O 旋转时点M 的轨迹的参数方程。
谈直线和椭圆的公式化解题
谈直线和椭圆的公式化解题直线和椭圆的关系是解析几何中的典型题目,是高考中经常出压轴题的考点,大多数学生都害怕解析几何,如何帮助学生突破这一重难点是摆在同行面前的一大难题.其实仔细分析每年的高考试题,我们还是会发现此类题目具有一定规律性.本文将给出试题中常用的一些公式,力求公式化解题,把师生从题海里解放出来,使一些繁杂的化简运算结论化，进而节省出宝贵的时间.从解题思路上来看,解决该类题目最主要的方法是将直线方程与椭圆方程联立.我在这里概括为如下五步：第一步 设直线方程当直线斜率不存在时,此时问题往往比较简单； 当直线斜率存在时,设直线l 的方程为y kx m =+. 第二步 联立方程设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>,记222n a k b =+,由22221y kx mx y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得,222222()0nx a kmx a m b ++-=. 第三步 计算∆的值2224()a b n m ∆=->0……①.师生们每次都要计算的0∆>,等价于20n m ->,即方程的二次项系数减去直线l 在y 轴上的截距的平方.第四步 设交点坐标设直线l 与椭圆C 的交点为11(,)E x y 、22(,)F x y . 第五步 写出和与积222212122(),a km a m b x x x x n n--+=⋅=……②.解决直线和椭圆的有关问题还可能用到如下公式,本文只考虑直线l 斜率存在的情形.1.2222212122(),b m b m a k y y y y n n-+=⋅=……③.2.EF =.大家熟悉的公式是12EF x =-,但求解最终结果的运算量比较大.如果师生掌握了这个公式,就可以运用前面求出的∆的值直接得出结果,从而有效降低运算量.说明：12x x n-=,由一元二次方程20(0,0)ax bx c a ++=≠∆>可得12x x a-==,进而公式④具有一般性.3.121122OEF S m x x m n∆=⋅-=⋅……⑤. 其中o 为坐标原点,以面积为条件的题目往往比较难,以此公式应对可有效降低运算难度. 下面以近几年高考题为例说明上述公式在解题中的应用. 例1（2013年山东文22）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为22. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）A,B 为椭圆C 上满足AOB ∆的面积为4E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P.设OP tOE =,求实数t 的值.解:（I ）椭圆C 的方程为2212x y +=.（Ⅱ）当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为,y kx m =+得 222(12)42(1)0k x kmx m +++-=,记221n k =+由公式①得28()0,n m ∆=->即2n m > …………（*）设1122A（x ,y ）,B(x ,y ),则由公式③得122+.my y n= 由公式⑤得故224316160n nm m -+=,又12121()(,)(,),22OP tOE t OA OB t x x y y n n==+=++=-因为P 为椭圆C 上的点，所以22222222212(21)[()()]1,12km m k m m t t t n n n n+-+===即， 所以222222443t m n m t m n m ====或，由题意知0t >，从而2t t ==或 当直线AB的斜率不存在时，亦可求得23t t ==或综上，23t t ==或 例2（2012年高考北京文19）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个顶点为(2,0)A ,离心率为, 直线(1)y k x =-与椭圆C 交于不同的两点,M N . （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）当AMN ∆,求k 的值. 解:（I ）椭圆C 的方程为22142x y +=. （Ⅱ）由22142y kx kx y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(42)84(2)0k x k x k +-+-=,由公式①得22244242()32(32)0k k k ⎡⎤∆=⨯⨯+--=+>⎣⎦.设1122(,),(,)M x y N x y , 由公式④得MN =又因为点(2,0)A 到直线y kx k =-的距离d =所以AMN ∆的面积为12S MN d =⋅===, 解得1k =±.例3（2011年高考山东理22）已知直线l 与椭圆C: 22132x y +=交于P ()11,x y ,Q ()22,x y 两不同点,且△OPQ 的面积其中O 为坐标原点.（Ⅰ）证明x 12+x 22和y 12+y 22均为定值； （Ⅱ）略； （Ⅲ）略.解：（Ⅰ） 当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为,y kx m =+由题意知m 0≠,得 222(23)63(2)0k x k m x m +++-=,记232n k =+由公式①得224()0,n m ∆=->即2n m >…………（*）由公式⑤得所以2n =,故224440n nm m -+=,从而22,n m =即22322,k m +=且符合（*）式,当直线l 的斜率不存在时, 亦有222212123,2,x x y y +=+= 综上所述,222212123;2,x x y y +=+=结论成立. 例4（2010年高考山东理21）如图,已知椭圆22221(0)x y a b a b +=＞＞的离心率为以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设P 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程； （Ⅱ）略；（Ⅲ）是否存在常数λ,使得·AB CD AB CD λ+=恒成立？ 若存在,求λ的值；若不存在,请说明理由.解：（Ⅰ）椭圆的标准方程为22184x y +=,双曲线的标准方程为22144x y -=.（Ⅲ）由于1PF 的方程为111(2)=2y k x k x k =++,椭圆的方程为22184x y +=.由公式①得1=∆()()2221114848425121k k k ⎡⎤⨯⨯+-=+⎣⎦.由公式④得1AB ==由于2PF 的方程为222(2)=2y k x k x k =--,椭圆的方程为22184x y +=. 由公式①得2=∆()()2222224848425121k k k ⎡⎤⨯⨯+--=+⎣⎦.由公式④得CD ==2. 则22122212212111()11k k AB CD k k +++=+++,又 121k k ⋅=, 所以22112121212111()111k k AB CD k k +++=+++22112211212()8118k k k k ++=+=++. 故·AB CD AB CD +=. 因此存在8λ=,使·AB CD AB CD λ+=恒成立.例5（2009年高考山东理22）设椭圆E: 22221x y a b+=（a,b>0）过M （两点,O 为坐标原点,（I ）求椭圆E 的方程；（II ）是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥？若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由.解:（I ）椭圆E 的方程为22184x y +=.（II ）假设存满足条件的圆,设该圆的切线方程为y kx m =+.而椭圆E 的方程为22184x y +=,284n k =+.由公式①得△=2128()0n m ->,即222840n m k m -=+->. 设1122(,),(,)A x y B x y ,由公式②得2128(4)m x x n -=,由公式③得22124(8)m k y y n-=要使OA OB ⊥,需使12120x x y y +=,即28(4)m n -+224(8)m k n-=0,所以2238(1)m k =+,从而223808m k -=≥,又22840k m -+>,所以22238m m ⎧>⎨≥⎩,所以m ≥或m ≤,因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为r ===所求的圆为2283x y +=,此时圆的切线y kx m =+都满足m ≥或m ≤, 当切线的斜率不存在时也满足OA OB ⊥. 综上, 存在满足题目条件的圆,其方程为2283x y +=.由公式④得AB==而2238(1)m k=+,故AB==①当0k≠时||AB=因为221448kk++≥所以22111844kk<≤++,所以2232321[1]1213344kk<+≤++,||AB<≤2k=±时取”=”.②当0k=时,||3AB=.③当AB的斜率不存在时,两个交点为或(,所以此时||AB=,综上, |AB |||AB≤例6（2007年高考山东理21）已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1.(I)求椭圆C的标准方程;(II)若直线:l y kx m=+与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.解:(I)椭圆的标准方程为221.43x y+=(II)由22143y kx mx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得,222(34)84(3)0k x mkx m+++-=,记284n k=+.由公式①得248()0n m ∆=->即22340k m +->设1122(,),(,)A x y B x y ,由公式②得2121284(3),.mk m x x x x n n-+=-⋅=由公式③得22123(4).m k y y n-⋅=以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 即1AD BD k k ⋅=-,1212122y yx x ∴⋅=---,1212122()40y y x x x x +-++=, 从而2223(4)4(3)1640m k m mk n n n--+++=,化简得2271640m mk k ++=,解得1222,7k m k m =-=-,且满足22340k m +->. 当2m k =-时,:(2)l y k x =-,直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时,2:()7l y k x =-,直线过定点2(,0).7综上可知,直线l 过定点,定点坐标为2(,0).7。
直线与椭圆的位置关系典型例题及答案
直线与椭圆的位置关系典型例题1.设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l的倾斜角为60o,2AF FB = .（1） 求椭圆C 的离心率；（2）如果|AB|=154，求椭圆C 的方程. 设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知1y ＜0，2y ＞0.（Ⅰ）直线l 的方程为()y x c -，其中c联立2222),1y x c x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得22224(3)30a b y cy b ++-=解得12y y ==因为2AF FB =，所以122y y -=.即2=得离心率 23c e a ==. ……6分（Ⅱ）因为21AB y y =-2221534a b=+.由23c a =得b =.所以51544a =，得a=3，b =椭圆C 的方程为22195x y +=. ……12分2、在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。
设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y 。
（1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹； （2）设31,221==x x ，求点T 的坐标； （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）.23、设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点M，且着焦点为1(F（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点,A B 时，在线段AB 上取点Q，满足=，证明：点Q 总在某定直线上.4、已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OA OB + 与(3,1)a =-共线.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且 (,)OM OA OB R λμλμ=+∈ ，证明22μλ+为定值.。
直线与椭圆如何联立
1.直线与椭圆怎么联立2.圆的诸多性质3.参数方程4.点差法5.极点极线6.仿射7.极坐标应用1.直线与椭圆怎么联立答：设y=kx+b，韦达定理1.为了防止把b看成6，一般设y=kx+m2.定点（0，m）在y轴上，设直线为y=kx+m。
定点（n，0）在x轴上，设直线为x=ky+n。
称仿斜截式。
2.圆的诸多性质--一方面也是为仿射做铺垫切割线定理相交弦定理垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
第二定义扇形的面积底乘高除以二（弧长乘半径除以二）Apollonius圆平面内到两个定点的距离之比为常数k（k≠1）的点的轨迹是圆，这个圆就是阿波罗圆。
已知：定点M（c,0），N（-c,0），P（x，y）求证：平面内到两个定点M，N的距离之比为常数k（k≠1）的点P的轨迹是圆证明：d1=√[（x-c）²+y²]d2=√[（x+c）²+y²]d1/d2=√[（x-c）²+y²]/√[（x+c）²+y²]=k通分后化简得(k²-1)x²+(k²-1)y²+(k²+1)x+(k²-1)c²=0约分x²+y²+(k²+1)/(k²-1)x+c²=0此形式为圆的一般方程。
3.参数方程怎么搞参数方程一般联立时切勿使用4.点差法5.极点极线定义：对于二次曲线C：Ax²+By²+Cx+Dy+E=0和一点P（x0，y0）其中A²+B²≠0，P不在曲线的中心和渐近线上用x0*x代x²，yo*y代y²，（x0+x）/2代x，（yo+y）/2代y，得到一条直线方程则称点P和直线l是关于曲线C的一对极点和极线即点P是直线l关于曲线C的极点，直线l是点P关于曲线C的极线。
直线与椭圆相交问题
联立方程求解法
总结词
直接、准确、快速
详细描述
联立方程求解法是解决直线与椭圆相交问题的一种坐标。这种方法直观、准确、快速，但需要一定的代数运算基础。
参数方程求解法
总结词
间接、参数、易错
详细描述
参数方程求解法是通过引入参数变量，将直线和椭圆的方程转化为参数方程，然 后通过解参数方程得到交点的坐标。这种方法虽然较为间接，但可以借助参数的 特性简化运算，但也可能因为参数的复杂性导致计算错误。
从物理角度的判定条件
• 光学性质：当光线从空气进入介质时，传播方向会发生改变。如果光 线从椭圆的一个焦点出发并穿过另一个焦点，则传播方向不变。因此 ，通过观察光线的传播方向是否改变，可以判断直线与椭圆是否相交 。当传播方向改变时，直线与椭圆相离；当传播方向不变时，直线与 椭圆相交。
04
直线与椭圆相交的解法
几何法求解法
总结词
直观、易于理解、但繁琐
详细描述
几何法求解法是通过分析直线的性质和椭圆的几何特征，借助几何关系找出 交点。这种方法直观且易于理解，但较为繁琐，需要较强的空间想象能力和 几何分析能力。
05
直线与椭圆相交的应用
在数学领域的应用
01
解析几何
直线和椭圆是解析几何中的基本图形，研究它们的相交问题可以深化
03
02
联立方程
椭圆方程
标准形式的椭圆方程为(x - a)^2 / b^2 + (y - c)^2 / d^2 = 1，其中 a、b、c和d为椭圆的半轴长。
将直线方程和椭圆方程联立，形 成二元二次方程组。
04 判别式
通过计算联立方程的判别式，可以 判断直线与椭圆是否有交点
从几何角度的判定条件
直线与椭圆综合问题江西省乐平中学高中数学戴婧_OK
＝
1(a>b>0)
的
一
个顶点为 B(0,4)，离心率 e＝ 55，
思维启迪 解析 思维升华 ∴kMN＝xy11－－yx22＝－45·xy11＋ ＋xy22
直线 l 交椭圆于 M，N 两点．
＝－45×－64＝65，
(1)若直线 l 的方程为 y＝x－4，求 弦 MN 的长． (2)如果△BMN 的重心恰好为椭
直线与椭圆的位置关系
已
知
椭
圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝
1(a>b>0)
的
一
个
顶点为 B(0,4)，离心率 e＝ 55，直
思维启迪
解析
思维升华
线 l 交椭圆于 M，N 两点．
(1)若直线 l 的方程为 y＝x－4，求
弦 MN 的长．
(2)如果△BMN 的重心恰好为椭
圆的右焦点 F，求直线 l 方程的一
般式．
已知椭圆 G：xa22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为 36，右焦点为(2 2，
0)．斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A，B 两点，以 AB 为底边作
等腰三角形，顶点为 P(－3,2)．
(1)求椭圆 G 的方程；
(2)求△PAB 的面积．
解 (1)由已知得 c＝2 2，ac＝ 36，解得 a＝2 3.
因为 AB 是等腰△PAB 的底边，所以 PE⊥AB，
所以 PE 的斜率 k＝－23－＋m434m＝－1，解得 m＝2.
11
题型分类·深度剖析
已知椭圆 G：xa22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为 36，右焦点为(2 2，0)．斜 率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A，B 两点，以 AB 为底边作等腰三 角形，顶点为 P(－3,2)． (1)求椭圆 G 的方程； (2)求△PAB 的面积． 此时方程①为 4x2＋12x＝0，解得 x1＝－3，x2＝0，
直线与椭圆相交问题
当直线与椭圆相离时，联立方程组后得到的是二元一次方程 组，此时需要使用消元法或者代入法求解得到交点坐标。
04
CATALOGUE
直线与椭圆相交的应用
在几何中的应用
01 02
直线与椭圆相交的判定
通过判断直线与椭圆的交点个数，可以确定直线与椭圆的位置关系。当 直线与椭圆有两个交点时，直线与椭圆相交；当只有一个交点或没有交 点时，直线与椭圆相切或相离。
行星椭圆轨道的确定
利用开普勒定律和牛顿万有引力定律，可以计算出行星在椭圆轨 道上的运动轨迹。
焦点位置的确定
根据椭圆的定义，可以确定椭圆轨道的两个焦点位置。
行星位置的预测
根据行星在椭圆轨道上的位置和速度，可以预测行星未来的运动轨 迹。
实例二：卫星轨道的计算
卫星椭圆轨道的确定
01
利用开普勒定律和牛顿万有引力定律，可以计算出卫星在椭圆
在工程中的应用
直线与椭圆在机械工程中 的应用
在机械工程中，直线与椭圆相交的情况可以 描述一些机械零件的形状和尺寸。例如，凸 轮机构的轮廓曲线可以用椭圆方程来表示， 而凸轮轴的直线部分则可以看作是与椭圆相 交的直线。通过研究直线与椭圆的相交，可 以设计出符合要求的机械零件形状和尺寸。
直线与椭圆在建筑设计中 的应用
直线与椭圆相交 问题
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目录
• 直线与椭圆的基本概念 • 直线与椭圆相交的判定 • 直线与椭圆相交的解法 • 直线与椭圆相交的应用 • 直线与椭圆相交的实例分析
01
CATALOGUE
直线与椭圆的基本概念
直线的定义和性质
定义
直线是两点之间最短的距离，可 以看作是无数个点的集合。
直线与椭圆相交问题
x 2 16
y 2 4
分析一：只需求直线的斜率，考虑用待定系 数法，解：①当斜率不存在时显然不合题意 ②当斜率存在时，设直线方程为y-1=k(X-2) 再利用弦的中点是M求k
= 1 内一点M 例1.过椭圆 （2，1）引一条弦，使弦被点M平 分，求这条弦所在直线的方程。
x 16
2
y + 4
2
• 分析二：利用交点坐标设而不求 • 设交点分别为 A ( x 1 , y 1 ). B ( x 2 , y 2 ) 然后 利用A.B都在椭圆上而且中点为M,要求的是 • AB的斜率K=
根据题意可设椭圆的标准方程与直根据题意可设椭圆的标准方程与直线方程连里解方程组利用中点公式求得线方程连里解方程组利用中点公式求得弦的中点的横坐标最后解关于弦的中点的横坐标最后解关于abab的方程的方程组即可
直线与椭圆的相交问题
+ = 1 内 例1.过椭圆 一点M（2，1）引一条弦， 使弦被点M平分，求这条弦所 在直线的方程。
y x
2 2
− −
y x
1 1
变式1：如果椭圆 的弦 变式 被点（4，2）平分，则弦所在直线 方程是
• x+2y-8=0
x 36
2
ห้องสมุดไป่ตู้y + 9
2
= 1
变式2：中心在原点，一个焦点为 （0， 50）的椭圆截直线y=3x-2所得 1 弦的中点横坐标为 ，求椭圆方程。
2
分析：根据题意可设椭圆的标准方程，与直 分析：根据题意可设椭圆的标准方程，与直 线方程连里解方程组，利用中点公式求得 弦的中点的横坐标，最后解关于a,b的方程 弦的中点的横坐标，最后解关于a,b的方程 组即可．
例2.求椭圆 上一点P, 使 得点P与椭圆两焦点连线互相垂直。