2018全国高中数学联赛试题

2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）

一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，共64分． 1.设集合{1,2,3,,99}A =，{2}B x x A =∈，{2}B x x A =∈，则B C 的元素个

数 . 解析：因为{1,2,3,

,99}A =，所以{2,4,6,

,198}B =,{1,2,3,

,49}C =,于是

{2,4,6,

,48}B C =，共24个元素.

2.设点P 到平面α

，点Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30且不大于60，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 .

解析：过点P 作平面α的垂线，这垂足为O ，则点Q 的轨迹是以O 为圆心，分别以1ON =和3OM =为半径的扇环,于是点Q 所构成的区域的面积为21S S S =-=

9

8πππ-=.

3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为 .

解析：（直接法）将1,2,3,4,5,6随机排成一行，共有66720A =种不同的排法，要使

abc def +为偶数，abc 为与def 同为偶数或abc 与且def 同为奇数.

（1）若,,a b c 中一个偶数两个奇数且,,d e f 中一个奇数两个偶数. 共324种情形； （2）若,,a b c 中一个奇数两个偶数且,,d e f 中一个偶数两个奇数. 共324种情形； 共有648种情形.综上所述，abc def +是偶数的概率为

6489

72010

=. （间接法）“abc def +是偶数”的对立事件为“abc def +是偶数”， abc def +是偶数分成两种情况：“abc 是偶数且def 是奇数”或“abc 是奇数且def 是偶数”，每

P

O

M

N

α

种情况有333336A A ⋅=种不同情形，共有72中不同情形，abc def +是偶数的概率为

729

172010

-

=. 4.在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C ：22

221x y a b

+=（0a b >>）的左、右焦点分别

是12,F F ，椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴和y 轴，且相交于点P ．已知线段

PU 、PS 、PV 、PT 的长分别为1,2,3,6，则12PF F ∆的面积为 .

解析：不妨设弦ST 与UV 的交点位于第一象限，如图所示.则8ST =，4UV =，则

点P 的坐标为(2,1).直线2x =被椭圆C 截得的弦长为4UV =，由22

2212x y a b x ⎧+

=⎪⎨⎪=⎩得

2

2

22

(4)b a y a -=

，24UV y ===，

即2a =.同理，由22

2212x y a b

y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩

得4b =.联立得220a =，25b =，所以215c =

，c =，12PF F ∆的面积

为1

12

S =⨯=.

5.设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[0,1]上严格递减，且满足

()1f π=,(2)2f π=，则不等式组12

1()2

x f x ≤≤⎧⎨≤≤⎩的解集为 .

解析：()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，()()f x f x =-,(2)()f x f x +=,

(2)()f x f x +=-，函数的图像关于1x =对称，()f x 在区间[0,1]上严格递减，所以()f x 在区间[1,2]上严格递增.(2)()1f f ππ-==,122π<-<且(82)(2)f f ππ-=

2=，1822π<-<.1()2f x ≤≤在[1,2]等价于(2)()(82)f f x f ππ-≤≤-，解之得

282x ππ-≤≤-.即不等式组12

1()2

x f x ≤≤⎧⎨

≤≤⎩的解集为[2,82]ππ--.

6.设复数z 满足1z =，使得关于x 的方程2220zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和为 .

解析：设复数z a bi =+，（,a b R ∈）.因为1z =，所以221a b +=.设方程222zx zx ++ 0=的实根为m （0m ≠）

，则2220zm zm ++=，2()2()20a bi x a bi x ++-+=， 22

220

20

am am bm bm ⎧++=⎨-=⎩.由220bm bm -=得，0b =或2m =. （1）当0b =时，又由221a b +=，得1a =或1a =-.

当1a =时，2220am am ++=可化为2220m m ++=，方程无实根，舍去； 当1a =-时，2220am am ++=可化为2220m m --+=，方程有实根. 此时，1z i =-.

（2）当2m =时，代入2220am am ++=可得1

4a =-，又由221a b +=

，4b =或

4b =-

.

此时2144z =-+

，3144

z i =--. 综上所述，12332

z z z ++=-.

7.设O 为的ABC ∆外心，若2AO AB AC =+，则sin BAC ∠的值为 .

解析：延长AC 到E ，使得CE AC =.连接OA ，OC ，OE .作直径BD ，连接DE . 因为2AO AB AC =+，即AO AB AE =+，所以， 四边形ABOE 为平行四边形，四边形ODEA 为菱形. 设AC m =,则2OC OA OB m ===.在AOC ∆中， 利用余弦定理可得：1

cos 4

OAC ∠=

，从而sin OAC ∠=.

又OAC AOD π∠+∠=，1

cos 4AOD ∠=-.2AOD BAO ∠=∠, 利用二倍角公式可得

21

cos cos 22cos 14

AOD BAO BAO ∠=∠=∠-=-

，所以，cos BAO ∠=,从而 B

A

C

E

O

D