2018全国高中数学联赛试题

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【数学竞赛】2018年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷(附答案)

【数学竞赛】2018年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷(附答案)

|T,n2按照顺时针螺旋方式排成n行n列的表格T,第一行是1,2,,n.例如:=⎢894⎥.题号一2018年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷(考试时间:2018年6月30日上午9:00—11:30)二总分9101112得分评卷人复核人注意:1.本试卷共12小题,满分150分; 2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答;3.书写不要超过装订线;4.不得使用计算器.一、填空题(每题8分,共64分,结果须化简)1.设三个复数1,i,z在复平面上对应的三点共线,且z|=5,则z=.2.设n是正整数,且满足n5=438427732293,则n=.3.函数f(x)=|sin(2x)+sin(3x)+sin(4x)|的最小正周期=.4.设点P,Q分别在函数y=2x和y=log x的图象上,则|PQ|的最小值=2.5.从1,2,,10中随机抽取三个各不相同的数字,其样本方差s2≤1的概率=.6.在边长为1的正方体ABCD-A B C D内部有一小球,该小球与正方体的对角线段AC相切,则小球11111半径的最大值=.7.设H是△ABC的垂心,且3HA+4HB+5HC=0,则cos∠AHB=.⎡123⎤8.把1,2,n3⎢⎥⎢⎣765⎥⎦设2018在T100的第i行第j列,则(i,j)=.二、解答题(第9—10题每题21分,第11—12题每题22分,共86分)9.如图所示,设ABCD是矩形,点E,F分别是线段AD,BC的中点,点G在线段EF上,点D,H关于线段AG的垂直平分线l对称.求证:∠HAB=3∠GAB.D HCE lG FA B213 2 π 210.(1) M ( x 0 , y 0 ) 处的切线方程 x 0 x - y 0 y = 1 .(3 分)b 2y 0 , x 0 + y ⎪ , B ( x 2 , y 2 ) = x 0 -y 0 , b a -b ⎭0 010. 设 O 是坐标原点,双曲线C : x 2 y 2 - a 2 b 2= 1(a > 0,b > 0) 上动点 M 处的切线交 C 的两条渐近线于 A , B两点.(1)求证: △AOB 的面积 S 是定值;(2)求 △AOB 的外心 P 的轨迹方程.11. (1)求证:对于任意实数 x , y , z 都有 x 2 + 2 y 2 + 3z 2 ≥3( xy + yz + zx ) .(2)是否存在实数k >试证明你的结论.3 ,使得对于任意实数 x , y , z 下式恒成立?x 2 + 2 y 2 + 3z 2 ≥ k ( x y + yz +zx )12. 在正 2018 边形的每两个顶点之间均连一条线段,并把每条线段染成红色或蓝色. 求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.参考答案和评分标准一、填空题(每题 8 分,共 64 分)1 2 3 45 6 7 84 - 3i 或 - 3 + 4i 1 + ln(ln 2) ln 21 154 - 65 -6 6(34,95)二、解答题(第 9—10 题每题 21 分,第 11—12 题每题 22 分,共 86 分) 9.由 E , F 分别是 AD , BC 的中点,得 EF // AB ⊥ AD .(3 分) 设 P 是 E 关于 l 的对称点,则 EP // AG ⊥ l ,故四边形 AEPG 是等腰梯形. (8 分) 进而 ∠PAG = ∠EGA = ∠GAB , ∠APG = ∠GEA ,从而 AP ⊥ HG . (13 分) 再由 HP = DE = EA = PG ,得 ∠HAP = ∠PAG = ∠GAB . (18 分) 因此, ∠HAB = 3∠GAB .(21 分)a 2⎛ a b ⎫ ⎛ a - b ⎫ ⎪ ⎪与渐近线方程联立,得 A ( x 1, y 1 ) = x ⎝ a + b a b ⎭ ⎝ a x 0上述两式相乘,得P的轨迹方程为a2x2-b2y2=1(a2+b2)2.11故x2+2y2+3z2≥3(xy+yz+zx).22,∑x(2017-x)=2M.当且仅当每个x=1008或1009时,N取得最小值C10092018-⨯1008=2C3.(16分)从而,S=1x y-x y=ab是定值.21221(2)由(1)可设A(λa,λb),B(a,-b),P(x,y),λ为非零常数.λλ由P A=PO=PB,得(x-λa)2+(y-λb)2=x2+y2=(x-a)2+(y+b)2.(9分) (12分) (15分)λλ从而有ax+by=λ(a2+b2),ax-by=1(a2+b2).22λ(18分) (21分)411.(1)由均值不等式,1x2+3y2≥3xy,x2+3z2≥3xz,y2+3z2≥3y z.2222 (2)x2+2y2+3z2-k(xy+yz+zx)=(x-k y-k z)2+(2-k2)y2+(3-k2)z2+(k2-k)y z22442(8分) (14分)上式≥0恒成立当且仅当2-k2≥0且(k2-k)2≤4(2-42k24)(3-k2).4(18分)化简得k≤22且k3-6k2+24≥0.显然,k=2>3满足要求.(22分) 12.设N是此图形中三边颜色都相同的三角形数目,M是此图形中三边颜色不全相同的三角形数目,x是以第i个顶点为端点的红色线段数目,则有iM+N=C320182018i i(10分) ii=1321009N=2C3是可以取到的,例如把线段i→i±j mod2018(1≤i≤2018,1≤j≤504)染成红1009色,其它线段染成蓝色.(22分)。

2018年全国高中数学联赛试题

2018年全国高中数学联赛试题
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2018年 全国高中数学联合竞赛加试试题 《 A卷 冫
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⒛18年 全 国高中数学联合竞赛一试试题 (A卷 )
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高三数学-2018年全国高中数学联合竞赛一试试卷及答案(word版) 精品

高三数学-2018年全国高中数学联合竞赛一试试卷及答案(word版) 精品

2018年全国高中数学联合竞赛一试试卷(考试时间:上午8:00—9:40)一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1. 如图,在正四棱锥P −ABCD 中,∠APC =60°,则二面角A −PB −C 的平面角的余弦值为( ) A. 71 B. 71- C. 21 D. 21- 2. 设实数a 使得不等式|2x −a |+|3x −2a |≥a 2对任意实数x 恒成立,则满足条件的a 所组成的集合是( ) A. ]31,31[- B. ]21,21[- C. ]31,41[- D. [−3,3] 3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完全相同。

甲从袋中摸出一个球,其号码为a ,放回后,乙从此袋中再摸出一个球,其号码为b 。

则使不等式a −2b +10>0成立的事件发生的概率等于( ) A. 8152 B. 8159 C. 8160 D. 8161 4. 设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。

若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x −c )=1对任意实数x 恒成立,则ac b cos 的值等于( ) A. 21- B. 21 C. −1 D. 1 5. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆,动圆P 与这两个定圆都相切,则圆P 的圆心轨迹不可能是( )6. 已知A 与B 是集合{1,2,3,…,100}的两个子集,满足:A 与B 的元素个数相同,且为A ∩B 空集。

若n ∈A 时总有2n +2∈B ,则集合A ∪B 的元素个数最多为( )A. 62B. 66C. 68D. 74二、填空题(本题满分54分,每小题9分)7. 在平面直角坐标系内,有四个定点A (−3,0),B (1,−1),C (0,3),D (−1,3)及一个动点P ,则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。

8. 在△ABC 和△AEF 中,B 是EF 的中点,AB =EF =1,BC =6,33=CA ,若2=⋅+⋅,则与的夹角的余弦值等于________。

2018年全国高中数学联赛A卷真题word版

2018年全国高中数学联赛A卷真题word版

一试一、填空题1. 设集合{}99,,3,2,1 =A ,{}A x x B ∈=2,{}A x x C ∈=2,则CB 的元素个数为 . 2. 设点P 到平面α的距离为3,点Q 在平面α上,使得直线PQ 与α所成角不小于︒30且不大于︒60, 则这样的点Q 所构成的区域的面积为 .3. 将6,5,4,3,2,1随机排成一行,记为f e d c b a ,,,,,,则def abc +是偶数的概率为 .4. 在平面直角坐标系xOy 中,椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别是21,F F ,椭圆C 的弦ST与UV 分别平行于x 轴与y 轴,且相交于点P .已知线段PT PV PS PU ,,,的长分别为6,3,2,1, 则21F PF ∆的面积为 .5. 设()x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数,在区间[]1,0上严格递减,且满足()()22,1==ππf f ,则不等式组()⎩⎨⎧≤≤≤≤2121x f x 的解集为 .6. 设复数z 满足1=z ,使得关于x 的方程0222=++x z zx 有实根,则这样的复数z 的和为 .7. 设O 为ABC ∆的外心,若AC AB AO 2+=,则BAC ∠sin 的值为 .8. 设整数数列1021,,,a a a 满足1103a a =,5822a a a =+,且{}9,,2,1,2,11 =++∈+i a a a i i i , 则这样的数列的个数为 .二、解答题9. 已知定义在+R 上的函数()x f 为()⎪⎩⎪⎨⎧--=,4,1log 3x x x f .9.90>≤<x x ,设c b a ,,是三个互不相同的实数,满足()()()c f b f a f ==,求abc 的取值范围.10. 已知实数列 ,,,321a a a 满足:对任意正整数n ,有()12=-n n n a S a ,其中n S 表示数列的前n 项和. 证明:(1)对任意正整数n ,有n a n 2<;(2)对任意正整数n ,有11<+n n a a .11. 在平面直角坐标系xOy 中,设AB 是抛物线x y 42=的过点()0,1F 的弦,AOB ∆的外接圆交抛物线 于点P (不同于点B A O ,,).若PF 平分APB ∠,求PF 的所有可能值.二试一、设n 是正整数,B A b b b a a a n n ,,,,,,,,,2121 均为正实数,满足i i b a ≤,A a i ≤,,,,2,1n i =且ABa a ab b b n n ≤ 2121. 证明:()()()()()()111111112121++≤++++++A B a a a b b b n n .二、ABC ∆为锐角三角形,AC AB <,M 为BC 边的中点,点D 和E 分别为ABC ∆的外接圆上弧BAC和弧BC 的中点.F 为ABC ∆的内切圆在AB 边上的切点,G 为AE 与BC 的交点,N 在线段EF 上, 满足AB NB ⊥.证明:若EM BN =,则FG DF ⊥.三、设m k n ,,是正整数,满足2≥k ,且n kk m n 12-<≤.设A 是{}m ,,2,1 的n 元子集. 证明:区间⎪⎭⎫⎝⎛-1,0k n 中的每个整数均可表示为a a '-,其中A a a ∈',.四、数列{}n a 定义如下:1a 是任意正整数,对整数1≥n ,1+n a 是与∑=ni ia1互素,且不等于n a a ,,1 的最小正整数. 证明:每个正整数均在数列{}n a 中出现.ED。

2018年全国高中数学联合竞赛试卷(一试)(B卷)(附答案详解)

2018年全国高中数学联合竞赛试卷(一试)(B卷)(附答案详解)

2018年全国高中数学联合竞赛试卷(一试)(B 卷)一、单空题(本大题共8小题,共64.0分)1. 设集合A ={2,0,1,8},B ={2a|a ∈A},则A ∪B 的所有元素之和是______.2. 已知圆锥的顶点为P ,底面半径长为2,高为1,在圆锥底面上取一点Q ,使得直线PQ与底面所成角不大于45°,则满足条件的点Q 所构成的区域的面积为______. 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行,记为a ,b ,c ,d ,e ,f ,则abc +def 是奇数的概率为______.4. 在平面直角坐标系xOy 中,直线l 经过坐标原点,n⃗ =(3,1)是l 的一个法向量,已知数列{a n }满足:对任意的正整数n ,点(a n+1,a n )均在l 上,若a 2=6,则a 1a 2a 3a 4a 5的值为______.5. 设α,β满足tan(α+π3)=−3,tan(β−π6)=5,则tan(α−β)的值为______. 6. 设抛物线C :y 2=2x 的准线与x 轴交于点A ,过点B(−1,0)作一直线l 与抛物线C 相切于点K ,过点A 作l 的平行线,与抛物线C 交于点M ,N ,则△KMN 的面积为______. 7. 设f(x)是定义在R 上的以2为周期的偶函数,在区间[1,2]上严格递减,且满足f(π)=1,f(2π)=0,则不等式组{0≤x ≤10≤f(x)≤1 的解集为______.8. 已知复数z 1,z 2,z 3满足|z 1|=|z 2|=|z 3|=1,|z 1+z 2+z 3|=r ,其中r 是给定实数,则z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1的实部是______(用含有r 的式子表示). 二、解答题(本大题共3小题,共56.0分) 9. 已知数列{a n },a 1=7,a n+1a n=a n +2,n =1,2,3,⋯.求满足a n >42018的最小正整数n .10. 已知定义在R +上的函数f(x)={|log 3x −1|,0<x ≤94−√x,x >9,设a ,b ,c 是三个互不相同的实数,且满足f(a)=f(b)=f(c),求abc 的取值范围.11.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,A、B与C、D分别是椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点与上、下顶点,设P,Q是Γ上且位于第一象限的两点,满足OQ//AP,M是线段AP的中点,射线OM与椭圆交于点R.证明:线段OQ,OR,BC能构成一个直角三角形.答案和解析1.【答案】31【解析】解:因为集合A={2,0,1,8},B={2a|a∈A}={0,2,4,16},所以A∪B={0,1,2,4,8,16},所以A∪B的所有元素之和是0+1+2+4+8+16=31.故答案为:31.先求出集合B,然后由集合并集的定义求出A∪B,即可得到答案.本题考查了集合的运算,主要考查了集合并集的定义,属于基础题.2.【答案】3π【解析】解:圆锥的顶点P在底面上的投影即为底面中心,设为O,所以∠OQP即为直线PQ与底面所成的角,因为直线PQ与底面所成角不大于45°,则tan∠OQP=OPOQ≤1,即OQ≥1,所以所求的区域面积为π⋅22−π⋅12=3π.故答案为:3π.圆锥的顶点P在底面上的投影即为底面中心,设为O,由线面角的定义可知,∠OQP即为直线PQ与底面所成的角,由题意求出OQ≥1,由圆的面积公式求解即可.本题考查了动点轨迹的求解,直线与平面所成角的理解与应用,圆的面积公式的运用,考查了逻辑推理能力与化简运算能力,属于中档题.3.【答案】110【解析】解:将1,2,3,4,5,6随机排成一行,记为a,b,c,d,e,f,基本事件总数n=6!,当abc+def为奇数时,abc,def必为一奇一偶,若abc为奇数,则a,b,c为1,3,5的排列,这样有3!×3!=36种情况,由对称性可知满足条件的情况有:36×2=72种,∴abc+def是奇数的概率为P=726!=110.故答案为:110.基本事件总数n=6!,当abc+def为奇数时,abc,def必为一奇一偶,求出满足条件的情况有72种,由此能求出abc+def是奇数的概率.本题考查概率的运算,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.4.【答案】−32【解析】【分析】本题主要考查等比数列的定义和通项公式的运用,考查直线方程的求法,考查运算能力,属于基本知识的考查与应用.由直线的法向量可得直线的斜率和直线方程,求得a n+1=−13a n,则数列{a n}为公比q为−13的等比数列,运用等比数列的通项公式可得所求值.【解答】解:直线经过坐标原点,n⃗=(3,1)是l的一个法向量,可得直线l的斜率为−3,即有直线l的方程为y=−3x,点(a n+1,a n)均在l上,可得a n=−3a n+1,即有a n+1=−13a n,则数列{a n}为公比q为−13的等比数列,可得a3=a2q=6×(−13)=−2.所以a1a2a3a4a5=(−2)5=−32.故答案为:−32.5.【答案】−74【解析】解:因为α,β满足tan(α+π3)=−3,tan(β−π6)=5,所以由两角差的正切公式可知tan[(α+π3)−(β−π6)]=tan(α+π3)−tan(β−π6)1+tan(α+π3)tan(β−π6)=−3−51+(−3)×5=47,所以tan(α−β+π2)=47,即cot(α−β)=−47,所以tan(α−β)=−74故答案为:−74.由已知利用两角差的正切公式,诱导公式即可计算得解.本题主要考查了两角差的正切公式,诱导公式在三角函数求值中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.6.【答案】12【解析】解:设直线l与MN的斜率为k,则l:x=1k y−1,MN:x=1ky−12,将l于C联立,得方程y2−2ky+2=0,由△=4k2−8=0可得k=±√22,将MN于C联立,得方程y2−2ky+1=0,于是|y M−y N|=√(y M+y N)2−4y M y N=√4k2−4=2,结合l与MN平行,可知S△KMN=S△BMN=|S△BAM−S△BAN|=12|AB|⋅|y M−y N|=12⋅12⋅2=12故答案为:12.设出直线l与,MN的方程,联立抛物线方程,利用韦达定理、面积公式即可求解.本题考查了直线与抛物线位置关系,考查了计算能力,属于中档题.7.【答案】[2π−6,4−π]【解析】解:由f(x)为偶函数且在区间[1,2]上严格递减,可得f(x)在[−2,−1]上严格递增,又因为f(x)是以2为周期的函数,所以f(x)在[0,1]上严格递增, f(4−π)=f(π−4)=f(π)=1,f(2π−6)=f(2π)=0, 所以0≤f(x)≤1⇔f(2π−6)≤f(x)≤f(4−π),而0<2π−6<4−π<1,所以原不等式组∈[2π−6,4−π]. 故答案为:[2π−6,4−π].根据函数的奇偶性、单调性和周期性可得f(x)在[0,1]上严格递增,由f(π)=1,f(2π)=0得出f(4−π)=1,f(2π−6)=0,从而由0≤f(x)≤1得出f(4−π)≤f(x)≤f(2π−6),从而可得原不等式组的解集.本题主要考查函数的单调性、奇偶性与周期性,考查转化思想与运算求解能力,属于中档题.8.【答案】r 2−32【解析】解:记w =z 1z 2+z 2z 3+z3z 1,由复数模的性质可知,z 1−=1z 1,z 2−=1z 2,z 3−=1z 3,故w =z 1z 2− +z 2z 3−+z 3z 1−,r 2=(z 1+z 2+z 3)(z 1−+z 2−+z 3−)=|z 1|2+|z 2|2+|z 3|2+w +w −=3+2Rew , 解得Rew =r 2−32,故z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1的实部是r 2−32.故答案为:r 2−32.根据已知条件,结合复数模公式,以及复数实部的概念,即可求解. 本题主要考查复数模公式,以及复数实部的概念,属于难题.9.【答案】解:由a n+1a n=a n +2知a n+1+1=(a n +1)2, 故a n +1=(a 1+1)2n−1=82n−1=23×2n−1,故a n =23×2n−1−1,显然{a n }单调递增,由于a 11=23072−1<24036=42018, a 12=26144−1>24036=42018,故满足a n >42018的最小正整数n 为12.【解析】略 略10.【答案】解:不妨设a <b <c ,由于f(x)在(0,3]上严格单调递减,在[3,9]上严格单调递增,在[9,+∞)上严格打电脑递减,又f(3)=0,f(9)=1,结合图象可知a ∈(0,3),b ∈(3,9),c ∈(9,+∞),所以f(a)=f(b)=f(c)∈(0,1), 由f(a)=f(b)得,1−log 3a =log 3b −1, 取log 3a +log 3b =2, 所以ab =32=9, 所以abc =9c ,又0<f(x)=4−√c <1, 所以c ∈(9,16),所以abc =9c ∈(81,144), 所以abc 的取值范围为(81,144).【解析】先判断函数的性质以及图象的特点,设a <b <c ,由图象得ab 是个定值,利用数形结合思想去解决即可.本题考查函数与方程之间的关系,解题中注意数形结合思想的应用,属于中档题.11.【答案】证明:设点P 坐标为(x 0,y 0),由于OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OR ⃗⃗⃗⃗⃗ //OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OP⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ), 故存在实数λ,μ,使得OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),OR ⃗⃗⃗⃗⃗ =μ(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ), 此时点Q ,R 的坐标可分别表示为(λ(x 0+a),λy 0),(μ(x 0−a),μy 0), 由于Q ,R 都在椭圆上,于是λ2[(x 0+a)2a 2+y 02b 2]=μ2[(x 0−a)2a 2+y 02b 2]=1,结合x 02a 2+y 02b2=1知,上式可化为λ2(2+2x 0a)=μ2(2−2x 0a)=1,解得λ2=a2(a+x 0),μ2=a2(a−x 0),因此|OQ|2+|OR|2=λ2[(x 0+a)2+y 02]+μ2[(x 0−a)2+y 02], =a 2(a+x 0)[(x 0+a)2+y 02]+a2(a−x 0)[(x 0−a)2+y 02]=a(a+x 0)2+ay 022(a+x 0)+a(a−x 0)2+ay 022(a−x 0)=a 2+ay 022(1a+x 0+1a−x 0)=a 2+ay 022⋅2aa 2−x 02=a 2+a 2b 2(1−x 02a 2)a 2−x 02=a 2+b 2=|BC|2,∴线段OQ ,OR ,BC 能构成一个直角三角形.【解析】设点P 坐标为(x 0,y 0),依题意,存在实数λ,μ,使得OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),OR ⃗⃗⃗⃗⃗ =μ(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),则点Q ,R 的坐标分别为(λ(x 0+a),λy 0),(μ(x 0−a),μy 0),然后再验证|OQ|2+|OR|2=|BC|2即可得证.本题考查椭圆性质以及平面向量在解析几何中的运用,对运算能力要求较高,属于较难题目.。

2018年全国高中数学联合竞赛一试(含答案)

2018年全国高中数学联合竞赛一试(含答案)

则(������ + ������������)������2 + 2(������ − ������������)������ + 2 = 0,
整理得:(������������2 + 2������������ + 2) + (������������2 − 2������������)������ = 0
由图结合对称性得:
������1 = ������ − 2, ������2 = 2������ − [4 + 2(2������ − 6)] = 8 − 2������ 所以,由函数单调性,不等式1 ≤ ������(������) ≤ 2在[1,2]内
分析:������������������ + ������������������为偶数,则������������������与������������������奇偶性相同,
故当������ ≥ 2 时,
������������ = √������ ± √������ − 1 ≤ √������ + √������ − 1 < 2√������ (2) ������������与������������+1异号时结论显然成立,
当������������与������������+1同号时: 由(1)得������������ = ±√������, 不妨得:������������ = √������ − √������ − 1
6. 设复数������满足|������|=1,使得关于������ 的方程z������2 + 2������̅������ +
2 = 0有实根,则这样的复数������的和为

2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)_PDF压缩

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证明:存在 x0 ∈[1, 9] ,使得 f (x0 ) ≥ 2 . 证法 1:只需证明存在 u, v ∈[1, 9] ,满足 f (u) − f (v) ≥ 4 ,进而由绝对值不
等式得
f (u) + f (v) ≥ f (u) − f (v) ≥ 4 ,
故 f (u) ≥ 2 与 f (v) ≥ 2 中至少有一个成立.
注意到 f (4 ) f ( 4) f () 1, f (2 6) f (2) 0 ,
所以
0 f (x) 1 f (2 6) f (x) f (4 ) ,
而 0 2 6 4 1 ,故原不等式组成立当且仅当 x [2 6, 4 ] .

4 7
,即
tan




2


4 7
,从而
tan(

)

cot




2



7 4

6. 设抛物线 C : y2 2x 的准线与 x 轴交于点 A ,过点 B (1, 0) 作一直线 l 与
抛物线 C 相切于点 K ,过点 A 作 l 的平行线,与抛物线 C 交于点 M , N ,则 KMN
…………………5 分
由 f (a) f (b) 得 1 log3 a log3 b 1,
即 log3 a log3 b 2 ,因此 ab 32 9 .于是 abc 9c . 又
…………………10 分
0 f (c) 4 c 1,
…………………15 分
故 c (9, 16) .进而 abc 9c (81, 144) .

2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)

2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)

说明: 1. 评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分,10 分为一个档次,不得增加其他中间档次.
一、(本题满分 40 分)设 a, b 是实数,函数 f (x) = ax + b + 9 . x
知,满足条件的情况数为 36 × 2 =72 种.从而所求概率为= 72 7= 2 1 . 6! 720 10
4. 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 通过原点, n (3, 1) 是 l 的一个法向
量.已知数列{an}满足:对任意正整数 n ,点 (an1, an ) 均在 l 上.若 a2 6 ,则
11.(本题满分 20 分)如图所示,在平面直角 坐 标 系 xOy 中 , A 、 B 与 C 、 D 分 别 是 椭 圆
x2 y2 : a2 b2 1 (a b 0) 的左、右顶点与上、下顶 A 点.设 P, Q 是 上且位于第一象限的两点,满足
y
R
P
C
M
Q
O
Bx
OQ ∥ AP , M 是线段 AP 的中点,射线 OM 与椭
是 0 1 2 4 8 16 31 .
2. 已知圆锥的顶点为 P ,底面半径长为 2 ,高为1.在圆锥底面上取一点 Q ,
使得直线 PQ 与底面所成角不大于 45 ,则满足条件的点 Q 所构成的区域的面积


答案: 3 .
解:圆锥顶点 P 在底面上的投影即为底面中心,记之为 O .由条件知, OP tan OQP 1 ,即 OQ 1 ,故所求的区域面积为 22 12 3 . OQ

2018年全国高中数学联赛天津市预赛高三数学试题(解析版)

2018年全国高中数学联赛天津市预赛高三数学试题(解析版)

2018年全国高中数学联赛天津市预赛高三数学试题一、单选题1.如果集合,,C是A的子集,且,则这样的子集C有()个.A.256 B.959 C.960 D.961【答案】C【解析】【详解】满足的子集C有个,所以满足的子集C有个.故答案为:C2.等差数列中,,则前17项的和等于(). A.0 B.-34 C.17 D.34【答案】B【解析】【详解】设公差为d,则,结合条件可知,从而前17项的和等于.故答案为:B3.设的最小正周期为6,则的值是().A.0 B.1 C.D.【答案】A【解析】【详解】由最小正周期为6可知,即.于是当k为整数时,即每个完整周期内的6个函数值之和为零.注意,所以原式=.故答案为:A4.在以下四个数中,最大的是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】考虑函数,则四个选项分别是、、、.由于,可见在(0,e)上单调递增,在(e,+)上单调递减,所以在(0,+)上的最大值为.故答案为:B5.设复数z满足,i是虚数单位,则的值不可能是(). A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】注意我们有.也就是说,它表示点z到3-4i的距离的倍.由于z在单位圆上,易知上式的取值范围是.故答案为:D6.下面左边的平行四边形ABCD是由6个正三角形构成,将它沿虚线折起来,可以得到如右图所示的粽子形状的六面体,在这个六面体中,AB与CD夹角的余弦值是().A.0 B.1 C.D.【答案】C【解析】【详解】如图所示,取中间的虚线EF,将平行四边形分为两部分,各由三个小正三角形构成.左端的三个小正三角形折起来(B和F重合),恰好是一个无底的正三棱锥,AB、EF是它的两条底边;同理,右端的三个小正三角形折起来(D和E重合)构成粽子的另一半,CD、EF也是边线.因此,折起来后,AB、CD是正三角形的两条边,它们夹角的余弦值为.故答案为:C二、填空题7.已知函数和的定义域都是,它们的图象围成的区域面积是_____________【答案】【解析】【详解】将的图象补充为完整的圆,则由中心对称性易知答案是圆面积的一半,为.故答案为:8.若为正实数,且是奇函数,则不等式的解集是_____________【答案】【解析】【详解】由可得即也即,所以.由于在(0,+)上递增,所以在(0,+)上是增函数,结合是奇函数可知在R上是增函数.解不等式,只需找到的解.方程等价于也即两边平方,解得.因此,不等式的解集是.故答案为:9.对于实数,用表示不超过的最大整数,例如,,,设x为正实数,若为偶数,则称x为幸运数.在区间(0,1)中随机选取一个数,它是幸运数的概率为__________【答案】【解析】【详解】注意当时,;因此为偶数当且仅当,也即这些区间的长度之和为.因此,x是幸运数的概率为.故答案为:10.实数x、y满足,则的最大值是____________【答案】42【解析】【详解】注意,,,这三者相加即得.当,时等号成立,所以的最大值是42.也可以直接用柯西(Cauchy)不等式,得到最大值为42.故答案为:4211.凸六边形ABCDEF的6条边长相等,内角A、B、C分别为134°、106°、134°.则内角E是___________(用度数作答).【答案】134°【解析】【详解】不妨设边长为1,设AC、DF的中点分别为M、N,且A在DF上的射影为K,则,,,即,.又设,则,利用,我们有,因此,即等腰△DEF的底角为23°,可见其顶角E为134°.故答案为:134°12.半径分别为6、6、6、7的四个球两两外切.它们都内切于一个大球,则大球的半径是________【答案】14【解析】【详解】设四个球的球心分别为A、B、C、D,则AB=BC=CA=12,DA=DB=DC=13,即A、B、C、D两两连结可构成正三棱锥.设待求的球心为X,半径为r.,则由对称性可知DX平面ABC.也就是说,X在平面ABC上的射影是正三角形ABC的中心O.易知,.设OX=x,则由于球A内切于球X,所以AX=r-6即①又DX=OD-OX=11-x,且由球D内切于球X可知DX=r-7于是②从①②两式可解得,即大球的半径为14.故答案为:14三、解答题13.设、、是方程的三个根,且.⑴求的整数部分;⑵求的值.【答案】(1)-2(2)【解析】【详解】由于、、是方程的根,我们有.比较两端的系数可得:,,.⑴由和可知.注意满足,,.所以在区间上有一个根,即.因此的整数部分为-2.⑵设,i=1,2,3.由⑴知,且 .因此.注意从而.这表明,即.14.如图,、是双曲线的两个焦点,一条直线与双曲线的右支相切,且分别交两条渐近线于A、B.又设O为坐标原点,求证:(1);⑵、、A、B四点在同一个圆上.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【详解】⑴若直线AB的斜率不存在,即切点位于实轴的顶点,则A、B的坐标分别为(1,2)、(1,-2).这时,结论成立.若直线AB的斜率存在,可设直线AB的方程为.由于AB与双曲线相切,所以关于x的方程有两个相等的实根,即.整理得.由于A、B的横坐标、是方程的两个实根,我们有.注意A、B的坐标分别为(),().可知,,因此.⑵在与中,,且,所以.同理.这样,我们有.即四边形中的一组对角之和等于另一组对角之和,从而对角之和为180°,该四边形内接于圆.15.设,,正实数数列满足,且当时.求证:⑴当时,;⑵.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【详解】⑴我们证明,当x>0时,.令,则有,,.由知单调递增,从而.由可知单调递增,.最后,由可知单调递增,这样我们就证明了.利用这一点,立即得到.⑵我们先对n用数学归纳法证明.当n=1时,,结论成立.假设当n=m-1时有(其中).如果,则.注意.可知,与归纳假设矛盾.因此.这样,当时有,令k从1到n求和,就得到.。

2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)

2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)


2,
4,
6,,
48

故 B C 的元素个数为 24 . 2. 设点 P 到平面 的距离为 3 ,点 Q 在平面 上,使得直线 PQ 与 所成
角不小于 30 且不大于 60 ,则这样的点 Q 所构成的区域的面积为

答案:8 .
解:设点 P 在平面 上的射影为 O .由条件知,OP OQ


tan
OQP



3, 3求的区域面积为 32 12 8 .
3. 将1, 2, 3, 4, 5, 6 随机排成一行,记为 a, b, c, d , e, f ,则 abc + def 是偶数的
概率为

答案: 9 . 10
在[9,) 上严格递减,且 f (3) 0, f (9) 1,故结合图像可知
a (0, 3) , b (3, 9) , c (9, ) ,
并且 f (a) f (b) f (c) (0, 1) .
…………………4 分
由 f (a) f (b) 得 1 log3 a log3 b 1,
注意到 f ( 2) f () 1, f (8 2) f (2) f (2) 2 ,
所以 1 f (x) 2 f ( 2) f (x) f (8 2) ,
而1 2 8 2 2 ,故原不等式组成立当且仅当 x [ 2, 8 2] . 6. 设复数 z 满足 z 1,使得关于 x 的方程 zx2 2zx 2 0 有实根,则这样
证明: (1) 约定 S0 0 .由条件知,对任意正整数 n ,有
1

an
(2Sn

2018年全国高中数学联赛

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2018年全国高中数学联赛山东预赛试题解析一、填空题(每小题8分,共80分)1.若复数z 满足|z -1|+|z -3-2i|=22,则|z |的最小值为 . 【解析】答案:1.设z =x +y i ,则|z -1|+|z -3-2i|=22的几何意义为点P (x ,y )到点A (1,0),B (3,2)的距离之和为22,因为|AB |=22,从而点P 在线段AB 上,从而:|OP |≥1.即当z =1时有最小值|z |=1. 2.在正三棱锥S —ABCD 中,已知二面角A —SB —D 的正弦值为63,则异面直线SA 与BC 所成的角为 . 【解析】答案:60°.A —SB —D 的二面角等于A —SD —B 的二面角,设底面的中心为O ,取AD 的中点M ,连接SO 、SM 、OM ,过点O 作OE ⊥SM 于E ,易证OE ⊥平面SAD ,过点E 作EP ⊥SD 于点P ,连接OP ,从而:A —SD —B 的二面角为∠EPO .设底面边长为2a ,侧棱长为2b ,于是:OM =a ,SO =4b 2-2a 2,OD =2a , 所以:OE =a 4b 2-2a 24b 2-a 2,OP =2a ·4b 2-2a 22b ,所以:sin ∠OPE =OE OP =2b 4b 2-a 2=63,解得:a =b .于是:△SAD 为正三角形,从而:直线SA 与BC 所成的角为60°.OP MDEC SA3.函数f (x )=[2sin x ·cos x ]+[sin x +cos x ]的值域为 (其中[x ]表示不超过x 的最大整数). 答案:{-1,0,1,2}.【解析】 f (x )=[sin2x ]+⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4,当x ∈⎣⎡⎭⎫0,π4时,[sin2x ]=0,⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=1,此时f (x )=1; 当x =π4时,[sin2x ]=1,⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=1,此时f (x )=2; 当x ∈⎝⎛⎭⎫π4,π2,[sin2x ]=0,⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=1,此时f (x )=1; 当x =π2时,[sin2x ]=0,⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=1,此时f (x )=1; 当x ∈⎝⎛⎭⎫π2,3π4,[sin2x ]=0,⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=0,此时f (x )=0; 当x =3π4时,[sin2x ]=-1,⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=0,此时f (x )=-1; 当x ∈⎝⎛⎭⎫3π4,π时,[sin2x ]=0,⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=0,此时f (x )=0; 当x =π时,[sin2x ]=0,⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=-1;此时f (x )=-1; 其他区间按此方法讨论.4.在△ABC 中,∠BAC =60°,∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ,且有AD →=14AC →+tAB →,若AB =8,则AD = . 答案:6 3.【解析】易知t =34,从而:AC =24,AD 2=116×242+916×82+316×8×24=108,从而:AD =6 3.5.甲、乙两人轮流掷一枚硬币至正面朝上或者朝下,规定谁先掷出正面朝上为赢:前一场输者,则下一场先掷,若第一场甲先掷,则甲赢得第n 场的概率为 . 【解析】答案:P n =12⎣⎡⎦⎤1-⎝⎛⎭⎫-13n . 设甲赢得第n 场的概率为P n ,则P n +1=23(1-P n )+13P n ,P 1=23,解得:P n =12⎣⎡⎦⎤1-⎝⎛⎭⎫-13n . 6.若直线6x -5y -28=0交椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0,且a ,b 为整数)于A 、C ,设B (0,b )为椭圆的上顶点,而△ABC 的重心为椭圆的右焦点F 2,则椭圆的方程为 . 【解析】设A (x 1,y 1),C (x 2,y 2),依题意知:⎩⎨⎧x 1+x 2=3c ,y 1+y 2+b =0,联立椭圆方程和直线方程:⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2+y 2b 2=1,6x -5y -28=0,得:⎩⎨⎧x 1+x 2=336a 236a 2+25b 2=3c ①,y 1+y 2=-280b 236a 2+25b 2=-b ②,①÷②可得:2a 25b 2=c b, 即:2a 2=5bc ,两边平方,并有c 2=a 2-b 2可得:4a 4-25a 2b 2+25b 4=0,解得:a 2=5b 2或者a 2=54b 2,7.设a 、b ∈R ,则max{|a +b |,|a -b |,|1-b |}的最小值为 . 【解析】答案:12.max{|a +b |,|a -b |,|1-b |}=max{|a |+|b |,|1-b |}≥|a |+|b |+|1-b |2≥|a |+12≥12. 当且仅当a =0,b =12时等号成立.8.已知a 、b ∈Z ,且a +b 是方程x 2+ax +b =0的一个根,则b 的最大可能值为 . 【解析】答案:9.将a +b 代入方程可得:(a +b )2+a (a +b )+b =0,整理可得:b 2+(3a +1)b +2a 2=0,显然a 、b 中至少有一个为负数,欲求b 的最大值,则a <0,b >0. 视b 为主元,解得:b =-(3a +1)-(3a +1)2-8a 22=-(3a +1)-a 2+6a +12,其中:a ≥22-3或者a ≤-(22+3),因为b ∈Z ,从而:a 2+6a +1=m 2,m ∈Z , 即:a 2+6a +1-m 2=0有整数解.=36-4(1-m 2)=4(m 2+8)为完全平方数,令m 2+8=n 2,其中:n ∈Z ,所以:(n +m )(n -m )=8=2×4=(-2)×(-4),解得:⎩⎨⎧n =±3,m =±1,a =0或-6,b =-1或9,于是b max = 9,此时a =-6.9.设集合A 、B 满足A ∪B ={1,2,…,10},若A ∩B = ,若集合A 的元素个数不是集合A 的元素,集合B 元素个数不是集合B 的元素,则满足条件的所有集合A 的个数为 . 【解析】令|A |=k ,则|B |=10-k ,k ≠5,否则5∈A ∩B ,从而由题意可知:k ∈B ,10-k ∈A ,此时A 中剩余的k -1个元素有C k -18种选择,且剩余的9-k 个元素必定属于集合B .于是,满足题意的集合A 的个数为m =∑k =19C k -18-C 5-18=28-70=256-70=186个.10.设f (n )为最接近4n 的整数,则∑k =120181f (k )= . 【解析】答案:28867.用[n ]表示与4n 最接近的整数,则:当n ∈[1,8]时,[n ]=1,f (n )=1,其中n =1,2,…,8;故∑k =181f (k )=8, 当n ∈[9,48]时,[n ]=2,f (n )=2,其中n =9,10,…,48,故∑k =9481f (k )=20;当n ∈[49,168]时,[n ]=3,f (n )=3,其中:n =49,50,…,168,故∑k =491681f (k )=40; 当n ∈[169,440]时,[n ]=4,f (n )=4,其中n =169,170,…,440,故∑k =1694401f (k )=68; 当n ∈[441,960]时,[n ]=5,f (n )=5,其中:n =441,…,960,故∑k =4419601f (k )=104; 当n ∈[961,1848]时,[n ]=6,f (n )=6,其中n =961,…,1848,故∑k =96118481f (k )=148. 当n ∈[1849,2018]时,[n ]=7,其中n =1849,…,2018,故∑k =184920181f (k )=1707, 综上:∑k =120181f (k )=8+20+40+68+104+148+1707=28867. 事实上,当k ≤4n ≤k +1时,若n 4∈[k 4,k 4+2k 3+3k 2+2k ]时,[n ]=k ,当n 4∈[k 4+2k 3+3k 2+2k +1,(k +1)4]时,[n ]=k +1. 因为当n 4∈[k 4,k 4+2k 3+3k 2+2k ],则n 4-k 4∈[0,2k 3+3k 2+2k ]<(k +1)4-n 4∈[2k 3+3k 2+2k +1,4k 3+6k 2+4k +1]; 而当n 4∈[k 4+2k 3+3k 2+2k +1,(k +1)4]时,(k +1)4-n 4∈[0,2k 3+3k 2+2k ]<n 4-k 4∈[2k 3+3k 2+2k +1,4k 3+6k 2+4k +1]; 于是:当n 4∈[k 4+2k 3+3k 2+2k +1,(k +1)4]时,[n ]=k +1; 当n 4∈[(k +1)4,(k +1)4+2(k +1)3+3(k +1)2+2(k +1)]时,[n ]=k +1,即当n 4∈[k 4+2k 3+3k 2+2k +1,(k +1)4+2(k +1)3+3(k +1)2+2(k +1)]时,[n ]=k +1,此时共有(k +1)4+2(k +1)3+3(k +1)2+2(k +1)-(k 4+2k 3+3k 2+2k )=4k 3+12k 2+16k +8=4(k +1)(k 2+2k +2)个数,于是:∑k 4-2k 3+3k 2-2k +1k 4+2k 3+3k +2+2k1f (k )=4(k 2+1), 所以:∑k =120181f (k )=∑k =164(k 2+1)+∑i =184920181f (i )=388+1707=28867. 二、解答题(本大题共4小题,共70分)11.已知圆O :x 2+y 2=4与曲线C :y =3|x -t |,A (m ,n ),B (s ,p )(m ,n ,s ,p ∈N*)为曲线C 上的两点,使得圆O 上的任意一点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值k (k >1),求t 的值.【解析】答案:t =43.取圆上的点C (2,0),D (-2,0),E (0,2),F (0,-2),依题意有:⎩⎨⎧(2-m )2+n 2(2-s )2+p 2=(2+m )2+n 2(2+s )2+p 2=ms,m 2+(2-n )2s 2+(p -2)2=m 2+(2+n )2s 2+(2+p )2=np,于是:OA →=tOB →,所以,点A 、B 、O 三点共线.由阿波罗尼斯圆的性质:OA ·OB =R 2=4,且OA =Rλ,OB =Rλ,其中λ>1,则OA <OB ,所以:OA <2;因为:m 2+n 2=OA 2=4λ2,又m 、n ∈N*,从而:OA 2=4λ2∈N*,(1)若OA 2=4λ2=1,则λ=2,此时:m 2+n 2=1,必有mn =0,因为m 、n ∈N*,不符合题意;(2)若OA 2=4λ2=2,则λ=2,此时:m 2+n 2=2,得:m =n =1,s =p =2,直线AB 的方程为y=x ,则点A (1,1),B (2,2)在曲线C 上,代入解得:t =43.(3)若OA 2=4λ2=3,此时:m 2+n 2=3,无正整数解,不合题意.综上:t =43.12.已知数列{a n }满足:a 1=π3,0<a n <π3,sin a n +1≤13sin3a n (n ≥2), 求证:sin a n <1n. 证明:由于0<a n <π3,于是:sin a n ∈⎝⎛⎭⎫0,12, 当n =1时,有sin a 1=12<1;当n =2时,sin a 2∈⎝⎛⎭⎫0,12<12成立; 设当n =k 时,有sin a k <1k, 则当n =k +1时,sin a k +1≤13sin3a k =13(3sin a k -4sin 3a k ),令f (x )=3x -4x 3,x ∈⎝⎛⎭⎫0,12, 则f ′(x )=3-12x 2>0,即f (x )在⎝⎛⎭⎫0,12单调递增, 于是:sin a k +1≤13sin3a k =13(3sin a k -4sin 3a k )≤1k -43k k,所以只需证明:1k -43k k <1k +1(k ≥2) 即可. 即证明:3k -43k<k k +1, 平分后整理可得:15k 2+8k -16>0,即证明对任意k ≥2有:(3k +4)(5k -4)>0,显然成立.于是:对任意n ∈N*,有sin a n <1n. 13.实数a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2=λ(λ>0),试求f =min{(a -b )2,(b -c )2,(c -a )2}的最大值.【解析】由i 对称性,不妨设a ≥b ≥c , 从而:a -b >a -c >0,于是有:f =min{(a -b )2,(b -c )2,(c -a )2}=min{(a -b )2,(b -c )2}≤(a -b )(b -c )≤⎣⎡⎦⎤(a -b )+(b -c )22=(a -c )24≤λ2.当且仅当b =0,a =-c =2λ2时等号成立. 14.证明对所有的正整数n ≥4,存在一个集合S ,满足如下条件: (1)S 由都小于2n-1的n 个正整数组成;(2)对S 的任意两个不同非空子集A 、B ,集合A 中所有元素之和不等于集合B 中所有元素之和.【解析】当S ={20,21,22,…,2n -1}时满足题意.法一、证明:用|T |表示集合T 中的元素个数,M (A )表示集合A 中的元素之和. 当n =4时,若|A |=1,则M (A )={1,2,4,8}; 若|A |=2,则M (A )={3,5,9,6,10,12}, 若|A |=3,则M (A )={7,11,13,14}, 若|A |=4,则M (A )={15},即集合S 的15个子集,其和值也有15个,每个子集的和值各不相同, 所以:当A ≠B 时,总有M (A )≠M (B ). 故:当n =4时,S ={1,2,4,8}满足题意;假设当n =k 时,集合S ={20,21,22,…,2k -1}满足题意, 此时集合S 的2k -1个非空子集有2k -1个不同的值,其集合为{1,2,…,2k -1},则当n =k +1时,集合S 的2k 个子集的和值组成的集合为{1,2,3,…,2k -1,2k ,2k +1,…,2k +2k -1},即:{1,2,3,…,2k -1,2k ,…,2k +1-1},所以当n =k +1时,集合S 的2k +1-1个子集有2k +1-1个不同的值. 综上:集合S ={20,21,22,…,2n -1}总是满足题意.法二、不妨假设a 1<a 2<…<a m ,b 1<b 2<…<b t ,且对任意的i ,j ,a i ≠b j ,b t <a m , 根据题意只需证明:∑i =1m 2a i≠∑j =1t2b j即可.若不然,设∑i =1m2a i=∑j =1t2bj ,则:2a m<∑i =1m2a i=∑j =1t 2bj ,所以:1<2b 1-a m+2b 2-a m+…+2b t -a m≤12+122+…+12t -m =1-12t -m +1<1,矛盾. 从而:集合S ={20,21,…,2n -1}的任意的两个子集之和不同. 所以:存在满足题意的集合S ={20,21,…,2n -1}.。

2018年全国高中数学联赛吉林预赛试题及详解

2018年全国高中数学联赛吉林预赛试题及详解

2018年全国高中数学联赛吉林预赛试题及详解2018年全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛试题一、选择题:1.集合A={x∈Z|log2x≤2}的真子集个数为()A.7.B.8.C.15.D.162.三棱锥P-ABC的底面ΔABC是边长为3的正三角形,PA=3,PB=4,PC=5,则三棱锥P-ABC的体积为()A.3.B.10.C.11.D.233.已知函数f(x)满足:f(1)=1,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y) (x,y∈R),则f(2019)=()A.4/11.B.-4/11.C.2/44.D.-2/444.已知函数f(x)=sinx/(2+cosx),则对∀x∈R,下列说法中错误的是()A.f(x)≥sinx。

B.f(x)≤x。

C.f(x)≤(π+x)+(π-x)。

D.f(x+π)+f(π-x)=3/35.已知函数f(x)=((2x+1)/(x^2+1))在[-2018,0)∪(0,2018]上的最大值为M,最小值为N,则M+N=()A.3.B.2.C.1.D.06.设x>0,y>0,z>0,满足x+y=xy,x+y+z=xyz,则z的取值范围是()A.0,3.B.1,4.C.0,1,3.D.4二、填空题:7.函数y=(x+3)/(x^2-6x+8)+log2(x-1)的定义域为______。

8.已知圆C的方程为x^2+y^2-8x+15=0,若直线y=kx-2(k∈R)上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值等于______。

9.如图,在直角三角形ABC中,∠ACB=π/2,AC=BC=2,点P是斜边AB上一点,且BP=2PA,则CP·CA+CP·CB=______。

10.已知点P在直线x+2y-1=0上,点Q在直线x+2y+3=0上,PQ的中点为M(x,y),且y>x+2,则y的取值范围是______。

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2018年全国高中数学联合竞赛一试试题(A 卷)
一、填空题:本大题共 8小题,每小题 8分,共64分. 1.设集合{1,2,3,,99}A =,{2}B x x A =∈,{2}B x x A =∈,则B C 的元素个
数 . 解析:因为{1,2,3,
,99}A =,所以{2,4,6,
,198}B =,{1,2,3,
,49}C =,于是
{2,4,6,
,48}B C =,共24个元素.
2.设点P 到平面α
,点Q 在平面α上,使得直线PQ 与α所成角不小于30且不大于60,则这样的点Q 所构成的区域的面积为 .
解析:过点P 作平面α的垂线,这垂足为O ,则点Q 的轨迹是以O 为圆心,分别以1ON =和3OM =为半径的扇环,于是点Q 所构成的区域的面积为21S S S =-=
9
8πππ-=.
3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行,记为,,,,,a b c d e f ,则abc def +是偶数的概率为 .
解析:(直接法)将1,2,3,4,5,6随机排成一行,共有66720A =种不同的排法,要使
abc def +为偶数,abc 为与def 同为偶数或abc 与且def 同为奇数.
(1)若,,a b c 中一个偶数两个奇数且,,d e f 中一个奇数两个偶数. 共324种情形; (2)若,,a b c 中一个奇数两个偶数且,,d e f 中一个偶数两个奇数. 共324种情形; 共有648种情形.综上所述,abc def +是偶数的概率为
6489
72010
=. (间接法)“abc def +是偶数”的对立事件为“abc def +是偶数”, abc def +是偶数分成两种情况:“abc 是偶数且def 是奇数”或“abc 是奇数且def 是偶数”,每
P
O
M
N
α
种情况有333336A A ⋅=种不同情形,共有72中不同情形,abc def +是偶数的概率为
729
172010
-
=. 4.在平面直角坐标系xoy 中,椭圆C :22
221x y a b
+=(0a b >>)的左、右焦点分别
是12,F F ,椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴和y 轴,且相交于点P .已知线段
PU 、PS 、PV 、PT 的长分别为1,2,3,6,则12PF F ∆的面积为 .
解析:不妨设弦ST 与UV 的交点位于第一象限,如图所示.则8ST =,4UV =,则
点P 的坐标为(2,1).直线2x =被椭圆C 截得的弦长为4UV =,由22
2212x y a b x ⎧+
=⎪⎨⎪=⎩得
2
2
22
(4)b a y a -=
,24UV y ===,
即2a =.同理,由22
2212x y a b
y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩
得4b =.联立得220a =,25b =,所以215c =
,c =,12PF F ∆的面积
为1
12
S =⨯=.
5.设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数,在区间[0,1]上严格递减,且满足
()1f π=,(2)2f π=,则不等式组12
1()2
x f x ≤≤⎧⎨≤≤⎩的解集为 .
解析:()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数,()()f x f x =-,(2)()f x f x +=,
(2)()f x f x +=-,函数的图像关于1x =对称,()f x 在区间[0,1]上严格递减,所以()f x 在区间[1,2]上严格递增.(2)()1f f ππ-==,122π<-<且(82)(2)f f ππ-=
2=,1822π<-<.1()2f x ≤≤在[1,2]等价于(2)()(82)f f x f ππ-≤≤-,解之得
282x ππ-≤≤-.即不等式组12
1()2
x f x ≤≤⎧⎨
≤≤⎩的解集为[2,82]ππ--.
6.设复数z 满足1z =,使得关于x 的方程2220zx zx ++=有实根,则这样的复数z 的和为 .
解析:设复数z a bi =+,(,a b R ∈).因为1z =,所以221a b +=.设方程222zx zx ++ 0=的实根为m (0m ≠)
,则2220zm zm ++=,2()2()20a bi x a bi x ++-+=, 22
220
20
am am bm bm ⎧++=⎨-=⎩.由220bm bm -=得,0b =或2m =. (1)当0b =时,又由221a b +=,得1a =或1a =-.
当1a =时,2220am am ++=可化为2220m m ++=,方程无实根,舍去; 当1a =-时,2220am am ++=可化为2220m m --+=,方程有实根. 此时,1z i =-.
(2)当2m =时,代入2220am am ++=可得1
4a =-,又由221a b +=
,4b =或
4b =-
.
此时2144z =-+
,3144
z i =--. 综上所述,12332
z z z ++=-.
7.设O 为的ABC ∆外心,若2AO AB AC =+,则sin BAC ∠的值为 .
解析:延长AC 到E ,使得CE AC =.连接OA ,OC ,OE .作直径BD ,连接DE . 因为2AO AB AC =+,即AO AB AE =+,所以, 四边形ABOE 为平行四边形,四边形ODEA 为菱形. 设AC m =,则2OC OA OB m ===.在AOC ∆中, 利用余弦定理可得:1
cos 4
OAC ∠=
,从而sin OAC ∠=.
又OAC AOD π∠+∠=,1
cos 4AOD ∠=-.2AOD BAO ∠=∠, 利用二倍角公式可得
21
cos cos 22cos 14
AOD BAO BAO ∠=∠=∠-=-
,所以,cos BAO ∠=,从而 B
A
C
E
O
D
sin 4
BAO ∠=
. 于是,sin sin()BAC BAO OAC ∠=∠+∠
sin cos BAO OAC =∠⋅∠+cos sin BAO OAC ∠⋅∠=144444
+⨯=. 8.设整数数列1210,,
,a a a 满足1013a a =,2852a a a +=且1{1,2}i i i a a a +∈++,
1,2,
,9i =,则这样的数列的个数为 .
解析:因为1{1,2}i i i a a a +∈++,所以11i i a a +=+或12i i a a +=+. 一方面,1019a a ≥+,1013a a =,1139a a ≥+,19
2
a ≥
,1a 为整数,15a ≥;另一方面,10129a a ≤+⨯,1013a a =,11318a a ≤+,19a ≤.于是,159a ≤≤.
由2852a a a +=且1{1,2}i i i a a a +∈++,且1210,,,a a a 都是整数,得:
当15a =时,1015a =,这时满足条件的数列共3个; 当16a =时,1018a =,这时满足条件的数列共28个; 当17a =时,1021a =,这时满足条件的数列共36个; 当18a =时,1024a =,这时满足条件的数列共12个; 当19a =时,1027a =,这时满足条件的数列共1个; 共计80个.。

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