现代控制理论 第5章线性时不变系统的多项式矩阵描述
绪论
出生日期： 1831年06月13日 逝世日期： 1879年11月5日 职业： 物理学家
Harbin Engineering University
3 公因子和最大公因子
公因子的定义
• 相同列数的两个多项式矩阵间可以定义右公因子(是多项式 矩阵).假定N(s)和D(s)列数相同,若 N ( s) N ( s) R( s)
D(s) D (s) R(s) 则R(s)称为N(s)和D(s)的右公因子.
认识他们吗？？
Edward John Routh ：1831年1月20日出 生在加拿大的魁北克。
Routh 11岁那年回到英国，在de Morgan指导下学 习数学。在剑桥学习的毕业考试中，他获得第一名。并 得到了“Senior Wrangler”的荣誉称号。 毕业后Routh开始从事私人数学教师的工作。从 1855年到1888年Routh教了600多名学生，其中有27位获 得“SEnior Wrangler”称号。建立了无可匹敌的业绩。
Harbin Engineering University
哈罗德·史蒂芬·布莱克( Harold Stephen Black)
Harold Stephen Black (April 14, 1898 – December 11, 1983) was an American electrical engineer, who revolutionized the field of applied electronics by inventing the negative feedback amplifier in 1927. To some, his invention is considered the most important breakthrough of the twentieth century in the field of electronics, since it has a wide area of application. However, a negative feedback amplifier can be unstable such that it may oscillate. Once the stability problem is solved, the negative feedback amplifier is extremely useful in the field of electronics. Black published a famous paper, Stabilized feedback amplifiers, in 1934.
现代控制理论知识点汇总
现代控制理论知识点汇总Revised at 2 pm on December 25, 2020.第一章 控制系统的状态空间表达式１． 状态空间表达式 n 阶DuCx y Bu Ax x+=+= 1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯: r n B ⨯: n m C ⨯:r m D ⨯:A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。
２． 状态空间描述的特点①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。
②状态方程和输出方程都是运动方程。
③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。
④状态变量的选择不唯一。
⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。
⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。
⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。
３． 模拟结构图（积分器 加法器 比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。
４． 状态空间表达式的建立① 由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积分器的输出选作i x ，输入则为i x；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。
② 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。
通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。
利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。
现代控制理论-09(第5章状态反馈控制器设计)
期望的闭环特征多项式
(λ − λ1 )(λ − λ 2 )(λ − λ3 ) = λ3 + b2 λ2 + b1 λ + b0
要实现极点配置，须
λ3 + (a 2 + k 2 )λ2 + (a1 + k1 )λ + a 0 + k 0 = λ3 + b2 λ2 + b1λ + b0
a 0 + k 0 = b0 a1 + k1 = b1 a 2 + k 2 = b2
− 设计一个状态反馈控制器，使得闭环极点是-2， 1 ± j
解
确定能控标准型实现
1 0⎤ ⎡0 ⎡0 ⎤ x = ⎢0 0 1⎥ x + ⎢0⎥u ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 − 2 − 3⎥ ⎢1⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ y = [10 0 0]x
状态反馈控制器 u = − Kx ，K = [k1 k 2 k3 ] 闭环多项式：det[λI − ( A − BK )] = λ3 + (3 + k 3 )λ2 + (2 + k 2 )λ + k1 期望多项式： (λ + 2)(λ + 1 − j)(λ + 1 + j) = λ3 + 4λ2 + 6λ + 4
问题：对一般状态空间模型，如何解极点配置问题？ 思路：考虑能控状态空间模型 将能控状态空间模型等价地转化为能控标准型 如何从能控标准型模型的解导出一般模型的极 点配置控制器。
系统模型
x = Ax + Bu
~ TAT −1 = A, ~ TB = B
0 ⎤ 0 ⎥ ⎥ ⎥, ⎥ 1 ⎥ − an−1 ⎥ ⎦ ⎡0 ⎤ ⎢0 ⎥ ~ ⎢ ⎥ B=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢1⎥ ⎣ ⎦
现代控制理论习题解答(第五章)
第五章 状态反馈和状态观测器3-5-1 已知系统结构图如图题3-5-1图所示。
(1)写出系统状态空间表达式；(2)试设计一个状态反馈矩阵，将闭环极点特征值配置在j 53±-上。
)(t y题3-5-1图【解】：方法一：根据系统结构直接设状态变量如题3-5-1图所示，写状态空间表达式：[]x y u x x 10112101=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--= 23111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=c c U rank U系统能控，可以设计状态反馈阵。
设状态反馈阵为][21k k K = 状态反馈控制规律为：Kx r u -= 求希望特征多项式：34625)3()(*22++=++=s s s s f求加入反馈后的系统特征多项式：)22()3()(1212k s k k s bK A sI s f ++-++=+-=依据极点配置的定义求反馈矩阵：]1316[131634)22(6)3(21112=⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+-K k k k k k 方法二：[][][]1316)346(311110)(*10211=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==--I A A A f U K c方法三：（若不考虑原受控对象的结构，仅从配置极点位置的角度出发）求系统传递函数写出能控标准型：2321)111()()(2++-=+-+=s s ss s s U s Y []xy u x x 10103210-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--= 求系统希望特征多项式：34625)3()(*22++=++=s s s s f求状态反馈矩阵K ~：[][][]33236234~21=--==k k K [][][][]5.05.031111010111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==--Ab bP⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=105.05.011A P P P []1316~==P K K依据系统传递函数写出能控标准型ss s s s s s U s Y 2310)2)(1(10)()(23++=++= []x y u x x 0010100320100010=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=求系统希望特征多项式：464]1)1)[(2()(*232+++=+++=s s s s s s f求状态反馈矩阵：[][][]144342604321=---==k k k K 。
现代控制理论第版课后习题答案
现代控制理论第版课后习题答案Prepared on 22 November 2020《现代控制理论参考答案》第一章答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
解：系统的模拟结构图如下： 系统的状态方程如下： 令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为1-2有电路如图1-28所示。
以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为：1-4 两输入1u ，2u ，两输出1y ，2y 的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。
解：系统的状态空间表达式如下所示： 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。
解：令..3.21y x y x y x ===，，，则有相应的模拟结构图如下： 1-6 （2）已知系统传递函数2)3)(2()1(6)(+++=s s s s s W ,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图解：ss s s s s s s s W 31233310)3(4)3)(2()1(6)(22++++-++-=+++= 1-7 给定下列状态空间表达式[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321100210311032010x x x y u x x x x x x ‘（1） 画出其模拟结构图 （2） 求系统的传递函数 解：（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-=-=31103201)()(s s s A sI s W 1-8 求下列矩阵的特征矢量（3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6712203010A 解：A 的特征方程 061166712230123=+++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---=-λλλλλλλA I 解之得：3,2,1321-=-=-=λλλ当11-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---3121113121116712203010p p p p p p 解得： 113121p p p -== 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P（或令111-=p ，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P ） 当21-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---32221232221226712203010p p p p p p 解得： 1232122221,2p p p p =-= 令212=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1423222122p p p P（或令112=p ，得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21213222122p p p P ）当31-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---33231333231336712203010p p p p p p 解得： 133313233,3p p p p =-= 令113=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3313323133p p p P1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32121321321110021357213311201214x x x y y u x x x x x x解：A 的特征方程 0)3)(1(311212142=--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-λλλλλλA I 当31=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3121113121113311201214p p p p p p 解之得 113121p p p == 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P当32=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1113311201214312111312111p p p p p p 解之得 32222212,1p p p p =+= 令112=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0013222122p p p P当13=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--332313332313311201214p p p p p p 解之得3323132,0p p p == 令133=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1203323133p p p P约旦标准型1-10 已知两系统的传递函数分别为W 1(s)和W 2(s)试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果 解：（1）串联联结 （2）并联联结1-11 （第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-11（第2版教材） 已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数 解：1-12 已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u 的系数b(即控制列阵)为（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11b解法1： 解法2：求T,使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-111B T 得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-10111T 所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1011T 所以，状态空间表达式为第二章习题答案2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数At e 。
现代控制理论基础_周军_第五章状态反馈与状态观测器
5.1状态反馈与极点配置一、状态反馈系统的动态方程以单输入-多输出受控对象动态方程为例：(5-1)将对象状态向量通过待设计的参数矩阵即状态反馈行矩阵，负反馈至系统的参考输入，于是存在(5-2)这时便构成了状态反馈系统，见图5-1。
图5-1 状态反馈系统结构图(5-3)(5-4)式中v为纯量，为维向量，为维矩阵，为维向量，为维行矩阵，为维向量，为维矩阵。
为闭环状态阵，为闭环特征多项式。
二、用状态反馈使闭环极点配置在任意位置上的充要条件是：受控对象能控证明若式(5-1)所示对象可控，定可通过变换化为能控标准形，有若在变换后的状态空间内引维状态反馈矩阵：(5-5)其中分别为由状态变量引出的反馈系数，则变换后的状态反馈系统动态方程为：(5-6)(5-7)式中(5-8)该式与仍为能控标准形，故引入状态反馈后，系统能控性不变。
特征方程为：(5-9)显见，任意选择阵的个元素，可使特征方程的个系数满足规定要求，能保证特征值（即闭环极点）任意配置。
将逆变换代入式(5-6)，可求出原状态空间内的状态反馈系统状态方程：(5-10)与式(5-3)相比，式(5-10)所示对象应引入状态反馈阵为：(5-11)需指出，当受控对象可控时，若不具有能控标准形形式，并不必象如上证明那样去化为能控标准形，只要直接计算状态反馈系统闭环特征多项式，这时，其系数为的函数，与给定极点的特征多项式系数相比较，便可确定。
能控的多输入-多输出系统，经如上类似分析可知，实现闭环极点任意配置的状态反馈阵K为维。
若受控对象不稳定，只要有能控性，完全可由状态反馈配置极点使系统稳定。
状态变量受控情况下，引入状态反馈表示增加一条反馈通路，它能改变反馈所包围环节的传递特性，即通过改变局部回路的极点来改变闭环极点配置。
不能控状态变量与控制量无关，即使引入状态反馈，对闭环极点位置也不会产生任何影响，这是因为传递函数只与系统能控、能观测部分有关的缘故。
若不能控状态变量是稳定的状态变量，那么系统还是能稳定的，否则，系统不稳定。
《现代控制理论基础》第2版 现代控制理论基础_上海交通大学_施颂椒等_PPT_第5章
① 定义 有理函数 g(s) 当s 时，
② g(假)设
常n数(s〔) d(s) g(s)〕， 就称为正那么有理函数。
③ g假( 设)那么有理函数。
④
假g(设) 〔 n(s)d(s)
g(〕s) ， 就是 非正那么有理函数。
有理函数阵 G (s) 假设G() 0 ，那G (s么) 是严格正那么有理函数阵〔其每个元均为
G (s) C (sI A )1BD
那么(称A,B,C,D) 是G (s) 的一个实现。
•实现研究的问题
⑴ G (s)可实现为 (A,B,C,D) 的条件问题 ⑵ G (s) 实现的方法
〔5－1〕
•最小实现
如果 (A,B,C,D)是G (s) 的一个实现，那么其所有等价系统也都是其 实现 。 G (s) 可有不同维数的实现，其中维数最小的实现称为最小实 现。它描述了系统的既能控又能观的局部。通常要求的实现 为最小实现。
s 1 s4 s(s1) (s1)s(3) (s1)s(3)
s
1
3
s(s 1 )s( 2 ) (s 1 )s( 2 )s( 3 ) s(s 1 )s( 2 )s( 3 )
G (s) 的特征多项式为：s(s1)s(2)s(3)，deG g(s)4。
⑵ G (s) 可实现为 (A,B,C,D) 的条件
③ 非正那么传递函数〔G() 〕，也存在实现，其实现具有
④ 如下形式
Ex(t)A(xt)Bu(t) y(t)Cx(t)Du(t)
〔5－9〕
式中 E为奇异阵。这种形式的系统称为广义系统，或奇异 系统。(本书不予讨论，在专门文献中研究)
5.2.2 最小实现的性质
如果将例〔5－5〕的传递函数阵写成
G ( s ) G 1 ( s )G 2 ( s )
《现代控制理论》第3版课后习题答案
《现代控制理论参考答案》第一章答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
11K s K K p +sK s K p 1+s J 11sK n 22s J K b -++-+-)(s θ)(s U 图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：)(s U )(s θ---+++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图1K pK K 1pK K 1+++pK n K ⎰⎰⎰11J ⎰2J K b ⎰⎰-1x 2x 3x 4x 5x 6x系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n pb1611166131534615141313322211+--=+-==++--===••••••令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••••654321165432111111112654321000001000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp npb1-2有电路如图1-28所示。
以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
R1L1R2L2CU---------Uc ---------i1i2图1-28 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CCL L R L L R x x x 。
现代控制理论第版课后习题答案
现代控制理论第版课后习题答案Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT《现代控制理论参考答案》第一章答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
解：系统的模拟结构图如下： 系统的状态方程如下： 令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为1-2有电路如图1-28所示。
以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为：1-4 两输入1u ，2u ，两输出1y ，2y 的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。
解：系统的状态空间表达式如下所示： 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。
解：令..3.21y x y x y x ===，，，则有相应的模拟结构图如下： 1-6 （2）已知系统传递函数2)3)(2()1(6)(+++=s s s s s W ,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图解：ss s s s s s s s W 31233310)3(4)3)(2()1(6)(22++++-++-=+++= 1-7 给定下列状态空间表达式[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321100210311032010x x x y u x x x x x x ‘（1） 画出其模拟结构图 （2） 求系统的传递函数 解：（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-=-=31103201)()(s s s A sI s W 1-8 求下列矩阵的特征矢量（3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6712203010A 解：A 的特征方程 061166712230123=+++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---=-λλλλλλλA I 解之得：3,2,1321-=-=-=λλλ当11-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---3121113121116712203010p p p p p p 解得： 113121p p p -== 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P（或令111-=p ，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P ） 当21-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---32221232221226712203010p p p p p p 解得： 1232122221,2p p p p =-= 令212=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1423222122p p p P（或令112=p ，得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21213222122p p p P ）当31-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---33231333231336712203010p p p p p p 解得： 133313233,3p p p p =-= 令113=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3313323133p p p P1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32121321321110021357213311201214x x x y y u x x x x x x解：A 的特征方程 0)3)(1(311212142=--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-λλλλλλA I 当31=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3121113121113311201214p p p p p p 解之得 113121p p p == 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P当32=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1113311201214312111312111p p p p p p 解之得 32222212,1p p p p =+= 令112=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0013222122p p p P当13=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--332313332313311201214p p p p p p 解之得3323132,0p p p == 令133=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1203323133p p p P约旦标准型1-10 已知两系统的传递函数分别为W 1(s)和W 2(s)试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果 解：（1）串联联结 （2）并联联结1-11 （第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-11（第2版教材） 已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数 解：1-12 已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u 的系数b(即控制列阵)为（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11b解法1： 解法2：求T,使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-111B T 得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-10111T 所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1011T 所以，状态空间表达式为第二章习题答案2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数At e 。
《现代控制理论》课后习题答案5
rankQoF ≤ rankQo
由于 S o 又可以看成为 S F 的输出反馈系统，因而有
rankQo ≤ rankQoF
由以上两式可得
rankQo = rankQoF
因此，系统 S F 完全能观测等价于 S 0 完全能观测。 5.8 采用状态反馈实现闭环极点任意配置的条件是什么？ 答：采用状态反馈实现闭环极点任意配置的条件是，开环系统是能控的。 5.9 采用状态反馈实现闭环极点任意配置，其状态反馈增益矩阵 K 的行数和列数如何确 定，计算方法有几种？ 答：状态反馈增益矩阵 K 的行数是输入变量的个数，列数是状态变量的个数。计算方法有： 1.直接法；2.变换法；3. 利用爱克曼公式求解。 5.10 为什么要进行极点配置？解决系统极点配置问题的思路和步骤是什么？
5.5 状态反馈和输出反馈各有什么优缺点。 答：状态反馈的优点是，不改变系统的能控性，可以获得更好的系统性能。其缺点是，不能 保证系统的能观性，状态 x 必须可测，成本高。 输出反馈的优点是： 保持系统的能控性和能观性不变， 结构简单， 只用到外部可测信号。 其缺点是，由于用到的信号少，它所达到的系统性能往往有限，有时甚至都不能达到闭环系 统的稳定性。 5.6 应用能控性检验矩阵的方法证明状态反馈不改变系统的能控性。然而，对以下系统
⎡1 2 ⎤ AB ] = ⎢ ⎥ ⎣1 1 ⎦ det(Γ c ( A, B)) = −1 ≠ 0
所以系统是能控的。 由于
⎡λ − 1 −1 ⎤ 2 det(λ I − A) = ⎢ ⎥ = λ − 2λ + 1 0 λ − 1 ⎣ ⎦
系统的能控标准形矩阵对是
= ⎡ 0 1⎤ ， B = ⎡0⎤ A ⎢ −1 2 ⎥ ⎢1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= ( A − BK ) x + Bv x
5.状态反馈控制器的设计
Chapter5状态反馈控制器设计控制方式有“开环控制”和“闭环控制”。
“开环控制”就是把一个确定的信号（时间的函数）加到系统输入端，使系统具有某种期望的性能。
然而，由于建模中的不确定性或误差、系统运行过程中的扰动等因素使系统产生一些意想不到的情况，这就要求对这些偏差进行及时修正，这就是“反馈控制”。
在经典控制理论中，我们依据描述控制对象输入输出行为的传递函数模型来设计控制器，因此只能用系统输出作为反馈信号，而在现代控制理论中，则主要通过更为广泛的状态反馈对系统进行综合。
通过状态反馈来改变和控制系统的极点位置可使闭环系统具有所期望的动态特性。
利用状态反馈构成的调节器，可以实现各种目的，使闭环系统满足设计要求。
参见R38例5.3.3,通过状态反馈的极点配置，使闭环系统的超调量匚p乞5%，峰值时间（超调时间）t p乞0.5s，阻尼振荡频率壮乞10。
5.1线性反馈控制系统的结构与性质设系统S=（A, B,C）为x 二Ax Bu y 二Cx （5-1）图5-1 经典控制-输岀反馈闭环系统经典控制中采用输出（和输出导数）反馈（图5-1 ）:其控制规律为：u二-Fy v F为标量，v为参考输入（5-2）x 二Ax Bu 二Ax B （- Fy V （A-BFC）x Bv可见，在经典控制中，通过适当选择F ,可以利用输出反馈改善系统的动态性能现代控制中采用状态反馈（图5-2 ）:其控制规律为：u - -Kx v，K〜m n （5-3）（K的行=u的行，K的列=x的行）称为状态反馈增益矩阵。
状态反馈后的闭环系统S K =（A K，B,C）的状态空间表达式为x =（A-BK）x Bv = A K X Bv y = Cx （5-4）式中：|A K三A-BK若K -FC ，“状态反馈”退化成“输出反馈”，表明“输出反馈”只是“状态反馈”的一种特例，因此，在经典控制理论中的输出反馈”(比例控制P )和 输出导数反馈”(微分控制D )能实现的任务，状态反馈必能实现，反之则未必。
现代控制理论第五章
148第五章 线性定常系统的综合控制系统的综合任务是设计控制器，寻求改善系统性能的各种控制规律，，以保证系统的各项性能指标都得到满足。
§5－1线性反馈控制系统的基本结构及其特性 控制系统是由受控对象和反馈控制器两部分构成闭环系统。
现代控制理论采用状态反馈，状态反馈能提供更丰富的状态信息和可供选择的自由度，因而使用系统容易获得更为优异的性能。
一、状态反馈状态反馈是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律，作为受控系统的控制输入。
如图所示，其表达式：Du CX y Bu AX X+=+= （5-1）149多输入多输出系统式中：nR X ∈，TR u ∈，mRy ∈，n n A ⨯，r n B ⨯，n m C ⨯，r m D ⨯若0=D ，则受控系统X AX Buy C X ∙⎧⎪=+⎨=⎪⎩简记为：）＝（C B A ,,0∑状态反馈控制规律：u kX v =+ （5-3） 其中：v －1⨯r 维参考输入；k－n r ⨯维状态反馈系数或状态反馈增益阵。
把式（5－3）代入式（5－1）得到状态反馈闭环系统表达式()()()()X AX Bu AX B kX v AX BkX Bv A Bk X Bv y C X D u C X D kX v C X D kX D v C D k X D v∙=+=++=++=++=+=++=++=++ 若=D ，()X A Bk X Bv y CX ∙⎧⎪=++⎨=⎪⎩简记为：])[(C B Bk A k ，，+=∑闭环系统的传递函数矩阵BBk A sI C s W k 1)]([)(-+-=状态反馈阵k 的引入，并不增加系统的维数，通过k 的选择自由地改变闭环系统的特征值，从而改变系统获得所要求的性能。
二、输出反馈150输出反馈是采用输出矢量y 构成线性反馈律，如图所示，受控系统）＝（D C B A ,,,0∑为：X AX Bu y C X D u∙=+=+ （5-7）=D 时为X AX Bu y C X∙=+=输出线性反馈控制律为： v Hy u += （5-9）式中：H —m r ⨯维输出反馈增益阵，对单输出系统H 为1⨯r 维列矢量。
现代控制理论复习题库
一、选择题1.下面关于建模和模型说法错误的是( C )。
A．无论是何种系统，其模型均可用来提示规律或因果关系。
B．建模实际上是通过数据、图表、数学表达式、程序、逻辑关系或各种方式的组合表示状态变量、输入变量、输出变量、参数之间的关系。
C．为设计控制器为目的建立模型只需要简练就可以了。
D．工程系统模型建模有两种途径，一是机理建模，二是系统辨识。
2.系统()3()10()++=的类型是( B ) 。
y t y t u tA．集中参数、线性、动态系统。
B．集中参数、非线性、动态系统。
C．非集中参数、线性、动态系统。
D．集中参数、非线性、静态系统。
3.下面关于控制与控制系统说法错误的是( B )。
A．反馈闭环控制可以在一定程度上克服不确定性。
B．反馈闭环控制不可能克服系统参数摄动。
C．反馈闭环控制可在一定程度上克服外界扰动的影响。
D．控制系统在达到控制目的的同时，强调稳、快、准、鲁棒、资源少省。
x Pz说法错误的是( D )。
4.下面关于线性非奇异变换=A．非奇异变换阵P是同一个线性空间两组不同基之间的过渡矩阵。
B．对于线性定常系统，线性非奇异变换不改变系统的特征值。
C．对于线性定常系统，线性非奇异变换不改变系统的传递函数。
D．对于线性定常系统，线性非奇异变换不改变系统的状态空间描述。
5.下面关于稳定线性系统的响应说法正确的是( A )。
A．线性系统的响应包含两部分，一部是零状态响应，一部分是零输入响应。
B．线性系统的零状态响应是稳态响应的一部分。
C．线性系统暂态响应是零输入响应的一部分。
D．离零点最近的极点在输出响应中所表征的运动模态权值越大。
6.下面关于连续线性时不变系统的能控性与能观性说法正确的是( A ) 。
A．能控且能观的状态空间描述一定对应着某些传递函数阵的最小实现。
B．能控性是指存在受限控制使系统由任意初态转移到零状态的能力。
C．能观性表征的是状态反映输出的能力。
D．对控制输入的确定性扰动影响线性系统的能控性，不影响能观性。
现代控制理论智慧树知到答案章节测试2023年滨州学院
第一章测试1.系统前向通道传递函数阵为，反馈通道传递函数阵为，则系统闭环传递函数为（）。
A:B:C:D:答案:B2.下面关于线性时不变系统的系统矩阵说法错误的是（）。
A:由系统矩阵可以得到系统的运动模态。
B:具有相同特征值的系统矩阵，鲁棒稳定性是一样的。
C:系统矩阵的形式决定着系统的稳定性质。
D:系统矩阵不同，系统特征值可能相同。
答案:B3.下面关于状态空间模型描述正确的是（）。
A:对一个系统，只能选取一组状态变量。
B:模型的阶数就是系统中含有储能元件的个数。
C:代数等价的状态空间模型具有相同的特征多项式和稳定性。
D:对于线性定常系统的状态空间模型，经常数矩阵非奇异变换后的模型，其传递函数阵是的零点是有差别的。
答案:C4.线性变换不改变系统的（）A:状态变量B:特征值C:状态方程D:传递函数答案:BD5.对于同一控制系统，只能选取一组状态变量。
（）A:对B:错答案:B第二章测试1.非齐次状态方程的解包含零状态响应和零输入响应两部分。
（）A:对B:错答案:A2.系统的状态方程为齐次方程，若初始时刻为0，，则其解为（）。
A:B:D:答案:A3.下面关于线性连续系统的状态转移矩阵描述错误的是（）。
A:状态转移矩阵不唯一B:C:D:答案:A4.已知线性连续系统的状态空间表达式为，对该系统进行离散化为状态空间表达式为，其中采样周期为T，那么下列正确的是（）A:H=BB:G=AC:C=CD:D=D答案:CD5.对于线性定常系统，若系统矩阵A为，则系统的状态转移矩阵为（）。
A:B:1C:D:答案:C第三章测试1.下面关于连续线性系统的能观性说法错误的是（）。
A:常数非奇异变换不改变系统的能观性。
B:能观性表征了输出反映内部状态的能力。
C:一个系统不能观，意味着存在满足D:系统状态若不完全能观，则一定可以将状态分成完全能观子空间和不完全能观的子空间，这两个子空间完全正交。
答案:C2.下面关于连续线性系统的能控性说法正确的是（）。
现代控制理论第版课后习题答案
现代控制理论参考答案第一章答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图,并建立其状态空间表达式; 解：系统的模拟结构图如下： 系统的状态方程如下： 令y s =)(θ,则1x y =所以,系统的状态空间表达式及输出方程表达式为1-2有电路如图1-28所示;以电压)(t u 为输入量,求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程,和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程; 解：由图,令32211,,x u x i x i c ===,输出量22x R y =有电路原理可知：•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为：1-4 两输入1u ,2u ,两输出1y ,2y 的系统,其模拟结构图如图1-30所示,试求其状态空间表达式和传递函数阵;解：系统的状态空间表达式如下所示： 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式,并画出相应的模拟结构图; 解：令..3.21y x y x y x ===，，,则有 相应的模拟结构图如下： 1-6 2已知系统传递函数2)3)(2()1(6)(+++=s s s s s W ,试求出系统的约旦标准型的实现,并画出相应的模拟结构图解：ss s s s s s s s W 31233310)3(4)3)(2()1(6)(22++++-++-=+++=1-7 给定下列状态空间表达式[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321100210311032010x x x y u x x x x x x ‘（1） 画出其模拟结构图（2） 求系统的传递函数 解：2⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-=-=31103201)()(s s s A sI s W 1-8 求下列矩阵的特征矢量3⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6712203010A 解：A 的特征方程 061166712230123=+++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---=-λλλλλλλA I 解之得：3,2,1321-=-=-=λλλ当11-=λ时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---3121113121116712203010p p p p p p 解得： 113121p p p -== 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P 或令111-=p ,得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P 当21-=λ时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---32221232221226712203010p p p p p p解得： 1232122221,2p p p p =-= 令212=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1423222122p p p P或令112=p ,得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21213222122p p p P 当31-=λ时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---33231333231336712203010p p p p p p 解得： 133313233,3p p p p =-= 令113=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3313323133p p p P 1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型并联分解2⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32121321321110021357213311201214x x x y y u x x x x x x解：A 的特征方程 0)3)(1(311212142=--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-λλλλλλA I 当31=λ时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3121113121113311201214p p p p p p 解之得 113121p p p == 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P 当32=λ时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1113311201214312111312111p p p p p p解之得 32222212,1p p p p =+= 令112=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0013222122p p p P 当13=λ时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--332313332313311201214p p p p p p 解之得3323132,0p p p == 令133=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1203323133p p p P约旦标准型1-10 已知两系统的传递函数分别为W 1s 和W 2s试求两子系统串联联结和并联连接时,系统的传递函数阵,并讨论所得结果 解：1串联联结 2并联联结1-11 第3版教材已知如图1-22所示的系统,其中子系统1、2的传递函数阵分别为 求系统的闭环传递函数 解：1-11第2版教材 已知如图1-22所示的系统,其中子系统1、2的传递函数阵分别为 求系统的闭环传递函数 解：1-12 已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示,并使驱动函数u 的系数b 即控制列阵为 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11b 解法1： 解法2：求T,使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-111B T 得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-10111T 所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1011T 所以,状态空间表达式为第二章习题答案2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数At e ;2 A=1141⎛⎫⎪⎝⎭解：第一种方法： 令0I A λ-=则11041λλ--=-- ,即()2140λ--=;求解得到13λ=,21λ=- 当13λ=时,特征矢量11121p p p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦由 111Ap p λ=,得11112121311341p p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即112111112121343p p p p p p +=⎧⎨+=⎩,可令112p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦当21λ=-时,特征矢量12222p p p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦由222Ap p λ=,得121222221141p p p p -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦即1222121222224p p p p p p +=-⎧⎨+=-⎩ ,可令212p ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦则1122T ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦,111241124T -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦第二种方法,即拉氏反变换法：第三种方法,即凯莱—哈密顿定理 由第一种方法可知13λ=,21λ=-2-5 下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件,如果满足,试求与之对应的A 阵;3()22222222t tt t ttt t e e e e t e e e e --------⎡⎤--Φ=⎢⎥--⎣⎦ 4()()()()3333112412t t t t t tt t e e e e t e e e e ----⎡⎤+-+⎢⎥Φ=⎢⎥⎢⎥-++⎢⎥⎣⎦解：3因为 ()10001I ⎡⎤Φ==⎢⎥⎣⎦,所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件 4因为()10001I ⎡⎤Φ==⎢⎥⎣⎦,所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件2-6 求下列状态空间表达式的解：初始状态()101x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,输入()u t 时单位阶跃函数;解： 0100A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 因为 01B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,()()u t I t =2-9 有系统如图所示,试求离散化的状态空间表达式;设采样周期分别为T=和1s,而1u 和2u 为分段常数; 图 系统结构图 解：将此图化成模拟结构图 列出状态方程则离散时间状态空间表达式为 由()At G T e =和()0TAt H T e dtB =⎰得：当T=1时 ()()()()11111001111k e e x k x k u k e ke ----⎡⎤-⎡⎤+=+⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦当T=时 ()()()()()0.10.10.10.11001110.90.1k e e x k x k u k e k e ----⎡⎤-⎡⎤⎢⎥+=+⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦第三章习题3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性;系统中a,b,c,d 的取值对能控性和能观性是否有关,若有关,其取值条件如何 1系统如图所示： 解：由图可得： 状态空间表达式为：由于•2x 、•3x 、•4x 与u 无关,因而状态不能完全能控,为不能控系统;由于y 只与3x 有关,因而系统为不完全能观的,为不能观系统; 3系统如下式：解：如状态方程与输出方程所示,A 为约旦标准形;要使系统能控,控制矩阵b 中相对于约旦块的最后一行元素不能为0,故有0,0≠≠b a ;要使系统能观,则C 中对应于约旦块的第一列元素不全为0,故有0,0≠≠d c ; 3-2时不变系统试用两种方法判别其能控性和能观性; 解：方法一：方法二：将系统化为约旦标准形;⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1-111T ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=21212121T 1- B T -1中有全为零的行,系统不可控;CT 中没有全为0的列,系统可观; 3-3确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数i i βα和 解：构造能控阵：要使系统完全能控,则211αα≠+,即0121≠+-αα 构造能观阵：要使系统完全能观,则121αα-≠-,即0121≠+-αα 3-4设系统的传递函数是1当a 取何值时,系统将是不完全能控或不完全能观的 2当a 取上述值时,求使系统的完全能控的状态空间表达式; 3当a 取上述值时,求使系统的完全能观的状态空间表达式; 解：1 方法1 ：)6)(3)(1()()()(++++==s s s as s u s y s W 系统能控且能观的条件为Ws 没有零极点对消;因此当a=1,或a=3或a=6时,系统为不能控或不能观; 方法2：系统能控且能观的条件为矩阵C 不存在全为0的列;因此当a=1,或a=3或a=6时,系统为不能控或不能观;2当a=1, a=3或a=6时,系统可化为能控标准I 型3根据对偶原理,当a=1, a=2或a=4时,系统的能观标准II 型为 3-6已知系统的微分方程为：u y y y y 66116...=+++试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数; 解：63611603210=====b a a a a ，，，，系统的状态空间表达式为 传递函数为其对偶系统的状态空间表达式为： 传递函数为61166)(23+--=s s s s W 3-9已知系统的传递函数为 试求其能控标准型和能观标准型;解：345213486)(222++++=++++=s s s s s s s s W系统的能控标准I 型为 能观标准II 型为3-10给定下列状态空间方程,试判别其是否变换为能控和能观标准型;解：[]100210311032010=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=C b A ，， 3-11试将下列系统按能控性进行分解1[]111,100,340010121-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=C b A 解：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==9310004102b A Ab bM rankM=2<3,系统不是完全能控的; 构造奇异变换阵c R ：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==010*********R Ab R b R ，，,其中3R 是任意的,只要满足c R 满秩;即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=031100010c R 得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-010*******c R 3-12 试将下列系统按能观性进行结构分解1 []111,100,340010121-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=C b A 解： 由已知得[]111,100,340010121-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=C b A 则有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4742321112CA CA C Nrank N=2<3,该系统不能观构造非奇异变换矩阵10R -,有10111232001R --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 则0311210001R --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦3-13 试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解1[]211,221,102322001=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=C b A 解：由已知得211121226202M A Ab Ab ⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦rank M=3,则系统能控 rank N=3,则系统能观所以此系统为能控并且能观系统取211121226202c T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,则1217344173215344c T -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦则002105014A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦,12100c B T b -⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦,[]271323c c cT == 3-14求下列传递函数阵的最小实现; 1 ()111111w s s ⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦解： 01α=,01111B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,1001c A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 1001c B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,1111c C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,0000c D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 系统能控不能观取101101R -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则01101R -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦所以10010ˆ01A R AR --⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦,1011ˆ01c B R B -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ 010ˆ10c C C R ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦,00ˆ00D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦所以最小实现为ˆ1m A =,[]ˆ11m B =,1ˆ1m C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,00ˆ00m D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 验证：()()1111ˆˆˆ111m mm C sI A B w s s -⎡⎤-==⎢⎥+⎣⎦3-15设1∑和2∑是两个能控且能观的系统1试分析由1∑和2∑所组成的串联系统的能控性和能观性,并写出其传递函数； 2试分析由1∑和2∑所组成的并联系统的能控性和能观性,并写出其传递函数; 解： 11∑和2∑串联当1∑的输出1y 是2∑的输入2u 时,331222x x x x =-++010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,[]001y x = 则rank M=2<3,所以系统不完全能控; 当2∑得输出2y 是1∑的输入1u 时011034100021x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,[]210y x = 因为 2001016124M bAbA b ⎡⎤⎢⎥⎡⎤==-⎣⎦⎢⎥⎢⎥--⎣⎦rank M=3 则系统能控因为2210321654c N cA cA ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦rank N=2<3 则系统不能观 21∑和2∑并联010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,[]211y x = 因为rank M=3,所以系统完全能控 因为rank N=3,所以系统完全能观现代控制理论第四章习题答案4-1判断下列二次型函数的符号性质：1222123122313()31122Q x x x x x x x x x x =---+-- 2222123122313()4262v x x x x x x x x x x =++--- 解：1由已知得110∆=-<,2112013-∆==>-,31111711302411112--∆=--=-<--- 因此()Q x 是负定的 2由已知得110∆=>,2113014-∆==>-,3111143160131--∆=--=-<--因此()Q x 不是正定的 4-2已知二阶系统的状态方程：试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件;解：方法1：要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定,则要求满足A 的特征值均具有负实部;即：有解,且解具有负实部; 即：1122112212210a a a a a a +<>且方法2：系统的原点平衡状态0e x =为大范围渐近稳定,等价于T A P PA Q +=-;取Q I =,令11121222PP P P P ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则带入TA P PA Q +=-,得到 若 11211211222111221122122112222204()()0022a a a a a a a a a a a a a a +=+-≠,则此方程组有唯一解;即 其中11221221det A A a a a a ==- 要求P 正定,则要求 因此11220a a +<,且det 0A >4-3试用lyapunov 第二法确定下列系统原点的稳定性;11123x x -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 21111x x -⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦解：1系统唯一的平衡状态是0e x =;选取Lyapunov 函数为2212()0V x x x =+>,则 ()V x •是负定的;x →∞,有()V x →∞;即系统在原点处大范围渐近稳定;2系统唯一的平衡状态是0e x =;选取Lyapunov 函数为2212()0V x x x =+>,则 ()V x •是负定的;x →∞,有()V x →∞;即系统在原点处大范围渐近稳定;4-6设非线性系统状态方程为： 试确定平衡状态的稳定性;解：若采用克拉索夫斯基法,则依题意有： 取P I =很明显,()Q x 的符号无法确定,故改用李雅普诺夫第二法;选取Lyapunov 函数为2212()0V x x x =+>,则()V x •是负定的;x →∞,有()V x →∞;即系统在原点处大范围渐近稳定;4-9设非线性方程：试用克拉索夫斯基法确定系统原点的稳定性; 解：1采用克拉索夫斯基法,依题意有：x →∞,有()V x →∞; 取P I =则2121013()132x Q x x ⎡⎤-+=⎢⎥-+⎣⎦,根据希尔维斯特判据,有： 2221121210310310132x x x -∆=∆==->-+，（）,()Q x 的符号无法判断; 2李雅普诺夫方法：选取Lyapunov 函数为421233()042V x x x =+>,则 ()V x •是负定的;x →∞,有()V x →∞;即系统在原点处大范围渐近稳定;4-12试用变量梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数 解：假设()V x 的梯度为： 计算()V x 的导数为：选择参数,试选112212211,0a a a a ====,于是得：12x V x ⎛⎫∇= ⎪⎝⎭,显然满足旋度方程12122121,0V V x xx x x x ∂∇∂∇∂∂===∂∂∂∂即,表明上述选择的参数是允许的;则有：如果121211202x x x x -><或,则()V x •是负定的,因此,1212x x <是12x x 和的约束条件; 计算得到()V x 为：()V x 是正定的,因此在121211202x x x x -><即范围内,0e x =是渐进稳定的;现代控制理论第五章习题答案5-1已知系统状态方程为：试设计一状态反馈阵使闭环系统极点配置为-1,-2,-3; 解：依题意有：2011012112M bAbA b ⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦3rankM =,系统能控; 系统0(,,)A b C =∑的特征多项式为：则将系统写成能控标准I 型,则有010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦; 引入状态反馈后,系统的状态方程为：()x A bK x bu =++,其中3K ⨯为1矩阵,设[]012K k k k =,则系统(,,)K A bK C =∑的特征多项式为：根据给定的极点值,得到期望特征多项式为：比较*()()f f λλ与各对应项系数,可解得：012599k k k =-=-=-，则有：[]-5-9-9K =;5-3有系统：（1） 画出模拟结构图;（2） 若动态性能不满足要求,可否任意配置极点 （3） 若指定极点为-3,-3,求状态反馈阵; 解1系统模拟结构图如下：2系统采用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统0(,,)A b C =∑完全能控; 对于系统0(,,)A b C =∑有： []0111M bAb ⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦2rankM =,系统能控,故若系统动态性能不满足要求,可任意配置极点;3系统0(,,)A b C =∑的特征多项式为：则将系统写成能控标准I 型,则有010231x x u ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦; 引入状态反馈后,系统的状态方程为：()x A bK x bu =++,设[]01K k k =,则系统(,,)KA bK C =∑的特征多项式为：根据给定的极点值,得到期望特征多项式为：比较*()()f f λλ与各对应项系数,可解得：[]017373k k K =-=-=--，; 5-4设系统传递函数为试问能否利用状态反馈将传递函数变成 若有可能,试求出状态反馈K ,并画出系统结构图;解：6522)3)(2)(1()2)(1()(232--+-+=+-++-=s s s s s s s s s s s W由于传递函数无零极点对消,因此系统为能控且能观; 能控标准I 型为 令[] 210k k k K =为状态反馈阵,则闭环系统的特征多项式为由于状态反馈不改变系统的零点,根据题意,配置极点应为-2,-2,-3,得期望特征多项式为比较 )(λf 与 )(*λf 的对应项系数,可得 即[]52118---=K 系统结构图如下：5-5使判断下列系统通过状态反馈能否镇定;11222 A 011,01011b ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦解：系统的能控阵为：2240010115M bAbA b -⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦3rankM =,系统能控; 由定理 5.2.1可知,采用状态反馈对系统0(,,)A b C =∑任意配置极点的充要条件是(,,)A b C =∑完全能控;又由于3rankM =,系统0(,,)A b C =∑能控,可以采用状态反馈将系统的极点配置在根平面的左侧,使闭环系统镇定; 5-7设计一个前馈补偿器,使系统 解耦,且解耦后的极点为1,1,2,2----; 解：0()()() d W s W s W s = 5-10已知系统：试设计一个状态观测器,使观测器的极点为-r,-2rr>0;解：因为1001c N cA ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦满秩,系统能观,可构造观测器; 系统特征多项式为[]21det det 0I A λλλλ-⎡⎤-==⎢⎥⎣⎦,所以有10010,0,10a a L ⎡⎤===⎢⎥⎣⎦ 于是11001100x T ATx T bu x u --⎡⎤⎡⎤=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 引入反馈阵12g G g ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,使得观测器特征多项式：根据期望极点得期望特征式：比较()f λ与()*f λ各项系数得：即223r G r ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,反变换到x 状态下2201321023r r G TG r r ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 观测器方程为：。
现代控制理论习题集
《现代控制理论》习题第一章 控制系统的状态空间模型1.1 考虑以下系统的传递函数：656)()(2+++=s s s s U s Y试求该系统状态空间表达式的能控标准形和可观测标准形。
1.2 考虑下列单输入单输出系统：u y y yy 66116=+++试求该系统状态空间表达式的对角线标准形。
1.3 考虑由下式定义的系统：Cxy Bu Ax x=+=式中]11[,213421=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=C B A ，－－试将该系统的状态空间表达式变换为能控标准形。
1.4 考虑由下式定义的系统：Cxy Bu Ax x=+=式中]011[,10030021101=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=C B A ，－－试求其传递函数Y(s)/U(s)。
1.5 考虑下列矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0001100001000010A试求矩阵A 的特征值λ1,λ2,λ3 和λ4。
再求变换矩阵P ，使得),,,(diag 43211λλλλ=-AP P第二章 状态方程的解2.1 用三种方法计算下列矩阵A 的矩阵指数函数At e 。
1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=5160A； 2） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6116100010A2.2 计算下列矩阵的矩阵指数函数At e 。
1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0010A ； 2） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1002－－A ； 3） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0110A ； 4） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1021A5) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=200010011A ； 6） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=210010001A ； 7） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000100010A2.2 给定线性定常系统Ax x=式中⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2310A且初始条件为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11)0(x试求该齐次状态方程的解x (t )。
2.4 已知系统方程如下[]xy u x x 11015610-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=求输入和初值为以下值时的状态响应和输出响应。
现代控制理论第5章答案
现代控制理论第五章习题答案5-1已知系统状态方程为：111001101011x x u -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦试设计一状态反馈阵使闭环系统极点配置为-1，-2，-3。
解：依题意有：2011012112M bAbA b ⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦3r a n k M =， 系统能控。
系统0(,,)A b C =∑的特征多项式为： 332(1)(1)1321I A λλλλλλ-=---+=-++则将系统写成能控标准I 型，则有010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦。
引入状态反馈后，系统的状态方程为：()x A bK x bu =++ ，其中3K ⨯为1矩阵，设[]012K k k k =，则系统(,,)KA bK C =∑的特征多项式为：32210()det[()](3)(2)(1)f I A bK k k k λλλλλ=-+=+--+-+-根据给定的极点值，得到期望特征多项式为：*32()(1)(2)(3)6116f λλλλλλλ=+++=+++比较*()()f f λλ与各对应项系数，可解得：012599k k k =-=-=-，则有：[]-5-9-9K =。
5-3有系统：[]21001110x x u y x-⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦= （1） 画出模拟结构图。
（2） 若动态性能不满足要求，可否任意配置极点？ （3） 若指定极点为-3，-3，求状态反馈阵。
解（1）系统模拟结构图如下：（2）系统采用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统(,,)A b C =∑完全能控。
1110011,01011A b -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦对于系统0(,,)A b C =∑有：[]0111M b Ab ⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦2rankM =，系统能控，故若系统动态性能不满足要求，可任意配置极点。
（3）系统(,,)A b C =∑的特征多项式为：2(2)(1)32I A λλλλλ-=++=++则将系统写成能控标准I 型，则有010231x x u⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦。
现代控制理论 第5章线性时不变系统的多项式矩阵描述
2021/4/27
7
（3）前两种情况的组合
P(s),Q(s)非左互质，消去其gcld H(s), 得
H 1(s)P(s) (s) H 1(s)Q(s)u(s)
y(s)
R(s)
(s)
W
(s)u(s)
再消去H 1(s)P(s)和R(s)的gcrd F (s) ,即做代换
(s) F (s) (s)
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8
5.2 PMD的状态空间实现
一. PMD实现的定义
给定{P(s),Q(s),R(s),W(s)}，若能找到状态空 间描述{A,B,C,E(p)}，使
R(s)P1(s)Q(s) W (s) C(sI A)1 B E(s) 则称{A, B,C, E( p)}为给定PMD的实现.
P(s)F (s) (s) Q(s)u(s)
y(s) R(s)F (s) (s) W (s)u(s) 设 (s) F (s) (s),则
P(s) (s) Q(s)u(s)
y(s) R(s) (s) W (s)u(s)
不可简约
rank P(s) Q(s) rank P(s) Q(s) ,故P(s),Q(s)左互质.
则:{系统完全能控且能观} g(s)无零极点相消 {系统完全能控} adj(sI-A)b和(s)无零极对消现象 {系统完全能观} c adj(sI-A)和(s)无零极对消现象
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5.4 传输零点和解耦零点
• 一般地，系统的零、极点与传递函数矩阵的零极点不是 等同的，后者包含在前者之中，是前者的一个子集。
• 注：PMD实现具有强不唯一性
二 .构造PMD实现的方法
以构造观测器形实现为最简便 已知：{P(s),Q(s),R(s),W(s)}, 求实现
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2解020/耦6/17零点。
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1. 输入解耦零点(input decoupling zero)
若{P(s),Q(s),R(s),W(s)}中，P(s)、Q(s)存在非单模的 gcld H(s)，即
P(s) H (s)P (s), Q(s) H (s)Q (s), 则
G(s) R(s)[H (s)P (s)]1[H (s)Q (s)] W (s)
Cˆ(s)
E(s)uˆ(s)
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3.矩阵分式描述的PMD
给定G(s) N (s)D1(s)+E(s)
则等价的PMD为： D(s)ˆ
(s)
E(s)uˆ(s)
三.不可简约PMD
不可简约PMD：{P(s),Q(s)}左互质，且{P(s),R(s)}
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strictly proper
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-对 Pr1(s)Q求r (s观) 测器形实现（利用上节方法）， 得 {Ao, Bo ,C必o}有,
Co (sI Ao )1 Bo Pr1(s)Qr (s) ( Ao ,Co )observable
(s) [Pr1(s)Qr (s) Y (s)]u(s)
则：{D(s),N(s)}右互质{A,C}能观 （已经能控）
对左MFD，DL1(s)NL (s) DL1(s)NL (s) EL (s)
能观类实现： {A, B,C , E},dim A deg det DL (s),则
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{DL (s), NL (s)}右互质 {A, B}能控
同一系统，其PMD为{P(s),Q(s),R(s),W(s)}，
系统极点是det P(s)=0的根
状态空间描述为{A,B,C,E}
系统极点是det(sI-A)=0的根
以上二者是等同的。
系统极点并不全是传递函数矩阵的极点，因求传递函数 矩阵时可能发生零极对消。
对消掉的零极点不包含在传递函数矩阵中，成为系统的
R(s)P (s)1Q (s) W (s)
可见，H(s)在传递函数矩阵中消失了，这导致了零极点对消。
定义：det H(s)=0的根为输入解耦零点。
意义：这种对消的零极点使系统的输入与分状态之间解除了
耦合，即输入信号不能影响这些极点所对应的状态。
由于
[P(s) Q(s)] H (s)[ P (s) Q (s)] rank[P (s) Q (s)] m,s C
即
P(s) L(s)P1(s) Q(s) L(s)Q1(s)
P(s) P2 (s)L(s) 则
R(s) R1(s)L(s)
G(s) R(s)P11(s)Q1(s) W (s) R1(s)P21(s)Q(s) W (s)
显然，L(s)的零点都是解耦点，并且既是i.d.z., 又 是o.d.z.这样的L(s) 的零点称为输入输出解耦零点， i.o.d.z
P(s)F (s) (s) Q(s)u(s)
y(s) R(s)F (s) (s) W (s)u(s) 设%(s) F (s) (s),则
P(s)%(s) Q(s)u(s)
y(s)
R
(s)%(s)
W
(s)u(s)
不可简约
rank P(s) Q(s) rank P(s) Q(s) ,故P(s),Q(s)左互质.
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➢ MFD的系统矩阵：
线性定常系统右MFDN (s)D1(s的) 系统矩阵定义为：
S(s)=
D(s) -N(s)
Ip
0
左MFDDL1(s)NL (的s) 系统矩阵为：
S(s)=
DL (s) -Iq
NL (s)
0
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2 判断PMD的不可简约性
• 互质性与能控性、能观性的等价性
1.给定{P(s),Q(s),R(s),W(s)}，其维数为n=deg detP(s)=dimA
的一个实现为{A,B,C,E(p)}，则
{P(s),Q(s)}左互质{A，B}能控
{P(s),R(s)}右互质{A，C}能观
2. 对右MFD，N (s)D1(s) N (s)D1(s) E(s) 能控类实现:{A，B，C，E}，dimA=deg detD(s)
第5章 线性时不变系统的 多项式矩阵描述
5.1 多项式矩阵描述(PMD) 5.2 多项式矩阵描述的状态空间实现 5.3 多项式矩阵描述的互质性和状态空间描
述的能控性与能观测性 5.4 传输零点和解耦零点 5.5 系统矩阵和严格系统等价
主要的数学描述
输入 输出 描述
状态 空间 描述
矩阵 分式 描述
系统 矩阵 描述
的实现。 • 步骤：
– 先把 P1(s)Q化(s)成满足左MFD求实现的条件，即 P(s)化为行既约， Pr1(s)严Qr (格s) 真；
(s) P1(s)Q(s)u(s) [1M4(s2)P4(s3)]1[1M4(s2)Q4(s3)]u(s)
Pr (s)
Qr (s)
Pr1(s)Qr (s)u(s) [Y (s) 1Pr41(s2)Q4r (3s)]u(s)
• 注：PMD实现具有强不唯一性
二 .构造PMD实现的方法
以构造观测器形实现为最简便 已知：{P(s),Q(s),R(s),W(s)}, 求实现
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9
• 思路： – 前面已讲过的MFD实现方法，要求分母矩阵行 （列）既约，严格真；
– 在P(s)ζ(s)=Q(s)u(s)中，先求 (s) P1(s)Q(s)u(s)
2020/6/17
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• 注：
– 求传递函数矩阵时，应消去P(s)与Q(s)的左 公因子和P(s)和R(s)的右公因子，使传递函 数矩阵的零极点不包含解耦零点。
– 若记P和Z为传递矩阵的极点、零点，则系 统的极点Ps和零点Zs分别为
Ps P i.d.z o.d.z i.o.d.z Zs Z i.d.z o.d.z i.o.d.z
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3.对{A,B,C,E(p)}, G(s) C(sI A)1 B E(s) {A，B}能控{sI-A，B}左互质 {A，C}能观{sI-A，C}右互质 此即为PBH秩判据的结论。
4.SISO系统{A，b，c}，
g(s) c(sI A)1b c adj(sI A) b N (s) det(sI A) (s)
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5.2 PMD的状态空间实现
一. PMD实现的定义
给定{P(s),Q(s),R(s),W(s)}，若能找到状态空 间描述{A,B,C,E(p)}，使
R(s)P1(s)Q(s) W (s) C(sI A)1 B E(s) 则称{A, B,C, E( p)}为给定PMD的实现.
同前, 输出解耦零点又等同于使 RP((ss))降秩的所有s值.
意义：输出解耦零点使输出与分状态之间的耦合解除了，即分
202状0/6态/17 不完全反映到系统输出中去。
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3. 输入输出解耦零点
若P(s)和Q(s)存在非单模的左公因子L(s), (不一定gcld)
同时P(s)和R(s)也存在非单模的右公因子L(s)
此时，P(s),Q(s)有非单模的gcld, 设为H(s),非奇异
则
P(s) H (s)P(s)
Q(s) H (s)Q(s)
P (s), Q(s)左互质
P(s) (s) Q(s)u(s)两边左乘H 1(s), 得
P(s) (s) Q(s)u(s)
y(s)
R(s)
(s)
W
(s)u(s)
不可简约
rank
P(s) R( s)
rank
P(s)
R(s)
,
故P(s),
R(s)右互质.
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(2) P(s),Q(s)左互质，P(s),R(s)非右互质
P(s),R(s)有非单模的gcrd, 设为F(s), 必非奇异
P(s) P(s)F (s) R(s) R(s)F (s) P(s), R(s)右互质 原描述可写成
C(sI Ao )1 Bou(s) E(s)u(s)
实现为 2020/6/17 {A, B,C, E( p)}
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[结论]
对线性时不变系统的PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s)),
表 P1(s)Q(s) Pr1(s)Qr (s) Pr1(s)Qr (s) Y (s)
而 {Ao, B为o,C严o}真
-总之
Co (sI Ao )1 Bou(s) Y (s)u(s)
y(s) R(s) (s) W (s)u(s)
1R(2s)C3 o (sI Ao )1 Bou(s) [R(s)Y (s) W (s)]u(s)
X (s)(sI Ao )C
C(sI Ao )1 Bou(s) [ X (s)Bo R(s)Y (s) W (s)]u(s)
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5.1 多项式矩阵描述(PMD)
一 多项式矩阵描述的形式
多输入多输出线性定常系统：
输入u=
uM1
,广义状态
=
1
M，输出y=
yM1
up
m
yq
系统的多项式矩阵描述为：
)
P(s)
(s)
Q(s)u) (s)
y) (s)
)
R(s)
(s)
W
(s)u) (s)
注：它是系统的内部描述，是最一般的描述。
右互质
不可简约PMD不唯一
{P(s),Q(s),R(s),W(s)}不可简约
{U(s)P(s)V(s),U(s)Q(s),R(s)V(s),W(s)}不可简约
U(s),V(s)为单模矩阵