现代控制理论 第5章线性时不变系统的多项式矩阵描述

R(s)P (s)1Q (s) W (s)
可见，H(s)在传递函数矩阵中消失了，这导致了零极点对消。
定义：det H(s)=0的根为输入解耦零点。
意义：这种对消的零极点使系统的输入与分状态之间解除了
耦合，即输入信号不能影响这些极点所对应的状态。
由于
[P(s) Q(s)] H (s)[ P (s) Q (s)] rank[P (s) Q (s)] m,s C
右互质
不可简约PMD不唯一
{P(s),Q(s),R(s),W(s)}不可简约
{U(s)P(s)V(s),U(s)Q(s),R(s)V(s),W(s)}不可简约
U(s),V(s)为单模矩阵
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• 由可简约PMD求不可简约PMD
（1）{P(s),Q(s)}非左互质，{P(s),R(s)}右互质
的Pr1观(s)测Qr (器s) 形实现，则
PMD的一个实现(A,B,C,E(p))为：
最小实现
A C [
Ao , R(s
B Bo )Co ]s
A
E( p) E(s) |s p
当且仅当PMD为不可简约时，其维数为
n=deg detP(s)的任何实现均为最小实现。
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5.3 多项式矩阵描述的互质性 和状态空间描述的能控性与能观测性
第5章 线性时不变系统的 多项式矩阵描述
5.1 多项式矩阵描述(PMD) 5.2 多项式矩阵描述的状态空间实现 5.3 多项式矩阵描述的互质性和状态空间描
述的能控性与能观测性 5.4 传输零点和解耦零点 5.5 系统矩阵和严格系统等价
主要的数学描述
输入 输出 描述
状态 空间 描述
矩阵 分式 描述
系统 矩阵 描述
此时，P(s),Q(s)有非单模的gcld, 设为H(s),非奇异
则
P(s) H (s)P(s)
Q(s) H (s)Q(s)
P (s), Q(s)左互质
P(s) (s) Q(s)u(s)两边左乘H 1(s), 得
P(s) (s) Q(s)u(s)
y(s)
R(s)
(s)
W
(s)u(s)
不可简约
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3.对{A,B,C,E(p)}, G(s) C(sI A)1 B E(s) {A，B}能控{sI-A，B}左互质 {A，C}能观{sI-A，C}右互质 此即为PBH秩判据的结论。
4.SISO系统{A，b，c}，
g(s) c(sI A)1b c adj(sI A) b N (s) det(sI A) (s)
输入
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传递矩阵的零极点
O.d.z I.o.d.z I.d.z
输出
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5.5 系统矩阵和严格系统等价
一 系统矩阵的概念
1 系统矩阵的定义 ➢ PMD的系统矩阵定义为：
S(s)=
P(s) -R(s)
Q(s) W(s)
➢ 状态空间描述的系统矩阵：
S(s)=
sI-A
-C
B E(s)
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-总之
Co (sI Ao )1 Bou(s) Y (s)u(s)
y(s) R(s) (s) W (s)u(s)
1R(2s)C3 o (sI Ao )1 Bou(s) [R(s)Y (s) W (s)]u(s)
X (s)(sI Ao )C
C(sI Ao )1 Bou(s) [ X (s)Bo R(s)Y (s) W (s)]u(s)
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5.2 PMD的状态空间实现
一. PMD实现的定义
给定{P(s),Q(s),R(s),W(s)}，若能找到状态空 间描述{A,B,C,E(p)}，使
R(s)P1(s)Q(s) W (s) C(sI A)1 B E(s) 则称{A, B,C, E( p)}为给定PMD的实现.
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（3）前两种情况的组合
P(s),Q(s)非左互质，消去其gcld H(s), 得
H 1(s)P(s) (s) H 1(s)Q(s)u(s)
y(s)
R(s)
(s)
W
(s)u(s)
再消去H 1(s)P(s)和R(s)的gcrd F (s) ,即做代换
%(s) F (s) (s)
H 1(s)P(s)F 1(s)%(s) H 1(s)Q(s)u(s)
y(s)
R(s)F
1 ( s )%( s )
W
(s)u(s)
P%(s) H 1(s)P(s)F 1(s),Q%(s) H 1(s)Q(s)
R%(s) R(s)F 1(s),W (s)
{P%(s),Q%(s), R%(s),W (s)}即为不可简约
2解020/耦6/17零点。
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1. 输入解耦零点(input decoupling zero)
若{P(s),Q(s),R(s),W(s)}中，P(s)、Q(s)存在非单模的 gcld H(s)，即
P(s) H (s)P (s), Q(s) H (s)Q (s), 则
G(s) R(s)[H (s)P (s)]1[H (s)Q (s)] W (s)
同一系统，其PMD为{P(s),Q(s),R(s),W(s)}，
系统极点是det P(s)=0的根
状态空间描述为{A,B,C,E}
系统极点是det(sI-A)=0的根
以上二者是等同的。
系统极点并不全是传递函数矩阵的极点，因求传递函数 矩阵时可能发生零极对消。
对消掉的零极点不包含在传递函数矩阵中，成为系统的
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strictly proper
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-对 Pr1(s)Q求r (s观) 测器形实现（利用上节方法）， 得 {Ao, Bo ,C必o}有,
Co (sI Ao )1 Bo Pr1(s)Qr (s) ( Ao ,Co )observable
(s) [Pr1(s)Qr (s) Y (s)]u(s)
C(sI Ao )1 Bou(s) E(s)u(s)
实现为 2020/6/17 {A, B,C, E( p)}
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[结论]
对线性时不变系统的PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s)),
表 P1(s)Q(s) Pr1(s)Qr (s) Pr1(s)Qr (s) Y (s)
而 {Ao, B为o,C严o}真
• 互质性与能控性、能观性的等价性
1.给定{P(s),Q(s),R(s),W(s)}，其维数为n=deg detP(s)=dimA
的一个实现为{A,B,C,E(p)}，则
{P(s),Q(s)}左互质{A，B}能控
{P(s),R(s)}右互质{A，C}能观
2. 对右MFD，N (s)D1(s) N (s)D1(s) E(s) 能控类实现:{A，B，C，E}，dimA=deg detD(s)
所2以020/，6/17输入解耦零点又等于使[P(s) Q(s)]行降秩的s值。 16
2. 输出解耦零点(output decoupling zero)
若P(s)和R(s)存在非单模的gcrd F(s)
P(s) P(s)F(s)
R(s) R(s)F(s) 则G(s) [R (s)F (s)][P (s)F (s)]1Q(s) W (s) R (s)P (s)1Q(s) W (s) 可见, F (s)被消去了. 定义 : det F (s) 0的根为输出解耦零点.
即
P(s) L(s)P1(s) Q(s) L(s)Q1(s)
P(s) P2 (s)L(s) 则
R(s) R1(s)L(s)
G(s) R(s)P11(s)Q1(s) W (s) R1(s)P21(s)Q(s) W (s)
显然，L(s)的零点都是解耦点，并且既是i.d.z., 又 是o.d.z.这样的L(s) 的零点称为输入输出解耦零点， i.o.d.z
的实现。 • 步骤：
– 先把 P1(s)Q化(s)成满足左MFD求实现的条件，即 P(s)化为行既约， Pr1(s)严Qr (格s) 真；
(s) P1(s)Q(s)u(s) [1M4(s2)P4(s3)]1[1M4(s2)Q4(s3)]u(s)
Pr (s)
Qr (s)
Pr1(s)Qr (s)u(s) [Y (s) 1Pr41(s2)Q4r (3s)]u(s)
P(s)F (s) (s) Q(s)u(s)
y(s) R(s)F (s) (s) W (s)u(s) 设%(s) F (s) (s),则
P(s)%(s) Q(s)u(s)
y(s)
R
(s)%(s)
W
(s)u(s)
不可简约
rank P(s) Q(s) rank P(s) Q(s) ,故P(s),Q(s)左互质.
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5.1 多项式矩阵描述(PMD)
一 多项式矩阵描述的形式
多输入多输出线性定常系统：
输入u=
uM1
,广义状态
=
1
M，输出y=
yM1
up
m
yq
系统的多项式矩阵描述为：
)
P(s)
(s)
Q(s)u) (s)
y) (s)
)
R(s)
(s)
W
(s)u) (s)
注：它是系统的内部描述，是最一般的描述。
则:{系统完全能控且能观} g(s)无零极点相消 {系统完全能控} adj(sI-A)b和(s)无零极对消现象 {系统完全能观} c adj(sI-A)和(s)无零极对消现象
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5.4 传输零点和解耦零点
• 一般地，系统的零、极点与传递函数矩阵的零极点不是 等同的，后者包含在前者之中，是前者的一个子集。
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• 注：
– 求传递函数矩阵时，应消去P(s)与Q(s)的左 公因子和P(s)和R(s)的右公因子，使传递函 数矩阵的零极点不包含解耦零点。
– 若记P和Z为传递矩阵的极点、零点，则系 统的极点Ps和零点Zs分别为
Ps P i.d.z o.d.z i.o.d.z Zs Z i.d.z o.d.z i.o.d.z
• 注：PMD实现具有强不唯一性
二 .构造PMD实现的方法
以构造观测器形实现为最简便 已知：{P(s),Q(s),R(s),W(s)}, 求实现
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• 思路： – 前面已讲过的MFD实现方法，要求分母矩阵行 （列）既约，严格真；
– 在P(s)ζ(s)=Q(s)u(s)中，先求 (s) P1(s)Q(s)u(s)
则：{D(s),N(s)}右互质{A,C}能观 （已经能控）
对左MFD，DL1(s)NL (s) DL1(s)NL (s) EL (s)
能观类实现： {A, B,C , E},dim A deg det DL (s),则
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{DL (s), NL (s)}右互质 {A, B}能控
rank
P(s) R( s)
rank
P(s)
R(s)
,
故P(s),
R(s)右互质.
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(2) P(s),Q(s)左互质，P(s),R(s)非右互质
P(s),R(s)有非单模的gcrd, 设为F(s), 必非奇异
P(s) P(s)F (s) R(s) R(s)F (s) P(s), R(s)右互质 原描述可写成
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➢ MFD的系统矩阵：
线性定常系统右MFDN (s)D1(s的) 系统矩阵定义为：
S(s)=
D(s) -N(s)
Ip
0
左MFDDL1(s)NL (的s) 系统矩阵为：
S(s)=
DL (s) -Iq
NL (s)
0
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2 判断PMD的不可简约性
同前, 输出解耦零点又等同于使 RP((ss))降秩的所有s值.
意义：输出解耦零点使输出与分状态之间的耦合解除了，即分
202状0/6态/17 不完全反映到系统输出中去。
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3. 输入输出解耦零点
若P(s)和Q(s)存在非单模的左公因子L(s), (不一定gcld)
同时P(s)和R(s)也存在非单模的右公因子L(s)
Cˆ(s)
ห้องสมุดไป่ตู้
E(s)uˆ(s)
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3.矩阵分式描述的PMD
给定G(s) N (s)D1(s)+E(s)
则等价的PMD为： D(s)ˆ(s) Iuˆ(s)
yˆ ( s)
N
(s)ˆ
(s)
E(s)uˆ(s)
三.不可简约PMD
不可简约PMD：{P(s),Q(s)}左互质，且{P(s),R(s)}
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二. PMD和其他描述的关系
1 多项式矩阵的传递函数矩阵
G(s) R(s)P1(s)Q(s) W (s)
2 状态空间描述的PMD
给定
x& y
Ax Cx
Bu ,t E( p)u
0
x(0)
0
则状态空间描述等价的PMD为：
(SI A)ˆ(s) Buˆ(s)
yˆ ( s)