第2讲 有理数指数幂每周专题练习
(完整版)指数与指数幂的运算习题(含答案),推荐文档
2 2 2 ⎝ ⎝ ⎭⎭指数与指数幂的运算 习题（含答案）一、单选题1．已知 x ，y 为正实数，则 A ． 2lnx+lny =2lnx +2lny B ． 2ln （x+y ）=2lnx •2lny C ． 2lnx•lny =2lnx +2lnyD ． 2ln （xy ）=2lnx •2lny12．化简[( ‒ 2)6]2 ‒ ( ‒ 1)0的结果为A ． −9B ． 7C ． −10D ． 93. 若 > 0，且 ， 为整数，则下列各式中正确的是A ． a m ÷ a n = anB ． a m ⋅ a n = a mnC ． () =+D ． 1 ÷ a n = a 0 ‒ n4. 若 a >1，b >0，且 a b ＋a －b ＝2，则 a b －a －b 的值为( )A ．B ． 2 或－2C ． －2D ． 25．3‒ 27的值为（）． A.9B. ‒ 9C.‒ 3D.3a 3x + a ‒ 3x26．若 = A ． 2 ‒ 1 C ． 2 + 1‒ 1，则 a x + a ‒ x 等于B ． 2 ‒ 2 D ． + 1log 3x , x > 0 ⎛ ⎛ 1 ⎫⎫7．已知函数 f (x )= { 2x , x ≤ 0，则 f f 9 ⎪⎪ 等于（ ）A ． 4B ． - 1 41C ． -4D ． 4 18．设 a = log 3,b = 20.3, c = log 2 ，则（ ）3A ． a > b > cB ． a > c > bC ． c > a > b (1)9．设 y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝ 2 －1.5，则( ) A ． y 3＞y 1＞y 2 B ． y 2＞y 1＞y 3 C ． y 1＞y 2＞y 3 D ． y 1＞y 3＞y 2 10．有下列各式：D ． b > a > c2 2n a n 3 x4+ y 36 (-5)2m ‒ 2n4 163 x3 x 227 - - ① = a ；②若 a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝1；4③ = x 3+ y ；④ 35 = .其中正确的个数是( ) A ． 0 B ． 1 C ． 2D ．311．化简(a 2－2＋a －2)÷(a 2－a －2)的结果为( ) A ． 1B ． －1C ．a 2 -1a 2 +1a 2 +1D ．a 2 -112. 下列各式计算正确的是( )A ． (－1)0＝1B ． 21a 2·a 2＝a2 1 1 C ． 43＝8D ． a 3÷ a － 3= a 313. 已知a m ＝4，a n ＝3，则 的值为( )2A.33B. 6 C ． 2D ． 2二、填空题化简 ⋅(x > 0) 的结果是.14.x ⋅ 15. 设函数 f (x ) = a x + (k -1)a -x + k 2 （ a > 0, a ≠ 1 ）是定义域为 R 的奇函数.（1） 求 k 值；（2） 若 f (1) > 0 ，求使不等式 f (x 2 + x ) + f (t - 2x ) > 0 恒成立的t 的取值范围；（3）若 f (1) = 3 ，设 g (x ) = a 2x + a -2x - 2mf (x ) ， g (x ) 在[1, +∞) 上的最小值为-1，2求m 的值.12⎛ 1 ⎫ - 16．计算： 83 ÷ ⎪ = .⎝ 4 ⎭ ⎛ 8 ⎫- 13 - ⎛ - 3 ⎫0+ =17． log 3 +⎝ 125 ⎪⎭ ．⎝ 5 ⎪⎭2 518． (2a -3b 3 ) ⋅ (-3a -1b ) ÷ (4a -4b 3)(a > 0, b > 0) =.19．若2x + 2-x = 5 ，则8x + 8-x =.6 x23 a - 33 b- ⎛ 8 9 2 ( ‒ 8) （3） ；20． 0.064 13- - 1 ⎫0 + ⎡(-2)3 ⎤- 34 +16 ⎪ ⎣ ⎦⎝ ⎭- 34 + 0.0112 =⎛ 1 ⎫0 21. 计算： lg4 + lg25 + - ⎪ ⎝ ⎭=．22. 直线y = 2a 与函数 y = a x -1 (a > 0且a ≠ 1)的图象有且仅有两个公共点，则实数 a 的取值范围是.1 + log 12 - (0.7)0+ 0.25-1 ＝。
2024_2025学年新教材高中数学课时检测22有理数指数幂含解析湘教版必修第一册
有理数指数幂[A 级 基础巩固]1．若4a －2＋(a －4)0有意义，则a 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．[2，4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，4)∪(4，＋∞)解析：选B 由题意可知，a －2≥0且a －4≠0，∴a 的取值范围是a ≥2且a ≠4，故选B.2．化简4m 6(m <0)的结果为( )A ．m mB ．m －mC ．－m mD ．－m －m解析：选D ∵m <0，∴4m 6＝－m 3＝－m －m .故选D.3．若(1－2x ) －34有意义，则x 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 解析：选D ∵(1－2x ) －34＝14（1－2x ）3，∴1－2x >0，得x <12. 4．计算(2a －3b －23)·(－3a －1b )÷(4a －4b －53)得( ) A ．－32b 2 B ．32b 2 C ．－32b 73 D ．32b 73解析：选A 原式＝－6a －4b 134a －4b －53＝－32b 2. 5．(多选)下列各式中肯定成立的有( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 7＝n 7m 17 B.12（－3）4＝33 C.4x 3＋y 4＝(x ＋y )34 D.39＝33解析：选BD A 中应为⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 7＝n 7m －7；12（－3）4＝1234＝33，B 正确；C 中当x ＝y ＝1时，等式不成立；D 正确．故选B 、D.6．有下列说法： ①3－125＝5；②16的4次方根是±2； ③481＝±3；④ （x ＋y ）2＝|x ＋y |.其中，正确的有________．(填序号)解析：n 为奇数时，负数的n 次方根是一个负数，3－125＝－5，故①错误；16的4次方根有两个，为±2，故②正确；481＝3，故③错误；（x ＋y ）2是正数，故（x ＋y ）2＝|x ＋y |，故④正确．答案：②④7．若（2a －1）2＝3（1－2a ）3，则实数a 的取值范围为________．解析： （2a －1）2＝|2a －1|，3（1－2a ）3＝1－2a . 因为|2a －1|＝1－2a ，故2a －1≤0，所以a ≤12. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，128．已知a ＞0，将a 2a ·3a 2 表示成分数指数幂，其结果是________． 解析：a 2a ·3a 2＝a 2a ·a 23＝a 2a 53＝a 2a 53×12＝a 2·a －56＝a 2－56＝a 76. 答案：a 769．求下列各式的值：(1) 3＋22＋3－22；(2) 5＋26－ 6－42＋ 7－4 3.解：(1)法一：原式＝（2）2＋22＋1＋（2）2－22＋1＝（2＋1）2＋（2－1）2＝2＋1＋2－1＝2 2.法二：令x ＝ 3＋22＋ 3－22，两边平方得x 2＝6＋29－8＝8.因为x >0，所以x ＝2 2.(2)原式＝ （3＋2）2－ （2－2）2＋（2－3）2＝3＋2－(2－2)＋2－3＝2 2. 10．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－127－13＋0.002－12－10(5－2)－1＋π0； (2)823－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－34－(2－1)0. 解：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－127－13＋0.002－12－10(5－2)－1＋π0＝－3＋105－105－20＋1＝－22. (2)依据分数指数幂的定义，得823＝(23)23＝22＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝22＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－34＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫234－34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＝278.从而原式＝4－4＋278－1＝198. [B 级 综合运用]11．假如a ＝3，b ＝384，那么a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 17n －3＝________． 解析：a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 17n －3＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫384317n －3＝3[(128)17]n －3＝3×2n －3. 答案：3×2n －312．化简下列各式： (1)3xy 26x 5·4y 3(x >0，y >0)；(2)(x 23·y 14·z －1)·(x －1·y 34·z 3) －13 (x >0，y >0，z >0)．解：(1)原式＝x 13y 23x 56y 34＝x 13－56y 23－34＝x －12y －112.(2)原式＝(x 23y 14z －1)·(x 13y －14z －1)＝x 23＋13·y 14－14·z －1－1＝xz －2.。
有理数指数幂同步练习
有理数指数幂同步练习一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）1. 下列运算中正确的是( )A.a 2⋅a 3=a 6B.(−a 2)3=(−a 3)2C.(√a −1)0=1D.(−a 2)5=−a 102. 设2x =8y+1，9y =3x−9，则x +y 的值为（ ）A.18B.21C.24D.273. 已知a >b ，则( )A.2a−b >12B.lg (a −b )>12C.1a−b >1D.2a >2a−b4. 已知a =log 0.22，b =0.22，c =30.2，则( )A.a <b <cB.a <c <bC.c <a <bD.b <c <a5. 设a =(35)25，b =(25)35，c =(25)25，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A.a >c >bB.a >b >cC.c >a >bD.b >c >a6. 已知2a =3，2b =5，则22a−b 等于( )A.35B.95C.53D.2537. 若102x =25，10x 则等于( )A.−15B.5C.150D.16258. 已知直线ax +by =2经过点(1,3)，则函数z =3a +27b 的最小值是（）A.2√6B.9C.6D.18二、 填空题 （本题共计 2 小题 ，每题 3 分 ，共计6分 ， ）9. 232×√2×2−3=________.10. (49)−12+(√3−1)0=________.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ， ）11. 计算：(1)(214)12−(−2020)0−(278)−23+1.5−2；(2)log 3√2743+lg 25+lg 4+7log 72+log 23×log 34．12. (1)计算：π−(235)0+(94)−12−√(3−π)44；(2)已知a 2+2b =1 ，求a b √3a 的值.13. 计算： (1)2lg 2√2+√(lg √2)2−lg 2+1+lg √2⋅lg 5；(2)1.5−13×(−7)0+80.25×√24+(√23×√3)6−√(2)2314. 解答(1)(94)12−(−9.6)0−(278)23+(1.5)−2(2)2lg 5+23lg 8+lg 5⋅lg 20+(lg 2)215.(1)求值(214)−12×(lg5+lg2)+(338)−23−log 3√933+(√5)−2；(2)若 8a =5,2b =3 ，试用a ，b 表示log 1245． 16. 计算： (1)log 3√2743+log 981+21+log 23； (2)(32)−13−13×(−76)0−√(−23)23.参考答案一、 选择题1.D2.D3.A4.A5.6.B7.B8.C二、 填空题9.1210.52 三、 解答题11.解：(1)原式=32−1−49+49=12.(2)原式=log 33−14+lg (25×4)+2+log 24=−14+2+2+2 =234.12.解：(1)原式=π−1√4−|3−π| =π−1+23−(π−3) =π−1+23−π+3 =83.(2)原式=3a ⋅32b 3a 2=3a+2b−a 2 =3a 2+2b =31=3.13.解：(1)原式=lg √2(2lg √2+lg 5)+√(lg √2)2−lg 2+1 =lg √2(lg 2+lg 5)+|lg √2−1|=lg √2⋅lg (2×5)+1−lg √2=1. (2)原式 =(23)13×1+(23)14×214+(213×312)6−(23)13 =2+4×27=110. 14.解：(1)原式=32−1−[(32)3]23+49 =12−49+49=12.(2)原式=2lg 5+23⋅lg 23+lg 5⋅lg (5×22)+lg 22 =2(lg 5+lg 2)+lg 5⋅(lg 5+2lg 2)+(lg 2)2 =2+(lg 5)2+2lg 5⋅lg 2+(lg 2)2=2+(lg 5+lg 2)2=3.15.解：(1)原式=(94)−12×lg 10+(278)−23−log 33−13+(√53)2 =(32)−1×1+(32)−2+13+59=23+49+13+59=2． (2)由已知得 a =log 85=13log 25,b =log 23， 所以log 1245=log 245log 212=log 25+log 29log 24+log 23 =log 25+2log 232+log 23=3a+2b 2+b ．16.解：(1)原式=log 3√274−log 33+log 992+2⋅2log 23=34−1+2+6 =314；(2)原式=(23)13−13×1−(23)13=−13.。
初中数学幂的运算专题讲解及典型题练习(含答案)
初中数学幂的运算专题讲解及典型题练习【知识点梳理】1．有理数的乘方定义求个相同因数的积的运算，叫做乘方．乘方运算的结果叫幂．n 一般地，，叫做底数，叫做指数，叫做幂。
n n a a a a a ⋅⋅⋅= 个a n n a 读作“的次幂”或读作“的次方”．n a a n a n 【注意】(1)乘方是一种运算，是一种特殊的乘法运算（因数相同的乘法运算），幂是乘方运算的结果．(2)一个数可以看作是这个数本身的一次方，例如5就是，就是，指数是1通常省略15a 1a 不写．2．有理数幂的符号法则(1)正数的任何次幂都是正数．(2)负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．(3)特别地，．()11,00n n n ==为正整数【注意】“负幂”与“负数的幂”区别：“负幂”例如表示的相反数，其结果为负数．“负51()2-51()2数的幂”例如，结果要看指数，即负数的奇次幂为负数，负数的偶次幂为正数．1()2n -3．有理数的混合运算一个算式里含有有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算中的两种或两种以上的运算，称为有理数的混合运算．【注意】加法、减法、乘法、除法有各自的运算法则，也有各自的运算技巧，减法可以统一成加法，除法可以统一成乘法，加法与乘法还有各自的运算律，乘方是乘法的特例，也有自己的符号法则，同时也要考虑整体的符号关系以及简便算法．4．有理数的混合运算顺序(1)先乘方，再乘除，最后加减．(2)同级运算，从左到右依次进行．(3) 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．【注意】(1)在加、减、乘、除、乘方这几种运算基本掌握的前提下，学习混含运算，首先应注意的就是运算顺序的问题．(2)通常把六种基本的代数运算分成三级：第一级运算是加和减，第二级运算是乘和除，第三级运算是乘方和开方（以后学习）．运算顺序的规定是先算高级运算，再算低级运算，同级运算在一起，按从左到右的顺序计算．对于含有多重括号的运算，一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的．(3)括号前带负号，去括号后要将括号内的各项都要变号，即．()(),a b a b a b a b -+=----=-+5．科学记数法把一个数写成（其中，是正整数）的形式，这种记数法称为科学记数10n a ⨯110a <≤n 法．【注意】(1)科学记数法是一种特定的记数方法，应明白其中包含的基本原理及其结构，即要掌握形式的结构特征： ，为正整数，且值等于原数的整数位数减1．10n a ⨯110a <≤n n (2)在把用科学记数法表示的数还原为原数时，根据其基本原理和结构，把的小数点向右a 移动位，中数字不够时，用补足．n a 0【典型例题讲解】【例1】计算：．2007200812()2⨯-【分析】直接进行各自的乘方运算非常困难，但根据乘方的意义可得．共200722222=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯2007个2相乘，2008200811()()22-=2007112008200722111111111222222222=⨯⨯⋅⋅⋅⨯=⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=⨯个个（）利用乘法交换律和结合律，把2007个2与结合在一起相乘，利用互为倒数即可求出数12值．【解析】2007200812()2⨯-20072008122=⨯（）．20072007200711111222222=⨯⨯⨯⨯=（）（）=（2）【方法总结】此题主要应用互为倒数、乘法运算律及乘方的意义进行计算，事实上我们不难发现，当与互为倒数时，其值为1．计算时要注意符号的问题．多加理解与练()m m m a b ab = a b 习，最好能达到一看题目就可以得出结果的程度．【借题发挥】计算：、．2010201115()5⨯-200920102 2.55⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭【解析】．20102010201111115()55555⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-=⨯-⨯-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．200920092009201020102252552.5 2.5552522⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯=-⨯=-⨯⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦【例2】计算：．22135(13)(2)0.2⎡⎤---+-⨯÷-⎢⎥⎣⎦【分析】根据有理数的混合运算法则进行计算，分清计算的先后顺序，还要注意去括号的时候要注意符号．【解析】22135(13)(2)0.2⎡⎤---+-⨯÷-⎢⎥⎣⎦[]135(13)435(1253)40.04⎡⎤=---+-⨯÷=---+-⨯÷⎢⎥⎣⎦[][]35(175)435(74)4=---+-÷=---+-÷．[]35(18.5)3(23.5)20.5=---+-=---=【借题发挥】计算：()()[]2243225.02115.01--⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-+-【解析】原式＝()[]()()2411110.52910.571167554162⎛⎫⎛⎫-+-÷⨯-=-+-÷⨯-=-+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【例3】已知，，求的值．12x =-13y =-432231x y x --【分析】把，的值分别代入要求的式子，按有理数混合运算顺序进行计算．x y 【解析】把，代入，得12x =-13y =-432231x y x -- 原式43211112()3()23()231627111()124⨯--⨯-⨯-⨯-==---11114141789()3893627544-==+⨯=+=【方法总结】此类题一方面代入要准确，即负数或分数代入时一般加上小括号，另一方面代入后计算必须准确，最后结果是分数时一定是最简分数．【借题发挥】求当时，代数式的值．2,1x y =-=-2222222x y x xy y x y x y--+++-【解析】将带入，得2,1x y =-=-2222222x y x xy y x y x y --+++-原式＝．()()()()()()()()()()2222221222113114221531521⨯-----⨯-⨯-+--+=+=⨯-+-----【例4】(1)补充完整下表：1323334353637383392781(2)从表中你发现3的方幂的个位数有何规律？(3)3251的个位数是什么数字？为什么？【分析】幂的个位上的数字3、9、7、l 交错重复出现，即每隔四个数，个位数字就重复一次，所以用251除以4所得的余数来确定．【解析】(1)132333435363738339278124372921876561(2)个位上的数字为3、9、7、1交错重复出现．(3)的个位数是7，因为除以4的余数是3．是重复出现时的第三个数．2513251【方法总结】此类题一般都是通过写出一些简单的幂，通过这些幂的结果总结出末位出现数字的种类及循环规律，进一步把指数按循环数进行分解，通过剩余指数求得最后答案．【借题发挥】的个位数是 ，的个位数是 ，253263的个位数是 ，的个位数是 ．273283【解析】3,9,7,1．【例5】怎样比较，，的大小呢？553444335【解析】本题如果通过硬算，数字太大，不可能，因此要观察此三个数的特点，经观察，我们发现55、44、33存在着最大公因数11，不妨利用这一点以及乘方的定义来入手解题．具体过程如下：5511115533333(33333)243=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= 个344111144444444(4444)256=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯= 个．33111133555555(555)125=⋅⋅⋅=⨯⨯= 个因为,所以256243125>>111111256243125>>即．445533435>>【借题发挥】1．试比较的大小．443322234、、【解析】因为：，则，即()()()111111444113331122211221633274416======，，11111627<．442233243<=2．你能比较和的大小吗？2004200320032004 为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较和1n n +(1)n n +的大小（是自然数）．然后，我们从分析…这些简单情形人手，从中发现规n 1,2,3,n n n ===律，经过归纳，猜想出结论．(1)通过计算．比较下列各组中两个数的大小（填“>”，“<”或“”）．- ①___；②____；③ ；④____；⑤ ；…21123223433454456556 (2)从第(1)题的结果经过归纳，可以猜想出和的大小关系是 ．1n n +(1)n n + (3)根据上面归纳猜想后得到的一般结论，试比较下面两个数的大小：．2004200320032004【解析】经计算与分析可推出结论：当时，＜；当时，＞．3n <1n n +(1)n n +3n ≥1n n +(1)n n +(1)①＜；②＜；③＞；④＞；⑤＞ (2) 当时，＜；当时，＞3n <1n n +(1)n n +3n ≥1n n +(1)n n +(3)＞．(2)【借题发挥】比较下面各对数的大小：___； ； ．211243342010200920092010【解析】＜；＞；＞．【例6】比较与的大小．109.99810⨯111.00110⨯【分析】二者是用科学记数法表示的数，一方面可以把它们化成原数，通过比较原数大小来比较这两个数的大小；另一方面也可以把它化为相同指数，通过比较前面数（即）的大小来比a 较二者大小．【解析】解法一：，109.9981099980000000⨯=.111.00110100100000000⨯= 又,100100000000>99980000000．∴10119.99810 1.00110⨯<⨯ 解法二：,1110101.001l01. 0011010 10.0110⨯=⨯⨯=⨯ 又，10.019.998> ．∴10119.99810 1.00110⨯<⨯【方法总结】解法一是常规方法，但书写起来很麻烦，易出现错误；方法二较巧妙地转化了，容易比较大小．11101.0011010.0110⨯=⨯【借题发挥】试比较：和．20099.9810⨯20101.0510⨯【解析】．2010200920091.051010.5109.9810⨯=⨯>⨯【例7】 定义“”“”两种运算，对于任意的两个数、，都有，○+○－a b a ○+b 1a b =+-a ○－b 1ab =-．求[()()]的值．4○－3○+5○+6○－2【分解】按规定的“”与“”进行各自的运算，运算时先算士括号里的，再算中括号里的．○+○－【解析】由，，得a ○+b 1a b =+-a ○－b 1ab =-[()()]4○－3○+5○+6○－2[()()]4=○－351+-○+621⨯-()()4=○－7○+114=○－7111+-．4=○－174=⨯171-67=【方法总结】此类题按规定的运算关系进行计算，首先要读懂表达式的含义，会套用公式，计算时注意符号关系及准确性外，还要注意运算的先后顺序．【借题发挥】“△”表示一种新的运算符号，其意义是对于任意，都存在△，如果△△a b a b 2a b =-x (1,则 ．3)2=x =【解析】由△，得△△,即，则，所a b 2a b =-x (13)2=()()21312x x ⨯-=-=△△()212x --=以．12x =【例8】若尺布可做件上衣，则尺布能做多少件这样的上衣？619【解析】第题按计算件，但实际情况是只能做件，所以只能舍，不能入；961.5÷=105．【借题发挥】若每条船能载个人，则个人需要几条船？310【解析】按计算，但实际情况是条船不够，需要4条船，所以在这里应该入，取1103=33÷3134．【方法总结】在实际问题中，经常对药对一些数位上的数进行取舍，有的要求进行四舍五入，有的则按生活及生产实际进行取舍，千万不能遇及以上的数就入，遇以下的数就舍．555【随堂练习】1．计算： ．2008(1)-=【答案】1．2．计算： ．20102010201020104(0.25)(1)1-+-+= 【答案】原式＝．201020102010201014()(1)111114-+-+=-++= 3．若，则 ．21(2)0a b ++-=20102009()a b a ++=【答案】由题意知 得，代入原式可求结果为：0．1020a b +=⎧⎨-=⎩12a b =-⎧⎨=⎩4．如果那么的值为 ．214,,2x y ==222x y -【答案】．222112243122x y -=⨯-=5．现有一根长为1米的木条，第一次截去一半，第二次截去剩下的一半，照此截下去，那么六次后剩下的木条为 米．【答案】第一次截后剩下米，第二次后剩下米，第三次后剩下米，由此推下1221142⎛⎫= ⎪⎝⎭312⎛⎫ ⎪⎝⎭去，第次后剩下米．所以六次后剩下的木条为（米）．n 12n ⎛⎫ ⎪⎝⎭611264⎛⎫= ⎪⎝⎭6．计算：（1）； （2）； （3）321()(1)33-÷-232(3)-⨯-32221(0.2)(1).3(0.3)-⨯÷-【答案】（1）；（2）108；（3）．290.002-7．（1）. （2）.451132131511÷⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯()1452515213⨯-÷+-（3）. （4）.()3432322⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-÷-()()()3428102-⨯---÷+-（5）.()[]2345.0813231325.01-----⨯÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---（6）.()54436183242113÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6）225-347-1111620-11147224-8．利用乘方的有关知识确定的末两位数字．20076【答案】9．已知“三角”表示运算“”，“正方形”表示的运算是“” ，试计a b c -+d f g e -+-算的值．【答案】原式＝．()()()199649551996281474116-+⨯-+-=-⨯=-9．计算：．111111111248163264128256512++++++++【答案】原式＝11111111111122448816128256256512⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+⋅⋅⋅+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．151********-=10．光年是天文学中使用的距离单位，指的是光在真空中经历一年所走的距离，若真空中光的速度为千米／秒，用科学记数法表示l 光年是多少？（1年按天计算）300000365【答案】已知：千米／秒，（秒）．300000v =365243600t =⨯⨯ 由（千米）．300000365243600s vt ==⨯⨯⨯9460800000000=129.460810=⨯所以，l 光年是千米．129.460810⨯11．阅读下列解题过程：计算：()632113115⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷-解：()632113115⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷-（第一步）()662515⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-=（第二步）()()2515-÷-=（第三步）53-=回答：（1）上面的解题过程中有两个错误，第一处是第 步，错误的原因是 ；第二处是第 步，错误原因是 ．（2）正确的结果是 ．【答案】（1）二，乘除为同一等级的计算，没有按照从前往后的顺序求解；（2）三，负数乘以负数得到正数，题中为负数． （2）．3215【课堂总结】【课后作业】一、填空题1． ．=---3232． ．()22533235-⨯-⨯+=3． ．()()()()()=-⨯---⨯---⨯++n n n 212211111014． ．()()=-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⨯-5214387165． ．()()()=-⨯-+⨯-03.716.016.4003.76． ．()()=-⨯+-÷-2333227．若、互为倒数，、互为相反数，，则 ．a b c d 2=m ()=-+⋅+23m ab ba d c 8．一个数用科学记数法表示为，则它是 位整数．10n a ⨯二、选择题9．下列公式计算正确的是（ ）A ．B ．()527527⨯--=⨯--31354453=÷=⨯÷C ． D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛÷÷=÷÷5454354543()932=--10．计算的值是（ ）()()2007200822-+-A ．1 B ． C ． D ．2-20072-2007211．下列各组数中，相等的一组是( )．A ．与B ．与23-2(3)-2(3)--3(2)-- C ．与 D ．与3(3)-33-223-⨯332-⨯12．用合理的方法计算：(1) ； (2) ；515635236767---1544 3.87 4.253495-+-+(3) ； (4) ； 1511342461832⎛⎫⎛⎫--+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()110.5678111-----+⎡⎤⎣⎦13．计算：（1）； （2）；63221⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷2131521（3）； （4）.⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--838712787431⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯1811351121961365514．用科学计数法表示下列计算结果：（1）一昼夜小时是多少秒？24 （2）50251002⨯15．(1)阅读短文《拆项计算》：拆项计算下面带分数的计算申，常把整数部分和分数部分拆开，以简化计算过程，举例如下：5231591736342⎛⎫⎛⎫-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()5231591736342523159173634252315917363425213063241235644⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=----++--⎛⎫=--+-+--+- ⎪⎝⎭⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭=-+=-(2)仿照第(1)小题的计算方法计算：5211200620054000116332⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】1．－11 2．21 3．1 4．2 5．－281.2 6．－7 7．－1 8．1n +9．D 10．D 11．C12．(1) 515655163523325319867676677⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-+-+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦(2) 1541451454 3.87 4.253437437495459459-+-+=-+-+=(3) 151153424146183218⎛⎫⎛⎫--+--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (4) ()110.56781110.4321-----+=-⎡⎤⎣⎦13．(1) 121266612323⎛⎫⎛⎫-⨯=⨯+-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2) ()2117216853255⎛⎫÷-=⨯-=- ⎪⎝⎭(3) 377733114812888⎛⎫⎛⎫⎛⎫--÷-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(4).51111351936361853911366623518633519⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯-÷-=⨯-⨯-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭14．(1) 一昼夜小时是（秒）244246060864008.6410⨯⨯==⨯(2) ＝50251002⨯50505010025410010⨯==15．原式＝()5211352200620054000110.6332263⎛⎫⎛⎫--+++--++=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
高中数学必修1_ 第二章 2.1 第2课时 指数幂及其运算
＝[(0.4)3]
－
1 3
－
1
＋
(－
2)－4
＋
2－
3＋[(0.1)2]12
＝
0.4－1
－1＋
1 16
＋18＋
0.1＝18403.
(2)原式＝a13×92·a13×－32÷a12×－73·a12
×133＝a96－36＋76－163＝a0＝1.
指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做 指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒 数．底数是负数，先确定符号，底数是 小数，先要化成分数，底数是带分数， 先要化成假分数，然后要尽可能用幂的 形式表示，便于用指数幂的运算性质．
[课前反思] (1)分数指数幂的意义是什么？
； (2)有理指数幂的运算性质有哪些？
.
观察下式，完成下列思考．
amn ＝n
am，a－mn ＝a1mn ＝n
1 (a>0，n，m∈N*，n>1)． am
[思考 1] 怎样理解分数指数幂？
名师指津：“三角度”理解分指数幂 (1)角度一：与根式的关系． 分数指数幂是根式的另一种写法，根式与分 数指数幂可以相互转化． (2)角度二：底数的取值范围． 由分数指数幂的定义知 a≤0，amn 可能会有意 义．当 amn 有意义时可借助定义将底数化为正数， 再进行运算．
③0 的分数指数幂的意义：
0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无
意义．
(2)有理指数幂的运算性质： ①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； ③(a·b)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． (3)无理数指数幂 无理数指数幂 aα(a＞0，α 是无理数)是一个 确定的实数．有理数指数幂的运算性质对于无理 数指数幂同样适用．
第2讲 有理数指数幂每周专题练习
有理数指数幂1－根式练习一、基础过关 1.4(－2)4运算的结果是________．2．若2<a <3，化简(2－a )2＋4(3－a )4的结果是________．3．若a ＋(a －2)0有意义，则a 的取值范围是______．4．已知xy ≠0且4x 2y 2＝－2xy ，则有________．①xy <0；②xy >0；③x >0，y >0；④x <0，y <0.5．化简(π－4)2＋3(π－4)3的结果为________．6．若x <0，则|x |－x 2＋x 2|x |＝________. 7．写出使下列各式成立的x 的取值范围． (1)3⎝⎛⎭⎫1x －33＝1x －3； (2)(x －5)(x 2－25)＝(5－x )x ＋5.8．计算下列各式的值：(1)n (3－π)n (n >1，且n ∈N *)； (2)2n (x －y )2n (n >1，且n ∈N *)； (3)5＋26＋7－43－6－4 2.二、能力提升9.3(－6)3＋4(5－4)4＋3(5－4)3的值为______．10．当2－x 有意义时，化简x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9的结果是________．11．已知a ∈R ，n ∈N *，给出下列四个式子：①6(－2)2n ；②5a 2；③6(－3)2n ＋1；④9－a 4，其中没有意义的是________．(填序号)12．已知a <b <0，n >1，n ∈N *，化简n (a －b )n ＋n (a ＋b )n .三、探究与拓展13．若x >0，y >0，且x －xy －2y ＝0，求2x －xy y ＋2xy的值．有理数指数幂2－分数指数幂练习一、基础过关1．32027.0-）（的值是________．2．设a 12－a －12＝m ，则a 2＋1a＝________. 3．在121--）（、2－12、(12)－12、12-中，最大的数是________． 4．化简3a a 的结果是________． 5.614－3338＋30.125的值为________． 6．若a >0，且a x ＝3，a y ＝5，则22yx a+＝________. 7．(1)化简：3xy 2·xy －1·xy ·(xy )－1(xy ≠0)；(2)计算：212-＋(－4)02＋12－1－(1－5)0·823. 8．求233(3)8--＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0的值． 二、能力提升9．如果x ＝1＋2b ，y ＝1＋2－b ，那么用x 表示y 的表达式为________． 10．化简：34342()a b a b -(a >0，b >0)＝________.11．若x >0，则(41x 2＋233)(41x 2－233)－214-x ·(x －21x )＝________.12已知x ＝12，y ＝23，求x ＋y x －y －x －y x ＋y；有理数指数幂1－根式练习答案1．22．13．a ≥0且a ≠24．①5．06．1 7．解 (1)由于根指数是3，故1x －3有意义即可，此时x －3≠0，即x ≠3. (2)∵(x －5)(x 2－25) ＝(x －5)2(x ＋5)＝(5－x )x ＋5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥0x －5≤0，∴－5≤x ≤5. 8．解 (1)当n 为奇数时，n (3－π)n ＝3－π；当n 为偶数时，n (3－π)n ＝π－3. (2)2n (x －y )2n ＝|x －y |，当x ≥y 时，2n (x －y )2n ＝x －y ；当x <y 时，2n (x －y )2n ＝y －x . (3)5＋26＋7－43－6－4 2 ＝(3)2＋23·2＋(2)2＋22－2×23＋(3)2－22－2×22＋(2)2 ＝(3＋2)2＋(2－3)2－(2－2)2＝|3＋2|＋|2－3|－|2－2| ＝3＋2＋2－3－(2－2)＝2 2.9．－610．－111．③12．解 当n 是奇数时，原式＝(a －b )＋(a ＋b )＝2a ；当n 是偶数时，原式＝|a －b |＋|a ＋b |＝(b －a )＋(－a －b )＝－2a . 所以n (a －b )n ＋n (a ＋b )n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a ，n 为奇数－2a ，n 为偶数. 13．解 ∵x －xy －2y ＝0，x >0，y >0，∴（x －2y ）（x ＋y ）＝0 ∴x ＝2y∴原式＝65有理数指数幂2－分数指数幂练习 答案1.10092．m 2＋23．21)21(-4．21a5.326．9 57．解 (1)原式＝312112])(·[-xy xy ·21(xy)·(xy )－1 ＝31x 32y ·31|x |61||-y ·21-|x |·21-|y | ＝31x ·31||-x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x >0－1， x <0.(2)原式＝12＋12＋2＋1－22＝22－3. 8．解 原式＝32)827(--＋215001-⎪⎭⎫ ⎝⎛－10·15－2＋1＝32323--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛＋211-(500-）－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679.9．y ＝xx －110.a b11．－2312．解 x ＋y x －y －x －y x ＋y ＝(x ＋y )2x －y －(x －y )2x －y ＝4xy x －y . 将x ＝12，y ＝23代入上式得：原式＝412×2312－23＝413－16＝－2413＝－8 3.。
专题2.函数、指数函数与对数函数-答案
1 / 103.函数函数是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学模型和数学工具，有广泛的实际应用.函数是贯穿中职数学的主线.本单元的学习，可以帮助学生在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，从集合与对应出发，进一步学习和研究函数的概念，深刻理解函数的本质；通过对函数图像与性质的研究，提升直观想象素养；利用函数的基本表示方法、单调性、奇偶性解决实际生活中的问题，体会函数的实际背景和实际应用，提升数学抽象、逻辑思维和数学应用素养.知识点一：函数的概念（.约需3分钟）.内容包括：对应与映射的概念，函数的概念，定义域，函数值的求法. 学习水平一级水平：了解对应与映射的概念，会判断一些简单的对应是否为映射；理解函数的概念，理解函数的定义域、值域、对应法则的概念；能由已知表达式求函数值. 例3.1.1判断下列各图所示对应关系是否函数？解：只要一个x对应唯一的一个y ，就是函数．所以第二个不是，其余两个都是函数．练习：下列三个图象中，能表示 y 是 x 的函数图象的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3解：第一个图象，对给定的x 的值，有两个y 值与之对应，不是函数图象． 综上所述，表示y 是x 的函数的有第一个、第二个，共2个． 故选C ．2 / 10例3.1.2已知函数 321)(-=x x f ，求)1(-f ，)2(f ，)1(+a f .解：513)1(21)1(-=--=-f ；13221)2(=-⨯=f ；1213)1(21)1(-=-+=+a a a f练习：已知函数32)(-=x x f ，求)1(+a f ，)2(a f 。
二级水平：理解函数的三要素，会求函数的定义域，会判断两个函数是否同一函数. 例3.1.3求下列函数的定义域：（1）. 51)(-=x x f ;（2）12)(-=x x g ；（3）12)(-+=x x x h解：（１）．X ≠5；（2）. 21≥x ；（3）.012≥-+x x ；x ≥－2或x>1 . 练习：求下列函数的定义域：（１）．132)(2+-=x x x f （2）．x x x f 212)(2-=例3.1.4指出下列各函数中，哪个与函数y = x 是同一个函数？（1）xx y 2=; （2）2x y =; （3）s =t .解：函数y = x 中：R y R x ∈∈,；s =t 与y=x 是同一个函数. 练习：上例中，哪个与函数y = |x| 是同一个函数？三级水平：会求简单复合函数的定义域及函数值.例3.1.5设函数)(x f 的定义域是（a ，b ）,求函数)1(+x f 的定义域. 解：∵a<x+1<b,∴a-1<x<b-1 练习：知识点二：函数的表示法.约需3学时. 内容包括：函数的解析法、列表法、图像法. 学习水平一级水平：能判断点与图像的关系，会利用“描点法”作简单函数的图像.掌握正比例函数，反比例函数，一次函数等几个常用函数的解析式及图像.3 / 10例3.2.1判断点P （1，1），Q （-1，-3）是否在 f (x) =3x 2 ＋ x －5 的图像上. 解：３＋１－５＝－１，３－１－５＝－３．所以点Ｑ（－１，－３）在f(x)图像上 例3.2.2点A （a ，3）在函数352+-=x x y 上，求a. 解： 3523+-=a a ; 3a+9=2a-5;a=-14例3.2.3反比例函数经过点（4，81-），求解析式. 解：481k =-；k=21-;x y 21-=二级水平：掌握二次函数的图像及性质，能用待定系数法求二次函数的解析式；结合实例理解分段函数的意义，能由分段函数的解析式直接求值.例3.2.4已知一元二次函数的顶点为（6，-12），与x 轴的一个交点为（8，0），求这个函数的解析式. 解：y=a(x －6)2－12；a(8-6)2-12=0；例3.2.5函数 y ＝ax ＋ a 和y ＝ax 2 的图像只可能是（ ）.练习：在图中，函数y=-ax 2与y=ax+b 的图象可能是（ ）A.B. C. D.根据图象判断两函数式中，a 的符号是否相符；A 、由函数y=-ax 2的图象知a ＜0，由函数y=ax+b 的图象知a ＞0，不相符；B 、由函数y=-ax 2的图象知a ＞0，由函数y=ax+b 的图象知a ＜0，不相符；C 、由函数y=-ax 2的图象知a ＞0，由函数y=ax+b 的图象知a ＜0，不相符；D 、由函数y=-ax 2的图象知a ＜0，由函数y=ax+b 的图象知a ＜0，相符． 故选D ．4 / 10例3.2.6设)0(3)0(4{)(≤->+=x x x x x f ，则(1).=)2(f ；(1).=-))3((f f .三级水平:能用适当方法表示生活中的函数关系.例3.2.7文具店内出售某种铅笔，每支售价0.12元,应付款是购买铅笔数的函数,当购买6支以内(含6支)的铅笔时,请用三种方法表示这个函数.例3.2.8国内投寄外埠平信，每封信不超过20克付邮资80分，超过20克而不超过40克付邮资160分，试写出x(0≤x ≤40)克重的信应付的邮资y(分)与x(克)的函数关系，并求函数的定义域，作出函数的图象.知识点三：函数的单调性和奇偶性.约需 4 学时.内容包括：函数单调性、奇偶性的定义，判断函数的单调性和奇偶性；函数单调性、奇偶性的应用. 学习水平一级水平：结合实例理解函数的单调性及奇偶性的定义，能根据函数图像判断函数的单调性和奇偶性. 例 3.3.1 结合下列函数的图像，判断函数的单调性： （1）函数y =2x+3在R 上是 函数；（2）函数y=2x 2 + 4x-3 的单调递增区间是 ，单调减区间是 ； （3）函数xy 1-=在（0，+∞）上是 函数.例 3.3.2 结合下列函数的图像，判断函数的奇偶性： （1） f (x)= x 3 ; （2） f(x)=2x2;（3） f (x)= x+1.二级水平：能利用函数奇偶性定义判断函数的奇偶性，能利用函数奇偶性求 函数值；能根据函数的单调性比较函数值的大小. 例 3.3.3 已知 f (x) =x 5+ bx 3 + cx 且 f(-2)=10，那么 f(2) =.例 3.3.4 已知奇函数 f (x)在(1，5)上单调递减，比较 f (-1), f (-3), f (-5)的大小关系.三级水平：能根据函数单调性定义判断、证明函数的单调性；能解决含有参数的实际问题，能解决有关函数奇偶性、单调性的综合问题.例 3.3.5 已知 f (x)= x 3 + ax + bsin x-1，且 f (4) =3，求 f (-4).5 / 10例 3.3.6 已知函数 f (x) = (m 2－1)x2＋(m －1)x ＋ (n ＋ 2) 为奇函数，则m ＝，n ＝.例 3.3.7 已知函数 f (x)＝ x 2 ＋2(a －1)x ＋2 在区间（－∞，4）上是减函数，求实数a 的取值范围.例 3.3.8 判断函数xx x f 1)(+=在（1，＋∞）上的单调性.例 3.3.9 已知函数为偶函数，在［－1，0］上是增函数，且最大值为5，那么 f (x)在［0，1）］是 函数，最大值是 .知识点四：函数的实际应用举例.约需 2 学时. 内容包括：选择函数模型解决实际问题. 学习水平三级水平：学会将实际问题转化为数学问题，选择适当的函数模型（分段函数、二次函数）刻画实际问题.培养学生的作图及读图的能力.例 3.4.1 某城市供电不足，供电部门规定，每户每月用电不超过 200kW .h ，收费标准为 0.51 元/（kW . h ），当用电超过 200kW . h ，但不超过400kW . h 时，超过的部分按 0.8 元/（kW .h ）收费，当用电超过 400kW . h 时，就停止用电.（1）写出每月用电费 y 元与用电量x 之间的函数解析式，并求函数的定义域； （2）求出 f(150)，f(300)的值； （3）作出函数的图像.例 3.4.2 设 f (x)表示某事物温度随时间的变化规律，有一下函数的关系式 （1）比较第 5 分钟与第 25 分钟时该物体温度值得大小； （2）求在什么时候该物体温度最高？最高温度是多少？例 3.4.3 某商品的进价为每件 50 元，根据市场调查，如果售价为每件50 元时，每天可卖出 400 件；商品的售价每上涨 1 元，则每天少卖10件.设每件商品的定价为x 元（x ≥50，x ∈N ）.（1）求每天销售量与自变量x 的函数关系式； （2）求每天销售量利润与自变量x 的函数关系式；（3）每件商品的售价定为多少时，每天可获得最大利润？最大的日利润是多少元？6 / 105.指数函数与对数函数指数函数与对数函数是基本函数，在科技领域内应用广泛.本单元学习，可以帮助学生理解指数、对数的概念及运算法则和指数函数、对数函数的有关概念，利用图像研究指数函数、对数函数的基本性质，提升数学运算、逻辑思维和直观想象素养；在研究过程中进一步领会研究函数的基本方法，认识指数函数、对数函数在现实生活中的广泛应用，提升数学抽象和数学应用素养.知识点一：有理数指数幂和实数指数幂.约需 3 学时.内容包括：n 次根式、分数指数幂、有理数指数幂的概念，根式、分数指数幂的互化，实数指数幂的运算性质及运用. 学习水平一级水平：能理解分数指数幂、有理数指数幂的概念，会对根式、分数指数幂进行互化，能运用实数指数幂的运算性质进行计算和化简.例 5.1.1 将下列各根式写成分数指数幂.（1）13= （2）431a=例 5.1.2 将下列各分数指数幂写成根式的形式. （1）412= （2）324=例 5.1.3 计算：（1）3227= （2）31256.0=例 5.1.4 化简：（1）33231a a a ∙∙ （2）))((212212b a b a -+ .二级水平：能运用实数指数幂的运算性质进行幂的计算和化简，并能利用幂 的性质解决根式的计算问题. 例 5.1.5 计算： 43411643216∙∙-例 5.1.6 计算：543812793⨯⨯⨯三级水平：能熟练运用根式、指数幂的相关知识进行化简和计算.例 5.1.7 化简：(1).()323233ba b a abb(2). 32238791)2(413⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯7 / 10知识点二：指数函数.约需 3 学时.内容包括：指数函数定义，指数函数图像及性质，指数函数模型及其应用. 学习水平一级水平：理解指数函数定义、图像及性质，能用“描点法”作指数函数图像，能理解 0＜a ＜1 与 a ＞1 两种情况的指数函数图像的总体特征，能结合图像分析并指出基本型指数函数的有关性质（单调性、值域、定点）.例 5.2.1 判断下列指数函数在),(+∞-∞内的单调性：y= 0.7x ; （2）xy ⎪⎭⎫⎝⎛=23例 5.2.2 函数 y=2x 的大致图像是（ ）.二级水平：能作出指数函数简图，能判断指数函数的单调性，并应用指数函数的单调性求函数的定义域和值域，能判断指数增长模型或指数衰减模型、比较同底指数幂的大小关系，能用待定系数法求指数函数解析式.例 5.2.3 求下列函数的定义域：（1）121-=xy ; （2） 273-=xy例 5.2.4 判断下列函数在),(+∞-∞内的单调性：（1）xy -⎪⎭⎫⎝⎛=121 （2） 33x y =例 5.2.5 已知指数函数 f (x) =a x 的图像过点 )94,2( ，求 f (3)的值.8 / 10例 5.2.6 比较大小：(1). 313 1；(2)312 252⎪⎭⎫⎝⎛三级水平：能从实际情境中建立指数函数模型，感受生活中的数学模型，体会数学知识的应用.例 5.2.7 林阳的家长于 2015 年 7 月 1 日存入银行 10000 元人民币，整存整取一年期的年利率为 3.20%，他按照一年期存入，如果每过一年连本带息转存，那么三年后连本带息共有多少元（结果保留两位小数）？例 5.2.8 某种抗生素类药物服药后，每经过 1 小时，药物在体内的剩余量为32，问 4 小时后的剩余量为多少？知识点三：对数.约需 4 学时.内容包括：对数的概念（含常用对数、自然对数）及性质，对数与指数的关系，指数式与对数式的互化，积、商、幂的对数.学习水平一级水平：能熟练完成指数式与对数式的互化，能运用对数性质求值，初步了解积、商、幂对数的公式及简单运用.例 5.3.1 将下列指数式写成对数式：（1）8134= ; (2)10x ＝ y .例 5.3.2 将下列对数式写成指数式：（1）log 10 1000 ＝ 3 ;（2）log 5 625＝4 .例 5.3.3 求下列对数的值：（1）log 5 5;（2）log 8 1 .例 5.3.4 用lgx ， lgy ，lgz 表示下列各式：（1）zxylg ; (2)x lg .二级水平：理解并熟记积商幂的对数公式，能运用公式解决相关计算问题. 例 5.3.5 设x>0，y >0，下列各式中正确的是（ ）.A. ln(x ＋ y) ＝lnx ＋lnyB. ln(xy) ＝lnxlnyC. ln(xy)＝lnx ＋lnyD.yxy x ln ln ln =9 / 10例 5.3.6 计算下列各式的值：（1）21lg 5lg - ; （2）lg125＋lg8.三级水平：能运用积、商、幂的对数运算法则解决综合性计算问题. 例 5.3.7 计算：（1）（lg 2）2＋ lg 20×lg5 ; （2）5.0lg 85lg 125lg +-例 5.3.8 已知log 2 3 = a ，log 2 5＝b ，则59log 2＝（ ）. A. a 2－b B. 2a － b C.ba 2D. b a 2知识点四：对数函数.约需 3 学时.内容包括：对数函数定义，对数函数图像、性质及其应用. 学习水平一级水平：理解对数函数定义、图像及性质，能用“描点法”作对数函数图像，能理解记忆 0＜a ＜1 与 a ＞1 两种情况的对数函数图像的总体特征，能结合图像分析基本型对数函数的有关性质（单调性、值域、定点），会求简单对数函数的定义域.例 5.4.1 作出函数y ＝log 2 x 的简图.例 5.4.2 求下列函数的定义域.（1）y ＝ log 2(x ＋1) ；（2）xy ln 1=.例 5.4.3 函数y ＝ log 3 x 的大致图像是（ ）.10 / 10例 5.4.4 若函数y ＝ log a x 的图像经过点（），则底数a ＝.二级水平：能结合对数函数简图，比较同底对数的大小关系，能求含有对数式的函数的定义域. 例 5.4.5 比较大小：（1）log 2 7与log 2 9; （2）4log 5log 2121与.例 5.4.6 求下列函数的定义域：（1）x y ln =; （2）xy 3log 11-=三级水平：应用对数函数解决实际问题，体会数学知识的应用.例 5.4.7 某钢铁公司今年年产量为a 万吨，计划每年比上一年增产5%，设经过 x 年后产量番一翻，则 x 的值是（ ）. A.(1＋5%)2 B. log 1.05 2 C. alog 1.05 2 D.a2log 05.1例 5.4.8 某地区的森林蓄积量每年比上一年平均增长 8%，要增长到原来的x 倍，需要经过y 年，则函数y ＝ f(x)的图像大致为（ ）.。
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 同步练习(人教A版必修一)(解析版).
4.1.2无理数指数幂及其运算性质（用时45分钟）【选题明细表】知识点、方法题号根式与指数幂的互化3,6指数幂运算性质1,2,4,5,8,9条件求值7,10,11,12基础巩固1．化简的结果()A．6a B．a -C．9a -D．29a 【答案】C【解析】2115211115113366326236221()(3)((9)93a b a b a b a b a +---÷=-=-,故选C.2．已知0a >，则1111222222()()a a a a --+--=（）A．2244a a -+B．4C．2244a a --D．4-【答案】B【解析】因为2211111122222(2)4a a a a a a a a ----⎛⎫⎛⎫+--=++-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B.）A.5 B.5 C.−5 D.﹣5【答案】B=534=52×14=512=5,故选B4．设2x ＝8y＋1，9y ＝3x－9，则x＋y 的值为()A.18B.21C.24D.27【答案】D【解析】因为2x ＝8y＋1＝23(y＋1)，所以x＝3y＋3，因为9y ＝3x－9＝32y ，所以x－9＝2y，解得x＝21，y＝6，所以x＋y＝27.所以本题选D.5．计算：21031(8(2019)2-++=（）A．6B．7C．8D．32【答案】B 【解析】()120318201924172-⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭故选：B.=______．【答案】8()1344322=8⎡⎤==⎢⎥⎣⎦．故答案为：8．7．已知17a a +=，则22a a -+=______．【答案】47【解析】222117247a a a a a a -+=∴+=+-=，（）.8．01163471.586-⎛⎫⨯-+- ⎪⎝⎭=_____________.【答案】110【解析】由幂的运算法则及根式意义可知，01163471.586-⎛⎫⨯-+⨯- ⎪⎝⎭111131-233333443222=+22+23-=24272333（）（）（）（）⨯⨯++⨯-110=，故填110.能力提升9．121121332a b a b ---⎛⎫ ⎪=_____．【答案】1a【解析】1211212133211111551151323322366221661515156666661a a b a b a b a b a b a a a a b a b a b ---⎛⎫⨯---+-- ⎪⎝⎭--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅======⋅⋅⋅本题正确结果：1a10．已知x α+x −α=25，x 1， ，则x α−x −α=________．【答案】-4.【解析】由x α+x −α=25，则(x α+x −α)2=x 2α+x −2α+2=2 ，解得x 2α+x −2α=18，又由(x α−x −α)2=x 2α+x −2α−2=18−2=16因为x 1, ，根据幂函数的单调性，可得x α x −α，即x α−x −α ，所以x α−x −α=−4，故答案为：−4．11．求值：（1）220.53327491()()(0.008)8925---+⨯；()2已知13(0)a a a -+=>，求112222aa a a --++．【答案】（1）89-；（2）7．【解析】（1）原式=21232384910001279825⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭471178251932599=-+⨯=-+=-；()123(0)a a a -+=>，112122()25a a a a --∴+=++=，1122a a -+=2212()27a a a a --+=+-=，1122227a a a a --+∴=+．素养达成12．0.50934-++（﹣﹣()2设0a >；()3若1122x x -+=12212x x x x --+-+-的值．【答案】(1)43π+;(2)116 a -;(3)1 4.【解析】()1原式241133ππ=++-+=+；()2原式4111326223a a a a a --⋅==⋅；()3若1122x x -+=则14x x -+=，2214x x -+=，故122141121424x x x x --+--==+--．。
指数、对数、幂基础练习(含答案)
分数指数幂1、用根式的形式表示下列各式)0(>a （1）51a=（2）32a-=2、用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）34y x = （2）)0(2>=m mm3、求下列各式的值（1）2325= （2）32254-⎛⎫⎪⎝⎭=4、解下列方程 （1）1318x - = （2）151243=-x指数函数1、下列函数是指数函数的是 （ 填序号） （1）xy 4= （2）4x y = （3）xy )4(-= （4）24x y =。
2、函数)1,0(12≠>=-a a ay x 的图象必过定点 。
3、若指数函数xa y )12(+=在R 上是增函数，求实数a 的取值范围 。
4、如果指数函数xa x f )1()(-=是R 上的单调减函数，那么a 取值范围是 （ ） A 、2<a B 、2>a C 、21<<a D 、10<<a5、下列关系中，正确的是 （ ）A 、5131)21()21(>B 、2.01.022>C 、2.01.022-->D 、115311()()22- - >6、比较下列各组数大小：（1）0.53.1 2.33.1 （2）0.323-⎛⎫⎪⎝⎭0.2423-⎛⎫⎪⎝⎭（3） 2.52.3- 0.10.2-7、函数xx f 10)(=在区间[1-，2]上的最大值为 ，最小值为 。
函数xx f 1.0)(=在区间[1-，2]上的最大值为 ，最小值为 。
8、求满足下列条件的实数x 的范围：（1）82>x （2）2.05<x 9、已知下列不等式，试比较n m ,的大小：（1）n m 22< （2）n m 2.02.0< （3）)10(<<<a a an m10、若指数函数)1,0(≠>=a a a y x的图象经过点)2,1(-，求该函数的表达式并指出它的定义域、值域和单调区间。
初中数学幂的运算专题讲解及典型题练习(含答案)
n n a a a a a ⋅⋅⋅=个，“a 的n 次幂”或读作乘方是一种运算，是一种特殊的乘法运算（因数相同的乘法运算），幂是乘方运算一个数可以看作是这个数本身的一次方，例如．有理数幂的符号法则1120082007222222222⨯⨯⋅⋅⋅⨯=⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=个个利用乘法交换律和结合律，把2007个2与12结合在一起相乘，利用互为倒数即可求出数2008)20072008122=⨯（） 1111()m b ab =习，最好能达到一看题目就可以得出结果的程度．【借题发挥】计算：20105(⨯-【解析】20105⨯553333(3⋅⋅⋅=⨯个34444444(4⋅⋅⋅=⨯个3355555(55⋅⋅⋅=⨯个256243125>>,55335>．解法二： 1.001>又10.019.998⨯∴9.99810【方法总结】11⨯=1.0011010.012．计算：20102010201020104(0.25)(1)1-+-+= ．【答案】原式＝201020102010201014()(1)111114-+-+=-++=． 3．若21(2)0a b ++-=，则20102009()a b a ++= ．【答案】由题意知1020a b +=⎧⎨-=⎩ 得12a b =-⎧⎨=⎩，代入原式可求结果为：0．4．如果214,,2x y ==那么222x y -的值为 ． 【答案】222112243122x y -=⨯-=． 5．现有一根长为1米的木条，第一次截去一半，第二次截去剩下的一半，照此截下去，那么六次后剩下的木条为 米．【答案】第一次截后剩下12米，第二次后剩下21142⎛⎫= ⎪⎝⎭米，第三次后剩下312⎛⎫ ⎪⎝⎭米，由此推下去，第n 次后剩下12n ⎛⎫ ⎪⎝⎭米．所以六次后剩下的木条为611264⎛⎫= ⎪⎝⎭（米）． 6．计算：（1）321()(1)33-÷-； （2）232(3)-⨯-； （3）32221(0.2)(1).3(0.3)-⨯÷- 【答案】（1）29；（2）108；（3）0.002-． 7．（1）451132131511÷⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯. （2）()1452515213⨯-÷+-. （3）()3432322⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-÷-. （4）()()()3428102-⨯---÷+-. （5）()[]2345.0813231325.01-----⨯÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---. （6）()54436183242113÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-. 【答案】（1）225- （2）347- （3）11116 （4）20- （5）1114 （6）7224- 8．利用乘方的有关知识确定20076的末两位数字．【答案】9．已知“三角”表示运算“a b c -+”，“正方形”表示的运算是“d f g e -+-” ，试计算的值．【答案】原式＝()()()199649551996281474116-+⨯-+-=-⨯=-．。
高中数学第三章Ⅰ3.1指数与指数函数3.1.1有理指数幂及其运算同步训练新人教B版必修3
3)(3
3)] 2 62 36 3
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5.(探究题 )若 S=(1+ 2 32 )(1+ 2 16 )(1+ 2 8 )(1+ 2 4 )(1+ 2 2 ),那么 S 等于 ( )
1
1 A. (1
2 32 ) 1
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1
B. (1 2 32 ) 1
1
C.1 2 32
答案： A 解析： 原式
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6.设α、β是方程2x2+3x+1=0 的两个根 ,则 2α· 2β=____________.
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
2
答案：
4
解析： 由韦达定理 ,得α+ β=
3
.
2
3
2α·2β=2 α+ β= 2 2
1
2
.
23 4
7.化简 (1+ 2 )-1+( 2 + 3 )-1+( 3 +2) -1+ … +( n + n 1 )-1 的结果是 _____________.
21 1
1 12
25
解：(1)原式 = (3a 3b 2 c 3 ) ? ( 6a 2b 3 c 3 ) (9a 3b 3 c)
1 32
2 6 a2b 2c 3 9
132
4 a2b 2c 3. 3
(2)原式 =
1
1
1
1
x 3 (
1
2y3 )
x 3[( x 3 )2 ( 2y 3 )3 ]
指数函数和对数函数练习题
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载指数函数和对数函数练习题地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容第三章指数函数和对数函数§1正整数指数函数§2指数扩充及其运算性质1．正整数指数函数函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作________指数函数；形如y＝kax(k∈R，a>0，且a≠1)的函数称为________函数．2．分数指数幂(1)分数指数幂的定义：给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bn＝am，我们把b叫作a的 eq \f(m,n) 次幂，记作b＝；(2)正分数指数幂写成根式形式：＝ eq \r(n,am) (a>0)；(3)规定正数的负分数指数幂的意义是：＝__________________(a>0，m、n∈N＋，且n>1)；(4)0的正分数指数幂等于____，0的负分数指数幂__________．3．有理数指数幂的运算性质(1)aman＝________(a>0)；(2)(am)n＝________(a>0)；(3)(ab)n＝________(a>0，b>0)．一、选择题1．下列说法中：①16的4次方根是2；② eq \r(4,16) 的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时， eq \r(n,a) 对任意a∈R都有意义；④当n 为大于1的偶数时， eq \r(n,a) 只有当a≥0时才有意义．其中正确的是( )A．①③④ B．②③④ C．②③ D．③④2．若2<a<3，化简 eq \r(2－a2) ＋ eq \r(4,3－a4) 的结果是( )A．5－2a B．2a－5 C．1 D．－13．在(－ eq \f(1,2) )－1、、、2－1中，最大的是( )A．(－ eq \f(1,2) )－1 B． C． D．2－14．化简 eq \r(3,a\r(a)) 的结果是( )A．a B． C．a2 D．5．下列各式成立的是( )A. eq \r(3,m2＋n2) ＝ B．( eq \f(b,a) )2＝C. eq \r(6,－32) ＝D. eq \r(\r(3,4)) ＝6．下列结论中，正确的个数是( )①当a<0时，＝a3；② eq \r(n,an) ＝|a|(n>0)；③函数y＝－(3x－7)0的定义域是(2，＋∞)；④若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝1.A．0 B．1C．2 D．3二、填空题7. eq \r(6\f(1,4)) － eq \r(3,3\f(3,8)) ＋ eq \r(3,0.125) 的值为________．8．若a>0，且ax＝3，ay＝5，则＝________.9．若x>0，则(2＋)(2－)－4·(x－)＝________.三、解答题10．(1)化简： eq \r(3,xy2·\r(xy－1)) · eq \r(xy) ·(xy)－1(xy≠0)；(2)计算：＋ eq \f(－40,\r(2)) ＋ eq \f(1,\r(2)－1) － eq \r(1－\r(5)0) ·.11．设－3<x<3，求 eq \r(x2－2x＋1) － eq \r(x2＋6x＋9) 的值．12．化简：÷(1－2 eq \r(3,\f(b,a)) )× eq \r(3,a) .13．若x>0，y>0，且x－ eq \r(xy) －2y＝0，求 eq \f(2x－\r(xy),y ＋2\r(xy)) 的值．§3指数函数(一)1．指数函数的概念一般地，________________叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是____．2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图像和性质一、选择题1．下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是( )A．y＝(－4)x B．y＝πxC．y＝－4x D．y＝ax＋2(a>0且a≠1) 2．函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有( )A．a＝1或a＝2 B．a＝1C．a＝2 D．a>0且a≠13．函数y＝a|x|(a>1)的图像是( )4．已知f(x)为R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝3x，那么f(2)的值为( )A．－9 B. eq \f(1,9)C．－ eq \f(1,9) D．95．如图是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图像，则a、b、c、d与1的大小关系是( )A．a<b<1<c<dB．b<a<1<d<cC．1<a<b<c<dD．a<b<1<d<c6．函数y＝( eq \f(1,2) )x－2的图像必过( )A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限二、填空题7．函数f(x)＝ax的图像经过点(2,4)，则f(－3)的值为________．8．若函数y＝ax－(b－1)(a>0，a≠1)的图像不经过第二象限，则a，b必满足条件________．9．函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是________．三、解答题10．比较下列各组数中两个值的大小：(1)0.2－1.5和0.2－1.7；(2)和；(3)2－1.5和30.2.11．2000年10月18日，美国某城市的日报以醒目标题刊登了一条消息：“市政委员会今天宣布：本市垃圾的体积达到50 000 m3”，副标题是：“垃圾的体积每三年增加一倍”．如果把3年作为垃圾体积加倍的周期，请你根据下面关于垃圾的体积V(m3)与垃圾体积的加倍的周期(3年)数n的关系的表格，回答下列问题．(1)设想城市垃圾的体积每3年继续加倍，问24年后该市垃圾的体积是多少？(2)根据报纸所述的信息，你估计3年前垃圾的体积是多少？(3)如果n＝－2，这时的n，V表示什么信息？(4)写出n与V的函数关系式，并画出函数图像(横轴取n轴)．(5)曲线可能与横轴相交吗？为什么？能力提升12．定义运算a⊕b＝ eq \b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a a≤b,b a>b)) ，则函数f(x)＝1⊕2x的图像是( )13．定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足对任意的实数x，y都有f(xy)＝yf(x)．(1)求f(1)的值；(2)若f( eq \f(1,2) )>0，解不等式f(ax)>0.(其中字母a为常数)．§3指数函数(二)1．下列一定是指数函数的是( )A．y＝－3x B．y＝xx(x>0，且x≠1)C．y＝(a－2)x(a>3) D．y＝(1－ eq \r(2) )x 2．指数函数y＝ax与y＝bx的图像如图，则( )A．a<0，b<0 B．a<0，b>0C．0<a<1，b>1 D．0<a<1,0<b<13．函数y＝πx的值域是( )A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．R D．(－∞，0)4．若( eq \f(1,2) )2a＋1<( eq \f(1,2) )3－2a，则实数a的取值范围是( )A．(1，＋∞) B．( eq \f(1,2) ，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞， eq \f(1,2) ) 5．设 eq \f(1,3) <( eq \f(1,3) )b<( eq \f(1,3) )a<1，则( ) A．aa<ab<ba B．aa<ba<abC．ab<aa<ba D．ab<ba<aa6．若指数函数f(x)＝(a＋1)x是R上的减函数，那么a的取值范围为( )A．a<2 B．a>2C．－1<a<0 D．0<a<1一、选择题1．设P＝{y|y＝x2，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则( )A．QP B．QPC．P∩Q＝{2,4} D．P∩Q＝{(2,4)}2．函数y＝ eq \r(16－4x) 的值域是( )A．[0，＋∞) B．[0,4] C．[0,4) D．(0,4)3．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是( )A．6 B．1 C．3 D. eq\f(3,2)4．若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则( ) A．f(x)与g(x)均为偶函数 B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C．f(x)与g(x)均为奇函数 D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数5．函数y＝f(x)的图像与函数g(x)＝ex＋2的图像关于原点对称，则f(x)的表达式为( )A．f(x)＝－ex－2 B．f(x)＝－e－x＋2C．f(x)＝－e－x－2 D．f(x)＝e－x＋26．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c三个数的大小关系是( )A．c<a<b B．c<b<aC．a<b<c D．b<a<c二、填空题7．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．8．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－ eq \f(1,2) 的解集是________________．9．函数y＝的单调递增区间是________．三、解答题10．(1)设f(x)＝2u，u＝g(x)，g(x)是R上的单调增函数，试判断f(x)的单调性；(2)求函数y＝的单调区间．11．函数f(x)＝4x－2x＋1＋3的定义域为[－ eq \f(1,2) ， eq\f(1,2) ]．(1)设t＝2x，求t的取值范围；(2)求函数f(x)的值域．能力提升12．函数y＝2x－x2的图像大致是( )13．已知函数f(x)＝ eq \f(2x－1,2x＋1) .(1)求f[f(0)＋4]的值；(2)求证：f(x)在R上是增函数；(3)解不等式：0<f(x－2)< eq \f(15,17) .习题课1．下列函数中，指数函数的个数是( )①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3.A．0 B．1 C．2 D．32．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)等于( )A．－3 B．－1 C．1 D．33．对于每一个实数x，f(x)是y＝2x与y＝－x＋1这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值是( )A．1 B．0C．－1 D．无最大值4．将 eq \r(2\r(2)) 化成指数式为________．5．已知a＝40.2，b＝80.1，c＝( eq \f(1,2) )－0.5，则a，b，c的大小顺序为________．6．已知＋＝3，求x＋ eq \f(1,x) 的值．一、选择题1．的值为( )A. eq \r(2) B．－ eq \r(2) C. eq\f(\r(2),2) D．－ eq \f(\r(2),2)2．化简 eq \r(3,a－b3) ＋ eq \r(a－2b2) 的结果是( ) A．3b－2a B．2a－3bC．b或2a－3b D．b3．若0<x<1，则2x，( eq \f(1,2) )x，(0.2)x之间的大小关系是( ) A．2x<(0.2)x<( eq \f(1,2) )x B．2x<( eq\f(1,2) )x<(0.2)xC．( eq \f(1,2) )x<(0.2)x<2xD．(0.2)x<( eq \f(1,2) )x<2x4．若函数则f(－3)的值为( )A. eq \f(1,8)B. eq\f(1,2)C．2 D．85．函数f(x)＝ax－b的图像如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是( )A．a>1，b>0B．a>1，b<0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<06．函数f(x)＝ eq \f(4x＋1,2x) 的图像( )A．关于原点对称B．关于直线y＝x对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称二、填空题7．计算：－(－ eq \f(1,4) )0＋160.75＋＝________________.8．已知10m＝4,10n＝9，则＝________.9．函数y＝1－3x(x∈[－1,2])的值域是________．三、解答题10．比较下列各组中两个数的大小：(1)0.63.5和0.63.7；(2)( eq \r(2) )－1.2和( eq \r(2) )－1.4；(3)和；(4)π－2和( eq \f(1,3) )－1.311．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大 eq \f(a,2) ，求a的值．能力提升12．已知f(x)＝ eq \f(a,a2－1) (ax－a－x)(a>0且a≠1)，讨论f(x)的单调性．13．根据函数y＝|2x－1|的图像，判断当实数m为何值时，方程|2x－1|＝m无解？有一解？有两解？§4对数(一)1．对数的概念如果ab＝N(a>0，且a≠1)，那么数b叫做______________，记作__________，其中a叫做__________，N叫做________．2．常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做__________，以e为底的对数叫做__________，log10N可简记为________，logeN简记为________．3．对数与指数的关系若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝____.对数恒等式：＝____；logaax＝____(a>0，且a≠1)．4．对数的性质(1)1的对数为____；(2)底的对数为____；(3)零和负数________．一、选择题1．有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e为底的对数叫做自然对数．其中正确命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．42．有以下四个结论：①lg(lg10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝100；④若e＝ln x，则x＝e2.其中正确的是( )A．①③ B．②④C．①② D．③④3．在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是( )A．a>5或a<2 B．2<a<5 C．2<a<3或3<a<5 D．3<a<44．方程＝ eq \f(1,4) 的解是( )A．x＝ eq \f(1,9) B．x＝ eq\f(\r(3),3)C．x＝ eq \r(3) D．x＝95．若loga eq \r(5,b) ＝c，则下列关系式中正确的是( )A．b＝a5c B．b5＝acC．b＝5ac D．b＝c5a6．的值为( )A．6 B. eq \f(7,2)C．8 D. eq \f(3,7)二、填空题7．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么＝________.8．若log2(logx9)＝1，则x＝________.9．已知lg a＝2.431 0，lg b＝1.431 0，则 eq \f(b,a) ＝________.三、解答题10．(1)将下列指数式写成对数式：①10－3＝ eq \f(1,1 000) ；②0.53＝0.125；③( eq \r(2) －1)－1＝ eq \r(2) ＋1.(2)将下列对数式写成指数式：①log26＝2.585 0；②log30.8＝－0.203 1；③lg 3＝0.477 1.11．已知logax＝4，logay＝5，求A＝的值．能力提升12．若loga3＝m，loga5＝n，则a2m＋n的值是( )A．15 B．75C．45 D．22513．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x的值：①log2x＝－ eq \f(2,5) ；②logx3＝－ eq \f(1,3) .(2)已知6a＝8，试用a表示下列各式：①log68；②log62；③log26.§4对数(二)1．对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，则：(1)loga(MN)＝________________；(2)loga eq \f(M,N) ＝________；(3)logaMn＝__________(n∈R)．2．对数换底公式logbN＝ eq \f(logaN,logab) (a，b>0，a，b≠1，N>0)；特别地：logab·logba＝____(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．一、选择题1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)( )A．logax·logay＝loga(x＋y) B．(logax)n＝nlogaxC. eq \f(logax,n) ＝loga eq \r(n,x)D. eq \f(logax,logay) ＝logax－logay2．计算：log916·log881的值为( )A．18 B. eq \f(1,18) C. eq \f(8,3) D. eq \f(3,8)3．若log5 eq \f(1,3) ·log36·log6x＝2，则x等于( )A．9 B. eq \f(1,9) C．25D. eq \f(1,25)4．已知3a＝5b＝A，若 eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) ＝2，则A等于( )A．15 B. eq \r(15) C．± eq \r(15)D．2255．已知log89＝a，log25＝b，则lg 3等于( )A. eq \f(a,b－1)B. eq \f(3,2b－1)C. eq\f(3a,2b＋1) D. eq \f(3a－1,2b)6．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则(lg eq\f(a,b) )2的值等于( )A．2 B. eq \f(1,2) C．4 D. eq\f(1,4)二、填空题7．2log510＋log50.25＋( eq \r(3,25) － eq \r(125) )÷ eq\r(4,25) ＝______________.8．(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________.9．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M＝ eq \f(2,3) lg E－3.2，其中E(焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹．三、解答题10．(1)计算：lg eq \f(1,2) －lg eq \f(5,8) ＋lg 12.5－log89·log34；(2)已知3a＝4b＝36，求 eq \f(2,a) ＋ eq \f(1,b) 的值．11．若a、b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．能力提升12．下列给出了x与10x的七组近似对应值：假设在上表的各组对应值中，有且仅有一组是错误的，它是第________组．( )A．二 B．四C．五 D．七13．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年的剩余质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的 eq \f(1,3) ？(结果保留1位有效数字)(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)§5对数函数(一)1．对数函数的定义：一般地，我们把______________________________叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是________．________为常用对数函数；y＝________为自然对数函数.2．对数函数的图像与性质3.反函数对数函数y＝logax(a>0且a≠1)和指数函数____________________互为反函数．一、选择题1．函数y＝ eq \r(log2x－2) 的定义域是( )A．(3，＋∞) B．[3，＋∞) C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)2．设集合M＝{y|y＝( eq \f(1,2) )x，x∈[0，＋∞)}，N＝{y|y＝log2x，x∈(0,1]}，则集合M∪N是( )A．(－∞，0)∪[1，＋∞) B．[0，＋∞)C．(－∞，1] D．(－∞，0)∪(0,1)3．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若f(α)＝1，则α等于( )A．0 B．1 C．2 D．3 4．函数f(x)＝|log3x|的图像是( )5．已知对数函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)，且过点(9,2)，f(x)的反函数记为y＝g(x)，则g(x)的解析式是( )A．g(x)＝4x B．g(x)＝2x C．g(x)＝9x D．g(x)＝3x6．若loga eq \f(2,3) <1，则a的取值范围是( )A．(0， eq \f(2,3) ) B．( eq \f(2,3) ，＋∞) C．( eq \f(2,3) ，1) D．(0， eq \f(2,3) )∪(1，＋∞)二、填空题7．如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增减性相同，则a的取值范围是________．8．已知函数y＝loga(x－3)－1的图像恒过定点P，则点P的坐标是________．9．给出函数，则f(log23)＝________.三、解答题10．求下列函数的定义域与值域：(1)y＝log2(x－2)；(2)y＝log4(x2＋8)．11．已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，(a>0，且a≠1)．(1)设a＝2，函数f(x)的定义域为[3,63]，求函数f(x)的最值．(2)求使f(x)－g(x)>0的x的取值范围．能力提升12．已知图中曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝x，y＝x，y＝x，y＝x 的图像，则a1，a2，a3，a4的大小关系是( )A．a4<a3<a2<a1 B．a3<a4<a1<a2 C．a2<a1<a3<a4D．a3<a4<a2<a113．若不等式x2－logmx<0在(0， eq \f(1,2) )内恒成立，求实数m的取值范围．§5对数函数(二)1．函数y＝logax的图像如图所示，则实数a的可能取值是( )A．5 B. eq \f(1,5)C. eq \f(1,e)D. eq \f(1,2)2．下列各组函数中，表示同一函数的是( )A．y＝ eq \r(x2) 和y＝( eq \r(x) )2B．|y|＝|x|和y3＝x3C．y＝logax2和y＝2logaxD．y＝x和y＝logaax3．若函数y＝f(x)的定义域是[2,4]，则y＝f(x)的定义域是( )A．[ eq \f(1,2) ，1] B．[4,16]C．[ eq \f(1,16) ， eq \f(1,4) ] D．[2,4]4．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)5．函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0且a≠1)的图像经过(－1,0)和(0,1)两点，则f(2)＝________.6．函数y＝loga(x－2)＋1(a>0且a≠1)恒过定点________________________________________________________________________．一、选择题1．设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则( )A．a<c<b B．b<c<aC．a<b<c D．b<a<c2．已知函数y＝f(2x)的定义域为[－1,1]，则函数y＝f(log2x)的定义域为( )A．[－1,1] B．[ eq \f(1,2) ，2]C．[1,2] D．[ eq \r(2) ，4]3．函数f(x)＝loga|x|(a>0且a≠1)且f(8)＝3，则有( )A．f(2)>f(－2) B．f(1)>f(2)C．f(－3)>f(－2) D．f(－3)>f(－4)4．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为( )A. eq \f(1,4)B. eq \f(1,2) C．2 D．45．已知函数f(x)＝lg eq \f(1－x,1＋x) ，若f(a)＝b，则f(－a)等于( )A．b B．－bC. eq \f(1,b) D．－ eq \f(1,b)6．函数y＝3x(－1≤x<0)的反函数是( )A．y＝x(x>0) B．y＝log3x(x>0)C．y＝log3x( eq \f(1,3) ≤x<1) D．y＝x( eq\f(1,3) ≤x<1)二、填空题7．函数f(x)＝lg(2x－b)，若x≥1时，f(x)≥0恒成立，则b应满足的条件是________．8．函数y＝logax当x>2时恒有|y|>1，则a的取值范围是________．9．若loga2<2，则实数a的取值范围是______________．三、解答题10．已知f(x)＝loga(3－ax)在x∈[0,2]上单调递减，求a的取值范围．11．已知函数f(x)＝ eq \f(1－ax,x－1) 的图像关于原点对称，其中a 为常数．(1)求a的值；(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋(x－1)<m恒成立．求实数m的取值范围．能力提升12．若函数f(x)＝loga(x2－ax＋ eq \f(1,2) )有最小值，则实数a的取值范围是( )A．(0,1) B．(0,1)∪(1， eq \r(2) ) C．(1， eq \r(2) ) D．[ eq \r(2) ，＋∞)13．已知logm4<logn4，比较m与n的大小．习题课1．已知m＝0.95.1，n＝5.10.9，p＝log0.95.1，则这三个数的大小关系是( )A．m<n<p B．m<p<nC．p<m<n D．p<n<m2．已知0<a<1，logam<logan<0，则( )A．1<n<m B．1<m<n C．m<n<1 D．n<m<13．函数y＝ eq \r(x－1) ＋ eq \f(1,lg2－x) 的定义域是( ) A．(1,2) B．[1,4]C．[1,2) D．(1,2]4．给定函数①y＝，②y＝(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )A．①② B．②③ C．③④ D．①④5．设函数f(x)＝loga|x|，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是________________．6．若log32＝a，则log38－2log36＝________.一、选择题1．下列不等号连接错误的一组是( )A．log0.52.7>log0.52.8 B．log34>log65 C．log34>log56 D．logπe>logeπ2．若log37·log29·log49m＝log4 eq \f(1,2) ，则m等于( )A. eq \f(1,4)B. eq \f(\r(2),2)C. eq \r(2) D．43．设函数若f(3)＝2，f(－2)＝0，则b等于( )A．0 B．－1 C．1 D．24．若函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a>0，a≠1)在区间(0， eq \f(1,2) )内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为( )A．(－∞，－ eq \f(1,4) ) B．(－ eq \f(1,4) ，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－∞，－ eq \f(1,2) )5．若函数若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)6．已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f( eq \f(1,3) )＝0，则不等式f(x)<0的解集为( )A．(0， eq \f(1,2) ) B．( eq\f(1,2) ，＋∞)C．( eq \f(1,2) ，1)∪(2，＋∞) D．(0， eq\f(1,2) )∪(2，＋∞)二、填空题7．已知loga(ab)＝ eq \f(1,p) ，则logab eq \f(a,b) ＝________.8．若log236＝a，log210＝b，则log215＝________.9．设函数若f(a)＝ eq \f(1,8) ，则f(a＋6)＝________.三、解答题10．已知集合A＝{x|x<－2或x>3}，B＝{x|log4(x＋a)<1}，若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．11．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg 2≈0.301 0)能力提升12．设a>0，a≠1，函数f(x)＝loga(x2－2x＋3)有最小值，求不等式loga(x－1)>0的解集．13．已知函数f(x)＝loga(1＋x)，其中a>1.(1)比较 eq \f(1,2) [f(0)＋f(1)]与f( eq \f(1,2) )的大小；(2)探索 eq \f(1,2) [f(x1－1)＋f(x2－1)]≤f( eq \f(x1＋x2,2) －1)对任意x1>0，x2>0恒成立．§6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较1．当a>1时，指数函数y＝ax是________，并且当a越大时，其函数值增长越____．2．当a>1时，对数函数y＝logax(x>0)是________，并且当a越小时，其函数值________．3．当x>0，n>1时，幂函数y＝xn是________，并且当x>1时，n越大，其函数值__________．一、选择题1．今有一组数据如下：现准备了如下四个答案，哪个函数最接近这组数据( )A．v＝log2t B．v＝t C．v＝ eq \f(t2－1,2) D．v＝2t－22．从山顶到山下的招待所的距离为20千米．某人从山顶以4千米/时的速度到山下的招待所，他与招待所的距离s(千米)与时间t(小时)的函数关系用图像表示为( )3．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )A．一次函数 B．二次函数 C．指数型函数 D．对数型函数4．某自行车存车处在某天的存车量为4 000辆次，存车费为：变速车0.3元/辆次，普通车0.2元/辆次．若当天普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式为( )A．y＝0.2x(0≤x≤4 000) B．y＝0.5x(0≤x≤4 000)C．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) D．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4000)5．已知f(x)＝x2－bx＋c且f(0)＝3，f(1＋x)＝f(1－x)，则有( )A．f(bx)≥f(cx) B．f(bx)≤f(cx) C．f(bx)<f(cx)D．f(bx)，f(cx)大小不定6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为l1＝5.06x－0.15x2和l2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则可能获得的最大利润是( )A．45.606 B．45.6 C．45.56 D．45.51二、填空题7．一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过________分钟，该病毒占据64MB内存(1MB＝210KB)．8．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子几乎没有变化，但价格却上涨了，小张在2010年以80万元的价格购得一套新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2020年，这所房子的价格y(万元)与价格年膨胀率x之间的函数关系式是________．三、解答题9．用模型f(x)＝ax＋b来描述某企业每季度的利润f(x)(亿元)和生产成本投入x(亿元)的关系．统计表明，当每季度投入1(亿元)时利润y1＝1(亿元)，当每季度投入2(亿元)时利润y2＝2(亿元)，当每季度投入3(亿元)时利润y3＝2(亿元)．又定义：当f(x)使[f(1)－y1]2＋[f(2)－y2]2＋[f(3)－y3]2的数值最小时为最佳模型．(1)当b＝ eq \f(2,3) ，求相应的a使f(x)＝ax＋b成为最佳模型；(2)根据题(1)得到的最佳模型，请预测每季度投入4(亿元)时利润y4(亿元)的值．10．根据市场调查，某种商品在最近的40天内的价格f(t)与时间t满足关系f(t)＝，销售量g(t)与时间t满足关系g(t)＝－ eq \f(1,3) t＋ eq\f(43,3) (0≤t≤40，t∈N)．求这种商品的日销售额(销售量与价格之积)的最大值．11．某商品在近30天内每件的销售价格p(元)与时间t(天)的函数关系是p＝该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系式为Q＝－t＋40(0<t≤30，t∈N)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？能力提升12．某种商品进价每个80元，零售价每个100元，为了促销拟采取买一个这种商品，赠送一个小礼品的办法，实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值为(n＋1)元时，比礼品价值为n元(n∈N＋)时的销售量增加10%.(1)写出礼品价值为n元时，利润yn(元)与n的函数关系式；(2)请你设计礼品价值，以使商店获得最大利润．13．已知桶1与桶2通过水管相连如图所示，开始时桶1中有a L水，t min后剩余的水符合指数衰减函数y1＝ae－nt，那么桶2中的水就是y2＝a－ae－nt，假定5 min后，桶1中的水与桶2中的水相等，那么再过多长时间桶1中的水只有 eq \f(a,4) L?第三章章末检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知函数f(x)＝lg(4－x)的定义域为M，函数g(x)＝ eq \r(0.5x－4) 的值域为N，则M∩N等于( )A．M B．NC．[0,4) D．[0，＋∞)2．函数y＝3|x|－1的定义域为[－1,2]，则函数的值域为( )A．[2,8] B．[0,8]C．[1,8] D．[－1,8]3．已知f(3x)＝log2 eq \r(\f(9x＋1,2)) ，则f(1)的值为( )A．1 B．2 C．－1 D. eq\f(1,2)4．等于( )A．7 B．10 C．6 D. eq\f(9,2)5．若100a＝5,10b＝2，则2a＋b等于( )A．0 B．1C．2 D．36．比较、23.1、的大小关系是( )A．23.1<< B．<23.1<C．<<23.1 D．<<23.17．式子 eq \f(log89,log23) 的值为( )A. eq \f(2,3)B. eq \f(3,2)C．2 D．38．已知ab>0，下面四个等式中：①lg(ab)＝lg a＋lg b；②lg eq \f(a,b) ＝lg a－lg b；③ eq \f(1,2) lg( eq \f(a,b) )2＝lg eq \f(a,b) ；④lg(ab)＝ eq \f(1,logab10) .其中正确的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．39．为了得到函数y＝lg eq \f(x＋3,10) 的图像，只需把函数y＝lg x 的图像上所有的点( )A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度10．函数y＝2x与y＝x2的图像的交点个数是( )A．0 B．1C．2 D．311．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}等于( ) A．{x|x<－2或x>4} B．{x|x<0或x>4}C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<－2或x>2}12．函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是( )A．f(－4)>f(1) B．f(－4)＝f(1)C．f(－4)<f(1) D．不能确定二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x，x≥4f x＋1， x<4)) ，则f(2＋log23)的值为______．14．函数f(x)＝loga eq \f(3－x,3＋x) (a>0且a≠1)，f(2)＝3，则f(－2)的值为________．15．函数y＝(x2－3x＋2)的单调递增区间为______________．16．设0≤x≤2，则函数y＝－3·2x＋5的最大值是________，最小值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)．(1)求f(x)的反函数g(x)的解析式；(2)解不等式：g(x)≤loga(2－3x)．18．(12分)已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.(1)当a＝1时，求函数f(x)在x∈[－3,0]的值域；(2)若关于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范围．19．(12分)已知x>1且x≠ eq \f(4,3) ，f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，试比较f(x)与g(x)的大小．20．(12分)设函数f(x)＝log2(4x)·log2(2x)， eq \f(1,4) ≤x≤4，(1)若t＝log2x，求t的取值范围；(2)求f(x)的最值，并写出最值时对应的x的值．21．(12分)已知f(x)＝loga eq \f(1＋x,1－x) (a>0，a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)求使f(x)>0的x的取值范围．22．(12分)已知定义域为R的函数f(x)＝ eq \f(－2x＋b,2x＋1＋2) 是奇函数．(1)求b的值；(2)判断函数f(x)的单调性；(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．。
有理数指数幂及根式-高中数学知识点讲解(含答案)
有理数指数幂及根式（北京习题集）（教师版）一．选择题（共7小题）1．（2019秋•丰台区期中）已知0a >，则1344a a -等于( ) A ．12a- B ．316a-C ．13aD ．a2．（2019•北京学业考试）13sin 6π的值为( )A ．12B C D 3．（2018•海淀区校级三模）有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时自身分裂为2个，现有一个这样的细菌和200个病毒，则细菌将病毒全部杀死至少需要( ) A ．6秒钟B ．7秒钟C ．8秒钟D ．9秒钟4．（2018秋•海淀区校级期中）函数2451()3x x y -+-=的单调增区间是( )A ．[1，2]B ．(,1)-∞-C ．(-∞，2]D ．[2，)+∞5．（2017秋•崇文区校级期中）下列各式中错误的是( )A ．2552222⨯=B ．131()327-=C D ．2311()84-=6．（2017化成分数指数幂为( ) A ．322B ．122-C ．132D ．2327．（2017秋•宣武区校级期中）一张报纸，其厚度为a ，现将报纸对折（即沿对边中点连线折叠）7次，这时，报纸的厚度为( ) A ．8aB ．64aC ．128aD ．256a二．填空题（共6小题）8．（2018秋•海淀区校级期末）求值：221134812()1)27100log lg lg--++= ．9．（2019秋•海淀区校级期中）计算21340.000127--+= ．10．（2019秋•丰台区期中）计算：2233(9.6)(3)(1.5)8----+= ．11．（2018的结果为 ．12．（2017秋•海淀区校级期中）计算：1100.753210.064()160.014---++= ．13．（2016秋•昌平区校级期末）11032727(2)(5)()964lg -++= ．三．解答题（共2小题）14．（2016秋•怀柔区期末）求下列各式的值．（Ⅰ）11219()1002lg -+-；（Ⅱ）211511336622(2)(6)(3)a b a b a b -÷-．15．（2015秋•海淀区校级期中）（Ⅰ）当2m =时，求234()m m 的值； （Ⅱ）计算：10.50.2531(0.25)()62527--+--．有理数指数幂及根式（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2019秋•丰台区期中）已知0a >，则1344a a -等于( ) A ．12a- B ．316a-C ．13aD ．a【分析】进行分数指数幂的运算即可． 【解答】解：13131()44442a a aa ---==．故选：A ．【点评】本题考查了分数指数幂的运算性质，考查了计算能力，属于基础题． 2．（2019•北京学业考试）13sin 6π的值为( )A ．12B C D 【分析】利用诱导公式直接求解． 【解答】解：131sin sin 662ππ==． 故选：A ．【点评】本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（2018•海淀区校级三模）有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时自身分裂为2个，现有一个这样的细菌和200个病毒，则细菌将病毒全部杀死至少需要( ) A ．6秒钟B ．7秒钟C ．8秒钟D ．9秒钟【分析】由题意可得23112222200n -++++⋯+，解不等式可得． 【解答】解：23112222200n -++++⋯+，∴1220012n--， 2201n ∴，解得8n ，即至少需8秒细菌将病毒全部杀死， 故选：C ．【点评】本题考查等比数列的求和公式和通项公式，属基础题．4．（2018秋•海淀区校级期中）函数2451()3x x y -+-=的单调增区间是( )A ．[1，2]B ．(,1)-∞-C ．(-∞，2]D ．[2，)+∞【分析】求出内层函数二次函数的减区间得答案． 【解答】解：令245t x x =-+-，其对称轴方程为2x =， 内层函数二次函数在[2，)+∞上为减函数，而外层函数1()3t y =为减函数，∴函数2451()3x x y -+-=的单调增区间是[2，)+∞．故选：D ．【点评】本题考查指数型复合函数的单调性，复合函数的单调性满足同增异减，是基础题． 5．（2017秋•崇文区校级期中）下列各式中错误的是( )A ．2552222⨯=B ．131()327-=C D ．2311()84-=【分析】m nx =，分数指数幂公式是1(0)n nx x x -=≠，按公式运算即可． 【解答】解：A 、原式2529521022+==；B 、原式133(3)3--==；C 、原式126(2)==D 、原式23231(2)(2)4--=-=-=． 故选：A ．【点评】本题考查了根式与分数指数幂的互化以及负分数指数幂的运算问题，是基础题．6．（2017化成分数指数幂为( ) A ．322B ．122-C ．132D ．232【分析】直接化根式为分数指数幂得答案．【解答】232=． 故选：D ．【点评】本题考查根式与分数指数幂的互化，是基础的会考题型．7．（2017秋•宣武区校级期中）一张报纸，其厚度为a ，现将报纸对折（即沿对边中点连线折叠）7次，这时，报纸的厚度为( ) A ．8aB ．64aC ．128aD ．256a【分析】将报纸对折（即沿对边中点连线折叠）7次，报纸的厚度为72a ⨯． 【解答】解：一张报纸，其厚度为a ，现将报纸对折（即沿对边中点连线折叠）7次， 这时，报纸的厚度为72128a a ⨯=． 故选：C ．【点评】本题考查将报纸对折7次后，报纸的厚度的求法，考查指数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题． 二．填空题（共6小题）8．（2018秋•海淀区校级期末）求值：221134812()1)27100log lg lg--++= 3- ． 【分析】由已知条件利用对数函数、指数函数的性质和运算法则求解．【解答】解：221134812()1)27100log lg lg--++ 230312[()]21)43-=--+ 192144=--+ 3=-．故答案为：3-．【点评】本题考查对数式、指数式的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数、指数的性质、运算法则的合理运用．9．（2019秋•海淀区校级期中）计算21340.000127--+=134． 【分析】化小数为分数，化根式为分数指数幂，再由有理指数幂的运算性质化简求值．【解答】解：21340.000127--+2214233343(01)(3)[()]2-=-+91310944=-+=．故答案为：134． 【点评】本题考查有理指数幂的运算性质，是基础的计算题． 10．（2019秋•丰台区期中）计算：2233(9.6)(3)(1.5)8----+= 1 ．【分析】利用指数幂的运算性质即可得出． 【解答】解：（1）原式2232731()()82--=-+2323331[()]()22--=-+23()23331()()22⨯--=-+22331()()22--=-+1=．故答案为：1．【点评】本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题． 11．（2018的结果为 1- ．【分析】把根号内的数开方，化根式为分数指数幂，再由有理指数幂的运算性质化简求值． 【解答】122|12=-1121211--==-．故答案为：1-．【点评】本题考查有理指数幂的运算性质，是基础的计算题． 12．（2017秋•海淀区校级期中）计算：1100.753210.064()160.014---++= 9.6 ．【分析】利用指数幂的运算性质即可得出． 【解答】解：原式13()40.75304120.1⨯-⨯=-++5180.12=-++ 9.6=．故答案为：9.6．【点评】本题考查了指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 13．（2016秋•昌平区校级期末）11032727(2)(5)()964lg -++= 4 ．【分析】11113033223727253(2)(5)()()1()496494lg --++=++=．【解答】解：11032727(2)(5)()964lg -++113323253()1()94-=++ 541433=++=， 故答案为：4．【点评】本题考查了指数幂的运算，属于基础题． 三．解答题（共2小题）14．（2016秋•怀柔区期末）求下列各式的值．（Ⅰ）11219()1002lg -+-；（Ⅱ）211511336622(2)(6)(3)a b a b a b -÷-．【分析】（Ⅰ）根据指数幂和对数的性质计算即可， （Ⅱ）根据指数幂的运算性质计算即可． 【解答】（Ⅰ）解：原式3223=+-=， （Ⅱ）解：原式211115326236[2(6)(3)]4aba +-+-=⨯-÷-=．【点评】本题考查了指数幂和对数的运算性质，属于基础题15．（2015秋•海淀区校级期中）（Ⅰ）当2m =时，求234()m m 的值； （Ⅱ）计算：10.50.2531(0.25)()62527--+--．【分析】（Ⅰ）把2m =代入234()m m 求解即可； （Ⅱ）直接利用有理指数幂的运算法则化简求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）当2m =时，23434()421024m m =⨯=； （Ⅱ）110.50.252(0.5)340.253311(0.25)()625(0.5)(3)5356270.5---⨯--⨯+--=+--=--=-． 【点评】本题考查有理指数幂的化简求值，考查计算能力．。
有理数和一元一次方程的解法
要你选择两个比赛用球，你会选择哪两个？用绝
对值的形式说明你的理由。
16
六、有理数的运算：
（一）有理数的加法：
同号两数相加，取 的符号，并把绝对值 ；
异号两数相加，绝对值相等时
，绝对值不等时，
取
符号，并用
；
注：异号相加大减小，符号跟着大的走
（二）有理数的乘法：
几个有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定， 再把绝对值相乘作为积的绝对值。
30
练习：
1、下列方程中是一元一次方程的有 。
16x 9 5
2x 9 5x
x2 9 0 3x 2y 1 y 3
31
2.关于x的方程x3m-1+7m-5=0是一元一次方程， 则m= ，x= 。
3.关于的方程 (a =1)1x是a 一元一次方程，则 a= 。
4、判断下列解方程的步骤是否正确，错误的改正过来
28
（五）等式性质： 1.等式的两边同时加上或减去相同的数，等 式仍然成立。 2.等式的两边同时乘以同一个数或除以同一 个不为0的数，等式仍然成立。 注：等式的性质是解方程的理论依据，但 解方程时方程两边同乘的数也不能为0。
29
（六）解一元一次方程的一般步骤： 1.去分母（方程两边同乘以各分母的最小公倍数） 2.去括号 3.移项（移项要变号） 4.合并同类项 5.系数化为1 （方程两边同除以未知数的系数）
21
（4）某日小明在一南北方向的跑道上练习折返跑。他 从A地出发，每次折返的时候记录下自己的跑步情况如 下（向南为正方向，单位：米） 56， －91， 61， －96 现在他在A地的什么方向？距A地多远？共跑了多少米 ？ （5）某校对初三女生进行了百米测验，达标成绩为18 秒，下面是一小组8名女生的成绩纪录。其中“+”号表 示成绩大于18秒。 +1， －0.8， 0， +1.2， +0.1， 0， －0.5， +0.6 （1）这个小组女生的达标率是_________。 （2）这一组女生的平均成绩是多少秒？
数学人教版(2024)七年级上册 第二章 有理数的运算 习题 2.3.1 乘方
×5×6×11
(1)12＋22＋32＋42＋52＝
1
2
3
4
5
6
7
8
9
＝
10
11
；
55
12
13
14
15
16
2.3.1
乘方
分层检测
(2)12＋22＋32＋42＋52＋…＋122＝
；
650
(3)计算132＋142＋152＋…＋242的值.
解：原式＝(12＋22＋33＋…＋242)－(12＋22＋32＋…＋122)
的数是
2m
1
，第③行该列
；
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.3.1
乘方
分层检测
(3)取每行数的第10个，计算这三个数的和.
解：第①行第10个数为(－2)10＝1 024，
第②行第10个数为1 024＋2＝1 026，
第③行第10个数为1 024×2＝2 048，
1 024＋1 026＋2 048＝4 098.
3
；
解：原式＝－16＋18＋(－6)÷
＝－16＋18－54
＝－52；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1415162.3.1乘方
分层检测
1
2
(2)－2 ×(－1 )－32÷(－2)2－27÷
2
−33 .
解：原式＝－4×(－ )－32÷4－27÷27
2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第2章 指数与指数函数
3
<
3 4
3
，故D正确.
(2)设m，n∈R，则“m<n”是“
1 2
m－n>1”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
√C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 12m－n>1， 即12m－n>120， ∴m－n<0，∴m<n. 故“m<n”是“12m－n>1”的充要条件.
(3)函数f(x)＝
[高考改编题] 若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是
A.a＋b≤0
B.a－b≥0
C.a－b≤0
√D.a＋b≥0
解析 ∵ea＋πb≥e－b＋π－a，
∴ea－π－a≥e－b－πb，
①
令f(x)＝ex－π－x，则f(x)是R上的增函数，
①式即为f(a)≥f(－b)，
∴a≥－b，即a＋b≥0.
解析 原不等式可化为a>－4x＋2x＋1对x∈R恒成立， 令t＝2x，则t>0，∴y＝－4x＋2x＋1＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1≤1， 当t＝1时，ymax＝1，∴a>1.
思维升华
(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同 底”原则，比较大小还可以借助中间量. (2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉 及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质 分析判断.
4.指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量， 函数的定义域是R，a是底数. (2)指数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
定义域 值域
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有理数指数幂1－根式练习
一、基础过关 1.4(－2)4运算的结果是________．
2．若2<a <3，化简(2－a )2＋4(3－a )4的结果是________．
3．若a ＋(a －2)0有意义，则a 的取值范围是______．
4．已知xy ≠0且4x 2y 2＝－2xy ，则有________．
①xy <0；②xy >0；③x >0，y >0；④x <0，y <0.
5．化简(π－4)2＋3(π－4)3的结果为________．
6．若x <0，则|x |－x 2＋x 2
|x |＝________. 7．写出使下列各式成立的x 的取值范围． (1)
3⎝⎛⎭⎫1x －33＝1x －3
； (2)(x －5)(x 2－25)＝(5－x )x ＋5.
8．计算下列各式的值：
(1)n (3－π)n (n >1，且n ∈N *)； (2)2n (x －y )2n (n >1，且n ∈N *)； (3)5＋26＋7－43－6－4 2.
二、能力提升
9.3(－6)3＋4(5－4)4＋3(5－4)3的值为______．
10．当2－x 有意义时，化简x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9的结果是________．
11．已知a ∈R ，n ∈N *，给出下列四个式子：①6(－2)2n ；②5a 2；③6(－3)2n ＋1；④9－a 4，其中没有意义的是
________．(填序号)
12．已知a <b <0，n >1，n ∈N *，化简n (a －b )n ＋n (a ＋b )n .
三、探究与拓展
13．若x >0，y >0，且x －xy －2y ＝0，求2x －xy y ＋2xy
的值．
有理数指数幂2－分数指数幂练习
一、基础过关
1．3
2027.0-）（的值是________．
2．设a 12－a －12＝m ，则a 2＋1a
＝________. 3．在121--）（、2－12、(12)－12、12-中，最大的数是________． 4．化简3a a 的结果是________． 5.614－3338
＋30.125的值为________． 6．若a >0，且a x ＝3，a y ＝5，则22y
x a
+＝________. 7．(1)化简：3xy 2·xy －1·xy ·(xy )－1(xy ≠0)；
(2)计算：21
2-＋(－4)02＋12－1
－(1－5)0·823. 8．求233(3)8
--＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0的值． 二、能力提升
9．如果x ＝1＋2b ，y ＝1＋2－
b ，那么用x 表示y 的表达式为________． 10．化简：
34342()a b a b -(a >0，b >0)＝________.
11．若x >0，则(41
x 2＋233)(41x 2－233)－21
4-x ·(x －21
x )＝________.
12已知x ＝12，y ＝23，求x ＋y x －y －x －y x ＋y
；
有理数指数幂1－根式练习
答案
1．2
2．1
3．a ≥0且a ≠2
4．①
5．0
6．1 7．解 (1)由于根指数是3，故1x －3
有意义即可，此时x －3≠0，即x ≠3. (2)∵(x －5)(x 2－25) ＝(x －5)2(x ＋5)
＝(5－x )x ＋5，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋5≥0x －5≤0，∴－5≤x ≤5. 8．解 (1)当n 为奇数时，n (3－π)n ＝3－π；
当n 为偶数时，n (3－π)n ＝π－3. (2)2n (x －y )2n ＝|x －y |，
当x ≥y 时，2n (x －y )2n ＝x －y ；
当x <y 时，2n (x －y )2n ＝y －x . (3)5＋26＋7－43－6－4 2 ＝(3)2＋23·2＋(2)2＋
22－2×23＋(3)2－
22－2×22＋(2)2 ＝(3＋2)2＋(2－3)2－
(2－2)2
＝|3＋2|＋|2－3|－|2－2| ＝3＋2＋2－3－(2－2)＝2 2.
9．－6
10．－1
11．③
12．解 当n 是奇数时，原式＝(a －b )＋(a ＋b )＝2a ；
当n 是偶数时，
原式＝|a －b |＋|a ＋b |＝(b －a )＋(－a －b )＝－2a . 所以n (a －b )n ＋n (a ＋b )n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
2a ，n 为奇数－2a ，n 为偶数. 13．解 ∵x －xy －2y ＝0，x >0，y >0，∴（x －2y ）（x ＋y ）＝0 ∴x ＝2y
∴原式＝65
有理数指数幂2－分数指数幂练习 答案
1.1009
2．m 2＋2
3．21
)2
1(-
4．21
a
5.32
6．9 5
7．解 (1)原式＝312112])(·[-xy xy ·21
(xy)·(xy )－1 ＝31x 32y ·31
|x |61
||-y ·21
-|x |·21
-|y | ＝31x ·31
||-x ＝⎩⎪⎨⎪⎧
1， x >0－1， x <0.
(2)原式＝1
2＋1
2＋2＋1－22＝22－3. 8．解 原式＝3
2)827(--＋215001-⎪⎭
⎫ ⎝⎛－10·15－2＋1
＝32
323--⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛＋21
1-(500-）－10(5＋2)＋1 ＝4
9＋105－105－20＋1
＝－167
9.
9．y ＝x
x －1
10.a b
11．－23
12．解 x ＋y x －y －x －y x ＋y ＝(x ＋y )2x －y －(x －y )2x －y ＝4xy x －y . 将x ＝12，y ＝23代入上式得：原式＝412×2312－23＝413－16
＝－2413＝－8 3.。