协方差及相关系数.ppt

可见，若X与Y独立， Cov(X,Y)= 0 .
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4. 随机变量和的方差与协方差的关系 D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y)
证明： D( X Y ) E{[( X Y ) E( X Y )]2}
E{[( X E( X )) (Y E(Y ))]2} E{(X E(X))2} E{(Y E(Y ))2} 2E{(X E(X))(Y E(Y ))} D( X ) D(Y ) 2Cov( X ,Y )
协方差及相关系数
一、协方差
1.定义
2.简单性质
3. 计算协方差的一个简单公式 4. 随机变量和的方差与协方差的关系 5.许瓦兹不等式
二、相关系数
相关系数的性质
四个等价命题
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前面我们介绍了随机变量的数学期望 和方差，对于多维随机变量，反映各随机 变量之间关系的数字特征中，最重要的， 就是本讲要讨论的
3. 计算协方差的一个简单公式 由协方差的定义及期望的性质，可得
Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} =E[XY-E(X)Y-E(Y)X+E(X)E(Y) ] =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y) 即 Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y)
相关系数的性质：
1. | | 1 这一性质
证: 由由方于差方的差性D质也(Y和可)是协以正方用的差,的故定必义有知,
对任意1-实2数≥b0许,,有所瓦以兹|不 |≤1。
0≤D(Y-bX)= 等b2D式(证X)+明D(Y)-2b Cov(X,Y )
令 b Cov( X ,Y )，则上式为
所以2XY 1, 即| XY |1
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2. | XY |=1
存在常数a,b(b≠0），
使P{Y=a+bX}=1，
即X和Y以概率1线性相关.
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3. X和Y独立时， =0，但其逆不真.
DHale Waihona Puke BaiduX )D(Y )

E ( X EX
E(X ))(Y
E(X )2 EY
E(Y ))2 E(Y )2
设U=X-E(X),V=Y-E(Y), 由许瓦兹不等式[E(UV)]2E(U2)E(V2)， 知[E((X-E(X))(Y-E(Y)))]2
E[(X-E(X))2] E[(Y-E(Y))2]
D( X )
D(Y- bX)= D(Y ) [Cov( X ,Y )]2
D( X ) D(Y )[1 [Cov( X ,Y )]2 ] D(Y )[1 2]
D( X )D(Y )
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2 XY

Cov(X ,Y )2
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4. 随机变量和的方差与协方差的关系
D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y)
n
n
D( Xi ) D( Xi ) 2 Cov( Xi, X j )
i1
i1
i j
若X1,X2, …,Xn两两独立,，上式化为
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二、相关系数
定义: 设D(X)>0, D(Y)>0, 称
XY
Cov( X ,Y ) D( X ) D(Y )
为随机变量X和Y的相关系数 .
在不致引起混淆时，记 XY为 .
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由于当X和Y独立时，Cov(X,Y)= 0.
故 Cov( X ,Y ) = 0
D( X )D(Y )
但由 0 并不一定能推出X和Y 独立.
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例1 设X服从(-1/2, 1/2)内的均匀分布,而 Y=cos X, 因Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)，
n
n
D( Xi ) D( Xi )
i 1
i 1
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5.许瓦兹不等式
[E(XY)] 2E(X2)E(Y2)
证明：设(t)=E(X+tY)2，则 (t)=E(X2)+2tE(XY)+t2E(Y2)0，
其判别式0，即 =[2E(XY)]2-4E(X2)E(Y2)0， 所以[E(XY)] 2E(X2)E(Y2)。
协方差和相关系数
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D(X1 X2) E{[( X1 X2) E(X1 X2)]2} E{[( X1 E(X1)) (X2 E(X2))]2}
E{( X1 E(X1))2} E{(X2 E(X2))2} 2E{(X1 E(X1))(X2 E(X2))}
2.简单性质 ⑴ Cov(X,Y)= Cov(Y,X) ⑵ Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b是常数 ⑶ Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y)
(4) Cov(X,X)= D(X) ; Cov(X,a)= 0
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D(X1) D(X2) 2E{( X1 E(X1))(X2 E(X2))}
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一、协方差 1.定义 任意两个随机变量X和Y的协方差, 记为Cov(X,Y), 定义为
Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}
0.5
E( XY ) E( X cos X ) x cos x 1dx 0 0.5
E(X)=0， 故 Cov(X,Y)=0