电动力学_电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈密顿量

dp
电磁场中的带电粒子的运动方程为：dt

q
E v B
（1）
其中粒子的机械动量p是： p m0v
1
v2 c2
（2）
现在我们能否找到一个拉格朗日量L使运动方程 （1）化为拉格朗日的形式
首先把（1）的右边用势 φ和A表示出来:
A E v B t v ( A) (3)
dt
dt
上式可改写为：
1

v2 c2
•k

dp , dt
1
v2 c2
•k
•v

dw dt
定义：F
1
v2 c2
K

相对论力学方程为
F
F
v
dp dt dW
dt
在电磁场中，带电粒子受到的洛伦磁力为： F q E v B
因为K
1

v2 c2
q

L m0c2
v2 1
c2
q v •
（8）
d 则运动方程（7）可以写为拉格朗日形式： dt

L vi

L xi

0
（9）
现在考察L的变换性
L mc qA U
把（8）乘以

(1
2 v
c
2 2

)
1 2
,得

L 式中 U 为四维矢量。上式右边是洛伦兹不变量，因此
容易验证
K
1 q(E v B)
1

v c
2 2
在相对论力学中，力学基本方程可写为协变式：
K

dp dt
其中，Ku为四维力矢量，Pu为动量和能量构成的四维
矢量。在低速运动的情形下，作用于速度为v的物体上
的四维力矢量：
K


K,
i c
K
•
c

所以，在相对论协变的力学方程包括： k dp ，k • v dw
量，因此作用于粒子上的失势总编换率为
d v
(6)
dt t
所以（5）可以写为： d p q q v • （7）
dt
动量p和矢势A可以写为：
所以拉格朗日量L为：
pi

vi
m0c2
1
v2 c2

i vi v •
E

v

B

所以，洛伦磁力也满足相对论协变要求。
综上得，带电粒子在电磁场中的运动方程为： dp q E v B
dt
约瑟夫·拉格朗日，全名， 约瑟夫·路易斯·约瑟夫 （Joseph-Louis Lagrange 1735-1813)
法国数学家 物理学家。
他在数学,力学和天文学家 三个领域都有历史的贡献， 其中尤以数学方面的成就 最为突出。
电磁场中带电粒子的拉格朗日量
主讲：赵朝祥
电磁场中带电粒子的拉格朗日量
1，电磁场中带电粒子的运动方程 2，拉格朗日形式
电磁场中带电粒子的运动方程
电磁场对带电粒子作用力的洛伦兹公式：
F q(E v B)
U F 用磁场张量 和四维速
构成一个四维矢量：

K qFU
变常量，由此得
La
1
v2 c2
当 v c 时，上式应趋于非相对论，由此得 a mc2
因而自由粒子的拉格朗日函数为
L mc2
1
v2 c2
参考文献
电动力学 第三版 郭硕鸿 著 理论力学 第三版 周衍泊 编 电动力学 第二版 学习辅导书 方奕忠 编
•
在拉格朗日函数形式中，坐标x和速度 v x 是独立变量， 算符不
v 作用在 的函数上，因此
v （ ) (v ) v (4)
把（3）式和（4）式代入（1），得
dP dt

q
(

v
)

t

v
(5)
由于粒子运动，在时间dt有位移dx由此引起矢势A有增 dx

q
V q

1, 2,..., s
•
因为势能V中一般并不包含广义速度 q ，所以令L=T-V来代
表体系的动能与势能之差。
所以得到保守力系下的拉格 朗日方程为：
d

L
dt


•
q

L

q
0
1, 2,..., s
在电动力学中，电磁场也是一个保守力场，所以也满足上面的保 守力系下的拉格朗日方程。
也是洛伦兹不变量，
在分析力学中，拉格朗日对时间的积分作用量
S Ldt Ldt
其中d 是粒子的固有时。由于d 和L 都是不变量，
因而作用量S的洛伦兹不变量。
和粒子速度有关的协变量是四维速度 U ，而 U 只能构
成一个不变量 UU c2。因此 只能是一个洛伦兹不
约瑟夫·拉格朗日
电磁场中带电粒子拉格朗日形式
在理论力学中，拉格朗日的基本形式
为：
d dt
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T
•
q


T

q
Q
1, 2,..., s
T
•
其中
•
广义力。q
为广义动量， q
为广义速度，Qa为
对保守力系来讲：
d

T
dt


•
q

T