电动力学_电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈密顿量
量子力学中的带电粒子与电磁场的相互作用
量子力学中的带电粒子与电磁场的相互作用量子力学是一门研究微观物质行为的学科，它揭示了物理世界的奇妙性质和规律。
其中一个重要问题是，带电粒子与电磁场之间的相互作用。
这种相互作用在许多领域中都具有重要的应用，如粒子加速器、光电器件、量子计算等。
本文将介绍带电粒子与电磁场的量子力学描述，并探讨其在实践中的应用。
一、带电粒子的量子力学描述带电粒子在量子力学中被描述为波粒二象性的实体，具有特定的自旋、位置和动量。
其波函数可以用薛定谔方程描述：$\hat{H}\Psi=i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}$其中，$\hat{H}$是哈密顿算符，$\hbar$是约化普朗克常数，$\Psi$是波函数。
根据薛定谔方程，带电粒子的波函数可以预测其在空间和时间上的行为，如在空间中的位置、动量等。
带电粒子不仅存在于静电场中，也存在于变化的电磁场中。
当带电粒子移动时，其电荷会激发出电磁场。
这个电磁场会对带电粒子产生反作用力，这种力的大小和方向取决于电磁场的强度和方向。
因此，在描述带电粒子与电磁场相互作用时，需要考虑电磁场本身的量子力学描述。
二、电磁场的量子力学描述对于电磁场，其量子力学描述是通过电磁场的波函数描述的，可以用麦克斯韦方程组得到：$\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}$$\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}$$\nabla\cdot\vec{B}=0$$\nabla\times\vec{B}=\mu_0\vec{J}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}$其中，$\vec{E}$是电场，$\vec{B}$是磁场，$\rho$是电荷密度，$\vec{J}$是电流密度。
根据电磁场的波函数，可以计算其在空间和时间上的行为，如在空间中的场强和波长等。
电动力学公式总结
电动力学公式总结电动力学是物理学中的一个重要分支，研究电荷在电场和磁场中的行为规律。
本文将对电动力学中常见的几个重要公式进行总结和介绍。
库仑定律库仑定律是电动力学中最基本的定律之一，描述了两个电荷之间的相互作用力的大小。
库仑定律公式如下：F=k⋅q1⋅q2 r2其中，F表示电荷间的作用力，q1和q2分别表示两个电荷的大小，r表示它们之间的距离，k是库仑常数。
电场强度电场强度描述了单位正电荷在电场中所受到的力，电场强度的大小与电场中的电荷量有关。
电场强度E与电场中的电荷q之间的关系可以用如下公式表示：E=F q其中，F为电荷所受力，q为电荷量。
高斯定律高斯定律是描述电场的一项基本定律，它规定了电场通过一个封闭曲面的电场通量与内部电荷量的比值。
高斯定律可以用如下公式表示：Φ=Q enc ε0其中，Φ表示电场通过曲面的电场通量，Q enc表示曲面内的电荷量，ε0是真空介电常数。
安培环路定理安培环路定理描述了电流在产生的磁场中所受的力。
根据安培环路定理，磁场力与电流及它们之间的关系可以用如下公式表示：F=B⋅l⋅I⋅sin(θ)其中，F表示力的大小，B表示磁场强度，l表示电流元长度，I表示电流强度，θ表示磁场与电流元之间的夹角。
洛伦兹力洛伦兹力是描述带电粒子在电场和磁场中所受合力的物理定律。
洛伦兹力F对带电粒子的加速度a描述如下：F=q(E+v×B)其中，q为电荷量，E为电场强度，v为带电粒子的速度，B为磁场强度。
以上就是电动力学中的几个重要公式的简要总结，这些公式在电场和磁场的研究中具有重要作用，有助于我们理解电荷之间、电流与磁场之间的相互作用规律。
电动力学教学大纲(科学教育专业)
《电动力学》教学大纲课程名称：电动力学课程编号：073132003总学时：54学时适应对象：科学教育（本科）专业一、教学目的与任务教学目的：电动力学是物理学本科专业开设的一门理论课程，是物理学理论的一个重要组成部分。
通过对本课程的学习，（1）使学生掌握电磁场的基本规律，加深对电磁场性质和时空概念的理解；（2）获得本课程领域内分析和处理一些基本问题的能力，为解决实际问题打下基础；（3）通过对电磁场运动规律和狭义相对论的学习，更深刻领会电磁场的物质性。
教学任务：本课程主要阐述宏观电磁场理论。
第一章主要分析各个实验规律，从其中总结出电磁场的普遍规律，建立麦克斯韦方程组和洛仑兹力公式。
第二、三章讨论恒定电磁场问题，着重讲解恒定场的基本性质和求解电场和磁场问题的基本方法。
第四章讨论电磁波的传播，包括无界空间中电磁波的性质、界面上的反射、折射和有界空间中电磁波问题。
第五章讨论电磁波的辐射，介绍一般情况下势的概念和辐射电磁场的计算方法。
第六章狭义相对论，首先引入相对论时空观，由协变性要求把电动力学基本方程表示为四维形式，并得出电磁场量在不同参考系间的变换。
二、教学基本要求通过本课程的教学，使学生了解电磁场的基本性质、运动规律以及与物质的相互作用。
掌握求解恒定电磁场的基本方法；掌握电磁波在无界和有界空间的传播规律；掌握一般情况下势的概念和求解电偶极辐射，理解相对论的时空理论；掌握电磁场量的四维形式和电动力学规律的四维形式，加深对电动力学规律的认识。
三、教学内容及要求绪论矢量场分析初步第一章电磁现象的普遍规律第一节引言及数学准备第二节电荷和电场第三节电流和磁场第四节麦克斯韦方程第五节介质的电磁性质第六节电磁场的边值关系第七节电磁场能量和能流教学重点：电磁场的普遍规律，麦克斯韦方程组，电磁场的边值关系。
教学难点：位移电流概念，能量守恒定律的普遍式。
本章教学要求：通过本章学习，要使学生了解各实验定律及其意义，掌握电磁场散度、旋度的计算方法及意义，理解麦克斯韦方程的重要意义和地位，以及积分和微分形式的麦克斯韦方程适用的范围。
理论物理综合 第一章 拉格朗日方程与哈密顿方程
哈密顿 (Hamilton，William Rowan) （1805—1865）
爱尔兰人
他的研究工作涉及不少领域，成果 最大的是光学、力学和四元数．他 研究的光学是几何光学，具有数学 性质；力学则是列出动力学方程及 求解；因此哈密顿主要是数学 家．但在科学史中影响最大的却是 他对力学的贡献．哈密顿量是现代 物理最重要的量，当我们得到哈密 顿量，就意味着得到了全部
参考书
1．理论物理导论 2．理论物理导论 3. 量子力学I 4. 统计物理学导论 5. 统计热力学
李卫 刘义荣 程建春 曾谨言 王竹溪 梁希侠，班士良
考核
平时成绩（30%）：包括考勤（累计5次旷课则平时 成绩以零分处置），课堂听课情况，作业完成情况， 课堂测验成绩
期末考试成绩（70%）
力学的发展
牛顿力学(牛顿三大定律+万有引力定律)
经典力学
历史发展的先后 研究方法的不同
(低速、宏观) 分析力学
力
（拉格朗日力学+哈密顿力学)
学
量子力学(微观）
现代力学
相对论力学（高速）
牛顿力学回顾
一、研究对象及研究方法
物体的机械运动(物质世界最低级、最基本的运动
形态)，即物体的空间位置随时间变化的规律。
二、适用范围
人们发现，能量观点和拉格朗日方程、哈密顿原 理及正则方程，完全适用于其它形式的物质运动，如 电动力学、统计物理、相对论、量子力学，量子场论 乃至基本粒子等，都是分析问题的基本工具或出发点。 因而分析力学也就成了跨入理论物理学和现代物理学 的入门课程。
谢谢观赏
p
L q
勒让德变换
变换形式，令： 微分：
独立变量
勒让德变换公式： 只换一个变量时：
电动力学 电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈密顿量
（5）
dx• 由于电子运动，在时间dt里有位移dx，所以矢势A有增量
因此，作用于粒子上的矢势总变化率为：
d
dt
t
精v选课•件
（66）
所以（5）可写为： dpq q v•
dt
动量p和矢势A可以写为
pi
vi
m 0c 2
i
vi
v
•
v2 1 c 2
所以拉格朗日量L为： Lm0c2 1vc2 2 qv•
vc 只能是一个洛伦兹不变量，当
时，则自有粒子的拉格朗日
函数为：L m0c2
1
v2 c2
③ 当粒子在电磁场中运动时，除了U
之外，还依赖于四维势 ，则它们可以
U ④
⑤
构量成L为一（个8不）变量
，因此，当v<<c时，带电粒子在电磁场中的运动的拉格朗
精选课件
8
3，哈密顿形式
p L
▪ 对于用拉格朗日量L描述的动力学系统，广义动量 i 定义为 P i •
矢量
K K,
i c
K•c
所以，在相对论协变的力学方程包括：kdp，可改写为： 1v c2 2•kd dp t, 1c v2 2•k•vd dw t
精选课件
2
定 义 ： F1v c2 2K 相 对 论 力 学 方 程 为 F F vd dp tdW dt
在电磁场中，带电粒子受到的洛伦磁力为： FqEvB
当v<<c时，以上给出的拉格朗日量和哈密顿量就变为非相对论情形 下相应的量。
拉格朗日量（8）式当v<<c时变为：
L1 2m0v2qv•
哈密顿量（16）式变为：
（19）
1 Pq2q
量子电动力学
量子电动力学量子电动力学（Quantum Electrodynamics，简称QED）是量子场论的一部分，描述了电磁相互作用的基本规律。
它是量子力学和狭义相对论的结合，被认为是目前最成功的物理理论之一。
QED成功地预言了众多实验结果，并解释了电磁相互作用的微观本质。
1. 简介量子电动力学是由朱利安·施温格（Julian Schwinger）、杰克·吉卜斯（J.S. Schwinger）和理查德·费曼（Richard Feynman）等人在20世纪40年代和50年代初建立起来的。
该理论以量子力学的原理为基础，通过引入电磁场的概念，描述了电子、正电子、光子等粒子之间的相互作用。
2. 量子场论量子电动力学是一种基于量子场论的物理理论。
在量子场论中，电子、正电子等粒子不再被看作是点状粒子，而是被描述为场的激发，即粒子是场激发态的产物。
根据场论的原理，电子场和光子场被量子化，从而得到了描述电磁相互作用的量子电动力学。
3. 电荷与相互作用量子电动力学中的基本粒子包括了带电粒子和无质量的光子。
带电粒子之间的相互作用是通过交换光子实现的。
例如，电子和正电子之间的相互作用可以通过光子的传递来实现。
这种相互作用称为电磁相互作用，是量子电动力学的核心。
4. 拉格朗日量和费曼规则量子电动力学的计算是基于拉格朗日量和费曼规则进行的。
拉格朗日量是描述粒子运动的物理量，通过构建适当的拉格朗日量，可以得到描述电子、光子等粒子相互作用的数学表达式。
而费曼规则则是计算过程中的一些规则和技巧，使得计算得以简化和系统化。
5. 量子修正和裸荷量子电动力学引入了量子修正的概念，即粒子在相互作用过程中会发生虚粒子的产生和湮灭，从而导致物理量的修正。
为了得到实际观测到的物理量，需要将裸荷（裸粒子的电荷）与真空极化和自能修正相抵消。
这一过程被称作重整化，是量子电动力学的一个重要特征。
6. 规范不变性量子电动力学具有规范不变性，即物理结果与规范选择无关。
电动力学重点知识总结
电动力学重点知识总结电动力学是物理学中的一个重要分支，主要研究电荷和电场、电流和磁场之间的相互作用关系。
以下是电动力学的重点知识总结。
1.静电场：静电场是指没有电流的情况下，电荷和电场之间的相互作用。
通过电场线和电势的概念，可以描述电荷的分布和电场强度的分布。
2.高斯定律：高斯定律是描述电场的一个重要定律，它表明通过一个闭合曲面的电通量等于这个曲面内的电荷。
3.电势：电势是描述电荷在电场中的势能，它是标量量，通过定义电势差和电势能，可以计算电场强度。
4.电势差：电势差是指两点之间的电势差异，用于描述电荷在电场中的势能变化。
电势差等于单位正电荷在电场中所受的力做功。
5.电场强度：电场强度是描述电场的物理量，它是一个矢量。
电场强度的方向指向电荷正电荷所受的力的方向。
6.静电力：静电力是电荷和电场之间的相互作用力，它满足库伦定律。
库伦定律表明，电荷之间的相互作用力是与电荷的大小和距离平方成反比的。
7.电容器：电容器是一种储存电荷的装置，由两个导体板和介质构成。
电容器的电容量等于装满电荷后的电压与电荷量的比值。
8.电流：电流是电荷的流动，是电荷通过导体的数量。
电流的方向是正电荷流动的方向。
9.安培定律：安培定律描述了电流和磁场之间的相互作用。
根据安培定律，电流所产生的磁场强度是与电流强度成正比的。
10.磁场：磁场是由电流产生的，它是一个矢量量。
磁场的方向可以通过安培定律的右手定则确定。
11.洛伦兹力：洛伦兹力是带电粒子在磁场中所受的力，它与电荷的速度和磁场强度有关。
洛伦兹力的方向是垂直于电流方向和磁场方向的。
12.法拉第电磁感应定律：法拉第电磁感应定律描述了磁场变化对电路中电流的影响。
根据这个定律，磁场的变化会在电路中产生感应电动势。
13.自感和互感：自感是指电流变化时导线本身所产生的感应电动势，而互感是指两个线圈之间由于磁场变化而产生的感应电动势。
14. Maxwell方程组：Maxwell方程组是电动力学的基础方程，它描述了电场和磁场的变化规律。
《电动力学第三版》chapter6_7电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈密顿量
HH(qi,Pi)
用哈密顿量可以把运动方程表为正则形式
qi H Pi ,Pi H qi 电磁场中的带电粒子运动情形
正则动量 即
Pi vLi
m0vi 1v2
c2
qAi
PpqA
正则动量 机械动量
附加动量
带电粒子的哈顿量为
HPvL
m0c2
q
1cv22
但H应该用正则动量而不是用速度表出
Η (P q Α )2 c 2 m 0 2 c 4 q
把电Ε 磁 场v 用 Β 标 量 势和矢 量 Α 势 表v 示 , (则 Α )
t
在拉氏形式中, 坐标
x和速度
v
x是独立变量,
▽算符不作用在 v的函数上, 因此
v ( Α ) ( v Α ) v Α
d p q [( v Α ) Α v Α ]
d t
t
由 矢A 于 有 势粒 增 d ,x 在 子 A 量 .因 时 dt内 运 此 间 有 动 dx ,由 位此 移引
dΑΑvΑ dt t
d p q [( v Α ) Α v Α ]
d t
t
d(p qΑ )q (v Α )
dt
注意到动量和矢势可以分别写为
pi vi [m0c2
1v2 c2
],
Ai
vi
v
Α
运动方程可以写为拉氏形式 d L L 0
dt vi xi
其中拉格朗日量L为
L m 0 c21 c v2 2 q ( v Α )
当粒子在电磁场内运动时, 除了Uµ之外, L还依 赖于四维势Aµ或电磁场张量F. 由粒子的四维速度 Uµ与电磁场的四维势Aµ可构成一个不变量UµAµ , 因 而L可以含有一项bUµAµ, b为一待定常数.
带电粒子在电磁场中的拉格朗日函数
带电粒子在电磁场中的拉格朗日函数本文将介绍如何求得带电粒子在电磁场中的拉格朗日函数先给出结论：L=T−U=12mv2−qφ+qA⋅v其中φ为电磁场的标势，A为电磁场的矢势，T为带电粒子动能，U为带电粒子在电磁场中的广义势能U=qφ−qA⋅v基本思路：根据Maxwell方程组，将Lorentz力写成广义力Q a的形式，得到相应的广义势U，再带入拉格朗日表达式得到L1.非保守力广义力Q a表达式为Q a=ddtðUðq̇α−ðUðqα其中U为广义势，qα为广义坐标。
拉格朗日函数为L=T−U其中T为粒子动能，U为粒子广义势能。
带电荷量为q的粒子在电场E和磁场B中运动所受的Lorentz力为F=q(E+v×B)地磁场本身满足Maxwell方程组{∇×E+ðBðt=0∇⋅E=ρε0∇×B−μ0ε0ðEðt=μ0j∇⋅B=02.根据磁场散度方程∇⋅B=0和矢量恒等式，矢量场旋度的散度恒为0∇⋅∇×A=0由电磁场矢势A定义磁场强度B=∇×A 3.由法拉第电磁感应方程∇×B+∂Eðt=0得∇×(E+ðAðt)=0根据矢量恒等式∇×∇φ≡0定义一个标量函数φ−∇φ=E+ðA ðt做恒等变换则有E的表达式E=−∇φ−ðA ðt4.将E和B的表达式代入Lorentz力表达式得F=q[−∇φ−ðAðt+v×(∇×A)]A对时间的全导数dA dt =ðAðt+(v⋅∇)A做恒等变换有ðA ðt =dAdt−(v⋅∇)A将v×(∇×A)做恒等变换得v×(∇×A)=(∇A)⋅v−(v⋅∇)A 将上面两式带入Lorentz力表达式得F=q[−∇φ−dAdt+(v⋅∇)A+(∇A)⋅v−(v⋅∇)A]=q[−∇φ−dAdt+(∇A)⋅v]=q[−∇φ−dAdt+∇(A⋅v)]其中A,φ都不是v的函数，因此dA dt =ddt[ððv(A⋅v)]=ddtððv(−φ+A⋅v)将dAdt带入Lorentz力表达式得F=q[−∇(φ−A⋅v)−ddtððv(φ−A⋅v) ]5.与广义力满足方程比较Q a=ddtðUðq̇α−ðUðqα得广义势U的表达式为U=q(φ−A⋅v)则有带电粒子的拉格朗日函数L=T−U=12mv2−qφ+qA⋅v。
静电场的拉格朗日方程
静电场的拉格朗日方程
拉格朗日电场方程（LFE）是电学理论中最重要的方程之一，它是用来研究电场中分布的静态电势的基本方程。
它是由法国物理学家Laplesi在1798年提出的，此后被广泛应用于物理学，特别是用于描述和解释静电场的情况。
拉格朗日电场方程的模型是下面的函数表达式：
V(x,y,z)= ∇²V(x,y,z)=0
在该方程中，V(x,y,z)表示电场中电势的分布，∇²V(x,y,z)是一个拉格朗日算子（二重梯度），表示在某个给定点处，电势的变化量。
拉格朗日电场方程可以帮助我们确定电荷在电场中的情况，因为其能够帮助分析电场中极其重要的电势分布，从而可以用它来确定电荷在电场中的具体位置和分布。
根据这个方程，我们可以算出电场中的电势的值，以此来计算电荷的位置和分布。
电动力学讲义第10讲 优质课件
(0)(x) 1 Q 1 40 R
(1) ( x) 1 p 1 40 R
(2) ( x) 1 1 D : 1
40 6
R
2019年12月6日星期五
山东大学物理学院 宗福建
7
Q V (x ')dV ' p V (x ')x 'dV ' D (x ')(3x ' x '1r '2)dV '
2019年12月6日星期五
山东大学物理学院 宗福建
16
用势描述电磁场
• 在一般的变化情况中，电场E的特性与 静电场不同。电场E一方面受到电荷的 激发，另一方面也受到变化磁场的激发， 后者所激发的电场是有旋的。因此在一 般情况，电场是有源和有旋的场，它不 可能单独用一个标势来描述。
2019年12月6日星期五
山东大学物理学院 宗福建
17
用势描述电磁场
• 在变化情况下电场与磁场发生直接联系，
因而电场的表示式必然包含矢势A在内。
• 把 B A.
• 代入
E B ,
• 得 (E A ) 0 t
t
2019年12月6日星期五
山东大学物理学院 宗福建
18
用势描述电磁场
E
0
Hale Waihona Puke B02019年12月6日星期五
山东大学物理学院 宗福建
15
用势描述电磁场
• 在恒定场中， 由B的无源性引入矢势A，使
B A.
• 在一般情况下，B仍然保持无源性，所以B与矢势A的 关系式普遍成立的。
• 矢势A的物理意义是：在任一时刻，A沿任意闭合回 路的线积分等于该时可通过回路的磁通量。
拉格朗日方程推导
拉格朗日方程推导拉格朗日方程是经典力学中的一种重要的数学工具，它是描述物体在给定势能和受到外力作用下的运动的方程。
拉格朗日方程由意大利数学家拉格朗日于18世纪提出，被广泛应用于力学和物理学的研究中。
为了推导拉格朗日方程，我们首先需要引入拉格朗日量。
拉格朗日量是一个描述系统能量的函数，它可以表示为广义坐标和广义速度的函数：L(q, q̇)。
其中,q表示广义坐标，q̇表示广义速度，它们两者都是时间的函数。
为了推导拉格朗日方程，我们需要先定义系统的能量。
系统的总能量可以分为动能和势能两部分。
动能表示物体由于运动而具有的能量，可以用广义速度的平方的一半乘以物体的质量来表示。
势能表示物体处于外力场中的能量，可以用广义坐标的函数来表示。
对于一个自由度为n的系统，广义坐标可以表示为q₁, q₂,..., qn。
我们可以定义广义速度为对时间的导数，即q̇₁, q̇₂,..., q̇n。
那么系统的总能量可以表示为：E = T - V其中，T表示系统的总动能，V表示系统的总势能。
我们可以将系统的总动能表示为：T = 1/2(m₁q̇₁² + m₂q̇₂² + ... + ṁq̇̇²)其中，m₁, m₂,..., ṁ分别表示物体的质量，q̇₁, q̇₂,...,q̇̇表示对应广义坐标的广义速度。
类似地，我们可以将系统的总势能表示为：V = V(q₁, q₂, ..., q̇)V是关于广义坐标的函数，表示物体在外力场中的势能。
带入上述表达式，可以得到系统的总能量：E = 1/2(m₁q̇₁² + m₂q̇₂² + ... + ṁq̇̇²) - V(q₁, q₂, ..., q̇)现在我们引入拉格朗日量L。
拉格朗日量L可以定义为系统的总能量E对广义速度q̇₁, q̇₂,..., q̇̇的一阶偏导数，即：L = ∂E/∂q̇₁ * q̇₁ + ∂E/∂q̇₂ * q̇₂ + ... + ∂E/∂q̇̇ *q̇̇ - EL可以写为：L = 1/2(m₁q̇₁² + m₂q̇₂² + ... + ṁq̇̇²) - V(q₁, q₂, ..., q̇)接下来，我们需要引入哈密顿原理，它是推导拉格朗日方程的关键。
带电粒子在电磁场中的拉格朗日函数
得广义势U的表达式为
U = q(������ − ������ ⋅ ������) 则有带电粒子的拉格朗日函数
L
=
T
−
U
=
1 2
����������;
������������
⋅
������
������ ������ ⋅ ������ = ������0
������������
������ × ������ − ������0������0 ������������ = ������0������
{
������ ⋅ ������ = 0
2. 根据磁场散度方程
������ ⋅ ������ = 0
������������ ������������ ������������ = ������������ − (������ ⋅ ������)������ 将������ × (������ × ������)做恒等变换得
������ × (������ × ������) = (������������) ⋅ ������ − (������ ⋅ ������)������
和矢量恒等式，矢量场旋度的散度恒为0
由电磁场矢势������定义磁场强度
������ ⋅ ������ × A = 0
������ = ������ × ������
3. 由法拉第电磁感应方程
∂������ ������ × ������ + ������������ = 0 得
根据矢量恒等式
������������ ������ × (������ + ������������ ) = 0
将上面两式带入Lorentz力表达式得
电动力学内容简介
电动力学内容简介The Summery of Contents in Electrodynamics电动力学：研究电磁场的基本属性、运动规律、与带电物质的相互作用。
1． 场：物理量在空间或一部分空间的分布。
通过对电磁场的研究加深对场的理解。
场是一种物质，有其特殊的运动规律和物质属性，但是又是一种特殊的物质它可以与其他物质共同占有一个空间（存在形式的特点）。
有关电磁场的概念是有法拉第提出的，麦克斯韦进一步完善。
一个很核心的问题：“物质能不能在它们不存在的地方发生相互作用” “实验证实超距作用的不正确”所以说场的引入可以说正是解释了这一问题。
电磁场作为电磁现象的共性所引入的2． 如何研究电磁场所对应的物理量()(),,,,,,,E x y z t B x y z t ：从理论上和实验上证明了是必需的也是最基本的。
3． 电磁学和电动力学的区别：（学过了数学物理方法）就像中学中的电与磁的现象与电磁学的区别在于学了微积分一样。
电磁学：麦克斯韦方程组：只有积分的形式只是作为最后的结果并没有给出应用。
求解静电场的问题：库伦定理+积分、高斯定理、已知电势求电场电动力学：麦克斯韦方程组：不仅有积分形式而且还有位分形式，先结果再应用。
求解静电场的问题：分离变量法、镜像法、格林函数法4． 本书的主要结构：⎧⎧→⎨⎪⎪⎩→⎨⎧⎪→⎨⎪⎩⎩第二章静电场静第三章静磁场第一章电磁现象的普遍规律第四章电磁场的的传播动第五章电磁场的发射第六章相对论第一章 电磁现象的普遍规律Universal Law of Electromagnetic Phenomenon本章将从基本的电磁实验定律出发建立真空中的Maxwell’s equations 。
并从微观角度论证了存在介质时的Maxwell’s equations 的形式及其电磁性质的本构关系。
继而给出Maxwell’s equat ions 在边界上的形式，及其电磁场的能量和能流，最后讨论Maxwell’s equations 的自洽性和完备性。
拉格朗日方程公式
拉格朗日方程公式拉格朗日方程公式是经典力学中一种重要的数学工具，它描述了物体在给定势能场下的运动规律。
拉格朗日方程公式的提出，极大地简化了力学问题的求解，使得我们能够更轻松地研究物体的运动轨迹和力学性质。
拉格朗日方程公式由法国数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日于18世纪提出，它是一种基于能量守恒原理的描述力学系统的数学表达式。
拉格朗日方程公式的基本思想是，一个力学系统的运动可以通过一个称为拉格朗日量的函数来描述，该函数是广义坐标和广义速度的函数。
通过对拉格朗日量求导数，再根据欧拉-拉格朗日方程，我们可以得到描述系统运动的微分方程。
拉格朗日方程公式的形式为：d/dt(∂L/∂q i) - ∂L/∂qi = 0其中，L是拉格朗日量，qi是广义坐标，q i是广义速度，t是时间。
这个方程描述了力学系统的运动方程，它将系统的运动规律与系统的势能、动能以及约束条件联系起来。
拉格朗日方程公式的优点在于它可以将力学问题转化为求解一组常微分方程的问题，避免了传统的牛顿力学中需要解决大量的二阶常微分方程的困难。
通过拉格朗日方程公式，我们可以更加直观地理解力学系统的运动规律，并且可以应用于各种复杂的力学问题的求解。
除了在经典力学中的应用，拉格朗日方程公式在其他物理学领域也有广泛的应用。
例如，在电动力学中，我们可以通过拉格朗日方程公式来推导出麦克斯韦方程组，描述电磁场的传播和相互作用规律。
在量子力学中，拉格朗日方程公式也被广泛应用于描述微观粒子的运动和相互作用。
拉格朗日方程公式是一种重要的数学工具，它在经典力学和其他物理学领域中具有广泛的应用价值。
它的提出极大地简化了力学问题的求解，使得我们能够更加深入地研究物体的运动规律和力学性质。
通过掌握和应用拉格朗日方程公式，我们可以更好地理解和解决各种力学问题，推动科学的发展和进步。
电动力学课程教学大纲
电动力学课程教学大纲一、课程说明（一）课程名称、所属专业、课程性质、学分；课程名称：电动力学所属专业：理学专业课程性质：基础课学分：4（二）课程简介、目标与任务；电动力学是宏观电磁现象的经典理论，是研究电磁场的基本属性、运动规律以及它与带电物质之间相互作用的一门重要基础理论课。
电动力学是物理学科的一门重要基础理论课，是物理学的“四大力学”之一。
基本目标：1. 掌握处理电磁问题的一般理论和方法2. 学会狭义相对论的理论和方法学习目的与要求：1. 通过学习电磁运动的基本规律，加深对电磁场基本性质的理解；2. 通过学习狭义相对论理论了解相对论的时空观及有关的基本理论；3. 获得在本门课程领域内分析和处理一些基本问题的初步能力；4. 为学习后续课程和独力解决实际问题打下必要的基础。
为了达到以上目的和要求，在教材内容和课程设置中应注意以下问题：1. 由于本课程是理论物理课程的一部份，因而在要注意与研究生课程的衔接，尽量使这二者有机结合。
介绍麦克斯韦方程组的相对论形式时，本课程主要介绍物理量和方程如何从三维过渡到四维空间的表述形式。
结合科研工作，我们将从更深知识层次的广义相对论、微分几何角度来阐述狭义相对论时空观和Maxwell方程组的四维张量表述。
2. 详细阐述如何把学过的数理方程知识用于解决实际物理问题，即求解一定边界条件下静电势和磁矢势所满足的偏微分方程，达到提高学生分析和解决问题的能力。
3. 在电动力学课程中，讨论了如何从经典物理过度到相对论物理，因此，在介绍这些内容时要从相对论时空观上加以阐述，以使学生真正掌握狭义相对论的物理精髓，达到培养学生抽象思维的目的。
4. 适当介绍一些与课程相关的科研前沿知识，如A-B效应，超导体的磁通量子化，超颖材料（隐身材料），高维时空中的电磁理论（库伦定律），电磁与引力的统一（Kaluza-Klein理论），额外维与膜世界理论等以开阔学生的眼界。
（三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接；先修课程：高等数学矢量分析、数学物理方法、电磁学关系：其中高等数学矢量分析和数学物理方法是电动力学的数学基础，电磁学是电动力学的物理基础，电动力学在电磁学的基础上系统阐述电磁场的基本理论，并进一步在狭义相对论框架下讲述电磁场的四维协变规律。
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约瑟夫·拉格朗日
电磁场中带电粒子拉格朗日形式
在理论力学中，拉格朗日的基本形式
为：
d dt
T
•
q
T
q
Q
1, 2,..., s
T
•
其中
•
广义力。q
为广义动量， q
为广义速度，Qa为
对保守力系来讲：
d
T
dt
•
q
T
dp
电磁场中的带电粒子的运动方程为：dt
q
E v B
（1）
其中粒子的机械动量p是： p m0v
1
v2 c2
（2）
现在我们能否找到一个拉格朗日量L使运动方程 （1）化为拉格朗日的形式
首先把（1）的右边用势 φ和A表示出来:
A E v B t v ( A) (3)
变常量，由此得
La
1
v2 c2
当 v c 时，上式应趋于非相对论，由此得 a mc2
因而自由粒子的拉格朗日函数为
L mc2
1
v2 c2
参考文献
电动力学 第三版 郭硕鸿 著 理论力学 第三版 周衍泊 编 电动力学 第二版 学习辅导书 方奕忠 编
电磁场中带电粒子的拉格朗日量
主讲：赵朝祥
电磁场中带电粒子的拉格朗日量
1，电磁场中带电粒子的运动方程 2，拉格朗日形式
电磁场中带电粒子的运动方程
电磁场对带电粒子作用力的洛伦兹公式：
F q(E v B)
U F 用磁场张量 和四维速
构成一个四维矢量：
K qFU
容易验证
K
1 q(E v B)
1
v c
2 2
在相对论力学中，力学基本方程可写为协变式：
K
dp dt
其中，Ku为四维力矢量，Pu为动量和能量构成的四维
矢量。在低速运动的情形下，作用于速度为v的物体上
的四维力矢量：
K
K,
i c
K
•
c
所以，在相对论协变的力学方程包括： k dp ，k • v dw
•
在拉格朗日函数形式中，坐标x和速度 v x 是独立变量， 算符不
v 作用在 的函数上，因此
v （ ) (v ) v (4)
把（3）式和（4）式代入（1），得
dP dt
q
(
v
)
t
v
(5)
由于粒子运动，在时间dt有位移dx由此引起矢势A有增 dx
L m0c2
v2 1
c2
q v •
（8）
d 则运动方程（7）可以写为拉格朗日形式： dt
L vi
L xi
0
（9）
现在考察L的变换性
L mc qA U
把（8）乘以
(1
2 v
c
2 2
)
1 2
,得
L 式中 U 为四维矢量。上式右边是洛伦兹不变量，因此
也是洛伦兹不变量，
在分析力学中，拉格朗日对时间的积分作用量
S Ldt Ldt
其中d 是粒子的固有时。由于d 和L 都是不变量，
因而作用量S的洛伦兹不变量。
和粒子速度有关的协变量是四维速度 U ，而 U 只能构
成一个不变量 UU c2。因此 只能是一个洛伦兹不
E
v
B
所以，洛伦磁力也满足相对论协变要求。
综上得，带电粒子在电磁场中的运动方程为： dp q E v B
dt
约瑟夫·拉格朗日，全名， 约瑟夫·路易斯·约瑟夫 （Joseph-Louis Lagrange 1735-1813)
法国数学家 物理学家。
他在数学,力学和天文学家 三个领域都有历史的贡献， 其中尤以数学方面的成就 最为突出。
量，因此作用于粒子上的失势总编换率为
d v ห้องสมุดไป่ตู้
(6)
dt t
所以（5）可以写为： d p q q v • （7）
dt
动量p和矢势A可以写为：
所以拉格朗日量L为：
pi
vi
m0c2
1
v2 c2
i vi v •
dt
dt
上式可改写为：
1
v2 c2
•k
dp , dt
1
v2 c2
•k
•v
dw dt
定义：F
1
v2 c2
K
相对论力学方程为
F
F
v
dp dt dW
dt
在电磁场中，带电粒子受到的洛伦磁力为： F q E v B
因为K
1
v2 c2
q
q
V q
1, 2,..., s
•
因为势能V中一般并不包含广义速度 q ，所以令L=T-V来代
表体系的动能与势能之差。
所以得到保守力系下的拉格 朗日方程为：
d
L
dt
•
q
L
q
0
1, 2,..., s
在电动力学中，电磁场也是一个保守力场，所以也满足上面的保 守力系下的拉格朗日方程。