初中数学全等专题倍长中线法(含答案)
全等三角形辅助线之倍长中线法
全等三角形辅助线之倍长中线法倍长中线法：遇中线，要倍长，倍长之后有全等．当倍长后，连接方式不一样，可以产生更多结论如下：与倍长中线法类似的辅助线作法AD E DE=AD BE ADC EDB AD=DE ADC=EDB BD=CDADC EDB(SAS)AC BE∆∆∠∠∆≅∆延长至使，连接在和中，，故与此相关的重要结论AD ABC ∆为的中线D CB AEAD ABC ∆为的中线DC BAEAD E AD=DE CE BE CE ABEC 延长至，使，当连接时，结论相似； 当连接、，则为平行四边形M ABCDEMD E MD=DE CE BDM CDE BM CE∆≅∆延长至，使，连接可证，举例：FE G FE=GE EGC ()EFD ∆≅∆延长至，使可证平行线夹中点F EDCBA G如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中D CB AEAD E DE=AD BE ADC EDB AD=DE ADC=EDB BD=CDADC EDB(SAS)AB-BE AE AB+BE AE <AD<∆∆∠∠∆≅∆<<<<延长至使，连接在和中，，故即２８１４654321FAB C DE如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且AB=AC ． 求证：△CE=2CD ；△CB 平分△DCE ．E DCB A如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 上一点，BE=AC ，BE 的延长线交AC 于点F ．求证：△AEF=△EAF ．F EDCBA321MA BCD EF如图，在正方形ABCD 中，CD=BC ，△DCB=90°，点E 在CB 的延长线上，过点E 作EF △BE ，且EF=BE ．连接BF ，FD ，取FD 的中点G ，连接EG ，CG ．求证：EG=CG 且EG △CG ．GF EDCB AM2134GFDA1. 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线．（1）按要求作图：延长AD 到点E ，使DE =AD ；连接BE ． （2）求证：△ACD ≌△EBD ． （3）求证：AB +AC >2AD ．（4）若AB =5，AC =3，求AD 的取值范围．2. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．3. 如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且AB =AC ．求证：①CE =2CD ；②CB 平分∠DCE ．4. 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE 的延长线交AC 于点F ． 求证：∠AEF =∠EAF ．5. 如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 的中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，BG =CF ． 求证：AD 为△ABC 的角平分线．GFE DCB AE DCB AF E DBAGFEDCBAFED CBA6. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 是CD 的中点，且AF ⊥AB ，已知AD =2.7，AE =BE =5，求CE 的长．7. 如图，在正方形ABCD 中，CD =BC ，∠DCB =90°，点E 在CB 的延长线上，过点E 作EF ⊥BE ，且EF=BE ．连接BF ，FD ，取FD 的中点G ，连接EG ，CG ．求证：EG =CG 且EG ⊥CG ．【参考答案】➢ 课前预习1. （1）相等，SSS ；夹角，SAS ；夹边，ASA ；对边，AAS ；直角，HL（2）全等，三，边 2. （1）证明：如图∵O 是AB 的中点 ∴AO =BO在△AOC 和△BOD 中AO BO AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOC ≌△BOD （SAS ） （2）证明：如图 ∵O 是AB 的中点 ∴AO =BO ∵AC ∥BD ∴∠A =∠B在△AOC 和△BOD 中A B AO BOAOC BOD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AOC ≌△BOD （ASA ）GF EDCBA➢ 典型题型1. 解：（1）如图，（2）证明：如图，∵AD 为BC 边上的中线 ∴BD =CD在△BDE 和△CDA 中12BD CD ED AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ） （3）证明：如图， ∵△BDE ≌△CDA ∴BE =AC ∵DE =AD ∴AE =2 AD在△ABE 中，AB +BE >AE ∴AB +AC >2AD （4）在△ABE 中，AB -BE <AE <AB +BE由（3）得 AE =2AD ，BE =AC ∵AC =3，AB =5 ∴5-3<AE <5+3 ∴2<2AD <8 ∴1<AD <42. 证明：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE在△ADC 和△EDB 中CD BD ADC EDB AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△EDB （SAS ） ∴AC =EB ，∠2=∠E ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE∴AB =AC3. 证明：如图，延长CD 到F ，使DF =CD ，连接BF∴CF =2CD∵CD 是△ABC 的中线21EDCBA 21EBCDA在△BDF 和△ADC 中BD AD ADC BDF DF DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△ADC （SAS ） ∴BF =AC ，∠1=∠F ∵CB 是△AEC 的中线 ∴BE =AB ∵AC =AB ∴BE =BF ∵∠1=∠F ∴BF ∥AC∴∠1+∠2+∠5+∠6=180° 又∵AC =AB ∴∠1+∠2=∠5 又∵∠4+∠5=180° ∴∠4=∠5+∠6 即∠CBE =∠CBF 在△CBE 和△CBF 中CB CB CBE CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBE ≌△CBF （SAS ） ∴CE =CF ，∠2=∠3 ∴CE =2CD CB 平分∠DCE4. 证明：如图，延长AD 到M ，使DM =AD ，连接BM∵D 是BC 边的中点 ∴BD =CD在△ADC 和△MDB 中CD BD ADC MDB AD MD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△MDB （SAS ） ∴∠1=∠M ，AC =MB ∵BE =AC ∴BE =MB ∴∠M =∠3321MA BCDEF∴∠1=∠2 即∠AEF =∠EAF5. 证明：如图，延长FE 到M ，使EM =EF ，连接BM∵点E 是BC 的中点 ∴BE =CE在△CFE 和△BME 中FE ME CEF BEM CE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CFE ≌△BME （SAS ） ∴CF =BM ，∠F =∠M ∵BG =CF ∴BG =BM ∴∠1=∠M ∴∠1=∠F ∵AD ∥EF∴∠3=∠F ，∠1=∠2 ∴∠2=∠3即AD 为△ABC 的角平分线6. 解：如图，延长AF 交BC 的延长线于点G∵AD ∥BC ∴∠3=∠G∵点F 是CD 的中点 ∴DF =CF在△ADF 和△GCF 中3G AFD GFC DF CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△GCF （AAS ）∴AD =CG ∵AD =2.7 ∴CG =2.7 ∵AE =BE ∴∠1=∠B ∵AB ⊥AF ∴∠1+∠2=90° ∠B +∠G =90°321MABCD EFG∴CE =EG -CG=5-2.7 =2.37. 证明：如图，延长EG 交CD 的延长线于点M由题意，∠FEB =90°，∠DCB =90°∴∠DCB +∠FEB =180° ∴EF ∥CD ∴∠FEG =∠M ∵点G 为FD 的中点 ∴FG =DG在△FGE 和△DGM 中1M FGE DGM FG DG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FGE ≌△DGM （AAS ） ∴EF =MD ，EG =MG ∵△FEB 是等腰直角三角形 ∴EF =EB ∴BE =MD在正方形ABCD 中，BC =CD ∴BE +BC =MD +CD 即EC =MC∴△ECM 是等腰直角三角形 ∵EG =MG∴EG ⊥CG ，∠3=∠4=45° ∴∠2=∠3=45° ∴EG =CG三角形全等之倍长中线（实战演练）1. 在△ABC 中，AC =5，中线AD =4，则边AB 的取值范围是_______________． 思路分析：①画出草图，标注条件：②根据题目条件，见_________，考虑_____________；添加辅助线是______________________________________；③倍长之后证全等：__________≌___________（ ），证全等转移边：______=_______； ④全等转移条件后，利用三角形三边关系可以得到AB 的取值范围．2. 如图，在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，且AG =1，BF =2．若GE ⊥EF ，则GF 的长为多少？【参考答案】1. 3<AB <13①图略②中线AD 倍长中线 延长AD 到点E ，使DE =AD ，连接CE ③△ADC △EDB SAS AC EB ④略2. AD ∥BC ，E 为AB 边的中点，平行夹中点；AG =BH ，GE =HE ；到线段两端点的距离相等，FH ，AG +BF 解：如图，延长GE 交CB 的延长线于点H ∵AD ∥BC ∴∠GAE =∠HBE ∵E 为AB 边的中点 ∴AE =BE在△AGE 和△BHE 中，AEG BEH AE BEGAE HBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AGE ≌△BHE （ASA ） ∴BH =AG ，HE =GE ∵GE ⊥EF ∴GF =HF ∵BF =2，AG =1 ∴GF =HF =BF +BH =BF +AG =2+1 =3G FEAD BC三角形全等之倍长中线（作业）➢ 例题示范例1：已知：如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D ，E 在BC 上，且DE =EC ，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF =AC ． 求证：AE 平分∠BAC ．【思路分析】读题标注：见中线，要倍长，倍长之后证全等．结合此题，DE =EC ，点E 是DC 的中点，考虑倍长，有两种考虑方法： ①考虑倍长FE ，如图所示： ②考虑倍长AE ，如图所示：（这个过程需要考虑倍长之后具体要连接哪两个点）倍长中线的目的是为了证明全等：以方法①为例，可证△DEF ≌△CEG ，由全等转移边和角，重新组织条件证明即可． 【过程书写】证明：如图，延长FE 到G ，使EG =EF ，连接CG ．A D CE FA B DCE FGFE CD B A FE CD B AA B DCE FG在△DEF 和△CEG 中，ED EC DEF CEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEF ≌△CEG （SAS ） ∴DF =CG ，∠DFE =∠G ∵DF =AC ∴CG =AC ∴∠G =∠CAE ∴∠DFE =∠CAE ∵DF ∥AB ∴∠DFE =∠BAE ∴∠BAE =∠CAE ∴AE 平分∠BAC➢ 巩固练习1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =4，AC =2，点D 为BC 边的中点，且AD 是整数，则AD =________．2. 已知：如图，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，点E 为CD 上一点，且AD =DE ，EF ∥BC 交BD 于F ．求证：AB =EF ．3. 已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，分别以AB ，AC 为直角边向外作等腰直角三角形，AB =AE ，AC =AF ，∠BAE =∠CAF =90°． 求证：EF =2AD ．4. 如图，在△ABC 中，AB >AC ，E 为BC 边的中点，AD 为D CBAF E DCBAFED CBA G FE D CBA∠BAC 的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G ． 求证：BF =CG ．5. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F是CD 的中点，连接AF ，EF ，AE ，若∠DAF =∠EAF ，求证：AF⊥EF ．➢ 思考小结1. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．比较下列两种不同的证明方法，并回答问题． 方法1：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE 在△BDE 和△CDA 中BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ） ∴AC =BE ，∠E =∠2 ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC 方法2：如图，过点B 作BE ∥AC ，交AD 的延长线于点E ∵BE ∥AC ∴∠E =∠2在△BDE 和△CDA 中FE DB CA21ECDB A 21ECDBA DBA2E BDE CDA BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （AAS ） ∴BE =AC ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC 相同点：两种方法都是通过辅助线构造全等，利用全等转移条件进而解决问题．方法1是看到中点考虑通过___________构造全等，方法2是通过平行夹中点构造全等． 不同点：倍长中线的方法在证明全等时，利用的判定是________，实质是构造了一组对应边相等；利用平行夹中点证明全等时，利用的判定是_____，实质是利用平行构造了一组_____相等．2. 利用“倍长中线”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．请你尝试进行证明．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是斜边AB 的中线．求证：CD 12=AB ．【参考答案】➢ 巩固练习 1. 22. 证明略（提示：延长FD 到点G ，使得DG =DF ，连接AG ，证明△ADG ≌△EDF ，转角证明AB =EF ）3. 证明略（提示：延长AD 到点G ，使得GD =AD ，连接CG ，证明△ABD ≌△GCD ，△EAF ≌△GCA ）4. 证明略（提示：延长FE 到点H ，使得EH =FE ，连接CH ，证明△BFE ≌△CHE ，转角证明BF =CG ）5. 证明略（提示：延长AF 交BC 的延长线于点G ，证明△ADF ≌△GCF ，转角证明AF ⊥EF ） ➢ 思考小结 1. 倍长中线 SAS AAS 角2. 证明略DCB A。
全等三角形专题：倍长中线
一、直接倍长中线例1【等腰三角形的性质与判定】（1）已知△ABC中AB ＝AC ,求证：∠B ＝∠C . （2）已知△ABC 中∠B ＝∠C ,求证：AB ＝A C . （3）如图，在△ABC 中，BD ＝CD ，∠1＝∠2，求证：AB＝A C .例2 在△ABC 中，已知线段AB ＝4，AC ＝8，则BC 边上的中线AD 的取值范围是【变式训练】如图，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ABD 的中线，BA ＝BD ，求证：AC ＝2AE ．二、倍长中线的一部分例3 在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE ＝AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：∠AEF ＝∠F AE【变式训练】如图②，BD ＝CD ，∠1＝∠2，此时EB ＝AC 成立吗？请说明你的理由.A21A B C D 图 1①②E CBE DAA图 1-3-9①②三、倍长过中点的线段例4 如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE ＋CF 与EF 的大小.四、作平行线构造8字型例5已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝∠ACB ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上， DE 交BC 于F ，且DF ＝EF .求证：BD ＝CE .（有三种辅助线）【变式训练】如图，BD ＝CD ，∠1＝∠2，此时EB ＝AC 成立吗？请说明你的理由. （有三种辅助线）BA -3-9②【课后作业】1.在△ABC中，已知线段AB＝5，AC＝13，则BC边上的中线AD的取值范围是3. 如图，△ABC中，BD＝DC＝AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.4.如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E在BC上，且DE ＝EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF＝A C.求证：AE平分∠BA C.C BA5.如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于点E ，Q 为BC 延长线上一点，当P A ＝CQ 时，连接PQ 交AC 边于点D ，则DE 的长为6.如图1－3－10，在△ABC 中，∠A ＝90°，D 为BC 中点，E 为AB 上一点，F 为AC 上一点，ED ⊥DF ，连接EF ，求证：线段BE ，FC ，EF 总能构成一个直角三角形.图 1-3-8A BCDEPQEDCBAF图 1-3-10。
初中数学全等专题倍长中线法(含答案)
初中数学全等专题倍长中线法1.如图，在△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是( )＜AB＜12 ＜AB＜12 ＜AB＜19 ＜AB＜19 答案：C解题思路：延长AD至E，使DE=AD，连接CE，可先证明△ABD≌△ECD，则AB=CE，在△ACE中，根据三角形的三边关系，得AE-AC＜CE＜AE+AC，即9＜CE＜19.则9＜AB＜19.故选C.2.如图，已知CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB，给出下列结论：①AE=2AC；②CE=2CD；③∠ACD=∠BCE；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是（）A.①②④B.①③④C.①②③D.①②③④ 答案：A解题思路：①正确，延长CD至点F，使得DF=CD，连接AF，可先证明△ADF≌△BDC，再证明△ACF≌△BEC，由这两个三角形全等可以得知②、④正确。
由△ACF≌△BEC，得∠ACD=∠E,若要∠ACD=∠BCE，则需∠E＝∠BCE，则需BC=BE，显然不成立，故③选项错误3.如图，点E是BC的中点，∠BAE=∠CDE，延长DE到点F使得EF=DE，连接BF，则下列说法正确的是（）①BF∥CD ②△BFE≌△CDE ③AB=BF ④△ABE为等腰三角形A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④ 答案：A解题思路：可以先证明△BEF≌△CED，可以得到②正确，进而得到∠F=∠D，BF∥CD，①正确，又∵∠BAE=∠CDE=∠F，∴AB=BF，③正确。
④不正确。
4.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为（）答案：C解题思路：延长FE交DA的延长线于点M，则可证△AEM≌△BEF，再证明△GEM≌△GEF，可以得到GF=GM=GA+BF=3，答案选C5.如图，在△ABC中，点D、E为边BC的三等分点，则下列说法正确的有（）①BD=DE=EC ②AB+AE＞2AD ③AD+AC＞2AE ④AB+AC＞AD+AE 个个个个答案：D解题思路：点D、E为边BC的三等分点，∴BD=DE=CE延长AD至点M，AE至点N，使得DM=AD，EN=AE，连接EM、CN，则可证明△ABD≌△MED，进而可得AB+AE＞2AD，再证明△ADE≌△NCE，进而可得AD+AC＞2AE，将两式相加可得到AB+AE+AD+AC＞2AD+2AE,即AB+AC＞AD+AE.∴①②③④均正确。
全等三角形辅助线之倍长中线法
全等三角形辅助线之倍长中线法-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1全等三角形辅助线之倍长中线法倍长中线法：遇中线，要倍长，倍长之后有全等．当倍长后，连接方式不一样，可以产生更多结论如下：与倍长中线法类似的辅助线作法M ABCDEMD E MD=DE CE BDM CDE BM CE∆≅∆延长至，使，连接可证，AD ABC ∆为的中线DC BAEAD E AD=DE CE BE CE ABEC 延长至，使，当连接时，结论相似； 当连接、，则为平行四边形AD E DE=AD BE ADC EDB AD=DE ADC=EDB BD=CDADC EDB(SAS)AC BE∆∆∠∠∆≅∆延长至使，连接在和中，，故与此相关的重要结论AD ABC ∆为的中线D CB AE举例：如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中D CB AEAD E DE=AD BE ADC EDB AD=DE ADC=EDB BD=CDADC EDB(SAS)AB-BE AE AB+BE AE <AD<∆∆∠∠∆≅∆<<<<延长至使，连接在和中，，故即２８１４FE G FE=GE EGC ()EFD ∆≅∆延长至，使可证平行线夹中点F EDCBA G如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 上一点，BE=AC ，BE 的延长线交AC 于点F ．求证：∠AEF=∠EAF．F EDCBA 321MA BCD EF1.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．（1）按要求作图：延长AD到点E，使DE=AD；连接BE．（2）求证：△ACD≌△EBD．（3）求证：AB+AC >2AD．（4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．求证：AB=AC．3. 如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且AB =AC ．求证：①CE =2CD ；②CB 平分∠DCE ．4. 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE的延长线交AC 于点F ． 求证：∠AEF =∠EAF ．5. 如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 的中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交AB于点G ，BG =CF ．求证：AD 为△ABC 的角平分线．6. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 是CD 的中点，且AF ⊥AB ，已知AD =，AE =BE =5，求CE 的长．GFE DB AE D CB AF EDBAGFE DB AGDAFE DCB A7. 如图，在正方形ABCD 中，CD =BC ，∠DCB =90°，点E 在CB 的延长线上，过点E 作EF ⊥BE ，且EF=BE ．连接BF ，FD ，取FD 的中点G ，连接EG ，CG ． 求证：EG =CG 且EG ⊥CG ．【参考答案】课前预习1. （1）相等，SSS ；夹角，SAS ；夹边，ASA ；对边，AAS ；直角，HL（2）全等，三，边 2. （1）证明：如图∵O 是AB 的中点 ∴AO =BO在△AOC 和△BOD 中AO BO AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOC ≌△BOD （SAS ） （2）证明：如图 ∵O 是AB 的中点 ∴AO =BO ∵AC ∥BD ∴∠A =∠B在△AOC 和△BOD 中A B AO BOAOC BOD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AOC ≌△BOD （ASA ） 典型题型 1. 解：（1）如图，（2）证明：如图， ∵AD 为BC 边上的中线 ∴BD =CD21BC DA在△BDE 和△CDA 中12BD CD ED AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ） （3）证明：如图， ∵△BDE ≌△CDA ∴BE =AC ∵DE =AD ∴AE =2 AD在△ABE 中，AB +BE >AE ∴AB +AC >2AD （4）在△ABE 中，AB BE <AE <AB +BE由（3）得 AE =2AD ，BE =AC ∵AC =3，AB =5 ∴53<AE <5+3∴2<2AD <8 ∴1<AD <42. 证明：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE在△ADC 和△EDB 中CD BD ADC EDB AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△EDB （SAS ） ∴AC =EB ，∠2=∠E ∵AD 平分∠BAC21EDCBA∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC3. 证明：如图，延长CD 到F ，使DF =CD ，连接BF∴CF =2CD∵CD 是△ABC 的中线∴BD =AD在△BDF 和△ADC 中BD AD ADC BDF DF DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△ADC （SAS ） ∴BF =AC ，∠1=∠F ∵CB 是△AEC 的中线 ∴BE =AB ∵AC =AB ∴BE =BF ∵∠1=∠F ∴BF ∥AC∴∠1+∠2+∠5+∠6=180° 又∵AC =AB ∴∠1+∠2=∠5 又∵∠4+∠5=180° ∴∠4=∠5+∠6 即∠CBE =∠CBF 在△CBE 和△CBF 中CB CB CBE CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBE ≌△CBF （SAS ） ∴CE =CF ，∠2=∠3 ∴CE =2CDCB 平分∠DCE4. 证明：如图，延长AD 到M ，使DM =AD ，连接BM∵D 是BC 边的中点∴BD =CD在△ADC 和△MDB 中CD BD ADC MDB AD MD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△MDB （SAS ） ∴∠1=∠M ，AC =MB ∵BE =AC ∴BE =MB ∴∠M =∠3 ∴∠1=∠3 ∵∠3=∠2 ∴∠1=∠2 即∠AEF =∠EAF5. 证明：如图，延长FE 到M ，使EM =EF ，连接BM∵点E 是BC 的中点∴BE =CE在△CFE 和△BME 中321AFG 321MABCDEFFE ME CEF BEM CE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CFE ≌△BME （SAS ） ∴CF =BM ，∠F =∠M ∵BG =CF ∴BG =BM ∴∠1=∠M ∴∠1=∠F ∵AD ∥EF∴∠3=∠F ，∠1=∠2 ∴∠2=∠3即AD 为△ABC 的角平分线6. 解：如图，延长AF 交BC 的延长线于点G∵AD ∥BC ∴∠3=∠G∵点F 是CD 的中点∴DF =CF在△ADF 和△GCF 中3G AFD GFC DF CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△GCF （AAS ）∴AD =CG ∵AD =∴∠1=∠B ∵AB ⊥AF ∴∠1+∠2=90° ∠B +∠G =90° ∴∠2=∠G ∴EG =AE =5 ∴CE =EG CG=5 =7. 证明：如图，延长EG 交CD 的延长线于点M由题意，∠FEB =90°，∠DCB =90°∴∠DCB +∠FEB =180° ∴EF ∥CD ∴∠FEG =∠M ∵点G 为FD 的中点 ∴FG =DG在△FGE 和△DGM 中1M FGE DGM FG DG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FGE ≌△DGM （AAS ） ∴EF =MD ，EG =MG∵△FEB 是等腰直角三角形M2134GFDA在正方形ABCD 中，BC =CD ∴BE +BC =MD +CD 即EC =MC∴△ECM 是等腰直角三角形 ∵EG =MG∴EG ⊥CG ，∠3=∠4=45° ∴∠2=∠3=45° ∴EG =CG三角形全等之倍长中线（实战演练）1. 在△ABC 中，AC =5，中线AD =4，则边AB 的取值范围是_______________． 思路分析：①画出草图，标注条件：②根据题目条件，见_________，考虑_____________；添加辅助线是______________________________________；③倍长之后证全等：__________≌___________（ ），证全等转移边：______=_______； ④全等转移条件后，利用三角形三边关系可以得到AB 的取值范围．2. 如图，在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，且AG =1，BF =2．若GE ⊥EF ，则GF 的长为多少G FEAD BC【参考答案】1. 3<AB <13①图略②中线AD 倍长中线 延长AD 到点E ，使DE =AD ，连接CE ③△ADC △EDB SAS AC EB ④略2. AD ∥BC ，E 为AB 边的中点，平行夹中点；AG =BH ，GE =HE ；到线段两端点的距离相等，FH ，AG +BF 解：如图，延长GE 交CB 的延长线于点H ∵AD ∥BC ∴∠GAE =∠HBE ∵E 为AB 边的中点 ∴AE =BE在△AGE 和△BHE 中，AEG BEH AE BEGAE HBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AGE ≌△BHE （ASA ） ∴BH =AG ，HE =GE ∵GE ⊥EF ∴GF =HF ∵BF =2，AG =1 ∴GF =HF =BF +BH =BF +AG =2+1 =3三角形全等之倍长中线（作业）例题示范例1：已知：如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D ，E 在BC 上，且DE =EC ，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF =AC ．求证：AE 平分∠BAC ．【思路分析】读题标注：见中线，要倍长，倍长之后证全等．结合此题，DE =EC ，点E 是DC 的中点，考虑倍长，有两种考虑方法： ①考虑倍长FE ，如图所示： ②考虑倍长AE ，如图所示：（这个过程需要考虑倍长之后具体要连接哪两个点）倍长中线的目的是为了证明全等：以方法①为例，可证△DEF ≌△CEG ，由全等转移边和角，重新组织条件证明即可． 【过程书写】证明：如图，延长FE 到G ，使EG =EF ，连接CG ．在△DEF 和△CEG 中，ED EC DEF CEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEF ≌△CEG （SAS ） ∴DF =CG ，∠DFE =∠G ∵DF =AC ∴CG =AC ∴∠G =∠CAE ∴∠DFE =∠CAE ∵DF ∥AB ∴∠DFE =∠BAEA D CEFA B DCE F？？GG？？FECDBA ？？FE CD B A A B DCE F？？G∴∠BAE =∠CAE ∴AE 平分∠BAC巩固练习1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =4，AC =2，点D 为BC 边的中点，且AD 是整数，则AD =________．2. 已知：如图，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，点E 为CD 上一点，且AD =DE ，EF ∥BC 交BD 于F ．求证：AB =EF ．3. 已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，分别以AB ，AC 为直角边向外作等腰直角三角形，AB =AE ，AC =AF ，∠BAE =∠CAF =90°． 求证：EF =2AD ．4. 如图，在△ABC 中，AB >AC ，E 为BC 边的中点，AD 为∠BAC 的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G ． 求证：BF =CG ．5. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 是CDD CBAF E DCBAFEB AG FED CBADA的中点，连接AF ，EF ，AE ，若∠DAF =∠EAF ，求证：AF ⊥EF ．思考小结1. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．比较下列两种不同的证明方法，并回答问题． 方法1：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE 在△BDE 和△CDA 中BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ） ∴AC =BE ，∠E =∠2 ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC 方法2：如图，过点B 作BE ∥AC ，交AD 的延长线于点E ∵BE ∥AC ∴∠E =∠2在△BDE 和△CDA 中2E BDE CDA BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （AAS ） ∴BE =AC ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC21ECDB A 21ECDB A DBA相同点：两种方法都是通过辅助线构造全等，利用全等转移条件进而解决问题．方法1是看到中点考虑通过___________构造全等，方法2是通过平行夹中点构造全等． 不同点：倍长中线的方法在证明全等时，利用的判定是________，实质是构造了一组对应边相等；利用平行夹中点证明全等时，利用的判定是_____，实质是利用平行构造了一组_____相等． 2. 利用“倍长中线”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．请你尝试进行证明．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是斜边AB 的中线．求证：CD 12AB ．【参考答案】巩固练习 1. 22. 证明略（提示：延长FD 到点G ，使得DG =DF ，连接AG ，证明△ADG ≌△EDF ，转角证明AB =EF ）3. 证明略（提示：延长AD 到点G ，使得GD =AD ，连接CG ，证明△ABD ≌△GCD ，△EAF ≌△GCA ）4. 证明略（提示：延长FE 到点H ，使得EH =FE ，连接CH ，证明△BFE ≌△CHE ，转角证明BF =CG ）5. 证明略（提示：延长AF 交BC 的延长线于点G ，证明△ADF ≌△GCF ，转角证明AF ⊥EF ） 思考小结 1. 倍长中线 SAS AAS角2. 证明略DCB A。
2023中考数学常见几何模型《全等模型-倍长中线与截长补短》含答案解析
专题01 全等模型--倍长中线与截长补短全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
【常见模型及证法】1、基本型：如图1，在三角形ABC 中，AD 为BC 边上的中线.证明思路：延长AD 至点E ，使得AD =DE . 若连结BE ，则BDE CDA ∆≅∆；若连结EC ，则ABD ECD ∆≅∆；2、中点型:如图2，C 为AB 的中点.证明思路：若延长EC 至点F ，使得CF EC =，连结AF ，则BCE ACF ∆≅∆;若延长DC 至点G ，使得CG DC =，连结BG ，则ACD BCG ∆≅∆.3、中点+平行线型：如图3, //AB CD ，点E 为线段AD 的中点.证明思路：延长CE 交AB 于点F (或交BA 延长线于点F )，则EDC EAF ∆≅∆.1．（2022·山东烟台·一模）（1）方法呈现：如图①：在ABC 中，若6AB =，4AC =，点D 为BC 边的中点，求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE AD =，再连接BE ，可证ACD EBD △≌△，从而把AB 、AC ，2AD 集中在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在ABC 中，点D 是BC 的中点，DE DF ⊥于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，判断BE CF +与EF 的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AF 与DC 的延长线交于点F 、点E 是BC 的中点，若AE 是BAF ∠的角平分线．试探究线段AB ，AF ，CF 之间的数量关系，并加以证明．2．（2022·河南南阳·中考模拟）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：如图，在ABC 中，D 是边BC 的中点，过点C 画直线CE ，使//CE AB ，交AD 的延长线于点E ，求证：AD ED=证明∵//CE AB （已知）∴ABD ECD ∠=∠，BAD CED ∠=∠（两直线平行，内错角相等）．在ABD △与ECD 中，∵ABD ECD ∠=∠，BAD CED ∠=∠（已证），BD CD =（已知），∴()A.A.S ABD ECD △△≌，∴AD ED =（全等三角形的对应边相等）．（1）【方法应用】如图①，在ABC 中，6AB =，4AC =，则BC 边上的中线AD 长度的取值范围是______．（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD 中，//AB CD ，点E 是BC 的中点，若AE 是BAD ∠的平分线，试猜想线段AB 、AD 、DC 之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）【拓展延伸】如图③，已知//AB CF ，点E 是BC 的中点，点D 在线段AE 上，EDF BAE ∠=∠，若5AB =，2CF =，求出线段DF 的长．3．（2022·河北·中考模拟）倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段a 要满足两个条件：①线段a 一个端点是图中一条线段b 的中点；②线段a 与这条线段b 不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题．【应用举例】如图（1），已知：AD 为ABC ∆的中线，求证：2AB AC AD +>．简证：如图（2），延长AD 到E ，使得DE AD =，连接CE ，易证ABD ECD ∆≅∆，得AB = ，在ACE ∆中，AC CE +> ，2AB AC AD +>．【问题解决】（1）如图（3），在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，求证：AF EF =．（2）如图（4），在ABC ∆中，90,A D ∠=︒是BC 边的中点，E F 、分别在边AB AC 、上，DE DF ⊥，若3,4BE CF ==，求EF 的长．（3）如图（5），AD 是ABC ∆的中线，,AB AE AC AF ==，且90BAE FAC ∠=∠=︒，请直接写出AD 与EF 的数量关系_ 及位置关系_ ．模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。
倍长中线最全总结。例题+练习(附答案)
倍长中线最全总结。
例题+练习(附答案)中线是三角形中的重要线段之一。
在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。
倍长中线指的是延长三角形中线，使得延长后的线段是原中线的2倍。
其目的是为了构造一对8字型全等三角形（SAS），从而实现边角的转移。
以三角形ABC为例，延长中线AD至点E，使得DE=AD，连接BE。
根据三角形的SAS全等条件，可以得出结论：△ACD≌△BED，AC=BE，∠CAD=∠BED，AC∥BE。
同样地，延长中线CD至点F，使得DE=DF，连接CF。
根据三角形的SAS全等条件，可以得出结论：△BED≌△CFD，CF=BE，∠CFD=∠BED，CF∥BE。
在利用倍长中线法时，需要注意延长哪一条线段或者类中线。
倍长之后，需要考虑连接哪一条线段从而构造全等，实现所需的线段进行转移。
举例来说，如图所示，在三角形ABC中，需要证明AB+AC>2AD。
延长中线AD至点E，使得DE=AD，构造△ADC和△EDB，根据三角形的三边关系可得AB+AC>2AD。
另外，还有一道题目是需要求解AD的取值范围。
在三角形ABC中，D为BC的中点。
根据三角形的三边关系可得5-3<2AD<5+3，即AD的取值范围为1<AD<4.证明：延长AD到F，使DF=AD，连接BF（如图）。
因为AD是中线，所以BD=DC=AC，又因为DF=AD，所以BD=BF，所以AB>BF。
由三角形的三边关系，在三角形ABF中，有AB+BF>AF，即2AD<AB+AC，证毕。
2）因为AD是中线，所以BD=DC=AC，又因为DF=AD，所以BD=BF，所以AB>BF。
由相似三角形ADC和FDB，得到∠CAD=∠F，由边的大小关系可得到∠BAD>∠DAC，证毕。
3）同（2），由相似三角形ADC和FDB，得到AE/AD=BF/BD<1，即AE<AD，证毕。
三角形全等之倍长中线(习题及答案)
三角形全等之倍长中线（习题）例题示范例1：已知：如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E在BC上，且DE=EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF=AC．求证：AE平分∠BAC．【思路分析】读题标注：见中线，要倍长，倍长之后证全等．结合此题，DE=EC，点E是DC的中点，考虑倍长，有两种考虑方法：①考虑倍长FE，如图所示：②考虑倍长AE，如图所示：（这个过程需要考虑倍长之后具体要连接哪两个点）倍长中线的目的是为了证明全等：以方法①为例，可证△DEF≌△CEG，由全等转移边和角，重新组织条件证明即可．【过程书写】证明：如图，延长FE 到G ，使EG =EF ，连接CG．在△DEF 和△CEG 中，ED EC DEF CEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEF ≌△CEG （SAS ）∴DF =CG ，∠DFE =∠G∵DF =AC∴CG =AC∴∠G =∠CAE∴∠DFE =∠CAE∵DF ∥AB∴∠DFE =∠BAE∴∠BAE =∠CAE∴AE 平分∠BAC巩固练习1.已知：如图，在△ABC 中，AB =4，AC =2，点D 为BC 边的中点，且AD 是整数，则AD =________．2.已知：如图，BD平分∠ABC交AC于D，点E为CD上一点，且AD=DE，EF∥BC交BD于F．求证：AB=EF．3.已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°．求证：EF=2AD．4.如图，在△ABC中，AB>AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA 的延长线于G．求证：BF=CG．5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，连接AF，EF，AE，若∠DAF=∠EAF，求证：AF⊥EF．思考小结1.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC．比较下列两种不同的证明方法，并回答问题．方法1：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE在△BDE 和△CDA 中BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ）∴AC =BE ，∠E =∠2∵AD 平分∠BAC∴∠1=∠2∴∠1=∠E∴AB =BE∴AB =AC方法2：如图，过点B 作BE ∥AC ，交AD 的延长线于点E∵BE ∥AC∴∠E =∠2在△BDE 和△CDA 中2E BDE CDA BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （AAS ）∴BE =AC∵AD 平分∠BAC∴∠1=∠2∴∠1=∠E∴AB=BE∴AB=AC相同点：两种方法都是通过辅助线构造全等，利用全等转移条件进而解决问题．方法1是看到中点考虑通过___________构造全等，方法2是通过平行夹中点构造全等．不同点：倍长中线的方法在证明全等时，利用的判定是________，实质是构造了一组对应边相等；利用平行夹中点证明全等时，利用的判定是_____，实质是利用平行构造了一组_____相等．2.利用“倍长中线”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．请你尝试进行证明．已知：如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是斜边AB的中线．求证：CD12AB．【参考答案】巩固练习1.22.证明略（提示：延长FD到点G，使得DG=DF，连接AG，证明△ADG≌△EDF，转角证明AB=EF）3.证明略（提示：延长AD到点G，使得GD=AD，连接CG，证明△ABD≌△GCD，△EAF≌△GCA）4.证明略（提示：延长FE到点H，使得EH=FE，连接CH，证明△BFE≌△CHE，转角证明BF=CG）5.证明略（提示：延长AF交BC的延长线于点G，证明△ADF≌△GCF，转角证明AF⊥EF）思考小结1.倍长中线SAS AAS角2.证明略。
全等三角形倍长中线(含答案)
全等三角形倍长中线三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．例1、已知：ABC ∆中，AM 是中线．求证：1()2AM AB AC <+．AMDCB【解析】 如图所示，延长AM 到D ，使DM AM =，连结BD ，利用SAS 证得ACM ∆≌DBM ∆，∴BD AC =ABD ∆中，AD AB BD <+，∴2AM AB AC <+∴1()2AM AB AC <+练习：在ABC ∆中，5,9AB AC ==，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？ 【解析】 中线倍长，27AD <<例2、如图，ABC ∆中，<AB AC ，AD 是中线．求证：<DAC DAB ∠∠．DCBAEABCD【解析】 延长AD 到E ，使AD DE =，连结BE ．在ADC ∆和EDB ∆中AD EDADC EDB DC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADC EDB ∆∆≌∴AC EB =，CAD BEA ∠=∠ 在ABE ∆中，∵<AB AC ，∴AB EB <∴<AEB EAB ∠∠，∴<DAC DAB ∠∠．(如果取AB 中点用中位线也可证，目前还不能)例3、如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．F ED C BA G FEDCBA【解析】 延长AD 到G ，使DG AD =，连结BG∵BD CD =，BDG CDA ∠=∠，AD GD = ∴ADC GDB ∆∆≌ ∴AC GB =．G EAF ∠=∠ 又∵AF EF =，∴EAF AEF ∠=∠ ∴G BED ∠=∠∴BE BG =，∴BE AC =．例4、如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．F GE DCBAHAF GBE DC【解析】 延长FE 到点H ，使HE FE =，连结BH ．在CEF ∆和BEH ∆中 CE BECEF BEH FE HE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CEF BEH ∆∆≌∴EFC EHB ∠=∠，CF BH BG == ∴EHB BGE ∠=∠，而BGE AGF ∠=∠ ∴AFG AGF ∠=∠ 又∵EF AD ∥∴AFG CAD ∠=∠，AGF BAD ∠=∠ ∴CAD BAD ∠=∠∴AD 为ABC ∆的角平分线．例5、已知△ABC ，B ACB ∠=∠，D ，E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD =CE ，连接DE 交底BC 于G ，求证GD =GE ．4321GEDCBAFE G D CBA【解析】 (等腰三角形、线段相等)(一)过E 作EF ∥AB ，交BC 的延长线于F ，则∠B =∠F ∵∠3=∠4 ，∠3=∠B ∴∠4=∠F ∴CE =EF 在△GEF 与△GDB 中， 12DB CE EF B F ∠=∠⎧⎪==⎨⎪∠=∠⎩∴△GFE ≌△GBD ∴DG GE = 证明(二)4321FKGED CBA过D ，E 分别作直线DK ⊥CB ，EF ⊥CB ∵∠1=∠2 ∠2=∠B ∴∠1=∠B 又 ∵BD =CE ∴Rt △BDK ≌△CEF ∴DK =EF 又∵∠3=∠4．∴Rt △DKG ≌Rt △EFG ∴GD =GE 证明(三)F K1EGD C BA过D 点作DK ∥AC 交BC 于K 过D 点作DF ∥BC 交AC 于F ∴ 四边形DKCF 是开行四边形 ∴ DK =FC ∠1=∠C ∵∠C =∠B ∴∠1=∠B ∴DB =DK =CE =CF∴C 是EF 中点，∴BC ∥DF ∴G 是DE 中点，∴DG =EG 注(此题还有他法，可补充)例6、已知AM 为ABC ∆的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．MFECBANMFE CBA【解析】 延长FM 到N ，使MN MF =，连结BN 、EN ．易证BNM ∆≌CFM ∆，∴BN CF =，又∵AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ， ∴90EMF EMN ∠=∠=，利用SAS 证明EMN ∆≌EMF ∆，∴EN EF =， 在EBN ∆中，BE BN EN +>，∴BE CF EF +>．例7、已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F ．求证：BCE FDE ∆∆≌．DFECBA【解析】 ∵点E 是DC 中点∴DE CE =又∵AD BC ∥，F 在AD 延长线上 ∴DFE CBE ∠=∠，FDE BCE ∠=∠ 在BCE ∆与FDE ∆中EBC EFDECB EDF CE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BCE FDE AAS ∆∆≌例8、如图，在ABC ∆中，D 是BC 边的中点，F ，E 分别是AD 及其延长线上的点，CF BE ∥．求证：BDE CDF ∆∆≌．FEDCBA【解析】 ∵CF BE ∥，∴EBD FCD ∠=∠．又∵BDE CDF ∠=∠，BD CD =， ∴BDE CDF ∆∆≌．例9、在Rt ABC ∆中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=︒．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．图 6G EF D BCA【解析】 如图、延长DF 至点G ，使得DF FG =，联结GB 、GE ．由AF FB =，有ADF BGF ∆∆≌3BG AD ⇒== ADF BGF ⇒∠=∠AD GB ⇒∥180GBE ACB ⇒∠+∠=︒ 90GBE ⇒∠=︒5GE ⇒．又DF FG =，EF DG ⊥5DE GE ⇒==．例10、如图所示，在ABC ∆和A B C '''∆中，AD 、A D ''分别是BC 、B C ''上的中线，且AB A B ''=，AC A C ''=，AD A D ''=，求证ABC A B C '''∆∆≌．EDCABB'A'C'D'【解析】 如图所示，分别延长AD 、A D ''至E 、E '，使DE AD =，D E A D ''''=．连接BE 、B E ''，则2AE AD =，2A E A D ''''=． 因为AD A D ''=，所以AE A E ''=．在ADC ∆和EDB ∆中，AD ED =，ADC EDB ∠=∠，BD CD =， 故ADC EDB ∆∆≌，从而AC EB =，E CAD ∠=∠．同理，'A D C E D B '''''∆∆≌，则A C E B ''''=，E C A D ''''∠=∠． 因为AC A C ''=，所以BE B E ''=．在ABE ∆和A B E '''∆中，AB A B ''=，BE B E ''=，AE A E ''=， 所以ABE A B E '''∆∆≌，从而E E '∠=∠，BAE B A E '''∠=∠，故CAD E E C A D ''''∠=∠=∠=∠，则BAC B A C '''∠=∠．在ABC ∆和A B C '''∆中，AB A B ''=，BAC B A C ''∠=∠，AC A C ''=，故ABC A B C '''∆∆≌．练习1、如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作AE DE ⊥，AF DF ⊥，且AE AF =．求证：EDB FDC ∠=∠．DF ECBADBCFAE【解析】 本题相对例题简单一些．连结AD ，则AD BC ⊥．∵AE AF =，AD AD =，∴Rt Rt AED AFD ∆∆≌ ∴ADE ADF ∠=∠，∴EDB FDC ∠=∠．2、如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =， 延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？FED CBA【解析】 延长AD 到G ，使DG AD =，连结BG∵BD CD =，BDG CDA ∠=∠，AD GD = ∴ADC GDB ∆∆≌． ∴AC GB =．G EAF ∠=∠ 又∵BE AC =，∴BE BG = ∴G BED ∠=∠，而BED AEF ∠=∠ ∴AEF FAE ∠=∠，故FA FE =．3、如右下图，在ABC ∆中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．【解析】如右下图，则取AC边中点F，连结EF、DF．由中位线可得，1 2EF AB=且B CEF∠=∠．DF为Rt ADC∆斜边上的中线，∴DF CF=．∴CDF C∠=∠，又∵DFE FDE CEF∠+∠=∠，即2C DFE C∠+∠=∠，∴DFE EDF∠=∠，∴12DE EF AB==，∴2AB DE=．FAB D E C4、如图，已知AB=DC，AD=BC，O是BD中点，过O点的直线分别交DA、BC的延长线于E，F．求证：∠E=∠F【解析】(提示：由△ABD≌△CDB，得∠1=∠2，过而△EOD≌△FOB，故∠E=∠F)5、如图，ABC∆中，AB AC=，90BAC∠=︒，D是BC中点，ED FD⊥，ED与AB交于E，FD与AC交于F．求证：BE AF=，AE CF=．AB CDEF FED CBA【解析】方法一：连结AD．∵AB AC=，90BAC∠=︒∴45B C∠=∠=∠︒∵D是BC中点∴45BAD∠=︒且AD BC⊥∵ED DF⊥∴90EDA ADF ∠+∠=︒ ∵90ADE EDB ∠+∠=︒ ∴BDE ADF ∠=∠在BDE ∆与ADF ∆中，AD BD =，45DAF B ∠=∠=︒，BDE ADF ∠=∠ ∴BDE ADF ∆∆≌∴BE AF =．∴AE CF =．。
倍长中线最全总结 例题+练习(附答案)
倍长中线知识导航中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。
倍长中线：延长三角形中线，是得延长后的线段是原中线的2倍。
目的是为构造一对8字型全等三角形（SAS ），从而实现边角的转移。
易错点睛倍长中线的目的在于转移边角，需要注意的是要注意延长哪一条线段或者类中线；倍长之后，需要考虑连接哪一条线段从而构造全等，实现所需的线段进行转移。
DAB C模块一 有关倍长中线的全等模型【范例】（2014秋•江汉区校级月考）如图，在ABC ∆中，AD 为中线，求证：2AB AC AD +>．【分析】延长AD 至E ，使DE AD =，构造ADC EDB ∆≅∆，再根据三角形的三边关系可得 2AB AC AD +>。
【解答】证明：由BD CD =，再延长AD 至E ，使DE AD =，D 为BC 的中点，DB CD ∴=，在ADC ∆和EDB ∆中AD DE ADC BDE DB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADC EDB SAS ∴∆≅∆， BE AC ∴=，在ABE ∆中，AB BE AE +>，2AB AC AD ∴+>；BB【核心考点1】倍长中线1．（2016秋•五莲县期中）如图，ABC ∆中，D 为BC 的中点． （1）求证：2AB AC AD +>；（2）若5AB =，3AC =，求AD 的取值范围．【分析】（1）再延长AD 至E ，使DE AD =，构造ADC EDB ∆≅∆，再根据三角形的三边关 系可得2AB AC AD +>；（2）直接利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三 边可得53253AD -<<+，再计算即可． 【解答】（1）证明：由BD CD =，再延长AD 至E ，使DE AD =，D 为BC 的中点，DB CD ∴=，在ADC ∆和EDB ∆中AD DEADC BDE DB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADC EDB SAS ∴∆≅∆， BE AC ∴=，在ABE ∆中，AB BE AE +>，2AB AC AD ∴+>；（2）5AB =，3AC =，53253AD ∴-<<+，14AD ∴<<．DABC2．如图，ABC ∆中，BD DC AC ==，E 是DC 的中点，求证：AD 平分BAE ∠．【分析】延长AE 到M ，使EM AE =，连结DM ，由SAS 证明DEM CEA ∆≅∆，得出C MDE ∠=∠，DM AC =，证出DM BD =，ADM ADB ∠=∠，由SAS 证明ADB ADM ∆≅∆，得出BAD MAD ∠=∠即可．【解答】证明：延长AE 到M ，使EM AE =，连结DM ，如图所示：E 是DC 的中点，DE CE ∴=，在DEM ∆和CEA ∆中，EM AE DEM CEADE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DEM CEA SAS ∴∆≅∆， C MDE ∴∠=∠，DM AC =，又BD DC AC ==，DM BD ∴=，ADC CAD ∠=∠，又ADB C CAD ∠=∠+∠，ADM MDE ADC ∠=∠+∠，ADM ADB ∴∠=∠，在ADB ∆和ADM ∆中，AD AD ADB ADMBD DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB ADM SAS ∴∆≅∆，BAD MAD ∴∠=∠，即AD 平分BAE ∠。
初二上学期全等三角形专题之倍长中线与截长补短教案(有答案)
倍长中线与截长补短互动精讲知识点一.倍长中线【知识梳理】∆ABC中AD是BC边中线方式延长AD到E,使DE二AD,连接BE•E方式2：间接倍长，延长MD到N,使DfMD,连接CN作CF丄AD于F,作BE丄AD的延长线于E连接BE【例题精讲】例1、∆ABC 中，AB 二5, AC=3,求中线AD 的取值范围。
.∙. BD= CD I∙.∙ BD = CD t ZADC=ZBDE t AD=DE t ：.AADC 9 ΔEDB t：.EB=AC I 根据三角形的三边关系定理：5-3<∕lE<5 + 3 r .•・ 1 < AD < 4.例2、已知：如图，在ΔABC 中，ABHAC, D 、E 在BC 上，且DE 二EC,过D 作DF//BA 交AE 于点F, DF=AC.求证：AE 平分ZBAC≡ΔPEF 和 ZSCEG 中. ED= EC ZDEF = ZCEG , FE=EG・・^DEF 竺ΔCEG. ∖ DF=GC t ZDFE=ZG. ・• DF // AB l ・.ZDFE=乙BAE. :DF = AC l •・ GC=AC.・.厶G =ECAE..ZBAE=ZCA E .即AE 平分上BAC.{证明：如图，延长FE 到G,使EG=EF ,连接CG.E'：AD 是厶ABC 的中线，【课堂练习】1、在AABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC,延长BE交AC于F,求证：AF = EFOCG-AD是BC边上的中线（已知），•・.DC=DB .在厶ADC和AGDB中，'AD=DG< Z4DC-ZGDB(对顶角相等)DC=DBj.^ADC ^GDB(SAS) I:•厶CAD =厶G ■ BG=ACXv BE=AC e・・.BE=BG ,・・・ZBED ZG ,・.・ ZBED= ZAEF t .∖ΛΛEF^= Z.CAD t 即：/.AEF≈ΔFAE t.・・ AF = EF.2、如图，∆ABC中，E、F分别在AB、AC ±, DE丄DF, D是中点，试比较BE+CF 与EF的大小・BE + CF > FP = EF・延长ED 至P , ^DP = DE t连接FP l CP t•・・D是BC的中点，/. BD= CD I在HBDE和ΔCZ)Pφf(DP=DE< 乙EDB=乙CDP[BD=CD・•・ 5BDE ^^CDP(SAS) f.∙. BE=CP l∖∙ DELDF I DE=DP J.∙. EF = FP,(垂直平分线上的点到线段两端点距离相等) 在厶CFP中.CP + CF = BE+ CF > FP = EF・知识点二.截长补短 【知识梳理】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。
初中数学全等专题倍长中线法(含答案)
初中数学全等专题倍长中线法(含答案)
得到AD+AC＞2AE，故②、③正确。
由于
∠BAE=∠CDE，故ABE和CDE相似，因此XXX，所以
AB+AC＞AD+AE，即AB+AC＞AD+AD，即AB+AC＞2AD，故④正确。
故选项D全部正确。
根据题意可知，AD+AC＞2AE，将两式相加可得到XXX
＞2AD+2AE，即AB+AC＞AD+AE。
因此，可以得出
①②③④均正确的结论。
首先，根据题目要求，需要删除明显有问题的段落。
因此，可以删除最后一段话，因为它没有任何意义。
其次，需要修正文章中的格式错误。
可以将每个式子单独成行，以突出重点。
同时，可以使用符号“=”、“＞”等来表示
不同的关系，使文章更加清晰明了。
最后，需要对每段话进行小幅度的改写，以使其更加流畅自然。
例如，可以使用更加简洁的语言，避免重复和冗长，同时保持逻辑严密。
综上所述，修正后的文章如下：
根据题意可知，有AD+AC＞2AE。
将两式相加可得到XXX＞2AD+2AE，即AB+AC＞AD+AE。
因此，可以得出
①②③④均正确的结论。
首先，由题目可知BF∥CD。
其次，根据题意，可以得出△XXX≌△XXX。
因此，可以得出AB=BF。
最后，由题目可知△ABE为等腰三角形。
倍长中线法
(1)．倍长中线法：1、已知，如图，△ABC 中，D 是BC 中点，DE⊥DF,试判断BE ＋CF 与EF 的大小关系，并证明你的结论.【答案与解析】BE ＋CF ＞EF ；证明：延长FD 到G ，使DG ＝DF,连结BG 、EG∵D 是BC 中点∴BD＝CD又∵DE⊥DF在△EDG 和△EDF 中ED ED EDG EDF DG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EDG ≌△EDF （SAS ）∴EG＝EF在△FDC 与△GDB 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DG DF BD CD 21∴△FDC≌△GDB(SAS)∴CF＝BG∵BG＋BE ＞EG∴BE＋CF ＞EF【点评】因为D 是BC 的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段DF ，使DG ＝DF,证明△EDG≌△EDF ，△FDC≌△GDB，这样就把BE 、CF 与EF 线段转化到了△BEG 中，利用两边之和大于第三边可证.有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）.举一反三：【变式】已知：如图所示，CE 、CB 分别是△ABC 与△ADC 的中线，且∠ACB ＝∠ABC．求证：CD ＝2CE ．【答案】证明：延长CE至F使EF＝CE，连接BF．∵ EC为中线，∴ AE＝BE．在△AEC与△BEF中，,,,AE BEAEC BEF CE EF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEC≌△BEF（SAS）．∴ AC＝BF，∠A＝∠FBE．（全等三角形对应边、角相等）又∵∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A．∴ AC＝AB，∠DBC＝∠FBC．∴ AB＝BF．又∵ BC为△ADC的中线，∴ AB＝BD．即BF＝BD．在△FCB与△DCB中，,,,BF BDFBC DBC BC BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FCB≌△DCB（SAS）．∴ CF＝CD．即CD＝2CE．(2)．作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形2、已知：如图所示，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2．求证：AB＝AC＋CD．【答案与解析】证明：在AB上截取AE＝AC．在△AED与△ACD中，()12()() AE ACAD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩已作，已知，公用边，∴△AED≌△ACD（SAS）．∴ ED＝CD．∴ ∠AED ＝∠C(全等三角形对应边、角相等)．又∵ ∠C ＝2∠B ∴∠AED ＝2∠B ．由图可知：∠AED ＝∠B ＋∠EDB ，∴ 2∠B ＝∠B ＋∠EDB ．∴ ∠B ＝∠EDB ．∴ BE ＝ED ．即BE ＝CD ．∴ AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋CD(等量代换)．【点评】本题图形简单，结论复杂，看似无从下手，结合图形发现AB ＞AC ．故用截长补短法．在AB 上截取AE ＝AC ．这样AB 就变成了AE ＋BE ，而AE ＝AC ．只需证BE ＝CD 即可．从而把AB ＝AC ＋CD 转化为证两线段相等的问题．举一反三：【变式】如图，AD 是ABC ∆的角平分线，H ，G 分别在AC ，AB 上，且BD HD =.(1)求证：B ∠与AHD ∠互补；(2)若︒=∠+∠1802DGA B ，请探究线段AG 与线段AH 、HD 之间满足的等量关系，并加以证明.【答案】证明：（1）在AB 上取一点M, 使得AM ＝AH, 连接DM.∵ ∠CAD＝∠BAD, AD＝AD,∴ △AHD≌△AMD.∴ HD＝MD, ∠AHD＝∠AMD.∵ HD＝DB,∴ DB＝ MD.∴ ∠DMB＝∠B.∵ ∠AMD＋∠DMB ＝180︒,∴ ∠AHD＋∠B＝180︒.即 ∠B 与∠AHD 互补.（2）由（1）∠AHD＝∠AMD, HD＝MD, ∠AHD＋∠B＝180︒.∵ ∠B＋2∠DGA ＝180︒,∴ ∠AHD＝2∠DGA.∴ ∠AMD＝2∠D GM.∵ ∠AMD＝∠DGM＋∠GDM.∴ 2∠DGM＝∠DGM＋∠GDM.∴ ∠DGM＝∠GDM.∴ MD＝MG.∴ HD＝ MG.∵ AG＝ AM ＋MG,∴ AG＝ AH ＋HD.（3）.利用截长(或补短)法作构造全等三角形：3、如图所示，已知△ABC 中AB ＞AC ，AD 是∠BAC 的平分线，M 是AD 上任意一点，求M G H D C A证：MB －MC ＜AB －AC ．【答案与解析】因为AB ＞AC ，则在AB 上截取AE ＝AC ，连接ME ．在△MBE 中，MB －ME ＜BE （三角形两边之差小于第三边）．在△AMC 和△AME 中，()()()AC AE CAM EAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所作，角平分线的定义，公共边， ∴ △AMC ≌△AME （SAS ）．∴ MC ＝ME （全等三角形的对应边相等）．又∵ BE ＝AB －AE ，∴ BE ＝AB －AC ，∴ MB －MC ＜AB －AC ．【点评】因为AB ＞AC ，所以可在AB 上截取线段AE ＝AC ，这时BE ＝AB －AC ，如果连接EM ，在△BME 中，显然有MB －ME ＜BE ．这表明只要证明ME ＝MC ，则结论成立．充分利用角平分线的对称性，截长补短是关键.举一反三：【变式】如图，AD 是△ABC 的角平分线，AB ＞AC,求证：AB －AC ＞BD －DC【答案】证明：在AB 上截取AE ＝AC,连结DE∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD在△AED 与△ACD 中 ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AD CAD BAD AC AE∴△AED≌△ADC（SAS ）∴DE＝DC在△BED 中，BE ＞BD －DC E D B A即AB －AE ＞BD －DC∴AB－AC ＞BD －DC（4）.在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.4、如图所示，已知E 为正方形ABCD 的边CD 的中点，点F 在BC 上，且∠DAE ＝∠FAE ．求证：AF ＝AD ＋CF ．【答案与解析】证明： 作ME ⊥AF 于M ，连接EF ．∵ 四边形ABCD 为正方形，∴ ∠C ＝∠D ＝∠EMA ＝90°．又∵ ∠DAE ＝∠FAE ，∴ AE 为∠FAD 的平分线，∴ ME ＝DE ．在Rt △AME 与Rt △ADE 中，()()AE AE DE ME =⎧⎨=⎩公用边，已证，∴ Rt △AME ≌Rt △ADE(HL)．∴ AD ＝AM(全等三角形对应边相等)．又∵ E 为CD 中点，∴ DE ＝EC ．∴ ME ＝EC ．在Rt △EMF 与Rt △ECF 中，()(ME CE EF EF =⎧⎨=⎩已证，公用边)，∴ Rt △EMF ≌Rt △ECF(HL)．∴ MF ＝FC(全等三角形对应边相等)．由图可知：AF ＝AM ＋MF ，∴ AF ＝AD ＋FC(等量代换)．【点评】与角平分线有关的辅助线： 在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段. 四边形ABCD 为正方形，则∠D ＝90°．而∠DAE ＝∠FAE 说明AE 为∠FAD 的平分线，按常规过角平分线上的点作出到角两边的距离，而E 到AD 的距离已有，只需作E 到AF 的距离EM 即可，由角平分线性质可知ME ＝DE ．AE ＝AE ．Rt △AME 与Rt △ADE 全等有AD ＝AM ．而题中要证AF ＝AD ＋CF ．根据图知AF ＝AM ＋MF ．故只需证MF ＝FC 即可．从而把证AF ＝AD ＋CF 转化为证两条线段相等的问题．5、如图所示，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，D 是AC 上一点，且AE 垂直BD的延长线于E， AE=BD，求证：BD是∠ABC的平分线．【答案与解析】证明：延长AE和BC，交于点F，∵AC⊥BC，BE⊥AE，∠ADE=∠BDC（对顶角相等），∴∠EAD+∠ADE=∠CBD+∠BDC．即∠EAD=∠CBD．在Rt△ACF和Rt△BCD中．所以Rt△ACF≌Rt△BCD（ASA）．则AF=BD（全等三角形对应边相等）．∵AE=BD，∴AE=AF，即AE=EF．在Rt△BEA和Rt△BEF中，则Rt△BEA≌Rt△BEF（SAS）．所以∠ABE=∠FBE（全等三角形对应角相等），即BD是∠ABC的平分线．【点评】如果由题目已知无法直接得到三角形全等，不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的条件，使问题得以解决．平时练习中多积累一些辅助线的添加方法.。
初中数学倍长中线法(最全最新倍长中线法专题)
课堂练习
练习3.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1， BF＝2，∠GEF＝90°，求GF的长.
课堂练习
练习4.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE＝BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB， 若AD＝2.7，AF＝4，AB＝6. 求CE的长.
课后练习
4.在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG， 如图（1），易证EG＝CG且EG⊥CG.
（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），证明: EG＝CG且EG⊥CG． （2）如图（3）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，证明: EG＝CG且EG⊥CG．
几何模型四：倍长中线法
倍长中线法
当线段出现一个中点时，特别是三角形中，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．倍 长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三 角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法: △ABC中AD是BC边中线 方式1: 延长AD到E， 使DE=AD，连接BE
课堂练习
练习7.如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的 中线．求证: AD是∠EAC的平分线．
例题讲解
例5.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E为BC的中点，过点E作EF∥AD交AB于点G，交CA的 延长线于点F．求证: BG＝CF．
证明: 作CM∥AB交FE的延长线于M．∵BG∥CM， ∴∠B＝∠MCE，∵E是BC中点， ∴BE＝EC，在△BEG和△CEM中，
证明: 如图，过点D作DG∥AE，交BC于点G； 则△DGF≌△ECF， ∴DG＝CE； ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB；
倍长中线法(含答案)
专题2：倍长中线法【典例引领】例题：（2014黑龙江龙东地区）已知ΔABC 中，M 为BC 的中点，直线m 绕点A 旋转，过B 、M 、C 分别作BD ⊥m 于E ，CF ⊥m 于F 。
（1）当直线m 经过B 点时，如图1，易证EM=12CF 。
（不需证明）（2）当直线m 不经过B 点，旋转到如图2、图3的位置时，线段BD 、ME 、CF 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明。
【强化训练】1、（2017黑龙江龙东地区）已知：ΔAOB 和ΔCOD 均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，连接AD ，BC ，点H 为BC 中点，连接OH 。
（1）如图1所示，易证OH=21AD 且OH ⊥AD （不需证明）（2）将ΔCOD绕点O旋转到图2，图3所示位置是，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论。
2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由（3）若|CF﹣AE|=2，EF=2√3，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．3.已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BD作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点。
（1）当点P与点O重合时，如图1，易证OE=OF（不需证明）（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明。
4．如图1，点E是正方形ABCD边CD上任意一点，以DE为边作正方形DEFG，连接BF，点M是线段BF中点，射线EM与BC交于点H，连接CM．（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系；（2）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°，此时点F恰好落在线段CD上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由；（3）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90°，此时点E、G恰好分别落在线段AD、CD上，如图3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．专题2：倍长中线法【典例引领】例题：（2014黑龙江龙东地区）已知ΔABC中，M为BC的中点，直线m绕点A旋转，过B、M、C分别作BD⊥m于E，CF⊥m于F。
三角形全等之倍长中线习题及答案
三角形全等之倍长中线（习题）➢例题示范例1：已知：如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D ，E 在BC 上，且DE =EC ，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF =AC ．求证：AE 平分∠BAC ． 【思路分析】 读题标注：见中线，要倍长，倍长之后证全等．结合此题，DE =EC ，点E 是DC 的中点，考虑倍长，有两种考虑方法： ①考虑倍长FE ，如图所示： ②考虑倍长AE ，如图所示：A B DCE F？？G？？FECDBA （这个过程需要考虑倍长之后具体要连接哪两个点）倍长中线的目的是为了证明全等：以方法①为例，可证△DEF ≌△CEG ，由全等转移边和角，重新组织条件证明即可． 【过程书写】证明：如图，延长FE 到G ，使EG =EF ，连接CG ． 在△DEF 和△CEG 中， ∴△DEF ≌△CEG （SAS ） ∴DF =CG ，∠DFE =∠G∵DF =AC ∴CG =AC ∴∠G =∠CAE ∴∠DFE =∠CAE ∵DF ∥AB ∴∠DFE =∠BAE ∴∠BAE =∠CAE ∴AE 平分∠BAC➢ 巩固练习1.已知：如图，在△ABC 中，AB =4，AC =2，点D 为BC 边的中点，且AD 是整数，则AD =________．2.已知：如图，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，点E 为CD 上一点，且AD =DE ，EF ∥BC 交BD 于F ． 求证：AB =EF ．3.已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，分别以AB ，AC 为直角边向外作等腰直角三角形，AB =AE ，AC =AF ，∠BAE =∠CAF =90°．求证：EF =2AD ．如图，在△ABC 中，AB >AC ，E 为BC 边的中点，AD 为∠BAC 的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G ．求证：BF =CG ．4.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 是CD 的中点，连接AF ，EF ，AE ，若∠DAF =∠EAF ，求证：AF ⊥EF ．F E DCBAG FEDCBA➢ 思考小结1.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ． 求证：AB =AC ．比较下列两种不同的证明方法，并回答问题． 方法1：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE 在△BDE 和△CDA 中 ∴△BDE ≌△CDA （SAS ） ∴AC =BE ，∠E =∠2 ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC 方法2：如图，过点B 作BE ∥AC ，交AD 的延长线于点E ∵BE ∥AC ∴∠E =∠2在△BDE 和△CDA 中 ∴△BDE ≌△CDA （AAS ） ∴BE =AC∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E21ECDBA 21ECDBA∴AB=BE∴AB=AC相同点：两种方法都是通过辅助线构造全等，利用全等转移条件进而解决问题．方法1是看到中点考虑通过___________构造全等，方法2是通过平行夹中点构造全等．不同点：倍长中线的方法在证明全等时，利用的判定是________，实质是构造了一组对应边相等；利用平行夹中点证明全等时，利用的判定是_____，实质是利用平行构造了一组_____相等．2.利用“倍长中线”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．请你尝试进行证明．已知：如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是斜边AB的中线．求证：CD 1AB．2【参考答案】➢巩固练习1.22.证明略（提示：延长FD到点G，使得DG=DF，连接AG，证明△ADG≌△EDF，转角证明AB=EF）3.证明略（提示：延长AD到点G，使得GD=AD，连接CG，证明△ABD≌△GCD，△EAF≌△GCA）4.证明略（提示：延长FE到点H，使得EH=FE，连接CH，证明△BFE≌△CHE，转角证明BF=CG）5.证明略（提示：延长AF交BC的延长线于点G，证明△ADF≌△GCF，转角证明AF⊥EF）➢思考小结1.倍长中线SAS AAS 角2.证明略。
三角形全等之倍长中线(平行夹中点)(人教版)(含答案)
③∠D=∠ECF
B.①延长AE交BC的延长线于点F；
②AAS或ASA，△ADE，△FCE；
③AD=FC
C.①延长AE交BC的延长线于点F；
②SAS，△ADE，△FCE；
③AE=EF
D.①延长AE到点F，使EF=AE，连接CF；
②SAS，△ADE，△FCE；
③AD=FC，AE=EF
A.②AAS或ASA，△AEG，△BEH；
③AG=BH，∠A=∠EBH；
④FG=FH
B.②SAS，△AEG，△BEH；
③AG=BH，∠A=∠EBH；
④FG=FH
C.②AAS或ASA，△AEG，△BEH；
③AG=BH，EG=EH；
④FG=FH
D.②ASA，△AEG，△BEH；
③AG=BH；
④FG=FH
∴△ABE≌△FCE（AAS）
∴__________________________
∴DF=CF+CD
=AB+CD
∵∠1=∠2
__________________________
∴AD=AB+CD
请你仔细观察下列序号所代表的内容：
①延长AE到点F，使EF=AE，连接CF；
②延长AE交DC的延长线于点F；
②进而利用全等三角形的判定_________，证明_______≌_______；
③由全等可得________________；
④结合已知条件，得EF垂直平分GH，根据线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，可得________________，可得FG=AG+BF．
以上空缺处依次所填最恰当的是( )
②进而利用全等三角形的判定_________，证明_______≌_______；
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初中数学全等专题倍长中线法(含答案)
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
初中数学全等专题倍长中线法
1.如图，在△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是( )
A.2＜AB＜12
B.4＜AB＜12
C.9＜AB＜19
D.10＜AB＜19 答案：C
解题思路：延长AD至E，使DE=AD，连接CE，可先证明△ABD≌△ECD，则AB=CE，在△ACE中，根据三角形的三边关系，得AE-AC＜CE＜AE+AC，即9＜CE＜19.则9＜AB＜19.故选C.
2.如图，已知CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB，给出下列结论：①AE=2AC；②CE=2CD；③∠ACD=∠BCE；④CB平分∠DCE，则以上结论正确
的是（）
A.①②④
B.①③④
C.①②③
D.①②③④ 答案：A
解题思路：①正确，延长CD至点F，使得DF=CD，连接AF，可先证明△ADF≌△BDC，再证明△ACF≌△BEC，由这两个三角形全等可以得知②、④正确。
由
△ACF≌△BEC，得∠ACD=∠E,若要∠ACD=∠BCE，则需∠E＝∠BCE，则需BC=BE，显然不成立，故③选项错误
3.如图，点E是BC的中点，∠BAE=∠CDE，延长DE到点F使得EF=DE，连接BF，则下列说法正确的是（）
①BF∥CD ②△BFE≌△CDE ③AB=BF ④△ABE为等腰三角形
A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②③④ 答案：A
解题思路：可以先证明△BEF≌△CED，可以得到②正确，进而得到∠F=∠D，BF∥CD，①正确，又∵∠BAE=∠CDE=∠F，∴AB=BF，③正确。
④不正确。
4.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为（）
2
A.1
B.2
C.3
D.4 答案：C
解题思路：延长FE交DA的延长线于点M，则可证△AEM≌△BEF，再证明△GEM≌△GEF，可以得到GF=GM=GA+BF=3，答案选C
5.如图，在△ABC中，点D、E为边BC的三等分点，则下列说法正确的有（）
①BD=DE=EC ②AB+AE＞2AD ③AD+AC＞2AE ④AB+AC＞AD+AE A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案：D
解题思路：点D、E为边BC的三等分点，∴BD=DE=CE延长AD至点M，AE至点N，使得DM=AD，EN=AE，连接EM、CN，则可证明△ABD≌△MED，进而可得AB+AE＞2AD，再证明△ADE≌△NCE，进而可得AD+AC＞2AE，将两式相加可得到AB+AE+AD+AC＞2AD+2AE,即AB+AC＞AD+AE.∴①②③④均正确。
3。