向量的数量积-人教版高中数学
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（3）在实数中，若 且 则 但是在数量积中，若 且 不能推出 因为其中 有可能为
（4）已知实数 则 但是
如右图，设 ，
，显然
（5）在实数中，有 ，但是 显然，这是因为左端是与 共线的向量，而右端是与 共线的向量，而一般 与 不共线.
2．平面向量数量积的运算律
特别注意：
（1）结合律不成立： ；
（2）消去律不成立 不能得到 ；
A、
B、
-
C、
±
D、
作业8、
已知 =（x，1）， =（2，-1），且 ∥ ，则| - |=____．
作业9、
已知向量 =（3，1）， =（-2， ），则下列向量可以与 +2 垂直的是（ ）
A、
（-1，2）
B、
（2，-1）
C、
（4，2）
D、
（-4，2）
作业10、
已知向量 =（x-1，2）， =（2，1）且 ⊥ ，则x=（ ）
题模四 平面向量垂直的坐标表示
例4.1、
已知非零向量 与向量 垂直，则实数m的值为（ ）
A、
﹣1
B、
3
C、
﹣1或3
D、
1或﹣3
例4.2、
已知 =（﹣1，3）， =（1，t），若（ ﹣2 ）⊥ ，则| |=（ ）
A、
5Байду номын сангаас
B、
C、
D、
例4.3、
已知向量 =（﹣1，2）， =（﹣3，1）则下列结论正确的是（ ）
4．向量的数量积的几何意义：
数量积 等于 的长度与 在 方向上投影 的乘积．
5．两个向量的数量积的性质：
设 与 为两个非零向量， 是与 同向的单位向量．
说明：
（1）
（2）
（3）当 与 同向时， ；当 与 反向时 ．
特别的 或
（4）
（5）|
二．数量积的坐标运算
在平面中，设 ， ，则 .
特别的，当 时， .
（2）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，夹角范围
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角是 ，则有 ．
3．“投影”的概念：作图
定义： 叫做向量 在 方向上的投影．
说明：（1）投影是一个数量，不是向量；
（2）当 为锐角时投影为正值；当 为钝角时投影为负值；当 为直角时投影为 ；当 时投影为 ；当 时投影为 ．
A、
B、
C、
D、
随练1.7、
向量 =（﹣2，﹣1）， =（λ，1），若 与 夹角为钝角，则λ取值范围是（ ）
A、
（ ，2）∪（2，+∞）
B、
（2，+∞）
C、
（﹣ ，+∞）
D、
（﹣∞，﹣ ）
随练1.8、
已知向量 =（1， ），向量 ， 的夹角是 ， • =2，则| |等于．
随练1.9、
设单位向量 =（x，y）， =（2，-1）．若 ⊥ ，则|x+2y|=____．
例2.3、
若等边△ABC的边长为 ，平面内一点M满足 ，则 =（ ）
A、
﹣2
B、
2
C、
D、
题模三 数量积的坐标运算
例3.1、
若 ， ，则
例3.2、
已知向量 =（x，1）在 =（1， ）方向上的投影为 ，则x=_____________．
例3.3、
平面向量 与 的夹角为60°，| |=1， =（3，0），|2 + |________
作业5、
O是△ABC所在平面上的一点，且满足：| |=| |=| |，若BC=1，BA= ，则 • =（ ）
A、
B、
C、
-
D、
-
作业6、
平面向量 =（1，2）， =（4，2）， =m + （m∈R），且 与 的夹角等于 与 的夹角，则m=____．
作业7、
已知向量 + =(2，-8)， - =(-8，16)，则 与 夹角的余弦值为（ ）
随练1.4、
在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=1．点M满足 ，则 =_____．
随练1.5、
平行四边形ABCD中，| |=6，| |=4，若点M，N满足： =3 ， =2 ，则 =______．
随练1.6、
直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=2，AC=1，点D在斜边AB上，且 ，λ∈R，若 ，则λ=（ ）
第03讲_向量的数量积
知识图谱
-平面向量的数量积（内积）数量积（内积）的定义数量积的运算律数量积的坐标运算平面向量垂直的坐标表示第03讲_向量的数量积
错题回顾
平面向量的数量积（内积）
知识精讲
一．数量积的定义
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量 与 ，设 ， ，则 叫 与 的夹角．
（1）当 时， 与 同向；当 时， 与 反向；当 时， 与 垂直，记 ；
作业2、
若向量 、 满足| |=| |=1， 与 的夹角为60°，则 • + • =（ ）
A、
B、
C、
1+
D、
2
作业3、
若向量 ， 满足| |=| |=1， ， 的夹角为60°，则 • + • =____．
作业4、
如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点， =4， ，则 的值是________．
-8
B、
8
C、
-8或8
D、
6
例1.3、
已知 ， ， 均为单位向量，且满足 • =0，则（ + + ）•（ + ）的最大值是____．
题模二 数量积的运算律
例2.1、
已知正五边形ABCDE的边长为 ，则 的值为_______．
例2.2、
在△ABC中，| |=| |，AB=2，AC=1，E，F为BC的三等分点，则 =．
（3） 不能得到 或
题模精讲
题模一 数量积（内积）的定义
例1.1、
已知 ， 为单位向量，其夹角为60°，则（2 - ）• =（ ）
A、
-1
B、
0
C、
1
D、
2
例1.2、
定义：| × |=| |•| |•sinθ，其中θ为向量 与 的夹角，若| |=2，| |=5， • =-6，则| × |等于（ ）
A、
A、
-
B、
-1
C、
5
D、
0
作业11、
已知向量 =（3，1）， =（x，-3），若 ⊥ ，则x=（ ）
A、
1
B、
2
C、
3
D、
4
三点剖析
一.注意事项
1. 两个向量的数量积与向量的数乘及两个实数的积有很大区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 的符号所决定；
（2）两个向量的数量积称为内积，写成 ；今后要学到两个向量的外积 而 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号 在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用 代替；
A、
⊥
B、
∥
C、
⊥（ + ）
D、
⊥（ ﹣ ）
随堂练习
随练1.1、
已知| | =2，| | = ， 与 的夹角为45°，要使λ - 与 垂直，则λ=____．
随练1.2、
已知向量 的模为2，向量 为单位向量， ⊥( - )，则向量 与 的夹角大小为____．
随练1.3、
已知两个单位向量 ， 的夹角为60°， =t +(1-t) ，若 • =0，则实数t=____．
随练1.10、
已知 =（3，-2）. =（1，0），向量λ + 与 -2 垂直，则实数λ的值为____．
随练1.11、
向量 =(-2，k)， =(1，3)，若 ⊥ ，则实数k=____．
自我总结
课后作业
作业1、
若| |=2sin15°，| |=4cos15°， 与 的夹角为30°，则 • 的值为____．
（4）已知实数 则 但是
如右图，设 ，
，显然
（5）在实数中，有 ，但是 显然，这是因为左端是与 共线的向量，而右端是与 共线的向量，而一般 与 不共线.
2．平面向量数量积的运算律
特别注意：
（1）结合律不成立： ；
（2）消去律不成立 不能得到 ；
A、
B、
-
C、
±
D、
作业8、
已知 =（x，1）， =（2，-1），且 ∥ ，则| - |=____．
作业9、
已知向量 =（3，1）， =（-2， ），则下列向量可以与 +2 垂直的是（ ）
A、
（-1，2）
B、
（2，-1）
C、
（4，2）
D、
（-4，2）
作业10、
已知向量 =（x-1，2）， =（2，1）且 ⊥ ，则x=（ ）
题模四 平面向量垂直的坐标表示
例4.1、
已知非零向量 与向量 垂直，则实数m的值为（ ）
A、
﹣1
B、
3
C、
﹣1或3
D、
1或﹣3
例4.2、
已知 =（﹣1，3）， =（1，t），若（ ﹣2 ）⊥ ，则| |=（ ）
A、
5Байду номын сангаас
B、
C、
D、
例4.3、
已知向量 =（﹣1，2）， =（﹣3，1）则下列结论正确的是（ ）
4．向量的数量积的几何意义：
数量积 等于 的长度与 在 方向上投影 的乘积．
5．两个向量的数量积的性质：
设 与 为两个非零向量， 是与 同向的单位向量．
说明：
（1）
（2）
（3）当 与 同向时， ；当 与 反向时 ．
特别的 或
（4）
（5）|
二．数量积的坐标运算
在平面中，设 ， ，则 .
特别的，当 时， .
（2）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，夹角范围
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角是 ，则有 ．
3．“投影”的概念：作图
定义： 叫做向量 在 方向上的投影．
说明：（1）投影是一个数量，不是向量；
（2）当 为锐角时投影为正值；当 为钝角时投影为负值；当 为直角时投影为 ；当 时投影为 ；当 时投影为 ．
A、
B、
C、
D、
随练1.7、
向量 =（﹣2，﹣1）， =（λ，1），若 与 夹角为钝角，则λ取值范围是（ ）
A、
（ ，2）∪（2，+∞）
B、
（2，+∞）
C、
（﹣ ，+∞）
D、
（﹣∞，﹣ ）
随练1.8、
已知向量 =（1， ），向量 ， 的夹角是 ， • =2，则| |等于．
随练1.9、
设单位向量 =（x，y）， =（2，-1）．若 ⊥ ，则|x+2y|=____．
例2.3、
若等边△ABC的边长为 ，平面内一点M满足 ，则 =（ ）
A、
﹣2
B、
2
C、
D、
题模三 数量积的坐标运算
例3.1、
若 ， ，则
例3.2、
已知向量 =（x，1）在 =（1， ）方向上的投影为 ，则x=_____________．
例3.3、
平面向量 与 的夹角为60°，| |=1， =（3，0），|2 + |________
作业5、
O是△ABC所在平面上的一点，且满足：| |=| |=| |，若BC=1，BA= ，则 • =（ ）
A、
B、
C、
-
D、
-
作业6、
平面向量 =（1，2）， =（4，2）， =m + （m∈R），且 与 的夹角等于 与 的夹角，则m=____．
作业7、
已知向量 + =(2，-8)， - =(-8，16)，则 与 夹角的余弦值为（ ）
随练1.4、
在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=1．点M满足 ，则 =_____．
随练1.5、
平行四边形ABCD中，| |=6，| |=4，若点M，N满足： =3 ， =2 ，则 =______．
随练1.6、
直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=2，AC=1，点D在斜边AB上，且 ，λ∈R，若 ，则λ=（ ）
第03讲_向量的数量积
知识图谱
-平面向量的数量积（内积）数量积（内积）的定义数量积的运算律数量积的坐标运算平面向量垂直的坐标表示第03讲_向量的数量积
错题回顾
平面向量的数量积（内积）
知识精讲
一．数量积的定义
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量 与 ，设 ， ，则 叫 与 的夹角．
（1）当 时， 与 同向；当 时， 与 反向；当 时， 与 垂直，记 ；
作业2、
若向量 、 满足| |=| |=1， 与 的夹角为60°，则 • + • =（ ）
A、
B、
C、
1+
D、
2
作业3、
若向量 ， 满足| |=| |=1， ， 的夹角为60°，则 • + • =____．
作业4、
如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点， =4， ，则 的值是________．
-8
B、
8
C、
-8或8
D、
6
例1.3、
已知 ， ， 均为单位向量，且满足 • =0，则（ + + ）•（ + ）的最大值是____．
题模二 数量积的运算律
例2.1、
已知正五边形ABCDE的边长为 ，则 的值为_______．
例2.2、
在△ABC中，| |=| |，AB=2，AC=1，E，F为BC的三等分点，则 =．
（3） 不能得到 或
题模精讲
题模一 数量积（内积）的定义
例1.1、
已知 ， 为单位向量，其夹角为60°，则（2 - ）• =（ ）
A、
-1
B、
0
C、
1
D、
2
例1.2、
定义：| × |=| |•| |•sinθ，其中θ为向量 与 的夹角，若| |=2，| |=5， • =-6，则| × |等于（ ）
A、
A、
-
B、
-1
C、
5
D、
0
作业11、
已知向量 =（3，1）， =（x，-3），若 ⊥ ，则x=（ ）
A、
1
B、
2
C、
3
D、
4
三点剖析
一.注意事项
1. 两个向量的数量积与向量的数乘及两个实数的积有很大区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 的符号所决定；
（2）两个向量的数量积称为内积，写成 ；今后要学到两个向量的外积 而 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号 在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用 代替；
A、
⊥
B、
∥
C、
⊥（ + ）
D、
⊥（ ﹣ ）
随堂练习
随练1.1、
已知| | =2，| | = ， 与 的夹角为45°，要使λ - 与 垂直，则λ=____．
随练1.2、
已知向量 的模为2，向量 为单位向量， ⊥( - )，则向量 与 的夹角大小为____．
随练1.3、
已知两个单位向量 ， 的夹角为60°， =t +(1-t) ，若 • =0，则实数t=____．
随练1.10、
已知 =（3，-2）. =（1，0），向量λ + 与 -2 垂直，则实数λ的值为____．
随练1.11、
向量 =(-2，k)， =(1，3)，若 ⊥ ，则实数k=____．
自我总结
课后作业
作业1、
若| |=2sin15°，| |=4cos15°， 与 的夹角为30°，则 • 的值为____．