4.5利用三角形全等测距离(公开课)
《利用三角形全等测距离》教学设计
《利用三角形全等测距离》教学设计一、教学内容《利用三角形全等测距离》是北师大版数学七年级（下）第三章第五节的内容。
二、教学目标及重难点1.教学目标：教学目标：（1）知识与技能会利用“边角边”，“角边角”，“角角边”来构造全等三角形测距离,培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
（2）过程与方法在经历从现实生活中抽象出几何模型的过程中，有意识地培养学生合作探究精神及有条理的思考、表达能力，以及创新意识，体会数学与实际生活的联系。
（3）情感态度与价值观通过情境创设，激发学生学习兴趣，体会数学来源于实际，又服务于实际生活的重大意义.教学重点――利用三角形全等测距离。
教学难点――如何把实际问题转化为数学问题（数学建模）。
三、教学方法：小组合作、探究式相结合四、教学工具：多媒体课件五、教学基本流程：一．回顾思考，温故知新二．创设情境，激发兴趣三．动手实践，探索新知四．小组合作，学以致用五．归纳总结，反思提高六．反馈练习，强化新知七．布置作业，课后延拓六、教学过程：教师活动学生活动设计意图一、回顾思考，温故知新（1）要判定两个全三角形全等有哪些方法？并思考在判定的三个条件中至少要有一个什么条件？（2）全等三角形有什么性质？学生独立思考后,举手回答问题(1)SSS,SAS,ASA,AAS 三个条件中至少需要一个边的条件(2)全等三角形的对应边相等，对应角相等。
通过提问可以温习与本节有关的知识，帮助基础较弱或掌握不牢的学生巩固旧知识，同时也是本节课的理论基础。
二．创设情境，激发兴趣出示一个玻璃瓶，两根等长的小棒，一把刻度尺提问：谁能利用我们所学的知识，用现在的这些器材测量出玻璃瓶的内径?这就是今天要学习的内容——利用三角形全等测距离。
启示：通过三角形的全等将不易测，不能到达的两点间的距离转化为可以测量的两点间的距离。
学生分小组讨论后派代表上前演示：把两根木棍的中点穿在一起，让木棍可以自由地活动，然后把两根木棍重叠在一起，插入瓶中，将两根木棍的角度打开，让木棍下面两端靠着瓶子内壁，只需测量外面两个点之间的距离就得到瓶子的内径。
利用三角形全等测距离(公开课)
B、ASA C、AAS
A ●
D、SAS
B● C
DF
E
A
3、如图，工人师傅要计算一个 圆柱形容器的容积，需要测量其 内径。现在有两根同样长的木棒、 一条橡皮绳和一把带有刻度的直 尺，你能想法帮助他完成吗？
利用SSS判断△AOB≌△ COD
A
B
？C
D
这位聪明的八路军战士的方法如下：
战士面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视
线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过
一个角度，保持刚才的姿势，这时视线落在了自
己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量
出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡
的距离。你觉得他测的距离准确吗？
C F 构造全等三角形
B
·中点O
D
C
4、如图，山脚下有A、B两点，要测出A、B两点的距离。 （1）在地上取一个可以直接到达A、B点的点O，连接AO 并延长AO到C，使AO=CO，你能完成剩下的图形吗？
（2）说明你是如何求AB的距离。 解：在△AOB与△COD中，
AO = CO （已知）
A
∠ AOB = ∠COD（对顶角相等）
学习目标
(1)回顾判断两个三角形全等的条件 (2)能从实例中构建全等三角形，用以解决问题。
复习回顾
1.判断两个三角形全等的条件有：
(1)： SSS ；
(2)： ASA； (3)： AAS；
(4)：SAS ； 2.全等三角形的性质是全全等等三三角角形形的的对对应应角边相相等等 .
在抗日战争期间，为了炸毁与我军阵地隔河 相望的日本鬼子的碉堡，需要测出我军阵地 到鬼子碉堡的距离。由于没有任何测量工具， 我八路军战士为此绞尽脑汁，这时一位聪明 的八路军战士想出了一个办法，为成功炸毁 碉堡立了一功。
4.5 利用三角形全等测距离 教案
一、情境导入如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长．他叔叔帮他出了一个这样的主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD＝AC.连接BC并延长到E，使CE＝CB.连接DE并测量出它的长度，你知道其中的道理吗？二、合作探究探究点：利用三角形全等测量距离【类型一】利用三角形全等测量物体的高度小强为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P.测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC＝36°，测楼顶A视线P A与地面夹角∠APB＝54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB＝36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？解析：根据题意可得△CPD≌△P AB(ASA)，进而利用AB＝DP＝DB－PB求出即可．解：∵∠CPD＝36°，∠APB＝54°，∠CDP＝∠ABP＝90°，∴∠DCP＝∠APB＝54°.在△CPD 和△P AB中，∵∠CDP＝∠ABP，DC＝PB，∠DCP＝∠APB，∴△CPD≌△P AB(ASA)，∴DP＝AB.∵DB＝36米，PB＝10米，∴AB＝36－10＝26(米)．答：楼高AB是26米．方法总结：在现实生活中会遇到一些难以直接测量的距离问题，可以利用三角形全等将这些距离进行转化，从而达到测量目的．【类型二】利用三角形全等测量物体的内径要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，点O为卡钳两柄交点，且有OA ＝OB＝OC＝OD，如果圆形工件恰好通过卡钳AB，则此工件的外径必是CD的长，其中的依据是全等三角形的判定条件()A．SSS B．SASC．ASA D．AAS解析：如图，连接AB、CD.在△ABO和△DCO中，OA＝OD，∠AOB＝∠DOC，OB＝OC，∴△ABO≌△DCO(SAS)，∴AB＝CD.故选B.方法总结：利用全等三角形的对应边来测量不能直接测量的距离，关键是构造全等三角形．【类型三】与三角形全等测量距离相关的方案设计问题如图所示，有一池塘，要测量池塘两端A、B的距离，请用构造全等三角形的方法，设计一个测量方案(画出图形)，并说明测量步骤和依据．解析：本题让我们了解测量两点之间的距离的一种方法，设计时，只要符合全等三角形全等的条件，方案具有可操作性，需要测量的线段在陆地一侧可实施，就可以达到目的．解：在平地任找一点O，连OA、OB，延长AO至C使CO＝AO，延BO至D，使DO＝BO，则CD＝AB，依据是△AOB≌△COD(SAS)．方法总结：在解决方案设计探究问题时，符合条件的方案设计往往有多种，解题的关键在于通过分析，将实际问题转化为数学模型，构造出全等三角形进行解决．【类型四】利用三角形全等解决实际问题如图，工人师傅要在墙壁的O处用钻头打孔，要使孔口从墙壁对面的B点处打开，墙壁厚是35cm，B点与O点的铅直距离AB长是20cm，工人师傅在旁边墙上与AO水平的线上截取OC＝35cm，画CD⊥OC，使CD＝20cm，连接OD，然后沿着DO的方向打孔，结果钻头正好从B点处打出，这是什么道理呢？请你说出理由．解析：由OC与地面平行，确定了A，O，C三点在同一条直线上，通过说明△AOB≌△COD可得D，O，B三点在同一条直线上．解：∵OC＝35cm，墙壁厚OA＝35cm，∴OC＝OA.∵墙体是垂直的，∴∠OAB＝90°.又∵CD⊥OC，∴∠OAB＝∠OCD＝90°.在△OAB和△OCD中，∠OAB＝∠OCD＝90°，OC＝OA，∠AOB＝∠COD，∴△OAB≌△OCD(ASA)，∴DC＝AB.∵DC＝20cm，∴AB＝20cm，∴钻头正好从B点出打出．三、板书设计1．利用全等三角形测量距离的依据“SAS”“ASA”“AAS”2．运用三角形全等解决实际问题A.SASB.ASAC.SSSD.AAS3.某大学计划为新生配备如图①所示的折叠凳.图②是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计),其中凳腿AB和CD的长相等,O是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适,厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30 cm,则由以上信息可推得CB的长度也为30 cm,依据是( )A.SASB.ASAC.SSSD.AAS4.教室里有几盆花,如图①,要想测量这几盆花两旁的A,B两点间的距离不方便,因此,选点A,B都能到达的一点O,如图②,连接BO并延长BO到点C,使CO=BO,连接AO并延长AO到点D,使DO=AO.那么C,D两点间的距离就是A,B两点间的距离.理由:在△COD和△BOA中,所以△COD≌△BOA( ).所以CD= .所以只要测出C,D两点间的距离就可知A,B两点间的距离. 5.如图,由两根钢丝固定的高压电线杆,按要求当两根钢丝与电线杆的夹角相同时,固定效果最好.现已知钢丝触地点到电线杆的距离相等,那么请你判断图中两根钢丝的固定是否合乎要求,并说明理由.(电线杆的粗细忽略不计)6.如图,小敏做了一个角平分仪ABCD,其中AB=AD,BC=DC,将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合,调整AB和AD,使它们分别落在角的两边上,过点A,C画一条射线AE,AE就是∠PRQ的平分线.此角平分仪的画图原理是:根据仪器结构,可得△ABC≌△ADC,这样就有∠QAE=∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是( )A.SASB.ASAC.AASD.SSS7.杨阳同学沿一段笔直的人行道行走,在由A步行到达B处的过程中,通过隔离带的空隙O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语,其具体信息汇集如下:如图,AB∥OH∥CD,相邻两平行线间的距离相等,AC,BD相交于O,OD⊥CD,垂足为D,已知AB=20米,请根据上述信息求标语CD的长度.8.如图,为了测量出池塘两端A,B之间的距离,在地面上找到一点C,连接BC,AC,使∠ACB=90°,然后在BC的延长线上确定点D,使CD=BC,那么只要测量出AD的长度就得到了A,B两点之间的距离.你能说明其中的道理吗?9.如图,已知零件的外径为a,要求它的厚度x,动手制作一个简单的工具,利用三角形全等的知识,求出x.10.如图,在△ABC中,D为AB的中点,AD=5 cm,∠B=∠C,BC=8 cm.(1)若点P在线段BC上以3 cm/s的速度从点B向终点C运动,同时．．点Q在线段CA上从点C向终点A运动.①若点Q的速度与点P的速度相等,经过1 s后,请说明△BPD≌△CQP.②若点Q的速度与点P的速度不等,当点Q的速度为多少时,能使△BPD≌△CPQ?(2)若点P以3 cm/s的速度从点B向点C运动,同时．．点Q以5 cm/s的速度从点C向点A运动,它们都依次沿△ABC三边运动,则经过多长时间,点Q第一次在△ABC的哪条边上追上点P?11.如图,AB=DC,∠A=∠D.试说明:∠ABC=∠DCB.12.如图,在△ABC中,∠BAC=4∠ABC=4∠C,BD⊥AC交CA的延长线于点D,求∠ABD的度数.13.农科所有一块五边形的试验田如图所示,已知在五边形ABCDE中,∠ABC=∠AED=90°,AB=CD=AE=BC+DE=20 m,求这块试验田的面积.通过实例引入课堂教学，激发学生的探究兴趣，从而了解到全等三角形在实际生活中的应用．在小组。
《利用三角形全等测距离》三角形PPT赏析教学课件
6.如图,D 是△ABC 的边 AB 上一点,E 是 AC 的中点,过
点 C 作 CF∥AB,交 DE 的延长线于点 F.试说明:AD=CF.
解:因为 E 是 AC 的中点,所以 AE=CE.
因为 CF∥AB.所以∠A=∠ECF,∠ADE=∠F.
∠ = ∠,
② 根据实际问题抽象出几何图形。
③ 结合图形和题意分析已知条件，由“已知”想“可知”。
④ 找到已知和未知的联系，寻求恰当的解决途径，并表述清楚。
测量不能测或无法测的距离时，可以 转化为 构建两个
全等三角形，利用“全等三角形对应边相等”来解决。
再 见
的距离,如果△PQO≌△NMO,那么只需测出其长度的线段是
( B )
A.PO
B.PQ
C.MO
D.MQ
【例 2】如图,有一湖的湖岸在 A,B 之间呈一段圆弧状,A,B 间
的距离不能直接测得.你能用已学过的知识或方法设计测量
方案,求出 A,B 间的距离吗?
解:要测量 A,B 间的距离,可用如下方法:
BC并延长到E，使CE=CB,连接DE并测量出它的长度，DE的
长度就是A，B间的距离.
E
A
·
· ·
C
·
·
BB
D
❖
已知的是什么?
❖
求证的什么?
小颖将条件标注在图中，并得出了结论．你理解她的
意思吗?
因为有两边
及其夹角对应相
·
等，所以两三角
形全等，所以对
应边相等。
E
A
·
B
·
C
·
·
D
小明是这样想的：
4.5利用三角形全等测距离 教案(表格式)2023-2024学年度北师大版数学七年级下册.doc
4.5利用三角形全等测距离【例1】在一次战役中,我军阵地与敌军碉堡隔河相望.为了炸掉这个碉堡,需要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下,如何估测这个距离呢?一位战士想出来这样一个办法:他面向碉堡的方向站好,然后调整帽子,使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部.然后,他转过一个角度,保持刚才的姿态,这时视线落在了自己所在岸的某一点上.接着,他用步测的办法量出自己与那个点的距离,这个距离就是他与碉堡间的距离.分析:由战士所讲述的方法可知:战士的身高AD不变,战士与地面是垂直的(AD⊥BC);视角∠DAC=∠DAB.战士要测的是敌碉堡(B)与我军阵地(D)的距离,战士的结论是只要按要求测得DC的长度即可.(即BD=DC)探索新知合作探究【例2】如图,A,B两点分别位于一个池塘的两端,小明想用绳子测量A,B 间的距离,但绳子不够长.他叔叔帮他出了一个这样的主意:先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C,连接AC并延长到D,使CD=AC;连接BC并延长到E,使CE=CB;连接DE并测量出它的长度.(1)DE=AB吗?请说明理由;(2)如果DE的长度是8 m,则AB的长度是多少?教师指导1.易错点在构建全等三角形的时候,需要考虑的就是三角形全等的条件,然后再结合实际条件进行考虑.2.归纳小结能利用三角形的全等解决实际问题,能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达.3.方法规律根据三角形全等测距离,主要是根据三角形全等的性质,对应边相等进行求解.只需要去构建全等的三角形就能够解决问题.当堂训练1.如图所示,要测量河岸相对的两点A,B之间的距离,先从B处出发与AB成90°角方向,向前走50米到C处立一根标杆,然后方向不变继续朝前走50米到D处,在D处转90°沿DE方向再走17米,到达E处,使A,C与E在同一直线上,那么测得A,B的距离为.2.如图,两根长12 m的绳子,一端系在旗杆上的同一位置,另一端分别固定在地面上的两个木桩上(绳结处的误差忽略不计),现在只有一把卷尺,如何来检验旗杆是否垂直于地面?请说明理由.。
利用三角形全等测距离 优秀教案
利用三角形全等测距离教学设计〖教学目标〗1．知识技能：会利用三角形全等测距离。
2．教学思考：在利用三角形全等知识测距离的过程中，培养思维的逻辑性和发散性。
3．解决问题：体会数学与生活的密切联系，能够利用三角形全等解决生活中的实际问题。
4．情感态度与价值观：通过情境创设，激发学生的积极性，感受数学与生活的密切联系。
在学生合作交流解决问题的过程中，培养学生的合作精神，锻炼口头表达能力。
〖教材分析〗学习的最高境界是将知识进行迁移，也就是知识的应用。
在本章前几节学生已经掌握三角形全等知识的基础上，本课时利用全等知识测距离。
〖教学设计〗(一)情境引入教师讲教科书上的故事：在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望。
为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离。
在不能过河又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样一个办法：他面向碉堡站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部。
然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸上的某一点上。
接着，他用步测的办法量出自己与那个点之间的距离，这个距离就是他与碉堡的距离。
提问：你相信这个故事中的测量方法能够测量出我军与碉堡的距离吗?由学生说出自己的猜测，有不同意见时正好让学生体验战士的测量方法。
(设计说明：用真实的故事引入新课，体现了三角形全等在生活中的广泛应用，适时的提问，激发了学生的学习积极性和好奇心。
)(二)探索研讨1．情境探究一位经历过战争的老人讲述过这样一个故事：在抗日战争期间，为了炸毁与我军阵地隔河相望的日本鬼子的碉堡，需要测出我军阵地到鬼子碉堡的距离。
由于没有任何测量工具，我八路军战士为此绞尽脑汁，这时一位聪明的八路军战士想出了一个办法，为成功炸毁碉堡立了一功。
这位聪明的八路军战士的方法如下：B战士面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿势，这时，视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离(1)学生亲自体验战士的测量方法。
北师大版七年级数学下册教学课件4.5利用三角形全等测距离
练习
3.如图所示小明设计了一种测工件内径AB的卡钳，问：在卡钳的设计中，
AO、BO、CO、DO 应满足下列的哪个条件？（ D ）
A.AO=CO
B.BO=DO C.AC=BD D.AO=CO且BO=DO
A D
O
C B
练习
4.如图所示，已知AC=DB，AO=DO，CD=100 m，则A，B两点间的距离
故三角形△AOE≌△BOF, BF＝AE,从而DE＝CF, 因此只要测出BF, CF即可知AE, DE的长度了.
【归纳】利用全等三角形来测量不能直 接测量的距离,关键是构造全等三角形.
练习
1. 如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB 的垂线BF上取两 点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC ，得ED=AB，因此，测得ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的 理B 由是( )
解：因为AB∥CD,所以∠B=∠C. 在△BME和△CMF中， ∠B=∠C，BM=CM，∠BME=∠CMF， 所以△BME≌△CMF(ASA)，所以BE=CF. 故只要测量CF即可得B，E之间的距离.
练习
6、如图，要测量河两岸两点A、B间的距离，可用什么方法？并说明这样做的合理性 ．
解：方法：在AB的垂线BE上取两点C、D，使CD＝BC。
我们学过哪些全等三角形的判定方法？
活动1 自主探究1
∴△ABC≌△FDC（ASA）
连接BC并延长到E,使CE＝CB.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
如图所示小明设计了一种测工件内径AB的卡钳，问：在卡钳的设计中，AO、BO、CO、DO 应满足下列的哪个条件？（ ）
在地上取一个可以直接到达A、B点的点O，连接AO并延长到C，使AO=CO；
4.5利用三角形全等测距离(教案)
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解全等三角形的定义及其判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）。
-学会运用全等三角形的性质解决实际问题，特别是利用全等三角形测距离的方法。
-掌握在实际测量中，如何根据已知条件和全等三角形的性质，构建全等关系，从而求解未知距离。
4.5利用三角形全等测距离（教案）
一、教学内容
本节课选自八年级下册《几何》第四章“全等三角形”的4.5节“利用三角形全等测距离”。教学内容主要包括：了解全等三角形的性质和判定方法，掌握利用全等三角形测距离的方法。具体内容包括：
1.熟悉全等三角形的定义和性质，如SSS、SAS、ASA、AAS等全等判定方法。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调全等三角形的判定方法和在实际测量中的应用这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与全等三角形测距离相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何利用全等三角形的基本原理进行距离测量。
五、教学反思
在今天的教学中，我尝试了通过实际问题引入全等三角形的概念，让学生们感受到几何学的实际应用。我发现，当学生们能够将新知识与现实生活联系起来时，他们对学习内容更感兴趣，也更愿意主动参与课堂讨论。
课堂上，我注意到在讲解全等三角形的判定方法时，有些学生对于SSS、SAS等判定条件的理解还存在困难。于是，我及时调整了教学方法，通过举例和画图，让学生更直观地感受全等三角形的性质。在接下来的时间里，我会继续关注这部分学生的学习情况，适时给予个别辅导，帮助他们突破这个难点。
北师大版七年级下册(新)第四章《4.5利用三角形全等测距离》优秀教学案例
在此基础上，我制定了一系列有针对性的教学活动，如小组讨论、动手操作、演示实验等，旨在让学生在实践中感受三角形全等的应用价值，提高解决实际问题的能力。此外，我还设计了富有挑战性的拓展练习，激发学生深入探究的欲望，培养学生的数学素养。
5. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力，提高学生的数学素养。
（二）过程与方法
1. 通过实际问题导入，激发学生的学习兴趣，引导学生运用所学知识解决生活中的问题。
2. 采用小组讨论、动手操作、演示实验等教学方法，培养学生的合作交流意识和创新思维。
3. 创设丰富的教学情境，引导学生主动探究，发现几何图形的性质和规律。
2. 鼓励学生通过讨论、实验等方法寻找问题的答案，培养学生的探究能力和解决问题的能力。
3. 在解决问题的过程中，引导学生发现三角形全等的性质和判定方法，引导学生从实践中总结规律。
4. 教师给予及时的反馈和指导，帮助学生建立正确的几何概念，提高学生的几何素养。
（三）小组合作
1. 组织学生进行小组讨论，让学生在讨论中分享自己的思考和观点，培养学生的合作交流意识。
2. 设计小组合作活动，如共同完成一个测量任务，让学生在实践中运用三角形全等知识，提高解决问题的能力。
3. 教师巡回指导，关注学生在合作过程中的表现，及时给予反馈和帮助，提高学生的合作效果。
4. 鼓励学生进行反思，让学生总结自己在小组合作中的收获和不足，提高学生的自我评价能力。
（四）反思与评价
1. 教师引导学生进行反思，让学生回顾学习过程，总结自己在解决问题中的优点和不足。
【公开课教案】《利用三角形全等测距离》教案
利用三角形全等测距离教学目标：知识与技能：能利用三角形的全等解决实际问题。
过程与方法：通过让学生体会教科书中提供的情境,明白战士的具体做法,并尝试思考其中的道理,体会数学与实际生活的联系。
情感与态度： 通过生动、有趣、现实的例子激发学生的兴趣,引发他们去思考,并能在利用三角形全等解决实际问题的过程中进行有条理的思考和表达。
教学重点：能利用三角形的全等解决实际问题．教学难点：能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达．一、 目标导学① 复习全等三角形的性质及判定条件② 在下列各图中，以最快的速度画出一个三角形，使它与△ABC 全等，比比看谁快！二、自主探学引入一位经历过战争的老人讲述的一个故事，（图片显示）；在一次战役中，为了炸毁与我军阵地隔河相望的敌军碉堡，需要测出我军阵地到敌军碉堡的距离。
由于没有任何测量工具，我军战士为此绞尽脑汁，这时一位聪明的战士想出了一个办法，为成功炸毁碉堡立了一功。
提出问题：你知道聪明的战士用的是什么方法吗？能解释其中的原理吗？B ACB A CA C B三、合作研学、展示赏学小明在上周末游览风景区时，看到了一个美的池塘 ，他想知道最远两点A 、B 之间的距离， 但是他没有船，不能直接去测。
手里只有一根绳子和一把尺子，他怎样才能测出A 、B 之间的距离呢？1. 写出这位叔叔的思路。
2.把你的设计方案在图上画出来。
要求：① 画出此种测量方法的图形。
② 标出此方法中需要的数据。
③ 展示各组方案,小组成员代表讲述画法和原理。
四、检测评学如图要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使CD=BC ，再定出BF 的垂线DE ，可以证明△EDC ≌△ABC ，得ED=AB ，因此，测得ED 的长就是AB 的长。
判定△EDC ≌△ABC 的理由是( )A 、SSSB 、ASAC 、AASD 、SAS五、小结师生互相交流利用全等三角形测量距离的合理性，在解决问题的过程中，采用了那些方案使不能直接测量的物体间的距离转化为可以测量的距离。
《利用三角形全等测距离》三角形优质课件
高楼测距
在高楼林立的城市中，通过观测不同 高度的楼顶与地面构成的三角形，运 用三角形全等原理求解楼顶间的距离 。
三角形全等在解决实际问题中作用
提高测量精度
通过构造相似三角形，运用全等 原理进行精确测量，降低误差，
提高测量精度。
简化计算过程
利用三角形全等关系，将复杂问题 转化为简单的几何问题，便于计算 和解决。
判定定理
如果两个三角形的三边分 别对应相等，那么这两个 三角形全等。
推论
如果两个三角形有两边及 其夹角分别对应相等，那 么这两个三角形全等。
边角边全等判定
定义
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简称SAS(Side-Angle-Side)或 “边角边”判定。
判定定理
如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
判定定理
如果两个三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形 全等。
03
利用三角形全等测距离原理
已知条件与求解目标
已知条件
课件中给出两个三角形，已知其中一 边和相邻角分别相等。
求解目标
利用已知条件，通过构建相似或全等 三角形，求解未知距离。
构建相似或全等三角形
01
利用已知条件，通过作平行线、 垂线或角平分线等方式，构建与 已知三角形相似或全等的三角形 。
角边角全等判定
角形全等，简称ASA(Angle-SideAngle)或“角边角”判定。
判定定理
如果两个三角形有两个角及其夹边分 别对应相等，那么这两个三角形全等 。
角角边全等判定
定义
两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简称AAS(Angle-AngleSide)或“角角边”判定。
北师大版七下数学4.5利用三角形全等测距离说课稿
北师大版七下数学4.5利用三角形全等测距离说课稿一. 教材分析北师大版七下数学4.5利用三角形全等测距离是本册书的重要内容之一。
本节课主要让学生掌握三角形全等的性质，并能够运用三角形全等来解决实际问题，特别是测距离问题。
通过前面的学习，学生已经掌握了三角形的基本概念和性质，全等三角形的判定和性质，以及相似三角形的性质。
本节课将引导学生将理论知识应用到实际问题中，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。
二. 学情分析七年级的学生已经有了一定的数学基础，对三角形的基本概念和性质有所了解。
但是，他们在实际应用中可能还存在着一定的困难，特别是对于测量距离这个问题，可能还不太会运用所学的知识来解决。
因此，在教学过程中，我将会引导学生将理论知识与实际问题相结合，通过动手操作和思考，提高他们解决问题的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握三角形全等的性质，并能够运用三角形全等来解决实际问题，特别是测距离问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的问题解决能力和团队合作能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生体验到数学在生活中的应用，增强学生对数学的兴趣和信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：三角形全等的性质，以及如何运用三角形全等来解决测距离问题。
2.教学难点：如何引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们解决问题的能力。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和合作学习法。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型和测量工具辅助教学。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引发学生对测量距离的思考，激发学生的学习兴趣。
2.理论讲解：讲解三角形全等的性质，引导学生理解三角形全等与测量距离之间的关系。
3.案例分析：分析一个具体的测量距离问题，引导学生运用三角形全等来解决问题。
4.动手操作：让学生分组进行实际测量，亲身体验三角形全等在测量距离中的应用。
《第四章5利用三角形全等测距离》作业设计方案-初中数学北师大版12七年级下册
《利用三角形全等测距离》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本节课的作业设计旨在让学生通过实际操作，理解并掌握三角形全等的基本原理，并能够运用这一原理来测量实际距离。
通过作业的完成，达到巩固知识、提升技能的目标，为后续学习打下坚实基础。
二、作业内容1. 理论知识复习：学生需回顾并熟练掌握三角形全等的定义、性质和判定方法，了解不同全等条件下的三角形关系。
2. 动手实践操作：（1）绘制一系列全等的三角形图案，通过剪切和拼接的方式，直观感受三角形全等的基本概念。
（2）结合生活实际，选择合适的地点（如校园内、家中），利用三角形全等原理，测量已知角度的两点间的距离。
学生需绘制测量示意图，并记录详细的测量步骤和结果。
3. 作业题目练习：设计一系列与三角形全等相关的题目，包括选择题、填空题和解答题，重点考察学生对三角形全等知识的理解和应用能力。
三、作业要求1. 理论复习部分：学生需自行整理笔记，总结三角形全等的相关知识点，并能够流利地与同学进行交流。
2. 动手实践操作部分：（1）图案绘制要求准确、清晰，剪切和拼接过程需保持小心谨慎，确保三角形全等的准确性。
（2）实地测量时，学生需注意安全，遵循正确的测量步骤，准确记录测量数据和结果。
测量示意图应清晰明了，能够准确反映测量过程和结果。
3. 作业题目练习部分：学生需独立完成题目，并按照格式要求书写答案。
如有不懂之处，可查阅教材或请教老师。
四、作业评价1. 教师将根据学生提交的作业进行批改，对理论知识复习部分进行评价，看学生是否掌握了三角形全等的基本概念和原理。
2. 对动手实践操作部分进行评价，看学生是否能够正确运用三角形全等原理进行实地测量，并准确记录测量结果。
3. 对作业题目练习部分进行评价，看学生是否能够正确理解和应用三角形全等的知识点。
五、作业反馈1. 教师将针对学生的作业情况进行反馈，对表现优秀的学生给予表扬和鼓励，对存在问题的地方进行指导和纠正。
2. 学生需根据教师的反馈意见进行反思和总结，找出自己的不足之处，并加以改进。
利用三角形全等公理(一)测距离课件
利用三角形全等公理(一)计算距离的方法：根据已知的 测量点和目标点的坐标信息，利用三角形全等公理(一) 计算出测量点和目标点之间的距离。具体步骤如下
2. 在直线段上取一点作为第三个点，与测量点和目标 点构成两个三角形。
3. 根据已知的测量角度和距离信息，计算出第三个点的 坐标。
4. 利用三角形全等公理(一)判断两个三角形是否全等， 如果全等则说明计算出的距离是正确的。
利用三角形全等公理(一)测距 离ppt课件
CONTENTS
• 引言 • 三角形全等公理(一)的原理 • 利用三角形全等公理(一)测距离
的方法 • 实例分析 • 结论
01
引言
主题介绍
主题背景
介绍利用三角形全等公理(一)测距 离的背景和应用场景，说明其在 实际生活和工程中的重要性。
主题目的
阐述本课件的主题目的，即通过 学习三角形全等公理(一)来掌握测 量距离的方法。
实例三：测量点到平面的距离
总结词
利用三角形全等公理测量点到平面的最短距离
详细描述
选取一点A，作AB垂直于平面M于点B。在平面M上作线段BC平行于AB，并取一点D使 得AD=CD。然后，过B作线段BE垂直于平面M于点E。此时，三角形ABC全等于三角形 BDE，因此，AB=BE，即点A到平面M的最短距离就是BE，也就是我们测量的结果。
三角形全等公理(一)简介
三角形全等定义
简要介绍三角形全等的定义，为后续 课件内容做铺垫。
三角形全等公理(一)
详细解释三角形全等公理(一)的内容， 包括其表述、应用条件和推导过程等 。
02
三角形全等公理(一)的原理
三角形全等公理(一)的定义
总结词
三角形全等公理(一)是几何学中的基本定理，它定义了两个三角形在满足一定 条件下可以被认为是全等的。
4-5 利用三角形全等测距离-2022-2023学年七年级数学下册同步精品课件(北师大版)
∴AB=DE；
A．SAS
B．ASA C．AAS D．SSS
【详解】
△OAB与△OA′B′中，
∵AO=A′O，∠AOB=∠A′OB′，BO=B′O，
∴△OAB≌△OA′B′（SAS）．
故选A
要测量河岸相对两点A、B的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF上取两点C、D，使
CD=CB，再过点D作BF的垂线段DE，使点A、C、E在一条直线上，如图，测出BD=10，
(2)请你证明他们做法的正确性．
如图，某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，
他们是这样做的：
①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；
②沿河岸直走20m有一树C，继续前行20m到达D处；
③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处时停止行走；
判定两个三角形全等的方法：
三边分别相等相等的两个三角形全等。（即 “边边边”或“SSS”）
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。（即 “边角边”或“SAS”）
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。（即 “角边角”或“ASA”）
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
（即 “角角边”或“AAS”）
他们是这样做的：
①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；
②沿河岸直走20m有一树C，继续前行20m到达D处；
③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处时停止行走；
④测得DE的长为6米．
根据他们的做法，回答下列问题：
(1)河的宽度是多少米？（1）由数学兴趣小组的做法可知，AB=DE，故河宽为6米
利用三角形全等测距离（教案）
北师大版数学七年级下册4.5 利用三角形全等测距离教学设计课题 4.5 利用三角形全等测距离单元第四单元学科数学年级七学习目标知识与技能：能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学于实际生活的联系；能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达。
过程与方法：分析解决问题的能力。
情感态度与价值观：激发学生学习数学的积极性，培养学生探索的勇气。
重点构造全等三角形,将实际问题转化为数学问题.难点能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达。
教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课师：让我们来回答下列问题。
1.全等三角形的性质：对应边，对应角.2.判定三角形全等的方法有：, , ,,练习：如图：△ABC≌△ADE, ∠B=60°,BC=4cm, 则DE= ,∠D= . 生回答问题。
相等相等SSSASA SASAAS4cm60°通过全等三角形的有关知识的提问，可以温习与本节有关的知识，巩固旧知识，同时也是本节课的理论基础.讲授新课一位经历过战争的老人讲述了这样一个故事：在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望.为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样一个办法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡用真实的故事引入新课,适时地提问,激发了学生的求知欲和好奇心,有不同意见时正好可以组的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离.1.阅读相关内容完成下列问题：(1)在引例中，“保持刚才的姿态”你是怎样理解的？答：___________________.(2)直立的姿态从而保证了两个三角形中的两个_____；帽檐不动，保证了视线和身体的_____不变.(3)要说明图中两个三角形全等，已知两角，则还差一边，即_________.(4)测量的原理是：构造了_______________.(1)按这个战士的方法，找出教室或操场上与你距离相等的两个点，并通过测量加以验证.(2)你能解释其中的道理吗？理由：在△ACB与△ACD中，∠BAC=∠DACAC=AC（公共边）生：直立姿态和帽檐不动直角夹角身高不变两个全等三角形织学生体验战士的测量方法,感受数学与现实生活的联系,以轻松、愉快的心态进入探究新知的过程.学生对于情境中战士的做法比较陌生,通过角色模拟的方法进行体验,让学生对战士的测量方法有一个直观理解,进而思索其中的道理.在操作验证过程中培养合作参与精神和严谨的学习态度.鼓励学生自己说明理由,锻炼数学思考能力和有条理的语言表达能力.让学生主动参与,积极思考,在∠ACB=∠ACD=90°△ACB≌△ACD（ASA）BC= DC（全等三角形的对应边相等）【归纳】(1)利用三角形的全等测距离的根据：全等三角形的对应边__相等___.(2)利用三角形的全等测距离的方法：转化法，即把不能直接测量或无法测量的线段转化为容易测量的线段【想一想】如图所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA；连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是AB间的距离.你能说明其中的道理吗?.小明是这样想的：在△ABC和△DEC中，因为AC＝DC，∠ACB＝∠DCE，BC＝EC所以△ABC≌△DEC，所以AB＝DE.你能说出每步的道理吗?1.你能设计出其他的方案来吗？（构建全等三角形）学生独立思考,小组交流探讨;教师巡视指导,特别关注有困难的学生此时是否积极参与,教师在黑板上画几个池塘图案备学生展示用.操作过程中培养合作交流精神和严谨的学习态度.在鼓励学生的过程中,锻炼了他们的数学思考能力和语言表达能力,形成了良好的学习氛围.没有按照书上的“给出解决方案,说明理由”,而是让学生“自主解决问题,说明理由”,把课堂还给学生,把问题交给学生,鼓励学生通过积极【归纳】1.当两点之间可以直接到达时，可以直接测量出两点之间的距离；当两点之间不能直接到达时，可以构造全等三角形，将不能到达的两点转化到能够到达的两点来进行测量．2.通过构造全等三角形来进行测量有以下几种方法：构造两边和它们的夹角对应相等的两个全等三角形；构造两角和它们的夹边对应相等的两个全等三角形；构造三边对应相等的两个全等三角形. 探索、讨论找出解决方案,通过合作从不同的角度得出不同的测量方法.让学生懂得情境中使用的方法虽然是一种估测,不是准确值,但却是解决问题的好方法.通过活动学生将会感受到成功的喜悦,培养了学生解决问题的意识和能力.课堂练习 1.如图所示，AA′，BB′表示两根长度相同的木条，若O是AA′，BB′的中点，经测量AB=9 cm，则容器的内径A′B′为( B )A. 8 cmB. 9 cmC. 10 cmD. 11 cm2.我国的纸伞工艺十分巧妙，如图，伞不论张开还是缩拢，△AED与△AFD始终保持全等，因此伞学生认真做课堂练习。
(北师大版)七年级数学下册：第四章三角形4.5 利用三角形全等测距离备课素材
置疑导入归纳导入类比导入一位经历过战争的老人讲诉了这样一个故事：在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望．为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离．在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样一个办法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上．接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离．如图所示：图4－5－1说明：用真实的故事引入新课，可吸引学生的注意力，产生学习的积极性和好奇心．建议：重点理解“调整帽子”“保持刚才的姿势”的数学意义．教师走到学生中间，听听他们是怎样理解战士的做法的．图4－5－2问题1：三角形全等的条件有哪些？问题2：已知线段AB和线段CD相交于点O，AO＝BO，CO＝DO，AC＝18米．你能求出BD的长度吗？说明：通过全等三角形的有关知识的提问，可以温习与本节有关的知识，巩固旧知识，同时也是本节课的理论基础．建议：根据前面所学习的内容，学生可以回答出“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”，添加条件是全等的灵活应用．图4－5－3如图4－5－3所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，你能帮小明设计一个方案解决此问题吗？说明：通过设置悬念激发学生的学习兴趣，让学生体会数学的魅力，积蓄求知欲．同时引导学生明确解决问题的关键是把不可测量的距离转化成可测量的距离，从而为后续学习奠定基础、做好铺垫．建议：让学生先独立思考，然后交流讨论，发表见解，教师给予激励性评价，同时师追问：当遇到不能直接测量的距离时，我们该怎么办呢？我们能不能利用已学过的知识解决这类问题呢？109页习题4.10第2题图4－5－4如图4－5－4，把两根钢条AB，CD的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳)．只要量得AC的长度，就可知工件的内径BD是否符合标准．你明白其中的道理吗？与同伴进行交流．【模型建立】利用全等三角形的性质能解决很多现实生活中的问题，关键是从实际问题中提取数学知识，建立数学模型．【变式变形】1．泰勒斯是古希腊哲学家，相传他利用三角形全等的方法求图4－5－5出岸上一点到海中一艘船的距离．如图4－5－5，B是观察点，船A在B的正前方，过B作AB的垂线，在垂线上截取任意长BD，C是BD的中点，观察者从点D沿垂直于BD的DE方向走，直到点E、船A和点C在一条直线上，那么△ABC≌△EDC，从而量出DE的距离即为船离岸的距离AB，这里判定△ABC≌△EDC的方法是(B)A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS2．某学校花台上有一块如图4－5－6所示的三角形ABC地砖，现已破损．管理员要对此砖测量再去市场加工一块形状和大小与此完全相同的地砖来换，今只有尺子和量角器，请你帮他设计一个测量方案，使其加工的地砖能符合要求，并说明理由．3．小明做了一个如图4－5－7所示的风筝(如图①)，他想验证∠ABC与∠ADC是否相等(如图②)，但手头只有一把足够长的尺子，你能帮他想个办法吗？并说明你这样做的理由．4－5－6图4－5－74－5－84．一条大河两岸的A，B处分别立着高压线铁塔，如图4－5－8所示．假设河的两岸平行，你在河的南岸，请利用现有的自然条件、皮尺和标杆，并结合你学过的全等三角形的知识，设计一个不过河便能测量河的宽度的好办法．(要求画出示意图，并标出字母，结合图形简要叙述你的方案)图4－5－95．如图4－5－9，要测量水池的宽AB，可过点A作直线AC⊥AB，再由点C观测，在BA延长线上找一点B′，使∠ACB′＝∠ACB，这时只要量出AB′的长，就知道AB的长，这种做法对吗？为什么？图4－5－106．如图4－5－10所示，公园里有一条“Z”字形道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段路旁各有一只小石凳E，M，F，且E，F，M在同一直线上，M恰好为BC的中点．在BE道路上停放着一排小汽车，从而无法直接测量B，E之间的距离，你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理．利用全等三角形制作实用工具当某些零部件的尺寸不容易直接测量时，可以借助于全等三角形的性质制作测量工具．例如图4－5－11，已知零件的外径为a，要求出它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，动手制作一个简单工具，利用三角形全等求出AB 的长．4－5－114－5－12解：可设计如图4－5－12所示的类似钳子的工具，则CD 的长就是A ，B 间的距离． 利用全等三角形测量不可直接测量的两点间距离当无法直接测量两个点之间的距离时，可以构造全等三角形，借助全等三角形的性质解决实际问题． 例 某铁路施工队在建设铁路的过程中，需要打通一座小山，设计时要测量隧道的长度．小山前面恰好是一块空地，利用这样的有利地形，测量人员是否可以利用三角形全等的知识测量出需要开挖的隧道的长度？请说明理由．4－5－134－5－14解：可以．理由：在空地上取一个能直接到达A 点，B 点的点O ，连接AO 并延长到D ，使OD ＝OA ；连接BO 并延长到E ，使OE ＝OB.连接DE 并测出它的长度，则DE 的长就是A ，B 间的距离．如图4－5－14所示．在△AOB 与△DOE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AO ＝DO ，∠AOB ＝∠DOE （对顶角相等），BO ＝EO ，∴△AOB≌△DOE(SAS)，∴AB＝DE(全等三角形的对应边相等)．确定方案根据全等三角形的判定，确定所给方案是否可行；或判断自己所给方案是否正确．例某校七(1)班学生到野外进行数学活动，为测量一池塘两端A，B的距离，设计了如下两种方案：①如图4－5－15，先在平地上取一个可以直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC 至点D，BC至点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后测出DE的长即为A，B两点间的距离．②如图4－5－15，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则DE的长即为A，B两点间的距离．问：4－5－154－5－16(1)方案①是否可行？________．理由是________________．(2)方案②是否可行？________．理由是________________．(3)方案②中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是________，若仅满足∠ABD＝∠BDE≠90°，方案②是否仍成立？(1)可行SAS(2)可行ASA(3)使AB∥DE仍成立P109习题4.101．如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A，B处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接量出A，B间的距离，请你设计一个方案，测出A，B间的距离，并说明理由．解：方法不唯一，如：先作一个以AB为边的三角形，再利用“SAS”构造一个三角形与其全等即可．2．如图，把两根钢条AB，CD的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳). 只要量得AC的长度，就可知工件的内径BD是否符合标准. 你明白其中的道理吗？与同伴进行交流．解：两个三角形全等，BD＝AC.3．利用全等三角形测距离的道理是什么？你想到了什么地方可以利用这个方法吗？解：是利用了两个三角形全等的性质．很多测量无法到达的两地之间距离的问题都可以利用这个方法．P110复习题1．一个三角形可以有两个直角吗？一个三角形的三个角能都大于70°吗？能都小于50°吗？解：不可以，不能，不能．2．在一个直角三角形中，两个锐角相等，求这两个锐角的度数．解：都是45°.3．如图，△ADB≌△EDB，△BDE≌△CDE，B，E，C在一条直线上．(1)BD是∠ABE的平分线吗？为什么？(2)DE⊥BC吗？为什么？(3)点E平分线段BC吗？为什么？解：(1)是．∵△ADB≌△EDB，∴∠ABD＝∠EBD.(2)DE⊥BC.∵△BDE≌△CDE，∴∠BED＝∠CED.∵∠BED＋∠CED＝180°.∴∠BED＝90°.(3)点E平分线段BC.∵△BDE≌△CDE，∴BE＝CE.4．如图，BE⊥AE，CF⊥AE，垂足分别是E，F，又知D是EF的中点，△BED与△CFD全等吗？为什么？解：全等，根据“ASA”易说明．5．已知线段a和∠α，尺规作图：(1)作一个△ABC，使AB＝3a，BC＝4a，AC＝5a；(2)作一个△ABC，使BC＝a，AC＝2a，∠BCA＝∠α.解：略．6．如图，AB＝DF，AC＝DE，BE＝FC，BC与FE相等吗？你能找到一对全等三角形吗？说明你的理由．解：BC＝FE.△ABC≌△DFE.理由略．※7.如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC，△ABC与△ADE全等吗？解：全等．8．面积相等的三角形一定全等吗？举例说明．解：不一定．如：取△ABC的边BC的中点D，连接AD，则△ADB与△ACD面积相等，但两个三角形不一定全等(只有在AB＝AC时才全等)．9．如图，已知∠ABC＝∠DCB，要使△ABC≌△DCB，只需添加一个条件是____________________(只需添加一个你认为适合的条件)．解：答案不唯一，如：AB＝DC.10．有四根细木棒，长度分别为3 cm，5 cm，7 cm，9 cm，哪三根木棒可以组成一个三角形？有几种可能的情况？实际摆一摆，验证你的结论．解：有三种情况：3 cm，5 cm，7 cm；3 cm，7 cm，9 cm；5 cm，7 cm，9 cm.11．工人师傅经常利用角尺平分一个任意角. 如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA、边OB上分别取OD＝OE，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D，E重合，这时过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线. 你能先说明△OPE与△OPD全等，再说明OP平分∠AOB吗？提示：根据“SSS”说明两三角形全等，再根据全等三角形的性质，说明∠AOP＝∠BOP.12．如图，△ABC≌△EFD，你能从图中找出几组平行线？小颖的思考过程如下：你能明白她的意思吗？解：两组：AB∥EF，AC∥ED.小颖的意思是由内错角相等，推出两直线平行．13．你还记得怎样用尺规作一个角等于已知角吗？你能说明其中的道理吗？小明回顾了作图的过程，并进行了如下的思考：你能说明每一步的理由吗？解：第一步由作图得到，第二步根据“SSS”，第三步由全等三角形的性质得到．14．如图，在一个等边三角形纸片中取三边的中点，以虚线为折痕折叠纸片，你认为图中阴影部分的面积是整个图形面积的几分之几？你是怎样知道的？解：38.四个等边三角形都全等，阴影部分占其中的一个半三角形．15．沿着图中的虚线，用两种方法将下面的图形划分为两个全等的图形．解：略．16．按下列步骤设计图案：(1)画一个正方形，并在它的下方剪掉一个小正方形，如图(1)； (2)将剪下的小正方形补在大正方形的上方，如图(2)； (3)在新得到的图形上绘制出你所喜欢的图案；(4)再制作若干个这样的图案，并利用它们拼出一个美丽的图案． 将你的作品与同伴进行交流，你喜欢它们吗？ 解：略．※17.一个零件的形状如图所示，按规定∠A 应等于90°，∠B ，∠D 应分别是20°和30°. 李叔叔量得∠BCD ＝142°，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？解：连接BD ，则∠CDB ＋∠CBD ＝38°.而在Rt △ABD 中，∠CDB ＋∠CBD ＝90°－(30°＋20°)＝40°≠38°，故断定零件不合格． ※18.如图，太阳光线AC 与A ′C ′是平行的，同一时刻两根高度相同的木杆在太阳光照射下的影子一样长吗？说说你的理由．解：一样长．根据“AAS ”说明△ABC ≌△A ′B ′C ′，进而可得BC ＝B ′C ′.1．在湖的两岸A，B间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A，B两点间的距离．请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案．（1）画出测量图案；（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；（3）计算AB的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）．2．一条大河两岸的A，B处分别立着高压线铁塔，如图所示．假设河的两岸平行，你在河的南岸，请利用现有的自然条件、皮尺和标杆，并结合你学过的全等三角形的知识，设计一个不过河便能测量河的宽度的好办法（要求，画出示意图，并标出字母，结合图形简要叙述你的方案）．3．如图所示，施工队在沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边点E同时施工，从AC 上的一点B，取∠ABD=145°，BD=500米，∠D=55°，要使A，C，E成一直线，那么开挖点E离点B的距离如何求得？请你设计出解决方案．2．阅读理解：某校二（1）班学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，设计出如下几种方案：（Ⅰ）如图1，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至点D，BC 至点E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长．（Ⅱ）如图2，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC=CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B的距离．阅读后回答下列问题：（1）方案（Ⅰ）是否可行，理由是______．（2）方案（Ⅱ）是否可行，理由是______．（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是________________________，若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°，方案（Ⅱ）是否仍成立？【知识要点】当两点间的距离无法直接测量时，就可以想办法构造两个全等的三角形，利用全等三角形的性质把难以测量或无法直接测量的线段转化为容易测量的线段.【温馨提示】1．利用三角形全等测距离的关键要点：如何测出两点之间的距离；如何构造两个三角形全等；最后说明测量距离的正确性．2．构造全等三角形时要满足全等三角形的判定方法“SAS”、“ASA”、“AAS”以及“SSS”．【方法技巧】1．利用三角形全等的条件去构造两个全等三角形.2．用三角形的全等的判定条件去说明构造的两个三角形全等．3．用全等三角形的性质，测出两点之间的距离.答案：1．解：（1）如图：（2）在湖岸上选一点O，连接BO并延长到点C使BO=OC，连接AO并延长到点D使OD=AO，连接CD，则AB=CD．测量DC的长度即为AB的长度；（3）设DC=m，∵BO=CO，∠BOA=∠COD，AO=BO，∴△AOB≌△DOC（SAS），∴AB=CD=m．2．解：在河南岸AB的垂线BF上取两点C，E，使CE=BE，再定出BF的垂线CD，使A，E，D在同一条直线上，这时测得CD的长就是AB的长．3．解：延长BD到点F，使BD=DF=500米，过F作FG⊥ED于点G．因为∠ABD=145°，所以∠CBD=35°.在△BED和△FGD中，∠EBD=∠F，BD=DF，∠EDB=∠GDF(对顶角相等) ，所以△BED≌△FGD（ASA），所以BE=FG（全等三角形的对应边相等）．所以要求BE的长度可以测量GF的长度．4．解：（1）可行，由边角边说明△ACB≌△DCE，则DE=AB．（2）可行，由角边角说明△ABC≌△EDC，则DE=AB．（3）得到∠ABC=∠EDC，方案（Ⅱ）仍成立．“利用三角形全等测距离”两例利用三角形全等可以测量不能达到或不能直接测量的两点之间的距离.其实质是构造两个全等三角形，依据是全等三角形的对应边相等.请欣赏下面两例：例1如图，河边有一条笔直的公路l，公路两侧是平坦的草地.在数学活动课上，老师要求测量河对岸B点到公路的距离，请你设计一个测量方案.要求：·B公路l（1）列出你测量所使用的测量工具；（2）画出测量的示意图，写出测量的步骤；（3）用字母表示测得的数据，求出B 点到公路的距离.解析：（1）测角器、尺子；（2）测量示意图见右图；测量步骤：①在公路上取一点A,用测角器测得∠A=90º；②在公路上取一点C ，用尺子测出AC 的长，记为m 米；③用测角器测得∠ACB=α；④在公路的下方过点C 作射线CM ，使∠ACM=∠ACB =α,交BA的延长线于点D ；⑤用尺子测出AD 的长，记为n 米.（3）由测量步骤知， 在△BAC 和△DAC 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠.,,ACD ACB AC AC DAC BAC所以△BAC ≌△DAC （ASA ）.所以AB=AC.因此B 点到公路的距离为n 米.例2某地质勘测队要测量河两岸相对两点A 、B 的距离（如图所示），可先在AB 的垂线AF 上取两点C 、D ，使AC=CD ，再过D 作AD 的垂线DE ，使B 、C 、E 三点在一条直线上，这时DE 的长就是AB 的长.请你说明其中的道理吗？解析：由题意知，AB ⊥AD ，DE ⊥AD ，所以∠BAC=∠EDC=90º.在△BAC 和△EDC 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠.,,DCE ACB CD AC EDC BAC 所以△BAC ≌△EDC （ASA ）.所以AB=DE.【温馨提示】 由上述两例的解题过程可知，它们是两种不同的测量方法，但都是构造两个全等三角形，运用转化的数学思想方法，将不能直接测量的问题转化为可直接测量的问题.同学们在今后的学习中要注意思想方法·B公路l A D M C ·B·A C D EF的运用，生活中需要有心人哦！。
《利用三角形全等测距离》三角形PPT课件赏析教学课件
举一反三
（3）垂直全等法. 如图，在池塘的一侧取一点D，连接AD与BD，此处需满足AD⊥BD，延长AD 到点C，使CD＝DA，连接CB，则CB的长度就是池塘两端A，B间的距离.
例题剖析
例：如图，小明家有一个玻璃容器，他想测量一下它的内径是多少？但是他无 法将刻度尺伸进去直接测量，于是他把两根长度相等的小木条AB，CD的中点连在 一起，木条可以绕中点O自由转动，这样只要测量A，C的距离，就可以知道玻璃容 器的内径，你知道其中的道理吗？请说明理由．
图①
图②
解:如图.
2.如图①是4×4正方形网格,已有两个正方形方格被涂黑,请你再将其中两个方格涂黑,
并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形,约定经过旋转后全等的图案都视为同一种,
图②中的两幅图就视为同一种,则得到的不同图案共有( )A.6种B.7种 NhomakorabeaC.8种
D.9种
C
图①
图②
巩固训练
3.我国每年都发行一套生肖邮票.下列生肖邮票中,动物的“脑 袋”被设计成轴对称图案的是( D )
个性化作业
1、课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图， 求证：△ADC≌△CEB．
个性化作业
2．如图有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，把△ABC折叠， 使点B与点A重合，折痕为DE，则△ACD的周长为（ ）
再见
第五章 生活中的轴对称
利用轴对称进行设计
使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得
ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的理由是( B )
A、SSS
B、ASA
C、AAS
D、SAS
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可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得ED的
长就是AB的长。判定△EDC≌△ABC的理由是( A、SSS B、ASA C、AAS D、SAS
B
)
A●
B
●
C
D F
E
A
B
3、如图，工人师傅要计算一个 圆柱形容器的容积，需要测量其 内径。现在有两根同样长的木棒、 一条橡皮绳和一把带有刻度的直 尺，你能想法帮助他完成吗？ 利用SSS判断△AOB≌△ COD
AB=DE（ 全等三角形的对应边相等 ）
方案二
在AB的垂线BF上取两点C，D， 使CD＝BC.再过D点作出BF的垂 线DG，并在DG上找一点E，使 A、C、E在一条直线上。这时 测得的DE的长就是A 、 B间距 离.
证明: 在△ACB与△ECD中，
A
D B C
F
BC＝DC
∠ABC＝ ∠EDC ∠ACB＝ ∠ECD △ABC≌△ECD ( ASA) AB＝ED E G
A
BE
D
A
B
碉堡距离
理由：在△ACB与△ACD中， ∠BAC=∠DAC AC=AC（公共边） △ACB≌△ACD（ASA） ∠ACB=∠ACD=90° BC= DC（ 全等三角形的对应边相等 ）
1、利用三角形全等测距的目的： 变不可测距离为可测距离 2、依据： 全等三角形性质：全等三角形对应边相等
A
B
？
C
D
这位聪明的八路军战士的方法如下： 战士面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视
线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过
一个角度，保持刚才的姿势，这时视线落在了自
己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量
出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡
的距离。你觉得他测的距离准确吗？
CF
构造全等三角形
学习目标
(1)回顾判Βιβλιοθήκη 两个三角形全等的条件 (2)能从实例中构建全等三角形，用以解决问题。
复习回顾
1.判断两个三角形全等的条件有：
(1)： SSS ； (2)： ASA ；
(3)： AAS ；
(4)：SAS ； 全等三角形的对应角相等 全等三角形的对应边相等 . 2.全等三角形的性质是
在抗日战争期间，为了炸毁与我军阵地隔河 相望的日本鬼子的碉堡，需要测出我军阵地 到鬼子碉堡的距离。由于没有任何测量工具， 我八路军战士为此绞尽脑汁，这时一位聪明 的八路军战士想出了一个办法，为成功炸毁 碉堡立了一功。
方法总结：垂直法
检测练习
1.如图所示小明设计了一种测工件内径AB的卡钳，
问：在卡钳的设计中，AO、BO、CO、DO 应满
足下列的哪个条件？（ D ） A、AO=CO B、BO=DO O A D
C、AC=BD
D、AO=CO且BO=DO B
C
2、如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB 的垂 线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，
D
?
小结
1、知识：利用三角形全等测距离的目的：
变不可测距离为可测距离。
依据： 全等三角形性质。
关键： 构造全等三角形。
2、方法： (1)延长法构造全等三角形； (2)垂直法构造全等三角形； 3、数学思想： 树立用三角形全等构建数学模型解决实际问题 的思想。
纪 念 碑
好高的纪 念碑呀！ 相当于几 层楼高呢？
·
中点O
D
C
4、如图，山脚下有A、B两点，要测出A、B两点的距离。 （1）在地上取一个可以直接到达A、B点的点O，连接AO 并延长AO到C，使AO=CO，你能完成剩下的图形吗？ （2）说明你是如何求AB的距离。
解：在△AOB与△COD中，
AO = CO （已知）
BO = DO （已知） ∴△AOB≌△ COD（SAS）
想到办法 了，要站 在路中间。
他在干 吗呢？
A
你能用所学的知识说 说这样做的理由吗？
我知道 了，相 当于八 层楼高。
A’
B
O
B’
谢谢！下课！
A
O
? ?
C
B
∠ AOB = ∠COD（对顶角相等）
D
∴ AB=CD （全等三角形的对应边相等） 所以通过测量C、D之间的距离可以求A、B的距离
4、如图，山脚下有A、B两点，要测出A、B两点的距离。 你能垂直法设计求AB间距离吗？ 并说明你的理由！
A
∴△AOB≌△ COD（SAS）
?
C
B
O
∴ AB=CD （全等三角形的对应边相等）
？
步测距离 C
D
3、关键： 构造全等三角形
A、B间有多远呢？
小明在上周末游览风景
区时，看到了一个美丽的
池塘 ，他想知道最远两点
A●
●
B
A、B之间的距离，但是他没有船，不能直接去测。
手里只有一根绳子和一把尺子，他怎样才能测出A、
B之间的距离呢？
把你的设计方案在图上画出来，并与你的同伴
交流你的方案，看看谁是方案更便捷。
方 在能够到达A、B的空地上取一适 当点C，连接AC，并延长AC到D，使 案 CD=AC，连接BC，并延长BC到E， A 一 使CE=BC，连接ED。则只要测出
ED的长就可以知道AB的长了。
●
●
B C
●
E
D
方法总结： 理由如下: 在△ACB与△DCE中， 延长线法 AC=C D △ACB≌△DCE（SAS） ∠BCA=∠ECD BC=CE