对称性、奇偶性和周期性的综合运用

函数的对称性、奇偶性和周期性的综合运用

一．函数的对称性

的图象自身对称

1、轴对称

对于函数f(x)的定义域内任意一个x，

称.

.

推论1

.

推论2

.

2、中心对称

对于函数f(x)的定义域内任意一个x，

.

.

.

.

小结: 轴对称与中心对称的区别

轴对称：f(a+x)= f(b-x)中，自变量系数互为相反数（内反），函数值相等(差为零)；

中心对称：f(a+x)= - f(b-x)+2c中，自变量系数互为相反数（内反），函数值和为定值.（二）两个函数的图象相互对称

1；

特别地，函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于直线x=0(y轴)轴对称；

y轴对称；

求对称轴方法：令a+x=b-x,得

2、函数y＝f(a＋x)+c与y＝－f(b－x)+d

特别地，函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于点（0,0）（原点）中心对称.

.

求对称中心方法：横坐标令a+x=b-x,得

二．函数的奇偶性

1. 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x) （f(x) －f(－x)＝0），那么

函数f(x)叫做偶函数．偶函数的图象关于y轴（x=0）对称．

推论：若y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)，即y＝f(x)的图像关于直线x＝a轴对称.

2. 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x) （f(x) +f(－x)＝0），那么

函数f(x)叫做奇函数．奇函数的图象关于原点(0,0)对称.

推论：若y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)，即y＝f(x) 的图像关于点（a，0）中心对称.

三．函数的周期性

1. 定义：对于定义域内的任意一个，都存在非零常数，使得

.

2. 推论：

T.

⑾若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a－b|.

推论：

⑿若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|.

T＝4|a－b|.

小结：①函数对称性、奇偶性和周期性定义共同点：“对于函数f(x)定义域内任意一个x ”；

②对称性、周期性定义中条件，“内反表示对称性，内同表示周期性”；

在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在.

题型分类

1. 求函数值

例1.

的奇函数

，

-0.5）

（A ）0.5; （B ）-0.5; （C ）1.5; （D ）-1.5.

例2.偶函数y ＝f(x)满足条件f(x ＋1)＝f(x －1)，且当x ∈[－1,0]时，f(x)＝3x 则的值等于( )

A ．－1 B.

C. D ．1 解：由于偶函数y ＝f(x)满足条件f(x ＋1)＝f(x －1)，，说明函数的周期为2，f(-x)=f(x) 当x

∈[－1,0]时，f(x)＝3x

则对

故可知答案为D. 2．比较函数值大小

例3.

2

.

2

3、求函数解析式

例4. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)f(x)=－2x+1，求

f(x)的解析式.

2

例5

.

2

4、判断（证明）函数性质

例6.

4

.

4

.

例7.已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(999+x)=f(999－x)，试判断函数f(x)的奇偶性.

f(x)是减函数，求

例8.已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)

f(x)为增函数

∵f(x)在[-2，0]上是减函数∴

又函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，类比命题3（1）知函数f(x)的周期为4

故f(x+4)=f(x) ∵f(-x)=f(x) ∴

f(x)为增函数

例9.设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于x＝1对称，证明f(x)是周期函数

例10.设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（C ）

A．偶函数，又是周期函数B．偶函数，但不是周期函数

C．奇函数，又是周期函数D．奇函数，但不是周期函数

例11.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足对任意x∈R都有f(2+x)=-f(x)，又当x∈[-1,1]时f(x)=x3 ，

⑴ 证明：直线x=1是f(x)图像的一条对称轴；

⑵ 当x∈[1,5]时，求函数f(x)的解析式．

判断函数的单调性

5、确定函数零点个数

例12.

.

10为周期的函数.

2个交点.

613个交点.

6、求参数的值（范围）

例13.①若函数f(x)=|x+a|，且f(x)满足对x∈R都有f(3+x)=f(2-x)，则实数a=______．

②若函数f(x)=(x+a)3，且f(x)满足对x∈R都有f(3+x)=-f(2-x)，则实数a=______．

例14.f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调.

求a的值.

例15．

,( )

B C D

A

7. 两个函数图像的对称性

例16.函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)的图象之间（D ）

A．关于直线x＝5对称B．关于直线x＝1对称

C．关于点（5，0）对称D．关于点（1，0）对称

解：据复合函数的对称性知函数y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)之间关于

点（（6－4）/2，0）即（1，0）中心对称，故选D.

例17.求与函数y=lg(1+x)的图像关于点（2,1）成中心对称的函数解析式.