计算方法最佳一致逼近多项式切比雪夫多项式

三、切比雪夫多项式在函数逼近中的应用
希望构造最高次幂xn 系数为1 的多项式：
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
…
三、切比雪夫多项式在函数逼近中的应用
证明比较复杂，省略。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
这个定理的 结论非常重要
怎样才能使得拉格朗日插值多项式成为最佳逼近 ？
…
偏差估计
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
计算方法最佳一致逼近 多项式切比雪夫多项式
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
2020年4月11日星期六
内容
1. 函数逼近的基本概念 2. 切比雪夫多项式 3. 最佳一致逼近多项式 4. 切比雪夫多项式在函数逼近中的应用 5. 利用切比雪夫多项式的0点构造最佳逼近多
项式的例子
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
称为切比雪夫多项式 。 路漫漫其修远兮,
吾将上下而求索
…
由三角表达式定 (2.10) 义的多项式
切比雪夫多项式的表达式 切比雪夫多项式的前几项：
路漫漫其课修远兮堂, 练习：推出T4(x)
吾将上下而求索
切比雪夫多项式的性质
（1）基本递推关系
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
（2）正交性
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函数逼近的基本概念
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
第3章 函数逼近与曲线拟合 §1 函数逼近的基本概念
一、函数逼近与函数空间
实际应用需要使用简单函数逼近已知复杂函数。
B
A
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
a. 定理1具有重要 的理论意义；
b. Bernstan多项式 收敛到f(x)较慢 ，不常用。
解：利用定理7，构造所求的L4(x)；令：
tk
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
0
1
2
3
4
x 0.97553 0.79390 0.5 0.20611 0.02447
ex 2.65257 2.21201 1.64872 1.22889 1.02477
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
Lagrange插值多项式为 经过比较复杂的计算，得：
ex 2.65257 2.21201 1.64872 1.22889
4 0.02447 1.02477
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
xi f[xi] f[xi, xi+1] f[xi, xi+1, xi+2 ] f[xi, xi+1, xi+2, xi+3 ] f[xi, xi+1, xi+2, xi+3 ，xi+4 ]
例如：为将[0, 1] [-1, 1]，可以令： 则
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最佳逼近拉格朗日插值多项式的构造步骤
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利用切比雪夫多项式的0点构造 最佳逼近多项式的例子
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例4. 求f(x)=ex 在[0, 1]上的4次最佳一致逼近 多项式L4(x),并且估计误差。
吾将上下而求索
（5）切比雪夫多项式的极值点 …
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
…
1
T2(x )
T1(x
)
-1
1
T3(x ) 路漫漫其修远兮,
吾将上下而求索
T4(x )
-1
T3(x)有3个0值点，4个极值点
总结： Tn(x)具有很好的性质。
y
x
Tn(x)是n阶多项式，具有n个0点，n+1个极值点；有 界[-1, 1]； T1(x), T3(x),…只含x的奇次项，是奇函数
根据积化和差公式： 当m≠n:
当m=n≠0
当m=n=0
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（3）奇偶性
利用数学归纳法证明：
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（4）切比雪夫多项式的零点 … …
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…
图为T11(x)的零点，一共有11个
…
接近-1和1的地方越密。过这些0点作平行于y轴的直 线，这些直线与上半单位元的交点形成了一个关于圆 路漫漫其弧修远的兮, 等距的点的集合。
x0 f(x0 )
x1 f(x1 f[x0,
)
x1]
x2 f(x2 f[x1,
ຫໍສະໝຸດ Baidu
)
x2]
f[x0, x1, x2 ]
x3 f(x3 f[x2,
)
x3]
f[x1, x2, x3 ] f[x0, x1, x2, x3 ]
x4 f(x4 f[x3,
)
x4]
f[x2, x3, x4 ] f[x1, x2, x3, x4 ]
y
y=L (x)
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一致逼近的几何意义
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切比雪夫多项式
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切比雪夫(Chebyshev)多项式
• 切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用 • 。切比雪夫多项式的0点可以用于构造具有最佳
一致逼近性质的插值多项式。
切比雪夫多项式的(简单)定义：
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误差估计：注意到变换 x = ½(t+1)
T5 (t)最高 次幂系数为24
这说明，在区间[0, 1]上使用多项式L4(x)逼近ex 的绝 对值误差非常小，避免了龙格现象。
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现在试图用Newton插值多项式逼近
0
1
2
3
x 0.97553 0.79390 0.5 0.20611
…
最佳一致
…
逼近0的
多项式
而上式成立的充分必要条件是x0, x1,…xn是切比雪夫 多项式的0点。
…
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证明：
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…
已知 |Tn(x)|<=1
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对任意区间[a, b]，不能直接使用定理7。
针对g(t) 使用定理7
f[x0, x1, x2, x3, x4]
，T (x), 2 路漫漫其修远兮, T4(x),…只含x的偶次项，是偶函数。 Home
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最佳一致逼近多项式
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§3 最佳一致逼近多项式
一、基本概念及其理论
不超过n次的实系 数多项式的全体
Hn
C[a, b]
目的：求一个能够按照绝对值逼近f(x)的最佳
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n次多项式
偏差的定义
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确定的 Pn(x)
对所有的 Pn(x)ϵHn
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最佳一致逼近多项式的存在性定理
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…
p(x)的系数{an}
…
… …
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切比雪夫多项式在函数逼近 中的应用
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