计算方法最佳一致逼近多项式切比雪夫多项式
切比雪夫和切比雪夫多项式的故事 述职报告
切比雪夫和切比雪夫多项式的故事述职报告切比雪夫是俄国现代数学的开创者之一，他是优秀的纯粹数学家，也是名副其实的应用数学家。
他创建的彼得堡学派具有鲜明的理论联系实际的特色。
著名的切比雪夫多项式就是从连杆设计中升华出来的理论精华。
19世纪前，俄国数学在欧洲一直处于落后地位，切比雪夫（Pafnuty Chebyshev，1821—1894）的出现从根本上改变了这种格局。
作为一流的数学家和力学家，切比雪夫在多个领域都有所建树，比如在数论方面推进了素数分布问题的研究，在概率论方面用初等方法证明了大数定律，在函数逼近论中建立了切比雪夫多项式，在积分方面证明了微分二项式可积性条件定理等。
他注重培养学生，团结有共同志趣的人士，创建了俄国最早的数学学派——彼得堡学派。
一个富末代的童年切比雪夫出生于俄国卡卢加省博罗夫斯克的奥卡多沃。
他的家庭是名副其实的贵族家庭，祖辈有很多人立过战功。
父亲列夫·切比雪夫（Lev Pavlovich Chebyshev）是沙皇时代的一名军官。
列夫和妻子一共育有9个孩子，切比雪夫排行第二。
切比雪夫身体残疾，从小就要借助一根拐棍行走，无法与其他的孩子一样自由自在地玩耍，大多时候自得其乐，偶尔会用小刀子制作心爱的玩具。
不过，这种身体的局限反而给了他心灵上更大的自由，他可以在独处中多一些畅想，对他以后走上独立的研究道路不无益处。
19世纪初的俄国还不太强大，当时的俄国人对欧洲其他国家既害怕又羡慕。
一些无知的人主张闭关锁国来抵御地域和文化侵略，而另一些受过良好教育的人了解欧洲的文化、文学和科学，主张俄国应该更加开放和西化。
幸运的是，切比雪夫的父母是后者，持开明的态度，使他从小受到了良好的教育，也有助于他开放思想与博大胸襟的养成。
他在家里启蒙，母亲和一位聪慧的表姐为他授课。
母亲教他读书写字，表姐教他法语、算术和唱歌，这为他以后了解法国乃至世界数学的研究进展创造了条件。
1832年，他们举家搬到俄国的科学和文化中心莫斯科。
计算方法最佳一致逼近多项式-切比雪夫多项式
一、函数逼近与函数空间
实际应用需要使用简单函数逼近已知复杂函数。
函数逼近问题：对于函数类A中给定的函数
f(x), 要求在另一类较简单的便于计算的函
数类
BA
B
A
中找一个函数p(x), 使p(x)与f(x)的误差在某
种度量意义下达到最小.
定理 1(Weierstrass)若 f(x) C[a, b], 则ε 0, 多项式p(x), 使得
TT0n(x1()x)
1, T1(x) 2xTn(x)
x, Tn1(x).
(2.11)
Tn(x)的最高次幂x n的系数为2 n1, (n 1).
证明：记θ arccosx, 则 Tn1 (x) cos[(n 1)θ ] cos[(nθ θ )]
cos(nθ )cosθ sin(nθ )sinθ
切比雪夫多项式的前几项：
T0(x) cos(0) 1 T1(x) cos(arccosx) x T2(x) cos(2arccosx) 2x2 1 T3(x) cos(3arccosx) 4x3 3x
课堂练习：推出T4(x)
切比雪夫多项式的性质
（1）基本递推关系
cos(n 1)θ cos(nθ )cos θ sin(nθ )sin θ
Tn1 (x) 2cos(nθ )co sθ cos(n 1)θ 2xTn (x) - Tn1 (x)
（2）正交性
0, m n,
1
1
1
1
x2
Tm(x)Tn(x)dx
π/2, m n 0,
cos[(2k
1)π] 2
计算方法-最佳一致逼近多项式-切比雪夫多项式
xn )
|
要使 max 1 x 1
|
(x
x0 )(x
x1) … (x
xn )
|
取极小值, 只需令：
(x x0 )(x x1) … (x xn)
1 2n
Tn1(x),
最佳一致 逼近0的 多项式
而上式成立的充分必要条件是x0, x1,…xn是切比雪夫 多项式的0点。
将Lagrange插值多项式Ln(x)的节点取为Tn1(x) 的0点 :
最佳一致逼近多项式
§3 最佳一致逼近多项式
一、基本概念及其理论
不超过n次的实系 数多项式的全体
本节讨论f(x) C[a, b], 求多项式pn* (x) Hn , 使得误差
||
f(x)
pn* (x)
||
min
pn Hn
||
f(x)
pn(x)
||
此即所谓最佳一致逼近 或切比雪夫逼近问题 。
Hn
设f(x) Cn1[a, b], 则函数通过变换
x a b b a t, 1 t 1
2
2
化为
f(x)
f(a b 2
b 2
a t)
g(t)
针对g(t) 使用定理7
例如：为将[0, 1] [-1, 1]，可以令：
则
x
0
2
1
1 0 2
t
1 (t 2
1)
f(x) f(1 (t 1)) g(t) , 1 t 1. 2
f(x)
p(x)
|
可以证明存在唯一的(a*0 , a1* , … , an* ), 使得
(a*0 , a1* , … , an* )
min{max
高中数学竞赛切比雪夫(Chebyshev)多项式知识整理-教学文档
方法一：余弦倍角公式是由余弦的幂整系数线性组合来表示倍角的余弦．这样就产生余弦的n 倍角能否用余弦的幂次的整系数线性组合表示等问题．通过研究，发现cos n α都是关于2cos α的首项系数为1的、次数等于α的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式，还进一步得到cos n α的一些性质．应用此性质，可以得到一些求和公式及解决许多数学问题．进一步研究，发现此多项式可以转化为切比雪夫多项式．在初等数学中，三角函数是一个十分有用的工具，余弦cos n α是众所周知的偶函数，它的倍角公式如：2cos 22cos 1αα=- ，(1)3cos34cos 3cos ααα=-． (2)它们都是由余弦cos α的幂整系数线性组合来表倍角的余弦．这样就自然产生了余弦的n 倍角能否用余弦cos α的幂次的整系数线性组合表示问题，稍作计算可以得42cos 48cos 8cos 1ααα=-+ ，(3)53cos516cos 20cos 5cos αααα=-+ ．(4)观察公式(1—4)，可以发现．如果公式两端同乘以2，则公式右边都是关于2cos α的首系数为1的、次数等于公式左边α的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式．由此猜测2cos n α也具有这一性质，下面用数学归纳法加以证明．猜想2,02cos (1)(2cos )m n m n m m n a αα-==-∑，(;n N m N +∈∈) (5)(5)式可改写为：n/312112cos (2cos )(1)(2cos )ent n mm n m n m m n n C mααα----==+-∑ ，(9) (9)式称为n 倍角余弦公式．12424cos 2(cos )(cos )(cos )n n n n n n n αααααα-----=-++…，其中i α为正整数． 因为余弦cos α在[]0,απ∈上单调，对应值为1降到1-，即cos α[]1,1∈-，[]0,απ∈ ．因此存在反函数，若令cos x α=，则arccos x α=，[]1,1x ∈-，[]0,απ∈．因此，在余弦n 倍角公式中令arccos x α=，[]0,απ∈，[]1,1x ∈-，则倍角公式为于是cos(arccos )n x 首项系数为12n -的多项式，各项系数是整数，符号依次变化，x 的幂依次递减2次，若递减到最后，幂次为负，则该项取零．若记cos(arccos )n x =()n T x ，则()n T x 满足，12()2()()n n n T x xT x T x --=-，()n T x 称为切比雪夫多项式．从递推关系可以得到：第一类切比雪夫多项式有许多良好的性质，例如：1．(cos )cos(),,n T n R n N θθθ=∈∈．(分析：令cos x θ=，arccos x θ=) 2．()(1)()n n n T x T x -=-，,x C n N ∈∈．这表明()n T x 当n 为奇(偶)数时是奇(偶)函数．3．()1,,1n T x x R x ≤∈≤．4．21(0)0m T +=，2(0)(1),m m T m N =-∈．5．函数列{}()n T x 的生成函数为（分析：生成函数又叫母函数，在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息．使用母函数解决问题的方法称为母函数方法．母函数的思想就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造．母函数是解决组合计数问题的有效工具之一，其思想方法是把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂的相加对应起来．）6．函数列{}()n T x 满足2阶递推关系（分析：由三角恒等式cos(1)cos(1)2cos cos n n n θθθθ++-=）最小偏差切比雪夫在1857年提出这样一个问题：在最高项系数为1的n 次多项式中，寻求在区间[]1,1-上与零的偏差最小的多项式．换句话说，就是寻求[]1,1n x C ∈-在1n H -中的最佳一致逼近多项式1()n P x *-，这里定理 在区间[]1,1-上所有最高项系数为1的多项式中，与零的偏差最小，其偏差为112n -． ()n U x 称为第n 个第二类切比雪夫多项式，前7个第二类切比雪夫多项式为： 第二类切比雪夫多项式也有许多良好的性质，例如：1．()(1)(),,n n n U x U x x C n N -=-∈∈．即当以为奇(偶)数时是奇(偶)函数． 2．21(0)0m U +=，2(0)(1)m m U =-，(1)1n U n =+,(1)(1)(1)n n U n -=-+，m N ∈．3．函数列{}()n U x 的生成函数为4．()1,,1n U x n x R x ≤+∈≤．5．函数列{}()n U x 满足2阶递推关系两类切比雪夫多项式的关系定理1设()n T x 和()n U x 分别为第一类和第二类切比雪夫多项式，0n ≥为整数，则证明 由两类切比雪夫多项式的定义得而则比较式在子两边n t 项的系数，即有4切比雪夫多项式的应用4.1切比雪夫多项式插值切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用．这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值．相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近． 切比雪夫多项式插值法：定理：设01,,x x …,n x 为区间[],a b 上1n +个互不相同的点，[]1(),n f x C a b +∈，则对任何[],x a b ∈,存在[]01,,,x n x x x ξ∈，使得拉格朗日插值余()()()n R x f x L x =-，满足其中插值多项式的余项极小化：要使拉格朗日插值多项式()n L x 尽量逼近()f x ，就要使余项()n R x 尽量小．在 ()n R x 中，()f x 是固定的，而 x ξ又是未知数，所以要减小()n R x ，只有恰当选择节点集，使得在插值区间内余项的最大值为极小值．为了应用切比雪夫多项式，首先应将插值区间[],a b ,通过简单变换归一化到区间[−1,1],做变换()12k k z b a x b a =-++⎡⎤⎣⎦ 所以插值节点应取为()121cos 222k k z b a b a n π+⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦. 其中0,1,2,,1k n =-，所以下面我们只需要讨论区间[−1,1]上的函数的切比雪夫插值法： 当取定第一类切比雪夫点21cos ,0,1,2,,22k k x k n n π+==+后，令()1111max n n x M f x ++-≤≤=，则有()()11max 1max (1)!2(1)!n n n n x R x M M n n ++=≤++∏，故切比雪夫插值法可以使得余项的最大值极小化，得到较佳逼近多项式.。
Chebyshev定理在求最佳一致逼近多项式中的应用
把满 足上式 的那些 的值统 称 为偏差 点 ， 且依 △ （ ） 的
符号 的 正 、 负不 同成为 正偏 差点或 负偏 差点 ．
２ 最佳 一 致逼近 多项 式 的充分 必 要条件
设 ） Ｅ ， ｂ 】 ， Ｐ （ ） 为一个次数不超过 凡的最佳
一
ｍ 积 ： ） 一 尺 （ ） ［ ＝ ｍ ａ ｘ ） 一 （ （ ） ＋ Ｑ （ ） ） ｌ
ｃ ｃ ， （ ） ＝
２
ｍ ａ ｘ
删
（ ） ． ＿ （ ） ，
解 由题意， 所求最佳逼近多项式Ｐ ， ） 应满足 ｍａ ｘ
‘
一
（ ） ｌ ＝ － ＿ ｍ Ｉ — ａ ｘ Ｊ （ ） ｌ ＝ ，
１ 《 《 １
且点 ＝ ｃ ０ ｓ 叮 ｒ （ ｋ ＝ ０ ， ｌ ， …， ｎ ） 是 （ ） 的切Ｅ 匕 雪夫交错
２
＋１ ５ ６ ８ ｘ－ ２ ５２ ｘ ＋１ ３ ｘ．
切比雪 夫定理是 否可 推广 到求任意次数 的最佳一致逼 近多项 式？为 了回答这个问题 ， 我们首先看以下例题．
证 明 由 于
，
例 １ 求
次 逼 近 多项 式 ．
） ＝ ２ ｘ 帆‘ ＋ 一 １在 ［ 一 １ ， １ ］ ￣￥ Ｊ ／ ｌ ｔ ｔ ￣ ２
６
４
２
（ 戈 ） ＝ ５ １ ２ ｘ一 １ ２ ８ ０ ｘ＋ １ １ ２ ０ ｘ＋ １ ７ ６ ｘ＋ ５ ０ ｘ一 １ ，
１ １ ９ ７ ５ ３
７ ＝ ， （ ） ＝ ＝ １ ０ ２ ４ ｘ一 ２ ８ １ ６ ｘ ＋ ２ ８ １ ６ ｘ 一 ７ ８ ４ ｘ ＋ １ ０ ８ ｘ 一 １ Ｉ ｘ ，
计算方法讲义 (3)
6月5日
1
考试安排
6月17日(周三)下午14：00~16：00
考试范围：1-7章（上节课内容）
2
综合复习一
往届期末考卷讲评
3
1.(15%) 求一个次数不高于4的多项式
满足下列插值条件： P4(1)=2 ， P4(2)=4 ，P4(3)=12 ，P4’(1)=1 ，
P4’(3)=-1
x j1)
(xj
xn )
41
复习：
42
1. 若f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an有互不相 同的n个实根x1, x2, …, xn. 试证明：
n
j 1
f
xkj '(xj )
0 a01
0kn1 k n1
令g(x) xk
则g(x)的n 1阶均差（差商）
g[x1, x2 , , xn ]
12
定理6说明
切比雪夫多项式
n-1次最佳逼近多项式余项 是切比雪夫多项式进行适
当的放缩（乘系数）
13
第一步：变量代换
设f(x)的三次最佳一致逼近多项式为
P3
(
x)，x
[0,1]，令x
t
2
1，t
[1,1]
则根据定义有
f
(x)
P3
(x)
F (t)
P3 (t)
1
t
1 2
(t
1) 2 2
(t
1)3 2
其中(x)为[a, b]上的权函数，求积系数为
Ai
ab
(x)li(x)dx
b
a
(x)
n
j0
xxj xi x j
切比雪夫和切比雪夫多项式的故事
切比雪夫和切比雪夫多项式的故事打开文本图片集19世纪前，俄国数学在欧洲一直处于落后地位，切比雪夫（PafnutyChebyhev，1821—1894）的出现从根本上改变了这种格局。
作为一流的数学家和力学家，切比雪夫在多个领域都有所建树，比如在数论方面推进了素数分布问题的研究，在概率论方面用初等方法证明了大数定律，在函数逼近论中建立了切比雪夫多项式，在积分方面证明了微分二项式可积性条件定理等。
他注重培养学生，团结有共同志趣的人士，创建了俄国最早的数学学派，彼得堡学派。
一个富末代的童年切比雪夫出生于俄国卡卢加省博罗夫斯克的奥卡多沃。
他的家庭是名副其实的贵族家庭，祖辈有很多人立过战功。
父亲列夫·切比雪夫（LevPavlovichChebyhev）是沙皇时代的一名军官。
列夫和妻子一共育有9个孩子，切比雪夫排行第二。
切比雪夫身体残疾，从小就要借助一根拐棍行走，无法与其他的孩子一样自由自在地玩耍，大多时候自得其乐，偶尔会用小刀子制作心爱的玩具。
不过，这种身体的局限反而给了他心灵上更大的自由，他可以在独处中多一些畅想，对他以后走上独立的研究道路不无益处。
19世纪初的俄国还不太强大，当时的俄国人对欧洲其他国家既害怕又羡慕。
一些无知的人主张闭关锁国来抵御地域和文化侵略，而另一些受过良好教育的人了解欧洲的文化、文学和科学，主张俄国应该更加开放和西化。
幸运的是，切比雪夫的父母是后者，持开明的态度，使他从小受到了良好的教育，也有助于他开放思想与博大胸襟的养成。
他在家里启蒙，母亲和一位聪慧的表姐为他授课。
母亲教他读书写字，表姐教他法语、算术和唱歌，这为他以后了解法国乃至世界数学的研究进展创造了条件。
1832年，他们举家搬到俄国的科学和文化中心莫斯科。
他的父母继续让他在家里接受教育，所不同的是，给他聘请了当时莫斯科最好的家庭老师波戈列利斯基（P。
N。
Pogorelki）。
这位老师文理兼修，写作、数学和物理都很棒，写过几本畅销的初等数学教科书，他为小切比雪夫打下了坚实的数学和人文基础。
计算方法 最佳一致逼近多项式-切比雪夫多项式精编版
22
22
22
22
xk
cos (2k 1)π , (k 22
1,2,… ,11)
接近-1和1的地方越密。过这些0点作平行于y轴的直
线，这些直线与上半单位元的交点形成了一个关于圆
弧的等距的点的集合。
（5）切比雪夫多项式的极值点
Tn(x)在[1,1]上有n 1个不同的极值点
x k
cos kπ , (k n
π,
m n 0.
(2.12)
证：令x cosθ ，则
1
1
1
1
x2
Tm(x)Tn(x)dx
0 cos(mθ )cos(nθ )dcosθ
π
1 cos2θ
π cos(mθ )cos(nθ )dθ 0
根据积化
1 2
3）则对n 1的情况，由递推公式 Tn1(x) 2xTn(x) Tn1(x)
得知：情况a）如果n为奇数，则2xTn(x)只含n的偶次方， Tn1(x)只含x的偶数次方，从而左端Tn1(x)只含x的偶次方； 情况b）如果n为偶数，则2xTn(x)只含x的奇次方，Tn1(x) 只含x的奇次方，从而左端Tn1(x)只含x的奇次方
切比雪夫多项式的前几项：
T0(x) cos(0) 1 T1(x) cos(arccosx) x T2(x) cos(2arccosx) 2x2 1 T3(x) cos(3arccosx) 4x3 3x
课堂练习：推出T4(x)
切比雪夫多项式的性质
（1）基本递推关系
计算方法 (Numerical Analysis)
第4次 最佳一致逼近多项式
计算方法 最佳一致逼近多项式-切比雪夫多项式
C[a, b]
目的：求一个能够按照绝对值逼近f(x)的最佳 n次多项式
偏差的定义
确定的
定义7 设f(x) C[a, b], pn(x) Hn , 称 Pn(x)
Δ(f, pn )
||
f
pn
||
max
a x b
|
f(x) pn(x)
| (3.1)
是f(x)与pn(x)在[a, b]上的偏差。
xn )
|
要使 max 1 x 1
|
(x
x0 )(x
x1)… (x
xn )
|
取极小值, 只需令：
(x x0 )(x x1)… (x xn)
1 2n
Tn1(x),
最佳一致 逼近0的 多项式
而上式成立的充分必要条件是x0, x1,…xn是切比雪夫 多项式的0点。
将Lagrange插值多项式Ln(x)的节点取为Tn1(x) 的0点 :
En
inf
pn Hn
{Δ
(f,
pn
)}
对所有的 Pn(x)ϵHn
inf max
pn Hn a x b
|
f(x) pn(x)
|
(3.2)
称为f(x)在[a, b]上的最小偏差。
定义8 设f(x) C[a, b], 若存在pn* (x) Hn , 使得
Δ(f, pn* ) En (最小偏差)， (3.3) 则称pn* (x)是f(x)在[a, b]上的n次最佳一致逼 近多项式，简称最佳逼近多项式。
n 1个互异节点x0 , x1, … , xn上的拉格朗日插值
多项式的插值余项为
Rn(x)
f(x) Ln(x)
f(n1)(ξ) (n 1)!
最佳一致逼近多项式
( f , p n ) E n，
*
( 3 .3 ) 或
则称 p n ( x ) 是 f ( x ) 在 [ a , b ]上的 n 次 最佳一致逼近多项式 最小偏差逼近多项式 ，简称 最佳逼近多项式
*
*
.
定理 2 若 f ( x ) C [ a , b ],
*
则总存在 p n ( x ) H n , 使得 。
证明：令 ( x ) | P ( x ) f ( x ) |, 则 ( x ) 连续，因而可以达到最 即存在 x 0 , 使得 ( x 0 ) max ( x ) || P ( x ) f ( x ) || 。
a xb
大值，
这说明 x 0 是 P ( x ) 的一个偏差点，不妨设 由于 P ( x ) 是最佳逼近多项式，则
三、最佳一致逼近多项式
1.零次最佳一致逼近多项式 对于n=0的P0(x)有： P0(x) =(M+m)/2 其中M、m分别为f (x) 的最大值和最小值。 ∵f(x)C[a,b]，由闭区间上连续函数性质；在[a,b]上存在两点x1,x2 使f (x1)=M, f (x2)=m， 即：x1,x2为偏差点（负,正）使：
axb
f (x)
n
(x)
即在H中 (x)与f(x)之差的绝对值的最大值是最小的，H中 任一ψ (x)与f(x)之差的绝对值都比它大，这样的 (x)为 f(x)在H中的最佳一致逼近函数。
定义1
设 f ( x ) C [ a , b ],
pn ( x ) H n , 称
a xb
逼近多项式
推论2 设f(x)C[a,b]，则f(x)在Hn中的最佳一致逼近多项 式Pn(x)，就是f (x)在[a,b]上的某个n次Lagrange插 值多项式。 证明∵Pn(x)有n+2个偏差点，亦即使f (x) －Pn (x)在[a,b]上至少 有n+2个点交替换正负号，亦就是说f(x) Pn(x)=0在[a,b]上有n+1 个根存在n+1个点：a x0<…< xn b使f (xi) Pn (xi)=0 即：f (xi)=Pn(xi) (i =0,1,2,…,n) , 所以，以此作为插值条件可得 到Pn(x)，因此，Pn(x)就是以x0,x1,…,xn为插值节点的n次值多项 式。 切比雪夫定理不仅给出了最佳一致逼近多项式的特征， 并从理论上给出了寻找最佳一致逼近多项式的方法：
3.3最佳一致逼近多项式
( 1, k 1,2,3).
12
由于 f ( x) 在 [a, b]上不变号， 故 f ( x) 单调， f ( x) a1 在 (a, b)内只有一个零点，记为 x2， 于是
且点 xk cos
k (k 0,1, , n) 是 Tn ( x)的切比雪夫交错点组， n
8
由定理5可知，区间 [1, 1] 上 x n 在 H n 1 中最佳逼近多项式
为 Pn*1 ( x), 即 ( x) 是与零的偏差最小的多项式. n
定理得证.
9
例3 求 f ( x) 2 x3 x 2 2 x 1 在 [1, 1]上的最佳2次逼 近多项式. 解 由题意，所求最佳逼近多项式 P2* ( x) 应满足
5
使 P( x)， 用反证法，若存在 Q( x) H n , Q( x)
f ( x) Q( x)
f ( x ) P( x ) .
由于
P( x) Q( x) [ P( x) f ( x)] [Q( x) f ( x)]
在点 x1 , x2 ,, xn 2 上的符号与 P( xk ) f ( xk )(k 1,, n 2) 一致， 故 P( x) Q( x) 也在 n 2 个点上轮流取“+”、“-”号. 由连续函数性质，它在 [a, b] 内有 n 1 个零点，但因
于是得 1 x 2 的最佳一次逼近多项式为
P 1 ( x) 0.955 0.414 x,
即
1 x 2 0.955 0.414 x, 0 x 1;
计算方法 第五章第三节最优一致逼近
次最优一致逼近 多项式
y P (x) n
可见Pn(x) 是 f (x)的 某一个插 值多项式
0
y f (x)
y f (x)
y f (x)
x
由切比雪夫定理可推出： Pn(x) f (x) 在定义域上
至少变号 n+1 次，故至少有n+1 个根。
二、切比雪夫多项式的性质
下面我们求最好的直线所满 足的直线方程。设该方程为
p(x) a0 a1x.
由图示知它与 f (x) tan1 x的误差 R(x) f (x) p(x)在 x 0,
x 和x 1处依顺序变号，且绝对值达到最大，即有
R(0) f (0) p(0) , R( ) f ( ) p( ) , R(1) f (1) p(1) .
上式等价于求实数 a0,a1,...,an,使得多项式
pn (x) a0 a1x ... an xn
满足
S( a0,a1,...,an ) :
f
pn
inf pPn
f p
定理5.3.2 （存在性定理）
f (x) C [a,b]，总存在最优一致逼近多项式
满足
pn (x) c0 c1x ... cn xn
k 0,1,..., n 1,
其中 1或 1，称这样的点组为 p(x) f (x)的(切比雪夫)交错点组。
推论
设 f (x) Cn1 [a,b]且 f n1(x)在[a,b]上保号，p(x)
Pn span{1, x,.., xn}为 f (x)在区间[a,b]上的n次最优一致逼近多 项式，则 p(x) f (x)在区间[a,b]上恰好存在n+2个交错点，且
计算方法最佳一致逼近多项式-切比雪夫多项式专题培训课件
cos(nθθs )c in o(snθθ )si
co s1 () n θ cos(θ n s θi) nc(o θ n
Tn(x)在 1,[1]上有的 n个 零不 点同 xk co(s22k 1 n)π , (k1,2 …,,n)
证：将xk
cos(2k 1)π, 2n
(k
1,2,…, n)
代入Tn(x)的表达式，得到
Tn(x)
cos[narccso(cos(2k 1)π)] 2n
cos[(2k 1)π] 2
计算方法最佳一致
逼近多项式-切比 雪夫多项式
内容
1. 函数逼近的基本概念 2. 切比雪夫多项式 3. 最佳一致逼近多项式 4. 切比雪夫多项式在函数逼近中的应用 5. 利用切比雪夫多项式的0点构造最佳逼近多
项式的例子
函数逼近的基本概念
第3章 函数逼近与曲线拟合
§1 函数逼近的基本概念
一、函数逼近与函数空间
实际应用需要使用简单函数逼近已知复杂函数。
函数逼近问题： 对于函数类A中给定函的数
f(x),要求在另一类较简单便的于计算的函
数类
BA
B
A
中找一个函数p(,x使) p(x)与f(x的) 误差在某
种度量意义下达到最. 小
定1 理(Weaisesrf)s(若 tx rC ) [b a],则 ,ε0, 多项式 使p得 (x),
得知：情况a）如 为果 奇n数，则n2(xT)只含n的偶， 次方 Tn1(x)只含x的偶方 数， 次从而左n端 1(xT)只含x的偶； 次 情况b）如果n为，偶则数2xn(Tx)只含x的奇， 次Tn方 1(x) 只含x的奇次方，左从端而 nT1(x)只含x的奇次方
Chebyshev最佳一致逼近
Chebyshev 最佳一致逼近 Chebyshev 定理设()[,]f x C a b ∈，则n 次多项式*()n p x 为()f x 的n 次最佳一致逼近多项式的充要条件是在区间[,]a b 上至少有n+2个点1212...n n a x x x x b++≤<<<<≤使得*()()n f x p x -在这些点上以正负相间的符号依次取得*(,)|()()|max n n a x b E f x f x p x ≤≤=-，即有*()()(1k k n k n f x p x E f δ-=-=+其中δ为-1或1 Chebyshev 多项式称cos(arccos ),11,0,1,2......,n T n x x n =-≤≤=为n 次Chebyshev 多项式，即在区间[1,1]n -+上存在个点21cos ,0,1,2......,2(1)k k x k n +==+轮流使得()+1-1n T x 取得最大值和最小值，可以证明最佳一致逼近多项式的存在性和唯一性。
function g=Chebyshev(f,n,a,b)for j=0:ntemp1=(j*2+1)*pi/(2*(n+1));temp2=(b-a)*cos(temp1)+b+a;temp3(j+1)=temp2/2;endx=temp3;y=f(x);g=Lagrange(x,y,n);function s=Lagrange(x,y,t)syms p ;n=length(x);s=0;for(k=1:n)l=y(k);for(j=1:k-1)l=l*(p-x(j))/(x(k)-x(j));end;for(j=k+1:n)l=l*(p-x(j))/(x(k)-x(j));end;s=s+l;simplify(s);end例。
求函数()xf x xe在区间[6,-6]上的3,5,12次近似最佳逼近多项式，并给出函数图象，比较各阶逼近效果。
切比雪夫多项式
切比雪夫多项式概述：切比雪夫多项式是与棣美弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。
通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示，第二类切比雪夫多项式用Un表示。
切比雪夫多项式Tn 或Un 代表n 阶多项式。
切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。
这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。
相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。
基本性质：对每个非负整数n，Tn(x) 和Un(x) 都为n次多项式。
并且当n为偶（奇）数时，它们是关于x 的偶（奇）函数，在写成关于x的多项式时只有偶（奇）次项。
按切比雪夫多项式的展开式：一个N 次多项式按切比雪夫多项式的展开式为如下，多项式按切比雪夫多项式的展开可以用Clenshaw 递推公式计算。
第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定。
也可以用母函数表示。
第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出。
此时母函数为Clenshaw递推公式在数值分析中，Clenshaw递推公式(由Charles William Clenshaw发现)是一个求切比雪夫多项式的值的递归方法。
切比雪夫多项式N次切比雪夫多项式，是下面形式的多项式p(x)其中T n是n阶切比雪夫多项式Clenshaw递推公式Clenshaw递推公式可以用来计算切比雪夫多项式的值。
给定我们定义于是(注)上面的公式在N=0,1的情况下无意义。
此时我们可以用下面的公式：(downward, omit if N=0)这里或者其中是第二类切比雪夫多项式棣莫弗（de Moivre）原理设两个复数（用三角形式表示）Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+i sinθ2），则:Z1Z2=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）].解析证：先讲一下复数的三角形式的概念。
在复平面C上，用向量Z(a,b）来表示Z=a+bi.于是，该向量可以分成两个在实轴，虚轴上的分向量.如果向量Z与实轴的夹角为θ，这两个分向量的模分别等于rcosθ,risinθ（r=√a^2+b^2）.所以，复数Z可以表示为Z=r(cosθ+isinθ）.这里θ称为复数Z的辐角.因为Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），所以Z1Z2=r1r2(cosθ1+isinθ1）（cosθ2+isinθ2）=r1r2(cosθ1cosθ2+icosθ1sinθ2+isinθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）=r1r2[(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2）]=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）].其实该定理可以推广为一般形式：推广设n个复数Z1=r1(co sθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），……，Zn=rn(cosθn+isinθn），则：Z1Z2……Zn=r1r2……rn[cos（θ1+θ2+……+θn)+isin（θ1+θ2+……+θn)].解析证：用数学归纳法即可，归纳基础就是两个复数相乘的棣莫弗定理。
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路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
2020年4月11日星期六
内容
1. 函数逼近的基本概念 2. 切比雪夫多项式 3. 最佳一致逼近多项式 4. 切比雪夫多项式在函数逼近中的应用 5. 利用切比雪夫多项式的0点构造最佳逼近多
项式的例子
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
y
y=L (x)
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
一致逼近的几何意义
x Home
切比雪夫多项式
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
切比雪夫(Chebyshev)多项式
• 切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用 • 。切比雪夫多项式的0点可以用于构造具有最佳
一致逼近性质的插值多项式。
切比雪夫多项式的(简单)定义：
三、切比雪夫多项式在函数逼近中的应用
希望构造最高次幂xn 系数为1 的多项式：
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
…
三、切比雪夫多项式在函数逼近中的应用
证明比较复杂，省略。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
这个定理的 结论非常重要
怎样才能使得拉格朗日插值多项式成为最佳逼近 ？
…
偏差估计
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
吾将上下而求索
（5）切比雪夫多项式的极值点 …
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
…
1
T2(x )
T1(x
)
-1
1
T3(x ) 路漫漫其修远兮,
吾将上下而求索
T4(x )
-1
T3(x)有3个0值点，4个极值点
总结： Tn(x)具有很好的性质。
y
x
Tn(x)是n阶多项式，具有n个0点，n+1个极值点；有 界[-1, 1]； T1(x), T3(x),…只含x的奇次项，是奇函数
解：利用定理7，构造所求的L4(x)；令：
tk
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0
1
2
3
4
x 0.97553 0.79390 0.5 0.20611 0.02447
ex 2.65257 2.21201 1.64872 1.22889 1.02477
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
Lagrange插值多项式为 经过比较复杂的计算，得：
函数逼近的基本概念
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
第3章 函数逼近与曲线拟合 §1 函数逼近的基本概念
一、函数逼近与函数空间
实际应用需要使用简单函数逼近已知复杂函数。
B
A
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路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
a. 定理1具有重要 的理论意义；
b. Bernstan多项式 收敛到f(x)较慢 ，不常用。
f[x0, x1, x2, x3, x4]
n次多项式
偏差的定义
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
确定的 Pn(x)
对所有的 Pn(x)ϵHn
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
最佳一致逼近多项式的存在性定理
பைடு நூலகம்路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
…
p(x)的系数{an}
…
… …
Home
切比雪夫多项式在函数逼近 中的应用
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
根据积化和差公式： 当m≠n:
当m=n≠0
当m=n=0
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（3）奇偶性
利用数学归纳法证明：
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
（4）切比雪夫多项式的零点 … …
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
…
图为T11(x)的零点，一共有11个
…
接近-1和1的地方越密。过这些0点作平行于y轴的直 线，这些直线与上半单位元的交点形成了一个关于圆 路漫漫其弧修远的兮, 等距的点的集合。
称为切比雪夫多项式 。 路漫漫其修远兮,
吾将上下而求索
…
由三角表达式定 (2.10) 义的多项式
切比雪夫多项式的表达式 切比雪夫多项式的前几项：
路漫漫其课修远兮堂, 练习：推出T4(x)
吾将上下而求索
切比雪夫多项式的性质
（1）基本递推关系
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
（2）正交性
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
例如：为将[0, 1] [-1, 1]，可以令： 则
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
最佳逼近拉格朗日插值多项式的构造步骤
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
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利用切比雪夫多项式的0点构造 最佳逼近多项式的例子
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
例4. 求f(x)=ex 在[0, 1]上的4次最佳一致逼近 多项式L4(x),并且估计误差。
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误差估计：注意到变换 x = ½(t+1)
T5 (t)最高 次幂系数为24
这说明，在区间[0, 1]上使用多项式L4(x)逼近ex 的绝 对值误差非常小，避免了龙格现象。
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现在试图用Newton插值多项式逼近
0
1
2
3
x 0.97553 0.79390 0.5 0.20611
，T (x), 2 路漫漫其修远兮, T4(x),…只含x的偶次项，是偶函数。 Home
吾将上下而求索
最佳一致逼近多项式
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
§3 最佳一致逼近多项式
一、基本概念及其理论
不超过n次的实系 数多项式的全体
Hn
C[a, b]
目的：求一个能够按照绝对值逼近f(x)的最佳
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
…
最佳一致
…
逼近0的
多项式
而上式成立的充分必要条件是x0, x1,…xn是切比雪夫 多项式的0点。
…
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
证明：
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
…
已知 |Tn(x)|<=1
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
对任意区间[a, b]，不能直接使用定理7。
针对g(t) 使用定理7
ex 2.65257 2.21201 1.64872 1.22889
4 0.02447 1.02477
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
xi f[xi] f[xi, xi+1] f[xi, xi+1, xi+2 ] f[xi, xi+1, xi+2, xi+3 ] f[xi, xi+1, xi+2, xi+3 ，xi+4 ]
x0 f(x0 )
x1 f(x1 f[x0,
)
x1]
x2 f(x2 f[x1,
)
x2]
f[x0, x1, x2 ]
x3 f(x3 f[x2,
)
x3]
f[x1, x2, x3 ] f[x0, x1, x2, x3 ]
x4 f(x4 f[x3,
)
x4]
f[x2, x3, x4 ] f[x1, x2, x3, x4 ]