0772《中学代数研究》2017秋《数学与应用数学》专业

单选题：1、用复数的棣莫弗公式，可以推导A. 一元二次方程的求根公式B. 点到直线的距离公式C. 三角函数的n 倍角公式2.下列说法，哪一个是错误的：A. 戴德金分割和有理数区间套定义是等价的；B. 戴德金分割中对有理数集的分割满足“不空”“不漏”“不乱”三个条件；C. 戴德金分割的下集存在最大数时，上集存在最小数。

3、“等价关系”和“顺序关系”的区别在于，前者具有：A. 反身性B.对称性C.传递性4、高中代数课程的基本主线是： A. 方程 B. 函数 C. 数列5、在中学代数教学中，应提倡的一个基本原则是：在注意形式化的同时，加强代数知识的----. A. 恒等变换 B. 形式推导 C. 直观理解6、点到直线的距离公式，可以用--------推出：A. 排序不等式B. 均值不等式C. 柯西不等式7、有理数集可以与自然数集建立一一对应的关系，这说明有理数集具有：A. 稠密性B. 连续性C. 可数性D. 完备性8、加权平均不等式和下列哪种不等式有内在联系：A. 均值不等式B. 柯西不等式C. 排序不等式9、代数学是研究数学对象的运算的理论和方法的一门学科，根据数学对象的不同表现代数学可分为：A. 方程和函数；B. 数列和算法C. 古典代数和近代代数；D. 抽象代数和近世代10、下列说法，哪个是正确的；A. 复数集是一个有序域；B. 复数可以排序；C. 复数可以比较大小；11、下列哪个说法是错误的:A. 用尺规作图可以二等分角B. 用尺规作图可以画出根号5的数C. 用尺规作图可以三等分角D. 用尺规作图可以画直线外一点到该直线的垂直线12、任意两个有理数之间，均存在一个有理数，这说明有理数具有：A. 可数性；B. 连续性；C. 完备性D. 稠密性13、用下列哪种方法，对任意有限数列都可以给出该数列的通项表达式。

A. 拉格朗日插值公式B. 数列的母函数C. 高阶数列的求和公式14、加权平均不等式和下列哪种不等式有联系：A. 排序不等式B. 均值不等式C. 柯西不等式15、下列说法，哪一个是错误的：A. 自然数集是可数的；B. 有理数集是可数的；C. 实数集是可数的；16、两个集合A和B的笛卡尔积的子集，被称为A. 结构；B. 关系；C. 序偶；D. 对偶17、不定方程求解的算理依据是：A. 孙子定理B. 单因子构件法C. 辗转相除法D. 拉格朗日插值法18、点到直线的距离公式，可以用--------推出：A. 均值不等式B. 柯西不等式C. 加权平均不等式D. 排序不等式19、复数集按照“字典排序”关系，是一个：A.全序集B.有序域C.复数域20、两个集合A和B的笛卡尔积的子集，被称为A. 序偶B. 结构C. 对偶D. 关系21、一个收敛的有理数列，其极限可以不是有理数，这说明有理数不具有：A. 稠密性B. 可数性C. 连续性判断题：√22、在算法的教学中，应当注意培养学生的数学表达能力。

√23、《孙子算经》、《周髀算经》、《九章算术》并称为我国最古老的数学√25、在数学运算中，善于进行恒等变形是一项基本数学能力。

×26、在讨论函数的复合运算时，使用函数的“变量说”定义比较方便。

×27、在戴德金分割中，存在下列情形：戴德金分割的下集中有最大数，上集中有最小数。

×28、均值不等式和加权平均不等式是两个不同的不等式，二者并没有什么关系。

×29、实数集是可数的无穷集合×30、在戴德金分割中，存在下列情形：戴德金分割的下集中有最大数，上集中有最小数。

√31、“孙子定理”和拉格朗日插值公式在思想方法上是相通的。

×32、自然数的序数理论回答了一个集合含“多少个元”的问题。

√33、代数学一般有古典代数与近代代数之分。

×34、实数集是可数的。

√35、复数集是一个全序集。

×36、顺序关系具有反身性、对称性、传递性。

√37、有理数集和自然数集具有相同的“势”。

√38、斐波拉契数列和黄金分割数有密切的关系。

√39、0.999……=1 （正确）√40、形式幂级数的乘法运算定义是多项式乘法运算的推广。

√41、戴德金分割中对有理数集的分割满足“不空”、“不漏”、“不乱”三个条件。

√42、在自然数公理系统中“1”和“′”是两个没有实质意义的形式符号。

×43、代数基本定理所表现出的思想方法原则是“单因子构件法。

×44、对于数轴上的有理数，我们有两个相邻的有理数的说法。

√45、代数学一般有古典代数与近代代数之分。

×46、在实数的定义方法上，“无穷小数定义说”和“有理数区间套定义说”并没有本质区别。

×47、无穷小不是一个理想的数。

×48、顺序关系具有反身性、对称性、传递性。

√49、实数的有理数区间套定义和戴德金分割定义，两种定义方法在本质上是一致的。

√50、柯西不等式与余弦定理有内在的联系。

√51、算术到代数的演进加速了数系的形成。

√52、任何有理数的十进位小数表示式都是循环的。

×53、在讨论函数的复合运算时，使用函数的“变量说”定义比较方便。

×54、自然数的基数理论反映了事物记数的顺序性。

√55、三等分角问题、倍方问题和化圆为方问题被称为古希腊的三大几何作图问题。

×56、有理数对极限运算是封闭的。

×57、对于数轴上的有理数，我们有两个相邻的有理数的说法。

×58、对于有限数列来说，并不一定存在一个多项式函数，来表示它的通项。

×59、群是古典代数研究的对象。

×60、用尺规不能二等分角。

√61、我们可以把复数看成是满足相应运算法则的二元实数(a, b)。

√62、0与空集的基数相对应，所以从集合论的角度看，0应当是自然数。

√63、自然数系公理系统直接地保证了数学归纳法的合理性，所以，也可以把数学归纳法当作公理来看待。

×64、有理数对极限运算是封闭的。

×65、实数集是可数的。

√66、“中学代数教学”的一个基本原则是：在注意形式化的同时，加强代数知识的直观理解。

原不等式得证。

此等号不成立。

为正数且各不相等，因，，，又）（（根据柯西不等式，左端证明：特征不等式化为c b a a c c b b a a c c b c b a ac c b b a 9111)]()())[(11b a 19)(2)111(2=++≥++++++++++=≥++⨯+++++3)())((3,,,π即：π（）三式相加得：又，由排序不等式，得，则解：不妨设≥++++++=++++≥++++=++++≥++++≥++≤≤≤≤c b a cCbB aA c b a C B A c b a cC bB aA cC bB aA cC bB aA bC aB cA cC bB aA aC cB bA cC bB aA C B A c b a 个有理数。

只能是无理数，不是一欧拉数。

从而时右边为非整数，矛盾所以当＜＜子左边为整数，因为为正整数，从而上述式时，＞则当为正整数），，（，倘若”得到：＜＜时，证明：由“当e n n n e n e e n q n q p q pe n e n n n n e n n e n e x 2,1311!1)143!!(!)10(,)!1(!1!21111≥+++=+=++⋯•++-+++⋯+++==θθθθ√67、函数的“关系说”定义比“对应说”定义更形式化。

证明题： 68、试用自然数（皮亚诺）公理系统证明数学归纳法： 设p(n)是关于自然数n 的命题，如果p(n)满足下面的条件：（1）p(1)成立； （2）假定从P(k) 成立可以推出p(k+1)也成立，则命题p(n)对所有的自然数n 都成立。

69、 a b c 各不相等用柯西不等式证明下列不等式.docx70、试证明三维形式的均指不等式.docx71、在三角形ABC 中排序不等式证明.docx在三角形ABC 中，a,b,c 为角A,B,C 所对的边，求证：72、试证欧拉数e 不是一个有理数cb a ac c b b a c b a ++>+++++9222,求证为正数且各不相等、、设3π≥++++c b a cC bB aA73、试证没有一个有理数的平方等于5。

证明：用反证法证明。

假设有理数q p满足：52=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛q p ，并且1),(,0,=q p q p ＞,于是225q p =。

因为5是素数，所以5|p 。

设)0(5＞k k p =。

则有225)5(q k =，即得：225k q =，这说明5|q 。

于是5是p,q 的一个共因子，与(p,q)=1矛盾故假设不成立。

所以没有一个有理数的平方等于5成立。

74、试证任何一个有理数的平方都不等于5。

证明：用反证法证明。

假设有理数q p满足：52=⎪⎪⎭⎫⎝⎛q p ，并且1),(,0,=q p q p ＞,于是225q p =。

因为5是素数，所以5|p 。

设)0(5＞k k p =。

则有225)5(q k =，即得：225k q =，这说明5|q 。

于是5是p,q 的一个共因子，与(p,q)=1矛盾故假设不成立。

所以任何一个有理数的平方都不等于5成立。

75、证明自然数的加法满足交换律，即对于任意自然数a 和b,有a+b=b+a.答案要点：我们要证交换律a+b=b+a.可以分以下两步证明。

① .我们先证明等式a+1=1+a,因此对a 用归纳法。

设M 是使等式成立的所有a 的集合，显然，1∈M ，如果a ∈M,那么a+1=1+a,于是a ˊ+1=(a+1)+1=(1+a)+1=(1+a)ˊ=1+a ˊ,所以a ˊ ∈M,由归纳公理， a+1=1+a② .我们对b 用归纳法，证明a+b=b+a,设M 是对于给定a 使得等式成立的所有b 的集合，由①已证知，1 ∈M ，如果b ∈M,那么a+b=b+a,利用已证过的结合律，得到a+b ˊ=(a+b)ˊ=(b+a)ˊ=b+a ˊ=b+(a+1)=b+(1+a)=(b+1)+a= b ˊ+a.所以b ˊ ∈M,由归纳公理，故加法的交换律被证明。

的和无理数。

盾，所以π与数。

这与π是无理数矛仍是有理，所以差个域，对减法运算封闭因为全体有理数成为一，，则ππ即的和是一个有理数假设π与反证法证明：31313131,31)(--=+=a a a a 时，等号成立。

，很显然，当。

）（）（）（）（，则很容易得到：，。

又因为）（）（）（）（形式就变成：，则柯西不等式的三角中，我们假设式在柯西不等式的三角形，）（）（的左边可以变形为：）（）（）（）（证明：不等式32132123123123223222122123222323222323123122322322122123232121222222223223221221231231232232221221)()()()()()()()(,,,)()()()()()(y y y x x x y y x x y y x x y y x x y y y y x x x x y y x x y y x x y y x x y y d x x c y y b x x a d b c a d c b a y y x x y y x x y y x x y y x x y y x x ====-+-≥-+-+-+--=--=--+-≥-+-+-+--=-=-=-=-+-≥+++-+-+-+--+-≥-+-+-+-76、试用柯西不等式证明平面三角不等式.docx试用柯西不等式证明平面三角不等式231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+-77、证明 pai 与1/3的和是无理数。