第3章刚体力学基础.ppt

M o z F//
F
(2)力对任意点的力矩，在 通过该点的任一轴上的 投影，等于该力对该轴 的力矩
hr
F
A F
Fn
3.3.2 刚体绕定轴转动定律
对Pi :
Fi
F内i
mi ai
法向：...
切向： Fit F内it miait miri 两边同乘以 ri ：Fit ri F内it ri miri2
且 ， 都相同
v r'
an r' 2
a
dv dt
r'
z ω, v
r' • P Oθ
刚体
r参
×基点O
考 方
向
矢量表示
刚体转动的角速度矢量
k
角加速度矢量
d
kΒιβλιοθήκη Baidu
dt
速度与角v 速 d度r的 ω矢 量r关系式 dt
加速度与角加速度的矢量关系式
a
dv
d(ω
r)
dω
r
ω
dr
βdtr
dt ω v
B
aA aB
B
O
结论： 刚体的平动可归结为质点运动.
例 一大型回转类“观览圆盘”如图所示。圆盘的半径R=25 m， 供人乘坐的吊箱高度L=2 m。若大圆盘绕水平轴均速转动， 转速为0.1 r/min。
求 吊箱底部A点的轨迹及A点的速度和加速度的大小。
解 2π 2π π
T 10 60 300
aτ r
dt
dt
an
v
z ω, v
r' • P Oθ
刚体
r
×基点O
参 考
方
向
定轴
三. 刚体定轴转动运动学的两类问题
第一类问题 ------ 微分问题
已知刚体转动运动方程 = (t)，求角速度、角加速度
d
dt
d
dt
d 2
dt 2
第二类问题 ------ 积分问题
已知角速度或角加速度及初始条件，求转动运动方程 = (t)
s O
i=1
z
z
(x,y,z)
O
yO
y
x
i=2
i=3
x i = 3+2+1= 6
当刚体的运动受到某些限制 ——自由度减少
三. 刚体的平动
刚体运动时，若在刚体内所作的任一条直线都始终保持和自
身平行 — 刚体平动
平动的特点: 刚体中各质点的运动情况相同.
rA
rB
BA
A
A
rA rB
A B
vA vB
3.3.3 转动惯量
M J
计算转动惯量的基本公式
J miri2
i
对质量离散分布的质点系 J miri2
r
i
对质量连续分布的刚体 J r2dm
v
2 Ay
R
25
300
0.26 m / s
aAx
dv Ax dt
R 2 cos(t
0)
aAy
dv Ay dt
R 2 sin(t
0)
讨论：.............
aA
a
2 Ax
a
2 Ay
R 2
25 2
3002
2.7 103
m / s2
§3.2 刚体定轴转动的运动学规律
刚体定轴转动
刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动___刚体转动
N 1687.5102 268102 r
2π
2π
§3.3 刚体绕定轴转动定律
3.3.1 力矩
•力 •
改变质点的运动状态 改变刚体的转动状态
质点获得加速度 刚体获得角加速度
力 F 对z 轴的力矩(力在垂直于轴的平面内)
Mz (F) Fr sin F h Fτr MZ r F
力 F 对z 轴的力矩(力不在垂直于轴的平面内)
第3章 刚体力学基础
“伦敦眼”（高135米） 坐落在伦敦泰晤士河畔，是伦敦的地标性建筑。
刚体运动随处可见,摩天轮是一种具有水平转轴、能在铅垂平面内回转 的装置。轮盘和座舱的运动各有什么样的特点?如何描述?
§3.1 刚体运动概述
一. 刚体
特殊的质点系，形状和体积不变化 —— 理想化模型
二. 自由度
确定物体的位置所需要的独立坐标数 —— 物体的自由度数
解 设 kt 2 （k为比例常量）
d kt 2
dt
分离变量并积分： d t kt2dt
0
0
1 kt3
3
当t =150s，转子的角速度为
2π 12000 400πrad s-1
60
有
k
3
t3
3 400π 1503
103
rad
s-4
1 103 t3
3
150 1 103 t3dt 1687.5102 rad 03
转轴固定不动 — 定轴转动
刚体的平动和绕定轴转动是刚体的 两种最简单最基本运动
一. 描述 刚体绕定轴转动的角量
角坐标 角速度
f (t) (运动学方程) d f '(t)
dt
z
转动平O面
P(t)
x
角加速度
d
dt
d2
dt 2
f "(t)
二. 定轴转动刚体上各点的速度和加速度
任意点都绕同一轴作圆周运动,
z
F//
M z (F) Fr sin Fh Fτr
M Z r F
• 结论： 力矩取决于力的大小、方 向和作用点
F
h
r
F
A F
Fn
• 在刚体的定轴转动中，力矩只
有两个指向（r →F右手螺旋）
讨论
(1) 力对点的力矩
MO r F
力对轴的力矩
M Z r F
z
Mo
F
O. r
➢ 讨论
M J
刚体定轴转动定律中的M是作用在刚体上的合外力矩；
刚体定轴转动定律是力矩的瞬时作用规律，也可以写成矢
量关系式，即
M J
刚体定轴转动定律中的M、转动惯量J和角加速度三个物
理量都是相对于同一转轴而言的；
同刚质体点定力轴学转中动的定律F是刚m体a 定；轴转动动力学的基本方程，如
力矩是使刚体改变转动状态的原因，是使刚体转动产生 角加速度的原因。
对刚体中所有质点求和
z
ri
F内i
F内it
Fit
Pi mi
Fi
Fit ri F内it ri miri2
F内it ri 0
i
i
i
i
所以
Fit ri miri2
刚体的转动惯量
i
i
合外力矩 M Fit ri ( miri2 )
i
i
J miri2
i
M J（刚体定轴转动定律）
t
0
dt
0
t
0
dt
0
对于刚体绕定轴匀变速转动，角加速度 = 常量，有
0 t
0
0t
1 2
t 2
2 02 2 0
例 电动机转子作定轴转动，开始时它的角速度0 = 0，经150s 其转速达到12000r/min，已知转子的角加速度与时间t的平
方成正比。
求 在这段时间内，转子转过的圈数。
吊箱平动
xA xB R cos(t 0) yA yB L Rsin(t 0) L
xA2 ( yA L)2 R2
xA xB R cos(t 0)
yA yB L Rsin(t 0) L
v Ax
dxA dt
R sin(t
0)
v Ay
dyA dt
R cos(t
0)
vA
v
2 Ax