正方形知识讲解

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正方形框架的知识点总结

正方形框架的知识点总结正方形是一种具有四个相等边长和四个直角的特殊四边形。

它是几何学中一个重要的概念，常常用于解决各种数学和工程问题。

在本文中，我们将深入探讨正方形的定义、性质、特点和应用。

一、正方形的定义正方形是一种特殊的四边形，它具有以下特点： 1. 所有边长相等：正方形的四条边长度相等。

2. 所有角度相等：正方形的四个内角均为直角，即90度。

3. 对角线相等：正方形的两条对角线相等且相交于中点。

二、正方形的性质 1. 正方形是矩形的特例：矩形是一种具有四个直角的四边形，而正方形是具有相等边长的特殊矩形。

2. 正方形是菱形的特例：菱形是一种具有相等边长的平行四边形，而正方形是具有相等边长且所有角度为直角的特殊菱形。

三、正方形的特点正方形具有以下特点： 1. 对称性：正方形具有四个对称轴，分别通过相对的顶点和对角线的中点。

这种对称性使得正方形在几何学和设计中广泛应用。

2. 利用对角线计算面积：正方形的面积可以通过对角线的长度计算得出。

设对角线的长度为d，则正方形的面积为d的平方的一半，即S = (d^2)/2。

3. 最大化面积：正方形是所有具有相等周长的四边形中面积最大的形状。

这是由于正方形的所有边长相等，因此它可以最大化利用给定的周长。

四、正方形的应用正方形在日常生活和各个领域都有广泛的应用，下面列举其中一些常见的应用场景： 1. 建筑设计：正方形的对称性和美观性使得它在建筑设计中常被用作基础平面结构或者建筑物的外观设计元素。

2. 地图投影：地图学中常使用正方形网格来进行投影，以便在平面上准确表示地球表面的形状。

3. 数学推理：正方形是数学推理和证明中常用的形状，例如在几何证明中，常使用正方形来推导其他几何形状的性质。

4. 艺术设计：正方形的对称性和稳定感使得它在艺术设计中被广泛运用，如绘画、摄影、图形设计等。

总结：正方形作为一种具有特殊性质和广泛应用的几何形状，具有对称性、面积最大化等特点。

几何正方形基本知识点总结

几何正方形基本知识点总结一、正方形的定义正方形是一种特殊的四边形，具有以下特点：1. 四条边长度相等：正方形的四条边都相等，这意味着任意两条边的长度都相同。

2. 四个角均为直角：正方形的四个角都是直角，即每个角的大小为90°。

综上所述，正方形是一种具有四条边长度相等、四个角均为直角的特殊四边形。

二、正方形的性质1. 对角线相等：正方形的对角线相等且相交于直角，且相交点与各边的中点重合。

2. 对角线垂直平分：正方形的对角线相互垂直且平分。

3. 内角和为360°：正方形的四个内角的和为360°。

4. 对边平行且相等：正方形的对边互相平行且相等。

5. 对角线长度的关系：正方形的对角线长度等于边长的√2倍。

6. 内切圆：正方形的内切圆的半径等于其边长的一半。

7. 外接圆：正方形的外接圆的半径等于边长的一半√2倍。

以上性质是正方形的一些重要特点，对于理解和应用正方形具有重要意义。

三、正方形的面积和周长1. 面积：正方形的面积公式为A = a^2，其中a表示正方形的边长。

即正方形的面积等于边长的平方。

2. 周长：正方形的周长公式为P = 4a，其中P表示周长，a表示边长。

即正方形的周长等于边长的4倍。

通过上述公式，可以计算正方形的面积和周长，这对于解决实际问题具有重要意义。

四、正方形的应用1. 日常生活：正方形在日常生活中有着广泛的应用，如地面瓷砖、桌面、书桌等都常见到正方形的形状。

2. 建筑设计：建筑设计中也常常应用正方形，如房屋的平面布局、窗户设计等，都涉及到正方形的形状。

3. 数学教学：在数学教学中，正方形是教学的基础，涉及面积、周长、角度、对角线等概念都与正方形相关。

5. 地理测量：地理测量中也会用到正方形的相关知识，如土地面积的测算等。

通过上述应用，我们可以看到正方形在实际生活和学习中有着重要的地位，因此了解和掌握正方形的基本知识对于应用具有重要意义。

综上所述，正方形作为几何学中的一种基本图形，具有独特的性质和特点。

正方形中的数学知识点总结

正方形中的数学知识点总结1. 正方形的定义正方形是一个四边相等且四个角均为直角的四边形。

换句话说，正方形是一种特殊的矩形，具有边长相等的特点。

正方形的对角线相等且互相平分，对角线垂直且互相垂直平分。

2. 正方形的性质(1) 边长：正方形的四条边长均相等。

(2) 对角线：正方形的对角线相等。

(3) 对角线相交：正方形的对角线互相垂直且互相平分。

(4) 内角：正方形的四个内角均为直角。

(5) 周长：正方形的周长等于四条边长之和。

(6) 面积：正方形的面积等于边长的平方。

3. 正方形的面积和周长计算正方形的面积计算公式为：S=a²，其中a表示正方形的边长。

周长计算公式为：C=4a，即正方形的四条边长之和。

4. 正方形的重要定理(1) 正方形的对角线垂直平分定理：正方形的对角线相互垂直且相互平分。

(2) 正方形的对角线相等定理：正方形的对角线相等。

(3) 正方形的四边相等定理：正方形的四条边相等。

5. 正方形的应用(1) 基本建筑设计中经常采用正方形的形状，如房屋的平面设计、花园的规划等。

(2) 研究正方形的性质和定理有助于培养学生的逻辑思维和数学推理能力。

6. 正方形与其他几何图形的关系(1) 正方形是一种特殊的矩形，具有边长相等的特点。

(2) 正方形是一种特殊的菱形，具有四个内角均为直角的特点。

(3) 正方形是一种特殊的平行四边形，具有四边相等的特点。

7. 正方形的扩展(1) 三维几何：正方形可以扩展到三维空间中，形成长方体。

(2) 应用领域：正方形的应用可以扩展到不同的领域，如工程设计、艺术设计、数学研究等。

总的来说，正方形是数学中一个重要的基本图形，具有许多重要的性质和定理。

通过研究正方形的性质和应用，可以帮助学生更好地理解几何学知识，提高数学推理能力和应用能力。

同时，正方形在现实生活中有着广泛的应用，可以帮助人们更好地应用数学知识解决实际问题。

希望本文的介绍可以帮助读者更好地了解正方形的数学知识点。

(完整版)正方形知识点复习总结

(完整版)正方形知识点复习总结正方形知识点复总结1. 正方形的定义正方形是一种特殊的四边形，具有以下特点：- 四条边的长度相等。

- 四个内角都是90度。

- 对角线相等且垂直平分。

2. 正方形的性质2.1 逆向性质正方形的逆向性质可以由其定义推导得出：- 如果一个四边形的四条边都相等且四个内角都是90度，则它是正方形。

2.2 边长和对角线的关系在一个正方形中，边长和对角线之间存在以下关系：- 对角线的长度等于边长的根号2倍。

- 边长等于对角线长度的根号2的一半。

2.3 面积和周长正方形的面积和周长计算公式如下：- 面积：边长的平方。

- 周长：边长的四倍。

2.4 正方形与其他几何图形的关系正方形与其他几何图形的关系如下：- 正方形是一个长方形，其中长和宽相等。

- 正方形也是一个菱形，其中每个角都是90度。

3. 判断正方形的方法在解决问题时，我们有时需要判断一个四边形是否是正方形。

以下是几种判断的方法：- 判断边长：检查四条边是否长度相等。

- 判断角度：检查四个内角是否都是90度。

- 判断对角线：检查对角线长度是否相等且垂直平分。

4. 示例题目下面是一些关于正方形的示例题目，帮助巩固对正方形知识的理解：1. 若一个四边形的边长为4cm，是不是正方形？2. 如果一个四边形的边长为6cm，内角都是90度，那它一定是正方形吗？3. 一个四边形的对角线长度为5cm，是不是正方形？5. 结论正方形是一种具有特殊性质的四边形，有着特定的定义和性质。

了解正方形的定义、性质以及判断方法可以帮助我们更好地理解和应用正方形相关的问题。

数学正方形知识点归纳讲解

引言概述：正文内容：一、正方形的基本定义和性质1.正方形的定义：正方形是一种四边相等且四个角都是直角的四边形。

2.正方形的特点：具有对称性、正方形的边长相等等特点。

3.正方形的内角度量性质：讨论正方形内角和等于多少度。

二、正方形的周长和面积计算1.正方形的周长计算公式：如何通过边长求解正方形的周长。

2.正方形的面积计算公式：如何通过边长求解正方形的面积。

3.正方形的周长和面积的关系：探讨正方形的周长和面积之间的数学关系。

三、正方形与其他几何图形的关系和应用1.正方形与矩形的关系：比较正方形和矩形的相似性和区别性。

2.正方形与正三角形的关系：探讨正方形和正三角形的共同性与异同点。

3.正方形在日常生活中的应用：介绍正方形在建筑、绘画和设计中的实际应用。

四、正方形的等腰子正方形和正方形网格1.正方形的等腰子正方形：讲解正方形内部存在等腰子正方形的特点和性质。

2.正方形网格的特点和应用：介绍正方形网格在数学、计算机图形学和艺术设计等领域的应用。

五、正方形在立体几何中的表示和性质1.正方形在平面图形和立体图形之间的关系：讲解正方形在不同维度中的表示方式。

2.正方形在立体几何中的性质和应用：介绍正方形在立方体、正方体等几何图形中的特殊性质和应用。

总结：通过本文，我们全面而深入地了解了数学中与正方形相关的知识点。

从正方形的基本定义和性质开始，我们讨论了正方形的周长和面积计算、正方形与其他几何图形的关系和应用、正方形的等腰子正方形和正方形网格以及正方形在立体几何中的表示和性质。

正方形作为一种常见的几何图形，在数学和其他学科中都有着广泛的应用。

有关正方形的概念性质知识题型以及延伸知识的数学书签

有关正方形的概念性质知识题型以及延伸知识的数学
书签
正方形的定义：
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

特殊的长方形。

四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形。

有一组邻边相等的矩形是正方形。

有一个角为直角的菱形是正方形。

对角线平分且相等，并且对角线互相垂直的四边形为正方形。

对角线相等的菱形是正方形。

1、正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、正方形的性质：（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等。

（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴。

（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形。

（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的
距离相等。

3、正方形的判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）对角线相等的菱形是正方形；
（3）对角线互相垂直的矩形是正方形。

判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形，再证明它是菱形（或矩形），最后证明它是矩形（或菱形）。

正方形几何知识点总结

正方形几何知识点总结1. 正方形的定义正方形是一种特殊的四边形，具有以下特征：- 四条边长度相等。

- 四个角都是直角。

- 对角线长度相等。

2. 正方形的性质正方形具有许多特殊的几何性质，以下是其中一些重要的性质：- 对角线相互垂直且相等长。

- 对角线平分彼此，并互相平分的两对角。

- 对角线互相垂直 bisecting 的两对边。

- 正方形的对边平行。

3. 正方形的面积正方形的面积可以通过边长的平方来计算，即S = a^2，其中S表示面积，a表示边长。

这是由于正方形的对角线可以被看做是两个边长为a的等腰直角三角形组成，而这两个三角形的面积为a^2/2，那么正方形的面积就是两个等腰直角三角形的面积之和，即为a^2。

4. 正方形的周长正方形的周长可以通过四条边长之和来计算，即P = 4a，其中P表示周长，a表示边长。

5. 正方形的对角线正方形的对角线是十分重要的特征，对角线可以通过勾股定理来计算，即d = a√2，其中d表示对角线的长度，a表示边长。

6. 正方形的内切圆和外切圆正方形的内切圆和外切圆都具有特殊的性质，内切圆的半径等于正方形的边长一半，外切圆的半径等于正方形的边长。

内切圆和外切圆都具有与正方形相关的角度性质。

7. 正方形的性质应用正方形是一种非常常见的几何形状，在日常生活和工作中都有广泛的应用。

例如，建筑设计中的房间布局、地砖的铺设、织物的裁剪等都离不开对正方形的理解和应用。

另外，正方形也经常作为其他几何形状的构成要素在数学和工程中被广泛使用。

8. 正方形的相关定理在研究正方形的性质和应用中，我们会发现许多与正方形相关的定理。

这些定理有时会涉及到正方形的对角线、内切圆和外切圆等特殊情况，这些定理的理解和应用都对于理解正方形和解决与之相关的问题非常重要。

9. 正方形的拓展正方形是一种特殊的四边形，它有着许多独特的特征和性质。

在对正方形的几何知识有一定了解之后，我们可以对正方形进行拓展，将其与其他几何形状进行比较和联系，从而更好地理解和应用正方形的几何知识。

小学数学点知识归纳正方形的周长与面积

小学数学点知识归纳正方形的周长与面积正方形是学习数学时最早接触到的几何形状之一。

在小学数学中，了解正方形的周长与面积是非常重要的基础知识。

本文将对正方形的周长与面积进行归纳总结，帮助小学生更好地理解和掌握这一知识点。

1. 正方形的定义及特点正方形是一种特殊的四边形，具有以下特点：- 所有边相等：正方形的四条边长度相等。

- 所有角都是直角：正方形的四个角都是90度。

- 对角线相等且垂直平分：正方形的两条对角线相等且相互垂直。

2. 正方形的周长周长是指封闭曲线的长度，对于正方形来说，可以通过以下公式进行计算：周长 = 边长 × 4即正方形的周长等于任意一条边的长度乘以4。

3. 正方形的面积面积是指平面图形所占的二维空间大小，对于正方形来说，可以通过以下公式进行计算：面积 = 边长 ×边长即正方形的面积等于任意一条边的长度的平方。

4. 例题解析现在，我们通过几个例题来进一步理解和应用正方形的周长与面积的概念。

例题1：一个正方形的边长是5cm，求它的周长和面积。

解析：根据周长和面积的公式，可以得到：周长 = 5cm × 4 = 20cm面积 = 5cm × 5cm = 25cm²例题2：一个正方形的周长是24cm，求它的边长和面积。

解析：设正方形的边长为x，则根据周长的公式可得：24cm = x × 4解方程得到：x = 6cm再根据面积的公式计算：面积 = 6cm × 6cm = 36cm²通过以上例题的解析，我们可以看到，正方形的周长与面积是相互关联的，当已知其中一个量时，可以通过相应的公式计算出另一个量的值。

5. 总结在小学数学中，正方形的周长与面积是基础的几何概念。

掌握正方形的定义、特点以及计算周长和面积的方法，对于学习数学和解决实际问题都非常重要。

希望本文的归纳总结可以帮助小学生更好地理解和应用正方形的周长与面积知识，从而提升数学学习的效果。

正方形性质知识点总结

正方形性质知识点总结1. 定义正方形是一种特殊的四边形，它具有以下特点：- 四条边相等。

- 四个角均为直角。

- 对角线相等且互相垂直。

2. 性质正方形的性质主要有以下几点：- 对角线相等：正方形的两条对角线相等，且互相垂直。

- 对边平行：正方形的对边是平行的。

- 四个角均为直角：正方形的四个角均为90度。

- 内角和为360度：正方形的内角和为360度。

- 对角互补：正方形的对角补角相等。

3. 面积正方形的面积可以用公式计算：A = a^2，其中a为正方形的边长。

这是因为正方形的四边均相等，所以可以将正方形分割成4个相等的直角三角形，每个直角三角形的面积为a^2/2，所以正方形的面积为4*a^2/2=a^2。

4. 周长正方形的周长可以用公式计算：P = 4a，其中a为正方形的边长。

因为正方形的四条边均相等，所以周长为4倍边长。

5. 周长与面积的关系正方形的周长和面积之间存在一定的关系。

可以通过周长和面积的公式得到：A = (P/4)^2。

也就是说，正方形的面积等于周长的四分之一的平方。

6. 相关定理关于正方形的性质，还有一些重要的定理：- 等边三角形定理：正方形可以看成是一个特殊的等边三角形，所以正方形的角平分线、高线、中线等性质都适用于正方形。

- 直角三角形定理：正方形的对角线可以将正方形分割成两个直角三角形，所以直角三角形的性质也适用于正方形。

7. 解题技巧在解题中，我们可以利用正方形的性质来简化问题，提高解题效率。

比如可以利用正方形的对角线相等、对角线垂直等性质来求解边长或面积，或者利用正方形的周长与面积的关系来求解。

总之，正方形是一个非常重要的几何图形，它有许多独特的性质和定理，对于提高数学解题的能力和速度都有很大的帮助。

希望通过本文的总结，可以帮助你更好地理解和应用正方形的性质。

正方形知识点总结及典型试题

4．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，△EFC的周长为12，则EC的长为．
5．如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是。
6．如图，在边长为6√2的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BE=DG，连接EG，CF⊥EG交EG于点H，交AD于点F，连接CE，BH．若BH=8，则FG=。
典型试题
一．选择题
1.如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（）①OH=1/2BF；②∠CHF=45°；③GH=1/4BC；④DH2=HE•HB．
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（）
A．（2，10）B．（-2，0）C．（2，10）或（-2，0）D（10，2）或（-2，0）
10．在平面直角坐标系中，第1个正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作第2个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作第3个正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2011个正方形的面积为（）A．5(3/2)2010B．5(9/4)2011C.5(9/4)2009D.5(3/2)4020
正方形知识点总结及典型试题
知识点一：正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形；正方形不仅是特殊的平行四边形,而且是特殊的矩形,又是特殊的菱形。

小学数学知识点认识正方形的特征与性质

小学数学知识点认识正方形的特征与性质正方形是小学数学中最基本的几何图形之一，它具有一些独特的特征和性质。

通过了解正方形的特点，我们可以更好地认识和理解这个几何图形。

本文将系统地介绍正方形的特征和性质，帮助小学生更好地掌握数学知识。

1. 正方形的定义正方形是一个具有四条边相等、四个角都是直角的四边形。

它的每条边都相等，每个角都是90度。

正方形可以看作是矩形的一种特殊情况，也可以看作是菱形的一种特殊情况。

正方形的对角线相等且相互垂直，是它独特的特点。

2. 正方形的特征正方形的特征有三个方面：边长、对角线和对称性。

- 边长：正方形的四条边都相等。

- 对角线：正方形的对角线相等且相互垂直。

- 对称性：正方形具有四个对称轴，分别是水平对称轴、垂直对称轴和两条对角线。

这意味着正方形可以通过旋转、翻转和折叠得到相等的图形。

3. 正方形的性质正方形具有一些独特的性质，这些性质可以帮助我们更好地理解和计算。

以下是几个常见的性质：- 周长和面积：正方形的周长等于四条边的长度之和，即4倍边长。

面积等于边长的平方。

- 对角线长度：正方形中，对角线的长度可以通过边长来计算。

根据勾股定理，对角线的长度等于边长的平方根的2倍。

- 内角和外角：正方形的内角都是90度，外角都是270度。

这意味着正方形的内角和为360度，外角和为1,080度。

- 正方形与其他几何图形的关系：正方形是矩形的特例，也是菱形的特例。

它具有矩形的所有性质，如平行四边形的性质和对角线的性质。

同时，正方形也具有菱形的特点，如对称性和等长对角线。

通过了解正方形的特征和性质，我们能够更好地应用数学知识解决问题。

在几何学中，正方形是非常常见的图形，在日常生活中也能经常遇到。

掌握了正方形的特征和性质，我们能够更好地认识和理解这个几何图形，在解决实际问题时能够灵活运用。

总结：正方形是小学数学中最基本的几何图形之一，它具有四条边相等、四个角都是直角的特点。

正方形的对角线相等且相互垂直，具有对称性。

正方形知识点

正方形知识点正方形是一种具有特殊性质的四边形。

它的四条边长度相等，且四个角均为90度。

在几何学中，正方形是一种常见的几何形状，具有许多独特的特点和应用。

本文将从不同角度介绍正方形的知识点。

一、基本定义正方形是指四条边相等且四个角都是90度的四边形。

它是一种特殊的长方形，具有更严格的限制条件。

在正方形中，对角线相等且平分对角线的角也是90度，使得正方形具有对称性。

二、性质和特点1. 边长：正方形的四条边长度相等，记为a，可以用数学符号表达为a=a=a=a。

2. 对角线：正方形的对角线长度相等，记为d，可以用数学符号表达为d=d。

3. 对称性：正方形具有4个对称轴，即将正方形分成4等份的轴。

这些对称轴通过正方形的中心点，分别连接相对边的中点。

4. 角度：正方形的四个角都是直角，即90度，记为∠A=∠B=∠C=∠D=90°。

5. 面积：正方形的面积可以通过边长求解，记为S。

面积公式为S=a×a=a²。

6. 周长：正方形的周长可以通过边长求解，记为C。

周长公式为C=4×a。

7. 内切圆和外接圆：正方形的对角线也是它的内切圆和外接圆的直径。

8. 关系：正方形也是矩形和菱形的特殊情况，具有更多的性质和特点。

三、应用领域1. 建筑设计：正方形的对称性和稳定性使得它在建筑设计中广泛应用，例如建筑物的平面布局、正方形的柱子等。

2. 绘画艺术：正方形是画家们常用的基本形状之一，在绘画中经常运用正方形来构图和描绘物体。

3. 编程设计：正方形的属性可以在计算机图形学和编程中使用，用于绘制图形、算法设计等方面。

4. 数学研究：正方形是几何学中的重要研究对象，探索正方形的性质可以帮助推动几何学及相关数学科学的发展。

5. 数字游戏：许多益智游戏和拼图游戏中常出现正方形的图形，通过操纵正方形的位置和方向来解决问题。

结语：正方形作为一种特殊的四边形，在几何学和其他领域中扮演着重要的角色。

通过对正方形的性质和应用进行了解，可以更好地理解它在现实生活中的应用和意义。

正方形(基础)知识讲解

正方形（基础）责编：杜少波【学习目标】1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法．【要点梳理】要点一、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.要点二、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.要点三、正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.要点四、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：【典型例题】类型一、正方形的性质1、（2015•扬州校级一模）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形=2+．其中正确的个数为（）ABCDA.1B.2C.3D.4【思路点拨】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．【答案】C．【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∵BC=DC，∴BC﹣BE=CD﹣DF，∴CE=CF，∴①说法正确；∵CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°，∴②说法正确；如图，连接AC，交EF于G点，∴AC⊥EF，且AC平分EF，∵∠CAF≠∠DAF，∴DF≠FG，∴BE+DF≠EF，∴③说法错误；∵EF=2，∴CE=CF=，设正方形的边长为a，在Rt△ADF中，a2+（a﹣）2=4，解得a=，则a 2=2+，∴S 正方形ABCD =2+，④说法正确，∴正确的有①②④．故选C ．【总结升华】本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．举一反三：【变式1】已知：如图，E 为正方形ABCD 的边BC 延长线上的点，F 是CD 边上一点，且CE＝CF ，连接DE ，BF ．求证：DE ＝BF ．【答案】证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC＝DC ，∠BCD＝90°∵E 为BC 延长线上的点，∴∠DCE＝90°，∴∠BCD＝∠DCE．在△BCF 和△DCE 中，BC DC BCF DCE CF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCF≌△DCE（SAS ），∴BF＝DE ．【变式2】（2015•咸宁模拟）如图，在正方形ABCD 外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠BFC 为（）A．75° B．60° C．55° D．45°【答案】B；提示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AB=AD，∠BAF=45°，∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE=60°，AD=AE，∴∠BAE=90°+60°=150°，AB=AE，∴∠ABE=∠AEB=（180°﹣150°）=15°，∴∠BFC=∠BAF+∠ABE=45°+15°=60°；故选：B．2、如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4．（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）若∠AGB＝30°，求EF的长．【思路点拨】要证明△ABE≌△DAF，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，只要证一条边对应相等即可．要求EF的长，需要求出AF和AE的长．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴△DAF≌△ABE．（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∠AGB＝30°，∴AD∥BC，∴∠1＝∠AGB＝30°，∵∠1＋∠4＝∠DAB＝90°，∵∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠A FD＝180°－（∠1＋∠3）＝90°，∴DF⊥AG，∴DF＝11 2AD∴A F∵△ABE≌△DAF，∴AE＝DF＝1，1【总结升华】通过证三角形全等得到边和角相等，是有关四边形中证边角相等的最常用的方法．而正方形的四条边相等，四个角都是直角为证明三角形全等提供了条件．举一反三：【变式】如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB＝2BC，分别以AB，BC为边做正方形ABEF 和正方形BCMN连接FN，EC．求证：FN＝EC．【答案】证明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中，AB＝BE＝EF，BC＝BN，∠FEN＝∠EBC＝90°，∵AB＝2BC，即BC＝BN＝12 AB∴BN＝12BE，即N为BE的中点，∴EN＝NB＝BC，∴△FNE≌△ECB，∴FN＝EC．类型二、正方形的判定3、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE ⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗?请说明理由．【答案与解析】解：是正方形，理由如下：作DG⊥AB于点G．∵ AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，∴ DF＝DG．同理可得：DG＝DE．∴ DF＝DE．∵ DF⊥AC，DE⊥BC，∠C＝90°，∴四边形CEDF是矩形．∵ DF＝DE．∴四边形CEDF是正方形．【总结升华】(1)本题运用了“有一组邻边相等的矩形是正方形”来判定正方形．(2)证明正方形的方法还可以直接通过证四条边相等加一个直角或四个角都是直角来证明正方形．举一反三：【变式】如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，C F⊥OF于点F．（1）求证：四边形CDOF是矩形；（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．【答案】（1）证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），∴∠AOC＝2∠COD，∠CO B＝2∠COF，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∴2∠COD＋2∠COF＝180°，∴∠COD＋∠COF＝90°，∴∠DOF＝90°；∵OA＝OC，OD平分∠AOC（已知），∴OD⊥AC，AD＝DC（等腰三角形的“三合一”的性质），∴∠CDO＝90°，∵CF⊥OF，∴∠C FO＝90°∴四边形CDOF是矩形；（2）当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形；理由如下：∵∠AOC＝90°，AD＝DC，∴OD＝DC；又由（1）知四边形CDOF是矩形，则四边形CDOF是正方形；因此，当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．类型三、正方形综合应用4、如图，在平面直角坐标系xoy中，边长为a(a为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O)，顶点C、D都在第一象限．(1)当∠BAO＝45°时，求点P的坐标；(2)求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB 的平分线上；【答案与解析】解：(1)当∠BAO ＝45°时，∠PAO ＝90°，在Rt △AOB 中，OA ＝2AB ＝2，在Rt △APB 中，PA ＝2AB ＝2．∴ 点P 的坐标为,⎫⎪⎪⎝⎭．(2)如图过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线垂足分别为M 、N ，则有∠PMA ＝∠PNB ＝∠NPM ＝∠BPA ＝90°，∵∠BPN ＋∠BPM ＝∠APM ＋∠BPM ＝90°∴∠APM ＝∠BPN ，又PA ＝PB ，∴ △PAM ≌△PBN ，∴ PM ＝PN ，又∵ PN ⊥ON ，PM ⊥OM于是，点P 在∠AOB 的平分线上.【总结升华】根据题意作出辅助线，构造全等的直角三角形是解题关键.。

正方形知识点总结

正方形知识点总结一、正方形的定义。

1. 四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形。

- 从平行四边形的角度看，正方形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等）。

- 从矩形的角度看，正方形是特殊的矩形，矩形是四个角为直角的四边形，而正方形在四个角为直角的基础上四条边还相等。

- 从菱形的角度看，正方形是特殊的菱形，菱形是四条边相等的四边形，而正方形在四条边相等的基础上四个角还都是直角。

二、正方形的性质。

1. 边的性质。

- 四条边都相等，设正方形的边长为a，则四条边的长度都为a。

- 对边平行，即AB∥ CD，AD∥ BC（假设正方形ABCD）。

2. 角的性质。

- 四个角都是直角，∠ A=∠ B=∠ C=∠ D = 90^∘。

3. 对角线的性质。

- 对角线相等，若正方形ABCD的对角线AC和BD，则AC = BD。

- 对角线互相垂直平分，AC⊥ BD，且AO=CO，BO = DO（O为对角线交点）。

- 每条对角线平分一组对角，∠ DAC=∠ BAC = 45^∘，∠ ABD=∠CBD=45^∘等。

4. 对称性。

- 正方形是轴对称图形，有四条对称轴，两条对角线所在直线以及两组对边中点连线所在直线都是它的对称轴。

- 正方形也是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。

三、正方形的判定。

1. 定义判定。

- 直接根据定义，四条边都相等且四个角都是直角的四边形是正方形。

2. 从平行四边形判定。

- 一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

- 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。

3. 从矩形判定。

- 一组邻边相等的矩形是正方形。

- 对角线互相垂直的矩形是正方形。

4. 从菱形判定。

- 有一个角是直角的菱形是正方形。

- 对角线相等的菱形是正方形。

正方形的知识总结

正方形的知识总结
正方形是一种特殊的四边形，它具有四个相等的内角，每个角都是90度。

在几何学中，正方形是一种非常重要的图形，它具有许多特殊的性质和应用。

一、基本性质
1.正方形的四条边相等，四个角都是直角；
2.正方形的对角线相等，且互相平分；
3.正方形的内角都是90度，外角都是270度；
4.正方形具有对称性，即如果以对角线为轴线进行翻转，图形仍然不变；
5.正方形的面积公式为边长的平方，即S=a^2。

二、应用
1.正方形广泛应用于建筑设计中，如建筑立面、广场、花坛等；
2.正方形也是数学中常见的图形，它可以用于解决各种几何问题，如求面积、周长、对角线长度等；
3.正方形还被广泛应用于计算机科学中，如图像压缩、图像处理等；
4.正方形还被用于制作各种物品，如餐桌、书桌、地砖、地毯等。

三、与其他图形的关系
1.正方形和矩形、菱形、平行四边形等一样都是四边形，但具有不同的性质；
2.正方形和圆形有着密切的关系，可以用正方形来逼近圆形；
3.正方形也可以被分割成多个小正方形或其他形状的图形，从而应用于各种问题的解决。

四、拓展
1.正方形的三维形式是正方体，它具有六个面，每个面都是正方形；
2.正方形也可以被扩展到平面外，如所谓的“无穷远平面”，在计算机图形学中有广泛应用；
3.正方形也可以被用于创意设计，如用正方形来构建各种艺术品、雕塑等。

正方形是一种重要的图形，具有许多特殊的性质和应用。

在学习和应用中，我们应该深入理解其基本性质和相关的定理，以便更好地应用于实际问题的解决。

小学生正方形的知识点总结

小学生正方形的知识点总结正方形是我们学习数学时常见的一个图形，它有着特殊的性质和规律。

在小学数学课程中，学生们会对正方形有着深入的了解，并学习到许多关于正方形的知识。

下面我们就来总结一下小学生正方形的相关知识点。

第一，正方形的定义和特点：正方形是一种特殊的四边形，它有四条边，且四个角都是直角，四条边相等。

正方形的对边平行且相等，对角线相等且垂直平分。

因为具有这些特点，正方形也是一种特殊的矩形，也是一种特殊的菱形。

第二，正方形的性质：1. 对角线相等：正方形的对角线长度相等，且互相垂直平分。

2. 四个角都是直角：正方形的内角都是90度。

3. 四条边相等：正方形的四条边的长度都相等。

4. 对边平行且相等：正方形的对边是平行且相等的。

第三，正方形的周长和面积：1. 周长：正方形的周长等于四条边的长度之和，即4倍边长。

2. 面积：正方形的面积等于边长的平方，即边长的平方。

第四，正方形与其他图形的关系：1. 正方形和矩形：正方形是一种特殊的矩形，因为它具有矩形的所有特点，但矩形不一定是正方形。

2. 正方形和菱形：正方形也是一种特殊的菱形，因为它具有菱形的所有特点，但菱形不一定是正方形。

3. 正方形和长方形：正方形是一种特殊的长方形，因为它的两条对边相等，但长方形不一定是正方形。

第五，正方形的应用：1. 建筑设计：在建筑设计中，正方形的图形常常被用来设计房屋的平面图。

2. 城市规划：在城市规划中，正方形也经常被用来规划城市的街道和广场。

3. 艺术设计：在艺术设计中，正方形的图形也常常被用来设计艺术作品和装饰品。

总结：正方形是一个简单但重要的图形，它的性质和特点对我们的生活和学习都有着一定的影响。

在小学数学课程中，我们要认真学习正方形的相关知识，掌握正方形的性质和特点，做到熟练运用。

通过对正方形的学习，不仅可以提高我们的数学能力，还可以培养我们的观察力和逻辑思维能力。

让我们一起努力学习，掌握正方形的知识，为将来的学习打下坚实的基础。

关于正方形的初中数学知识点

引言：正方形是初中数学中一个重要的几何概念，它具有独特的性质和特点。

本文将从五个方面来详细介绍关于正方形的初中数学知识点，包括正方形的定义、性质、判定方法、面积计算以及应用等内容。

概述：正方形是一种特殊的四边形，它既是一个四边形又是一个矩形，具有四条边相等且四个角都为直角的特点。

正方形的独特性质使得它在几何学中具有重要地位，为学生建立几何概念和培养逻辑思维能力提供了很好的机会。

正文：一、正方形的定义1.1几何定义：正方形是一个具有四个边相等且四个角都为直角的四边形。

1.2代数定义：正方形是一个具有相等边长的矩形。

二、正方形的性质2.1边长性质：正方形的四条边相等。

2.2角度性质：正方形的四个角都是直角。

2.3对角线性质：正方形的对角线相等且互相平分。

2.4对称性质：正方形具有对称性，可通过中心对称得到对称的图形。

三、正方形的判定方法3.1边长判定：根据四条边相等可以判断一个四边形是否为正方形。

3.2角度判定：通过判断四个角是否为直角可以判断一个四边形是否为正方形。

3.3对角线判定：如果一个四边形的对角线相等且互相平分，则该四边形为正方形。

四、正方形的面积计算4.1周长与边长的关系：正方形的周长等于4倍边长。

4.2面积计算公式：正方形的面积等于边长的平方。

4.3半对角线求面积：可以通过半对角线的长度来计算正方形的面积。

五、正方形的应用5.1建筑设计：正方形具有规整、简洁的外观，常在建筑设计中使用。

5.2图案设计：正方形作为基本元素，可以组成各种有规律的图案。

5.3棋盘游戏：国际象棋、围棋等多种棋盘游戏的棋盘都采用正方形格局。

5.4日常生活中的应用：钟表、方式、电视等一些日常用品的外形常为正方形。

总结：正方形是初中数学中的重要概念之一，具有独特的性质和特点。

通过本文的介绍，我们了解到正方形的定义、性质、判定方法、面积计算以及应用等方面的知识。

正方形不仅在几何学中有重要地位，同时也在建筑设计、图案设计、棋盘游戏以及日常生活中发挥着重要的作用。

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正方形（提高）责编：杜少波【学习目标】1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法．【要点梳理】要点一、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.要点二、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.要点三、正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.要点四、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：【典型例题】类型一、正方形的性质1、如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE＝CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M．求证：AM⊥DF．【思路点拨】根据DE ＝CF ，可得出OE ＝OF ，继而证明△AOE≌△DOF，得出∠OAE＝∠ODF，然后利用等角代换可得出∠DME＝90°，即得出了结论．【答案与解析】证明：∵ABCD 是正方形，∴OD＝OC ，又∵DE＝CF ，∴OD－DE ＝OC －CF ，即OE ＝OF ，在Rt △AOE 和Rt △DOF 中，AO DO AOD DOF OE OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AOE≌△DOF， ∴∠OAE＝∠ODF，∵∠OAE＋∠AEO＝90°，∠AEO＝∠DEM， ∴∠ODF＋∠DEM＝90°，即可得AM⊥DF．【总结升华】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是通过全等的证明得出∠OAE＝∠ODF，利用等角代换解题．举一反三：【变式1】如图四边形ABCD 是正方形，点E 、K 分别在BC ，AB 上，点G 在BA 的延长线上，且CE ＝BK ＝AG ．以线段DE 、DG 为边作YDEFG ．(1)求证：DE ＝DG ，且DE ⊥DG ．(2)连接KF ，猜想四边形CEFK 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．【答案】证明：(1)∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ DC ＝DA ，∠DCE ＝∠DAG ＝90°．又∵ CE ＝AG ，∴ △DCE ≌△DAG ，∴ ∠EDC ＝∠GDA ，DE ＝DG ．又∵ ∠ADE ＋∠EDC ＝90°，∴∠ADE＋∠GDA＝90°，∴ DE⊥DG．(2)四边形CEFK为平行四边形．证明：设CK，DE相交于M点，∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，∴ AB∥CD，AB＝CD，EF＝DG，EF∥DG；∵ BK＝AG，∴ KG＝AB＝CD．∴四边形CKGD为平行四边形．∴ CK＝DG＝EF，CK∥DG∥EF∴四边形CEFK为平行四边形．【高清课堂 417083 正方形例9】【变式2】如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是_______．【答案】2；提示：阴影部分面积等于正方形面积的一半.类型二、正方形的判定2、（2016•普宁市模拟）如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分別在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2．（1）已知DG=6，求AE的长；（2）已知DG=2，求证：四边形EFGH为正方形．【思路点拨】（1）先根据矩形的性质，利用勾股定理列出表达式：HG2=DH2+DG2，HE2=AH2+AE2，再根据菱形的性质，得到等式DH2+DG2=AH2+AE2，最后计算AE的长；（2）先根据已知条件，用HL判定Rt△DHG≌Rt△AEH，得到菱形的一组邻边相等，进而判定该菱形为正方形．【答案与解析】解：（1）∵AD=6，AH=2∴DH=AD﹣AH=4∵四边形ABCD是矩形∴∠A=∠D=90°∴在Rt△DHG中，HG2=DH2+DG2在Rt△AEH中，HE2=AH2+AE2∵四边形EFGH是菱形∴HG=HE∴DH2+DG2=AH2+AE2即42+62=22+AE2∴AE==4（2）∵AH=2，DG=2∴AH=DG∵四边形EFGH是菱形∴HG=HE在Rt△DHG和Rt△AEH中∴Rt△DHG≌Rt△AEH（HL）∴∠DHG=∠AEH∵∠AEH+∠AHE=90°∴∠DHG+∠AHE=90°∴∠GHE=90°∵四边形EFGH是菱形∴四边形EFGH是正方形【总结升华】本题主要考查了矩形、菱形的性质以及正方形的判定，解决问题的关键是掌握：矩形的四个角都是直角，菱形的四条边都线段，有一组邻边相等的菱形是正方形．在解题时注意，求直角三角形的边长时，一般都需要考虑运用勾股定理进行求解．举一反三：【变式】（2015春•上城区期末）如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连结CF．（1）若DG=2，求证：四边形EFGH为正方形；（2）若DG=6，求△FCG的面积．【答案】（1）证明：∵四边形EFGH为菱形，∴HG=EH，∵AH=2，DG=2，∴DG=AH，在Rt△DHG和△AEH中，，∴Rt△DHG≌△AEH，∴∠DHG=∠AEH，∵∠AEH+∠AHG=90°，∴∠DHG+∠AHG=90°，∴∠GHE=90°，∵四边形EFGH为菱形，∴四边形EFGH为正方形；（2）解：作FQ⊥CD于Q，连结GE，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠AEG=∠QGE，即∠AEH+∠HEG=∠QGF+∠FGE，∵四边形EFGH为菱形，∴HE=GF，HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠QGF，在△AEH和△QGF中，∴△AEH≌△QGF，∴AH=QF=2，∵DG=6，CD=8，∴CG=2，∴△FCG的面积=CG•FQ=×2×2=2．类型三、正方形综合应用3、E 、F 分别是正方形ABCD 的边AD 和CD 上的点，若∠EBF ＝45°． (1)求证：AE ＋CF ＝EF ．(2)若E 点、F 点分别是边DA 、CD 的延长线上的点，结论（1）仍成立吗？若成立，请证明，若不成立，写出正确结论并加以证明．【答案与解析】证明：（1）延长DC ，使CH ＝AE ，连接BH ， ∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ ∠A ＝∠BCH ＝90°，又AB ＝BC ，CH ＝AE ， ∴ Rt △BAE ≌Rt △BCH ， ∴ ∠1＝∠2，BE ＝BH ．又∵ ∠1＋∠3＋∠4＝90°，∠4＝45°， ∴ ∠1＋∠3＝45°，∠2＋∠3＝45°，在△EBF 和△HBF 中，,,,BE BH EBF HBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △EBF ≌△HBF ，∴ EF ＝FH ＝FC ＋CH ＝AE ＋CF ．即AE ＋CF ＝EF ． (2)如图所示：不成立，正确结论：EF ＝CF －AE ．证明：在CF 上截取CH ＝AE ，连接BH ．∵ 四边形ABCD 是正方形， ∴ 在Rt △EAB 和Rt △HCB 中，90AE CH EAB HCB AB BC =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩,°,, ∴ Rt △EAB ≌Rt △HCB ， ∴ BE ＝BH ，∠EBA ＝∠HBC ．∵ ∠HBC ＋∠ABH ＝90°，∴ ∠EBA ＋∠ABH ＝90°．又∵ ∠EBF ＝45°，∴ ∠HBF ＝45°，即∠EBF ＝∠HBF ．在△EBF 和△HBF 中,,,BE BH EBF HBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △EBF ≌△HBF ，∴ EF ＝FH ＝CF －CH ＝CF －AE ，即EF ＝CF －AE ．【总结升华】本题主要考察正方形的性质，全等三角形的性质和判定，关键在于用“截长补短”的方法正确地作出辅助线.4、如图①所示，已知A 、B 为直线l 上两点，点C 为直线l 上方一动点，连接AC 、BC ，分别以AC 、BC 为边向△ABC 外作正方形CADF 和正方形CBEG ，过点D 作1DD ⊥l 于点1D ，过点E 作1EE ⊥l 于点1E ．（1）如图②，当点E 恰好在直线l 上时（此时1E 与E 重合），试说明1DD ＝AB ；（2）在图①中，当D 、E 两点都在直线l 的上方时，试探求三条线段1DD 、1EE 、AB 之间的数量关系，并说明理由；（3）如图③，当点E 在直线l 的下方时，请直接写出三条线段1DD 、1EE 、AB 之间的数量关系．（不需要证明）【答案与解析】（1）证明：∵四边形CADF 、CBEG 是正方形，∴AD＝CA ，∠DAC＝∠ABC＝90°，∴∠1DAD ＋∠CAB＝90°， ∵1DD ⊥AB，∴∠DD 1A ＝∠ABC＝90°， ∴∠1DAD ＋∠1ADD ＝90°， ∴∠1ADD ＝∠CAB，在△1ADD 和△CAB 中，11DD A ABC ADD CAB AD CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，精品初中数学讲义（带详细答案）∴△1ADD ≌△CAB（AAS ）， ∴1DD ＝AB ；（2）解：AB ＝1DD ＋1EE ．证明：过点C 作CH⊥AB 于H ， ∵1DD ⊥AB，∴∠1DD A ＝∠CHA＝90°， ∴∠1DAD ＋∠1ADD ＝90°， ∵四边形CADF 是正方形， ∴AD＝CA ，∠DAC＝90°， ∴∠1DAD ＋∠CAH＝90°， ∴∠1ADD ＝∠CAH，在△1ADD 和△CAH 中，11DD A CHA ADD CAH AD CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△1ADD ≌△CAH（AAS ）， ∴1DD ＝AH ；同理：1EE ＝BH ，∴AB＝AH ＋BH ＝1DD ＋1EE ；（3）解：AB ＝1DD －1EE ．证明：过点C 作CH⊥AB 于H ， ∵1DD ⊥AB，∴∠1DD A ＝∠CHA＝90°， ∴∠1DAD ＋∠1ADD ＝90°， ∵四边形CADF 是正方形， ∴AD＝CA ，∠DAC＝90°，∴∠1DAD ＋∠CAH＝90°， ∴∠1ADD ＝∠CAH，在△1ADD 和△CAH 中，11DD A CHA ADD CAH AD CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△1ADD ≌△CAH（AAS ）， ∴1DD ＝AH ；同理：1EE ＝BH ，∴AB＝AH －BH ＝1DD －1EE ．【总结升华】此题考查了正方形的性质与全等三角形的判定与性质．注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．举一反三：【变式】在正方形ABCD 的边AB 上任取一点E ，作EF ⊥AB 交BD 于点F ，取FD 的中点G ，连接EG 、CG ，如图①，易证EG ＝CG ，且EG ⊥CG ．(1)将△BEF 绕点B 逆时针旋转90°，如图②，则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系?请直接写出你的猜想．(2)将△BEF 绕点B 逆时针旋转180°，如图③，则线段EG 和CG 又有怎样的数量关系和位置关系?请写出你的猜想，并加以证明．【答案】解：(1)EG ＝CG ，且EG ⊥CG ．(2)EG ＝CG ，且EG ⊥CG ．证明：延长FE交DC延长线于M，连MG，如图③，∵∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM＝90°，∴四边形BEMC是矩形．∴ BE＝CM，∠EMC＝90°，又∵ BE＝EF，∴ EF＝CM．∵∠EMC＝90°，FG＝DG，∴ MG＝12FD＝FG．∵ BC＝EM，BC＝CD，∴ EM＝CD．∵ EF＝CM，∴ FM＝DM，∴∠F＝45°．又FG＝DG，∠CMG＝12∠EMD＝45°，∴∠F＝∠GMC，∴△GFE≌△GMC，∴ EG＝CG，∠FGE＝∠MGC，∵ MG⊥DF，∴∠FGE＋∠EGM＝90°，∴∠MGC＋∠EGM＝90°即∠EGC＝90°，∴ EG⊥CG．。

正方形的面积知识点

正方形的面积知识点正方形是几何学中的一种特殊形状，它具有独特的性质和特点。

本文将介绍正方形的定义、性质以及计算面积的公式，在此基础上探讨一些与正方形相关的实际问题。

一、正方形的定义与性质正方形是一种具有四条边长度相等且四个角都为直角的四边形。

它可以看作是一种特殊的长方形和菱形，具有以下性质：1. 边长性质：正方形的四条边长度相等，记为a。

2. 角度性质：正方形的四个角都是直角（90度角）。

3. 对角线性质：正方形的两条对角线相等且互相垂直，对角线长度等于a√2，其中√2为根号2。

4. 对称性质：正方形具有4个对称轴，即每条边的中垂线都将正方形分成两个完全对称的部分。

二、计算正方形的面积公式正方形的面积可以通过其边长进行计算。

根据面积的定义，正方形的面积就是正方形所围成的平方区域的大小，即边长a的平方。

正方形的面积公式为：面积 = 边长 ×边长 = a²三、正方形的面积应用实例正方形的面积公式在实际问题中有着广泛的应用，下面将介绍几个与正方形面积相关的实例。

1. 花坛设计：假设有一块方形的土地，你想在其中建造一个正方形的花坛，你需要知道该花坛的面积以便选购足够的花卉。

如果已知土地的边长为10米，则花坛的面积为10²=100平方米。

2. 地板铺设：如果你要铺设一间正方形的房间的地板，已知房间的边长为4米，你可以使用面积公式计算所需的地板面积为4²=16平方米。

3. 正方形画框：你想用一条宽度为2厘米的画框围绕一个正方形的画作，已知画作的边长为60厘米，你需要计算画框的面积以购买足够的框材。

根据公式，画框的边长为60+2+2=64厘米，因此画框的面积为64² - 60² = 256平方厘米。

四、结论正方形作为一种特殊的四边形，具有许多独特的性质和特点。

通过本文的介绍，我们了解了正方形的定义、性质以及计算面积的公式。

正方形的面积公式可以帮助我们解决一些与正方形相关的实际问题，如设计花坛、铺设地板等。

2022中考数学复习知识点：正方形

2022中考数学复习知识点：正方形
还有一个月的时间同学们将要迎来2022中考，现阶段最重要的学习任务就是对知识的巩固复习，本店铺为大家整理总结了2022中考数学的一些有关于正方形的知识，希望能对大家的复习有所帮助。

1、正方形的概念
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、正方形的性质
(1)具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质;
(2)正方形的四个角都是直角，四条边都相等;
(3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角;
(4)正方形是轴对称图形，有4条对称轴;
(5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形;
(6)正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

3、正方形的判定
(1)判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：
先证它是矩形，再证有一组邻边相等。

先证它是菱形，再证有一个角是直角。

(2)判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形;
再证明它是菱形(或矩形);
最后证明它是矩形(或菱形)。