图形相似全章总复习

图形相似全章总复习

夯实基础

1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；

2、掌握黄金分割的定义、性质及应用；

3、理解相似三角形、相似多边形、相似比的概念；熟练掌握三角形相似的判定方法以及

相似三角形的性质，并能够运用性质与判定解决有关问题；

4、了解位似的概念，做的位似是特殊的相似变换，会利用位似的方法，讲一个图形放大

或缩小；

5、了解平行投影和中心投影的基本概念与性质，能综合运用图形相似的知识解决一些简

单的实际问题.

要点一、比例线段及黄金分割

1.比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．

要点诠释：

（1）若a:b=c:d，则ad=bc；（d也叫第四比例项）

（2）若a:b=b:c，则b2=ac（b称为a、c的比例中项）．

2.黄金分割的定义：如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大

段的长度与全长之比，即

AB

AP

AP

PB

（此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），则P点就是线段AB

的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．

3. 黄金矩形与黄金三角形：

黄金矩形：若矩形的两条邻边长度的比值约为0.618，这种矩形称为黄金矩形.

黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄

金三角形．

黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．

要点二、相似图形

1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).

要点诠释：

(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；

(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等.

2.相似多边形

各角分别相等，各边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形．

要点诠释：

（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．

（2）相似多边形对应边的比称为相似比.

要点三、相似三角形

1.相似三角形的判定:

判定方法（一）：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似.

判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似.

要点诠释：

要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，

若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.

判定方法（三）：两边成比例夹角相等的两个三角形相似.

要点诠释：

此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.

判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.

相似三角形的性质：

（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；

（2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比；

（3）相似三角形周长的比等于相似比；

（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方.

3.相似多边形的性质：

（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．

（2）相似多边形的周长比等于相似比．

（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．

要点四、图形的位似及投影

1.位似多边形定义:

如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.

要点诠释：

位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.

2.位似图形的性质:

（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；

（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；

（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.

3.作位似图形的步骤

第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；

第二步：作位似中心与各关键点连线；

第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；

第四步：顺次连接各对应点.

要点诠释：

位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.

4.平行投影

在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影.

(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.

(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.

(3)在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.

即：=.甲物体的高甲物体的影长乙物体的高乙物体的影长

利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.

注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.

5.中心投影

在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影.

(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.

(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.