哈工大信号检测与处理课程报告

2017 年秋季季学期研究生课程考核

（读书报告、研究报告）

考核科目:信号检测与处理

学生所在院（系）:航天学院

学生所在学科:控制科学与工程

学生姓名:

学号:17B904012

学生类别:学术型

考核结果

阅卷人

第一部分、信号检测 1.相关函数的基础原理

相关函数定义为两样本积的数学期望，表示随机信号关联程度、变化程度的量度。是任意样本相应的时间平均值，表示两个样本在不同时间上的相关性。相关函数是信号检测理论中的基础，只有弄清相关性的意义，才能了解后面以相关为基础的一系列方法与原理。特别地，自相关函数定义如下(各态历经下表达式可以由概率平均简化为时间平均如最右表达式)：

()()()(){}()()()12120

1

,,;,lim

T

xx x T R R t t E x t x t x x p x t x t x t x t dt T

τττττ∞

-∞→∞=+=+=+=+⎰⎰⎰

公式中的期望是在实际中相当于针对时间取的均值，因此相关函数的定义也看作一种对本身共轭的卷积运算后的平均值：()()()1

xx R x t x t T

τ=

*-。因此，首先讨论卷积的操作与物理意义。

卷积物理意义是将信号分解成冲激信号之和，借助系统冲激响应求出系统ZS N 对任意激励信号的零状态响应。卷积定义推导如下：将输入信号分解为多个时刻冲激信号的叠加，分别输入并作用于系统如图1。

图1.输入信号的冲激示意图

系统输入与输出的基本关系如下式(1)：

()()

()()

()()()()

()()()()()()

1

1

ZS ZS ZS n n ZS k k t N h t t k N h t k f k t k N f k h t k f k t k f t N f k h t k r t δδττττδττττττδττττ--==→→-∆→→-∆∆∆-∆→→∆∆-∆∆∆-∆≈→

→∆∆-∆≈∑∑ (1)

则根据以上线性系统输入输出间对应关系可做出如下推导：

()()()()()()()()()()()()

1

01

01

11n a k n k n k f t f t f k t k t k t k t k f k f k t k τετετετετττ

τττδτ-=-=-=⎡⎤≈=∆-∆--+∆⎣⎦

⎡⎤-∆--+∆=∆∆⎢⎥∆⎢⎥⎣⎦

≈∆∆-∆∑∑∑

()()()10

n k f t f k t k ττδτ-=≈∆∆-∆∑，()()()1

n k r t f k h t k τττ-=≈∆∆-∆∑ (2)

取极限,n d ττ→∞∆→ 可得()()()()()0

t

f t f t d f t t τδττδ=-=*⎰

，即冲激信号与任意

输入信号的卷积等于自身；()()()()()0

t

r t f h t d f t h t τττ=-=*⎰，即系统零状态输出等于系

统冲激响应与输入信号的卷积。也就是卷积运算相当于按照()h t 的分布模式将每个采样点生成的()f t 叠加一遍。卷积应用于LTI(线性时不变系统)，卷积物理意义的图形解释如下图2。

图2.卷积物理意义的图像解释

从以上信号处理中的卷积原理可以看出，自相关也就是信号与自身共轭的卷积可以提供关于自身重复事件的信息，体现信号的“记忆能力”，例如音乐节拍（例如确定节奏）或脉冲星的频率，或用来估计乐音的音高。

再者从随机变量角度来看相关性，相关函数的引入是为了描述两个随机变量间不同时刻的联系，弥补均值与方差等各阶统计量只描述随机过程的静态数字特征的不足。若两个随机变量完全线性相关，则会有接近的概率密度分布。以连续随机变量为例，假如随机变量x,y 且y=5x ，那么x,y 完全线性相关，X=5的概率和Y=25的概率是相等的，即x,y 有相同的概率分布、成线性关系的期望，因此概率角度线性相关性反应的是两个随机过程之间的线性相关程度；从线性空间的角度看相关运算本质是内积运算，而两个向量的内积在线性空间中表示一个向量向另一个向量的投影，因此可以表示两个向量的线性依赖或相似程度，相关运算体现出了这种相似程度。求解相关函数Matlab 命令如下：

dt=.1;t=[0:dt:20];x=f(t);y=g(t);[a,b]=xcorr(x,y,'unbiased');plot(b*dt,a)

以下图3为三种典型自相关函数：a. 三次函数；b.正弦函数；c. (0,1)区间均匀分布白噪声.

图3.三种典型自相关函数

由这些自相关函数可以直观得到以下几点结论：

(1)自相关函数通常为偶函数，且()()222

0xx x x R E x t μσ⎡⎤==+⎣⎦零点值最大，为信号平均功率；

(2)周期序列的自相关函数仍有明显周期性；(3)噪声的自相关性极差，几乎只在原点时刻存在自相关性，与确定信号不同，这也是维纳滤波等相关滤波方法去除噪声的主要原理之一。

下面图4为将自相关分析运用在平时所处理的钢轨运行过程噪声(左)与瞬态声发射信号(右)的结果，可以看出作为一种瞬态信号，声发射信号的相关性同时存在衰减较快与存在一定周期特性的特点，而轮轨运行产生的噪声也不是传统意义上的白噪声信号。单纯做相关不能区分二者，下面选择一种相关性方法与EMD 配合使用的方法。

图4.钢轨运行噪声与声发射信号自相关函数

2.基于分段相关EMD 的声发射钢轨伤损信号瞬时检测

高速情况下分段相关经验模态分解(EMD)的瞬时检测方法重构高速情况下伤损信号的方法，确定伤损信号发生的初始时刻，同时也为提取高速下声发射源特性的研究做出了准备工作。EMD 基本理论如下：

机械系统的振动信号包含着大量的设备运行的状态信息，对振动信号进行经验模态分解得到的IMF 与机械系统的振动模式有着很强的对应关系，所以钢轨振动信号的IMF 可以用来分析钢轨伤损。对于每个IMF 都应该要满足下面的两个条件：

a) 在整个数据段内，数据的极值点和数据的过零点的数目必须要相等或者也最多差

一个；

b) 在数据段内的任一点，由数据的局部极大值确定的包络和由数据局部极小值确定

的包络的平均值应该为零。

为了进一步得到信号的各阶IMF ，需要对信号进行经验模态分解，经验模态分解是建立在下面这些假设上：

a) 信号应该至少有一个极大值和一个极小值；

x 10

x 10